ÁLGEBRA.PROBLEMAS Y TEORÍA VARIADOS

INDICECAPÍTULO I:Teoría de Exponentes y Ecuación Exponencial

………………………………….. 01CAPÍTULO II:Expresiones Algebraicas

……………………………………………………………….. 09CAPÍTULO III:Productos y Cocientes Notables

…………………………………………………. 17CAPÍTULO IV:Binomio de Newton

……………………………………………………………………………….25

CAPÍTULO V:Teoría de Ecuaciones

……………………………………………………………………………….33

CAPÍTULO VI:Desigualdades e Inecuaciones

……………………………………………………………….. 41CAPÍTULO VII:Funciones

……………………………………………………………………………………………..50

CAPÍTULO VIII:Teoría de Conjuntos

………………………………………………………………………………..58

CAPÍTULO IX:Teoría de Numeración

………………………………………………………………………………..66

CAPÍTULO X:

Álgebra Pag. -1

Teoría de Divisibilidad………………………………………………………………………………..74

CAPÍTULO XI:Números Primos, Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo…….

81CAPÍTULO XII:Razones y Proporciones

……………………………………………………………………………….91

CEPRE – UNHEVAL CICLO C - 2003

Álgebra Pag. -2

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN - HUANUCOCENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

CEPRE - UNHEVAL

ÁLGEBRA

CAPÍTULO I

TEORÍA DE EXPONENTES Y ECUACIONES EXPONENCIALES

LEY DE LOS EXPONENTES:Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.

POTENCIACIÓN: Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otros dos llamadas base y exponente.

b = Basebn = P n = Exponente, n Є Z

P = Potencia; P Є R

LEYES DE LA POTENCIACIÓN:a) PRODUCTO DE BASES IGUALES:

an . am = an+m

b) COCIENTES DE BASES IGUALES:

; a ≠ 0

c) EXPONENTE CERO:; a ≠ 0

d) EXPONENTE NEGATIVO:

; a ≠ 0

e) POTENCIA DE UN PRODUCTO:


Álgebra Pag. -3

; a,b ≠ 0

f) POTENCIA DE UN COCIENTE:

; a,b ≠ 0

g) POTENCIA DE POTENCIA:

; a ≠ 0

h) EXPONENTE DE EXPONENTE:

; a ≠ 0

RADICACIÓN: Dados: a Є R; n Є Z+; n > 1; b = raíz enésima de “a” y se denota por:

LEYES DE RADICACIÓN:

a) EXPONENTE FRACCIONARIO:

; a, n ≠ 0

b) RAÍZ DE UN PRODUCTO:; a, b ≠ 0

c) RAÍZ DE UN COCIENTE:

; a, b ≠ 0

d) RAÍZ DE RAÍZ:

; a ≠ 0

CASOS ESPECIALES DE RADICACIÓN:


Álgebra Pag. -4

ECUACIONES EXPONENCIALESSon aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente

BASES IGUALES:Si N x = N y → x = y

N>0 y N ≠ 1

ANALOGÍA DE TÉRMINOS:Si x x = y y → x = y

x ≠ 1/2; ٨ y ≠ ¼

NOTA: Si af(x) = b f(x) → f(x) = 0

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Simplificar:

A) 1/3 B) 1/2 C) 1/9 D) 1/5 E) 2

2. Reducir:

A) 25 B) 24 C) 32 D) 35 E) 1

3. Efectuar:

A) 1/3 B) 1 C) 6 D) 5 E) 3

4. Simplificar:

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11


Álgebra Pag. -5

5. Reducir:

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 0

6. Efectuar:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 7 E) 12

7. Calcular el valor de:

A) 27 B) 1/3 C) 9 D) 1/9 E) 1/27

8. Si 2x = 3y. Simplificar:

A) 2/9 B) 1/3 C) 6/5 D) 4/3 E) 3/4

9. Si 3x = 7y. Simplificar:

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

10. Simplificar:

A) 12 B) 21 C) 42 D) 84 E) 75

11. Calcular:

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

12. Simplificar:

A) B) C) 2,5 D) 3,5 E) 4,5

13. Calcular “A + B” si:


Álgebra Pag. -6

A) 10 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4

14. El valor más simple de:

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20

15. Simplificar:

A) 5 B) 25 C) 125 D) 225 E) 625

16. Simplificar:

A) 3 B) 9 C) 16 D) 24 E) 25

17. Simplificar:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

18. Simplificar:

A) 3/4 B) 5/2 C) 6/5 D) 2 E) 1/2

19. Hallar “N” cuando x = 32 en:

A) 23 B) 22 C) 2 D) 1 E) 0

20. Simplificar:

A) 0 B) 5 C) 10 D) 25 E) 30


Álgebra Pag. -7

21. Hallar “P” si : ; si x = 125

A) 5 B) 25 C) 125 D) 525 E) 0

22. Simplificar:

A) 1 B) 1/7 C) 1/15 D) 1/25 E) 0

23. Calcular el valor de:

A) 3 B) C) 1 D) 9 E) 27

24. El equivalente de:

A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10

25. Calcular el producto de:

A) 81 B) 9 C) 1 D) 27 E) 3

26. Simplificar:

A) x36 B) x46 C) x26 D) x4 E) 1

27. Simplificar:

A) B) C) D) 1 E) 0

28. El valor más simple de:


Álgebra Pag. -8

A) 5 B) 15 C) 25 D) 45 E) 225

29. Reducir:

A) B) C) D) E)

30. Hallar “x” en:

A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 9

31. Resolver:

A) B) 5 C) 6 D) E)

32. Resolver:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

33. Siendo que x>0. Calcular “x” en:

A) 1/4 B) 2/3 C) 1/3 D) 3/2 E) 4


A) 0 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3


A) 0 B) -1 C) 1/2 D) 2 E) 3

35. Si Calcular:

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

36. Si Calcular:

A) 1/5 B) 5 C) 25 D) 6 E) 1


Álgebra Pag. -9

37. Reducir:

A) x/y B) y/x C) xy D) 2x/y E) 2y/x

38. Calcular “x” en :

A) 16 B) 64 C) 128 D) 256 E) 512

39. Si . Calcular x4x

A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 E) 243

CAPÍTULO II

EXPRESIONES ALGEBRAICASEs una combinación de letras y números en cantidades finitas enlazadas entre sí, por las operaciones matemáticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación; sin letras o variables en los exponentes.Ejemplos: 5x 3x + 4x3y5 – x2/y Log (2x3 – 5y2) 12x - x3 + ……..

TÉRMINO ALGEBRAICO:Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran enlazados por las operaciones matemáticas: excepto la adición y sustracción.Todo término algebraico consta de las siguientes partes: signo, coeficiente, parte literal y exponente.

ExponentesSigno - 7x2y5

Coeficiente Parte literal

TÉRMINOS SEMEJANTES:


Son expresiones algebraicas

Son expresiones no algebraicas o trascendentes

Álgebra Pag. -10

Son aquellos términos que tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes Son términos semejantes

No son términos semejantes

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:I. SEGÚN LA NATURALEZA DEL EXPONENTE:

a) Expresiones Algebraicas Racionales: Es cuando las variables nos están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios y se sub-clasifican en: Racionales Enteras: Es cuando ninguna letra o variable se encuentra

como denominador y en el numerador no están afectadas por el exponente negativo.Ejemplo:

Racionales Fraccionarias: Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador alguna de ellas aparece con exponente negativoEjemplo:

b) Expresiones Algebraicas Irracionales: Es cuando las variables están afectados de radicales o exponentes fraccionarios Ejemplo:

II. SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS:i) Monomios: Es las expresión algebraica que consta de un solo término

Ejemplo:

j) Polinomios: Es la expresión racional entera que consta de dos o más términos.Ejemplo:

Si un polinomio tiene una sola variable “x” su notación es:

Donde: n Є Z+, n grado del polinomioa0 = Coeficiente principal no nulo


Álgebra Pag. -11

an = Término independiente

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se denomina grado de una expresión algebraica racional entera, a una de sus características relacionada con los exponentes de las variables. Existen dos tipos de grados: Grado relativo y grado absoluto

GRADO DE UN MONOMIO:a. Grado Relativo (G.R.): Es el exponente que tiene la variable de un monomio

Ejemplo: M(x,y,z) = 5x3y4z8 +G.R.(x) = 3° gradoG.R.(y) = 4° gradoG.R.(z) = 8° grado

b. Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de todos los exponentes que afectan a todas las variables del monomio.

G.A. = G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z)

Ejemplo: M(x,y,z) = 5x3y4z8

G.A. = 3 + 4 + 8 = 15° grado

GRADO DE UN POLINOMIO:a) Grado Relativo (G.R.): Está dado por el mayor exponente que tiene dicha

variable en el polinomio dado.Ejemplo: P(x,y,z) = 5x3y2z7 + x6y4z3 + 4x5y9z3 + 3xy5z8

G.R.(x) = 6° gradoG.R.(y) = 9° gradoG.R.(z) = 8° grado

b) Grado Absoluto (G.A.): Está dado por el grado del término de mayor grado absoluto.Ejemplo: P(x,y,z) = 5x3y2z7 - x6y4z3 - 4x5y9z3 + 3xy5z8

12° 13° 17° 14°G. A. = 17° grado

GRADO EN LAS OPERACIONES CON POLINOMIOS:Sean los polinomios P(x) de grado “m” y Q(x) de grado “n”, siendo m>n se tiene lo siguiente:

I. P(x) + Q(x) es de grado “m”II.P(x) - Q(x) es de grado “m”


Álgebra Pag. -12

III. P(x) . Q(x) es de grado “m + n”IV. P(x) : Q(x) es de grado “m - n”V. [P(x)]k es de grado “m.k”

VI. es de grado “m:k”

POLINOMIOS ESPECIALES

a) POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel polinomio que tiene todos sus términos de igual grado absoluto.Ejemplo: P(x,y,z) = 5x3y2z7 - x6y4z2 - 4x5yz6 + 3x2y5z5

12° 13° 17° 14°b) POLINOMIO HETEROGÉNEO: Es aquel polinomio que no tiene todo sus

términos de igual grado absoluto.Ejemplo: P(x,y,z) = 5x3y2z7 - x6y4z3 - 4x5y9z3 + 3xy5z8

12° 13° 17° 14°

c) POLINOMIO ORDENADO: Es aquel polinomio cuando los exponentes de una determinada variable están ordenados en forma ascendente y/o descendente.Ejemplos: P(x) = 5x7 - x5 - 4x2 + 3x - 7

P(x,y) = 6x5y - 8x3y3 - 4x2y4 + 11xy7

d) POLINOMIO ORDENADO Y COMPLETO: Es aquel polinomio que tiene todos los exponentes sucesivos de la variable que se considera, desde el mayor exponente hasta el exponente cero o término independiente.Ejemplo: P(x) = 5x7 - 3x6 + x5 - 2x4 - 10x3 - 4x2 + 15x - 7

e) POLINOMIO ENTERO EN X: Es aquel polinomio cuyos exponentes de “x” son números enteros positivos.Ejemplo: P(x) = 3x3 – x2 + 9x - 2

f) POLINOMIO MÓNICO: Es aquel polinomio entero en “x” cuyo coeficiente principal es igual a la unidad.Ejemplo: P(x) = x3 – 5x2 + 4x - 18

g) POLINOMIOS IDÉNTICOS: Son polinomios cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente.Ejemplo: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Q(x) = mx3 + nx2 + px + q

P(x) = Q(x) a = m, b = n, c = p y d = q


Álgebra Pag. -13

h) POLINOMIOS EQUIVALENTES: Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variablesEjemplos: P(x,y) = (x + y)2 – (x – y)2

Q(x,y) = 4xyP(x,y) < > Q(x,y) si y sólo si admiten el mismo valor numéricoSe tiene x = 1; y = 3P(1,3) = (1 + 3)2 – (1 – 3)2 = 12Q(x,y) = 4(1)(3) = 12 P(x,y) < > Q(x,y)

i) POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Es aquel polinomio cuyos coeficientes son nulos.Ejemplo: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d es idénticamente nulo si y sólo si:

a = b = c = d = 0

VALOR NUMÉRICO Es el resultado que se obtiene al especializar o reemplazar las variables por valores determinados

Ejemplo: P(x,y) = x3y - 4xy2 + 10P(1,2) = (1)3(2) - 4(1)(2)2 + 10 = -4

PROPIEDADES:a) SUMA DE LOS COEFICIENTES DE P(x):

coeficientes de P(x) = P(1)

b) TÉRMINO INDEPENDIENTE DE P(x) :Término independiente de P(x) = P(0)


1. Si el polinomio P(x,y) = 7xm+3y2n+1 - 4xm-1y3n+1, es homogéneo y la relación de los exponentes de x en sus dos términos, es como 3 a 1. El valor de “m + n” es:A) 8 B) 9 C) 7 D) 11 E) 1

2. Si el polinomio P(x,y) = xmyn(4x4y2 + 5x3y3) es completo. El valor de “2m – 3n” es:A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4


Álgebra Pag. -14

3. Dado el polinomio P(x) = (n–1)xm-1 + (m–2)xn-2 + (2p+1)xq-3 - (q+1)xp+1 – 1, ordenado y completo. La suma de sus coeficientes es:

A) 23 B) 18 C) 12 D) 15 E) 13

4. Si la expresión es de 4° grado con respecto a “a” y de 6° grado

absoluto. El valor de “x + y” es:

A) 28 B) 29 C) 31 D) 32 E) 35

5. Dado , donde “a” y “b” son

números naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es : (a2 + 2) 2, el valor de “b” es

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

6. Si , el valor numérico de es:

A) 1/2 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2

7. Si y además P[P(x)] = 2. El valor de es:

A) -2 B) -4 C) 8 D) -16 E) -8

8. Si P(x) = 2x3 + 5x2 + 3x + 15 y F(x) = 4x3 - 5x2 + 6, además

. El valor de P(P(P…P(P(P(E)))…) es:

A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -5

9. Determinar la suma de los coeficientes de P(x), sabiendo que su término independiente es 17, además se cumple que:P(x + 1) = (x + 1)(ax + 2) + (a -1)(x + 2) + a

A) 34 B) 27 C) 8 D) 9 E) 17

10. Respecto a “x”, la expresión: es de:


Álgebra Pag. -15

A) 1° grado B) 2° grado C) 3° grado D) 4° grado E) 5° grado

11. El polinomio

A) Es heterogéneo, ordenado y completoB) Es homogéneo, ordenado y completoC) Es heterogéneo, ordenado e incompletoD) No es homogéneo, no es ordenado y ni completoE) Es mónico

12. Si el siguiente polinomio es homogéneo: Hallar

“m + n + r”.A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12

13. Si el polinomio P(x) = xn+1 + 3xn+2 + xn+3 + 5 es completo. Hallar “n”:

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

14. Si (a + 2)x2a+3 y3b-1; (b - 3)xa+5 y2a+b-3 son semejantes. Su suma es:

A) 2x5y2 B) -x5y3 C) 3x3y7 D) -2x7y3 E) 5x4y3

15. Los polinomios P(x) = 2(mx+n)2 + mx2 – 2n; Q(x) = 4(9x2 + 8x + p) son idénticos. Hallar P(-1), si además se sabe que: m > 0

A) 8 B) 12 C) -4 D) 0 E) -6

16. Si P(x) = 100x100 + …. + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x. Hallar P(-1)

A) 100 B) 99 C) 50 D) 25 E) 199

17. Si y . Calcular G(x)

A) x + 2 B) 2x - 1 C) x2 + 2 D) x - 1 E) 2x + 1

18. Si y . Calcular “a.b”

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


Álgebra Pag. -16

19. Siendo y . Calcular el valor de P[Q(x)]; Sabiendo

que no depende de “x”

A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 3

20. Si y . Calcular P(b-12a)

A) 33 B) 32 C) 36 D) 37 E) 39

21. Hallar el número de términos del polinomio ordenado y completo:P(x) = (m - 2)xm-7 + (m -3)xm-6 + ……

A) 4 B) 5 C) 6 D) m - 7 E) m - 3

22. Señalar el valor de “n” para el cual la expresión: es de

segundo grado.A) 7 B) 14 C) 21 D) 28 E) 35

23. En el polinomio P(x,y) = x2myn-2 + 7x2m-1yn+5 + 9x2m+2yn + 8 x2m-3yn+1. El grado relativo a “x” es 18, además su grado absoluto 24. Hallar el grado relativo a “y”

A) 8 B) 7 C) 12 D) 6 E) 9

24. Dado los polinomios y .

La suma de P(x) y Q(x) origina un polinomio de grado cero. Bajo esta condición determinar el valor de: c2 + 4b2

A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10

25. Si es idénticamente nulo.

Hallar:

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0


Álgebra Pag. -17

26. Sabiendo que el grado absoluto de es de 6° grado. Hallar el

grado absoluto de:

A) 3 B) 6 C) 9 D) 18 E) 27

CAPÍTULO III

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES:a) BINOMIO AL CUADRADO:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

b) PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA:(a + b)(a – b) = a2 - b2

(an + bn) (an - bn) = a2n - b2n

c) BINOMIO AL CUBO:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

d) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS:(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a - b)( a2 + ab + b2) = a3 - b3

e) TRINOMIO AL CUADRADO:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

f) TRINOMIO AL CUBO:(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b+c) + 3b2(a+c) + 3c2(a + b) + 6abc

g) IDENTIDADES DE LEGENDRE:(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab


Álgebra Pag. -18

DIVISION ALGEBRAICA

a) METODO DE HORNER:El procedimiento se detalla a continuación:1. Se colocan los coeficientes del dividendo en la parte superior horizontal.

2. Se colocan los coeficientes del divisor en la parte izquierda en forma vertical con los signos cambiados a excepción del primero.

3. El primer término del cociente (Q) se obtiene dividiendo el primer coeficiente del dividendo (D) entre el primer coeficiente del divisor (d).

4. Este primer coeficiente de (Q), multiplica a los demás coeficientes de (d) que cambiaron de signo y los resultados se escriben en forma horizontal a partir de la siguiente columna hacia la derecha.

5. Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado se divide entre el primer coeficiente de (d), repitiéndose el procedimiento hasta coincidir con la última columna del dividendo.

6. Para finalizar, se suman directamente las columnas correspondientes al residuo, lo que conformará los coeficientes del polinomio residuo.

b) METODO DE RUFFINI: Este método es aplicable cuando el divisor es de la forma“x a”.El procedimiento es el siguiente:1. Se colocan los coeficientes del dividendo en forma horizontal.

2. Se anota el valor de “x” que es el resultado de resolver la ecuación del divisor igualado a cero:

3. Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica el valor de “x”, el resultado se anota en la siguiente columna, debajo del segundo coeficiente del dividendo.

4. Se suman las cantidades de la segunda columna y se sigue el mismo procedimiento hasta obtener un término debajo del coeficiente del dividendo.


Álgebra Pag. -19

5. El residuo es la suma de cantidades de la última columna.

TEOREMA DEL RESTOEste teorema se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de

efectuar toda la operación. El divisor debe ser de la forma “ax b” o transformable a ella:1. Se iguala el divisor a cero, encontrándose un valor para la variable.

2. El valor hallado se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el residuo.

COCIENTES NOTABLES

Son resultados de divisiones que se obtienen en directamente y tienen la siguiente forma:

Lo principales cocientes notables son:

a) : donde “n” es par o impar

b) : donde “n” es impar

c) : donde “n” es par


Álgebra Pag. -20

d) : : donde “n” es par o impar

TERMINO GENERAL (TK): Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar empleando la siguiente fórmula:

* Si el cociente notable es de la forma:

** Si el cociente notable es de la forma:

Donde: Tk : Es el término que ocupa el lugar “k”k : Es el lugar del términon : Es el exponente común de los términos del denominador y

que aparecen en el numerador.

NUMERO DE TERMINOS (n): El número de términos de un cociente notable está indicado por el exponente común del numerador “n”:

Si el cociente notable tiene “n” términos

NOTA: Para que: sea un cociente notable, debe cumplirse que:


1. Hallar el valor de “m” si se sabe que la siguiente expresión: es

un trinomio cuadrado perfecto.


Álgebra Pag. -21

A) 15 B) 18 C) D) 16 E) -15

2. Calcular el valor de “S” con la condición que:

A) 2a B) x C) y D) a E)

3. Si: a + b = 7 y ab = 2; calcular E = a + a2 + a3 + b + b2 + b3

A) 300 B) 350 C) 352 D) 353 E) 400

4. Determine el resto en la división:

A) 0 B) 1 C) 16 D) 81 E) 625

5. En la división: el residuo es un polinomio

idénticamente nulo. Hallar: m + n +pA) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 18

6. si la siguiente división: da lugar a un cociente notable, determinar el

número de términos:

A) m B) 28 C) 10 D) 23 E) 32

7. Uno de los términos del cociente notable: es x8y8. Hallar m + n.

A) 13 B) 12 C) 30 D) 39 E) 40

8. Calcular “a + b” si la división es exacta:

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

9. El residuo de: es: 5x2 – 3x+7. Luego U + N + I es:


Álgebra Pag. -22

A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

10. Calcular el valor de “a” para que la suma de los coeficientes del cociente sea 161, tal que el resto es 16.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

11. Calcular el resto de la siguiente división:

A) 8x - 2 B) 7x + 2 C) 8x + 2 D) 8x + 1 E) 8x

12. Si en la siguiente división: el residuo no es de primer grado.

Calcular dicho residuo.A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

13. Si la siguiente división: es un cociente notable. Calcular el número de

términos del cociente.A) 8 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11

14. Hallar el número de términos fraccionarios del cociente notable:

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

15. Al desarrollar: el término 4to es de grado 39 y los grados absolutos de los

términos disminuyen de 2 en 2. Calcular el término ocho.A) x23y6 B) x24y6 C) x24y7 D) x23y7 E) x20y7


Álgebra Pag. -23

16. Si , calcular el valor de (n3 – n-3)3

A) -1 B) 3 C) 0 D) -2 E) 2

17. Siendo: Hallar: 3ab(a + b)A) 4 B) 16 C) 33 D) E) 2

18. Sabiendo que: D(x) = 2x4 + mx3 + nx2 + 52, al dividirlo entre d(x) = x + p, se obtiene un cociente de la forma: 2x3 + 7x2 - 13x + 26. Hallar “m + n + p”A) 6 B) 8 C) 12 D) 14 E) 16

19. Sea el polinomio P(x) = 2x4 + x3 - 18x2 + 6 – 29x. ¿Cuánto hay que aumentarle al coeficiente de x3 para que (x – 3) sea un factor?A) 11 B) 12 C) 22 D) 2 E) -5

20. En el siguiente cociente notable: Hallar el tercer término.

A) x30y18 B) x18y30 C) x28y16 D) x30y16 E) x18y16

21. Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del cociente: ,

para x =-1A) 28 B) 256 C) 128 D) 64 E) 25

22. El cociente: es notable. Hallar el número de términos

A) 10 B) 12 C) 25 D) 15 E) 17

23. Si a + b + c = 0, hallar el valor de:

A) 3 B) –3 C) 1 D) 0 E)6

24. Si: (x + x-1)2 = 45; hallar (x2 - x-2)2

A) 1845 B) 1625 C) 1525 D) 1265 E) 1552

25. Efectuar:


Álgebra Pag. -24

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

26. La sexta potencia de es:A) 4 B) 64 C) 81 D) 27 E) 216

27. Si a + b + c = 0, hallar el equivalente de:

A) 1/12 B) 5/3 C) 3/2 D) 6/5 E) 1/328. si la diferencia de las cuartas potencias de dos números es 369 y el cuadrado de

la suma de los cuadrados es 1681. ¿Cuál es la suma de los números?A) 21 B) 5 C) 9 D) 10 E) 2

29. Simplificar:

A) ax B) a-x C) a2x D) a-2x E) a3x

30. Si: x + x-1 = 3. Calcular: x6 + x-6

A) 729 B) 18 C) 216 D) 322 E) 308

31. Si xy + xz + yz = 7. Calcular:

A) 3 B) 14 C) 7 D) 1 E) 2

32. En (k + 1)x2 + (5k – 3)x + 2k +3. Calcular el valor de “k” para que el trinomio sea cuadrado perfecto.

A) 1/17 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

33. Al dividir 6x5 + 5x4 – 26x3 + 33x2 – 24x + 6 entre 2x2 –3x + 1, la suma de los coeficientes del cociente es:

A) 11 B) 15 C) 13 D) 17 E) 19

34. Que valor adquiere: , si la división : x19 – nx + k entre x2 – 2x +1 es exacta

A) 1 B) 2 C) 19 D) 38 E) 4

35. Si x5 + x4 + x3 + mx2 + nx + p entre x3 + 2x2 – x + 3 es exacta. Hallar: m + n + p


Álgebra Pag. -25

A) 12 B) 20 C) 19 D) 17 E) 14

36. Calcular m + n + p, sabiendo que el resto de dividir 10x6 + 19x5 - 8x4 + 12x3 + mx2 + nx + p entre 5x3 + 2x2 + 3x + 5 es 3x2 + 4A) 1 B) 2 C) -1 D) -2 E) 0

37. Calcular el número de términos del desarrollo de:

A) 7 B) 8 C) 12 D) 9 E) 10

CAPÍTULO IV

B I N O M I O D E N E W T O N

Al efectuar el desarrollo de un Binomio de Newton elevado a: 1, 2, 3, 4, 5, ……, n. se obtiene:Si:

Si:

Si

Si

En forma general:

LEYES DEL BINOMIO DE NEWTON:

1ra Ley: El desarrollo de un binomio de la forma (x + y)n; es un polinomio homogéneo respecto a “x” e “y”, cuyo grado de homogeneidad es igual al exponente del binomio (n).

2da Ley: El número de términos del desarrollo es igual al exponente del binomio mas 1 (n + 1)


Álgebra Pag. -26

3ra Ley: El primer término del desarrollo contiene a la primera base (x), elevada al exponente del polinomio, disminuyendo los exponentes de esta base en cada término posterior de uno en uno hasta cero.

4ta Ley: El segundo término del desarrollo contiene a la segunda base (y), elevada a la unidad, aumentando su exponentes en cada término posterior, de uno en uno hasta ser igual al exponente del binomio.

5ta Ley: Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales, siendo el primero y el último iguales a la unidad, el segundo y el penúltimo iguales al exponente del binomio y así sucesivamente.

Equidistantes6ta Ley: El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del

término inmediato anterior, multiplicando el coeficiente de éste por el exponente de la primera base y dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno.

COEFICIENTES BINOMIALES: Los coeficientes en el desarrollo de un Binomio de Newton es igual al número combinatorio. Cuando “n” es un número entero y positivo

el coeficiente binomial coincide con el número combinatorio y se podrá aplicar:

REPRESENTACIÓN DEL DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON, MEDIANTE LOS COEFICIENTES BINÓMICOS:

También:


Álgebra Pag. -27

x, y R ; n NPropiedades:

* Cuando el segundo término del binomio es negativo el desarrollo tiene signos alternados, siendo positivos aquellos de lugar impar y negativos aquellos de lugar par.

FORMULA PARA HALLAR EL TERMINO GENERAL DE LUGAR “k+1” (Tk+1):

Cuando (x + y)n

Cuando (x - y)n

Donde: T(k+1) : Término de lugar k+1 que se desea encontrarn : Exponente del binomiox : 1ra basey : 2da base

FÓRMULA PARA HALLAR EL TÉRMINO CENTRAL:a) Cuando el exponente es par: (x + y)2n

b) Cuando el exponente es impar: (x + y)2n+1


Álgebra Pag. -28

F A C T O R I Z A C I Ó N

Se llama factorización a la operación de transformar una expresión algebraica racional a producto; los factores hallados se denominan factores primos: A = (B) (C). Se dice que B y C son factores de A

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN:a) FACTOR COMÚN MONOMIO: Se emplea cuando todos los términos del

polinomio tienen como factor común a un monomio.Ejm.Factorizar: 10x2y5z7 – 25x5y4z6 + 15x6y9z8 + 30x4y7z5

Solución:Factor común monomio: 5x2y4z5

5x2y4z5 (2yz2 - 5x3z + 3x4y5z3 + 6x2y3)

b) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: Se emplea cuando en todos los términos de la expresión no se detectan factores comunes a simple vista, para lo cual se agrupan los términos convenientemente hasta conseguir un factor común.Ejm.Factorizar: ax + by + cz + ay + bz + cx + az + bx + cy

Solución:Agrupando convenientemente(ax + ay + az) + (bx + by + bz) + (cx + cy + cz)a(x + y + z) + b(x + y + z) + c(x + y + z)Factor común: (x + y + z)(x + y + z) (a + b + c)

c) MÉTODO DE LAS IDENTIDADES: En este método se hacen uso de los productos notables, entre los más principales tenemos: Diferencia de Cuadrados:


Álgebra Pag. -29

Trinomio Cuadrado Perfecto:

Diferencia de cubos:

d) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE: Este método se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

A1xn C1 = A2xn.C1

A2xn C2 = A1x n .C 2

Bxn

e) MÉTODO DEL ASPA DOBLE: Este método sirve para factorizar expresiones de la forma:

A1x C1y F1

( I ) (III) (II)A2x C2y F2

A1C2xy A1F2x C1F2yA2C1xy A2F1x C2F1y Bxy Dx Ey

*****


Álgebra Pag. -30


1. Si el 4to término del desarrollo de (x2-y)n contiene la octava potencia de “x”. Hallar “n”.

A) 5 B) 7 C) 8 D) 3 E) 10

2. Hallar el coeficiente del término independiente de “x” en el desarrollo de: (x8 - x-

4)12

A) 495 B) 420 C) 480 D) 1 E) -1

3. Un término en el desarrollo de (x2 – 5y7)n, donde nZ tiene como parte literal x6y35. Hallar el coeficiente del segundo término.

A) 20 B) -40 C) -10 D) 30 E) 12

4. Factorizar: P(x) = x4 + x2 +1A) (x2 + x + 1)( x2 - x + 1) B) (x2 + x)( x2 - x + 1) C) (x2 - x + 1)( x2 + x - 1)

D) (x2 + 2x)( x2 + 1) E) (x2 - x - 1)( x2 - x + 1)

5. Factorizar: P(x) = x5 + x - 1A) (x2 + x + 1)( x3 – x2 + 1) B) (x2 – x + 1) ( x3 + x2 - 1) C) (x4 + 1)( x - 1)

D) (x2 + x)( x3 – x + 1) E) (x2 - x - 1)( x3 - x + 1)

6. Factorizar: P(x) = x4 + 2x3 + 5x + 2

A) (x2 + 3x + 1)( x2 – x + 2) B) (x2 – x - 2) ( x2 + 3x - 1) C) (x2 + x) (x2 + x + 2)

D) (x2 - 3x - 1)( x2 – x - 2) E) (x2 + x - 2)( x2 + x + 1)

7. En la expansión de (3x3 + x-1)n, existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indicar dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

8. Calcular “n” sabiendo que en el desarrollo de ; el coeficiente del tercer

término es la semisuma de los coeficientes del 2° y 4° término.A) 5 B) 4 C) 7 D) 9 E) 13

9. Indicar el número de factores irreductibles de:P(x;y;z) = x4y2z7 + xy2z7 + 3x2y2z7 + x3y2z7

A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 1


Álgebra Pag. -31

10.Señalar un factor primo, luego de factorizar:P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc

A) x + b + d B) x + 2d C) x + d + b + c D) x + c E) x – 2c

11.Señalar un factor primo de:P(x) = (2x2 +x – 1) 2 – (x2 -3x – 5)

A) 3x2 + 2x – 6 B) (x – 2) 2 C) x – 2 D) 3x2 - 2x – 6 E) (x + 2) 2

12.Al factorizar: F(x) = x4 - 5x3 + 16x + 8; el coeficiente del término no lineal de uno de sus factores primos es:

A) 0 B) -1 C) -3 D) 3 E) 2

13.Al factorizar: F(x) = x3 (X – 4) + (2x + 7)(2x – 7); la suma de los términos lineales de sus factores primos es:

A) 4x B) -2x C) 2x D) 0 E) -4x

14.Calcular el coeficiente de término del desarrollo del binomio (1 + x)20 que es el doble del coeficiente del término anterior.

A) 3875 B) 38760 C) 38770 D) 38700 E) 36760

15.El quinto término del desarrollo de (x + 2)n es 240xa. Calcular el valor de “a”.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16.¿Cuántos términos fraccionarios tiene el desarrollo de: ?

A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

17.Calcular el coeficiente entre los términos centrales de:

A) B) C) D) E)

18.calcular el término máximo de: (1 - x)-n; cuando:


Álgebra Pag. -32

A) B) C) D) E)

19.Factorizar: (x + 1)(x + 2)(x +3) + 1.A) (x2 - 5x – 5) 2 B) (x2 + 5x – 5)2 C) (x2 + 5x + 5) 2

D) x2 + 5x + 5 E) x2 + 5x – 5

20.Hallar el número de factores primos y el número de divisores de:(a2 + b2 + a2b2) – (a2 + b2 - a2b2) 2

A) 6; 17 B) 5; 17 C) 5; 16 D) 5; 18 E) 6; 18

21.Uno de los factores de: a + b + ab2 + a2b+ a3 + b3

A) 1 + a + b B) a – b - 1 C) 1 + a - b D) a – b - b2 E) 1 – a - b

22.Después de factorizar: 6a2 - 10b2 – 2ac - ab + 4bc; uno de los factores es:

A) a + 2b B) a – 2b C) 3a - 5b + 2c D) 3a – 5b E) 3a – 2c

23.Indique un factor de: (x–1)2 – 2(x-1) – 24

A) x + 1 B) x + 2 C) x + 3 D) x + 4 E) x + 5

24.Indique el factor numérico de: (x – y)4 – x4 – y4- 2xy3

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

25.La suma de coeficientes en el desarrollo de (a + b)7 es:

A) 128 B) 256 C) 160 D) 240 E) 192

26.En el desarrollo de (x2 – x1/2y)5 el término de menor grado es:

A) 1° B) 2° C) 3° D) 4° E) 5°

27.El mayor coeficiente en el desarrollo de (a + 2b)6 es igual a:


Álgebra Pag. -33

A) 304 B) 256 C) 160 D) 240 E) 192

28.Hallar el coeficiente del término medio del desarrollo de (a + b)12

A) 792 B) 770 C) 132 D) 154 E) 924

CAPÍTULO V

TEORÍA DE ECUACIONES

Es aquel conjunto de ecuaciones que se verifican mediante el conjunto de solución único y común. Ej.

x5 + 49 – 1 = 0

CONJUNTO SOLUCIÓN.Es el conjunto que contienen los grupos ordenados que verifican el sistema.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS.Atendiendo:

1. AL GRADO: Puede ser de primer grado, segundo, tercer, etc.2. A LOS COEFICIENTES: Pueden ser numéricas o literales.3. A LAS INCÓGNITAS: Pueden ser de una, dos, tres incógnitas, etc.4. A LAS SOLUCIONES: Pueden ser compatibles e incompatibles.

COMPATIBLES: Son aquellas que admiten solución pueden ser:DETERMINADAS: En la que se puede enumerar los elementos del C.S.INDETERMINADOS: No se puede enumerar los elementos.

INCOMPATIBLES Ó ABSURDAS: Son aquellas que no admiten solución.

ECUACIONES EQUIVALENTES: Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ej. 4x – 5 = 2x + 13

x + 3 = 12

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO:Forma General ax + b = 0Resolución ax = -b Siendo a 0 x = -b/a

ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN: ax + b = 0a) Si : a 0 b 0 ax + b = 0

La ecuación es compatible determinadab) Si : a 0 b 0 ax + 0 = 0

La ecuación es compatible c) Si : a = 0 b = 0 0x + 0 = 0


Álgebra Pag. -34

La ecuación es indeterminadad) Si : a = 0 b 0 0x 0 = 0

La ecuación es incompatible o absurda.


1. Determinar al conjunto solución de:

a) 11 b) {-11, 3} c) {13, 2} d) {1, 2} e) {3, 1}

2. Sobre la ecuación:

Se puede afirmar que:a) Admite solución x = 2b) Admite solución x = - 2c) Es Indeterminadod) Es Incompatiblee) Tiene una solución: diferente

3. Resolver:

a) {8} b) {8/3} c) {8/7} d) {7} e) {8/5}

4. Resolver :

a) {0,13/2} b) {1,13/2} c) {0, -13/2} d) {0,13} e) {0,12/5}


Álgebra Pag. -35

5. Resolver :

a) {0, 1} b) {0, -1} c) {1, 7} d) {1, } e) {1, -1}

6. Resolver:

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/4 e) -1/2

7. Resolver :

a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 5

8. Resolver:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7

9. Resolver la ecuación:

a) 59/90 b) 57/90c) 59/90d) –59/60 e) 60

10. Despejar x en la ecuación:

a) 5b -1 b) 4a – 3 c) d) e)

11. Hallar : x/y si:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10


Álgebra Pag. -36

12. Resolver:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


Álgebra Pag. -37

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:Una ecuación de segundo grado o cuadrática con una incógnita es de la forma:

ax2 + bx + c = 0

x = Incógnitaax2 = Término Principalbx = Término Lineala = Coeficiente principal: si a = 1 la ecuación se denomina. Monicab = Es el coeficiente del término de primer gradoC = T. Independiente = b2 – 4ac = es el discriminantex1, x2 = Son las raíces de la ecuación{x1, x2} = Es el conjunto solución

TEOREMA DE LA FÓRMULA GENERAL:El conjunto de toda ecuación : ax2 + bx + c = a a 0

a 0

DISCRIMINANTE ():En la ecuación ax2 + bx + c = 0, A 0; se llama discriminante a la expresión.

= b2 – 4ac

Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática análisis del discriminante con a, b, c Q a 0

CASO DISCRIMINANTEFORMULA

CUADRÁTICARAICES

1º > 02 raíces reales

distintas entre si.

2º = 02 raíces reales e

iguales.

3º < =2 raíces complejas conjugadas entre

siPROPIEDAD DE LAS RAICES


Álgebra Pag. -38

TEOREMA (DE CARDANO - VIETE)En la ecuación ax2 + bx + c = 0, a 0 de raíces x1; x2 se cumple:

a) Suma de raíces:

b) Producto de Raíces:

c) De la identidad de Legendre. (x, + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1 x2

FORMAR LA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE LAS RAICES X1 X2

Sean las raíces: x = x1 y x = x2

x – x1 = 0 ; x – x2 = 0 (x – x1)(x – x2) = 0De donde la ecuación es:x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0


13. Si la ecuación cuadrática: (m + n - 4)x2 + (m – n + 6)x + 2 = 0Es compatible, calcular el valor de m2 + 2n

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

14. Determinar el valor de “m” de tal manera que la ecuación:

ax2 + (m+1)x +1 – m = 0; de raíces x1 x2 Verifique:

a) -7 b) 3,5 c) 3 d) 1,5 e) 4

15. Para que valor de “n” las raíces de a ecuación son simétricas.

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

16. Hallar la ecuación cuadrática de raíces p y q Si:I. En 2x2 - (p-1)x + p – 3 = 0 sus raíces positivas difieren

en 1.II. x2 + (9-1)x + q - 2 = 0 tiene solución única

a) x2+10x – 21 b) x2-16x+21 c)x2-10x-21 d) x2-5x-21 e)x2-5x+21

17. Indicar la suma y el producto de las raíces de: x2 + 8x – 12


Álgebra Pag. -39

a) –8, -12 b) –8, 12 c) 1/2, 2 d) 3, -40 e) 6, 7

18. Si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación. x2 + x + c = 0 suman 9, entonces el valor de “c” es:

a) -3 b) –4 c) -3 d) 4 e) 5

19. Determinar el valor de “m” en la ecuación: x2 + mx + x – 4 = 0 si y son sus raíces y se cumple que: -2 + -2 = 2-1

a) -2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

20. Al resolver la ecuación polinomial mónica en “x” de primer grado y de término independiente 13.

Calcular : a + b + c + xa) 11 b) 24 c) 36 d) 39 e) 95

21. Si p y q son números reales para los cuales las ecuaciones cuadráticas:8x2 - (4p+2)x +2 = 0 y (7q-2)x2 - (5q-3)x + 1 = 0Tienen las mismas raíces. Encuentra el valor de p y q.

a) 15/98 b) -15/98 c) 15/48 d) 3/98 e) -3/14

SISTEMAS DE ECUACIONES

Es un conjunto formado por 2 o más ecuaciones para 2 o más incógnitas, los cuales se verifican simultáneamente para los mismos valores de las incógnitas. Ej.

x2 y2 + xy = 6 ..............(I) x + y = 3 .............(II)

I y II forman un sistema de ecuaciones.

CONJUNTO SOLUCIÓN: Es el conjunto formado por todas las soluciones del sistema.CLASES DE SISTEMAS:

DETERMINADA Ej. 3x – y = 20 COMPATIBLES : Nº Finito de soluciones x + 5y = 12

soluciónINDEPERMINADA 3x + y = 4Infinita soluciones 3/2x + y/2 = 2

INCOMPATIBLES:


Álgebra Pag. -40

Inconsistente o absurdo 4x + 2y = 5 soluciones 8x + 4y = 3

METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL. Método de Karl Gauss Método de Arthur Cayley (Matriz inversa) Método de Gabriel Cramer Método de Gauss (Matriz Aumentada) Teorema de Rouche – Frobenios


22. Resolver el Sistema:

a) (a + c - b); (a + b - c) b) (a + b - c); (a + b - c)c) (a + b - c);(a + c - b) d) (a - b - c); (a - b + c)e) (a – b + c); (a + b + c)

23. Resolver y dar valor de “Y”

a) 2a b) 3a c) 3b d) 26 e) 6a

24. Resolver y dar el valor de “y”:

a) b) c) d) e)

25. Resolver: x + y + z =15x + y + z = 16 Hallar: “z.t”


Álgebra Pag. -41

x + z + t = 18y + z + t = 20

a) 35 b) 21 c) 24 d) 56 e) 40

26. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

a) 25,9 b) 9,7 c) 9,20 d) 25,15 e) 25,30

27. Resolver el sistema:x + y + z = 19x2 + y2 + z2 = 133y2 = xz

a) 4,6,4 b) -4,6,4 c) 4,-6,4 d) 4,6,-4 e)-4,-6,-4


aA

bA

a x bó

x [a, b]

aA

bA

a x bó

x a, b]

aA

bA

a x bó

x a, b

Álgebra Pag. -42

CAPÍTULO VI

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDAD. Es una relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor.SIGNOS. , , , .- Toda cantidad positiva “a”, se considera mayor que cero (a 0) y toda cantidad

negativa “b” es menor que cero (b 0).FUNCIONES IMPORTANTES

a b si a – b 0

a b si a – b 0

INTERVALOS

- INTERVALO ABIERTO. Conjunto de Números comprendidos entre dos que

tienen la propiedad de tomar los valores, extremos.

- INTERVALO CERRADO. Conjunto de Números

comprendidos entre otros dos que tienen la

propiedad de tomar sus valores extremos.

- INTERVALOS MIXTO. Son aquellos que se caracterizan por ser abierto en

uno de sus extremos.


am bm

m

b

m

av

Álgebra Pag. -43

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1. Sea a b y “m” : un Número ó expresión algebraica

a m b m

2. Sea a b si m 0

3. Sea a b y R N (impar):

4. Sólo si a, b R+, a b Si R N

5. Sean:

6. Sólo si a y b tienen el mismo signo:

7. Si 0 a 1 ; y am an m n ó am an m n

8. Si:

9. Si:

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Son aquellas de la forma:

ax + b 0 ; ax + b 0



Álgebra Pag. -44

1. Resolver :

a). [2,3] b). [2; 3 c). 2, 3 d). 2; 3] e). -∞; 1]

2. Hallar el conjunto solución de enteros que satisfacen la inecuación:

a). {2,3} b). {1,2,3} c). {-2,3} d). {3, 4, 5} e). {2,3, 4}

3. Resolver:

a). -∞, 3 b). -∞, 3.34 c). 3.34, +∞ d). -∞, 2 e). -∞, 4

4. ¿Para que valores de “a” la ecuación: tiene solución negativa

?

a). -∞, 4 b). -∞, 29 c). -∞, 29/4 d). -∞,∞ e). -∞, 3

5. Resolver:

a). -∞, 4 b). -∞, 1 c). -∞, 1/4 d). -∞, 1/2 e). -∞, 2/3

6. Resolver:

a). -∞, -7b). ∞, -7 c). -7, ∞ d). -7, 7 e). -∞, 8

7. Resolver: 164x – 3 8 2x + 1 Evitando la suma de los valores negativos que lo

satisfacen.

a). 0 b). 1 c). 2 d). 3 e). 4

8. Resolver:

a). -∞;13 b). -∞; 13/10] c). -∞; 13/10 d). -∞; 10 e). 13/10


Álgebra Pag. -45

9. Si el intervalo 5, 15 es solución de la desigualdad:

15 –a 3x – b 15 + a Hallar a + b

a). 29 b). 30 c). 31 d). 32 e). 33

INECUACIÓN CUADRÁTICA

La inecuación cuadrática es una variable presenta la siguiente forma general:

RESOLUCIÓN GENERAL

1er CASO

DISCRIMINANTE RAÍCES

REALES

INTERVALOS SOLUCIÓN

1°

Si ax2 + bx + c >0

Si ax2 + bx + c 0

2°

Si ax2 + bx + c >0

Si ax2 + bx + c 0

3°

Si ax2 + bx + c >0

vacío Si ax2 + bx + c 0

- Para el caso de la inecuaciones ax2 + bx + c >0 ó ax2 + bx + c 0 se tendría

como situaciones abiertas como referencia.

- Para el caso de las inecuaciones ax2 + bx + c ≤ o ≥ se tendría como

soluciones INTERVALOS CERRADOS.


r1 r2

r1

Álgebra Pag. -46


10. Resolver: x (3x + 2) (x +2)2

a) 1, 2 b) -1, 1 c) -1, 2 d) 1, 3 e) 1, 4

11. Resolver la inecuación: x2 -8 x + 8 4 – 4x

a) R - {2} b) 0 c) R d) 2, ∞ e) -∞, 2

12. Resolver:

a)0 b) [-4,-2] U [2,3] c) [2, 3] U [4, 6]

d) -∞, -2] U [2, ∞ e). R

13. Si X Є -5; -2 además se cumple: m x + 2 M. Hallar: m + M

a). –2 b). –1 c). 0 d). 1 e). 2

14. Al resolver la inecuación:

El conjunto solución se de la forma: a, b] U [c; d U e; ∞

Hallar: a + b + c + d + e

a). –2 b). –1 c). 0 d). 1 e). 2

15. Resolver 2x (x-4) + 3 x (x - 2) – 6

a). { }∅ b). {1} c). {3} d). {-3} e). ∅

16. Resolver: 3x2 – 5x + 3 ≤ 2x 2 – x + 2 e indique el complemento del conjunto solucióna) -∞, 2 - √3]4 c) -∞, 2 -√3 U 2 + √3; 2 - √3

b) [2 -√3; 2 + √3] d) -∞, ∞ - {2 + √3; 2 -√3}

e) 2- -√3; 2 + √3


Álgebra Pag. -47

17. Resolver: 2x (x - 3) ≥ x (x - 4) –1. Indique el conjunto solución:

a) x Є R – {1} b) x Є R – 0, ∞ c) x Є R – {1, -1}

d) x Є R e) x Є R - -∞, 0

18. Resolver:

a) x Є [-3, 3] b) x Є [-2, 2] – {0} c) x Є [-3, 3] – {0}

d) x Є [-∞,-3 ] U [3, ∞ e) x Є [-2, 2]

19. Resolver: la siguiente inecuación exponencial

a) -∞, -2 U 2, ∞ b) 2, 3 c) -∞, -3 U 2, ∞ d) -∞, 3 U 6, ∞ e) -3, -2

20. Resolver: (0,1)2x-1 ≤ (0,01)5x+1

a) -∞, -3/8 b) 3/8, 2 ] c) [ 3/8, ∞ d) -∞, 3/8 ] e. ∅

21. El menor número natural por “x” que verifica la inecuación:

a). 1 b). 2 c).3 d). 4 e). 5

22. Resolver: , e indicar el conjunto solución

a).]0, ∞ b). [0, ∞ c). -∞, 0 ] d). -∞, 0 e). 2,∞

23. Resolver:

a) [4,5> b) 4,5] c) <4,5> d) [-4,5] e) <-4,5>

24. Resolver:

a) -∞, 50 b) -∞, 9 c) -∞, 20 d) -∞, 3 e) R

SISTEMA DE INECUACIONES


Álgebra Pag. -48

SISTEMA DE INECUACIÓN CON UNA INCÓGNITA. Para resolver un sistema de

este tipo.

1. Se halla las soluciones de cada inecuación en forma separada.

2. Se grafica las soluciones en la recta numérica para facilitar la

solución.

SISTEMA DE INECUACIONES CON 2 O MÁS INCÓGNITAS

Para resolver este tipo de sistema se trata de eliminar una incógnita restando

inecuaciones de sentido contrario, produciendo de esta manera hasta obtener una

inecuación con una sola incógnita.


25. Calcular Los valores enteros de x, y, z que satisfaga el siguiente sistema. Además deben ser positivos.

2x + 3y + 5z 23 ...................... (1) 2x - y + 5z 13 ....................... (2) y - z 1 ....................... (3) y 4 ....................... (4)

a). 5, 3, 1 b) 5, 2, 1, c). 2, 3, 1 d). 5, 1, 3 e). 5, 3, 2

26. Si x es mayor que 3. Resolver:

a). [3, 5[ b). 3; 5 c). [3, 5 ] d). [3, 4 e). -3, 4

27. Resolver en enteros el sistema:3x + 2y 20 ...................... (1) 2x - y 2 ....................... (2) 3x - y 3 ...................... (3) proporciona el valor de (5x – 3y)

a). 0 b) 1 c). 2 d). 3 e). 4


Álgebra Pag. -49

28. Resolver el sistema con x e y enteros:3x + y -4 .................. (1) x - 2y -7................... (2) 2x + 3y 6 ................. (3)

Hallar: “xy”a). -5 b) 6 c). -6 d). 4 e). 5

29. Resolver el sistema

a). 3, + ∞ b) -∞, 5 c). -3, + ∞ d). 5, ∞

e).-3, 5

30. Hallar el valor de “a” para el cuál el sistemax2 – 4x + 3 0 ...................... (1)x2 – 2x + 4 ≤ 6- x................. (2)

2 ≥ a ................. (3)a). 2 b) 3 c). 4 d). 5 e). 6

31. Resolver el sistema en Z y hallar “x”3y – 2 2x + 3 ...................... (1)x + y 5................................. (2)x - 2y 11 ........................... (3)

a). 2 b) 4 c). 6 d). 3 e). 5

32. Calcular el valor de (a-b) si se cumple.

a) 54 b) 64 c) 74 d) 84 e) 94

33. Resolver:

a) b)


Álgebra Pag. -50

c) d) e)

34. Hallar el menor número “m” con la propiedad:

a) 20 b) 15 c) 25 d) 10 e) 30

35. Resolver: e indicar el complemento del conjunto

solución

a)

b)

c)

d)

e)


Álgebra Pag. -51

CAPITULO VII

FUNCIONES

PARES ORDENADOS.- Llamamos par ordenado a la expresión (x,y), donde “x” es llamada primera componente e “y” es llamada la segunda componente. son pares ordenados: (1,2); (-3,6); etc.Teorema: Los pares ordenados (x,y) y (m,n) diremos que son iguales si su correspondientes componentes son iguales.

Es decir (x,y) = (m,n) <==> x = m y = n

PRODUCTO CARTESIANO.- Se define producto cartesiano AxB de dos conjuntos no vacíos A,B; como el conjunto de pares ordenados (x,y) donde xA é yB.

Es decir: AxB = {(x,y)/xA yB

OBSERVACIÓN: El producto cartesiano no es conmutativo es decir AxBBxA a menos que A = B Cuando los conjuntos A y B son finitos n(AxB) = n(A).n(B).

PLANO CARTESIANO: Es un sistema de coordenadas rectangulares que son rectas perpendiculares y dividen al plano en 4 cuadrantes: I, II, III, IV, que se denominan ejes. Al eje horizontal o eje de las “x” se llama eje de las abscisas y al eje vertical o eje de las “y” se llama eje de las ordenadas.En el sistema de las coordenadas rectangulares, cada par ordenado de la forma (a,b) se puede asociar en forma única con un punto P del plano.


III

III IV

a

b P = (a,b)

x

y

Álgebra Pag. -52

FUNCION: Una función es un conjunto de pares ordenados, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento.Si f es una relación entre dos conjuntos A y B, diremos que f es una función, si verifica lo siguiente: f A x B (x,y) f (x,z) f y = zLa función se denota: f = {(x,y) AxB/y = f(x)}Donde la ecuación y = f(x) es la regla de la correspondencia.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN:a) DOMINIO: De la función f, es el conjunto de todos sus primeros componentes al

cual se denota como Df.Es decir: Df = {xA/ y B y = f(x)} A

b) RANGO: De la función f, es el conjunto de las imágenes de todos los elementos A, al cual denotaremos por Rf.

Es decir: Rf = {yB/ xA} B

Sea f ={1,2); (3,4); (5,6); (7,8)} su dominio y rango esDf ={1,3,5,7}; Rf = {2,4,6,8}

FUNCIONES ESPECIALES:a) FUNCIÓN CONSTANTE: Definido por:

f = {(x,y) RxR/y = f(x) =c,c constante}

b) FUNCIÓN IDENTIDAD: Se define:f = {(x,y) R x R/y = f(x) = x}

c) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: Se define por:


F

A B

Df Rf

Conjuntode partida

Conjuntode llegada

1357

2468

Álgebra Pag. -53

d) FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA: Se define:

f = {(x,y) R x R/y = }

e) FUNCIÓN LINEAL Se define:

f = {(x,y) R x R/y = m x+b}

Donde “m” y “b” son constantes y mo. Su Gráfica es una recta, cuya pendiente es m, y su coordenada en origen es b.

f) FUNCIÓN CUADRÁTICA: Definido por:

f = {(x,y) R x R/y =ax2+bx+c; a,b,cR; a 0}

La Gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje x.

Si a > 0 la Gráfica se abre hacia arribaSi a < 0 la Gráfica se abre hacia abajo.

g) FUNCIÓN POLINOMIAL: Su regla de correspondencia es de la forma:

f (x)= an xn + a n-1 xn-1+... + a1 x + a0; x R

Donde: a0; a1; a2;.....; an-1; an son números reales: ano así: f(x)=5x5+7x4+2x+3.

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar m.n, si:(m+n,-1) =(8,m-2n)

A) 13 B) 15 C)-1 D) -2 E) 14


-b/2a

4ac-b2

4ax

y

v

Álgebra Pag. -54

2. Dados: A = {xZ/-19<x-1<13} B = {xZ/10<x2<400}. ¿Cuántos elementos tiene A x B?A) 992 B) 300 C) 400 D) 800 E) 1000

3. Hallar a y b para que el conjunto de pares ordenados:A = {(2; 5), (-1;-3), (2; 2a-b), (-1; b-a), (a + b2; a)} sea una funciónA) 2,3 B) 2,-1 C) -1,2 D) 3,2 E) 1,2

4. Sea la relación: R = { (3; y+5), (6; x-3), (x; 1+3y), (6; 6-2y)}Determinar el valor de: S = x2 + y2. Si R es una función:A) 4 B) 12 C) 9 D) 13 E) 16

5. Si la relación:

Es una función. Determinar su rango.A) {4; 4} B) {-4} C) {-4;-1} D) {4;0} E) {-4;2}

6. Se da la relación: F = { (5 + n; n2 -12), (9, 6 + m), (5 + n; n(n-3)) }Hallar el valor de R = (1-m.n)1/2 Si “F” es una función.A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 9

7. Hallar el rango de la función f si:

A) <0,1> B) <0,> C) <-,0] D) [2,> E) <-,2]

8. La pendiente de la forma explícita de la función:9x2 - 30xy+ 25y2 + 30x - 50y + 25 = 0, es:A) -1 B) 2 C) 1/4 D) 1/5 E) 3/5

9. Si f es una función lineal de pendiente “a” e intercepto “b”, tal que:f(a2 - 2 b) = f (b + 12 - 2a2) y f(2a + b - 2) =f(a + b + 1). Hallar la función g;

si:

A) x B) x+5 C) 2x+4 D) -x-1 E) x2

10. Al efectuar f(x)=(x + 1)3 - (x - 1)3; f(x) es:A) x3+1 B) 2(3x2-1) C) x3-1 D) 3x2+1 E) 2(3x2+1)

11. Hallar el rango de la función g; donde:


Álgebra Pag. -55

A) [-49/4,18] B) [7,> C) [-4,> D) [0,18] E) [-3/4,20]

12. Dadas las funciones de variable real: f(x) = -x2 + 3x + 1 g(x) = 3x2 + 2x + 1

Hallar el Rf Rg

A) [-1,1] B) <2/3 ,1] C) <2/3, 13/4] D) [2/3,13/4] E) [2/3, 13/4]

13. Dada la relación: R ={(x,y) Z2 /y = x2 - 2x +1; si y [-1,3> el numero de elementos de : P [D(R)] es:A) 8 B) 16 C) 32 D) 4 E) 2

14. De la siguiente relación: R ={(x,y) R2 /xy2- 2y – x = 0}. El D (R) [R (R)]’ es:A) <-1,1> B) [-1,1] C) {-1,1} D) {-1} E) {1}

15. Sea f una función definida en los reales por: Entonces el

Df es:A) B) C)

D) E)

16. Sea f: R ==>R; F(x)=3x2-5x-2. Determinar el menor valor entero del rango de f(x)A) -3 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

17. Sea la función de variable real, definido por la ecuación 3f(x) + 4x = 12 Dom(f) Ran (f) = ?A) 3 B) R C) Z- D) Z+ E) R-Z-

18. Calcular “a + b + c” para que el conjunto de pares ordenados sea una función:g = {(2;4), (5;a + b), (3;6), (2;c + b), (5;3); (3;2a - c}A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 5

19. Dado los siguientes pares ordenados de la función:F = {(2,2);(4,3); (2, |a + 1|);(4, |b -1| ); (5,a);(6,2-b)}. Calcular Df U Rf

A) {2} B) {2,3} C) {2,4,6} D) {2,3,4} E)


Álgebra Pag. -56

20. Sea f(x)=x2-1, una función cuyo dominio es: Dom f(x)=[-4;-2] U [-1;1] Determinar su rango:A) [-1;0] U [3;15] B) [1,2] U [2,14] C) [1,2] D) <2,4> U [5,6] E) <-,1>

21. Calcular el rango de:

A) [3, > B) [2; C) [1; D) [0; E) [1,5]

22. Hallar el dominio de:

A) [0; 2> U <2,5> B) [0,2] C) [1,5] D) [2,4] E) <-;1]

23. Hallar el rango de:

A) [0,1] B) <0,1> C) <0,2] D) <-,1> E) <0,1/2]

24. Determinar el dominio de la función:

A) R-{-,1-2,-3} B) R-{-1,2,3} C) R-{-1,-2,5} D) R-{-2,2,5} E) R

25. Si el dominio de: Calcular a + b + c.

A) 12 B) 15 C) 5 D) 9 E) 8

26. Sea la función: . Hallar su rango:

A) <-;-9/4>U<-2;+> B) <-2.9/4>U<2;+> C) <-;-2>U<9/4;+>D) <-:-2>U<7;+> E) <9/4,+>

27. Hallar el dominio de la función:

A) [1;3> U <3;4] B) <1,3> U <3,5>] C) <-,3>D) [1,4] E) [4,6]

28. Dada la función: . Hallar f(5) - f(-5)

A) -4 B) 4 C) -6 D) 6 E) 0

29. Sea la función tal que: f(x+1) = 3x + f(x). Además: f(5) = 6. Hallar f(3).


Álgebra Pag. -57

A) 12 B) -10 C) 6 D) -12 E) -15

30. Determinar el rango de la siguiente función: f(x) = x +x

A) R B) Z+ C) [0, > D) <-,0> E) <-,0]

31. Indicar el valor mínimo de la función: (x) = 2(2x2 - 6x + 7)

A) 3/2 B) 0 C) -6 D) 5 E) 25

32. Si una función cuadrática es tal que: (0) = 2; (1) = 6; (2) = 16Determine; (3) + (4)A) 60 B) 86 C) 28 D) 68 E) 52

33. Cuál es el máximo valor que puede tomar la función: (x) = 24x-7-9x2

A) 9 B) 3 C) 12 D) 10 E) 1834. Sea la función definida por:

Hallar el Rango de (x)A) R B) <-,4] C) <2, > D) [8, > E) [0, >

35. Si (x) = x+2 - x-1. Hallar su Dominio.

A) <3; > B) [-3;3] C) [0; > D) [-2; > E) [1; >

36. Dada la función: . Hallar su Rango.

A) [0, > B) [-2, ] C) [-2,4] D) [4, > E) [2, >

37. Si g(x) = ax2 + b. Además g = {(1,5), (-2,11), ... pares ordenados}Determinar: g(7) + g(3) + g(g(0))

A) 141 B) 140 C) 139 D) 144 E) 143

38. Si (x) = 2x + 1, (6(x)) = 2x-1. Hallar la regla de correspondencia de:g( (x)).A) 2x B) 2x-1 C) x+2 D) x-1 E) 2x+1


Álgebra Pag. -58

39. Hallar (2x+1). Si:

A) 3(x) B) 2(x) C) 3(x) D) 2(x) E) 2+(x)

40. Si

. Calcular: (-3)+(-1)+(2)+(4)

A) 2 B) 0 C) 10 D) -3 E) 8


Álgebra Pag. -59

CAPITULO VIII

ARITMÉTICA

TEORÍA DE CONJUNTOS

IDEA DE CONJUNTO:El término conjunto constituye al igual que el punto, la recta y el plano en la geometría plana, uno de los términos no definidos exactamente en las matemáticas, sin embargo podemos aceptar. Que conjunto es la reunión, colección o agrupación de entes materiales e inmateriales, los integrantes que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos del conjunto.

CARACTERÍSTICAS DE UN CONJUNTO: Un conjunto esta bien definido cuando no se presenta ambigüedad en relación

a los elementos que la componen. Cada elemento debe ser perfectamente identificable de los demás para no

tenerlos en cuenta mas de una vez. El orden en que se presenten los elementos del conjunto carece de importancia.

NOTACIÓN:Usualmente para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas: A,B,C,.....Z, y para los elemento del conjunto se simboliza con letras minúsculas: a,b,c,....z, entre signos de colección.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO-a) POR COMPRENSIÓN: Diremos que un conjunto "A" esta determinado por

comprensión si se da una propiedad "r" que caracterice a sus elementos, en el sentido siguiente: Todo elemento de "A" cumple la propiedad "r", y todo elemento que cumple la propiedad "r" es elemento de "A".Ejemplo: R = {x/x es un número real}

El conjunto de todo los números reales esta aquí definido por comprensión, pues se ha dado una propiedad que caracteriza a sus elementos a saber. "la propiedad de ser número Real".

Se lee "R es el conjunto de los x tal que x es un número Real".


Álgebra Pag. -60

b) POR EXTENSIÓN: Diremos que un conjunto "A" esta definido por extensión , si se nombran explícitamente todos ( y cada uno) los elementos de A.

Ejemplo: Conjunto de divisores de 20.A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

PERTENENCIA:(Elemento de un conjunto)Diremos que x pertenece a "A" si, y solo si x cumple la propiedad "r", en todo los casos, la locución "x pertenece a “A". Es sinónimo de "x es elemento de A".Para indicar que x es elemento de A, ó que “x pertenece a A” se escribe:xA, se lee "x pertenece a A"Para indicar que x no pertenece a A se escribe x A

ACLARACIÓN:La relación de pertenencia se simboliza con la letra Griega E (épsilon) y vincula cada elemento con el conjunto, mas no entre elementos, ni entre conjuntos.

RELACIÓN ENTRE CONJUNTO.a) INCLUSIÓN Y SUBCONJUNTOS.- Se dice que el conjunto A es subconjunto

del conjunto B, o que A es parte de B, o que A esta incluido en B, si todo elemento de A es también elemento de B se denota por:

A B <==> (x A ==> x B).b) IGUALDAD DE CONJUNTO.- Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B

si se verifica: A B y B A ==> A = Bc) CONJUNTOS EQUIVALENTES.- Los conjuntos no vacíos A y B, se dice que

son equivalentes o coordinables. Si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre todos sus elementos, es decir que pueden formarse parejas de tal manera que cada pareja esta formada por un elemento de cada conjunto empleado todo los elementos de ambos conjuntos una sola vez. Si A y B son equivalentes => se denota por A B

d) CONJUNTO POTENCIA.- Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto de todos los conjuntos del conjunto A.Se denota por : P(A) , P(A) = {x/x A} El número de elementos de P(A) es igual a 2n, donde n es el número de elementos del conjunto A.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.a) UNIÓN (U): Unión o reunión de A y B es el conjunto de elementos x que

pertenecen a A ó a B ó a ambos, se simboliza por (A u B) y se lee "A Unión B"


Álgebra Pag. -61

A U B = { x/x A x x B}

b) INTERSECCIÓN ().- Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenece a A y a B. Esta formado por elementos comunes a los conjuntos que forman la intersección se simboliza por (A B) y se lee "A intersección B".

A B = {x/xA x B}

c) DIFERENCIA.- La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto de elementos x que pertenece a A pero no a B, se simboliza por A - B;

A - B = {x/x A x B}

d) COMPLEMENTO.- El complemento de un conjunto cualquiera B respecto a U (Universal), es el conjunto de elementos x "U" que no pertenece a B , se simboliza por:

CB ó B' = {x/x U x B}

e) DIFERENCIA SIMÉTRICA.- De los conjuntos AyB es el conjunto de elementos de A y B, excepto los que pertenecen a la intersección, esto es, que pertenece a A ó a B, pero no a ambos.

A B = {x/(xAx B) (x B x A)}

A B = (AUB)-(AB)=(A-B)U(B-A)

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. Sea A un conjunto cualquiera, el número de elemento de un conjunto se denota por n(A):

Si A y B son conjuntos cualesquiera:

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB)

Si A, B, C =>

n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)


1. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario: C = {m + n; m + 2n - 2; 10}. Calcular: m2- n2

a) 56 b) 60 c) 64 d) 68 e) 722. Por comprensión el conjunto B = {2, 3, 6, 11, 18,...} es:


Álgebra Pag. -62

a) {nN/n2 +2n+3} b) {nN/n2-2n+3} c) {nNN/n2+2n+4}d) {nN/n2-2n+4} e) {nN/n2-2n-4}

3. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?A = {xU/xU} B = {xZ/12x3 + 14x2-3x-1= 0} C = {nZ/x3=3}D = {xQ/x2-x =2}a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?a) (A B' ) U A = A b) [(A')']' =U - A c) ( A' UB' ) A = B

d) (A - B) – C = A-(BUC) e) (A' U B)- C =(AUC)'U(B-C)

5. Dado los conjuntos A; B; C, donde: A = {polígono regular}B = {cuadrilátero} C = {triangulo equilátero}¿Cuál de las regiones enumeradas en el diagrama son vacíos?

a) 1,2,3 b) 3,4,5 c) 4,5,6 d) 5,6,7 e) 2,4,6

6. Si A es un conjunto de 8n elementos, B tiene 5n elementos y se sabe que los dos tienen 2n-1 elementos en común. Hallar: [(AB)(A-B)]+[(AUB)(A-B)]a) 5n-1 b) 5n+1 c) 6n-1 d) 6n+1 e) 7n+1

7. De 150 alumnos,104 no les gusta matemática,109 no le gusta lenguaje y 70 no le gusta ninguna de estos cursos ¿A cuantos les gusta ambos cursos?a) 9 b) 10 c) 8 d) 6 e) 7

8. Un grupo de 68 personas de los cuales 25 hablan castellano,48 hablan inglés y 30 hablan francés y solo 6 de ellos hablan los tres idiomas ¿Cuántos hablan exactamente dos idiomas?


A B

C

1 32

45

6

7

Álgebra Pag. -63

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

9. Dados los conjuntos:A = {xN/x<4x es número par}B = {xZ/x<3 x>7}C = {xN/x24x8}Determine por extensión: (AUC)Ba) {6} b) {0;2;4} c) {0;2;6} d) {4} e) {2;8}

10. De las siguientes notacionesI {2, 5, 3} = {3,5,2}II {xR/x2+1=0} III {xN/2<x<3}IV A, conjunto A

Son falsas:a) II b) II y III c) I y II d) IV e)II y IV

11. El conjunto solución del conjunto: A = {x / 64x3+ 24x2 - 6x – 1 = 0} es:

a) {-1/8,1/2,-1/4} b) {-1/2,1, 1/4} c) {-4,-2,1/2} d) {2,1,-2} e){-1/8,1/2,-1/4}

12. De las siguientes proposiones:I) Si AB y BA A=BII) AU=AIII) Si AB ==>AB=AIV) AB A-BSon falsas:a) I b)II c)II y IV d) II y III e) IV

13. Si A =<-7;-1> U <0,6] B =<-,1] U [4,8>. Hallar (AUB)'a) [8,> b) <-, 0] c) <-2,8> d) [2;4] e) <0,>

14. Sean A y B dos conjuntos, tales que n (AUB)= 24 y n (A- B)=10, n(B-A) = 6. Hallar 5 [n(A)] - 4[n(B)]a) 18 b) 30 c)34 d)10 e)26

15. Sean los conjuntos A y B tal que: n(AUB) =11, n(AB') = 3, n(AB) = 2. ¿Cuántos elementos tiene? [(A B) (A B')']a)6 b)7 c)3 d)9 e)5


Álgebra Pag. -64

16. Sea A y B Conjuntos tales que B, AUB es un conjunto unitarioAUB={a+4b; b+1-3a} y A={a2+2b; b2+1}. Hallar ABa) {10} b) {2} c) {3} d) {8} e) {12}

17. Si A = {}, B = P(A), C = B-A, D = P(C). Hallar BD.a){{}} b) c) {,{}} d) {} e) U

18. Dados los conjuntos A, B y C Tales que: (AUB)={1,2,3,4,5,7} (AUC)={3,4,5,6,7}y B C = Determinar: n(A)a) 3 b) 4 c) 5 d) 7

e) 8

19. A un grupo de Alumnos de un C.E se les tomó exámenes de matemáticas, química obteniéndose al siguiente resultado:20 aprobaron matemáticas, 28 aprobaron química, 8 aprobaron los 2 cursos, 10 no aprobó ninguno. ¿Cuántos solo aprobaron matemáticas?a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

20. En un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de álgebra, 53 no llevan el curso de Psicología. Si 27 alumnos no siguen álgebra ni Psicología. ¿Cuántos exactamente los dos cursos?a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

21. Si U = {x/x Z0 x < 10}, (AUB)' = {0,6,9}, AB = {1,2,7} A - B ={3,5}. ¿Cuál es la suma de los elementos de B-A ?a) 13 b) 4 c)12 d)10 e)5

22. Indica cuántos elementos tiene el conjunto potencia de: A = {x,{x,y}}a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

23. Si "n" Significa el # de elementos siendo AyB dos conjuntos, tales que:n(AUB) = 30 n(A-B)=12 y n(B-A)=8.Hallar 5[n(A)]- 4[n(B)]

a)38 b)60 c)48 d)70 e)100

24. Marque la afirmación falsa:a. A A' = 0b. A U A' = U


Álgebra Pag. -65

c. A - B = A B'd. (A B) - C = (A - C) (B - C)e. A - B B - A

25. De un grupo de 100 soldados que intervienen en una batalla, 30 quedaron ilesos, 40 heridos en los brazos y 40 heridos en las piernas. Hallar el número de personas heridas en los brazos y piernas.a) 30 b) 20 c) 10 d) 15 e) 18

26. Del total de damas de una oficina, los 2/3 son morenas, 1/3 tienen los ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. ¿Qué fracción no son morenas ni tienen los ojos azules?.a) 3/10 b) 1/10 c) 1/30 d) 7/10 e) 1/5

27. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de Aritmética, 53 no llevan Algebra y 27 no llevan Algebra ni Aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos?a) 25 b) 27 c) 43 d) 48 e) 52

28. De 80 personas se conoce que: 25 mujeres tienen 18 años, 36 mujeres no tienen 19 años, 30 mujeres no tienen 18 años, 15 hombres no tienen ni 18 ni 19 años. ¿Cuántos hombres tienen 18 o 19 años?a) 15 b) 10 c) 11 d) 19 e) 55

29. Se han dado tres conjuntos A,B y C; que tienen respectivamente n, 3n y (n-1) elementos. A y B tienen (n/2) elementos comunes, A y C tienen (n/4), B y C tienen 2. Sabiendo además que hay un único elemento común a los tres conjuntos. Averiguar cuántos elementos tiene [(AUB) - (A B)] - C.a) 3/4 b) n/4 c) 11n/4 d) 5n/2 e) 11/4

30. Marque la afirmación falsa:a) Si A B = A y B son disjuntos b) A B A - B = c) (A B)' = A' U B' d) - A e) A B B' A'

31. Dado el conjunto:A = {x/(x + 8)2 = 9}B = {x/(x2+16)2 = 172}


Álgebra Pag. -66

C = {x/x3 - 2x2 - x = -2}D = {x/x4 - 2x3 - 3x2 + 4x = -4}Hallar (A B) (C D)

a) {2;4} b) {-1;2} c) {-1; 1;2} d) {1} e) {2;1}

32. Rocío del Pilar estudió Inglés o Francés durante el mes de Noviembre. Si estudia Inglés durante 25 días, Francés durante 18 días ¿Cuántos días estudió ambos cursos en el mes de Noviembre?.a) 15 b) 13 c) 12 d) 5 e) 30


Álgebra Pag. -67

CAPITULO IX

TEORÍA DE NUMERACIÓN

NUMERACIÓN: Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números.

1.1 NOCIONES PRELIMINARESA) Número. Es un ente matemático carente de definición que nos da la idea de

cantidad, el cuál nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza.B) Numeral. Es la representación simbólica o figurativa del número.C) Cifra (Digito). Son los símbolos que convencionalmente se utilizan para

representar a los numerales.D) Orden. Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden

determinado el cuál se considera de derecha a izquierda. El lugar que ocupa una cifra se indica de izquierda a derecha.

Lugar 123456Numeral: 485173

654321 Orden

1.2. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN. Es un conjunto de principios, normas, convenios y leyes que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números.

1.3. BASE DE UN SISTEMA. Es un numeral referencial que indica como deben agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración.

Ejemplo: Representar el número 17 en las bases: 10; 5 y 3

* *

17


* * ** * ** * *

* * ** * *

** * * * * **

* * * * *

* * * ** * * * * ** * * * * ** * * * *

Álgebra Pag. -68

De las representaciones observamos:

1.4. CONCLUSIONES. A) A mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numerale aparente le corresponde mayor base.

como: n < k

B) Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base.Si: {a; b; c; d} ; ; n > 1;

Además a; b; c; d < n

PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERACIÓN

BASE NOMBRE DEL SISTEMA

CIFRAS DISPONIBLES

23456789101112

BINARIOTERCIARIOCUATERNARIOQUINARIOSENARIOHEPTANARIOOCTANARIONONARIODECIMALUNDECIMALDUODECIMAL

0;10;1;20;1;2;30;1;2;3;40;1;2;3;4;50;1;2;3;4;5;60;1;2;3;4;5;6;70;1;2;3;4;5;6;7;80;1;2;3;4;5;6;7;8;90;1;2;3;4;5;6;7;8;α0;1;2;3;4;5;6;7;8;α;β

C) En base “n” se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; … ; (n - 1)

Cifra no Cifras SignificativasSignificativa Máxima cifra

Mínima cifra


+

+ -

-

Álgebra Pag. -69

d) Por convención, cuando la cifra es mayor que “9” se utiliza letra para su representación.

Alfa < > (10)Beta < > (11)Gamma < > (12)Delta < > (13)Epsilon < > (14)

Así: 5(12)4(11)(10)7(15) =

Del Valor de las CifrasToda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 valores.

1. Valor absoluto (V.A). Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura.

2. Valor Relativo (V.R). Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.

V.A (4) = 4 V.A (7) = 7 V.A (6) = 6 V.A (8) = 84 7 6 8

V.R (8) = = 8

V.R (6) = = 60

V.R (7) = = 700

V.R (4) = =4000

REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERALCuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:

Toda expresión entre paréntesis representa una cifra La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero. Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo

señalen.


Álgebra Pag. -70

Para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca un raya horizontal arriba de las letras.

Numeral de Multiplicación 3 cifras De 3 factores

NUMERAL CAPICÚA. Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales, es decir tiene representación simétrica de sus cifras.

* , etc.

PALABRAS POLINDROMAS. Son aquellas palabras que representan al numeral capicúa.

* ; etc

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL

*

*

*

*

DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES

* *

*

*


01. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda:I. Existen infinitos sistemas de numeraciónII.En base “k” la mayor cifra es (k - 1)


Álgebra Pag. -71

III. Si entonces la solución de la ecuación 2m + 2 = 10, puede ser base del número dado.

IV. Si tiene todas sus cifras diferentes, el valor de k puede ser 4.

A) VFFV B) VVFV C) VFVV D) FFFF E) VVVV

02. Un número capicúa de tres cifras de base 10 es un número de 4 cifras iguales en base 6. Hallar la suma de las cifras del 1er número.A) 20 B) 15 C) 21 D) 18 E) 12

03. Si los siguientes numerales están correctamente escritos: ; ; y

Calcule la suma de las cifras al expresar en el sistema nonario.A) 10 B) 14 C) 12 D) 16 E) 17

04. Si: Calcule m + n + pA) 15 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

05. Calcular “a + b + c + n” si:

A) 17 B) 22 C) 25 D) 27 E) 19

06. Si . Halar .A) 23 B) 22 C) 20 D) 21 E) 19

07. Si

Calcule: n + m + p + qA) 14 B) 15 C) 6 D) 7 E) 8

08. Si : , calcular “b”.Si m > 5A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 3

09. Si Calcule a + bA) 8 B) 5 C) 4 D) 6 E) 10

10. Hallar a + b + c Si:


Álgebra Pag. -72

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 911. Hallar:

+

A) 110 B) 120 C) 150 D) 170 E) 180

12. Se cumple: . Hallar x + 2A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

13. ; Hallar “a”A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14.Calcule: a + b + nA) 13 B) 14 C) 12 D) 15 E) 11

15. Si . Hallar el valor de :

A) 20 B) 27 C) 28 D) 29 E) 23

16. Sea: ¿Cómo se escribe dicho número en base 17?.

De cómo respuesta la suma de sus cifras.A) 27 B) 26 C) 25 D) 24 E) 20

17. Si: Además se sabe que: a + b + c = 24, calcule: (a x b x c)A) 24 B) 354 C) 504 D) 453 E) 405

18. Calcule: “a” si:

= 98

A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9


30 veces

20 veces

a veces

Álgebra Pag. -73

19. Si: Calcule: a + b + cA) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

20. Dos calculadoras A y B procesan sus datos numéricos en los sistemas duodecimal y octanario. Se les da N datos a cada uno, registrando como cantidad de datos, la máquina A ha un número capicúa de 3 cifras cuya cifra central es la unidad, la máquina B un número de 3 cifras consecutivas. Calcule el valor de N.A) 123 B) 203 C) 402 D) 234 E) 302

21. Determine un número de 2 cifras del sistema duodecimal, que sea igual a la suma de todas las cifras de dicho sistema, excepto las dos cifras del número. De cómo respuesta la suma de sus cifras.A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 13

22. Si se cumple:

Calcule: (a + b + c + m + k)A) 11 B) 19 C) 24 D) 25 E) 27

23. Si: Calcule: “b” en:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

24. Existen 2 valores de a: que cumplen:

Dar su diferencia.A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

25. Si se cumple:

Calcule: (a + b + c + n) máx.A) 104 B) 106 C) 108 D) 110 E) 160


Álgebra Pag. -74

26. Si: y

Hallar. A) 8 B) 9 C) 27 D) 64 E) 25

27. Calcule “a”, si:

= 828

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

28. Halle en el sistema de numeración de base cinco, un número de 3 cifras tal que al invertir el orden de sus cifras quede duplicado.A) B) C) D) E)

CLAVES:

01. B 11.D 21.D02.C 12.D 22.D03.E 13.C 23.B04.E 14.B 24.C05.C 15.C 25.C06.A 16.A 26.C07.C 17.C 27.E08.C 18.C 28.B09.D 19.C10.C 20.E


“a” veces

Álgebra Pag. -75

CAPÍTULO X

TEORÍA DE DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD: Un número entero “A” es divisible entre otro número entero positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” la división es entera y exacta.En General: Sean ; ;

“A es divisible entre B” “B es divisor de A”

Por el algoritmo de la División

“A es múltiplo de B” “B es factor de A”

“A es múltiplo del módulo B”

Conclusiones:1.Todo número entero positivo será múltiplo de sí mismo.

;

2.El cero es múltiplo de todo número entero positivo

;

CANTIDADES NO DIVISIBLESSi “A” no es divisible entre “B”

DEFECTO EXCESO

A =

NOTA:


A B

O K

A = BK

A = = BKo

B

A B

rd K

A B

re K+1

A = B(K) + rd A = B(K+1) + re

Álgebra Pag. -76

PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD.

Las operaciones aritméticas elementales respecto a los múltiplos de un mismo módulo son:

A) ADICIÓN:

B) SUSTRACCIÓN:

C) MULTIPLICACIÓN: ;

D) POTENCIACIÓN: ;

E) Si N = a.b.c

N

F)

N =

G)

N =

H) PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Si : A x B =

Donde “A” y “n” no tienen divisores en común, aparte de la unidad, entonces:

I) Si:


Álgebra Pag. -77

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

A) ;

B)

RESTOS POTENCIALES:Determinar los restos potenciales de 4 respecto al módulo 7

g = 3

g = 3


01. Halle el residuo de dividir “R” entre 7.


Álgebra Pag. -78

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

02. Si: . Hallar “n”

A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 0

03. Determine la suma de los valores posibles de “n”. Si al ser dividido entre 7 deja como residuo 2A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17

04. ¿Cuántos múltiplos de 6 terminados en 2 existen entre 120 y 1236?A) 18 B) 19 C) 36 D) 37 E) 38

05. Un numeral , otro numeral . Si el primero se divide entre el

segundo el residuo es cero. ¿Cuál puede ser el mínimo valor positivo del cociente?A) 18 B) 15 C) 7 D) 12 E) 4

06. ¿Cuántos números son en los 3000 primeros enteros positivos?

A) 175 B) 176 C) 177 D) 178 E) 180

07. El número se convierte al sistema octal. ¿Cuál es la última cifra de dicha representación?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

08. Cuál es el menor número N de 3 cifras, tal que sea múltiplo de 5 más 2. Dé como respuesta la suma de sus cifras.A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11

09. A una fiesta de promoción asistieron 400 personas entre varones y mujeres. Del total de las mujeres asistentes se observó que la sexta parte de ellas tienen cabello largo, que los 3/8 de ellas usan aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión?A) 128 B) 132 C) 136 D) 264 E) 252

10. Si 2a + b es divisible por 7, entonces cuál es el residuo de dividir 100a + b entre 7.


Álgebra Pag. -79

A) 5 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0

11. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes ¿Cuántos hombres no usan lentes?A) 22 B) 28 C) 2 D) 20 E) 4

12. Calcule la cifra de menor orden cuando se expresa en base 8.A) 2 B) 5 C) 1 D) 7 E) 3

13. A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre americanos y europeos, entre los europeos los 2/7 son médicos, los 5/6 son ingenieros y los 3/5 son abogados.¿Cuántos americanos asistieron a dicha convención?A) 190 B) 110 C) 150 D) 180 E) 120

14. Si: y

Halle m x pA) 25 B) 24 C) 30 D) 36 E) 18

15. Si ,

Calcule la suma de los valores de “a” para que sea múltiplo de 3.A) 21 B) 27 C) 30 D) 33 E) 23

16. Si: a + b + c = 6Entonces siempre será múltiplo de:A) 11 B) 7 C) 13 D) 27 E) 74

17. Halle el mayor número de 4 cifras, tal que al ser dividido entre 18; 15; 12 y 11 deje como residuos: 11; 8; 5 y 4 respectivamente. De cómo respuesta la suma de sus cifras.A) 29 B) 30 C) 32 D) 34 E) 35

18. Si el siguiente numeral es divisible entre 9 y 11, halle el valor de a + b.A) 4 B) 5 C) 13 D) 18 E) 23

19. A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300; si 2/11 de los asistentes son mayores de edad; los 5/17 de los mismos son limeños. ¿Cuántos no son limeños?A) 22 B) 55 C) 77 D) 132 E) 158


Álgebra Pag. -80

20. Si , calcular la suma de los posibles valores de

A) 257 B) 258 C) 285 D) 256 E) 275

21. Si

Calcule el residuo al dividir N entre 8.A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7

22. Si a un numeral de 4 cifras consecutivas crecientes se le suma 988, el resultado es divisible por 44, halle la cifra del cuarto orden de dicho numeral.A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

23. Cuántos numerales de 3 cifras son múltiplos de 2, pero no de 3 ni de 5.A) 241 B) 240 C) 239 D) 238 E) 242

24. Calcular el residuo al dividir entre 7.A) 6 B) 5 C) 2 D) 3 E) 4

25. Si el complemento aritmético de un número de 4 cifras iguales es múltiplo de 7, halle la suma de las cifras del número.A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28

26. Determine un numeral mayor que 4000, pero menor que 4500, tal que sea divisible por 8; pero si se le suma “1” se convierte en múltiplo de 9 y si se le suma “1” más se convierte en múltiplo de 10. De cómo respuesta su cifra de tercer orden.A) 8 B) 6 C) 2 D) 3 E) 4

27. Si , a > c. Calcule la suma de los valores de (a + b +

c)A) 9 B) 11 C) 142 D) 143 E) 145

28. ¿Cuántos números de 3 cifras son tales que siendo al invertir el orden de

sus cifras resultan ?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

29. Calcule el residuo por exceso al dividir “a” entre 31, si:


Álgebra Pag. -81

A) 22 B) 9 C) 4 D) 27 E) 8

30. Dos calculadoras A y B procesan sus datos numéricos en los sistemas duodecimal y octanario , se les da N datos a cada uno , registrando como cantidad de datos, la máquina A a un número capicúa de tres cifras cuya cifra central es la unidad, la máquina B un número de tres cifras consecutivas. Calcule el valor de NA) 123 B) 203 C) 402 D) 234 E) 302

CLAVES

01.A 11.D 21.D 02.E 12.B 22.B03.D 13.A 23.B04.C 14.C 24.E05.C 15.D 25.C06.B 16.E 26.D07.C 17.A 27.E08.A 18.B 28.C09.C 19.D 29.B10.E 20.C 30.E


Álgebra Pag. -82

CAPÍTULO XI

NÚMEROS PRIMOS, MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO

COMÚN DIVISOR

1. NÚMEROS PRIMOS

NÚMERO PRIMO ABSOLUTO SIMPLE. Es aquel número que tiene

sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad Ej.:

2 3 5 23....etc.

Divisores 1 2 1 3 1 5 1 23

NÚMEROS COMPUESTOS. Son aquellos números que tienen más de dos divisores. Ej.

6 divisores: 1, 2, 3, 6 30 divisores: 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30.

NOTA: El número 1 no es primo ni compuesto por tener sólo un divisor.

- La serie natural de los números primos absolutos es ilimitado.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) llamados también primos

relativos; se denominan así al conjunto de números que tienen

como único divisor común, la unidad. Ej.:

a) 3 y 7 (divisor común 1)

b) 27, 45, 36, 3 (divisor común 1)

2. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO ABSOLUTO

Ejemplo: ¿El número 157 es primo?

Paso 1. Estudiemos la raíz cuadrada del número dado tomando sólo la parte

entera.

Así: = 12, 52996409 sólo tomamos la parte entera

LA PARTE DECIMAL

PARTE ENTERA


Álgebra Pag. -83

Paso 2. Dividimos el número dado entre todos los números primos menores o

iguales a 12 (en este caso no tenemos 12 porque es primo).

Paso 3. Si todos los divisores afectados son inexactos, el número dado es

primo.

3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Todo entero positivo mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de dos factores primos diferentes, entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única y se le denomina “Descomposición Canónica”. Ejemplo:Expresar 540 en su descomposición canónica540 2270 2135 345 3 540 = 22 x 33 x 515 35 5 Números Primos Absolutos1 1

4. CÁLCULO DEL TOTAL DE DIVISORES DE UN NÚMERO:

Sea el número compuesto N expresado en función de sus factores primos.

Números Primos Absolutos

La cantidad de N estará dado por:

5. SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO

Del ejemplo anterior.


Álgebra Pag. -84

6. PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO

7. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO


1. Hallar un número de la forma: 9 x 10n que tenga 27 divisores :a)90 000 b)9000 c)90000 d)90 e)900

2. Si: N=32x.5x tiene 15 divisores ¿Cuánto vale x?

a) 2020 b)2025 c)2030 d) 2080 e) 2040

3. Cuántos divisores tiene N? Si N=1410-148

a) 99 b) 2025 c)648 d)1448 e) 2040

4. ¿Cuántos divisores de 1052 son múltiplos de 25?a) 9 b)10 c)12 d)13 e) 14

5. Si el número N=12m.36p tiene 30 divisores compuestos. ¿Cuántos divisores tiene

en total?

a) 29 b)30 c)31 d)32 e)33

6. Si: , tiene 114 divisores compuestos, hallar el valor

de “n”.

a) 3 b)4 c)5 d) 6 e)77. Si el numeral: E = 6ª+2 - 6a, tiene 324 divisores ¿Cuántos divisores pares tiene a3?

a) 7 b)9 c)11 d) 8 e)10

8. Si F = 4ª+1+4ª+4ª-1, tiene 68 divisores hallar el valor de “a”

a) 10 b)9 c)13 d) 14 e)15


Álgebra Pag. -85

9. Dado los números: N= 36 x 63n y M= 63 x 36. Además:

hallar el Valor de “n”.

a) 6 b)7 c)8 d) 4 e)5

10. Hallar el menor número que tengo 15 divisores. Dar como respuesta la cifra de

las decenas del número.

a) 4 b)3 c)2 d) 1 e) 0

11.¿Cuántos números son primos absolutos?

35(8) 70(9) 7

a) 1 b)2 c)3 d) 4 e)5

12. Hallar un número N = 12n.15n sabiendo que tiene 75 divisores dar como

respuesta la suma de las cifras de N.

a) 18 b)15 c)9 d) 27 e)21

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El M.C.D. de varios números naturales es otro natural que cumple dos

condiciones:

1. Es divisor común de los números dados.

2. Es lo mayor posible.

Ejemplo:

Sean los números 24 y 40

Número Divisores

24 1,2,3,4,6,8,12,24

10 1,2,5,8,10,20,40

1° Sus divisores comunes 1,2,4,8

2° El mayor es 8


M.C.D=8

Álgebra Pag. -86

DETERMINACIÓN DEL M.C.D.

1. POR FACTORIZACIÓN INDIVIDUAL.

Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman

únicamente los factores comunes afectados de sus menores exponentes. Ej.

Sean los números A, B, y C descompuestos en sus factores primos:

A = 23.32.53.7

B = 24.52.7C = 25.53.72

2. POR FACTORIZACIÓN SIMULTÁNEA

Los números propuestos se dividen simultáneamente por un factor primo común,

los cocientes se dividen nuevamente por un factor común y así sucesivamente

hasta que los concientes sean primos entre sí.

Ej.: Hallar el M.C.D : 120-180:320

120 180 320 2

60 90 160 2 M.C.D.(120; 180; 320)=22X5 = 20

30 45 80 5

6 9 16

3. ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES SUCESIVAS

Para hallar el M.C.D. de varios números se toman los dos menores y se divide

el mayor entre el menor y si la división es exacta, el menor es el M.C.D.

Ejemplo

Hallar el M.C.D de 1534 y 403.

403 325

78 1 3 1 4 6

1843 403 325 78 13 325 78 13 0

° °° EL M.C.M = 13


M.C.D (A, B, C)=23X52.7

Álgebra Pag. -87

PROPIEDADES DEL M.C.D

1° Si A y B son P.E.S.I : M.C.D. (A,B) = 1

2° Si A es múltiplo de B, el M.C.D de A Y B es B

3° Si se dividen varios números entre su M.C.D. los cocientes obtenidos son

números P.E.S.I.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLOEl M.C.M. de varios números naturales es aquel número natural que cumple que cumple las condiciones:

1. Es un múltiplo común de todos 2. Es el menor posibleSean los números 4 y 6

Múltiplos común

12,24,36….

Luego el M.C.M es 12

DETERMINACIÓN

a. POR FACTORIZACIÓN INDIVIDUALb. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTANEA

PROPIEDADES DEL M.C.M

1° Sean 2 números A y B P.E.S.I el M.C.M de ellos es su producto Ej. 7 y

5 son P.E.S.I M.C.M = 35

2° Si A es múltiple de B el M.C.M de ellos es el mayor.

3° Los cocientes de dividir el M.C.M de conjunto de 2 o mas enteros positivos entre

cada uno de ellos, son siempre PESI sean los números: 10, 12 y 15

Luego 60 = 6 60= 5 60 = 4 M.C.M = 60

10 12 15

P.E.S.I


N° MULTIPLOS

4 4,8.12.16.20.24.28.36...

6 6.12.18.24.30.36.42...

Álgebra Pag. -88

4° “El producto de 2 números es igual al producto de M.C.D en el M.C.M de ellos”

ejemplo: sean los números 12 y 15

M.C.D = 3 y M.C.M =

12X 15 = 3 x 60

5. El recordamos la propiedad del M.C.D

A = M.C.D . y B = M.C.D = β

Donde y β : P.E.S.I

Luego el M.C.M es el producto de los factores común y no comunes


13. Si M.C.D (A,B)= 72N y M.C.D (B.C) = 60 N. Hallar“N”; si el M.C.D (A,B,C)=84

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

14. La suma de 2 números es 224 y su M.C.D es 28. hallar el número mayor:

a. 196 b. 140 c. 178 d. 168 e. 156

15. Hallar el valor de a² si M.C.D ab y (a+1)(b+1)= 132

a. 1 b. 4 c. 9 d. 16 e. 25

16. El M.C.D (A, 80) = 4

¿Cuántas valores toma “A” si es menor que 80?

a. 7 b. 6 c. 8 d. 9 e. 10

17. Si M.C.D (A.B) = 54 M.C.D (B, C) = 36. Calcular: M.C.D (A, B, C)

a. 9 b. 36 c. 18 d. 54 e. 72


AXB = M.C.D X M.C.M

M.C.M = M.C.D. . β

87

Álgebra Pag. -89

18. En un colegio hay menos de 700 alumnos. Si se cuenta de 6 en 6, de 8 en 8, de

10 en 10 y de 12 en 12 siempre sobran 5, pero si se cuentan de 11 en 11 no

sobro ninguno. ¿Cuántos alumnos hay?

a. 125 b. 245 c. 605 d. 365 e.485

19. La edad en años que tiene un individuo es múltiple de 10 menos 1 ¿Qué edad

es esa?

a. 99 b. 96 c. 69 d. 79 e. 119

20. El M.C.M de ab y 42 es (a+b) hallar b-a si dicha cifras son significativas

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 1

21. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles a la vez por 4, 5, 6 y 8?

a. 5 b. 7 c. 6 d. 8 e. 9

22. Una fiesta se celebra cada 12 años en un pueblo, cada 15 años en otro y cada

22 años en otro. Determínese al cabo de cuantos años se celebra simultanea la

fiesta en los 3 pueblos, suponiendo que se toma el mismo punto de partida.

a. 660 b.540 c.440 d.420 e.220

23. El máximo en un divisor de dos números es de 12 y los cocientes sucesivos son

8, 1 y 3 hallar los números.

a.420 y 36 b.420 y 48 c.240 y 48 d. 420 y 84 e.120y 360

24. El número de paginas de un libro es mayor que 400 y menor que 500. si se

cuenta de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobra 2, de 5 en 5 sobra 4y de 7 en 7 sobra

6 ¿cuántas paginas tiene el libro?

a. 483 b.436 c. 419 d.497 e.457


Álgebra Pag. -90

25. ¿Cuál es el menor número que divide sucesivamente entre 9, 12 y 15 deje

siempre 8 por residuo?

a.177 b. 166 c. 153 d. 188 e. 192

26. Sabiendo que: M.C.M (n; n+1 = 90) ; Hallar el M.C.M (n+3; 2n+2)

a. 240 b. 120 c. 60 d. 48 e. 180

27. Hallar dos números sabiendo que su producto es igual a 8 veces su M.C.M y

que su suma es igual a 6 veces su M.C.M

a. 6 y 36 b. 8 y 64 c. 8 y 40 d.12 y 48 e. 16 y 8

28. Si N = 14.10n+1 .15n y se sabe que N tiene 18 divisores múltiplos de 21 pero no

de 5. Hallar “n”

a. 2 b. 4 c. 3 d. 1 e.5

29. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210, 300 y 420 litros de

capacidad en un vaso que sean iguales entre si. ¿Cuál es la menor cantidad de

envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar

aceite?.

30. Si N = 440000...000 ¿Cuántos divisores son múltiplos de 55 pero no de 2?

12 cifras

a. 10 b. 12 c. 96 d. 130 e. 64

31. Hallar un número F = 2p . 7q sabiendo que si se divide entre 4 su número de

divisores se reduce a su tercera parte y se multiplica por 14 se duplica su

número de divisores.

a. 14 b. 28 c. 98 d. 196 e. 1372


Álgebra Pag. -91

32. Hallar c + t, si en el cálculo del M.C.D de coco y toto se hallaron los siguientes

cocientes sucesivos: 1, 1 y 4 (c y t son P.E.SI).

a. 12 b. 14 c. 15 d. 9 e. 13

33. Si: M.C.D (A,B) = 14 m M.C.D (C,D) = 21 m. M.C.D (A,B,C,D) = 42 Hallar “m”a. 7 b. 6 c. 14 d. 21 e. 12

34. El cociente de 2 números es 13 y además el M.C.D de ellos es 559. Hallar el M.C.D de dichos números.a. 43 b. 86 c. 443 d.71 e. 53

35. Hallar la diferencia de 2 números enteros sabiendo que es un producto es 3456 y que el cuadro del M.C.D es la mitad del M.C.D.a. 80 b. 76 c. 60 d. 96 e. 72

36. Si F = 4a+1 + 4ª + 4a-1 tiene 68 divisores. Hallar el valor de “a”.

a. 10 b.9 c. 13 d. 14 e. 15

37. ¿Cuántos ceros tiene el m.c.m de 120100. 150200. y 140300?

a. 300 b. 400 c. 401 d. 399 e. 402


Álgebra Pag. -92

CAPÍTULO XII

RAZONES Y PROPORCIONESRAZÓN:Es el resultado de la comparación de dos cantidades. Para compararlos se pueden seguir dos caminos:a) Razón Aritmética.- La comparación se hace mediante una

diferencia, para saber en cuanto es mayor la 1ra que la 2da.a = Antecedenteb = Consecuenter = Razón

b) Razón Geométrica.- La comparación se hace mediante una división, para saber cuantas veces la 1ra contiene a la 2da.a = Antecedenteb = Consecuentek = Razón Geométrica

Serie de Razones Geométricas Continuas

Serie de Razones Geométricas Equivalentes

PROPIEDADES:

a)

b)


Álgebra Pag. -93

c)

PROPORCIÓN:Es la igualdad de dos razones aritméticas o geométricas y se tiene dos clases:a) Proporción Aritmética (Equidiferencia).- Es la igualdad de dos razones

aritméticas dadas:

b) Proporción Geométrica (Equicociente).- Es la igualdad de dos razones geométricas

Se lee: “a es a b como c es a d”a , c = Antecedentes b , d = Consecuentesa , d = Términos extremos b , c = Términos medios

CLASES DE PROPORCIÓN:

1. Proporción Aritmética Discreta: Cuando todos los términos son diferentes entre sí, o sea:

d = Cuarta diferencial

2. Proporción Aritmética Continua .-Cuando los dos términos medios son iguales, o sea:

De donde se obtiene:

b = Media Aritmética o media diferenciald = Tercera Diferencial

3. Proporción Geométrica Discreta .- Cuando todos los términos son diferentes entre sí, o sea:


Álgebra Pag. -94

d = Es la Cuarta Proporcional

4. Proporción Geométrica Continua .- Cuando los términos medios son iguales, o sea:

De donde se obtiene

b = Media proporcionald = Tercera proporcional

PROPIEDADES DE UNA PROPORCION GEOMETRICA:

En: Se verifica que:

a)

b)

c)

d)

MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL


Álgebra Pag. -95

MAGNITUD: Es aquella propiedad, mediante la cual un objeto, puede ser medido o expresado en forma cuantitativa. Por ejm: El tiempo puede ser medido en horas, minutos o segundos. CLASES DE MAGNITUDES PROPORCIONALESa) Magnitud Directamente Proporcional.- Dos magnitudes A y B son

directamente proporcionales cuando el cociente de cada par de sus valores, son iguales.Valores de A:

Valores de B:

Entonces para que A y B sean directamente proporcionales, se debe cumplir que:

c) Magnitud Inversamente Proporcional.- Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales, cuando los productos de cada par de sus valores, son igualesValores de A:

Valores de B: Entonces para que A y B sean inversamente proporcionales, se debe cumplir que:

PROPIEDADESa) A D.P. B = B D.P. Ab) A I.P. B = B I.P. Ac) A I.P. B A D.P. (1/B)d) A D.P. B

A D.P. C A D.P. BCD

A D.P. Ce) A D.P. B

A I.P. B

REP ARTO PROPORCIONAL


Álgebra Pag. -96

Es aquel procedimiento de cálculo, que nos permite dividir una cierta cantidad, en partes proporcionales a otras cantidades.

CLASES DE REPARTO PROPORCIONAL:a) Reparto Simple Directo: Repartir N directamente proporcional a los

índices: a,b,c DP CANTIDADES a 1º a x k N b 2º b x k c 3º c x k

( a + b + c)

b) Reparto Simple Inverso: Repartir N inversamente proporcional a los índices a, b, c

IP DP CANTIDADES

a 1º r x k

N b 2º p x k

c 3º q x k

m.c.m.: M (r + p + q)

c) Reparto Compuesto: Es la combinación de dos o mas repartos a la vez.Así:

N D.P.

Observación: Si los índices de todo reparto se les multiplica o divide por una misma cantidad, el reparto no se altera.

REGLA DE COMPAÑÍA


Álgebra Pag. -97

Objetivo.- Repartir proporcionalmente las ganancias o pérdidas habidas en un negocio entre los participantes en él, aportando sus capitales.

Caso Datos Solución

I

Cuando los capitales invertidos y los tiempos de imposición son iguales

Las ganancias o pérdidas se reparten por partes iguales entre los socios

IICuando los capitales son distintos y los tiempos iguales

Las pérdidas o ganancias son proporcionales a los capitales, independientemente del tiempo de inversión

IIICuando los capitales son iguales y los tiempos distintos

Los beneficios son proporcionales a los tiempos

IVCuando los capitales y los tiempos, son desiguales entre sí.

Las pérdidas o ganancias son proporcionales a los productos de los tiempos por los capitales

SIMPLE COMPUESTOCuando las partes repartidas son proporcionales a números simples

Cuando las partes repartidas, son proporcionales a los productos de varios números.

PROBLEMA GENERALRepartir “S” en partes que sean directamente proporcionales a

. Calcular:

Solución:1° Sabemos que: S=

2° Como: son directamente proporcionales a

se debe cumplir que:

k = Constante de proporcionalidad

3° Y por propiedad:


Álgebra Pag. -98

Si = Suma de Indicadores

4° De donde se obtiene: ...


1. Un piloto observa que el número de aviones es al número de barcos como 7 es a 6 pero ala vez el timonel nota que el número de aviones es al número de barcos como 8 es a 5. Hallar la diferencia entre el número de aviones y barcos

a) 7 b) 4 c) 1 d) 6 e) 2

2. En una progresión geométrica de razón 3, la suma de los términos de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la primera razón en 56. Determinar la diferencia de antecedentes}

a) 38 b) 46 c) 62 d) 42 e) 54

3. En un corral hay “n” aves entre canarios y gorriones. Si el número de canarios es a “n” como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de canarios y el número de gorriones es 18. ¿Cuál será la relación entre canarios y gorriones?

a) 1/2 b) 5/7 c) 4/5 d) 3/5 e) 9/10

4. En una proporción geométrica continua la razón de la proporción es igual a la media proporcional y la suma de los cuatro términos de la proporción es 169. Determinar la diferencia entre los extremos.

a) 147 b) 143 c) 145 d) 141 e) 142

5. Dada la siguiente serie: , calcular:

a) k b) k/5 c) k/9 d) 1/k e) 3k/4


Álgebra Pag. -99

6. En una serie de 4 razones geométricas continuas equivalentes la suma de sus términos diferentes excede a la suma de los extremos en 310. ¿Calcular la diferencia de los extremos?

a) 127 b) 1252 c) 2052 d) 527 e) 1248

7. La edad de un padre y la de sus dos hijos forman una proporción geométrica continua cuya razón es un número entero si la suma de dichas edades es 93. Dar como respuesta la diferencia de las edades de sus hijos.

a) 8 b) 15 c) 24 d) 12 e) 21

8. En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Calcular el menor de los términos medios si la suma de los consecuentes es 27a) 18 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12

9. En un salón de clases, antes del receso el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es de 7 a 4. Hallar cuantas mujeres había antes del receso.a) 15 b) 20 c) 25 d) 28 e) 30

10. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que: A es D.P. a ; A es I.P. a C2. Cuando A = 8, B = 16, C = 6; Calcular B si A = 9 y C = 4 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

11. A determinada hora de un día soleado, la longitud de la sombra de una varilla vertical es DP a su longitud. Un basquetbolista que mide 2,2 mts proyecta una sombra de 1,21 mts ¿Cuántos centímetros medirá un enano de un circo que proyecta una sombra de de 65 cms de longitud, a la misma hora y en el mismo lugar?a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

12. Un grupo de estudiantes acuerdan hacer un viaje pagando cada uno el transporte en partes iguales, cuyo costo total es S/.150. A último momento deciden viajar otros 5 reduciendo el pago en S/. 1,50 ¿Cuántos alumnos viajan realmente y cuánto paga cada uno?a) 20; 7,50 b) 30; 5 c) 25; 6 d) 10;15 e)25; 15


Álgebra Pag. -100

13. Dos mendigos piden limosna en forma IP al cuadrado de su edad y en forma directa a su apetito. Hoy poseen un apetito de 16 a 20; además sus edades son 8 y 10 años respectivamente y si luego de dos años su relación de apetitos se invierte; hallar la relación de sus razones geométricas de sus limosnas ahora y dentro de dos años.

a) 5/4 b) 9/5 c) 25/36 d) 9/4 e) 9/20

14. El producto de de la suma de la mayor y menor de las partes por la parte intermedia que resulta de repartir un número directamente proporcional a 3, 5 y 7 es 45000. Hallar dicho número. a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500

15. Un padre reparte S/.8,91 entre sus hijos en forma DP a los promedios de notas que obtuvieron y que fueron 15,3; 14,4 y 12,6 e IP a las faltas que tuvieron durante el año que fueron 3; 2 y 3 respectivamente ¿Cuál es la diferencia de lo que recibieron el segundo y el tercero?a) 1,62 b) 17 c) 16,98 d) 15 e) 18

16. Un señor inicia una empresa con un capital de 60000, para conseguir más capital se asocia con 3 personas en distintas fechas que aportaron 48000; 75000 y 50000. Después de 1 año y 8 meses se separan y cada uno recibe la misma parte de las utilidades ¿Cuántos meses estuvo en la empresa el socio que aportó mayor capital?

a) 20m b) 16m c) 15m d) 14m e) 4m

17. Un joven que vive en el último piso de una casa, en una de sus salidas baja los escalones de 2 en 2 y lo sube de 3 en 3. Si en total dio 100 pasos. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? a) 210 b) 180 c) 150 d) 120 e) 90


ÁLGEBRA.PROBLEMAS Y TEORÍA VARIADOS

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