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Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 1/27

Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130

Traza de una Matriz CuadradaDepartamento de Matemáticas

ITESM

TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15


Definiciones y propiedades básicas

Definici onSea A una matriz m × m, la traza de A se definecomo la suma de los elementos de la diagonalprincipal:





tr(A) =m

∑

i=1

aii





tr(A) =m

∑

i=1

aii = a11 + a22 + · · · + amm





tr(A) =m

∑

i=1

aii = a11 + a22 + · · · + amm

En particular:tr(In) = n





tr(A) =m

∑

i=1

aii = a11 + a22 + · · · + amm

En particular:tr(Jn) = n



Ejemplo

Determine la traza de la matriz:

A =

1 −1 2

0 −3 −1

−2 −3 8



Ejemplo

Determine la traza de la matriz:

A =

1 −1 2

0 −3 −1

−2 −3 8

Soluci onDirectamente de la definición

tr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6⋄



Lema

Sean A y B matrices m × m:

1.



Lema


1. tr (kA) = k tr (A)

2.



Lema


1. tr (kA) = k tr (A)

2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

3.



Lema


1. tr (kA) = k tr (A)

2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

3. tr (A′) = tr (A)



Lema


1. tr (kA) = k tr (A)

2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

3. tr (A′) = tr (A)

Demostraci on1. Tomemos C = k A, así cij = k aij y por tanto

tr (kA) = tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

(k aii) = k

m∑

i=1

aii = k tr (A)



Lema


1. tr (kA) = k tr (A)

2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

3. tr (A′) = tr (A)

Demostraci on3. Si C = A

′, cij = aji y así cii = aii:

tr (A′) = tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

aii = tr (A) ⋄



Ejercicio 1

Sean A y B matrices m × m, demuestre que

tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

Sugerencia

Tome C = A + B, así cii = aii + bii. Apliqueahora la definición de la traza.



Ejercicio 2

Demuestre que si A y B matrices m × n yn × m respectivamente: entonces

tr (AB) = tr (B′A

′)

Sugerencia

Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y lapropiedad de la transpuesta de un producto.



Ejercicio 3

Verifique que las matrices siguientescumplen la propiedad:

tr (AB) = tr (B′A

′)

A =

[

1 2 3

3 2 1

]

y B =

−2 1

2 3

4 1



Lema

Sea A una matriz cuadrada particionada talque

A =

A11 A12 · · · A1k

A21 A22 · · · A2k

......

. . ....

Ak1 Ak2 · · · Akk



Lema

Sea A una matriz cuadrada particionada talque

A =

A11 A12 · · · A1k

A21 A22 · · · A2k

......

. . ....

Ak1 Ak2 · · · Akk

Entonces

tr (A) = tr (A11) + tr (A22) + · · · + tr (Akk)



La traza de un producto

Teorema

Sean A y B matrices m × n y n × m

respectivamente.

tr (AB) = tr (BA)



Demostraci onTomemos C = AB, así

cij =n

∑

k=1

aikbkj




cij =n

∑

k=1

aikbkj

Para j = i la fórmula anterior queda:

cii =n

∑

k=1

aikbki




cij =n

∑

k=1

aikbkj


cii =n

∑

k=1

aikbki

Así:

tr (C) =m

∑

i=1

cii




cij =n

∑

k=1

aikbkj


cii =n

∑

k=1

aikbki

Así:

tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

n∑

k=1

aikbki




cij =n

∑

k=1

aikbkj


cii =n

∑

k=1

aikbki

Así:

tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

n∑

k=1

aikbki =n

∑

k=1

m∑

i=1

aikbki




cij =n

∑

k=1

aikbkj


cii =n

∑

k=1

aikbki

Así:

tr (C) =m

∑

i=1

cii =m

∑

i=1

n∑

k=1

aikbki =n

∑

k=1

m∑

i=1

aikbki =n

∑

k=1

m∑

i=1

bkiaik



Por otro lado si D = BA, así

dij =m

∑

k=1

bikakj




dij =m

∑

k=1

bikakj


dii =m

∑

k=1

bikaki




dij =m

∑

k=1

bikakj


dii =m

∑

k=1

bikaki

Así:

tr (D) =n

∑

i=1

dii =n

∑

i=1

m∑

k=1

bikaki



Comparando las fórmulas:

tr (AB) =n

∑

k=1

m∑

i=1

bkiaik y tr (BA) =n

∑

i=1

m∑

k=1

bikaki



Comparando las fórmulas:

tr (AB) =n

∑

k=1

m∑

i=1

bkiaik y tr (BA) =n

∑

i=1

m∑

k=1

bikaki

Concluimos que, intercambiando los nombres delos índices i y k, tr (AB) = tr (BA)⋄



Ejercicio 4

Encuentre dos matrices A y B, 2 × 2, tal que

tr (AB) 6= tr (A) · tr (B)

Sugerencia

Piénselo fácil. Tome por ejemplo

A =

[

1 0

0 0

]

.



Ejercicio 5

Verifique que las matrices siguientescumplen la propiedad:

tr (AB) = tr (BA)

A =

[

1 2 3

3 2 1

]

y B =

−2 1

2 3

4 1



Ejercicio 6

Demuestre que si A, B y C son matricesn × n se cumple

tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)

Sugerencia

Para la primera igualdad tome D = AB yE = C y aplique el teorema 5.3. Para lasegunda igualdad tome D = A y E = BC yaplique el mismo teorema.



Ejercicio 7

Demuestre que si A, B y C son matricesn × n se cumple

tr (ABC) = tr (B′A

′C

′) = tr (A′C

′B

′)

Sugerencia

Para la primera igualdad tome D = AB yE = C y aplique como válido el ejercicio 2.Para la segunda igualdad tome D = A yE = BC. y aplique el mismo teorema 5.3.



Ejercicio 8

Demuestre que si A, B y C son matricesn × n sim etricas se cumple

tr (ABC) = tr (BAC)

Sugerencia

Utilice como válido el ejercicio anterior y queX

′ = X para las matrices simétricas.



Ejercicio 9

Encuentre matrices cuadradas A, B y C

2 × 2 que cumplen

tr (ABC) 6= tr (BAC)



Ejercicio 10

Sea A una matriz m × n, demuestre que elelemento (i, i) de AA

′ esn

∑

j=1

a2

ij



Ejercicio 11

Sea A una matriz m × n, demuestre que

tr (AA′) =

m∑

i=1

n∑

j=1

a2

ij

Sugerencia

Utilice como válido el resultado del ejercicioanterior.



Ejercicio 12

Utilice el resultado anterior para determinartr (AA

′) Si

A =

[

1 2 3

3 2 1

]



Ejercicio 13

Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 siy sólo si tr(A′

A) = 0.Sugerencia

Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y asumacomo válido el resultado del ejercicio 11. Yrecuerde que la suma de cantidadesmayores o iguales a cero es cero si y sólo sicada cantidad es cero.



Ejercicio 14

Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 siy sólo si A′

A = 0.Sugerencia

Tome como válido el resultado del ejercicioanterior.



Lema

Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, yn × p respectivamente.

AB = AC si y sólo si A′AB = A

′AC



Lema

Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, yn × p respectivamente.

AB = AC si y sólo si A′AB = A

′AC

Demostraci onClaro que AB = AC implica que A

′AB = A

′AC.


Si suponemos queA

′AB = A

′AC

Entonces, desarrollando

(AB − AC)′ (AB − AC) =


Si suponemos queA

′AB = A

′AC


(AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC)


Si suponemos queA

′AB = A

′AC



= (B − C)′ (A′AB − A

′AC)


Si suponemos queA

′AB = A

′AC



= (B − C)′ (A′AB − A

′AC)

= 0


Si suponemos queA

′AB = A

′AC



= (B − C)′ (A′AB − A

′AC)

= 0

Por el ejercicio anterior, AB − AC = 0⋄



Ejercicio 15

Sea A una matriz m × m que cumpleA

′A = A

2. Muestre que1. tr ((A − A

′)′(A − A′)) = 0.

2. A es simétrica.

Sugerencia

Para el primer inciso desarrolle el productode matrices, utilice la hipótesis, y tome comoválido el resultado del ejercicio 1. Para elsegundo inciso, utilice como válido elresultado del ejercicio 13.



Ejercicio 16

La traza y la tecnologıaAsumiendo que una matriz ya estáalmacenada en memoria. Indique cómodeterminar la traza de tal matriz en■ una calculadora científica (HP o TI)■ en Maple■ en Matlab

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