Algebra Lineal y Aplicaciones · PDF fileTEORIA DE LOS JUEGOS Un juego es cualquier...

MATEMTICA BSICA 2da PARTE
2017
EQUIPO DOCENTE
Profesor Titular Susana Marcipar Katz
Profesores Adjuntos Claudia Zanabria, Marta Nardoni
Jefes de Trabajos Prcticos Mara Cecilia Municoy, Cristina
Rogiano, Gabriela Roldn, Mariel
Lovato, Gustavo Cabaa y
Agustina Huespe
Algebra Lineal y
Aplicaciones
2da Edicin
Teora de los juegos,
Cadenas de Markov,
Criptografa
Material Elaborado por: Claudia Zanabria,
Cristina Rogiano y Gabriela Roldn
UNL FCE
Extrado de la pelcula: Una mente brillante.

UNL-FCE. Matemtica Bsica. Algebra Lineal
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Zanabria, Claudia
Algebra lineal y Aplicaciones, 2da edicin : Teora de los juegos, Cadenas de Markov, Criptografa /
Claudia Zanabria ; Gabriela Roldn ; Cristina Rogiano. - 2a ed mejorada.
Santa Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2016.
Libro digital, PDF
Archivo Digital: descarga y online
ISBN 978-987-692-099-5
1. lgebra. 2. Economa. 3. Matemtica Aplicada. I. Roldn, Gabriela II. Rogiano, Cristina III. Ttulo
CDD 512.5
Yo siempre he credo en los nmeros. En
las ecuaciones y lgicas que llevan a la
razn. Pero tras una vida de tales
actividades, pregunto: Qu es
realmente la lgica? Quin decide qu
es la razn? Mi bsqueda me ha llevado
a travs de lo fsico... metafsico...
alucinatorio... y de regreso. Y he hecho el
descubrimiento ms grande de mi
carrera. El descubrimiento ms
importante de mi vida: Solo en las
misteriosas ecuaciones de amor puede
uno encontrar lgica y razn.
John Nash

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El presente es el fascculo 3 de la coleccin bibliogrfica de Matemtica Bsica. En l se abordan tres situaciones
contextuales centrales, dos de ellas son problemas de decisin en el marco de: Teora de los Juegos y Cadenas
de Markov y una tercera situacin relaciona la codificacin y decodificacin de datos, criptografa. El anlisis
y resolucin de estas tres situaciones requiere la produccin de modelos matemticos que involucran conceptos
fundamentales del Algebra Lineal como los son: Matrices y Sistemas de Ecuaciones
La red conceptual del captulo es:
El material se organiza en tres bloques:
Bloque 1: TEORIA DE LOS JUEGOS Y MATRICES (CONCEPTO Y OPERACIONES)
Bloque 2: CADENAS DE MARKOV Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Bloque 3: CRIPTOGRAFIA, MATRIZ INVERSA Y ECUACIONES MATRICIALES
MATRICES
Concepto, lenguaje matricial, clasificacin, operaciones y
propiedades, matriz inversa.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Resolucin por metodo de Gauss y determinantes. Clasificacin.
Teorema del Rango
TEORIA DE LOS JUEGOS
CADENAS DE MARKOV
CRIPTOGRAFIA

3
BLOQUE 1
MATRICES
Concepto, lenguaje matricial, clasificacin,
operaciones y propiedades.

4
Un juego es cualquier situacin en la cual, los que participan de l, deben tomar decisiones estratgicas y en
la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer. (Nicholson, 1997).
En este sentido, la teora de los juegos trata del estudio de los problemas de decisin y propone modelos
matemticos para su resolucin.
Dicha teora fue elaborada en 1939 por el matemtico John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern,
con el fin de realizar anlisis econmico de ciertos procesos de negociacin.
En el mundo real, tanto en las relaciones econmicas como en las polticas o sociales, son muy frecuentes las
situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjuncin de decisiones de los
diferentes agentes o jugadores que intervienen con el fin de lograr un premio, por ejemplo la mxima utilidad,
el mayor bienestar o el menor riesgo, entre otras.
Los jugadores pueden ser personas, equipos, empresas, pases, etc. y, como en todo juego, es necesario definir:
Reglas, Estrategias y Recompensas o Resultados. Las reglas compartidas por todos los juegos establecen que los
jugadores obran racionalmente y ambos conocen la informacin cierta de la situacin. Asimismo, en la situacin
de juego es fundamental el comportamiento estratgico de cada uno de los participantes o tomadores de
decisiones.
En el marco de La economa es importante conocer y aplicar esta teora a fines de entender qu estrategias
podran ofrecer beneficios monetarios ms grandes o menores riesgos. Algunas aplicaciones de la Teora de
Juegos son: Contratos, Negociaciones en general, guerras militares o comerciales, marketing para la
competencia en los mercados, alianzas, entre otras.
La siguiente red conceptual muestra las categoras conceptuales a partir de las cuales se aborda la teora de los
juegos y su intencin es ofrecer un resumen de las palabras o frases claves de esta temtica.
Cada una de estas categoras ser tratada a travs de distintas situaciones de juegos que se irn presentando a
medida que se avance en la lectura del mismo.

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Si bien existen gran variedad de juegos, en el presente material se abordarn solamente juegos estticos con
informacin completa, es decir, los jugadores toman sus decisiones simultneamente y una sola vez sin conocer
las decisiones de los otros y, a continuacin, reciben sus ganancias, que dependen de la combinacin de
decisiones tomadas. Desde el inicio del juego todos los jugadores conocen las estrategias disponibles y las
ganancias resultantes de cada combinacin.
La siguiente situacin presenta el caso ms sencillo, el juego de dos jugadores con dos estrategias, como se
muestra en la siguiente situacin:
Situacin 1: Dos empresas de telefona mvil deben decidir si instalan nuevas sucursales en el mismo centro
comercial.
Se acercan los perodos de mayores ventas de telefona mvil y dos empresas competidoras identificadas por P
y C deben decidir si abren cada una nueva sucursal, en el mismo centro comercial. De no abrir la nueva sucursal
invertiran ms en publicidad para promover las ventas en los locales que ya poseen.
Por lo tanto, ambas empresas deben tomar la decisin de instalar o no la nueva sucursal en el mismo centro
comercial. Las estrategias que se presentan son:
Teoria de los Juegos
Tipos de Juegos:
ESTTICOS de:
SUMA CERO
SUMA NO CERO
ESTRATEGIAS PURAS
Tcnicas de Resolucin:
Estrategias DOMINANTES
MEJOR RESPUESTA
MAXINIM -MINIMAX
Equilibrio de NASH
Elementos del Juego:
Reglas
Jugadores
Estrategias
Beneficio

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1- Las empresas P y C deciden instalar las sucursales: las ventajas competitivas de la empresa P le darn todo
el mercado del centro comercial e incluso se beneficiar de las inversiones publicitarias y de los clientes de la
empresa C. En este caso P gana 60 millones de pesos, mientras que C pierde esa misma cantidad.
2- La empresa P decide abrir la nueva sucursal y la empresa C no: P se queda con el mercado del centro
comercial, pero no pudiendo aprovechar todas las inversiones de C, su inversin no compensa sus ventas. En
este caso P pierde 10 millones de pesos y C gana la misma cantidad al promover ms sus ventas en sus
tradicionales locales.
3- La empresa P decide no abrir la nueva sucursal, pero la empresa C si la abre: C se queda con todo el mercado
del nuevo centro comercial, pero su inversin no supera sus ventas y pierde 20 millones mientras que P gana la
misma cantidad por promover sus ventas en sus tradicionales locales.
4- Ambas empresas P y C deciden no abrir la sucursal en el mismo centro comercial: en este caso, ninguna de
las dos compaas gana o pierde.
La informacin dada respecto a las ganancias o prdidas para las dos empresas P y C, pueden organizarse por
medio de las siguientes tablas:
Respecto a P:
C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal
P decide abrir sucursal 60 -10
P decide no abrir sucursal 20 0
Respecto a C:
C decide abrir sucursal C decide no abrir sucursal
P decide abrir sucursal -60 10
P decide no abrir sucursal -20 0
O bien empleando un arreglo o estructura rectangular ordenada en filas y columnas encerradas entre parntesis
o corchetes llamada MATRIZ de la siguiente manera:
Para P: (60 1020 0
) y para C: (60 1020 0
)
A continuacin se presenta la definicin de matriz que se utilizar para resolver problemas de la teora de
juego.
Definicin de MATRIZ
Dados dos nmeros enteros positivos m y n, una matriz de orden mxn, es una disposicin rectangular de m.n
nmeros reales encerrados entre corchetes o parntesis.
Se llama orden o tamao de una matriz al nmero de filas y de columnas que la conforman.
Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha.
Los nmeros o smbolos que se encuentran dentro de la matriz se llaman elementos de dicha matriz.

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