Definicin 3.1.1 Un conjunto G con una operacion binaria en l definida, se dice que

es un grupo si se cumple las siguientes propiedades:

G1. La operacin binaria es cerrada en G.

G2. La operacin binaria es asociativa, esto es,

g1(g2g3) = (g1g2)g3

G3. Existe un elemento neutro e G tal que:

eg = ge = g para todo g G

G4. Para todo elemento g G existe un elemento g G, denominado inverso de g tal

que:

gg = gg = e

Definicin 6.1.1 Un conjunto A dotado de dos operaciones cerradas que escribiremos

(suma) y (producto) se llama anillo asociativo si se cumple las siguientes propiedades:

A1. 11(A,) es un grupo abeliano.

A2. 11El producto es asociativo.

A3. 1Se cumplen las propiedades distributivas, es decir:

a(bc) = abac888888(bc)a = baca

para cualquier a, b, c A

Definicin Si el producto es conmutativo, esto es:

ab = ba para todo a, b A.

A se dice que es un anillo conmutativo.

Definicin Si existe un elemento, que simbolizaremos mediante 1, tal que para todo

a A.

a1 = 1a = a

A se dice que es un anillo con unidad; en este caso, el elemento 1, que recibe el nombre de

elemento unidad, es nico.

1

Definicin Un anillo conmutativo con unidad (A,,), donde se tiene que:

A = A {0}

Si (A,) es un grupo, se dice que (A,,) es un cuerpo.

Definicin Si (A,,) es un anillo, un elemento a A, con a 6= 0, se dice que es un

divisor de cero si:

b A, b 6= 0 tal que ab = 0 ba = 0

ProposicinEn un anillo (A,,), sea a un elemento de A que no es un divisor de 0,

entonces:

1. 11 Si ab = ac, donde b, c A, se tiene b = c

2. 11 Si ab = ac, donde b, c A, se tiene b = c

Definicin Si A es un anillo sin divisores de cero se llama un dominio de integridad (DI)

Definicin Sea A un anillo con unidad 1 y 1 6= 0. Un elemento u de A se dice que es

invertible si existe un elemento v, tambien de A tal que:

uv = vu = 1

Definicin Sea A un anillo con unidad. Si U(A) es el conjunto de elementos invertibles

de A, (U(A),) es un grupo.

Definicin Un subconjunto S de un anillo (A,,) se dice que es un subanillo de A, si

(S,) es un subgrupo de (A,) y el producto restringido en S es cerrado; de forma

equivalente, la suma y el producto son operaciones cerradas sobre S y (S,,) es un

anillo.

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Definicin Un subconjunto S de un cuerpo (C,,) se dice que es un subcuerpo de

C, si (S,) es un subgrupo de (C,) y (S,) es un subgrupo de (C,); de forma

equivalente, la suma y el producto son operaciones cerradas sobre S y (S,,) es un

cuerpo.

Definicin Un subconjunto no vaco I de A se dice que es un ideal (bilateral) de A si:

1. 11 (I,) es un subgrupo de (A,)

2. 11 Para todo a I y b A, tanto ab I y ba I.

Definicin Sea I un ideal de un anillo A; la suma y producto de clases en el cocienteA

I

estn bien definidas, y con estas,A

Iposee una estructura de anillo.

Definicin Dado un anillo A y subconjunto S A, el ideal generado por S se define

como el mnimo ideal que contiene a S, esto es, el ideal I tal que S I, y si J es otro ideal

tal que S J, entonces I J.

Dicho ideal se simboliza mediante S; una definicin equivalente ( y una confirmacin

de la existencia de tal ideal ) se obtiene considerando la familia:

F = {J | J es un ideal de A y S J}

La familia F es no vcia, pues A F , y entonces se comprueba fcilmente que

S =

JF

J

ProposicinSea A un anillo conmutativo con unidad y S un subconjunto de A. El ideal

generado por S es:

S = {r1s1 rnsn | ri A, si S, n N}

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ProposicinUn ideal I de un anillo conmutativo I es un ideal primo si dados dos ele-

mentos cualesquiera a y b de A tales que ab I o ba I. generado por S es:

ProposicinSea A un anillo conmutativo e I un ideal de A con I 6= A. El anillo cociente

A

Ies un dominio de integridad, si slo si I es un ideal primo de A.

Dados dos anillos A, A, una funcin f : A A se dice un homomorfismo de anillos si

para todo par de elementos a, b en A se tiene que:

f (ab) = f (a) f (b) f (ab) = f (a) f (b)

Homomorfismos de anillos

ProposicinSea f : A A un homosfismo de anillos; se tiene las siguientes propie-

dades:

1. f (0A) = 0A y f (a) = f (a), donde 0A y 0A son el neutro de A y A.

2. Si S es un subanillo de A, f (S) = { f (s) | s S} es un subanillo de A.

3. Si S es un subanillo de A, f1(S) = {s A | f (s) S} es un subanillo de A.

4. N( f ) = {a A | f (a) = 0A}, el ncleo de f , es un ideal de A y f es inyectiva si y slo

si N( f ) = {0A}.

5. Si I es un ideal de A, f1(I1) es un ideal I.

6. Si f es suprayectiva e I es un ideal de A, f (I) es un ideal de A1.

7. Si A es un anillo con unidad 1A y f es suprayectiva, A es un anillo con unidad

1A = f (1A).

Si F : A A es un homomorfismo de anillos y escribimos N( f ) = I0, la aplicacin

f (a+ I0) = F(A) define un isomorfismo entreA

Iy F(A). Si adems F es suprayectiva, la

aplicacin I F(I) es una biyeccin del conjunto de ideales de A que contienen I0 en el

conjunto de ideales A.

Teorema Fundamental de Homomorfismo de Anillos

Definicin Sea A un anillo conmutativo con unidad, e I un ideal de A con I 6= A. El

ideal se llama maximal si no existe otro ideal J de A tal que I J A con I 6= J y J 6= A.

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Teorema 6.3.4 Sea A un anillo conmutativo con unidad, e I un ideal de A. El anillo

cocienteA

Ies un cuerpo si slo si I es un ideal maximal.

corolario 6.3.4 Todo ideal maximal en un anillo conmutativo con unidad es un ideal

primo.

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