Álgebra con Geogebra - CAS

1 INTRODUCCIÓN El álgebra es uno de los bloques donde el alumnado presenta dificultades a lo

largo de la enseñanza de las matemáticas.

En este tema podremos trabajar una nueva ampliación de Geogebra, el "sistema

de álgebra computacional" (Cálculo simbólico ), cuyas características

permiten trabajar con fracciones, ecuaciones y fórmulas que incluyen las variables

desde un nuevo punto de vista simbólico. Esta nueva Vista se relaciona de

forma dinámica con el resto de GeoGebra y es fácil de usar.

El CAS es muy útil para la inserción de los valores numéricos dados en la fórmula

y la evaluación de dichas fórmulas.

a) Apoya la tarea en el proceso de aprendizaje del reconocimiento de las

relaciones y las reglas de cálculo.

b) Las estrategias de ensayo se realizan con independencia.

c) El CAS es una buena herramienta de retroalimentación para el alumnado.

2 VISTA CAS – CÁLCULO SIMBÓLICO

En Geogebra, seleccionamos el menú vista y la opción y

obtenemos la siguiente pantalla:

La Vista se comporta de forma similar a la Barra de Entrada, con algunas

diferencias en la edición, y permite introducir expresiones y comandos específicos,

además de los habituales. Dispone de su propia barra de Herramientas.

Cuando se elija una herramienta, se aplicará sobre la entrada actual en la línea de

edición. También se puede seleccionar previamente parte de la expresión de

entrada, para que la herramienta se aplique solo a la parte seleccionada.

Entrada básica

Intro: Para evaluar una expresión, la escribimos en una línea de entrada de

la Vista y pulsamos la tecla Enter. La salida dependerá de la herramienta

seleccionada (Evalúa, Valor numérico, Conserva entrada).

Ctrl+Intro: alterna entre Evalúa y Valor numérico.

Alt+Intro: alterna entre Evalúa y Conserva entrada.

Se puede evitar que se visualice la salida correspondiente a una entrada

añadiendo un punto y coma al final.

Navegación

En una línea vacía, podemos teclear:

Un espacio: para introducir la salida anterior. Equivale a clic en esa salida.

Cierre de paréntesis, ): para introducir la salida anterior entre paréntesis.

Equivale a seleccionar y hacer clic en esa salida.

El signo igual, =: para introducir la entrada anterior.

Variables y asignación de valores

Para asignar un valor a una variable se usa :=. Para volver a liberar el nombre de

una variable se le asigna nada (a:=) o se usa el comando Elimina.

Si definimos b:=5 en la Vista , podemos usar la variable b como una

variable normal. Se define como un número en la Vista Algebraica.

Si definimos ( ) en la Barra de Entrada, podemos usar esta función

en la Vista .

Referencias a las líneas de entrada

$: Introduce la salida previa y cambia cuando cambia la fila previa.

#: Inserta la salida previa, pero no cambiará al cambiar la fila previa.

$5: Introduce la salida de la línea 5 y cambia cuando cambia la fila 5.

#5: Inserta la salida de la fila 5 pero no cambiará al cambiar la fila 5.

Imprimir

Si la Vista se encuentra abierta, se puede imprimir mediante Menú Archivo y

opción .

2.1 Herramientas de la Vista CAS

La Vista dispone de su propia barra de Herramientas:

La siguiente tabla muestra las herramientas y su utilización:

NOMBRE INDICACIÓN

COMANDO

EQUIVALENTE

Evalúa Cálculo exacto del resultado.

Valor Numérico

Aproxima numéricamente el valor de la expresión

ValorNumérico [expresión]

Conserva Entrada

Mantiene la expresión introducida sin alterarla.

Factoriza Descompone la expresión en

factores irreducibles (o primos). Factoriza[

<Polinomio> ]

Desarrolla Aplica la propiedad distributiva,

eliminando los paréntesis. Desarrolla[ Expresión

]

Sustituye Sustituye parte de una expresión

por otra.

Sustituye[ <Expresión>, <Lista

de reemplazos> ]

Resuelve Resuelve una ecuación o un

sistema de ecuaciones. Resuelve [ecuación]

Resolución Numérica

Resuelve una ecuación o un sistema de ecuaciones dando un

valor numérico aproximado.

Derivada

Halla la primera derivada de la expresión (en x o en la primera

variable siguiendo el orden alfabético).

Derivada[ <Expresión> ]

Integral Halla la familia de primitivas de la

función (en x). Integral[ <Función> ]

Elimina

Objeto Borra o elimina un objeto

3 CÁLCULO NUMÉRICO Operaciones combinadas

Proponemos a los alumnos el cálculo de operaciones combinadas con números

enteros y fracciones, para el estudio de la jerarquía.

Con la vista CAS abierta insertamos en la primera fila:

-4+2*(6-5*8) y seleccionamos conservar entrada .Se mantiene la entrada. Si

pinchamos sobre ella, se copia en la fila 2. Damos clic en , y obtenemos el

resultado de la operación.

Ahora volvemos a introducir la fila anterior (escribiendo = en la fila 3) y

empezamos a realizar las operaciones aplicando la jerarquía, seleccionamos 5(8)

y hacemos clic en evalúa, copiamos en la fila siguiente y seguimos realizando el

proceso hasta que obtenemos un único número, comprobando que éste coincide

con el valor que se obtiene en la fila 2.

Actividad 1.1

Realiza el mismo ejercicio con la operación ( ) ( ( ))

Divisibilidad

Una de las posibilidades del Cálculo Simbólico es la factorización de números y el

cálculo de divisores, así podemos proponer a los alumnos su cálculo y la

comprobación inmediata en la pizarra con estas entradas.

1. En la vista gráfica creamos un deslizador , al cual llamamos "n", entre

2 y 100, con incremento de 1.

2. En la vista CAS, escribimos n y damos clic en el botón , veremos el

número que tenga el deslizador

3. Escribimos n en la siguiente fila y damos clic en el botón (factoriza)

obtenemos la factorización del número que tengamos asignado al

deslizador (cambia el valor del deslizador y compruébalo).

4. En las siguientes filas aplicaremos los comandos Factores[n], que

devuelve una matriz con los factores en la primera columna y su

multiplicidad en la segunda. FactoresPrimos[n], que muestra una lista con

todos los factores primos de n, Divisores[n], que cuenta la cantidad de

divisores y ListaDivisores[n], que ofrece una lista con todos los divisores

del número.

5. Si movemos el deslizador tendremos los cálculos automáticamente en la

Vista de Cálculo Simbólico. (Como podemos observar en la siguiente

imagen)

Operaciones con Potencias

En el aula se puede trabajar con las siguientes actividades con potencias para que

los alumnos comprendan sus propiedades. Puede hacerse escribiendo

expresiones en una fila y, seleccionando evalúa , conservar entrada o

factoriza , según nos interese.

Por ejemplo podemos mostrar las siguientes operaciones al alumnado y que

hagan ejercicios mentalmente.

Operaciones con fracciones

Además de poder aplicar al cálculo de fracciones lo que hemos visto con las

operaciones combinadas, también podemos trabajar los siguientes conceptos:

o Cálculo de común denominador, aplicando la entrada

ComúnDenominador[expresión,expresión]

o Cálculo de una división. Escribiendo en la fila, División[dividendo,

divisor], nos devolverá el cociente y el resto de la división

o Simplificar una fracción realizando su factorización:

Escribimos la fracción 312/84 en la primera fila y seleccionamos conserva

entrada . Escribiendo en la siguiente fila, =, se copiará de nuevo la

fracción.

Seleccionamos el numerador y hacemos clic en factoriza , devolverá

la fracción con el numerador factorizado.

Pinchando en la salida 2, se copia en la fila 3. Aquí seleccionamos el

denominador y pulsamos factoriza . Obtendremos la fracción

totalmente factorizada.

Escribimos en la siguiente fila Simplifica[] y como función pinchamos en la

salida anterior, se copiará la expresión. Hacemos clic en evalúa y

obtenemos la fracción simplificada.