Función Proposicional

Sea ( A, P(x) ) Una función proposicional. Se llama dominio de verdad de esta función proposicional

al conjunto formado por todos los elementos A de a tales que P(a) es verdadera.

El cuantificador universal

Indica que algo es cierto para todos los individuos. Sea A una expresión y sea x una variable, si

deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

• (∀x) es cuantificador universal

• A es el ámbito (alcance) del cuantificador.

• El símbolo ∀ se lee “para todo”.

Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:

El cuantificador existencial

Indica que todas las funciones proposicionales que se escriben a su derecha se verifica para por lo

menos un valor considerado para la variable o variables de la función proposicional

Le escribiremos simbólicamente del modo siguiente:

El Cuantificador Existencial de unidad

Cuando sólo hay un elemento en el conjunto que cumple con la proposición se escribe !x:p(x), se

lee existe un único x tal que p(x) es verdadero.

Se leera de cualquiera de las siguientes formas:

a. Existe un único x en A tal que P(x)

b. Existe un solo un x en A tal que P(x)

c. Existe uno y solo un x en A tal que P(x)

d. P(x), para un único x en A

Reglas de negación de Cuantificadores

Las dos leyes de De Morgan nos proporcionan las relaciones entre la negación, la conjunción y la

disyunción. Como las proposiciones universales y existenciales son generalizaciones de la

conjunción y disyunción, respectivamente, es de esperar que las leyes de De Morgan también

tengan sus respectivas generalizaciones. Efectivamente así sucede con de De Morgan o reglas de

la negación de cuantificadores. Estas dicen lo siguiente:

En otras palabras, estas reglas nos dicen que para negar una proposición con cuantificadores se

cambia el cuantificador, universal a existencial o de existencial a universal, y se niega la

proposición cuantificada.

La negación de la proposición en la cual se ha utilizado el cuantificador universal corresponde a

una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial; a su vez, la negación de una

proposición en la cual se ha usado el cuantificador existencial corresponde a una proposición en la

cual se utiliza el cuantificador universal

Ejemplos

Negar las siguientes Proposiciones cuantificadas. Luego, simbolizar la proposición y la negación

a. Todos los números son impares

Negacion: existe por lo menos un números natural que no es impar simbólicamente

b. Existe un numero par que no es múltiplo de 4

Negacion: Todos los números son pares con múltiplos simbólicamente

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces

Proposiciones con dos Cuantificadores

Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la forma (A,B,C,P(x,y,z)),

pero en nuestro caso trabajaremos con funciones proposicionales de dos variables, las cuales

denotaremos por (A,B,P(x)) con dominio de x el conjunto A y dominio de y el conjunto B. Así

podemos obtener las siguientes proposiciones:

(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))

1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))

2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))

3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))

4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))

5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))