Abril,

Segunda Edición

Revista Conociendo

Con Delphi

Algebra Presente en los

Autómatas

Propiedades de Algebra Booleana

Producido por: Equipo Delphi Áreas de Grado Ciencias de la Computación

Primera Cohorte, I-2015

ÍNDICE :

Teoría de Autómatas y

Lenguajes Formales

Prof Nelsy Vivenes

Adriana Charles

Daniela Barreto

Pág. 1

Secciones

Definiendo y conociendo Pág.2

Analizando necesidades Pág. 3

¡Que no falten las ideas!

Pág.4

¿Cuando usarlo?

¿Que debemos Hacer? Pág. 5, 6, 7, 8

Pág. 9

Vamos entendiendo Vamos Aprendiendo

Pág.10

Referencias bibliográficas Pág.11

Tratando de Entenderlo

Conmutatividad y Asociatividad Pág. 5 Elementos Identidad y Nulo Pág. 6 Distributividad Pág. 7 Idempotencia Pág. 8

1

Tratando de Entenderlo

¿Sabías Que?

Las expresiones

regulares sirven

como lenguaje de

entrada de muchos

sistemas que

procesan cadenas.

2

Unión: Es un nuevo Lenguaje formado por el conjunto de todas las palabras que pertenecen tanto al primer lenguaje como al segundo.

Simbología:

Intersección: Es un nuevo Lenguaje formado por el conjunto de las palabras que tienen en común ambos lenguajes.

Simbología:

Concatenar: es una nuevo Lenguaje formado por el conjunto de todas las palabras que se forman al concatenar cada palabra del primer lenguaje con cada palabra del segundo Lenguaje.

Simbología: L1 • L2

Definiendo y conociendo

¿Por qué Se Hace Necesaria La Algebra en Autómatas? Al igual que las expresiones aritméticas, las expresiones regulares cumplen una serie de leyes. Muchas de éstas son similares a las leyes aritméticas, si

interpretamos la unión como una suma y la concatenación como una multiplicación. Sin embargo, hay algunas ocasiones en las que la analogía

no se aplica. También existen algunas leyes que se aplican a las expresiones regulares pero no tienen su análoga en la aritmética, especialmente cuando

se utiliza el operador de clausura.

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Analizando necesidades

Debemos Conocer Las Propiedades del Algebra Booleana

4

¡Que no falten las ideas!

¡Debes saber!

Un álgebra es una estructura consistente de

uno o más conjuntos no vacíos junto con una o más operaciones

definidas sobre dichos

conjuntos.

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¿Qué debemos Hacer?

Propiedades Conmutativas y Asociativas

En Autómatas

Un lenguaje formal L se dice que es CONMUTATIVO si se cumple que si la cadena w pertenece a L entonces cualquier cadena obtenida permutando los símbolos de w

también pertenece a L. Sea C la clase de los lenguajes conmutativos. Ejemplo:

L+M = M+L. Esta ley, la ley conmutativa de la unión, establece que podemos efectuar la unión de dos lenguajes en cualquier orden.

OJO: Faltaría la “ley” que establece que LM = ML, es decir, que la concatenación es conmutativa. Sin embargo, esta ley es falsa.

La ASOCIATIVIDAD nos muestra que si tenemos más de dos Autómatas,

debemos primero hacer la unión y concatenación de dos y posteriormente con el tercer autómata.

Ejemplo:

(L+M)+N = L+(M+N). La ley asociativa para la unión, establece que

podemos efectuar la unión de tres lenguajes bien calculando primero la

unión de los dos primeros, o bien la unión de los dos últimos. Observe que,

junto con la ley conmutativa de la unión, podemos concluir que es posible

obtenerla unión de cualquier colección de lenguajes en cualquier orden y agrupamiento, y el resultado siempre será el mismo.

(LM)N = L(MN). Esta ley, la ley asociativa para la concatenación,

establece que podemos concatenar tres lenguajes concatenando primero los

dos primeros o bien los dos últimos.

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El elemento identidad de un operador es un valor tal que cuando el operador se aplica al propio elemento identidad y a algún otro valor, el resultado es ese

otro valor.

El elemento nulo de un operador es un valor tal que cuando el operador se aplica al propio elemento nulo y a algún otro valor, el resultado es el elemento

nulo.

¿Para Que Nos Sirve?

Si tenemos una unión de varias expresiones, algunas de las cuales están

simplificadas, o han sido simplificadas, a , entonces los pueden eliminarse de

la unión. Del mismo modo, si tenemos una concatenación de varias expresiones,

algunas de las cuales están simplificadas, o han sido simplificadas a ε, podemos

eliminar la ε de la concatenación. Por último, si tenemos una concatenación de

cualquier número de expresiones, y al menos una de ellas es , entonces la

concatenación completa puede ser reemplazada por .

¿Qué debemos Hacer?

Elemento Identidad y El Elemento Nulo

En Autómatas

¿Cómo lo Hacemos?

+L = L+ = L.

Esta ley establece que es el elemento identidad para la unión.

εL = Lε = L.

Esta ley establece que ε es el elemento identidad para la concatenación.

L = L = .

Esta ley establece que es el elemento nulo de la concatenación.

Estas propiedades son importantes herramientas en las tareas de

simplificación.

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¿Qué debemos Hacer?

Leyes Distributivas en Autómatas

Puesto que la multiplicación es conmutativa, no importa que la multiplicación esté a la izquierda

o a la derecha de la suma. Sin embargo, existe una ley análoga para las expresiones regulares,

que tenemos que establecer de dos formas, ya que la concatenación no es conmutativa.

Estas leyes son:

L(M +N) = LM +LN. Ésta es la ley distributiva por la izquierda de la concatenación

respecto de la unión.

(M+N)L = ML+NL. Ésta es la ley distributiva por la derecha de la concatenación respecto

de la unión.

Vamos a demostrar la ley distributiva por la izquierda; la otra se demuestra de manera similar. La demostración sólo hará referencia a lenguajes y no depende de que estos sean regulares.

TEOREMA: Si L, M y N son cualesquiera lenguajes, entonces L(M ∪ N) = LM ∪ LN

DEMOSTRACIÓN. La demostración es similar a la de la ley distributiva que hemos visto en

el Teorema 1.10. En primer lugar necesitamos demostrar que una cadena w pertenece a L(M ∪

N) si y sólo si pertenece a LM ∪ LN.

Parte Solo-Si: Si w pertenece a L(M ∪ N), entonces w = xy, donde x pertenece a L e y

pertenece a M o a N. Si y pertenece a M, entonces xy pertenece a LM, y por tanto

pertenece a LM ∪ LN. Del mismo modo, si y pertenece a N, entonces xy pertenece a LN y, por tanto, pertenece a LM ∪ LN.

Parte Si: Suponga que w pertenece a LM ∪ LN. Entonces w pertenece a LM o a LN.

Supongamos en primer que w pertenece a LM. Luego w = xy, donde x pertenece a L e y

pertenece a M. Como y pertenece a M, también pertenece a M ∪ N. Por tanto, xy

pertenece a L(M ∪ N). Si w no pertenece a LM, entonces seguramente pertenece a LN, y

una argumentación similar demuestra que pertenece a L(M ∪ N).

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¿Que debemos Hacer?

La unión y la intersección son ejemplos comunes de

operadores idempotentes. Por tanto, para expresiones regulares,

podemos establecer la siguiente ley:

L+L = L

Ésta es la ley de idempotencia para la unión, que establece

que si tomamos la unión de dos expresiones idénticas, podemos

reemplazarla por una copia de la de la expresión.

Ley de Idempotencia en Autómatas

9

¿Cuándo Usarlo?

Cuando trabajamos con autómatas sabemos

que tratamos con máquinas, por tanto las mismas

pueden ser unidas a otras.

¿Qué se quiere decir con esto?

Por ejemplo si hacemos uso de un computador, el

mismo cuenta con diversos dispositivos que cuentan

con una entrada y una salida.

Pues ellos actúan como autómatas ya que al

procesar una información generan una salida la

cual puede ser enviada a otros dispositivos, y es aquí

donde se nota la presenta de una unión o una

intersección, según sea el caso.

En donde para su análisis o simplificación se hace

necesario el uso de expresiones algebraicas

Tip Importante

El estudio de los

Autómatas se simplifica

muchísimo si hacemos el

uso correcto de sus

propiedades.

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Vamos entendiendo Vamos Aprendiendo

Representar un Autómata, es representar una Máquina.

El estudio de las máquinas se ha vuelto un tema muy interesante,

y en el cual los últimos años han profundizado mucho al

momento de hacer estudios, ya que hasta el ser humano es

considerado como un autómata en ocasiones, por la razón de que

muchas veces reacciona por medio de impulsos.

La bibliografía perteneciente a los autómatas es muy intensa,

sobre todo en el área de las Matemáticas, por medio del estudio

de comportamiento de variables.

Dicho lo anterior se hace necesario la consideración de las leyes

matemáticas para la mejor compresión de los autómatas en

cuestión.

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Bibliografía Contreras, H. (12 de Marzo de 2012). Teoría de la Computación para

Ingeniería de Sistemas: un enfoque practico. Merida, Venezuela.

Cueva, J. M. (2001). Lenguajes Gramaticas y Automatas. España: Universidad de Oviedo.

John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. (2007). Teoría

de autómatas, lenguajes y computacion. Madrid: Pearson.

Vega, D. G. (Marzo de 2013). Smatick. Obtenido de

http://www.smartick.es/blog/index.php/multiplicacion-propiedad-

distributiva-conmutativa-asociativa-factor-comun-elemento-

neutro/

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