Algoritmo de Euclides 01
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Algoritmo de Euclides Universidad Antonio Nario 2011APENDICE
Teorema 1 (Algoritmo de la divisin).
Sean a, b enteros con b positivo. Entonces existen enteros nicos q, r, tales que
Demostracin 1. Existencia: Sea como { | tenemos que }. S puesto que si y asi Si .
Usando el Principio de la Buena Ordenacin, S tiene un mnimo r y en consecuencia existe un entero q tal que
De otra parte, puesto que r = min S, entonces
Y por tanto 2. Unicidad: Supongamos que entonces Si suponemos que y por tanto
Que evidentemente es una contradiccin. Anlogamente para el caso necesariamente y tambin .
luego
Algoritmo de Euclides Universidad Antonio Nario 2011Mximo Comn Divisor
Definicin: Sean a y b enteros no nulos, el conjunto de todos los divisores comunes de a y b es un conjunto finito cuyo mximo se denomina Mximo comn divisor de a y b. Suele denotarse como MCD(a,b) o (a,b)
Teorema 2. Sean a y b enteros no nulos. El MCD(a,b) es el menor entero positivo que pueda escribirse en la forma ax + by con x, y enteros.
Demostracin: Supongamos que d=(a,b) y sea { | }
S puesto que . Luego por el Principio de la buena Ordenacin1, S posee un mnimo g que podemos escribir de la forma . Es claro que g es divisor comn de a y b, puesto que si usamos el algoritmo de la divisin entre a y g tenemos:
Luego,
Ahora, si r 0, entonces r , | y | .
S, lo cual contradice el hecho que g sea mnimo, por tanto r = 0
Como d = (a,b) y g es divisor comn entonces . De otra parte, | luego | y como ambos son nmeros positivos y en consecuencia
|
1
PBO : Todo subconjunto no vaco S de nmeros naturales posee mnimo.
Algoritmo de Euclides Universidad Antonio Nario 2011
Teorema 3. (Propiedades del MCD) Sean a y b enteros no nulos. Entonces d = (a,b) si y solamente si d satisface las siguientes propiedades: 1. d > 0 2. | | y | entonces |
3. Si |
Demostracin: Supongamos que d= (a,b). Es evidente que d > 0 y que | | . Adems d = ax + by para algn par de enteros x, y y si | | entonces f divide a toda combinacin lineal de a y b, | , en especial | Recprocamente supongamos que d satisface (1), (2) y (3) y supongamos que f es divisor | | comn de a y b; entonces por (3) | y en consecuencia | | , luego d es el mayor de los divisores comunes de a y b.
Teorema 4.
Si
entonces (a,b) = (b,r)
Demostracin: Supongamos que d = (a,b) y d = (b,r). Como | | entonces | , en consecuencia | . Anlogamente | y en consecuencia | . Dado que d y d son positivos entonces d = d
Algoritmo de Euclides Universidad Antonio Nario 2011
Teorema 5. ALGORITMO DE EUCLIDES Este procedimiento permite calcular el MCD de dos enteros dados a y b. Fue presentado por Euclides (365- 300 A.C) en el sptimo libro de Los Elementos: Sean a, b dos enteros positivos tales que b a. Se escribe y aplicamos repetidamente el algoritmo de la divisin obteniendo un conjunto de restos definidos sucesivamente por las relaciones
Entonces
, el ltimo resto no nulo de este proceso, es (a,b), es decir el mcd de a y b.
Demostracin 1: Existe un momento en el que puesto que los son decrecientes y no negativos. La ultima relacin, demuestra que | La anterior a la ltima, prueba que | . Por induccin vemos que divide a cada . En particular | y | , luego es un divisor comn de a y b. Ahora sea d otro divisor comn de a y b. La definicin de prueba que | . La relacin que le sigue prueba que | . Por induccin, d divide a cada luego | . Por lo tanto es el MCD. Demostracin 2: Haciendo uso del teorema 1, existirn , nicos, tales que
Algoritmo de Euclides Universidad Antonio Nario 2011Y por teorema 4 tenemos,
Puede ocurrir estos dos casos: a) Si , entonces:
Si
existirn
, nicos, tales que
Y por teorema 4 tenemos,
De lo cual se tiene que , de lo cual se repite el paso anterior. Siguiendo un proceso inductivo y dado que los residuos son positivos y satisfacen:
de lo cual
Por tanto,
es el mximo comn divisor requerido.
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