Algebra de Lie

Grupo de Lieque es una variedad suave ?

El Grupo general linealAlgebra de lie

Que es un algebra de Lie

Samuel TomasUniversidad Mayor de San Simon, UMSS

Coloquio matematico boliviano

21 de octubre 2013

Samuel Tomas Universidad Mayor de San Simon, UMSS Coloquio matematico bolivianoQue es un algebra de Lie

Contenido

1 Grupo de Lie

2 que es una variedad suave ?

3 El Grupo general lineal

4 Algebra de lie

Grupo de lie

Sophus Lie (1842 - 1899)Matematico Noruego, trabajo enla teorıa de grupos continuos ylas ecuaciones diferencialesGrupo de lie

Variedad diferenciable(suave)

operaciones suaves

Grupo de lie

operaciones suaves

Grupo de lie

operaciones suaves

Grupo de lie

operaciones suaves

Grupo de lie

operaciones suaves

Definicion

Un grupo de lie es:

1 G es un grupo algebraico

2 G es una variedad diferenciable

3 la operacion α : GXG→ G definido como sigue :

(x, y)→ xy

es C∞

4 y la operacion β : G→ G definido como :

x→ x−1

es C∞

Definicion

Un grupo de lie es:

(x, y)→ xy

es C∞

x→ x−1

es C∞

Definicion

Un grupo de lie es:

(x, y)→ xy

es C∞

x→ x−1

es C∞

Definicion

Un grupo de lie es:

(x, y)→ xy

es C∞

x→ x−1

es C∞

Definicion

Un grupo de lie es:

(x, y)→ xy

es C∞

x→ x−1

es C∞

que es una variedad suave

pero <3 es tridimencionalSamuel Tomas Universidad Mayor de San Simon, UMSS Coloquio matematico bolivianoQue es un algebra de Lie

Vivimos en un mundo tetra-dimensional, ?no es cierto?

Y ese mundo ?esta situado dentro de algun otro espacio? HAYQUE LIBERARSE DEL ESPACIO AMBIENTE No nos queda masremedio que definir algo nuevo, de manera que las curvas ysuperficies sean casos particulares. Es el concepto de VariedadDiferenciable.

Geometria diferencial

En su forma mas elemental, el concepto de Geometrıa seconstruye sobre variedades diferenciables.

El ejemplo mas simple de una variedad diferenciable es eldado por la grafica de una funcion suave.

Si Ui ∩ Uj 6= ∅,entonces el cambio de coordenadas

ϕj ◦ ϕ−1i : ϕi(Ui ∩ Uj) ⊂ <n −→ ϕj(Ui ∩ Uj) ⊂ <n

es un difeomorfismo C∞ entre los abiertos ϕi(Ui ∩ Uj) yϕj(Ui ∩ Uj) de <n

Ejemplo

El espacio euclideano (<n, id) id : <n → <n es una variedad suave

Ejemplo

Dado (gl(n,<),+, o) espacio vectorial de dimension n2, es unavariedad suave, basta con ver que gl(n,<) u <n2

Ejemplo

la n-esfera en <n+1 Sn = {x ∈ <n+1| lim∑n+1

i=1 xi = 1} Sean = (0, ..., 0, 1) y s = (0, ..., 0,−1)

tomando Pn y Ps las proyecciones estereograficas, entonces Sn esuna variedad suave mediante (Sn − n, Pn) y (Sn − s, Ps)

Ejemplos de Grupos de Lie

Ejemplo

El espacio euclideano <n es un grupo de Lie sobre la adicion devectores

Ejemplo

la circulo unitario S1 ⊂ C∗ es un grupo de lie, con lamultiplicacion inducida de C∗

El Grupo general lineal

Ejemplo

Gl(n,<) es un grupo de lie sobre la multiplicacion de matrices

El Grupo general lineal

Definicion

Gl(n,<) = {A ∈ gl(n,<)|det(A) 6= 0}

1 GL(n,<) es una variedad suaveen efecto

det : gl(n,<)→ <

es una aplicacion continua,

notese quedet−1(< {0}) = GL(n,<)

donde la imagen inversa de un conjunto abierto bajo unaaplicacion continua es abiertoi.e. GL(n,<) es abierto. ademas

GL(n,<) ⊂ gl(n,<)

pero gl(n,<) es una variedad suave por lo tanto GL(n,<) es unavariedad suave

Tambien GL(n,<) es un grupo, bajo la multiplicacion de matrices,tambien la aplicacion producto

α : GL(n,<)XGL(n,<)→ GL(n,<)

y la inversaβ : GL(n,<)→ GL(n,<)

son ssuaves en efecto, Sea A = (aij) B = (bij) matrices enGL(n,<)

α(A,B) = AB = lim

n∑k=1

aikbkj

donde α es una aplicacion polinomial por tanto es difereciableTambien β(A) = A−1 = ( 1

det(A))adj(A) polinomios en las entradas

de A y det(A) 6= 0 por tanto es diferenciable, por tanto GL(n,<)es grupo de lie.

Definicion

g es un algebra de lie si:

1 g es un espacio vectorial

2 esta dotado de un producto ( corchete de lie) [., .] dado comosigue:[., .] : gxg → g definido como sigue ::

[X,Y ] = XY − Y X

3 es bilineal :

4 es antisimetrica[X,Y ] = −[Y, x]

5 cumple la identidad de Jacoby