Nociones generalesNúmeros y letras

Competencias

Expresiones algebraicasTérminos y coeficientes de una

expresión algebraicaValor numérico de una expresión

algebraicaPolinomios de una variableFunciones polinómicasFracciones polinómicasEcuaciones de primer gradoEcuaciones de segundo gradoRepresentación gráfica de las funciones

polinómicasInecuacionesNúmeros complejosAplicaciones linealesSistemas de ecuaciones

Álgebra

@

El lenguaje de los símbolos

Tradicionalmente, por álgebra se entiende el estudio delos números, de sus propiedades y de la estructura queposeen los conjuntos numéricos en virtud de lasoperaciones sobre ellos definidas; con la particularidad deque ese estudio no se lleva a cabo sobre númerosconcretos, sino representando a éstos y sus relacionesmediante letras y símbolos que permiten formularexpresiones algebraicas en términos generales. En estesentido, el álgebra clásica consiste, esencialmente, en unaserie de técnicas que permiten manipular las fórmulas,más un cálculo simbólico. El formulismo algebraico viene aser, entonces, como una especie de taquigrafía quepermite plantear los problemas de manera concisa yfacilita su resolución; muchos de los problemas que el

álgebra resuelve podrían también resolverse utilizando elsentido común y el lenguaje ordinario, pero ello resultaría amenudo bastante más largo y complicado de lo que resultavaliéndose de los métodos algebraicos.

La geometría llamada analítica, que permitía sustituir lasconstrucciones geométricas por la manipulación alge-braica de ecuaciones, abrió el camino a que el álgebra sefuera configurando como tratamiento formal deexpresiones simbólicas, más allá del sentido concreto(numérico o geométrico) de dichas expresiones. Ello haacabado por hacer del álgebra el lenguaje por excelencia dela matemática moderna, convirtiéndola en el estudioabstracto de las estructuras matemáticas fundamentales;en el ámbito de la matemática actual, por álgebra seentiende, de hecho, el estudio de las propiedades deconjuntos de elementos, de naturaleza no especificada,entre los que se hayan definido determinadas operaciones.

http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra.htmhttp://es.encarta.msn.com/encyclopedia_761552816/%C3%81lgebra.htmlhttp://www.superchicos.net/algebra.htm

428

Álgebra

Nociones generales

Números y letras

Álgebra es una palabra de origen árabe, al-giabr, que se utiliza para nombrar el estudio de lasoperaciones y propiedades de magnitudesrepresentadas por símbolos, generalmente letras.El primer introductor del álgebra se cree que fue elgriego Diofanto en el siglo III, aunque parece queen la India y Persia ya se conocía anteriormente,En Europa fueron los árabes los que la introdujeronen el siglo IX. El sabio AI-Khuwarizmi fue el queintrodujo símbolos para representar magnitudes,operaciones y expresiones. El italiano LeonardoPisano recogió en el siglo XIII las enseñanzas delos árabes, las tradujo al latín, y así se extendieronpor toda Europa. Vamos a iniciar nuestro estudiodel álgebra.

Si en el triángulo rectángulo de la figura 1desconocemos las longitudes de sus lados, laspodemos indicar utilizando las letras a, b y c,siendo:

a = longitud de la hipotenusab = longitud del cateto mayorc = longitud del cateto menor

P= a + b + c

Si en el triángulo anterior nos hubieran dicho quela longitud de un cateto es doble que la del otro,podríamos indicar las longitudes de sus lados de lasiguiente forma (figura 2):

a = longitud de la hipotenusa 2 x c = longitud del cateto mayor c = longitud del cateto menor

Observa que:

b es distinto de a, lo expresamos por b ≠≠≠≠≠ a

a es mayor que b, lo expresamos por a > b

c es menor que b, lo expresamos por c < b

Cuando desconocemos el valor numérico de unao varias magnitudes podemos utilizar letras que lasrepresenten. Puesto que estas letras indicannúmeros, pueden ser utilizadas como tales, es decir,se pueden efectuar operaciones con ellas. Observa:

¿Cuál es el perímetro de este triángulo?Puesto que el perímetro P de un polígono es igual

a la suma de las longitudes de sus lados, en nuestrocaso escribimos:

Observa que el producto 2 x c expresa el doble dec. A partir de ahora podemos sustituir el símbolo delproducto x por . de este modo:

3 x b expresa el triple de b, escribimos3 . b o bien 3b.

7 x b expresa 7 veces b, escribimos7 . b o bien 7b.

Mañana es el cumpleaños de Carlos. Cree quesus familiares le regalarán dinero, pero no sabe cuánto.Piensa en cómo lo emplearía; la mitad en invitar a susamigos, la tercera parte en comprar libros y la sextaparte la ahorrará.

Si representamos el dinero que recogerá Carlos eldía de su cumpleaños con la letra x, indicaremos sudistribución de la siguiente forma:

x

2

xpesos para comprar libros.3

xpesos para ahorrar.6

pesos para invitar a sus amigos.

1. ¿Cuál de lassiguientes afirmacio-nes es correcta?a) La hipotenusa deun triángulo rectán-gulo es siempre ellado de mayorlongitud, y por eso leasignamos la primeraletra del alfabeto.b) Los catetos de untriángulo rectángulonunca miden lomismo, por eso lesasignamos una letradiferente a cada uno.c) Aunque designe-mos los dos catetosde un triángulorectángulo con letrasdistintas, puede serque midan lo mismo.

Figura 2

Figura 1

Álgebra

429

5abc ; 12abc

En la figura 4 se ha representado el plano de unaparte de un piso, cuyas dimensiones están expresadasen la misma. Observa que la longitud de la terraza lapodemos expresar:

8=a+b

Podríamos comprobar que se verifican, entre otras,las siguientes igualdades:

c+d=h+ i; a = 8 _ b

En los ejemplos anteriores aparecen expresionesque son combinaciones de números y letras separadaspor los signos de las operaciones matemáticas.

Estas expresiones reciben el nombre deexpresiones algebraicas.

Observa las siguientes figuras (figura 3): Las áreasde estos polígonos se expresan:

Área del rectángulo:

Área = base por altura

A= x . z

o bien, también se expresa:

A=x z

Área del triángulo:Área = la mitad de la base por la altura

a . b

A= 2

Área del cuadrado:Área = lado al cuadrado

A=y2

Expresiones algebraicas

Vamos a representar la edad de cada uno de losmiembros de la familia de Carlos. Sabemos que laedad de la hermana es dos tercios de la de Carlos, lade la madre el triple, la del padre cuatro veces y la delabuelo es igual a la suma de las edades del padre y lamadre.

Observa:

Edad de Carlos = a

2Edad de la hermana = 3 a

Edad de la madre = 3a

Edad del padre = 4a

Edad del abuelo = 3a + 4a

2. Escribe una fórmulapara el perímetro deun rectángulo de baseb y altura h.

3. En una familia, elpadre tiene el doble dela edad del hijo y lastres quintas partes dela edad del abuelo. Sirepresentamos por tla edad del abuelo,¿cuál es la edad delpadre y del hijo?

Figura 3

Figura 4

430

Álgebra

Términos y coeficientes de una expresiónalgebraica

5 1a + a + 2b + ab+ 3b

3 2

Esta expresión algebraica está formada por cincosumandos.

Llamaremos término de una expresión algebraicaa cada uno de dichos sumandos.

Así:

2a es una expresión algebraicade un término

3a+b es una expresión algebraicade dos términos.

3ab+2a+1 es una expresión algebraicade tres términos.

Observa que cada término consta de una partenumérica y una parte literal. Llamaremos coeficientede un término a su parte numérica. Así:

2a es un término de coeficiente 2 yparte literal a.

3 ab es un término de coeficiente 2 y 2 parte literal ab. 3

xy2 es un término de coeficiente 1 yparte literal xy2.

Observa los siguientes pares de términos:

Edad de la madre = 3a = 3 . 9 = 27 añosEdad del padre = 4a = 4 . 9 = 36 añosEdad del abuelo =3a +4a=27+36 =63 años

Hemos calculado el valor numérico de estasexpresiones algebraicas.

Observa que si la edad de Carlos fuera otra, losvalores numéricos de cada una de las expresionesanteriores serían distintos.

El valor numérico de una expresión algebraica noes único, pues depende del valor que se le dé a laletra o letras que en ella intervienen.

Resumen de conceptos algebraicos básicos

Por lo expuesto hasta ahora se ve que el álgebratiene muchos puntos de contacto con la aritmética,que estudia y resuelve los casos concretos relativosal cálculo de cantidades. El objeto del álgebra estátambién compuesto en parte por el cálculo decantidades, como en la aritmética, pero las consideraen general de manera que define las operaciones encontextos más amplios, a saber, los conjuntos grandesde números. Como se interesa por las cuestionesestructurales, representa las cantidades por mediode las letras del alfabeto, lo cual extiende los resultadosa cualquier cantidad definible dentro del conjunto denúmeros considerado por el planteamiento especificode cada problema. Los cálculos que constituyen lapráctica del álgebra se realizan por medio de lasexpresiones algebraicas, agrupaciones de símbolosen forma de letras ligados a otros símbolos y acantidades numéricas mediante signos especiales queindican las operaciones que deben tener lugar entreellos. Ejemplos de expresión algebraica son:

Se dice que las expresiones algebraicas sonenteras si los símbolos que se incluyen sólo tienenexponentes enteros y si en la expresión no haydenominadores.

Como por ejemplo,

4x3 + 3a5 c2d

Si en una expresión hay un denominador, entoncesse llama fraccionaria. Un caso de expresión fraccionariaes:

Una expresión es racional siempre que las letrasque en ella participan no aparezcan bajo ningún radi-cal, como en el caso de

Cada uno de ellos tiene la misma parte literal.Términos semejantes son aquéllos que tienen lamisma parte literal.

Valor numérico de una expresión algebraicaVamos a considerar el ejemplo de la familia de

Carlos visto anteriormente. Si sabemos que la edadde Carlos es 9 años, ¿cuáles son las edades de losdemás miembros de la familia?

Observa:Edad de Carlos = 9 años

2 a = 2 9

= 2 . 9

=Edad de la hermana= 3

3 3 18= = 6 años 3

5a2lc3 4ez + 13y5_

3x3z 4ac _

b, etc. x5

2th _ 13uy

4xz7

xyz 5¶

Finalmente, una expresión es irracional si hayalguna letra bajo algún radical. Por ejemplo,

1. Aunque designemoslos dos catetos de untriángulo rectángulo conletras distintas, puedeser que midan lo mismo.

2. P = 2 b + 2 h.

3. Edad del abuelo = t

Edad del padre = 3 t 5

Edad del hijo = 1 . 2

. Edad del padre = 1 . 2

. 3 t = 3 t . 5 10

a ; 3a 3ab ; 5 ab 43b ; 7 b

2

a2b ; 3a2b 5abc ; 12 abc3xy2 ; 5 xy2

Álgebra

431

Una expresión puede ser al mismo tiempofraccionaria e irracional, o fraccionaria y racional.

Pero no puede ser al mismo tiempo entera yfraccionaria, ni racional e irracional. Se llama términoa toda expresión algebraica cuyos elementos no estánseparados por los signos + o _. Los términos de laexpresión:

3xyz 5 + 3x 7 y + q

5

5x2+4xy + 3yz3, son 5x2, 4xy

2x

5

y 3yz3

2x

Si una expresión algebraica tiene un único términoy es entera se dice que es un monomio. Por ejemplo,4e5z es un monomio. Se llaman indeterminadas ovariables las cantidades que se simbolizan medianteletras porque son desconocidas.

Un número situado a la izquierda de una variablese denomina coeficiente. Si el coeficiente es 1, no seescribe.

Un exponente es un número que se sitúa en elángulo superior derecho de una variable o de unacierta cantidad. Indica las veces que la variable o lacantidad debe ser tomada como factor.

Por ejemplo, en el monomio

5b1y4

el coeficiente es 5, las variables, b e y, y los exponentes,1 y 4.

El grado de un término se define como la suma delos exponentes que afectan a sus letras. Por ejemplo,el monomio 4a3 b5 c2 d3 x4 y6 z3 es de 3+5+2+3+4+6+3 = vigésimosexto (26 = 3 +5+ 2+3 +4+6 +3) grado.

En las expresiones fraccionarias el grado equivalea la diferencia entre los grados de numerador ydenominador.

El binomio de Newton.Expresión general para la potenciación de la sumade dos términos

En este capítulo vamos a considerar primeroalgunas de las expresiones conocidas corres-pondientes a potencias de sumas y diferencias.

Cuadrado de la suma de dos términosEn primer lugar, tenemos que el cuadrado de la

suma de dos números, a y b, es igual a la suma delcuadrado del primero, a2, más el producto del dobledel primero por el segundo, 2ab, más el cuadrado delsegundo, b2. Ello puede escribirse así:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Este resultado es fácil de comprobar realizandouna analogía geométrica: supongamos que tenemos

un cuadrado del que el lado es equivalente a a + b ycuya área, por tanto, es (a+b2). En la figura 5 se vecon claridad cómo esa área se completa sumando a2,ab, ab y b2.

Cuadrado de la diferencia de dos términosExiste también una expresión similar para el

cuadrado de la diferencia de dos números. Se tratade:

(a_b)2 = a2-2ab + b2

Ello se interpreta diciendo que el cuadrado de ladiferencia de dos números, a y b, es igual al cuadradodel primero, a2, menos el doble del primero por elsegundo, 2ab, más el cuadrado del segundo, b2. Ellotiene también una analogía geométrica, como semuestra en la figura 6, donde el área del cuadrado (1)_(a _ b)2_ se puede obtener restando del área delcuadrado mayor _a2_ las de las correspondientes alos cuadrados (2), (3) y (4) _(ab _ b2), b2 y (ab _ b2),respectivamente_. Así, resulta que

(a _ b)2 = a2 (ab _ b2)_ (ab _ b2) b2 == a2 _ ab + b2 _ab + b2 _ b2

y agrupando términos nos queda

a2 _ ab ab + b2 + b2 _ b2, lo cual se correspondeperfectamente con a2 _2ab + b2.

Si hubiéramos considerado que ello es equivalenteal cuadrado de la suma de dos números, siendo unode ellos negativo, habríamos llegado a la mismaconclusión:

[a+(_b)]2 = a2+2a(_b)+b2 == a2 + 2a(_1)b + b2 = a2 _2ab + b2

Cubo de la suma de dos términos

Similarmente, podemos decir que el cubo de lasuma de dos números, a y b, equivale al cubo delprimero, a3, más el triple del cuadrado del primeropor el segundo, 3a2b, más el triple del primero por elcuadrado del segundo, 3ab2, más el cubo delsegundo, b3. Ello se expresa de la siguiente manera:

(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3

Cubo de la diferencia de dos términosCon respecto al cubo de una diferencia de dos

números, a y b, se puede demostrar que es equivalenteal cubo del primero, a3, menos el triple del cuadradodel primero por el segundo, 3a2b, más el triple delprimero por el cuadrado del segundo, 3ab2, menos elcubo del segundo b3, lo cual acostumbra expresarseasí:

(a + b)3 = a3 _ 3a2b + 3ab2 _ b2

También se puede partir del planteamiento delcubo de la suma de dos números de signo opuesto:

4. ¿Cuáles de lassiguientes respuestasson correctas?a) El símbolo x delproducto se sustituyenormalmente por .

para no confundir elaspa con la letra x.b) Si entre dos letras oentre un número y unaletra no se escribeningún símbolo,normalmente sesobreentiende que seestán multiplicando.c) Si entre dos núme-ros no se escribeningún símbolo,normalmente sesobreentiende que seestán sumando.

5. ¿A qué es igual elcuadrado de la sumade dos números?

432

Álgebra

[a+(_b)]3 = a3 +3a2(_b) + 3a(_b)2 +(_b)3 == a3 +3a2 (_1)b + 3a(_1)2 b2+(_1)3 b2 == a3 _3a2b+3ab2_b3

Los dos casos anteriores tienen suscorrespondientes analogías geométricas, cuyoplanteamiento proponemos al lector como ejercicio.

El binomio de NewtonDada una potencia, n, de una suma de dos

términos, a y b, existe una expresión generalequivalente que recibe el nombre de binomio de New-ton. Se acostumbra escribir de la siguiente manera:

donde la expresión formada por un par de números,m y n, situados uno encima del otro y encerradosentre paréntesis, equivale a:

que indica el número de combinaciones que

se pueden hacer con n números tomados de m enm.

Este número combinatorio vendrá dado por:

n m

n = n!

m m! (n-m)!

Observemos que pueden realizarse simplificacionesimportantes que facilitan los cálculos.

Por ejemplo, en el caso de es evidente

que el numerador queda reducido a 9 . 10 puesto quelos ocho factores primeros quedan eliminados por 8!del denominador.

En el denominador sólo quedará 2!. Por lo tanto:

(a + b)n = n anb0 + n a n-1 b+ n an_2b2+

0 1 2

= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 = 10 1 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9

10 = 10! = 1 1! . 9!

= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 = 45 1 . 2 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

10 = 10! = 2 2! . 8!

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

10 = 10! =10 10! . 0!

= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 = 1 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 1

= 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 = 1 1 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10

Así pues, el número combinatorio se

obtendrá como factorial del de arriba, n!, partido porfactorial del de abajo, m!, y por factorial de ladiferencia (n_m)!

Es necesario recordar que = 1 por defini-

ción y que, por la misma razon, 0! = 1.Vamos a calcular, por ejemplo, qué valores toman

algunos de los coeficientes del desarrollo del binomiode Newton para la décima potencia de a + b;

A n! se le llama factorial de n y es igual al producto de todos los números naturales sucesivos que vandesde la unidad hasta n inclusive:

n! = 1 . 2 . 3 . 4. .......... . (n-1) . n

nm

n0

10 = 10! = 0 0! . 10!

10!2! . 8!

10 = 10! = 9 . 10 = 90 = 45 2 2! . 8! 1 . 2 2

Así, tenemos que:

10 =1; 0

10 = 10; 1

10 = 45; 2

10 = 120; 3

+... + = n a2bn-2+ n abn-1 + n a0bn

n_2 n_1 n

m . (m_1) . (m_2) . ... . 2 . 1

n m =

n . (n_1) . (n_2) . ... . (n_m+1)

10 =252; 5

10 =210; 4

10 =210; 6

10 =120; 7

4. El símbolo x delproducto sesustituye por . parano confundir el aspacon la letra x. Sientre dos letras oentre un número yuna letra no seescribe ningúnsímbolo, normal-mente se sobreen-tiende que se estánmultiplicando. Lasoperaciones entredos números se hande indicar siempreexplícitamente.

5. El cuadrado dela suma de dosnúmeros es igual ala suma del cuadra-do del primero másel doble del produc-to del primero porel segundo más elcuadrado delsegundo.

Figura 5

Álgebra

433

10 = 45; 8

10 =10; 9

10 = 1 10

finalmente resulta que

(a+b)10 = a10 + 10a9b1 + 45a8b2 + 1207b3+210a6b4+252a5b5 +210a4b6 +120a3b7+45a2b8 ++ 10a1b9+b10

Los coeficientes del binomio de Newton aparecenpara cada potencia en las líneas del mismo orden deltriángulo de Tartaglia:

donde los números de cada línea en una posicióndada, n, se forman mediante la suma de aquellosque ocupan la posición n_1 y n en el nivel inmediatosuperior.

Cuadrado de la suma de varios términosExiste una relación simple que desarrolla el cuadrado

de una suma de varios términos como la suma de loscuadrados de los términos en cuestión, más el doblede los productos que entre ellos puedan formarsedos a dos. Así,

(a+b+c+d+e)2 =a2+b2+c2+d2 +e2+2ab+2ac+2ad+2ae+2bc+2bd+2be+2cd+2ce+2de

Ello se puede mostrar con un ejemplo:

(3+4+6+8+9)2 =32+42+62++82+92 +2 . 3 . 4 +2 . 3 . 6 +2 . 3 . 8 ++2 . 3 . 9 +2 . 4 . 6+2 . 4 . 8 +2 . 4 . 9 ++2 . 6 . 8+2 . 6 . 9 +2 . 8 . 9 = 900

lo cual coincide con

(3+4+6+8+9)2 = 302 = 900

expresiones del tipo P(x), una letra mayúscula y entreparéntesis la indeterminada correspondiente. Asíescribimos:

Cada uno de los sumandos o monomios que formanun polinomio es un término del mismo.

Decimos que:Un monomio es un polinomio de un solo término.Un binomio es un polinomio de dos términos.Un trinomio es un polinomio de tres términos.Si en una expresión polinómica aparecen

P(x) =3x2 + 1 x4 + 4 x+3x4 _ 5 x2

4 3 2

monomios semejantes:

P(x) = 3x2 - 5 x2 + 1 x4+3x4 + 4 x2 4 3

P(x)= 1 x2 + 13 x4 + 4 x2 4 3

podemos simplificarla, sumándolos:

La expresión del polinomio así obtenida es la formareducida del mismo y el proceso realizado paraobtenerla se denomina reducción de términossemejantes del polinomio.

Observa que si un polinomio está escrito en formareducida, todos los monomios que lo constituyen tienedistinto grado. Podemos, pues, ordenar sus términoso monomios según sea su grado.

Esta ordenación puede ser creciente o decreciente,según se ordenen de menor a mayor grado oviceversa.

Polinomios de una variableObserva las siguientes expresiones algebraicas:

Cada una de ellas indica sumas de monomios deigual indeterminada. Diremos que son polinomios.

En general, para nombrar un polinomio utilizamos

R(z) =_1 z +3z5 _ z2 + 2 + 5z2

2

P(x) =2x4_ 3x6 + 1 x_32

Q (y) = 4y3 +2y

_ 1 z + 3 z2 _ z2 + 2 + 5 z2

2

2x4_ 3x6+ 1 x_ 32

y3+y

Arthur Cayley

(Richmond, ReinoUnido, 1821-Cambridge, id.,1895) Matemáticobritánico. estudiómatemáticas yderecho. Nombradoprofesor de estaprimera disciplina,permaneció enCambridge durante elresto de sus días.Uno de losmatemáticos másprolíficos de lahistoria, Cayleypublicó a lo largo desu vida más denovecientos artículoscientíficos.Considerado comouno de los padres delálgebra lineal,introdujo el conceptode matriz y estudiósus diversaspropiedades. Conposterioridad empleóestos resultados paraestudiar la geometríaanalítica dedimensión; en 1859concluyó que lageometría métrica seencontraba incluidaen la proyectiva,noción que recogeríaFelix Klein en suestudio de lasgeometrías noeuclídeas. Entre1854 y 1878escribió diversosartículos en los quedesarrolló por vezprimera la teoría delos invariantes.

6. ¿Cuál es el desa-rrollo de Newtonpara (a-b) 5?

7. Calcular el valor de115

8. ¿Qué es unbinomio?

Figura 6Figura 6

434

Álgebra

P(x)=13 x4 + 1 x2 + 4 x4 2 3

P(x) =2x4+3x2 _ x+2

Q(x) =2 _ 3x2 + x3 _ 5x6

Observa que si un polinomio está escrito en formareducida y ordenada decreciente, su grado es el primermonomio, mientras que si está escrito en formareducida y ordenada creciente, su grado es el del

Q(x) =5x6 _ 3x4 + x3 _ 2x + 1

P(x) =3x4_2x3 +x2 _ 1 x + 2 2

último monomio.Consideremos los siguientes polinomios:

naturales más el cero en el conjunto R de los númerosreales, que hace corresponder el cero real a todos losnúmeros naturales mayores que uno dado. De esamanera, podremos expresar un polinomio de la ma-nera siguiente:

(ao, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

El término a0 que representa al coeficiente cuyo

término tiene grado 0, se denomina términoindependiente.

Al mayor número natural que sea subíndice de untérmino no nulo de la sucesión se le llama grado delpolinomio. De esa manera, los anteriores polinomiosson de noveno, cuarto, sexto y noveno grado respec-tivamente. El último término no nulo de la sucesiónrecibe el nombre de coeficiente principal. Así, loscoeficientes principales de los ejemplos anteriores son:4, 4, 0,05, 1 y 10. Si además el coeficiente principalse iguala a la unidad se dice que el coeficiente princi-pal del polinomio se ha normalizado. También puededecirse en ese caso que dicho coeficiente se hareducido.

SumaLa suma de dos polinomios es otro polinomio del

que los coeficientes son el resultado de la sumaordenada de los coeficientes iniciales. Así, si indicamoslos polinomios que deseamos sumar como:

A=(ao, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0, 0, 0, 0, 0, ...}y

B={b0, b

1, b

2, b

3, ..., b

n, b

(n+1), b

(n+2), ..., b

m,

0, 0, 0, 0, 0, ...}

hemos considerado que m > n y el grado del polinomioB es mayor que el del polinomio A. Entonces, elpolinomio, suma de los dos anteriores, podrá serexpresado como:

S=A+B={a0+b

0, a

1+ b

1, a

2+b

2, a

3,+b

3 ...,

an+b

n, b

n+1, b

n+2, ..., b

m, 0, 0, 0, ...}

El grado del polinomio suma, PS es mucho tan alto

como el del polinomio inicial de mayor grado. Veamosun ejemplo:

Sea P1= {6,4, 7, _2, 3, _1, 8, 0, 0, _3, 0,

0,0,0, ...} y

Sea P2 = {_2, 3, _1, _1, 0, _4, 0, _3, 0, 3, 0,

0,0, 0, ...}

Luego Ps = P1+P

2 = {4, 7, 6, _3, 3, _5, 8, _3,

0, 0, 0, 0, 0, 0}

Con lo que resulta que Ps es de octavo grado,

mientras que P1 y P

2 son ambos de décimo grado.

Que el grado del polinomio suma sea menor que el delos polinomios sumandos puede ocurrir cuando, como

Ordenación creciente:

Ordenación decreciente:

La expresión del polinomio así obtenida es la formareducida y ordenada del mismo.

Llamamos grado de un polinomio al mayor de losgrados de los monomios que lo forman

es un polinomio de cuarto grado.

es un polinomio de sexto grado.

P(x)= 4 x + 1 x2 + 13 x43 2 4

El polinomio P(x) tiene, desde el término de mayorgrado hasta el término de grado cero, un monomiode cada grado. Diremos que es un polinomiocompleto.

En cambio, siguiendo este criterio, al polinomioQ(x) le faltan dos monomios: el de quinto grado y elde segundo grado. Diremos que es un polinomioincompleto.

El polinomio como una sucesión de números realesTeniendo en cuenta únicamente los coeficientes

ordenados por el grado, en sentido ascendente, y sise considera que los coeficientes de los términos quefaltan son nulos, los polinomios de una variable sepueden expresar mediante una sucesión de númerosreales de forma que a partir de un cierto términotodos los que le siguen son cero.

Por ejemplo, las siguientes sucesiones de númerosreales pueden indicar sin ambigüedad la composiciónde los coeficientes de un polinomio:

{5, 8, 2, 1, 1, 3, 9, 9, 7, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...} ,{5, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}{3,1, 4, 23, 6, 21, 0, 1, 0, 05, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...} ,{1/3, 2/5, 0, 0, 4/5, 0, 1, 0, 0, 0, ...}{ 2, 5, 3, 0, 0, 0, 5, 6, 7, 10, 0, 0, 0, ...}

Vamos a considerar que un polinomio es unaaplicación del conjunto N ∪ {0 } de los números

6. (a – b)5 = a5 – 5a4 b + 10 a3b2 – 10a2b3 + 5 a b4 – b5

7.

8. Un binomio es unpolinomio de dostérminos.

11 = 462 5

Álgebra

435

en el caso que nos ocupa, el grado de los polinomiossumandos sea igual.

Por el contrario, si se suman polinomios de gradodiferente, siempre se obtendrá un polinomio cuyogrado será el del polinomio de mayor grado. Porejemplo,

Sea P1 = {6, 4, _1, _2, 0, 0, 0, 0, ...}

Sea P2 = {0, -4, 0, _3, 0, 3, 0, 0, 0, 0, ...}

Luego Ps= P

1 + P

2 = {6, 0, _1, _5, 0, 3, 0, 0, 0,

0,0,0}

donde se aprecia que el grado de Ps es el mismo queel de P

2. La suma de polinomios verifica las

propiedades asociativa y conmutativa, ya que, comose demostró, también se verifican en la suma denúmeros reales.

Además, se puede demostrar que existe unpolinomio que es el elemento neutro para la suma depolinomios y que los coeficientes son todos iguales alelemento neutro para la suma de números reales. Talpolinomio se expresa:

{0, 0, 0, 0, ...}

Además, para cada polinomio existe un elementosimétrico _u opuesto_ del que los coeficientes sonlos elementos opuestos de los coeficientes delpolinomio considerado para la suma de númerosreales. De esa manera, tenemos que el polinomio

A={ao, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

tiene un elemento simétrico para la suma, que es

_A={_ao, _a

1, _a

2, _a

3, ..., _a

n, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

lo cual se confirma al sumar A y _A y obtener elelemento neutro {0, 0, 0, 0, 0, ...}.

Vemos, pues, que se verifican las propiedades queconfieren estructura de grupo conmutativo al conjuntode los polinomios con la suma.

Vamos a llamar X al polinomio normalizado deprimer grado cuyo término independiente es nulo.Tenemos entonces que X puede ser expresado comosigue:

X = {0,1, 0, 0, ...,}

Como se verá más adelante, las potenciassucesivas de ese polinomio especial dan lugar a unaserie de polinomios especiales, como sigue:

X2 = {0, 1, 0, 0, ...,} . {0, 1, 0, 0, ...,} == {0 . 0, 0 . 1 + 1 . 0, 0 . 0 + 1 . 1 ++ 0 . 0, 0 . 0 + 0 . 0, ...} = {0, 0, 1, 0, 0, ...}

X3 = {0, 0, 1, 0, 0, ...} . {0, 1, 0, 0, ...,} == {0 . 0, 0 . 0 + 1 . 0, 0 . 1 + 1 . 0, 0 . 0 ++ 1 . 1 + 0 . 0 + 0 . 0, 0 . 0...} =={0, 0, 0, 1, 0, 0, ...}

X4 = {0, 0, 0, 1, 0, 0, ...}

Y así sucesivamente.Resultará que las potencias sucesivas de X serán

polinomios normalizados del grado de cada potencia yen donde los restantes coeficientes serán nulos.Veremos más adelante con detalle que un polinomiopuede escribirse de la manera siguiente:

A = {an, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0, 0, 0, 0, 0, ...} =

= a0+a

1.{0, 1, 0, 0, ...,}+a

2.{0, 0, 1, 0, 0, ...}+

+ a3 . {0, 0, 0, 1, 0, 0, ...} +

+ ... + an .{0, ..., 1, 0, 0, ...}

y como es correcto expresar los polinomiosnormalizados de grado n cuyos coeficientes de gradomenor que n son nulos con los monomios de grado n,entonces el polinomio A podrá ser expresado comosigue:

A = ao + a

1x + a

2x2+ a

3x3 + ... + a

nn

siendo la letra x la variable independiente, comoanteriormente se vio. Para simbolizar la variableindependiente, si bien es costumbre utilizar la letra x,puede escogerse cualquiera, prefiriéndose por lo ge-neral las últimas letras del alfabeto. Con esta nuevaescritura, algunas operaciones entre polinomiosresultan menos engorrosas. Así, para que la suma depolinomios se realice sin problemas al sumarindependientemente los coeficientes corres-pondientes a los términos de grado igual, se disponenlos polinomios uno bajo el otro, de manera que lostérminos de igual grado ocupen la misma vertical.Sumemos, por ejemplo, los polinomios P

1= {6, 4,

_1, _2, 0, 0, 0, 0, ...} y P2 = {10, _4, 0, _3, 0, 3, 0, 0,

0, 0...}Hemos visto que pueden ser expresados de la

siguiente manera:

P1= 6+4x _ x2 _ 2x3y P

2= _ 4x_3x3 + 3x5

Disponiéndolos uno bajo el otro, cuidando que lostérminos de grado igual ocupen las mismas verticales,tenemos

6+ 4x _ x2

_ 2x3

_ 4x _ 3x3 + 3x5

6 _ x2 _ 5x3 + 3x5

Por regla general, para sumar polinomios se sitúande manera que los términos cuya variable está elevadaa la misma potencia queden uno bajo el otro; ellofacilita la suma de coeficientes, que se lleva a cabocomo la suma de números reales.

Se acostumbra también situar los coeficientes demanera que las cifras del mismo orden de unidad secorrespondan en la vertical, lo cual facilita las cosas.Por ser tan sólo una regla práctica, no es obligatorio.Quien pueda realizar las sumas de polinomiosdispuestos en fila, uno al Iado del otro, podráahorrársela.

n-1+ +

9. ¿Cuál es el términoindependiente y elcoeficiente principaldel polinomio 5x –7x3?

10. Escribe en formade expresiónalgebraica el polinomio{3, 0, 0, -2, -1, 0, 0,0 …}.

11. ¿Cuál es elelemento neutropara la suma depolinomios?

436

Álgebra

RestaComo se ha mostrado anteriormente, se verifica

para la suma entre los elementos del conjunto de lospolinomios la existencia para cada uno de ellos de unelemento simétrico. Ello facilita la definición de resta,ya que puede ser interpretada como sigue:

D = A _ B = A + (_B)

donde D es la diferencia, A es el minuendo y B es elsustraendo. Así, para restar dos polinomios hay quesumar al minuendo el polinomio simétrico del sustraendo,que se obtiene al invertir el signo de todos sus coe-ficientes. Por ejemplo, si se desea restar los polinomiosP

1=1 + 2x _ 3x2 _ 4x3 + 2x3 + 2x5 y P

2 = 3 _ x + 3x2

_ 3x3 + 2x3 + x5 se disponen de la manera indicadapara la suma, se cambian todos los signos del sustraendoy se realiza corrientemente la suma:

Es necesario demostrar que a partir de un ciertotérmino, todos son nulos.

Como n y m son los grados de los polinomios A y B,respectivamente, todo término de la forma al es nulosi I es mayor que n y todo término de la forma k, esnulo si k > m. Entonces son nulos todos los términosobtenidos cuyo lugar es mayor que m+n. Veámoslo.El coeficiente de posición s se obtendrá por laexpresión:

ps= a

0b

s, + a

1b

s-1, + a

2b

s-2+...+a

nb

s-n+...+

+amb

s-m+a

s-2b

2,+a

s-1b

1+a

sb

0

Al ser s mayor que m + n, todos los productos dela expresión son nulos. Si s > m + n ⇒ s > m y s >n, entonces todos los términos desde b

s_n hasta b,

son nulos ya que s _ n > m y todos los términos desdea

s_m hasta a

s son también nulos porque s m > n.

Además son nulos todos los productos en que hay uncoeficiente del polinomio A de grado superior a n. Porello se deduce que si s > m + n entonces elcoeficiente p

s, es nulo porque se forma por una suma

de productos en los que al menos un factor es nulo.Nótese además que en la forma general del productoantes expresada, cuando el subíndice consideradosupere n, el grado del polinomio de menor grado, losproductos en que aparezcan coeficientes con índicesmayores que n serán nulos, porque todos loscoeficientes de la forma a

n+1 son nulos. De ahí su

aparente falta de simetría.Por todo lo expuesto queda demostrado que el

producto de dos polinomios cualesquiera es unpolinomio y, por tanto, la multiplicación de polinomioses una operación interna. Ya hemos visto que elconjunto de los polinomios con la operación sumaforman un grupo conmutativo. Por ello y porque sedemuestra que en el producto se verifica la propiedadasociativa, que tiene elemento neutro y que se adaptaa la propiedad distributiva con respecto a la suma,concluimos que el conjunto de los polinomios con lasoperaciones suma y producto que en ellos hemosdefinido forman un anillo conmutativo.

Las demostraciones de la asociatividad y de ladistributividad con respecto a la suma son en extremolaboriosas. Por esta causa, y también por su trivialidad,no vamos a realizarlas. Es interesante, sin embargo,hacer notar que el elemento neutro del producto depolinomios es el polinomio {1, 0, 0, 0, 0, 0, ...}.Comprobemos que el producto de este polinomio porcualquier otro no afecta a este último:

{a0, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0, 0, 0, 0, 0, ...}.

.{1, 0, 0, 0, 0, 0, ...} = {1 . a0, 1 . a

1+0 . a

0, 1.

. a2+0 . a

1 +0 . a

0, ..., 1. a

n + 0 . a

n-1+... +

+ 0 . a1 + 0 . a

0, ...} = {a

0, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0,

0, 0, 0, 0, ...}

Un polinomio puede ser multiplicado por un númeroreal. Ello da lugar a un polinomio nuevo en el que

MultiplicaciónEl producto de la multiplicación de polinomios se

define de la siguiente manera: si los factores son lospolinomios

A=(ao, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0, 0, 0, 0, 0, ...} y

B={b0, b

1, b

2, b

3, ..., b

n, b

(n+1), b

(n+2), ..., b

m, 0

0, 0, 0, 0, ...}

donde, como m > n y el grado del polinomio B es portanto mayor que el del polinomio A, entonces elpolinomio producto de los dos anteriores será:

P = A . B = {a0b

0, a

0,b

1, + a

1b

0, a

0b

2 + a

1b

1 +

+ a2b

0, a

0b

3, + a

1b

2 + a

2b

1 + a

3b

0 ,...,

a0b

i, + a

1b

i_1+ a

2b

i_2+ ... + a

i_2b

2+

+ ai_1

,b1, + a

i,b

0, ..., a

0b

n, + a

1b

n_1,+a

2b

n_2+ ...

+ an_2

b2, + a

n_1b

1+ a

nb

0, a

0b

n_1+a

1b

n+a

2b

n

_1+

+ ... + an_2

,b3, + a

n_1,b

2, +a

nb

1, ..., a

0b

m+

+ a1b

m_1, + a

2,b

m_2+... + a

n_2,b

m_n_2+

+ an_1

bm_n_1

+ anb

m_n}

donde i expresa un indice intermedio, que seacostumbra denominar i-ésimo.

Para que el producto así descrito esté definido enel conjunto de los polinomios, tiene que ocurrir que,dados dos polinomios cualesquiera, el resultado demultiplicarlos sea un nuevo polinomio. Esto implicaque podrá ser expresado por una sucesión denúmeros reales que a partir de cierto momento sólocontendrá ceros. La condición de ser números realesqueda satisfecha porque cualquier producto denúmeros reales tiene como resultado un número real.

1 + 2x _3x2 _4x3 + 2x3+ 2x5

_3 + x _3x2 + 3x3 _ 2x3 _ x5

_2 + 3x _6x2 _x3 + x5

9. El término indepen-diente del polinomio 5x– 7x3 es cero, y sucoeficiente principales –7.

10. La sucesión {3, 0,0, – 2, – 1, 0, 0, 0},… representa alpolinomio 3 – 2x3 –x4.

11. El elementoneutro para la sumade polinomios es elpolinomio cero, que seexpresa como 0 ócomo {0, 0, 0, …}.

Álgebra

437

cada coeficiente es igual al producto del polinomioinicial por el número real. Para definir correctamenteeste producto debemos establecer primero una aplica-ción de los números reales en los polinomios tal que:

f(a) = {a, 0, 0, 0, 0, ...}

De esa manera cualquier número real secorresponde con un polinomio cuyo único término esel independiente y coincide con ese número real. Así,las operaciones con números reales debencorresponderse con las operaciones realizadas conlos polinomios que les corresponden.

Así, para la suma, tenemos que

f(a+b)={a+b, 0, 0, 0, 0, ...} = {a, 0, 0, 0, 0, ...}+ {b, 0, 0, 0, 0, ...} = f(a) + f(b)

y para el producto,

f(a + b) = {a. b, 0, 0, 0, 0, ...} =={a.b, 0 + 0, a . 0 + 0 . 0 + 0 . b, ...} =={a, 0, 0, 0, 0, ...}.{b, 0, 0, 0, 0, ...}= f(a) . f(b)

Por eso el producto de polinomios con númerosreales se define como el producto del polinomio quese corresponde con el número real y del polinomioque se tiene en consideración. Así,

r .{a0, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0, 0, 0, 0, ...} =

= {r, 0, 0, 0, 0, ...} . (a0, a

1, a

2, a

3, ..., a

n, 0,

0, 0, 0, 0, ...}= {r . a0, r . a

1, r . a2, r . a

3 ...,

r . an, 0, 0, 0, 0, 0, ...}.

Todos los números reales, menos el cero real, puedencorresponderse con un polinomio de grado cero. Encuanto al cero real, se considera indistintamente queno posee grado o que su grado es menos infinito.Cuando se utiliza la notación con variable, la realizacióndel producto de polinomios resulta más cómoda.

Dispuestos los factores ordenadamente uno bajoel otro, se multiplican todos los términos de un factorpor todos los términos del otro. De esa manera resultaque con el producto de dos términos cualesquiera seobtiene otro cuyo coeficiente es el producto de loscoeficientes y tiene un grado que es la suma de losgrados de los términos que intervienen.

Se empieza por la multiplicación, ya sea del términode menor grado, ya del de mayor, del polinomio infe-rior por todos los términos del polinomio superior. Lostérminos obtenidos se disponen ordenadamente demanera que quede espacio para los términos de losgrados que no han aparecido como resultado de estamultiplicación. Seguidamente se multiplica el segundotérmino del polinomio inferior por todos los del polinomiosuperior, teniendo cuidado de situar los términos asíobtenidos bajo los términos del mismo grado queanteriormente se obtuvieron o, en su defecto, bajolos espacios que se dejaron para los grados que en laprimera multiplicación no se produjeron.

Cuando se han agotado los términos del polinomioinferior se procede a la suma de los términos del mismogrado resultantes de cada multiplicación. A modo deejemplo vamos a efectuar un producto de dos poli-nomios:

Sean éstos 4 + 5x + x4 y 1 + x + 2 x2 + 3x3

1 + x + 2 x2 + 3x3

4 + 5x+ x4

x4+ x5 + 2x6 + 3x7

5x + 5x2 +10x3 + 15x4

4 +4x + 8x2 + 12x3

4 +9x +13x2+ 22x3 +16x4+ x5+ 2x6+ 3x7

División

Sean A y B dos polinomios de grados n y m,respectivamente. Si n ≥ m, entonces existen otrosdos polinomios, C y D, tales que:

A=C . B+D

El grado del polinomio D debe ser en cualquiercaso menor que el grado del polinomio B.

A, B, C y D se denominan entonces dividendo,divisor, cociente y resto, respectivamente.Habitualmente se dice que el resuitado de la divisiónde A por B proporciona C como cociente y D comoresto. La división definida de esta manera recibe elnombre de división en potencias decrecientes. Paracomprender la dinámica práctica de esta operación,hallemos a continuación el cociente y el resto de ladivisión en potencias decrecientes de los polinomios.

1 + 12x _11 x2 _ 3x3 + 11 x4 + 4x5 y 2_

_ 5x+ 3x2+4x3

Ordenémoslos primero por orden de gradosdecrecientes:

4x5+11x4 _ 3x3 _11x2+ 12x+1 4x3+3 x2_ 5x+2_4x5 _ 3x4 + 5x3 _ 2x2 x2+2x_1 8x4+ 2x3 _ 13x2+ 12x+1 _ 8x4 _ 6x3+10x2 _ 4x _ 4x3 _ 3x2 + 8x+ 1

4x3+ 3x2 _ 5x+ 2 3x+ 3

Esta división nos proporciona como cociente elpolinomio x2 + 2x 1 Y como resto el polinomio 3x +3. Como se ve, el grado del resto, 1, es menor que eldel divisor, 3. Una vez ordenados los términos de mayora menor grado en ambos polinomios, se busca eltérmino de mayor grado del polinomio cociente. Esose hace mediante la división del primer término deldividendo por el primer término del divisor. Se ha dadoque 4x5 : 4x3 = x2. El coeficiente de este término demayor grado del cociente es el cociente de la divisiónentre coeficientes: 4 : 4 = 1. Su grado es la diferenciade grados: 5 _ 2 = 3. Obtenido el término de mayor

12. Si se multiplicaun polinomio de gradon por un polinomio degrado m, ¿cuál es elgrado del polinomioresultante?

13. ¿Cuál de lassiguientes afirmacio-nes es correcta?a) El grado deldividendo es igual algrado del divisor másel grado del cociente.b) El grado delcociente es mayorque el grado delresto.c) El grado deldividendo es igual algrado del divisor porel grado del cocientemás el grado delresto.

14. Escribir dospolinomios de grado3, que sumados dencomo resultado unpolinomio de grado 1.

438

Álgebra

grado del cociente, es necesario multiplicado portodos los términos del divisor dando el polinomio +4x5+ 3x4 _5x3+ 2x2 que, restado del polinomio divi-dendo, nos ha servido para obtener 8x4 + 2x3 _ 13x2.En este punto se recuerda que esa resta equivale asumarle su opuesto. Al añadir al nuevo polinomioresultante los dos últimos términos, nos ha quedado8x4 + 2x3 13x2 + 12x + 1.

A partir de aquí, la continuación se ha producidosimilarmente a como se empezó, ya que se tomaronlos primeros términos del nuevo dividendo y del divi-sor, que permanece invariable, y se ha encontrado sucociente: 8x4 : 4x3 = 2x.

El producto de ese nuevo término por todos lostérminos del divisor ha ofrecido un nuevo polinomioque se ha restado del dividendo anterior. Hemosterminado la división cuando la resta entre el divi-dendo parcial _4x3 _3x2 + 8x + 1 y el último términoobtenido para el cociente ha dado lugar a la apariciónde un polinomio, 3x + 3, cuyo grado es inferior al deldivisor. Para comprobar la división basta con efectuarla suma del resto y del producto del cociente por eldivisor y verificar que su resultado coincide con el divi-dendo. Eso ocurre, por la propia definición de divisiónpor en potencias decrecientes, ya que sustituyendoen A = C . B + D, queda:

4x5 + 11 x4 3x3 11x2 + 12x + 1 == (x2 + 2x -1) . (4x3 + 3x2 _ 5x + 2) + 3x + 3

Veámoslo: 4x3+ 3x2 _ 5x+2 x2 + 2x _ 1

_ 4x3 _ 3x2 + 5x _ 2 8x4 + 6x3 _ 10x2 + 4x 4x5 + 3x4 _ 5x3 +2x2

4x5+ 11x4 _ 3x3 _ 11x2 + 9x _ 2y sumando 3x+3queda 4x5+ 11x4 _ 3x3 _ 11x2 + 12x+1

La división de polinomios en potencias crecientes sedefine de manera que

A= C . B+xk+1. D

donde A es el polinomio dividendo, B, el divisor; C, elcociente, y D, el resto. La diferencia con la división enpotencias decrecientes es que el grado del cocientedebe ser menor o igual que k.

El método práctico de realizar la división porpotencias crecientes es similar al descritoanteriormente para la división en potenciasdecrecientes. La diferencia de forma está en que los,términos de los polinomios se ordenan por orden degrado creciente, de manera que a la izquierda se colocael término independiente y aumentan de grado haciala derecha hasta llegar al término significativo. Ladiferencia de procedimiento se encuentra en que siantes se terminaba la división cuando se obtenía unresto de grado menor que el divisor, ahora, en ladivisión en potencias crecientes, podemos aumentarel grado del cociente. Para comprobar sufuncionamiento, vamos a dividir el polinomio 4x5 +11x4 _ 3x3 _ 11x2 + 12x + 1 por el polinomio x2 + 2x_1, imponiéndonos la obtención de un cociente dequinto grado. Para ello ordenemos los polinomios enpotencias crecientes (ver la operación en el recuadroinferior).

Se nos ha producido un polinomio cociente _1_ 14x _18x2 _ 47x3 _123x4_ 297x5 ordenado enpotencias crecientes, de grado quinto según laimposición que nos habiamos fijado. El resto de ladivisión es el polinomio 717 + 297 x y k = 5 ya que loque realmente se ha obtenido es 717x6 +297x7=(717+297x) . x5+1.

La comprobación de esta división se realizasustituyendo los polinomios dividendo, divisor,cociente y resto por los del ejemplo y verificando quese cumple la igualdad:

A= C . B+xk+1. D1+12x _11x2_ 3x3 + 11x4 + 4x5 == (_1 _ 14x _18x2 _ 47x3 _123 x4 _ 297x5) .. (_1 + 2x + x2) + x5+1 . (717 + 297 x)

El lector puede realizar por sí mismo lacomprobación, pues aparte del número deoperaciones no presenta mayor dificultad.

Como consejo práctico hay que señalar quepara efectuar las div is iones en potenciasdecrecientes y en potencias crecientes hay quetener cuidado de dejar espacio en blanco paraaquellos términos cuyo grado no está presente enel dividendo pero pudiera resultar de alguna de lasoperaciones. Por ello, si, por ejemplo, el polinomio1_7x2 + 13x3 + x5 debe considerarse dividendode una división, hay que tener cuidado en dejarespacio a los posibles términos de primer y cuartogrado que pudieran aparecer. El lo no esabsolutamente necesario para la correctaobtención de resultados, pero facilita enor-memente la colocación de los términos de la sumaque podrían aparecer al multiplicar un término delcociente por el divisor. Para mostrar esta necesidad,vamos a realizar la división del polinomio 3x5 _ 3x4

_ 5x3 _ 1 por el polinomio x2 _ x _1.

12. Cuando se multi-plica un polinomio degrado n por unpolinomio de gradom, el grado delpolinomio resultanteserá n + m.

13. El grado del dividen-do es igual al grado deldivisor más el grado delcociente.

14.P = x3 – 2x2 + x – 1Q = x3 – 2x2 + x + 2P + Q = 2x + 1

1+12x-11x2 -3x3+11x4+4x5 -1 + 2x + x2

-1+2x +x2 -1 -14x 18x2 -47x3123x4 297x5

14x -10x2 -3x3 + 11x4 + 4x5

-14x + 28x2 + 14x3

18x2 + 11x3 + 11x4 +4x5

-18 x2 + 36x3 + 18x4

47x3 + 29x4 +4x5

-47x + 94x4 + 47x5

123x4 + 51x5

-123x4 + 246x5 + 123x6

297x5 + 123x6

-297x5 + 594x6 + 297x7

717x6 + 297x7

Álgebra

439

3x5 _ 3x4 _ 5x3 _1 x2 _ x _1_ 3x5 + 3x4 + 3x3 3x3_ 2x _ 2

_ 2x3

2x2_ 2x2 _ 2x_ 2x2 _ 2x _ 1

2x2 _ 2x _ 2_ 4x _ 3

Si no hubiéramos dejado los espacioscorrespondientes a los términos de segundo y primergrado, la añadidura de _1 al final no hubiera resultadotan evidente como ahora. Análogamente a losnúmeros, los polinomios son susceptibles de serdescompuestos en factores a modo de productos deotros polinomios. Si un polinomio permite unadescomposición de este tipo, se dice que esdescomponible. Si por el contrario un determinadopolinomio no permite una descomposición, se diceque es primo o irreductible.

Todo polinomio, si es descomponible, puedeescribirse de forma única como producto de uncoeficiente real por un producto de potencias depolinomios irreductibles normalizados. Ello puedeescribirse de la siguiente manera:

P = a . P1

r1 . P

2r2 . ... . P

2rn siendo r

1 r

2, ..., r

n

números naturales que representan las potencias delos polinomios irreductibles.

Regla de Ruffini

Tomemos, por ejemplo, un polinomio de cuartogrado como:

Mx4 + Nx3 + Ox2 + Px + Q. Está claro que M, N,0, P y Q son los coeficientes y supondremos que soncantidades dadas y conocidas. Vamos a dividir elpolinomio expresado antes por la expresión x- a,donde a también es un número conocido.

Mx4+Nx3+Ox2+Px+Q x _ a_ Mx4+Max3 Mx3+N

1x2+O

1x+ P

1

N1x3 + Ox2

_ N1x3 + N

1ax2

O1X2+ Px

O1X2 + O

1ax

P1x+Q

_ P1x + P

1a

RDe ello resulta queN

1= Ma + N

01 = N

1a + 0

P1 = O

1a + P

R = P1a + Q

N1 0

1 y P

1 son los nuevos coeficientes obtenidos.

Tomando este resultado como base, se puedededucir un conjunto de conclusiones interesantes.Comparemos primero los coeficientes del dividendo ylos que se obtuvieron como resultado en el cociente.

En primer lugar vemos que el primer término halladoes igual para los dos: M.

Los otros coeficientes que componen el cocientese obtienen al multiplicar el coeficiente del términoanterior por la cantidad a y añadiendo a ese productoel coeficiente de idéntico orden que se halla en eldividendo, así:

N1=Ma+N, 0

1=N

1a+0, P

1 =O

1a + P

El resto R es obtenido al multiplicar el últimocoeficiente obtenido del cociente por a y despuésañadirle el último coeficiente del dividendo.

Está claro que el grado obtenido en el cociente esmenor en una unidad que el grado del dividendo. Lascuestiones que hemos destacado con respecto a ladivisión en el ejemplo anterior, conforman la base deun procedimiento rápido para dividir polinomios porpolinomios de la forma x a llamado regla de Ruffini.

Describamos, pues, el mecanismo de la regla deRuffini por medio de un ejemplo y realicemos para ellola siguiente división:

x4 _ x3 _ 7x2 + x + 6 x _ 3_ x4 + 3x3 x3+2x2 _ x _ 2

2x3_ 7x2 + x + 6_ 2x3+ 6x2

_ x2 + x + 6x2 _ 3x

_ 2x + 62x _ 60 0

El cociente de esta división puede ser hallado deuna manera rápida por medio de la aplicación de laregla de Ruffini. Una de las ventajas de este métodoes que no se necesita escribir la variable. Ello aumentala rapidez con que se llevan a cabo las operaciones.Habitualmente se escriben en línea los coeficientesdel polinomio dividendo de manera que respeten elorden de potencias decrecientes. Así, el coeficientedel término de mayor grado ocupa el lugar más a laizquierda, mientras que el de menor grado se sitúa ala derecha. Debajo y a la izquierda del coeficiente deltérmino de mayor grado se escribe el valor a delpolinomio x_a. A continuación, en la misma línea yhacia la derecha, se escriben los productos resultan-tes de multiplicar por a los números que vanapareciendo en la tercera fila. Finalmente, en la tercerafila se escriben los resultados de las sumas de lostérminos de las dos primeras filas tomados porcolumnas. Así, la división del ejemplo anterior quedareducida a lo siguiente:

1 _ 1 _ 7 1 63) 3 6 _ 3 _ 6

1 2 _ 1 _ 2 0

En primer lugar se escriben los coeficientes delpolinomio que se quiere dividir por orden de potencias

15.¿Cuál de lassiguientes afirmacio-nes es cierta?a) El proceso dedivisión de polinomiospor potencias decre-cientes puede ser aveces infinito.b) El proceso dedivisión de polinomiospor potencias crecien-tes es infinito.c) El grado del cocien-te de la división depolinomios por poten-cias decrecientespuede llegar a ser tangrande como sequiera.d) El grado del cocien-te de la división porpolinomios por poten-cias crecientes puedellegar a ser tan grandecomo se quiera.

16. ¿Cuándo se diceque un polinomio esprimo o irreducible?

17. ¿Para qué seutiliza la regla deRuffini?

440

Álgebra

decrecientes. En la fila inferior, como ya se ha dicho,se sitúa el valor a del polinomio x - a. En nuestro casoa = 3. A continuación, en la tercera fila escribimos elcoeficiente del término de mayor grado y llevamos atérmino su producto por a (3). Esto es, 3 . 1 = 3. Elresultado obtenido se escribe en la segunda co-lumna, bajo el coeficiente siguiente, y se lleva a cabola suma correspondiente (_1+3=2). Emplazamoseste resultado en la tercera fila en la misma columnay procedemos a su multiplicación por a. Es decir, 3 . 2;6. Este resultado se sitúa seguidamente bajo el ter-cer coeficiente del polinomio y se procede a la sumacorrespondiente, que se sitúa en la tercera fila,justamente debajo. La suma da como resultado (_1)y se multiplica entonces por a. Esto es, (3 . (_1) =(_3)). Se sitúa entonces este valor bajo el próximocoeficiente para realizar la suma que le corresponde,y ello da (_2), que es multiplicado a su vez por a((_2). 3) = (_6)), lo que permite concluir la operacióncon un resto nulo.

Los valores que se obtienen en la tercera fila sonprecisamente los coeficientes que estamos buscandopara construir el cociente de un grado menor que eldividendo. Debido a ello, el polinomio cociente tienesiempre un coeficiente menos que el polinomiodividendo. En la disposición característica para elcálculo del cociente por la regla de Ruffini, el últimovalor obtenido en la tercera fila es el resto, que es degrado cero ya que el divisor, el polinomio x a, tienegrado uno. Si a cada uno de los coeficientes obtenidosle añadimos la variable con su grado correspondien-te obtenemos:

x3+2x2 _ x _ 2

que se corresponde perfectamente con el cocienteobtenido en la división anterior. La regla de Ruffini esuna importante herramienta que se utilizaampliamente en la práctica. Facilita la obtención decocientes de divisiones de polinomios por polinomiosde la forma x-a. Pero también sirve para saber conrapidez y efectividad si un polinomio es divisible por unbinomio dado x-a. Así, por ejemplo, como el resultadode la división anterior ha producido un resto nulo, hapodido concluirse que el polinomio considerado, x4 _x3 _ 7x2+ x + 6, es divisible por x _ 3.

Funciones polinómicas

Definición de función polinómica

Tomemos un polinomio de una variable decoeficientes reales. Ese polinomio, que podemos llamarA, podrá ser expresado, como hemos visto, de lasiguiente manera:

A= {aO, a

1, a

2, a

3 ,..., a

n_1, a

n , 0, 0, 0, 0, ...}

Tomemos además el polinomio X definidoanteriormente como {0, 1, 0, 0, 0,...} y multipliquemosambos polinomios según la definición de producto depolinomios. Ello nos permite representar el polinomioA como

A= a0+ a

1 . X + a

2 . X2 + a

3 . X3 +...+a

n_1 .

. Xn_1 + a

n . Xn

Cuando se usa esta representación para lospolinomios, llamamos variable a la letra X. Cuandoqueremos indicar cualquier valor real utilizaremos parasu representación la letra x minúscula. De esa manera,por medio de la representación del polinomio A podre-mos expresar una función real de variable real cuyadefinición será:

ƒ(x) = a0+ a

1 . X + a

2 . X2 + a

3 . X3 +...+a

n-1.

. Xn-1 + an . Xn

Así, la función f (x), que hemos definido a partir delos coeficientes del polinomio A, es una funciónpolinómica.

En general, cualquier función definida a partir delos coeficientes de un polinomio se denomina funciónpolinómica. De esta manera tenemos que el polinomioT = {2, 5, 0, 9, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 0} origina unafunción polinómica real de variable real que se ex-presa:

T(x) =2 + 5 . x+9 . x3 +2 . x4+ 3 . x5 + 4 . x6

Para un valor real de x = 3, a la función T lecorresponde el valor

T(3)=2 + 5 . 3 + 9 . 33+ 2 . 34 + 3 . 35 + 4 . 36

= 4.067

Y para el valor real de x = 2 a la función T le

corresponde el valor T ( 2) = 2 + 5 . 2 + 9 . 23+

2 . 24 + 3 25 + 4 . 26 = 91,49746

El campo de definición de las funciones polinómicases el conjunto de los números reales. Su campo devariabilidad no es el mismo en todos los casos. Porejemplo, es el conjunto de los números reales cuandoel grado del polinomio que define la función es impar.

Operaciones con funciones polinómicasLas funciones polinómicas se suman y se restan

entre sí. Pueden además ser multiplicadas por unnúmero real, tal como se estudia en el capítulodedicado a las funciones.

Demostremos que la función polinómica resultantede la suma de otras dos funciones polinómicas es lafunción correspondiente a la suma de los polinomiosque dan lugar a las dos funciones. Tomemos dospolinomios de coeficientes reales, P y Q , definidos como:

P= {p0, p

1, p

2, p

3, ..., p

n-1, p

n, 0, 0, 0, 0, ...}

Q= {q0, q

1, q

2, q

3, ..., q

m_1, q

m, 0, 0, 0, 0, ...}

siendo el grado de Q, m, mayor que el de P, n.Tendremos entonces que las funciones

polinómicas de variable real correspondientes a lospolinomios P y Q serán:

15. El procesode división depolinomios porpotencias crecienteses infinito y el gradodel cociente puedellegar a ser tangrande como sequiera.

16. Se dice que unpolinomio es primo oirreductible cuandono puede descompo-nerse como productode dos o máspolinomios, todosellos de gradoestrictamentemenor.

17. La regla deRuffini se puedeemplear para hallarde forma rápida elcociente y el resto deuna división, cuandoel divisor es unpolinomio de la formax– a.

Álgebra

441

P (x)=p0 + p

1 . x + p

2 . x2 + p

3 . x3 + ...+p

n-1 .

. xn-1 +Pn . Xn

Q (x) = q0 + q

1 . x + q

2 . x2 + q

3 . x3 + ...+q

m-1 .

. xm-1 +qm . Xm

mientras que la función suma vendrá expresada por

(P+Q) (x)=p0+p

1 . x+p

2 . x2+p

3 . x3+...+

+pn-1

. xn-1, pn. Xn +q

0+q

1 . x+q

2 . x2 + q

3 . x3 +

+...+qm-1

. xm-1+qm . Xm

Si tomamos los términos de esta expresión ypermutamos su orden de manera que asociemos losque tienen el mismo grado, obtenemos fácilmenteque

(P + Q) (x) = (po+q

o) + (p

1+ q

1) . X + (p

2+q

2).

. x2 + (p3 + q

3) . x3 + ... + (p

n-1+ q

n-1) . xn-1 +0

+ (pn + q

n) . xn +,..., + q

n+1 . xn+1 +,..., + q

i .

. xi + ... + qm-1

. xm-1 ,+ qm . xm

expresión ésta correspondiente a la función asociadaal polinomio suma de P y Q, ya que

P + Q = {(po+q

o) , (p

1+ q

1), (p

2+q

2), (p

3 + q

3)

,..., (pn-1

+ qn-1

)’ (pn+ q

n), ..., q

n+1 , ... ,q i +

+,..., qm-1

, qm, 0, 0, 0, 0, ...}

Bastante más compleja es la demostración de quela función producto de dos funciones polinómicas es lafunción polinómica correspondiente al polinomioresultante del producto de los dos polinomios asociadosa las funciones factores.

Similarmente, la función polinómica que se obtieneal multiplicar una cierta función polinómica por unnúmero real dado es equivalente a la funciónpolinómica correspondiente al polinomio resultantedel producto del número real con el polinomiocorrespondiente a la función factor.

Si los coeficientes de un par de polinomios sondiferentes y además esos coeficientes y los elementosdel campo de definición de las funciones polinómicascorrespondientes pertenecen a un cuerpo infinito,podemos concluir que esas funciones son distintas.De esa manera, se establece que la aplicación quehace corresponder una función polinómica a unpolinomio es inyectiva.

Representación gráficaLa representación gráfica de funciones polinómicas

de primer grado es siempre una recta que intersecacon el eje de ordenadas en algún lugar que secorresponde con el valor del término independiente.Así, si el término independiente es positivo, el puntode corte está por encima del eje de abscisas. Si eltérmino independiente es negativo, el punto de corteestá por debajo del eje de abscisas. Recorriendo larecta de izquierda a derecha, ésta es ascendentesiempre que el coeficiente principal es positivo y es

descendente si el coeficiente principal es negativo.En la figura 7 se exponen los casos generales.

La representación gráfica de las funcionespolinómicas de segundo grado es siempre unaparábola cuyo eje de simetría es vertical y está portanto dispuesto paralelamente al eje de coordenadas.La concavidad de la parábola está dirigida hacia arribasi el coeficiente de mayor grado, o principal, es positi-vo. En el caso inverso, la concavidad se dirige haciaabajo.

En los casos en que el término independiente esmayor que cero, la curva interseca con el eje deordenadas en algún punto por encima del eje deabscisas. En los casos en que el términoindependiente es negativo, la curva interseca con eleje de ordenadas por debajo del eje de abscisas. Másadelante se verán con más detalle los problemas delas representaciones gráficas de este tipo defunciones.

Toda representación gráfica de una funciónpolinómica debe presentar un cierto número de zo-nas con concavidades cuyo máximo es inferior en unaunidad al grado del polinomio que se correspondecon la función. Por ello, las representaciones gráficasde las funciones polinómicas de primer grado nopresentan ninguna concavidad. Las representacionesgráficas de las funciones polinómicas de segundogrado, las parábolas, presentan una única concavidad.Las representaciones gráficas de las funcionespolinómicas de tercer grado, tienen dos concavidades.Las representaciones gráficas de las funcionespolinómicas de n-ésimo grado presentan n_1concavidades. Ello se expresa en la figura 8. Hemosdicho ya que el campo de variabilidad de las funcionespolinómicas de grado impar es todo el conjunto de losnúmeros reales, R. El campo de variabilidad de lasfunciones polinómicas de grado par se determina conmayor o menor dificultad según el grado sea mayor omenor. Estudiaremos este tema en secciones másadelantadas de este capítulo.

Figura 7

18. ¿Qué es el campode definición de unafunción?

19. ¿Cuál es el campode variabilidad de unafunción polinómica deprimer grado?

Figura 7

442

Álgebra

Raíz de un polinomioCuando para un cierto valor de la variable, la imagen

de una función polinómica es cero, se dice que esevalor es una raíz del polinomio. Un cierto número a esraíz de un polinomio A, si y sólo si A es divisible por x _a. Por una parte, si un polinomio A es divisible por x _a, entonces a es una raíz de ese polinomio, ya quecomo A es divisible por x _a, existirá un cociente Bpara el cual el resto sea nulo. Eso puede ser escrito:

A=(x _ a) . B

Donde se aprecia que cuando x toma el valor a, lafunción polinómica A se hace igual a cero y se cumplela condición por la que un cierto número es una raíz deun polinomio.

Por otra parte demostremos que si a es raíz delpolinomio A, entonces éste es divisible por x - a.Llevando a cabo la división de A por x - a,obtendremos un cociente B y un resto C de gradocero, ya que el divisor es de grado uno. Ello se escribede la siguiente manera:

A = (x - a) . B + C

Por definición, si a es raíz de A, entonces A(a) = 0y eso implica que (a _ a) . B + C = 0, de donde0 . B + C = 0 y por tanto, C = 0; con lo que sedemuestra que A es divisible por x _ a.

Número de raíces de un polinomioComo máximo, el número de raíces de un polinomio

puede ser igual a su grado. Los polinomios de gradoimpar tienen, como mínimo, una raíz, porque al ser sucampo de variabilidad el conjunto de los números reales,debe existir al menos un número real para el cual lafunción polinómica correspondiente se anule.

Los polinomios de una variable real de grado parpueden no tener raíces reales.

El número de raíces que un polinomio puede tenerse deduce de la forma de la representación gráfica dela función polinómica correspondiente. La localizaciónde las raíces sólo se puede concluir cuando el gradodel polinomio no es demasiado alto.

Como ejemplo vamos a concluir la localización delas raíces del polinomio T, expresado por:

T = { 6, 1, -7, -1, 1, 0, 0, 0,...}

Como se puede apreciar, es un polinomio de cuartogrado y no podrá tener, por tanto, más de cuatroraíces. Al polinomio T le corresponde la funciónpolinómica siguiente:

ƒ(x) = x4 - x3 - 7x2+ x + 6

Tomemos a continuación algunos valores de lafunción para ciertos valores de la variable nonecesariamente espaciados según una ciertaperiodicidad y formemos con ellos una tabla:

x - 4 - 1,5 0 2 4y 210 - 2,81 6 - 12 90

Observamos que se han obtenido alternativamentevalores positivos y negativos. La función debe portanto anularse para algún valor intermedio de la va-riable entre los valores para los cuales cambia designo. Eso es, entre _4 y _1,5, entre _1,5 y 0, entre 0y 2, y entre 2 y 4 ya que presentan alternativamentevalores positivos y negativos. Hemos localizado cuatroraices y no existen más ya que un polinomio de cuartogrado no puede tener más de cuatro raices distintas.El procedimiento descrito se expresa gráficamenteen la figura 9.

Por la forma que toma la representación gráficade una función polinómica se constata siempre confacilidad que no tiene un número de raíces superior alque su grado indica. Puede darse que larepresentación gráfica de una función polinómicapresente una concavidad tangente al eje de abscisas.Ese punto de tangencia se considera como un parde puntos infinitamente próximos que constituyencada uno una raíz. Cuando se da ese caso, se diceque el punto de tangencia corresponde a una raízdoble.

Cálculo de las raícesLa obtención de las raíces de un polinomio se

hace fácilmente si éste es de primero o segundogrado, ya que existe un método práctico para ello.Existe también un método para hallar las raícesde polinomios de tercer y cuarto grado, pero suelepreferirse hallarlas por tanteo dada su complejidad.No existe modo general de hallar las raíces depolinomios cuyo grado es igual o superior a cinco,por lo que la única forma válida de obtener lasraíces de un polinomio es el tanteo de valores, olo que a veces es más cómodo, tratar decomprobar la divisibilidad por x_a, suponiendo quea puede ser una raíz. Por ejemplo, si tomamos elpolinomio de cuarto grado del ejemplo anterior, ajuzgar por la representación gráfica de la función,se puede ensayar si 3 es una raíz del polinomiodividiéndolo por x_3. Esto se lleva a cabo por mediode la aplicación de la regla de Ruffini.

18. El campo dedefinición de unafunción es elconjunto de núme-ros para los quetiene sentido buscarla imagen por lafunción. Tambiénrecibe el nombrede dominio de lafunción.

19. El campo devariabilidad deuna función es elconjunto de valoresque son imagen dealguno de losvalores del domi-nio. También recibeel nombre derecorrido de lafunción. Para unafunción polinómicade primer grado, elcampo de variabili-dad es el conjuntode los númerosreales.

Figura 8

Álgebra

443

1 _ 1 _ 7 1 63) 3 6 _ 3 _ 6

1 2 _ 1 _ 2 0

Como el resto es 0, podemos decir que el polinomioes divisible por x 3. Entonces, 3 es como suponíamosuna raíz.

Ensayemos una vez más con otro valor, por ejemplo_1, para comprobar si es o no raíz del polinomio.

1 _ 1 _ 7 1 6-1) _ 1 2 _ 5 _ 6

1 _ 2 _ 5 6 0

Vemos también que el resto es 0, lo cual pruebaque el polinomio también es divisible por x + 1. Puedecomprobarse que las otras dos raíces son _2 (elpolinomio es divisible por x + 2) y 1 (es tambiéndivisible por x 1). Para el tanteo, hay que tener encuenta que en el caso de polinomios con coeficientesenteros si la raíz es entera será un divisor del términoindependiente. Si es racional, el numerador será undivisor del término independiente y el denominador loserá del coeficiente del término de mayor grado.

Teorema del resto

La discusión anterior nos lleva a la deducción deuna importante propiedad de la división de unpolinomio por un binomio de la forma x _ a. Se tratade que el valor numérico del resto de esa división esigual al valor que toma el polinomio dividendo cuandola variable real se hace igual a a. De la misma formaque en representaciones anteriores, si llamamos A(x) al polinomio dividendo, B (x) al polinomio cocientede la división por x a y C al resto, podemos escribir:

A (x) = (x _ a) . B (x) + C

de donde, si substituimos x por a, obtenemos:

A (a) = (a _ a) . B (a) + C ⇒ A (a) == C por ser (a _ a) . B (a) = 0

Es así como para hallar el valor de una funciónpolinómica dada para un cierto valor, a, de la variablereal, puede efectuarse su división por x _ a y observarel resto. Ello puede llevarse a cabo rápidamente pormedio de la regla de Ruffini.

Por ejemplo, hallemos el valor del polinomio4x4_3x3 + 5x2 _6 x + 4 cuando x = 2

4 _ 3 5 _ 6 42) 8 10 30 48

4 5 15 24 52

luego el resto de la división del polinomio por x _ 2 da52 y, por tanto, el valor numérico de la funciónpolinómica cuando la variable real toma el valor 2 estambién 52. Comprobémoslo:

4 . 24 _ 3 . 23 + 5 . 22 _ 6 . 2 + 4 == 64 _ 24 + 20 _12 + 4 = 52

Teorema del factorHemos enunciado anteriormente, sin mencionarlo,

el teorema del factor. Se trata de una consecuenciadel teorema del resto y establece que la condiciónnecesaria y suficiente para que un polinomio dadosea divisible por el binomio x _ a _y el resto de ladivisión sea, consecuentemente, 0_ es que al sustituirx por a en la función polinómica correspondiente suvalor se anule. Ello se expresa diciendo que x _ adivide a un determinado polinomio, P (x), si y sólo si P(a) = 0. Este teorema facilita la tarea de hallar lasraíces enteras de un polinomio dado.

Descomposición de polinomios como producto depolinomios de grado 1 ó 2

Los polinomios pueden ser descompuestos enotros de grado inferior o no. En este caso se trata depolinomios primos. Cuando un polinomio puede serdescompuesto, puede ser escrito de forma única comoproducto de un conjunto de polinomios que sonfactores primos cuyo coeficiente de mayor grado esigual a 1. También es cierto, y no lo vamos a demostrarpor exceder los propósitos elementales de este libro,que todo polinomio de una variable con coeficientesreales tiene una única descomposición en polinomioscuyo grado es, como mucho, 2. Esa descomposicióntiene la siguiente forma:

A = ∂ (x _ a1)r1 . (x _ a

2)r2 . ... . (x _ a

n)rn .

. (x2 + b1 x + c

1)S

1 . (x2 + b2 x + c2)S

2 . ... .. (x2 + b

m x + c

m)S

m,

donde ∂ es un número real, b2i < 4 . c

i , y se cumple

que

grad(P)=r1+r

2+r

3+ ... +r

n+ 2 . (s

1+s

2+s

3 ... +s

m)

Si no se da que en algún polinomio de ladescomposición b2

i < 4 . c

i será posible la

20. ¿Cuál de lassiguientes afirma-ciones es correcta?a) Todos lospolinomios contérmino indepen-diente nulo tienen laraíz x = 0.b) Todos lopolinomios de gradopar tienen comocampo de variabili-dad el conjunto delos números reales.c) Todos lospolinomios de gradoimpar tienen tantasraíces como indicasu grado.

21. ¿Qué dice elteorema del resto?

Figura 9

444

Álgebra

descomposición de ese polinomio en producto depolinomios de primer grado.

Tomemos como ejemplo el polinomio de cuartogrado considerado anteriormente y descom-pongámoslo, sabiendo que 3 y _1 son raíces, en elsiguiente conjunto de polinomios:

x4 _ x3_7x2+x+6=(x _ 3) . (x+1).(x2+ x _ 2)

Se puede comprobar que r1+r

2 + 2 . s

1= 4 ya

que r1 = r

2 = s

1 = 1 y 1 + 1 + 2 = 4. Nos queda por

comprobar sin embargo si ésta es precisamente ladescomposición polinómica de menor grado o sitodavía algún polinomio puede ser descompuesto.Será suficiente observar la relación de b y c en elpolinomio de segundo grado. Así, como b = 1 y c =_2, para que la descomposición fuera la mejor, deberíacumplirse que 12 < 4 (_2). Ello, evidentemente, noes cierto. Por tanto, debe existir otra descomposicióndel polinomio de segundo grado en dos polinomiosde primer grado. Podría darse, aunque no sea este elcaso, que la descomposición constara de un solopolinomio de primer grado elevado al cuadrado.Veamos, por ejemplo, por el método de Ruffini, si _2es una raíz de este polinomio:

1 1 _2-2) _2 2

1 _1 0

Fácilmente comprobamos que, al ser el resto nulo,_2 debe ser una raíz del polinomio. Obtenemos ademáscomo cociente el polinomio de primer grado (x 1), locual nos da completa información acerca de ladescomposición de nuestro polinomio de cuarto grado’en factores primos:

x4 _ x3 _ 7x2+x+6=(x _ 3) . (x+1) .. (x+ 2) . (x _1),

donde todas las raíces son de multiplicidad igual a launidad:

r1= r

2 =r

3= r

4 =1.

Con todo ello podemos concluir que 3, _1, _2 y 1son las raíces del polinomio

{6, +1, _7, _1, 1, 0, 0, ...}

A partir de la expresión general de ladescomposición en polinomios primos de un polinomiode coeficientes reales se puede demostrar que todoslos polinomios de grado impar han de tener comomínimo una raíz y que en cualquier caso su número deraíces es impar. Evidentemente, una raíz doble debecontarse como dos raíces, una triple como tres, etc.Veámoslo rápidamente: si grad(P) es impar, r

1+ r

2

+r3+ ... + r

n+ 2 . (s

1+ s

2 +s

3+ ... +s

m) también lo

es. Entonces, como s1+ s

2 +s

3+ ... +s

m es un

número entero, resulta que 2 . (s1+ s

2 +s

3+ ... +s

m)

es un número par. Ya que grad(P) es impar, entonces,r1+ r

2 +r

3+ ... + r

n es un número impar. Como 1 es el

número impar más pequeño, se sigue que existe comomínimo una raíz simple.

De manera similar se puede demostrar que lasfunciones polinómicas correspondientes a polinomioscuyo grado es un número par, pueden tener sólo unnúmero par de raíces. De la misma forma que en el casoanterior, consideramos que una raíz doble debe contarsecomo dos raíces, una triple como tres, etc. Veámoslotambién, por el mismo razonamiento anterior:

Si grad(P) es par, también deberá serlo r1+ r

2 +r

3+

... + rn y, por tanto, está claro que puede carecer de

raíces reales, tener dos raíces simples o una doble,cuatro raíces simples o dos dobles, una simple y otratriple, seis raíces simples, etc.

Fracciones polinómicas

Cuerpo de fraccionesSea un conjunto K y dos operaciones, suma y

producto, en los que se verifica una estructura deanillo con elemento neutro para la multiplicación. Sise cumple además que no existen en K ningún par deelementos distintos del elemento neutro de la sumacuyo producto sea igual al elemento neutro de lasuma, entonces es posible generar a partir de K uncuerpo de fracciones.

Formemos primero el conjunto correspondiente alproducto cartesiano de K por sí mismo, K x (K _{0}),Y en él tomemos todos los pares tales que el productodel primer elemento de uno por el segundo del otrosea igual al producto del segundo elemento por elprimero del otro. Escribámoslo:

Sean (x, y) y (u, v) dos pares ordenadoscualesquiera pertenecientes a K x (K_ (0}). Se tomansólo aquellos que verifican xv = yu.

Los pares que cumplen esta condición se agrupanen clases que se denominan números racionalesderivados del anillo K.

Si definimos en el conjunto de las clases o númerosracionales las operaciones suma y producto como

(x,y) + (u,v) = (xv + uy, yv)(x,y) . (u,v) = (xu,yv),

entonces podremos verificar para esas operacionesen el conjunto anterior las propiedades de unaestructura de cuerpo.

Las fracciones con las que habitualmente tratamosson fracciones racionales formadas a partir del anillode los números enteros con la suma y el producto. Sien lugar de emplear la forma de par ordenadoadoptamos la más usual, en forma de fracción, se veclaramente que las definiciones de suma y productoenunciadas más arriba coinciden con las ya conocidaspara las fracciones o quebrados:

Sean x y u equivalentes a (x,y) y (u,v) y v

respectivamente. Sabemos que x + u = y v

20. Todos lospolinomios contérmino indepen-diente nulo tienen laraíz x = 0.

21. El resto dedividir un polinomiopor un binomio de laforma x– a es igualal valor que seobtiene sustituyendoel dividendo porx = a.

Álgebra

445

xv + uy que traducido a la forma de par yv

ordenado es (xv + uy, yv), tal como hemos definidola suma anteriormente.

Sabemos también que x . u = xu que y v yv

traducido a la forma de par ordenado es (xu, yv), locual coincide perfectamente con la definición anteriordel producto.

Se ve ahora la importancia de la definición delproducto cartesiano K x (K _ {0}) y no de K x K, yaque así evitamos los quebrados cuyo denominadores nulo.

Fracciones polinómicasSi el anillo K es el anillo de los polinomios, podremos

formar pares ordenados, (A, B), donde A y B sonpolinomios que pueden disponerse como en una

fracción racional, formando lo que se denomina

una fracción polinómica. Por ejemplo, la siguienteexpresión es una fracción polinómica:

6x2 + 7x + 2 2x3 _ 3x2 + 8x + 5

donde A=6x2 + 7x + 2 y B = 2x3 _ 3x2 + 8x + 5

El polinomio B se llama polinomio denominador ydebe ser siempre distinto del polinomio cero {0, 0, 0,0, ....}.

Dos fracciones polinómicas son equivalentes si elproducto del polinomio numerador de la primera porel polinomio denominador de la segunda equivale alproducto del polinomio numerador de la segunda porel polinomio denominador de la primera.

Escribámoslo:

Sean X, Y, U y V polinomios y sean (X, Y) y (U, V)dos pares ordenados cualesquiera pertenecientes

representando dos fracciones polinómicas X y Y . U V

Son equivalentes sólo aquellos pares _fraccionespolinómicas_ que verifican XV = UY.

Veamos cómo la fracción polinómica expresadamás arriba es equivalente a (3x+2) / (x2 _ 2x + 5)bastante más sencilla.

Para ello calcularemos los productos cruzados delpolinomio numerador de la primera por el denominadorde la segunda y del polinomio numerador de lasegunda por el denominador de la primera. Si losproductos son iguales, ambas fracciones son equiva-lentes.

Se aprecia que como los dos productos son iguales,las dos fracciones son equivalentes. Ello se debe talvez a que entre los numeradores existe la mismarelación que entre los denominadores. Esa razón esfácil de hallar al dividir

6x2 + 7x +2 3x + 2 _ 6x2 _ 4x 2x + 1 / 3x +2 _ 3x _ 2 / /

Así, se puede escribir la relación siguiente:

6x2+7x+2 = 3x + 2 . (2x + 1) =2x3 _ 3x2+8x +5 (x2 _ 2x+5) . (2x+1)

= 3x +2 x2 _ 2x + 5

Las operaciones con fracciones polinómicasdeben llevarse a cabo con las expresionesequivalentes más reducidas posibles. Ello seconsigue cuando numerador y denominador sonprimos entre sí. De este modo se opera con laexpresión más simple y del menor grado posiblede una fracción. Ello facilitará y simplificará, comoes de esperar, las operaciones.

Suma de fracciones polinómicasConsideremos cuatro polinomios A, B, C, y D.

Agrupémoslos en pares de manera que formen

las siguientes fracciones polinómicas y .

Definimos la suma de las fracciones polinómicas de lasiguiente manera:

A + C = AD + BCB D BD

Si una de las fracciones polinómicas es reducible a

una fracción más simple, la suma también será re-

ducible. Veámoslo: supongamos que la fracción es

reducible. Ello significa que existe un polinomio F tal

AB

AB

CD

AB

6x2 + 7x + 2x2 _ 2x + 530x2 + 35x + 10

_ 12 x3 _14x2 _ 4x6x4 + 7x3 + 2x2

6x4 _5x3 + 18x2 + 31x + 102x3 _ 3x2 + 8x + 5

3x + 24x3 _ 6x2 + 16x + 10

6x4 _9x3 + 24x2 + 15x6x4 _5x3 + 18x2 + 31x + 10

22. Dar un ejemplo deun polinomio de grado5 que tenga exacta-mente tres raícesreales simples.

23. ¿Cuándo dosfraccionespolinómicas sonequivalentes?

446

Álgebra

que A=A’. F y B=B’. F donde A’ y B’ son primos entre

sí, de lo que se deduce que la fracción es

irreductible. Substituyamos en la expresión de la suma

A por A’ . F y B por B’ . F

A + C = AD + BCB D BD

= A’ . F . D+ B’ . F . C = B’ . F . D

= F . (A’ . D) + F . (B' . C) = A’ D+ B’C B’ . F . D B’D

Veamos un ejemplo de suma de fraccionespolinómicas, con los siguientes polinomios:

A=3x+2, B=x2 - 2x+5, C=x2 - 2, D=x2+x+1

Así, las fracciones serán:

A = 3x + 2B x2 _ 2x+5

C = x2 _ 2D x2+x+1

Las dos fracciones son irreducibles porque lospolinomios denominadores no pueden serdescompuestos en polinomios de menor grado concoeficientes reales. Tendremos entonces que lafracción polinómica resultante de la sumaserá:

A + C 3x + 2 + x2 - 2 = B D x2 _ 2x+5 x2+x+1

= (3x+2) . (x2+x+1)+(x2 - 2) .(x2 - 2x+5) = (x2 _ 2x + 5) . (x2 + x + 1)

= (3x3+5x2+5x+2)+(x4 _ 2x3+3x2+4x _ 10) =x4 _ x3+4x2+3x 5

= x4 + x3+ 8x2+ 9x _ 8x4 _ x3 + 4x2+ 3x+ 5

Para ver si esta fracción es o no irreducible hay quecomprobar si numerador y denominador son o noprimos entre sí. Denominador y numerador estáncompuestos por dos polinomios irreducibles, por ello,su única descomposición posible debe ser ese produc-to. Para estar seguros de si es o no posible unareducción, hay que comprobar si el numerador es di-visible por alguno de los polinomios factores deldenominador. Así:

x4 + x3+ 8x2+ 9x _ 8 x2+x+1 _ x4 _ x3 + x2 x2+7

/ / 7x2+ 9x _ 8 _ 7x2 _ 7x _ 7 / 2x - 15

x4 + x3+ 8x2+ 9x _ 8 x2 _ 2x+5 _ x4 + 2x3 _ 5x2 x2+3x+9

3x3+ 3x2 + 9x - 8 _ 3x3+ 6x2 _ 15x / + 9x2 _ 6x _ 8 _ 9x2 +18x _45 / 12x _ 53

Como la división del numerador por los factores dedescomposición del denominador no da como restocero, se sigue que numerador y denominador sonprimos entre sí y, por tanto, concluimos que la fracciónes irreducible.

Producto de fraciones polinómicasEl producto de fracciones polinómicas se define de

la misma forma que en los quebrados de númerosenteros.

La fracción producto es pues la fracción cuyonumerador es el producto de los numeradores y cuyodenominador es el producto de los denominadores.

Veamos un ejemplo de producto con las fraccionespolinómicas que más arriba hemos sumado:

A C 3x + 2 . x2 _ 2 = B

.D x2_ 2x+5 x2+x+1

= (3x+2) . (x2 _ 2) = (x2 _ 2x + 5) . (x2 + x + 1)

= 3x3+2x2 _ 6x _ 4x4 _ x3+ 4x2+3x+5

Descomposición de fracciones polinómicasUna fracción polinómica puede ser descompuesta

en una suma de un polinomio, más una fracciónpolinómica cuyo numerador sea de grado menor queel denominador. El polinomio puede ser visto comouna fracción polinómica con la unidad como denomi-nador.

Ambos, polinomio y fracción, pueden ser cero enalgún caso. Tomemos la fracción polinómica y supongamos

que el grado de A es mayor que el de B. Sabemos yaque es posible realizar la división por potenciasdecrecientes de A por B y ello dará lugar, en general,a un polinomio cociente, C, y a otro polinomio resto,D, cuyo grado será menor que el de B. De esa manerase podrá escribir A = B . C + D. Efectuemos acontinuación el cociente por el polinomio B a los dos

A’B’

AB

=

22. P = x . ( x – 1) .. ( x + 1) . (x2 +1) == x5 – x es unpolinomio de grado 5con tres raíces realessimples.

23. Dos fraccionespolinómicas sonequivalentes cuandoel producto delpolinomio numeradorde la primera por elpolinomio denomina-dor de la segunda esigual al producto delpolinomio numeradorde la segunda por elpolinomio denomina-dor de la primera.

Álgebra

447

lados de la igualdad. Obtenemos lo siguiente:

A = C + D

B B

En el caso particular de que el grado de A seamenor que el de B, C será nulo y A será igual que D, elresto. Si A es divisible por B, entonces D será nulo ytendremos que A/B = C.

Para obtener la descomposición de una fracciónpolinómica en una suma de un polinomio y una fracciónpolinómica cuyo numerador tenga un grado menorque el del denominador es necesario llevar a cabo ladivisión del numerador por el denominador en elsentido de la ordenación de potencias decrecientes.Por ejemplo, descompongamos la fracción:

3x3+5x2 + 5x _ 4x2 +1

Dividamos el numerador por el denominador:

3x3+ 5x2 + 5x _ 4 x2+1_3x3 _ 3x 3x + 5 / 5x2 + 2x+ 4 _5x2 _ 5 / 2x _ 1

Así pues, el cociente obtenido es el polinomio 3x

+ 5 y el resto es el polinomio 2x _1.

Por ello podemos concluir que

3x3+ 5x2 + 5x + 4 = 3x + 5 + 2x _1

con lo que tenemos la descomposición de

3x3+ 5x2 + 5x + 4

en una suma de polinomio, 3x+5, y una fracciónpolinómica cuyo numerador tiene un grado menor

que el denominador, 2x _ 1

x2+1

Descomposición en fracciones simplesUna fracción polinómica reducida puede aún ser

descompuesta en una suma de fracciones polinómicascuyos denominadores sean potencias de polinomiosprimos y donde los grados de los numeradores seanestrictamente menores que los de los denominadores.

Tomemos dos polinomios, A y B, tales que B= ∂ .

Ba1

1 . Ba

2

2 . Ba

3

3 . ... . Ba

n

n’ agrupémoslos en una fracción

polinómica A/B que podrá ser descompuesta en unasuma de fracciones, que llamaremos C, como másarriba hemos descrito. Si realizamos la división quedará

donde Eμ1 ... E(1), Eμ

2 ...

E(1), ..., Gμn ... G (1) ... son

polinomios cuyos grados son estrictamente menoresque los de los polinomios primos de los denominadorescorrespondientes.

Cuando está reducido, el polinomio numerador

tiene grado inferior que el polinomio denominador. Enese caso, la parte entera de la división esevidentemente, nula. Luego D = O.

Realicemos un ejemplo con dos polinomios quecumplan los requisitos que más arriba hemosespecificado. Sean los polinomios A = x+5 yB=x3+4x2 - 11x+6. Se puede ver que B = x3+ 4x2

_11x+6 = (x -1)2 . (x+6). Luego B tiene la formaadecuada para los fines que nos interesan.

Tal como se acaba de expresar más arriba, ladescomposición de la fracción polinómica

es posible. Veámoslo.

Como el grado del polinomio numerador es inferioral del polinomio denominador, sabemos que D = O.

Sabemos además que

1) el grado de E, debe ser menor que el de (x_1),2) el grado de E

2 debe ser menor que el de (x_1),

3) el grado de G debe ser menor que el de (x+6).

Luego el grado de los polinomios E1 E

2 y G será

cero. Ello implica que se tratará de constantes. Esimportante darse cuenta de que el polinomio (x_1)2

indica que en el punto x = 1 hay una raíz doble. Engeneral diremos que un polinomio de la forma (x_a)n

indica que en el punto x = a hay una raíz múltiplecuyo orden es n.

Por el momento, pues, ya que D = 0 nos quedaque la descomposición tendrá la forma siguiente:

AB

x + 5 = x3+ 4x2 _ 11x+6

una parte entera, D. La fracción racional podráescribirse como sigue:

AB

= D E1 + E

2 + G

+ (x _ 1)2 (x _1) (x+6)

AB

x + 5 = x3+ 4x2 _ 11x+6

x2+1 x2+1

x2+1

A = C= D +B

E ( μ

1) + ...+

E(1) + B1μ B

1

F( μ

2) +...+

F(1) + B2μ

2 B2

G( μ

n) +...+

G(1) Bn

μn

Bn

+

=C = x + 5 = (x _ 1)2 . (x+6)

24. ¿Cuáles de lassiguientes afirmacio-nes son ciertas?a) Antes de sumar dosfracciones polinómicasentre sí convienecomprobar que seanirreducibles. Despuésya no hará falta porqueseguro que el resulta-do será ya irreducible.b) Después de sumardos fraccionespolinómicas convienecomprobar que elresultado sea unafracción irreducible.Antes no hace faltaporque complicaría lasoperaciones que setienen que realizar.c) Antes de sumar dosfracciones polinómicasentre sí convienecomprobar que seanirreducibles. Y des-pués conviene tambiéncomprobar que elresultado seairreducible.

25. Calcula r:

x – 2 + x – 1x2 – x – 2 x3 – x

448

Álgebra

E igualando los coeficientes por grados a amboslados de la igualdad, tenemosdel grado 2:0 =F+ M, luego F = _Mdel grado 1:1=F +3M+N, pero como F= _M,sustituyendo tendremos

1 = _M + 3M + N = 2M + N,

luego N = 1_ 2M.

Y del grado 0: 5 = F+3N. Sustituyendo llegamosal valor de M, ya que

5 = _ M +3(1 _ 2M) = 3 _7M.Y, por tanto, M = _ 2/7.

Volviendo a las igualdades anteriores, tenemosque

N = 1 _ 2M = 1 _ 2 . (_2/7) = 1+4/7 = 11/7y F = _ M = 2/7.

La forma de encontrar los valores de E1 E

2 y G

consiste en multiplicar ambos lados de la igualdadpor (x_1)2 . (x+6), de manera que nos queda que

Descomponiendo la igualdad en grados eigualando los coeficientes de cada grado obtenemosque:

del segundo grado, 0=E2+G. Deducimos pues que

G = _ E2

del primer grado, 1=E1+5E

2 _2G.

Y substituyendo, 1 = E1 + 5E

2 + 2E

2 = E

1+7E

2;

de donde E1=1_7E

2

del grado cero, 5 = 6E1

_ 6E2 +G.

Substituyendo, tenemos que

5=6 (1 _ 7E2) _ 6E

2 _E

2 =6 _ 49E

2. Luego E2=1/49.

A partir de ahora es fácil encontrar los demás, ya queE

1=1_7E

2=1_7 (1/49) = 6/7 y G= _E

2 =

_1/49. Llegamos pues a la descomposición de nuestra

+ E2 + G (x _ 1) (x+6)

A = C= B

(x + 5) =

E1

+ (x _ 1)2 . x+6 (x _1)2

fracción polinómica y tenemos que

Resumiendo, la manera de proceder para obteneruna descomposición en fracciones simples secompone de los pasos siguientes:

1) Descomposición en polinomios primos delnumerador y del denominador.

2) Simplificación total de la división de polinomios3) Descomposición de la fracción resultante según

el método hasta aquí expuesto.Es importante seguir este orden para que las

operaciones que realicemos sean lo más simplesposible. De esa manera, la descomposición enpolinomios primos del numerador y del denominadores la única posibilidad de obtener los denominadoresde las fracciones simples.

Es necesario también simplificar la división si queremosrealizar las operaciones en un tiempo mínimo, ya que ungrado elevado en el denominador puede complicar loscálculos hasta extremos nada deseables.

Veamos otro ejemplo con los polinomios A = x+5 como en el caso anterior y B=x3+4x2 +4x+3.

Así tendremos que

Donde E es un polinomio de grado estrictamenteinferior a (x2+x+1) que expresaremos en la formade Mx+N, ya que F es un polinomio de gradoestrictamente inferior a (x + 3), será una constante.

Realicemos ya la descomposición en fraccionessimples:

Estamos ahora preparados para multiplicar las dospartes de la igualdad por la descomposición enpolinomios primos de B, (x2 + x + 1) . ( x + 3).

Ello nos da la siguiente igualdad:

6/7 + 1/49 + 1/49(x -1)2 (x-1) (x+6)= C=

AB

x + 5 = = x3+ 4x2 _ 11x+6

AB

x + 5 = = x2+ 4x2 +4x+3 y como B = x3+4x2+

4x +3 puede ser descompuesto en producto(x2+x+1) . (x+3) podremos decir que

C= x + 5 (x2+ x+1) . (x+3)

valga resaltar el hecho

de que el polinomio (x2 + x+1) es irreducible si noconsideramos su descomposición en el terreno de losnúmeros complejos, que estudiaremos más adelante.

x+5= F (x2+x+1)+(Mx +N) . (x+3)

Agrupando los términos por su grado, tenemosx+5= Fx2+Mx2+Fx +3Mx+Nx+F+3N.

Y sacando factor común

x+5= (F+M)x2+(F+3M+N)x+(F+3N)

(x+5)=(E2+G)x2 +(E

1+5E

2 _ 2G) x +

+ (6E1

_ 6E2+G)

x + 5 = E F (x2+x +1) . (x+3) (x2+x +1) + (x+3)

Tendremos pues que

x + 5 = Mx+N F (x2+x+1) . (x+3) (x2+x +1) +(x+3)

A =C=B

24. Antes de sumardos fraccionespolinómicas entre síconviene comprobarque sean irreducibles.Y después convienetambién comprobarque el resultado seairreducible.

25.

x _ 2 + x _ 1 =

x2 – x – 2 x3_ x

= 1 x

Álgebra

449

Con lo que la descomposición adopta la siguienteforma:

Si no existen muchas raíces múltiples o gran númerode polinomios irreducibles de grado superior a 1, sepuede hallar la descomposición en fracciones siguiendootro camino que se basa en el proceso de igualación decoeficientes. Consideremos, por ejemplo, el caso enque A=x- 7 y B = x4 + 15x3 + 71x2+ 105x. B puedeser descompuesto en el siguiente producto depolinomios primos:

AB = x . (x + 3) . (x + 7) . (x + 5). Luego B =

x_7C = x . (x +3) . (x +7) . (x +5)

.

Ya tenemos realizados los dos primeros pasosenunciados anteriormente, a saber, la descomposiciónen factores primos y la simplificación de la fracción.Nos queda sólo ya la descomposición, que tomará laforma:

x_7C= x . (x + 3) . (x + 7) . (x + 5)

=

E + F + G + Hx x+3 x+7 x+5

Como en este caso la descomposición enpolinomios primos no contiene polinomios irreduciblesde grado superior a uno y tampoco existen raícesmúltiples, no será necesario multiplicar los dos ladosde la igualdad por el polinomio denominador, comohabíamos hecho anteriormente para igualar losdiferentes coeficientes de los diversos grados de lavariable real.

Seguiremos el método siguiente: para obtener losnumeradores E, F, G, H, multiplicamos sucesivamentela igualdad por el denominador del numerador quedeseamos considerar e igualamos el valor de x alcorrespondiente de cada raíz en el denominador.

Así pues, para hallar el primer numerador, E,multiplicamos los dos miembros de la igualdad por sudenominador que es x y luego igualamos x al valor dela raíz que este denominador indica. En este caso escero. Escribamos el proceso:

x . (x _ 7) = x . E +x . (x + 3) . (x + 7) . (x + 5) x

+ x . F + x . G + x : H x+3 x+7 x+5

simplificando, nos queda

(x _ 7) = E + x . F +(x + 3) . (x + 7) . (x + 5) x + 3

+ x . G + x . H x+7 x+5

ahora, al hacer x = O, valor de la raíz indicado por eldenominador, obtenemos la siguiente expresión:

_7 = E+ 0 . F + 0 . G + 0 . H (3) . (7) . (5) 3 7 5

y obtenemos E = _1/15

Veamos qué ocurre ahora con la segundafracción simple:multiplicando todo por (x + 3)

(x+3) . (x _ 7) = (x _ 7) =x . (x+3) . (x+7) . (x+5) x . (x+7) . (x+5)

= (x + 3) . E + F+ (x + 3) . G+ (x + 3) . H x x+7 x+5

Y haciendo x = -3, que es la nueva raíz indicadapor el denominador de la segunda fracción, nos quedaque:

10 = F + 0 . E + 0 . G + 0 . H(3) . (4) . (2) x x + 7 x + 5

De donde obtenemos que F = 5/12. Sicontinuamos actuando de la misma forma,obtenemos los valores de G y de H:

G=1/4 y H= _3/5

Así que hemos obtenido rápidamente la

descomposición de fracciones de AB

Este método es especialmente útil cuando se dael caso de que no hay muchas raíces múltiples en elpolinomio B, ni su descomposición en polinomiosprimos contiene gran número de polinomiosirreductibles de grado mayor que 1. Cuantas másraíces múltiples haya y cuantos más polinomiosirreductibles de grado mayor que uno contenga sudescomposición, tanto más aconsejable será emplearel primer método explicado en esta sección.

Ecuaciones de primer grado

Noción de ecuaciónPara introducir la noción de ecuación, necesitamos

definir dos conceptos que están en la base de todo elpensamiento matemático de occidente. Se trata delos conceptos de igualdad y de identidad.

A = C= _ B

(2/7) . x _11/7 +

2/7 (x2+x+1)

(x+3)

x . (x_7) =_ 1/15 + x . (x + 3) . (x + 7) . (x + 5) x

+5/12 + 1/4 _ 3/5 x+3 x+7 x+5

26. Cómo podemosobtener la descompo-sición de una fracciónpolinómica en la que elgrado del numeradorsea mayor o igual queel grado del denomina-dor en una suma de unpolinomio, y unafracción polinómica enla que el grado delnumerador sea menorque el grado deldenomindor?

27. ¿Qué formaadoptará la descom-posición en fraccionessimples en los si-guientes casos?

a) x4 + x2 + 1 x4 + x2

b) x + 2 x3 + x2 + x

c) x3 + 3x + 1 x2 _ 2x + 1

450

Álgebra

una ecuación se corresponde con el grado del términode mayor grado. Por ejemplo,

las ecuaciones 2 _ 3x =10,5x _ 1 = _1,x _ 1= 0

son de primer grado;

las ecuaciones x . (x+1)= 12,x2+x=3,x2= _1

son de segundo grado.

las ecuaciones x . (x .(x+1)= 12,x3+x2=3,x3= _1

son de tercer grado.

Métodos de resolución de ecuacionesResolver una ecuación es hallar el valor de sus

raíces. Las ecuaciones permiten algunasmanipulaciones básicas que son muy útiles cuandose trata de hallar sus posibles soluciones. Veámoslassomeramente:

1. Al sumar o restar una cantidad en ambosmiembros de la ecuación, ésta permanece inva-riable. Ello quiere decir que es posible trasladar unacierta cantidad al lado opuesto de la ecuación,mediante su suma a derecha e izquierda del signo‘=’. En efecto, si tenemos, por ejemplo la ecuación

2ax – q = 3p – 7d,

Sumemos q a ambos lados de la igualdad, yobtendremos:

2ax – q + q = 3p – 7d + q

ello se simplifica, ya que –q se anula con q y nosqueda

2ax = 3p _7d+ q

2. Análogamente, lo que expresa una ecuaciónno se modifica si ambos miembros de una ecuaciónse multiplican o se dividen por la misma cantidad. Ellodebe observar las restricciones de que esa cantidadno sea dependiente de la incógnita ni valga 0 o infinito.En efecto, si tenemos la ecuación

2x +3 = 13, cuya raíz es 5,

podemos multiplicarla por cualquier cantidad, porejemplo, 11 y obtener la ecuación 22x + 33 = 143,cuya raíz continúa siendo invariablemente 5.

Esta indicación es particularmente útil cuando laecuación tiene términos fraccionarios. En ese caso,se reducen las fracciones a común denominador y semultiplican los términos por el factor que les falta a sudenominador.

Por ejemplo, si tenemos en cuenta la ecuación

IgualdadUna igualdad es una expresión que subraya el

hecho de que el valor de dos expresiones es el mismo.Para ello, entre las expresiones supuestamente‘iguales’, se utiliza el signo ‘=’, que se lee ‘igual’. Así,A = B significa que el valor de A es el mismo que el deB. Por ejemplo,

2 x 15 = 30, (a+b)2= a2+b2+2ab

son igualdades.

IdentidadUna identidad es una igualdad que se establece

entre cantidades numéricas o entre letras siempreque la estructura formal a ambos lados de la igualdadsea la misma. Así, en general, A =A es una identidad.Por ejemplo,

10 - 1 = 10 - 12x + 4y3=2x + 4y3

son identidades.

EcuaciónUna ecuación es una igualdad en la que toman

parte ciertas cantidades desconocidas que seacostumbran a llamar incógnitas. Normalmente, lasincógnitas se representan con letras del alfabeto,indicando que su valor nos es desconocido. Losvalores que satisfacen la ecuación, es decir, aquellosvalores para los cuales la igualdad es cierta, se llamansoluciones o raíces. Por ejemplo, escribamos unaecuación con una incógnita.

4x +5 = 17.

x es la incógnita y para que la igualdad sea cierta esnecesario que tome el valor 3 . 3, el valor que satisfacela ecuación, es su raíz o solución. Ello es fácil de ver yaque sustituyendo en la ecuación x por 3, se compruebaque ciertamente 4 . 3 +5=17.

Veamos otro ejemplo un tanto más complejo, conla ecuación:

3x2 = 8

6

+4 y _4 satisface la ecuación, y son, por tanto,sus raíces. Veamos que la igualdad es cierta en am-bos casos:

(3) . (4) . (4) = (3) . (_ 4) . (_ 4) = 8(6) (6)

Con este ejemplo se quiere hacer ver que las raícesde una ecuación pueden ser diversas y que muchasveces no es un solo valor el que puede satisfacerla.

Se llama primer miembro de una ecuación aquellaparte que se escribe a la izquierda del signo ‘=’. Sellama segundo miembro de la ecuación aquella parteque se escribe a la derecha del signo ‘=’. El grado de

26. Para obtener ladescomposición deuna fracción polinómicaen la que el grado delnumerador sea mayoro igual que el grado deldenominador en unasuma de un polinomioy una fracciónpolinómica en la que elgrado del numeradorsea menor que el gradodel denominador,podemos utilizar elalgoritmo de divisiónde polinomios porpotencias decrecientes.

27. La descomposiciónen fracciones simpleses la siguiente:a)

x4 _ x2

+ 1.5

x _ 1

=–1+ 0 + _1.5 +x2 x x +1

x4 + x2 + 1 =

x+2 =

2 +x3_ x2 +x x

+ _ 2x _ 1

x2 + x + 1

b)

+ 5 + 6 (x - 1)2 x _ 1

c)

x3 + 3x + 1=

x2 _ 2x + 1x + 2+

Álgebra

451

1 + 2x = 4 x – 113 5 15 30

30 es el denominador común, por tanto podemosescribir

1.10 + 2x . 6 = 4x . 2 – 11 y operando 30 30 30 30

tendremos que

10 + 12x = 8x – 11 y multiplicando por 30,30 30 30 30

nos queda que 10+12x=8x – 11, lo cual es unaexpresión bastante sencilla.

3. Podemos introducir o eliminar raíces de unaecuación al multiplicarla o dividirla por una cantidaddependiente de la incógnita. Así, por ejemplo, laecuación 2x + 5 = 17, que tiene una única solucióncuando x = 6, adquiere otra solución cuando se lamultiplica por 3x:

6x2 + 15x = 51x.

6 continúa siendo solución de la ecuación, pero ahoratambién lo es x = 0. Contrariamente, la ecuación 2x2

= 2x, cuyas raíces son 1 y 0, pasa a tener una solaraíz cuando la dividimos por x.

En ese caso tendremos que 2x= 2 que sesatisface sólo cuando x = 1.

Ecuaciones de primer gradoUna ecuación de primer grado es aquella cuyo

término de mayor grado es de grado 1.

ax + b = 0

donde a es un cantidad distinta de 0 y a y b sonnúmeros reales. Eso se acostumbra a escribir:

a, b ∈ R, a ≠ 0

Una ecuación de primer grado, expresada de estaforma, se resuelve sustrayendo el términoindependiente a ambos lados de la ecuación yposteriormente dividiéndola por el coeficiente queafecta a la incógnita.

Así,

ax + b = 0 ⇒ ax + b – b = – b ⇒ ax = – b⇒ ax/a = – b/a ⇒ x = – b/a

A esta última operación, por virtud de la cual laincógnita aparece libre, se la llama despejar.

La resolución de una ecuación de primer gradoentraña los siguientes pasos:

1. Si los hay, eliminación de los denominadores.2. Si existen, eliminación de los paréntesis por

medio de la realización de las operaciones que seexpresan en su interior.

3. Aislamiento de las incógnitas, de manera queéstas queden a un lado de la ecuación y las cantidadesconocidas al otro.

4. Operación de todos los términos semejantespara que a ambos lados de la ecuación quede unaúnica cantidad y se consiga una expresión de la formaax = b, donde a sea el resultado de operar todos loscoeficientes ligados a la incógnita y b, el resultado deoperar las cantidad conocidas.

5. División de la ecuación por el coeficiente de laincógnita.

Veamos, por ejemplo, un caso relativamentecomplicado, con la ecuación:

4 – 6x + x = 11 – 2x 3 2

El denominador común es 6:

2 . (4 – 6x) + 3 . x = 6 . (11 – 2x) 6 6 6

de donde se obtiene que

8 – 12x + 3x = 66 – 12x.

Agrupando entonces las incógnitas a la izquierday las cantidades conocidas a la derecha,

3x = 58

de donde se obtiene, al despejar por medio de dividirtoda la ecuación por 3, que su raíz es 58/3.

Sistemas de ecuacionesUn conjunto de ecuaciones cuya igualdad se

satisface adjudicando el mismo valor a sus incógnitasse llama sistema de ecuaciones:

4x+2y=113xy + 10 = 1 + 6y

Resolución de un sistema de ecuaciones de primergrado

Además del método gráfico, que será estudiadomás adelante, existen varios métodos para resolverestos sistemas. Son tres: sustitución, igualación yreducción. Vamos a estudiarlos con un ejemplo.Tomemos el sistema de ecuaciones con dos incógnitas

3x – 2y= 6x= – 3y+2

1. Método de sustitución.Para llevar a la práctica este método, es necesario

escribir una ecuación en forma explícita, de maneraque la variable a considerar quede libre.

A continuación, se substituye en la otra ecuaciónla variable considerada por la forma explícita halladaen la primera ecuación. Entonces, al quedar planteadauna ecuación con una sola incógnita, se trata deaplicar los pasos que anteriormente hemos descrito

28. ¿Qué diferenciaexiste entre unaidentidad entre letrasy una ecuación?

29. ¿En qué consisteresolver unaecuación?

452

Álgebra

3x – 2y – 6 = 0 – 3x – 9y+ 6 = 0

/ –11y / = 0

de donde deducimos que y = 0.Sustituyendo entonces ese valor en cualquiera de

las ecuaciones, se obtiene una ecuación de una solaincógnita. Resolviéndola para x, hallaremos su valor.

3x –2 . 0 – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 6/3 = 2

Hubiéramos obtenido un resultado análogo, almultiplicar la primera por 3 y la segunda por 2.Veámoslo:

3x – 2y – 6 = 0 ⇒ 9x – 6y – 18 = 0x + 3y – 2 = 0 ⇒ 2x+ 6y – 4 = 0

11x / – 22= 0

de donde obtenemos que x = 22/11 = 2.Análogamente, sustituyendo en cualquiera de las

dos ecuaciones, obtendremos una ecuación de primergrado con una incógnita. Por ejemplo,

2 + 3y – 2 = 0 ⇒ 3y = 0 ⇒ y = 0/3 = 0.

Hemos llegado al mismo resultado, como era deesperar.

3. Método de igualaciónSe trata aquí de hallar la forma explícita de las dos

ecuaciones para la misma variable e igualarlasobteniendo una ecuación de una sola incógnita.

3x – 2y = 6x = –3y + 2

Hallemos la forma explícita para x en la primeraecuación:

2x = 2 + 3 y

La segunda ecuación tiene ya la forma explícita:

x = – 3y + 2

en esta misma sección. En el sistema de ecuacionesque actualmente nos ocupa, es fácil obtener la formaexplícita para la variable x a partir de la segundaecuación, ya que viene dada per se:

x= –3y+2 ⇒ x = 2 – 3y.

Entonces, sustituyendo x por 2 – 3 y en la primeraecuación, obtenemos la ecuación con una solaincógnita:

3x – 2y = 6 ⇒ 3x– 2y – 6 = 0 ⇒ 3 . (2 – 3y) –– 2 y – 6 = 0 ⇒ 6 – 9y – 2y – 6 = 0 ⇒ –11 y ==0 ⇒ y= 0

Entonces, volviendo a la forma explícita obtenidaanteriormente y sustituyendo el valor hallado para y,tenemos que

x = 2 – 3y = 2 – 3 . 0= 2

Hubiéramos llegado a la misma conclusión,obteniendo la forma explícita de la ecuación para y apartir de la primera ecuación, por ejemplo. Así, hallandoprimero la forma explícita de y ,

33x – 2y = 6 ⇒ – 2y = 6 – 3x ⇒ y = –3 + x

2y sustituyendo y en la segunda ecuación,

x = –3 y + 2

3 9x = –3 . (–3 + x) + 2 = 0 ⇒ x = 9 – x+2 2

11+ 2 ⇒ x =11x=2 2

Ahora sustituyendo el valor de x en cualquiera delas dos ecuaciones, por ejemplo, en

3x – 2y = 6 ⇒ 3 . 2 – 2y = 6 ⇒ 6 – 6 – 2y == 0 ⇒ –2y = 0 ⇒ y = 0.

2. Método de reducciónEs costumbre, cuando se utiliza el método de

reducción, llevar todos los términos de las ecuacionesal mismo lado de la igualdad de manera que todoquede igualado a 0. Hay que procurar también quelos términos de una misma variable se encuentrendispuestos verticalmente para facilitar las operaciones.Así, para empezar tendremos:

3x –2y = 6 ⇒ 3x – 2y – 6 = 0x= – 3y+2 ⇒ x + 3y – 2 = 0

Hemos visto anteriormente que al multiplicar unaecuación por un número permanece invariable. Estemétodo se basa en ello para hallar un par de coeficientesque al multiplicar las dos ecuaciones y luego sumarlas,queden anulados los términos de una de las variables.En el sistema que hemos escogido, basta multiplicar lasegunda ecuación por –3;

igualemos las formas explícitas:

22+ y = – 3y + 2 ⇒ 2 – 2 + (2/3 + 3) y = 3

=0 ⇒ 11 y=0 ⇒ y=0

3Hallemos ahora la forma explícita para y en la

primera ecuación: 32y = 3x –6 ⇒ y = x – 3 2

La forma explícita para la y en la segunda ecuaciónes:

y = 2/3 – x/3

28. Una identidadentre letras severifica siempre, seacual sea el valornumérico queasignemos a cadauna de las letras. Encambio, una ecuaciónse verifica paraciertos valores de lasincógnitas. Enmatemáticas, lasidentidades sedemuestran, lasecuaciones seresuelven.

29. Resolver unaecuación consiste enhallar todos losvalores de lasvariables que satisfa-gan la igualdad. Aestos valores se lesllama raíces de laecuación.

Álgebra

453

b 2

2a

x2 + b x + b 2 = – c + b 2

a 2a a 2a

de manera que, a la izquierda de la ecuación tenemosel desarrollo del cuadrado de una suma. Reduciéndoloa su notación binomial y reordenando:

extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados de laigualdad:

x + b = ± b2 – 4ac

2a 4a2

sacando los cuadrados del interior de la raíz y sustra-yendo b a ambos lados de la igualdad: 2a

+ b = ± b2 – 4ac

2a 2a

luego

– b ± b2 – 4acx=

2aque es la expresión corriente para el cálculo de lasraíces de una ecuación de 2° grado.

Por ejemplo, hallemos las raíces de la ecuaciónx2 + x – 2 = 0.

Resulta que a = 1 b = 1 c = – 2

Aplicar la fórmula que acabamos de obtener:

=(–1)± 12

– 4 . (1) . (–2)=

(–1) ± 1– (– 8) 2 . (1) 2 . (1)

x = –1 ± 9

= –1± 3

2 2

Al operar por separado con los dos signos,obtenemos las dos raíces de la ecuación que hemostomado como ejemplo. Así:

x1 = 1, cuando sumamos 3.

x2 = – 2, cuando restamos 3.

Igualando ahora las dos forma explícitas:

3 x – 3 = 2 – x

⇒ 11 x = 11

⇒ x = 2

2 3 3 6 3

–

–

Ecuaciones de segundo grado

Descripción y ejemplosUna ecuación de segundo grado es aquélla cuyo

término de mayor grado es de segundo grado.

Su forma general se expresa como sigue:

ax2+bx+c=0

donde a, b y c son cantidades conocidas y a es unnúmero distinto de cero. Si a fuese igual a 0, nohabría ecuación de segundo grado, ya que se anulael término de segundo grado. Cuando son nulos loscoeficientes b ó c, entonces a las formas obtenidasse las llama ecuaciones incompletas. Son lassiguientes:

ax2+ bx= 0 y ax2+ c = 0

Escribamos algunos ejemplos de ecuaciones desegundo grado:

1. – 2x2 + 9x –10 = 02. – 82x2 – x= –1

x 63. + =2 3 1+3x

4. 2x2 + 3 = 05. 5 x2+2 2x – 1=0

Obtención de las raíces de la ecuación de segundogrado

Vamos a mostrar los pasos que nos llevan a laobtención de la fórmula que calcula las raíces de laecuación de segundo grado. Se parte de la formageneral que hemos expuesto al principio de estasección:

ax2+bx+c= 0

Dividiéndola por a:

b cx2+ x + = 0. a a

Dejemos en el lado izquierdo los términos conincógnita y al lado derecho llevemos el términoindependiente;

b cx2+ x = – a a

sumamos a ambos miembros de la igualdad

b 2

= b 2

– c

= b2

–

c =x + 2a 2a a 4a2 a

b2

– a = (b

2 – 4ac) 4a2 4a2 4a2

(4a2) . c

√

√ √

– b ± b2 – 4ac

=x= 2a

30. ¿Cuáles son losmétodos más habi-tuales de resoluciónde sistemas deecuaciones deprimer grado?

31. ¿Qué es unaecuación de segundogrado?

454

Álgebra

30. Los métodosmás habituales deresolución de siste-mas de ecuacionesde primer grado son:sustitución, iguala-ción y reducción.

31. Un ecuación desegundo grado esaquella cuyo términode mayor grado es degrado 2.

La suma de las raíces de una ecuación de segundogrado es igual al opuesto del coeficiente del término

de primer grado dividido por el coeficiente del término

de segundo grado.Al multiplicar las raíces de una ecuación de segundo

grado se llegan a resultados similares. Veamos:

x1 . x

2 =

– b+ b2 – 4ac . –b – b2 – 4ac =2a 2a

= – (b)2 – b2–

4ac2

= b2 – b2 – 4ac = c .

2a . 2a 4a2 a

= [–b+ b2 – 4ac] . [–b – b2

– 4ac] = 2a . 2a

– 2b = – b . 2a a

= – b + b2 – 4ac – b – b2 – 4ac = 2a

x1=

Coeficientes y raícesEntre las raíces de una ecuación de segundo grado

y los coeficientes de sus términos, existen unasrelaciones notables que conviene conocer.Considerando las expresiones de cada una de lasraíces:

– b + b2 – 4ac 2a

teniendo en cuenta el valor positivo de la raízcuadrada y

x2 =

– b – b2 – 4ac 2a

si consideramos el valor negativo de la raíz cuadrada.Sumamos las raíces:

x1 + x

2 = – b+ b2 – 4ac + –b – b2 – 4ac =

2a 2a

x2=– c cuando se toma el valor negativo de

ala raíz.

Cuando se da el caso de que los coeficientes a y ctengan el mismo signo, su cociente es positivo. Comoen el interior del radical aparece afectado por el signonegativo, tendremos una raíz cuadrada de un númeronegativo, lo cual, en el conjunto de los números reales,no tiene solución. Si los coeficientes a y c tienen signosdiferentes, entonces las raíces de la ecuación seránnúmeros reales con el mismo valor absoluto y de signosopuestos.

Existe otro caso de ecuación de segundo gradoincompleta. Se trata de aquella a la que le falta eltérmino independiente. La forma general es:

ax2 + bx = 0

Con facilidad podemos descomponer el polinomioen producto de polinomios primos y tendremos que

lo cual indica que las raíces de estas ecuaciones desegundo grado son

x1 = – b y x

2 = 0

a

ax2+bx=a. x+ b . x=a . x+ b . (x - 0)a a

De ello se deduce que las ecuaciones de segundogrado a las que les falta el término independientetienen dos raíces distintas, de las que una es nula entodas las ocasiones. Estos valores coinciden con losque obtendríamos si hiciéramos b = 0 o c = 0 en lafórmula general.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

incompleto

Cuando a una ecuación de segundo grado le faltael término, de primer grado o el término independientese dice que es incompleta. En ese caso, es muy fácilhallar sus raíces ya que todo se simplifica. Tengamosen cuenta, en primer lugar, una ecuación de segundogrado a la que le falta el término de primer grado. Suforma general será:

ax2 + c = 0

Entonces, podemos escribir lo siguiente:

ax2 = –c ⇒ x2 = – c ⇒ x = – c

a a

–

Donde se ve que las dos raíces poseen el mismovalor absoluto:

x1 =+ –c cuando se toma el valor positivo de

ala raíz y

Álgebra

455

El producto de las raíces de una ecuación desegundo grado es igual al término independientedividido por el coeficiente del término de segundogrado.

Representación gráfica de las funcionespolinómicasRepresentación gráfica de las funciones polinómicasde primer grado

Una función polinómica de primer grado es unafunción cuya expresión general es:

ƒ (x) = ax + b

La representación gráfica en el plano cartesianode una función de este tipo es una recta. Por ello,recibe también el nombre de función lineal de unavariable.

Como es una función polinómica de grado impar,tendrá al menos una raíz, siempre que sus coeficientessean números reales o racionales, y como es de primergrado, no tendrá más de una raíz.

Es trivial, pues, concluir que las funcionespolinómicas de primer grado siempre tienen unaraíz que puede inferirse de su descomposición facto-rial.

ƒ (x) = 2 . (x - 3)

De aquí se obtiene con facilidad extrema que 3 esel valor de la raíz única. Y como el coeficiente principales positivo, se puede decir que la función tiende ainfinito cuando la variable tiende a infinito, y a menosinfinito cuando la variable lo hace también a menosinfinito. Como el término independiente es negativo,su valor es –6, la recta correspondiente a esta funcióncortará el eje de ordenadas en el punto –6.

Al conocer dos puntos (3, 0) y (0, –6), tenemosdefinida la recta que tendrá una cierta inclinación. Eshabitual, para la representación gráfica de una funciónpolinómica de primer grado, tomar la imagen de 0 ysu raíz, ya que se obtienen rápidamente de la primerainspección de la definición de ƒ (x). Así, tendremosque ƒ (0) = b y también que

ƒ (x) = ax + b = a . x + b

a

ƒ - b = 0a

Para x = – b , ƒ (x) = 0 y por tanto, – b

a a

es la única raíz de una función polinómica de primergrado.

El valor de a nunca es nulo, ya que en el caso deque a sea igual a cero, no existe función polinómicade primer grado.

Se acostumbra a decir que una variable o una funcióntiende a más infinito, o infinito, y lo anotaremos ‘+∞‘ o‘∞‘, cuando su valor aumenta indefinidamente demanera que siempre puede hacerse mayor que cualquiernúmero dado.

Decimos también en ese caso, que el límite de lavariable, o de la función, es más infinito. Cuando lavariable, o la función decrece indefinidamente y puedehacerse menor que cualquier número dado, se diceentonces, que tiende a menos infinito y se anota ‘∞ ‘.Puede decirse entonces que su límite es menos infinito.

En una función polinómica de primer grado, si elcoeficiente principal es positivo, ƒ tiende a infinito,cuando la variable x tiende a infinito. Tiende también amenos infinito, cuando x tiende a menos infinito. Si elcoeficiente principal es negativo, ƒ tiende a menosinfinito cuando x tiende a infinito y tiende a infinito cuandox tiende a menos infinito.

Veamos en la figura 10, por ejemplo, larepresentación gráfica de la función polinómica deprimer grado ƒ (x) = 2x – 6.

Como acabamos de ver, esta función se puedeexpresar por medio del producto que escribimos acontinuación:

Esa inclinación está en relación con el coeficienteprincipal y acostumbra a llamarse pendiente y puedeser pensada como el valor constante que mide lainclinación de la recta. Esta cuestión puedecomprenderse con facilidad si se toma un cierto in-cremento de la variable x y se comparan los valoresde la función entre dos puntos separados por eseincremento. Tomemos 1 como el valor de ese incre-mento y tengamos en cuenta los valores de la funciónpara 1 y para 1+1=2. El incremento de la funciónserá la diferencia de las imágenes que obtenemospara los puntos 1 y 2:

32. ¿Cuál es lafórmula general parala obtención de lasraíces de una ecuaciónde segundo grado?

33. ¿Qué relacionesexisten entre lasraíces de una ecuaciónde segundo grado ysus coeficientes desus términos?

Figura 10Figura 10

456

Álgebra

A partir de ella se puede obtener la expresión explícitaque ya conocemos:

px+qy + r = 0 es equivalente a escribir qy == – px – r. Y despejando y, tenemos que

lo cual se corresponde totalmente con y = ax+b siconsideramos que

Para la expresión de una recta existe otra forma,llamada canónica, que consiste también en unafunción implícita entre x e y. Se acostumbra a escribirde esta manera:

al multiplicar cada término de la igualdad por el factorde descomposición que le falta del máximo comúndivisor de los denominadores, podemos escribir

nx + my = mn,

y de aquí se obtiene que

La forma canónica es equivalente a la formaexplícita, como vamos a demostrar fácilmente:

si tenemos quex + y = 1m n

ƒ (2) –ƒ (1) = (2 . 2 – 6) - (2 . 1 – 6) == (–2) – (4) = 2.

Esta diferencia nos dice que cada unidadincrementada a la variable x, produce un incrementode dos unidades en la imagen de la función ƒ (x).

Desde el punto de vista de la teoría de conjuntosla recta puede ser vista como un subconjunto deelementos de R2, es decir, del producto cartesiano Rx R, de modo que el valor del segundo elemento realde cada par ordenado se obtiene por una relaciónque viene definida por una función polinómica deprimer grado. Así, una recta en el plano es un conjuntode elementos (x, y) que pertenecen a R x R y quecumplen la siguiente relación: y = ax + b, siendo a yb cualesquiera valores constantes y pertenecientes aR. Ello puede escribirse así:

Recta = {(x, y) ∈ R / y = ax + b;∀ a,b ∈ R}

Una recta, lo hemos utilizado ya, quedadeterminada por un par de puntos en el plano. Setrata de dos puntos de R2 que por comodidad,generalmente se hacen coincidir con (0, b) y(– , 0). Por ello en el ejemplo a que hemos

considerado, la recta que constituye la representacióngráfica se define por el par de puntos (0, –6) y (3,0).De todas maneras es importante comprender quetambién hubiéramos podido trazar la misma rectateniendo en cuenta los puntos (1, –4) y (4, 2).

Muchísimos fenómenos del mundo real puedenser previstos fácilmente porque presentan relacionesestrictamente lineales. Otros, cuyo comportamientose acerca a la forma lineal, pueden también serprevistos con facilidad por medio de aproximacionesa una relación lineal. Por suerte o por desgracia, lamayor parte de comportamientos no pueden seraproximados a una recta por presentar formas muchomás complejas.

Determinación de la rectaAcabamos de ver que una recta del plano puede

estar determinada mediante un par de puntos, o bienmediante un punto por el que pasa y su pendiente.

En el apartado anterior se estudia cómo una rectaqueda definida por una relación entre los dos númerosreales que forman un par ordenado perteneciente alproducto cartesiano R x R. Así, el segundo número reales imagen del primero según una función polinómica deprimer grado. Hasta el momento, las expresiones quehemos manejado aquí son expresiones explícitas, enlas que se expresa el modo de hallar el valor del segundoelemento en función del primero.

Esa función puede expresarse de forma implícitamediante una formulación que condiciona losvalores del primer y segundo elementos del parordenado. Cuando la expresión es de la forma

px + qy + r = 0,

se dice que se trata de la ecuación normal de la recta.

x + y = 1m n

y = – n x +n m

donde a = – n y b = n m

ba

a = – p y b = – r q q

y = – p x – r q q

32. La fórmula generalpara la obtención delas raíces de unaecuación de segundogrado es:

x = –b ± b2 – 4 a c

2 a

33. La suma de lasraíces de una ecuaciónde segundo grado esigual al opuesto delcoeficiente del términode primer gradodividido por el coefi-ciente del término desegundo grado. Elproducto de las raícesde una ecuación desegundo grado es igualal término indepen-diente dividido por elcoeficiente del términodesegundo grado.

Figura 11

Álgebra

457

– r

q

0, – r y – r , 0 . q p

coordenadas cartesianas son:

(0, n) y (m, 0).

En el siguiente ejemplo numérico vamos a ver cómoestas previsiones se cumplen realmente.

Sean las siguientes ecuaciones las formas canónica,normal y explícita de una recta:

Según nuestros anteriores cálculos, si para la formacanónica, m = 4, n=2, para la normal,p = 1, q = 2, r = – 4 y para la explícita,

podríamos decir, en efecto, que las tres formas sonequivalentes. Veamos ahora si ciertamente coincidenlos puntos de intersección con los ejes cartesianosprevistos independientemente por cada una de lasexpresiones. Ello nos dará la prueba de que expresanuna misma recta, ya que un par de puntos define unasola recta. Los puntos de intersección son:

partiendo de la forma canónica,

(0, n) = (0,2) y (m, 0) = (4, 0).

partiendo de la forma normal,

De donde se muestra que en efecto las rectasdefinidas por las tres formas son iguales y, por tanto,se trata de la misma recta. En la figura 11 se muestrala recta del ejemplo, con sus puntos de corte a nivelde los ejes y con sus expresiones explícita, normal ycanónica. Además de estas expresiones de una recta,llamadas analíticas, donde las constantes no tienenuna significación geométrica explícita, una recta en elplano se define sin ambigüedad por medio de unpunto por el que pasa y su pendiente, o bien por unpar de puntos que forman parte de ella.

Así, se nos plantea un problema general queconsiste en la obtención de cualquiera de lasexpresiones analíticas de la recta, a saber, canónica,normal o explícita, a partir de un punto de paso,expresado por un par de números reales, y el valor,real también, de la pendiente, o bien, a partir de unpar de puntos pertenecientes a la recta, expresadospor dos pares de números reales.

La resolución del primer caso es casi trivial.Veámoslo al obtener la forma explícita:

Conocemos la pendiente, a, y un punto, quevamos a representar por (x

o, y

o ), por el que pasa la

recta. De aquí, como la forma explícita es y=ax+ b ycomo (x

o, y

o ) es un punto de la recta, se puede

escribir, ya que se cumple, que

yo = ax

0 + b

De la forma explícita, se obtiene la raíz como el

valo r– b lo que en la forma normal a

equivale a – =– r p

donde los puntos de – p q

intersección con los ejes son:

En la forma canónica, la raíz viene dada por

– n = m,

– n m

mientras que los puntos de corte con las

x + y = 1, x + 2y – 4 = 0, y = – 1 x + 2.4 2 2

a = – 1 y b = 2, como ocurre que2

a = – 1 = n = – 2 = – 1 =2 m 4 2

= – p = –

1q 2

y también que

b = 2 = n = 2– r = – – 4 = 2,q 2

0, – r = q

0,–– 4 = 2

(0,2) y – r , 0 = p

partiendo de la forma explícita

– –4 ,0 = (4,0) 1

(0, b)= (0,2) y b (– b , 0)=b – 2 , 0 =(4,0)a 1

– 1 2

34. ¿Qué forma tienela gráfica de unaecuación de unafunción polinómicade primer grado?¿Cuántos puntos de lagráfica es necesarioconocer para repre-sentarla?

35. ¿Cuáles de lassiguientes ecuacionestienen la mismagráfica?a)

2x + y =

4 3 3

b)

x +

3y _ 1 = 0 2 4

c)

2 3

x +

y =

_ 3 2

Figura 12

458

Álgebra

Sean (1, 3) y (2, 4) puntos conocidos de unarecta. Vamos a calcular la ecuación explícita que ladefine. La pendiente se determinará según laexpresión que hemos obtenido:

y0 – y

1

x0

– x1

3 –4

= 11 – 2

de donde extraemos el valor de b = yo

– ax0. Con lo

que ya podemos calcular cualquier punto de la recta,ya que podremos escribir su ecuación como sigue;

y = ax + (yo

– ax0)

El caso correspondiente a la determinación dela expresión de la recta a partir de dos puntosconocidos pertenecientes a ella tiene igualmente fácilresolución. Representemos los dos puntos conocidospor (x

0 ,y

0) y (x

1 , y

1) y escribamos

y0 = ax

0 + b, y

1 = ax

1 + b

lo cual debe ser cierto al mismo tiempo, ya que am-bos puntos al pertenecer a la recta pueden satisfacerla igualdad. Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas.Es evidente que podemos conocer a partir de ellas losvalores de a y b. Al restar las dos igualdades elimina-mos b

Ahora, cualquiera de las dos ecuaciones nos brindael valor de b al sustituir a por (y

0 – y

1) / (x

0 – x

1):

Multiplicando y dividiendo y0 – por x

0 – x

1 podemos

transformar la expresión en otra formada por una únicafracción:

b= y0

x0 – x

1 –

y0 – y

1 x

0 =

x0 – x

1 x

0 – x

1

= y

0 (x

0 – x

1) – x

0 (y

0 – y

1) =

y1x

0 – y

0x

1

x0 – x

1 x

0 – x

1

y por tanto la ecuación que define la recta quecontiene los puntos (y

0 – y

1) y (x

0 – x

1) es:

Análogamente al caso anterior, de la observaciónde la esquematización de la recta representada en elplano se puede deducir el valor de la pendiente, a, yaque desde el punto (x

0 , y

0) al punto (x

1 , y

1) el incre-

mento de x, (x1 , x

0), produce un incremento de y

igual a (y1 - y

0). Por tanto, el valor de la pendiente, a,

será el cociente de los dos incrementos y podremosescribir

a= y

0 – y

1 , o bien,

x0 – x

1

a= y

1 – y

0 , que es lo

x1 – x

0

y0 = ax

0 + b

y1 = ax

1 + b

y0 – y

1 = ax

0 – ax

1 = a (x

0 – x

1)

y0 = y0

– y

1 x0 + b, de donde b= y–

y0 – y

1 x0.

x0

– x1

x0

– x1El mismo resultado puede obtenerse al observar

detenidamente una representación de la recta sobreel plano, como en la figura 12. La pendiente a de unarecta es el valor del incremento que experimenta ycuando x incrementa una unidad. Si incrementamosel valor de x a partir del punto dado, éste se expresarápor x – x

0 y el incremento de y será dado por y – y

0 . De

lo que acabamos de decir, el valor de la pendiente, a,podrá expresarse como

, lo que, escrito de

otra manera, equivale a establecer que y – y0 =

a(x – x0) . Y de aquí, dejando sola la y a la izquierda de

la ecuación, obtenemos que y = a(x – x0)+y

0 = ax

– ax0+y

0 . Reordenando llegamos a la misma forma

que antes:

y = ax+ (y0 – ax

0), donde b = y

0 – ax

0

y – y

0

x – x

0

mismo que habíamos concluido. Con ello, el problemaqueda reducido a la expresión de una recta a partir deun punto de paso, (x

0, y

0) o (x

1, y

1) y la pendiente,

, que es en definitiva el mismo caso que el

anterior.

y0

– y1

x 0 –

x1

Vamos a calcular la expresión de la recta que pasapor el punto (4, 8) y tiene como pendiente a = 3. Notenemos más que sustituir estos valores en laexpresión

y = ax+ (y0–

ax

0)=3x+(8 – 3 . 4) = 3x –4.

La obtención de los puntos de intersección con losejes cartesianos es fácil y nos brinda

los valores (0,– 4) y – 4 , 0 = 4 , 0 . –3 3

y0 – y

1

x0

– x1

y obtenemos que a =

y= y

0 – y

1 x+

y1x

0 – y

0x

1

x0 – x

1 x

0 – x

1

a = =

Igualmente ocurre con el término independiente

b = y1x

0 –y

0x

1 = 4 . 1– 3 . 2 = 2 de donde x0

– x1

1 – 2nuestra recta quedará definida por la ecuación:

y = x +2

34. La gráfica de unaecuación polinómica deprimer grado es unarecta. Para represen-tarla es suficienteconocer dos de suspuntos y a continuacióntrazar la gráfica con laayuda de una regla.

35. Las ecuaciones

representan la mismagráfica.

2x + y =

4 y

3 3

x +

3 y 1 = 0

2 4

Álgebra

459

Perpendicularidad v paralelismoVamos a deducir en este apartado las relaciones

que se dan entre los parámetros de dos rectas entrelas que hay establecida una relación de perpen-dicularidad o de paralelismo.

Empecemos por el caso relativo a la perpen-dicularidad, que es algo más difícil. Las condiciones paraque dos rectas sean perpendiculares se deducenfácilmente de su representación gráfica en surepresentación en los ejes cartesianos, como se apreciaen la figura 13.

A primera vista se observa que dos rectasperpendiculares no son simultáneamente crecienteso decrecientes. Ello nos informa de que los signos desus pendientes serán opuestos. Si uno es negativo,el otro es positivo, y viceversa. No se nos informa, sinembargo, de cuáles serán los valores absolutos deesas pendientes. Comparando geométricamente lostriángulos ABC y A’B’C’, se observa que sonsemejantes ya que sus lados son perpendicularesentre sí. Por ello, será cierta la proporción queescribimos a continuación:

AB = BCA’B’ B’C’

Se puede observar también que los lados AB y BCse corresponden con los incrementos de la variable,x, y de su imagen, y, respectivamente, en la rectaque tiende a menos infinito, –∞, cuando x tiende ainfinito, ∞. Análogamente, A’B’ y B’C’ se correspondencon los incrementos de la variable x’, y de su imagen,y’, respectivamente, en la recta que tiende a infinito,∞, cuando x’ tiende a infinito, ∞. Si representamoslos incrementos de la variable y de su imagen con laletra griega delta mayúscula, Δ, podemos escribir larelación

Δx = Δy’.Δy Δx’

Δx = Δy que es equivalente, pues resulta de laΔy’ Δx’transposición de los términos, a

de la que los puntos donde corta los ejes cartesianosserán

(0, b) = (0,2) y (– b , 0) = (–2,0) a

El cociente del incremento de y partido por el in-cremento de x es la pendiente de la recta. Por eso,aquí se aprecia con facilidad que los módulos de lasrectas perpendiculares son inversos. De aquí, y delhecho de que son de signo opuesto, llamando a a lapendiente de una recta y a’ a la pendiente de la otraperpendicular a ella, podemos establecer que larelación entre las pendientes es

Así, por ejemplo, podemos decir que las rectas y

= 3x+7 e y = x+1 no son perpendiculares pues

a pesar de que los valores absolutos de suspendientes son inversos, ambas son positivas, es decirque las rectas expresadas por estas ecuaciones soncrecientes. Para que exista perpendicularidad es nece-sario también que las pendientes sean de signo

contrario como en el caso de y = 3x + 7 e y = – x

+ 1, las cuales sí son un par de rectas perpendiculares.

13

13

Vayamos ahora con la condición de paralelismo.Que dos rectas sean paralelas equivale a decir que noexiste ningún punto de intersección entre ellas.Consideremos dos rectas no necesariamenteparalelas definidas por las expresiones siguientes:

y = ax + b, y = cx + d

En el punto donde ambas intersecan los valoresde las variables, x, y de sus imágenes, y, debencoincidir. Ello nos autoriza a igualar las dos expresionesde manera que

y = ax+ b= cx+d

y entonces(a – c)x = d – b

de donde deducimos que la abscisa de la intersec-ción vendrá dada por

Para que ambas rectas sean paralelas, esaintersección no debe existir y ello se cumple cuandoel cociente anterior no está definido, es decir, cuandoa es lo mismo que c. De ello podemos decir que dosrectas son paralelas cuando sus pendientes coinciden.Por ejemplo, las rectas definidas por y = 7x + 43 e y= 7x –1 constituyen un par de rectas paralelas yaque comparten la pendiente, que es 7.

a = – 1 y por tanto, la relación recíproca a’

a’ =– 1 será también cierta. a

x = (d – b)(a – c)

36. ¿Cuál de lassiguientes afirmacio-nes es correcta?a) La pendiente de unarecta coincide con elcoeficiente de las xcuando la función estáexpresada en formaexplícita.b) La pendiente de unarecta coincide con elcoeficiente de las ycuando la función estáexpresada en formacanónica.c) La pendiente de unarecta coincide con eltérmino independientecuando la función estáexpresada en formaimplícita.

37. ¿Cómo se puedesaber si dos rectasson paralelas?

Figura 13

460

Álgebra

Hemos estudiado la forma de la expresión explícitade las funciones que definen rectas que guardan en-tre ellas la relación de perpendicularidad y deparalelismo. Los parámetros de las formas normal ycanónica de las rectas perpendiculares y paralelasmantienen relaciones notables que siempre esinteresante tener a mano.

Sean dos rectas determinadas por su expresiónnormal. Las escribiremos, como anteriormente:

px + qy + r = 0 y p’x + q’y + r’ = 0

y sus pendientes, como ya hemos visto serán:

Para que las dos rectas puedan ser consideradasrecíprocamente perpendiculares es necesario que

a = – de lo que se deduce que entonces también

= – . Así, dos rectas definidas por sus

expresiones normales son perpendiculares si susparámetros p y q están en relación inversa y con lossignos opuestos. De esa manera, por ejemplo, lasrectas dadas por x + 4y + 1000 = 0 y – 4x + y +1 = 0 son perpendiculares. Ello tal vez no sea muyclaro a primera vista. Recomendamos al lector queobtenga las razones que se dan entre sus parámetrospara constatar que se verifican las relacionesdescritas.

Para que esas rectas sean paralelas, debecumplirse que las pendientes sean iguales.

Resolución gráfica de un sistema de ecuacionesLa representación gráfica de un sistema de

ecuaciones con dos incógnitas es equivalente a dosrectas de las que se desea localizar el punto en queintersecan. El punto de intersección tiene una cierta

pq

1a’

q’p’

Eso es lo mismo que decir p = p’ de donde q q’

podemos afirmar que los parámetros p y q de dosrectas paralelas guardan entre sí la misma razón. Así,por ejemplo, la rectas definidas por 2x + y + 7 = 0es paralela a la recta 8x + 4y + 1 = 0. Nuevamenteno parece claro a primera vista que estas rectas seanparalelas. El lector debería ejercitarse en hacer loscálculos pertinentes para su verificación.

Consideremos ahora el caso de las relaciones en-tre los coeficientes de las expresiones canónicas depares de rectas perpendiculares o paralelas. Dos rectasson perpendiculares si las dos pendientes sonrecíprocamente inversas y de signo opuesto.

Sean x + y = 1 y x + y = 1 las expresiones m n m’ n’canónicas de dos rectas. Entonces, las pendientes

a y a’ serán – n y – n’ , respectivamente. Por ello, m m’

la condición de perpendicularidad se mantendrá,

siempre que n = – m’ . Concluiremos, pues, que m n’

dos rectas definidas por sus expresiones canónicasson perpendiculares si los parámetros, m y n, guardanrazones inversas y de signos opuestos. Por ejemplo,la recta determinada por la ecuación

x + y = 1 es perpendicular a la dada por 6 7

x – y = 1.

35 30

Dos rectas serán paralelas si se cumple que suspendientes son iguales. Teniendo en cuenta susexpresiones canónicas, eso se puede escribir de lasiguiente manera:

– n = – n’ lo cual es lo mismo que decir que sus m m’

parámetros mantienen la misma razón en las dosexpresiones canónicas correspondientes.

Concluiremos este apartado sugiriendo que si sedesea comparar dos rectas de las que se dispone deexpresiones formalmente distintas, el primer paso quedeberá realizarse para constatar si se verifica sucondición de perpendicularidad o de paralelismo seráreducirlas al mismo tipo de forma de expresión, yasea canónica, normal o explícita.

a = – p y a’ = – p’q q’

36. La pendiente deuna recta coincidecon el coeficientede las x cuando lafunción está expresa-da en forma explícita.

37. Para saber si dosrectas son paralelasnormalmente bastacon dibujar susgráficas. Si se quiereestar seguro sepueden calcular suspendientes. Dosrectas son paralelassi y sólo si suspendientes coinciden.

Figura 14

Álgebra

461

abscisa, x, y una cierta ordenada, y, por ello, el problemaque se plantea cuando se desea resolver un sistemade ecuaciones de este tipo estriba en la determinaciónde los valores de x y de y que satisfacen a un tiempoambas expresiones. Ya vimos en el apartado anteriorque la abscisa de ese punto viene determinada por

x = . Para hallar la ordenada del punto de la

intersección no hay más que sustituir ese valor por lavariable en cualquiera de las dos ecuaciones:

y=a (d – b) + b, o bien, c (d – b) + d. (a – c) (a – c)

Por ejemplo, tomemos el siguiente par de rectasdeterminadas, una, por su forma normal y por su formaexplicita, la otra:

2y – x – 4 = 0 y = –2x + 7

Ambas expresiones se corresponden con las rectascuya representación gráfica se muestra en la figura 14.Por el hecho de que no son paralelas, se verifica quetienen un solo punto de intersección que debe satisfa-cer las dos ecuaciones simultáneamente. En la figura14 se aprecia que el punto en cuestión es el determinadopor el par (2, 3). De ello se sigue que la resolución delsistema de ecuaciones debe brindar x = 2 e y = 3.

Representación cartesiana de la función polinómicade segundo grado

En esta última sección vamos a realizar la re-presentación gráfica en el eje de coordenadascartesianas de una función polinómica de segundogrado. Tomemos como ejemplo la función

ƒ (x) = y = x2 – x – 6.

El primer paso será la construcción de una tablade valores para situar algunos puntos de la parábolaque permitirá su entera representación gráfica. Ellose muestra en la parte inferior izquierda de la figura15.

Si se observa con atención la distribución de lospuntos en el plano, veremos que el eje caracterizadopor x = 0,5 es el eje de simetría de la parábola. Por esarazón el punto más alto o el más bajo de la paráboladeberá encontrarse en x = 0,5. Esos puntos reciben elnombre de máximo y mínimo, respectivamente.

De todas maneras, si no deseamos fiamosciegamente de nuestra intuición, el máximo o mínimode una parábola dada por la función polinómica desegundo grado ax2 + bx + c se encuentra siempre

en x = . Si aplicamos los parámetros de nuestra

función de ejemplo el valor de la variable en ese punto

será x = = 0,5 tal como nuestro sentido de la

vista intuía. Cuando la abscisa toma ese valor, de la

función polinómica de segundo grado del ejemplotoma el valor

ƒ (0,5) = (0,5)2 – 0,5 – 6 = - 6,25

Ese valor se corresponde con el único mínimo de laparábola. Se sabe que se trata de un mínimo, porquea es positivo (a = 1).

Uniendo los puntos de la tabla se intuye larepresentación gráfica de esta función polinómica desegundo grado, cuyas raíces se hallan en el punto deintersección con el eje de abscisas. Como se puedeapreciar en la figura 15 son próximas a –2 y 3. Aplicandola fórmula que dedujimos en otros apartados de estasección, comprobamos que

(d – b)(a – c)

(– 1) 2

y, análogamente que

x1 = - b+ b2 - 4ac = 1+ 1+24 = 3

2a 2

x2 = – b – b2 – 4ac = 1 – 1+24 = –2

2a 2

con lo que nuevamente se confirman nuestrasintuiciones.

– b2a

38. ¿Qué relaciónse verifica entre laspendientes de dosrectas perpendicularesentre sí?

39. ¿Es posible que unaparábola no tenganinguna raíz real?¿Cómo se puede veresto a partir de lagráfica? ¿Es posibleque una parábola notenga ni máximo nimínimo?

Figura 15

462

Álgebra

Inecuaciones

Inecuación de primer gradoLas inecuaciones son expresiones en las que se

expresa una desigualdad que es cierta para algunosvalores de la incógnita. Resolver una inecuación esencontrar el conjunto de valores para las que es cierta.Vimos en secciones anteriores que la expresión analíti-ca de una función polinómica de primer gradodetermina en el plano un conjunto de puntos quepertenecen a una cierta línea recta. Si se sustituye elsigno igual ‘=’ por uno cualquiera de desigualdad, elconjunto de puntos que satisface la desigualdad estácontenida en una de las mitades del planodeterminadas por la recta correspondiente a la funciónpolinómica. De esa manera, la expresión y = x – 4determina el conjunto de puntos que pertenecen auna recta, pero la expresión y > x – 4 está indicandoel conjunto de puntos que constituye la mitad delplano que se encuentra por encima de la rectadefinida por la primera expresión. Eso es lo que serepresenta en la figura 16.

Si la desigualdad es estricta, ello se representacon el signo >. Cuando no es estricta, como en laexpresión y ≥ x – 4, entonces la inecuación estáindicando el conjunto de puntos formado por la unióndel conjunto de puntos que constituye la mitad delplano que se encuentra por encima de la recta con elconjunto de puntos que constituye la recta misma.

Cuando se desea saber si la mitad del planoindicada por la inecuación se encuentra por encima opor debajo de la recta que lo divide, es menestertransformar la expresión y reducirla a la expresiónexplícita correspondiente.

Por ejemplo, sea la recta dada por su expresión

canónica x – y = 1 y la inecuación que debe 2 6

satisfacerse la x –

y < 1. 2 6Multiplicando por 6 todos los términos se obtiene

3x – y < – 6 y trasponiendo el 6 y la y se tiene 3x –6 <

y, lo cual indica que los puntos que satisfacen lainecuación constituyen la porción del plano situadapor encima, sin comprenderla, de la recta y= 3x –6.

Sistema de inecuaciones de primer grado

Un sistema de inecuaciones es un conjunto deinecuaciones que determinan un conjunto de puntospertenecientes al plano (R2). Ello ocurre gracias a laintersección de los semiplanos que cada inecuacióndetermina. Consideremos, por ejemplo, el sistema deinecuaciones determinado por las siguientesexpresiones:

x ≥ 3

y > 3 – x

y < x +1.

3

En la figura 17 se puede apreciar los tressemiplanos determinados por estas tres inecua-ciones.

La inecuación x ≥ 3 está indicando el semiplanoen el cual la abscisa es siempre mayor o igual que 3.La inecuación y > 3–x está haciendo referencia alsemiplano que se halla por encima de la recta

y = 3 –x. Finalmente, la inecuación y < x + 1 3

determina el semiplano que se encuentra por debajode los puntos de la recta definida por

y = x + 1. 3La intersección de estos tres subconjuntos de R2,

determina otro subconjunto de R2, más reducido, queya no puede considerarse como un nuevo semiplano,y que satisface el sistema de inecuaciones.

En un sistema de inecuaciones puede darse elcaso de que alguna de las inecuaciones sea

38. El producto de laspendientes de dosrectas perpendicula-res entre sí es iguala – 1.

39. Puede ser queuna parábola no tenganinguna raíz real. Eneste casi su gráficano cortará en ningúnpunto al eje deabcisas. Pero encualquier caso, siel coeficiente deltérmino de segundogrado es positivo lagráfica presentaráun mínimo, y si elcoeficiente deltérmino de segundogrado es negativo lagráfica presentaráun máximo.

Figura 16

Figura 17

Álgebra

463

innecesaria -a veces se dice que es redundante- acausa de que el semiplano determinado por ellacontenga la intersección de los semiplanos definidospor las otras inecuaciones, que pueden ser, por su-puesto, más de dos. Ese sería el caso de nuestrosistema si sustituyéramos la inecuación x ≥ 3 porx ≥ 1. Otros sistemas de inecuaciones pueden tenerel conjunto vacío como solución cuando el semiplanodeterminado por una de ellas es totalmente disjuntocon la intersección de los definidos por el resto deinecuaciones. Ese sería el caso de nuestro sistema sisustituyéramos la ecuación x ≥ 3 por x ≤ 1.

Inecuaciones de segundo gradoCuando en la expresión de una función polinómica

de segundo grado se sustituye el signo igual ‘=’ por unsigno cualquiera de desigualdad, se está ante unainecuación de segundo grado que determina unsubconjunto en el plano (R2) tal que todos sus puntosestán por encima o por debajo de los puntosconstituyentes de la parábola cuya expresión es la funciónpolinómica, según el signo sea mayor que, ‘>’, o menorque, ‘<‘, respectivamente.

Si la desigualdad es estricta, entonces, los puntosde la parábola no se incluyen en el conjunto definidopor la desigualdad. Si, por el contrario, la desigualdadno es estricta, los puntos del conjunto definido por lainecuación incluyen los puntos de la parábola de-terminada por la función polinómica correspondiente.

Sistemas de inecuaciones de segundo gradoComo ejemplo, tomemos el sistema de

inecuaciones de segundo grado siguiente:

y ≤ 2x2 – 5x –1y ≥ x2+ x – 6

y consideremos la representación gráfica de suintersección de la figura 18.

Para empezar, es necesario buscar los puntos deintersección de las parábolas que constituyen loslímites de cada inecuación. Para encontrar esepunto, se igualan las funciones polinómicas:

2x2 – 5x –1 = x2 + x – 6

de donde resulta que x2 – 6 x + 5 = 0.

Las raíces de esta nueva función polinómica sonlas abscisas de los puntos en que las dos parábolasiniciales intersecan. Al sustituir esos valores encualquiera de las funciones, obtendremos lasordenadas, necesarias para definir los puntos deintersección. Así,

x1 = – (–6) + (–6)2 – 4 . 1. 5 = 5 y x

2 =√

2 . 1

= – (–6) – (–6)2 – 4 . 1. 5 = 1

2 . 1√

y sustituyendo, en x2+x–6, tenemos que

ƒ2

(5) = 52 + 5 – 6 = 24 y

ƒ2

(1) = 12 + 1 – 6 = – 4.

Si es cierto que estos dos puntos son inter-secciones de ambas parábolas debe cumplirse queƒ

1 (5) = ƒ

2 (5) y ƒ

1 (1)=ƒ

2 (1). En efecto,

ƒ1(5) = 2 . 52 – 5 . 5 –1 = 24 = ƒ

2(5)

ƒ1(1) = 2 . 12 – 5 . 1 –1 = – 4 = ƒ

2(1).

40. ¿Qué diferenciaexiste entre lainecuación y < 3x +2, y la inecuación y≤3x + 2?

41. Dar un ejemplode sistema deinecuaciones desegundo grado quetenga el conjuntovacío como solución.

Figura 18

464

Álgebra

tanto,

√x =± – b ± b2

–4ac 2a√

de donde obtenemos cuatro raíces, a saber:

Números complejosEn esta sección necesitaremos hacer uso de

algunos temas que se tratarán con mayor profundidaden los capítulos dedicados al Análisis y laTrigonometría.

Definición del conjunto de los números complejosEl conjunto de los números complejos se forma

mediante el producto cartesiano R x R = R2, donde Res el conjunto de los números reales.

Un elemento z del conjunto de los númeroscomplejos se representa por un par ordenado (a, b)con a y b reales. El número real a se llama parte realde z, y el número real b, parte imaginaria. Cuando laparte real, a, de un número complejo, z, es nula,entonces se dice que z es un número imaginariopuro. El conjunto de los números complejos se desig-na con la letra C y con las operaciones suma yproducto presenta estructura de cuerpo.

El conjunto de los números reales, R, está incluidoen el de los números complejos, C. Cualquier elementodel conjunto R puede ser expresado como un númerocomplejo cuya parte imaginaria es nula, y entoncesadopta la forma (a, 0).

Es costumbre expresar los números complejoscomo la suma de un número real con otro imaginariode la siguiente manera:

a+ bi,

donde a y b son números reales y la letra i, o unidadimaginaria designa el número complejo (0, 1).

La unidad imaginariaSe designa con la letra i la unidad imaginaria, que

puede definirse como el número cuyo cuadrado esigual a –1:

i2 = –1

Es fácil observar que este número es imaginario,no real, en el sentido habitual de los términos.

Puede observarse que:

x1 =

– b + b2–4ac

2a√√

x2 =

– b – b2– 4ac

2a√√

x3=–

– b + b2–4ac

2a√√

x4=– –b – b2

–4ac 2a

√√

i3 = i2 . i = (–1) . i = – ii4 = i2 . i2 = (–1) . (–1) = 1i5 = i4 . i = i

Es decir, que las sucesivas potencias de exponentenatural de i son:

i4n = (i4)n = 1i4n+1 = i4n . i = ii4n+2 = i4n . i2 = –1i4n+3 = i4n . i3 = – i

Con n = 0,1, ...

Suma y producto de números complejosEn el conjunto de los números complejos, las

operaciones adición y producto están definidas. Sean

Así es cómo se demuestra que el subconjunto de(R2) que nuestro sistema de ecuaciones determinaestá constituido por dos zonas separadas, de las queuna tiene valores de x menores o iguales que 1 y laotra con valores de x mayores o iguales que 5.

Ecuaciones bicuadradasEntre las ecuaciones de grado superior a dos

existen algunas para las cuales es posible hallar unaexpresión general que nos informe del valor de susraíces. Siendo la mayor parte de ellas complejas y demanejo engorroso, vamos únicamente a dedicarnuestra atención a aquellas ecuaciones de cuartogrado en las que no hay términos de grado impar. Sellaman ecuaciones bicuadradas y su forma generales:

ax4 + bx2+ c = 0

Es fácil comprender que, si se hace un cambio devariable, de manera que, por ejemplo, u = x2, entonceses posible aplicar la expresión de las raíces de unaecuación de segundo grado para hallar las de laecuación bicuadrada. Veámoslo:

ya que x2= u, entonces x4 = u2 y nos quedaráuna nueva ecuación de segundo grado:

au2 + bu + c= 0

cuyas raíces podrán expresarse como:

Ya que x2 = u, entonces x =± u y, por

40. En el primer casola desigualdad esestricta, los puntos dela recta y = 3x + 2 no forman parte de lasolución de lainecuación y serepresentan por unalínea discontinua.En el segundo caso ladesigualdad no esestricta, los puntos dela recta y = 3x + 2forman parte de lasolución de lainecuación y serepresentan por unalínea continua.

41. El sistema deinecuaciones desegundo gradoy ≤ _ x2

y > x2

no tiene ningunasolución.

Álgebra

465

los números complejos z1=(a, b) y z

2 =(c, d),

entonces

Estas definiciones se basan en las operacionesalgebraicas de suma y producto de los binomios:

z1 + z

2 = (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) y

z1 . z

2 = (a, b) . (c, d)=(a . c – b . d, a . d+c . b).

z1+z

2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+i . (b+d)

z1. z

2 =(a+bi) . (c+di)=(a . c – b . d)+ i . (a .

. d+c . b)a + bi

x c + dia . di + di . bi + c . bi + c . a =

= a . c + a . di + d . bi2 + c . bi == a . c + a . di – d . b +c . bi == a . c – d . b+c . bi +a . di == a . c – d . b+i (c . b+a . d)

Los números complejos se tienen en consideraciónpara dar sentido a la resolución de las ecuacionespolinómicas de segundo grado cuyas raíces no sonnúmeros reales. La ecuación más sencilla de este tipoes x’ + 1 = 0 . Si, para hallar las raíces de estepolinomio, aplicamos la fórmula que dedujimos ante-riormente, tendremos que

Para que se cumpla esa condición, z’ debeexpresarse en función de las partes real e imaginariade z de la siguiente manera:

Ello, aunque un poco engorroso, es fácil decomprobar efectuando la multiplicación co-rrespondiente:

Compleios conjugadosSe dice que dos complejos z, u de la forma z = a

+ bi y u = a – bi, son conjugados.El conjugado de un número complejo, z, se expresa

como �. Es interesante notar que tanto z + z como z. � son números reales. Para la suma su demostraciónes trivial ya que z + � = a + bi + a – bi = 2a. Parael producto también es bastante inmediato ya que elproducto de la suma por la diferencia es igual a ladiferencia de los cuadrados:

z . �= (a + bi) . (a - bi) == a2 - (b . i)2 = a2 + b2

Por ejemplo, sea el número complejo z = 4 + 3iy su conjugado, � = 4 – 3i, entonces

y el producto

Valor absoluto

z . z’ = (a+bi) . a – bi =

a2+b2 a2+b2

= a2 –

a . b . i + a . b . i –

b2 . i2

= a2+b2 a2+ b2 a2+ b2 a2+b2

= a2 –

b2 . i2 = a2 + b2

= a2+b2 a2+ b2 a2+ b2 a2+b2

= a2+b2

= 1 a2+b2

z + � = 4+3i+ 4 – 3i = 8

z . � = (4+3i) . (4 – 3i) = 42+32= 16+9= 25

Para terminar este apartado introductoriodefinamos el concepto de valor absoluto, o módulode un número complejo. El módulo de un númerocomplejo z = a + bi queda definido por:

Siempre es un número mayor o igual que 0.

Función exponencialLa función exponencial (exp) se define como una

aplicación del conjunto de los números complejos, C,

Inverso de un número complejoSea un número complejo z = a + bi. Entonces,

su inverso, que representaremos z’, es un númerocomplejo tal que se cumpla que el producto de am-bos, z . z’, dé como resultado el elemento neutro delproducto. Este elemento neutro es el númerocomplejo (1, 0). Así, z’ debe satisfacer la siguienteigualdad:

(a + bi) . z’ = (1, 0)

i2 = ( –1)2 = –1√

Por definición, el valor positivo de -1 es el valordel número i, anteriormente definido. Ello es coherentecon todo lo dicho anteriormente, ya que el cuadradode i es –1. Veámoslo:

⎜z ⎜ = ⎜a+bi ⎜=+ a2 +b2√

= ± – 4 2

= ± – 1 . 2

= ± –1 2√

√√

o, con mayor simplicidad, aislando la variable:

x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = –1 ⇒± x2 =± –1 ⇒ x = ± –1√ √

x = – b ± b2

– 4ac =√

2a

– 0 ± 0 – 4 =√

2 . 1

z’= a , – b

a2+b2 a2+b2

42. ¿Qué es unaecuación bicuadrada?

43. ¿Qué es unnúmero imaginariopuro? Da un ejemplo.

44. ¿Cuál de lassiguientes afirmacio-nes es correcta?a) La suma de dosnúmeros complejosconjugados es unnúmero real.b) La diferencia dedos números comple-jos conjugados es unnúmero imaginariopuro.c) El producto de dosnúmeros complejoses un númeroimaginario puro.d) El cociente de dosnúmeros complejosconjugados es unnúmero real.

466

Álgebra

en sí mismo, que a cada complejo z le hacecorresponder ez.

Esta función tiene las siguientes propiedades:

1. La función exponencial de la suma de dosnúmeros complejos coincide con el producto de lasfunciones exponenciales correspondientes a cadanúmero. Así,

exp (z + z’) = exp (z) . exp (z’), es decirez+z’= ez . ez’.

2. La función exponencial del número complejo 0es 1. Así,

exp (0) = 1

3. La función exponencial de 1 toma el valor delnúmero real e = 2,71828... Así,

exp (1) = e.

4. La función exponencial se expresa como unapotencia de base e. Así,

exp (z) = ez

5. La función exponencial de un número menorque cero es el inverso de la función exponencial delopuesto de dicho número. Así,

1 exp(–z) = exp (z)

Lo cual se corresponde perfectamente con

1 1 exp(–z) = e–z ya que = = e–z

exp (z) ez

6. La función exponencial es periódica; con período2πi:

exp (z) = exp (z + 2Kπi)

donde K es un número entero.

Por la propiedad 1. tenemos que exp (z) = exp (z+ 2Kπi) ⇒ exp (z) = exp (z) . exp (2Kπi), de dondese deduce que exp (2Kπi) = 1.

Para todo número ∂ real y positivo comprendidoentre 0 y π se cumple que

exp (z) ≠ exp (z + 2K∂ i)

π es un número real positivo cuya aproximación hastala millonésima es 3,141592.

7. lim exp (x) = + ∞x →+ ∞

8. lim exp (x) = 0x →+ ∞

9. lim xn = 0

x →+ ∞ exp(x)

10. Si la función exponencial se aplica a un númeroreal, se obtiene siempre un número real.

Con ello, se puede decir que la función exponencialestá también definida como una aplicación delconjunto de los números reales, R, en sí mismo, dondesiguen cumpliéndose todas las propiedadesanteriores.

11. (ex)y = ex.y

Función exponencial de base aNo es necesario que la función exponencial tenga

el número e = 2,71828... como base. Tieneigualmente sentido hablar de la función exponencialde base a, donde a puede tomar cualquier valor realmayor que 0. En ese caso, la función exponencial seexpresa por ax, donde a y x son números reales.

Función logarítmicaLa función logarítmica de un número real es la

función inversa de la exponencial definida en elconjunto de los números reales. Así, si la funciónexponencial es una aplicación del conjunto de losnúmeros reales, R, en el conjunto de los númerosreales positivos, R+

0, la función logarítmica es una

aplicación del conjunto de los números reales positivos,R+ en el conjunto de los números reales, R. A lafunción inversa de eX se le llama logaritmo neperianoy se expresa por In (x) . Como se trata de la inversade la función exponencial, presenta las siguientespropiedades:

1. La suma de logaritmos neperianos de dosnúmeros reales coincide con el logaritmo neperianodel producto de dichos números reales:

In (x) + In (y) = In (x . y)

2. El logaritmo neperiano de 1 es nulo:

In (1) =0

3. El logaritmo neperiano de un número realequivale al logaritmo neperiano de su inverso consigno negativo:

In (x) =– In 1 x

4. El logaritmo neperiano de e es la unidad:

In (e) = 1

5. El límite de la función logaritmo neperiano de unnúmero dado, x, tiende a más infinito, +∞, cuandodicho número tiende a más infinito, +∞:

lim In(x)=+∞ x →+∞

42. Una ecuaciónbicuadrada es unaecuación de cuartogrado en la que nohay términos degrado impar.

43. Un númeroimaginario puro esaquel en que la partereal es nula. 7i es unejemplo de númeroimaginario puro.

44. La suma de dosnúmeros complejosconjugados es unnúmero real, y ladiferencia es unnúmero imaginariopuro.

Álgebra

467

6. El límite de la función logaritmo neperiano de unnúmero dado, x, tiende a menos infinito, −∞, cuandodicho número tiende a 0:

lim In(x)= −∞ x→ 0

Con estas dos propiedades se muestran los límitesen los que la función exponencial está definida paralos números reales. Así, el logaritmo neperiano de unnúmero menor que cero no tiene sentido real.

7. Análogamente a la función exponencial, resultaque, si n es un número natural, el límite de la divisióndel logaritmo neperiano de un cierto número, x, porsu n-ésima potencia tiende a cero cuando x tiende amás infinito, + ∞:

lim In (x) = 0

x →+∞ xn

8. El logaritmo neperiano de una funciónexponencial de base x de un cierto número real, y,coincide con el producto de dicho número por ellogaritmo neperiano de la base:

In (xy) = y . In (x)

Por ejemplo si la base, x, es el número e, y ade-

más y = 1 tendremos que 2

1 1 In (e1/2)= In(e)= 2 2

Se llama función logaritmo, o logaritmo de base a,que designaremos con ‘Iog.’ a la función inversa de lafunción exponencial de base a.

Se verifica en todos los casos que

In x .logax= ln a

Por ejemplo, usando la base decimal, es decir,

cuando a = 10, se cumple que log10

x = ln .

ln(10)

En particular, por ejemplo, lo siguiente es cierto:

log10

8 = 0,903089987... =

= 2,079441542... = In (8)

2,302585093... In (10)

Los logaritmos en una determinada basepresentan las mismas propiedades que hemosenunciado para los logaritmos neperianos.

Funciones trigonométricasSiendo x un número real por definición de la

función exponencial, el producto x . i será unnúmero complejo.

Se definen las funciones trigonométricas básicas,a saber, el coseno y el seno, como sigue:

El seno de un cierto número real x es la parteimaginaria de la función exponencial del producto dedicho número por i. Utilizando la escritura formal,tenemos que:

sen x = Im [(expx(x. i)]

donde sen x significa seno de x e Im [(expx (x . i)]

significa la parte imaginaria de exp (x . i). El coseno deun número real x es la parte real de la funciónexponencial del producto de dicho número por i. Escritoformalmente, ello se presenta como:

cos x = Re [(exp,(x, i)]

donde cos x es el coseno de x y Re [(exp.(x.i)] es laparte real de exp(x . i).

Luego, exp (x . i) = ex.i = cos x + i senx (fórmulade Euler).

Propiedades de las funciones trigonométricasLas funciones trigonométricas presentan las

siguientes propiedades:

1. El coseno de un número real es el mismo númeroque el coseno de ese mismo número con signonegativo:

cos x = cos (–x)

Se acostumbra a decir, por ello, que el coseno esuna función par, ya que la representación de unafunción de este tipo es simétrica a ambos lados deleje de ordenadas.

2. El seno de un número real coincide con el opuestodel seno de su opuesto:

sen x = – sen (–x)

Se acostumbra a decir, por ello, que el seno esuna función impar, ya que la representación de unafunción de este tipo no es simétrica a ambos ladosdel eje de ordenadas.

3. De las dos propiedades descritas anteriormenteresulta que

e–x . i = cos (–x) + i sen (–x) = cos x – i . senx

de donde se ve que la exponencial del producto deun número real, x, es el conjugado de la exponencialde su opuesto, –x.

4. La suma del cuadrado del coseno de un númeroreal con el cuadrado del seno de dicho número essiempre la unidad:

cos2 x + sen2 x = 1

45. ¿Qué dice lafórmula de Euler?Aplicar esta fórmulapara encontrar el valorde eπi.

46. ¿Qué es unafunción par? Dar unejemplo.

468

Álgebra

9. Se ve, de la propiedad 4, que, para cualquiervalor real de x, eX

. i es un número complejo de módulo

1. Entonces, siempre podremos decir que dado unnúmero complejo, z, de módulo 1, existe al menos unnúmero real y tal que ey . i= z. Pero, dada la periodicidadde la función exponencial antes aludida, tambiénpuede llegarse a la conclusión que los números realesque cumplen esa igualdad son muchos y se expresancomo

yK= y

0 + 2Kπ

donde K es un número entero, de lo que se deduceque el conjunto de números que cumplen esacondición es tan numeroso como el conjunto Z de losnúmeros enteros.

Así pues se cumple que

cos x = cos (x + 2Kπ)

10. Análogamente, por las mismas razones,también se cumple que

sen x = sen(x + 2Kπ)

5. El coseno de la suma de dos números realesequivale a la diferencia del producto del coseno delprimero por el del segundo menos el producto delseno del primero por el del segundo:

cos(x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y

6. El seno de la suma de dos números realesequivale a la suma del producto del seno del primeropor el coseno del segundo, más producto del cosenodel primero por el seno del segundo:

sen(x + y) = sen x . cos y + cos x . sen y

7. La función coseno puede ser expresada de lasiguiente manera:

eX .

i+ e-X .

i

cos x = 2

lo cual es fácilmente demostrable, ya que, de loexpuesto más arriba, tenemos

eX .

i+ e–X .

i = 2

= cos (x)+i sen(x) + cos (–x)+i sen (–x) =

2

= cosx+ cosx = 2 cos x = cos x 2 2

ex . i – e–x . i

sen x= 2 . i

también fácilmente demostrable, por el mismoprocedimiento:

eX .

1 – e-X

. 1 =

2 . i

= cos (x)+i sen(x) – cos (–x)– i sen (–x) =2 . i

= i . (senx – sen(–x) =

i . 2 . sen x = sen x 2 . i 2 . i

8. Análogamente, la función seno puede ex-presarse:

= cos (x)+i . senx + cos x – i . senx =

2

45. La fórmula de Eulerdice queexi = cos x + i sen x.Aplicando esta fórmuladeducimos queeπi= cosπ + i sen=-1.

46. Se dice que unafunción es par cuandosu gráfica es simétricarespecto del eje deordenadas. Un ejemplode función par es lafunción y = cos x.Otro ejemplo es lafunción y = x2.

Álgebra

469

Figura 20

Re (z) = r . cos θlm (z) = r . sen θ

De donde se justifican algunas propiedadesgeométricas de las funciones trigonométricas. Deesta manera, el coseno de un ángulo de un triángulorectángulo, θ, en este caso, puede ser expresado por

11. Existe además unconjunto de valores no-tables de aplicacióngeneralizada de lasimágenes de las funcionestrigonométricas paraalgunos valores especialesde la variable:

cos (π/2) = 0sen(π/2) = 1cos (π) = –1sen(π) = 0

El conjunto de lasimágenes de las funcio-nes tr igonométr icasseno y coseno estácomprendido en elintervalo que va de –1 a + 1. Ello quiere decir quecomo mucho, el valor absoluto de la imagen delcoseno y del seno tomará el valor 1. La figura 19constituye la representación gráfica de la funciónseno. Se observa la asimetría de la función conrespecto al eje cartesiano de las ordenadas. Lafigura 20 es una representación gráfica de lafunción coseno. Se observa la distribuciónsimétrica de la representación gráfica con respectodel eje de ordenadas.

Notación polar de un número complejo.Módulo y argumento

De manera análoga a la representación de losnúmeros reales en una recta, los números complejospueden representarse en el plano cartesiano,asociando la ordenada a la parte real y la abscisa a laparte imaginaria. Así, si deseamos representar elnúmero complejo z; 3 + 2i, habremos de tener encuenta que 3 es su abscisa y 2, la ordenada, como serepresenta en la figura 21.

El número complejo z que se representa en estafigura está representado por el vector OP que formaun cierto ángulo con el eje de las abscisas. Dichoángulo se llama argumento del número complejo z yse designa por ‘arg z’. Antes hemos dicho que unnúmero complejo de módulo 1 podía ser descrito porla igualdad:

z = ey . i

pues bien, la familia de números y que satisfacenesta igualdad son argumentos posibles de z. Por tantopodremos escribir que z = ey

. i ⇔ y= arg z. Más

generalmente, partiendo de la anterior definición demódulo de un número complejo y de la que acabamosde dar para su argumento, podemos llegar a expresarcualquier número complejo en función de suargumento como sigue:

z = αϖ

donde a es el módulo de z y ϖ es el argumento. Estetipo de notación recibe el nombre de notación polar.

En la figura 21 se aprecia que las partes real eimaginaría se pueden expresar por medio del módulodel número complejo, I z I , que en la figura estáigualado a r, y por el argumento, que en la figura estárepresentado por el ángulo θ. En realidad, todonúmero complejo de módulo r y argumento θ puedeser expresado como r . eθ . i. Aprovechamos pararecordar que el módulo de eθ . i es siempre 1 paratodo valor real θ. Así, por fin podremos expresar laspartes real e imaginaria de un número complejo enfunción del módulo, r, y de su argumento, θ:

47. ¿Cuál de lassiguientes afirmacio-nes es correcta?a)para determinar unnúmero complejo essuficiente conocer sumódulo y su argu-mentob)para determinar unnúmero complejo essuficiente conocer sumódulo y su parteimaginariac)para determinar unnúmero complejobasta con conocer suparte real y su parteimaginaria

48. Si θ es unnúmero real, ¿cuántovale el módulo de eθi?

470

Álgebra

Y similarmente, el seno se expresa por la razónexistente entre el lado opuesto, en el eje deordenadas, que tiene el valor de b, en el gráfico, y lahipotenusa, nuevamente, el módulo del número alcomplejo, r.

Así resulta que sen θ = b . r

De donde mediante una pequeña serie deoperaciones obtendremos la fórmula de Euler:

z =a+bi=r . cos θ+i . r . sen θ ==r . (cos θ+i . sen θ) = r . eθ .i .

El argumento de un número complejo verifica laspropiedades siguientes:

1. Si z1 y z

2, son dos números complejos, el

argumento de su producto es la suma de losargumentos de z

1 y z

2:

arg (z1 . z

2)= arg z

1 + arg z

2

Por ello, el producto de dos números complejospuede ser expresado por

z1 . z

2=r

1 . eθ1

. i . r2. eθ2

. i = r1 . r

2 . e(θ1

+θ2) . i

2. El argumento del inverso de un número complejoes igual al opuesto del argumento del mismo número:

arg 1 = – arg z. z

3. Si expresamos dos números complejos por sunotación polar, podemos expresar su división comodivisión de los módulos y sustracción de argumentos.Si z

1 y z

2 son dos números complejos cuyos módulos

y argumentos son r1 y r

2 y θ

1 θ

2, respectivamente:

r1θ1z1 =

z2 θ

1-θ

2

= r1

r2

r2θ2

Por ejemplo, si z1 es un número complejo de módulo

15 y de argumento 34o y z2 es otro número complejo

de módulo 5 y de argumento 5o, entonces la divisiónde z

1 por z

2 será:

r1θ1z1 =

z2 θ

1- θ

2

r2θ2= r1

r2

15 = 329

o

5 34o–5o

TangenteLa función tangente es una función trigonométrica

de uso muy frecuente. Desde un punto de vistaanalítico la tangente de un número real se definecomo la razón existente entre el seno de ese númeroy su coseno. La función tangente se acostumbra aexpresar como

tg x =sen x

cos x

Propiedades

1. lim tg x = + ∞ .

x → π 2

En general el valor absoluto del límite de la fun-ción tangente tiende a infinito cuando x tiende aπ , 3 . π , 5 . π , 7 . π , 9 . π , ..., es decir, de 2 2 2 2 2forma general, cuando x tiende a ,

donde K es un número entero. Así, tendremos que

(2k+1) . π2

lim tg x = + ∞ .

x → (2k+1) π 2

Por ello, la función tangente está definida en elconjunto formado por el conjunto de los númerosreales menos el conjunto de los números realesexpresables por la expresión

(2k+1) . π2

, es decir, por el contrario R\

Se ha hablado ya, aunque muy someramente, delas propiedades geométricas de las funciones seno ycoseno. De la inspección de la figura 21 puedededucirse el valor de la función tangente. Hemos dichoya que la tangente de un ángulo, que en nuestrocaso representamos por la letra θ, es la razón existenteentre el seno de dicho ángulo y su coseno. Siexpresamos esa razón según el dibujo de la figura 21tendremos que

(2k+1) . π2

.

donde b coincide con la parte imaginaria y a con laparte real de z.

Para comprender mejor la interpretación geométricade las funciones trigonométricas es útil observar larepresentación gráfica de la figura 22.

Vemos representado un círculo cuyo radio es launidad. Ello está dibujado así porque el valor absoluto

tg θ = = b

a a r

br

la razón entre el lado adyacente en el eje de abscisas,a o la parte real de z y la hipotenusa, representada enel gráfico por el módulo, r.

Así, tenemos que cos θ= a .

r

47. Para determinarun número complejoes suficiente conocersu módulo y suargumento, o bien suparte real y su parteimaginaria.

48. Cuandoθ esun número real, elmódulo de eθ i valesiempre 1.

Álgebra

471

Figura 22

Arco tangenteLa función tangente posee una función inversa

llamada función arco tangente. La función arcotangente, que se denota por ’arc tg’, da valores

comprendidos entre donde la función

tangente es continua y estrictamente creciente. Lafunción arco tangente es, pues, aquélla que a unnúmero real determinado le hace corresponder unnúmero comprendido en ese intervalo y su significadocorresponde al ángulo cuya tangente valeprecisamente ese número real. Cuando se escribearc tg(x) = y, se está significando que el arco cuya

TS

necesariamente ser menor que 0, es decir, negativa.De la inspección de la figura puede también apreciarseque aunque los valores absolutos de las funcionesseno y coseno permanecen circunscritos a la unidad,el de la tangente puede oscilar entre –∞ + ∞.

En referencia al número complejo z2

que serepresenta en la figura 22 con módulo r

2 y argumento

θ2 se ve su vector cortar la circunferencia en el punto

Q. Por ello, el seno de θ2, tiene el mismo valor que la

distancia , es decir b2, que es de signo positivo por

hallarse por encima del eje de abscisas.Análogamente, el coseno de θ

2 se corresponde con

la distancia del segmento , es decir a2, que por

estar a la izquierda del origen en el eje de abscisas, esnegativo. La obtención de la tangente se realiza porprolongación del vector r

2. Para que llegue a cortar la

recta tangente a la circunferencia en el punto T, laprolongación que debe hacerse en sentido opuestoal vector, corta en el punto V. Por ello la tangentevaldrá la distancia del segmento , es decir c

2, que

será de signo negativo por estar debajo del eje deabscisas.

Esta figura se utiliza muy corrientemente paravisualizar intuitivamente y con facilidad el valor de lasfunciones trigonométricas seno, coseno y tangente.Por la rapidez de operación que supone, será buenoque el lector tome cumplida nota del procedimientoque acabamos de mostrar.

QU

UO

TV

de las funciones seno y coseno no rebasa en ningúncaso esa cantidad. 1. Será el valor máximo y –1, elvalor mínimo. Puede apreciarse también en la figura22 una recta tangente a la circunferencia en el puntode corte por la derecha con el eje de abscisas. Esatangente debe ser, pues, perpendicular a dicho eje. Elcorte de esa recta por la prolongación del vectorcorrespondiente a un número complejo z

1 denota la

magnitud de la tangente del argumento del númerocomplejo z

1.

Como ya se enunció anteriormente un númerocomplejo puede ser expresado por medio de su móduloy de su argumento. En la figura 22 sólo podemostener en cuenta números complejos cuyo módulo sea1. Como estamos interesados ahora por el valor de latangente de su argumento, ello no importa y podemossimplificar, considerando que la tangente delargumento de un número complejo cualquiera esindependiente de su módulo. Así, sólo tenemos encuenta los argumentos θ

1 y θ

2 de los números

complejos que tengamos en cuenta, las rectas dondese expresan los módulos, r

1 y r

2 cortan la circunferencia

en los puntos P y Q.Por ejemplo, el seno del argumento θ

1, viene dado

por la distancia de la vertical que va desde el punto Pal eje de abscisas. Es decir, la distancia del segmento

, que es de signo positivo por estar por encima deleje de abscisas. A partir de este dato se puedeadelantar que la función seno del argumento de unnúmero complejo cuya representación gráfica seencuentre en los cuadrantes tercero y cuarto serámenor que 0, con lo que tendrá signo negativo.

Análogamente, el coseno del argumento θ1 se

corresponde con la distancia del segmento queva desde el origen del sistema cartesiano hasta elpunto R en el eje de abscisas. Se trata de a1, esdecir, la proyección horizontal del número complejosobre el eje de abscisas, o lo que es lo mismo, suparte real. Como se encuentra a la derecha del eje deabscisas, es mayor que cero y su signo es positivo. Deello se puede concluir que la función coseno delargumento de un número complejo cuyarepresentación gráfica caiga sobre el segundo o eltercer cuadrante de la circunferencia, debenecesariamente ser menor que cero y llevar, por tanto,signo negativo.

Como apuntábamos al principio, la tangente seobtiene prolongando el vector representativo delnúmero complejo, r, hasta llegar a cortar la rectatangente a la circunferencia en el punto T. En el casode r

1, ello ocurre en el punto S. con lo que la tangente

del ángulo θ1 viene representada por la distancia del

segmento , es decir, c1. Análogamente a las

cantidades anteriores, por encontrarse sobre el ejede abscisas, se tratará de una cantidad mayor que 0,con signo positivo. Con esta interpretación se apreciaque la tangente del argumento de un númerocomplejo cuya representación gráfica se halla en elsegundo o en el cuarto cuadrante, debe

PR

OR

– π

yπ ,

2 2

49. ¿Cómo se define latangente de un númeroreal desde un punto devista analítico?

50. ¿Cuál es eldominio de la funcióntangente de unnúmero real?

472

Álgebra

tangente es x vale y. Con lo cual se entiende que arctg(x) = y es totalmente equivalente a tg(y) = x.

Vamos a deducir el método de obtención delargumento de un número complejo expresado como a+ bi, a partir de esta definición de la función. Comocualquier número complejo puede ser expresadográficamente, es posible obtener el valor de la tangentede su argumento de la razón existente entre su parteimaginaria y su parte real, es decir,

ba

. La tangente del argumento de a + bi es a

pues la razón expresada por ba

. . Así se podrá

escribir que, , de donde arc tgtg θ = ba

(tg θ) =arc tg ba

y precisamente θ = arc tg .

Así se obtiene el argumento, teniendo cuidadoademás de localizar el ángulo en el cuadrante que lecorresponde, dados los signos de a y b. Por ejemplo,tengamos en consideración el número complejo z =1 + 3i. Su módulo vale

ba

⎟ z⎟ = 12+32 = 10 = 3,162277660...√ √

θ =arc tgba

=arc tg 13

= 18,43494882...

y su argumento, será

3,162277660... 18,43494882...

o

con lo que podremos expresar el número complejoen notación polar como

Cotangente, secante y cosecanteLa cotangente, la secante y la cosecante son

otras funciones trigonométricas cuyo uso es másrestringido.

La función cotangente es la función cuyo valor esel inverso del valor de la tangente. No debeconfundirse ello con la función inversa de la tangente,la función arco tangente, que acabamos de estudiar.Así, si la tangente de un número venía definida por la

cotg (x) =cos (x)

= 1

sen (x) tg (x)

De la misma manera que la tangente, la funcióncotangente tiene una expresión geométrica de fácilrepresentación. Si con la función tangente era posibleobtener la representación de su valor por la longituddel segmento de la recta tangente a la circunferenciaen el eje de abscisas obtenido por prolongación delvector representativo del módulo, para la funcióncotangente se obtiene el valor y el signo aplicando elmismo procedimiento a una recta tangente a lacircunferencia en el punto positivo del eje deordenadas que la corta (figura 23).

Se ve que si el valor de la cotangente queda a laderecha del eje de ordenadas, entonces su valor serápositivo, lo cual ocurrirá cuando el argumento estésituado en los cuadrantes primero o tercero. Si quedaa la izquierda, debido a que el argumento está en loscuadrantes segundo o cuarto, será negativo.

La función secante de un número real es la funcióninversa del coseno del mismo número. En escrituraanalítica, tendremos que

razón entre el seno de ese número y su coseno, lacotangente se define por la razón inversa, es decir,aquélla que se establece entre su coseno y suseno:

sec (x) = 1cos (x)

La función secante de un número real es la funcióninversa del seno del mismo número. Así, podremosescribir que

cosec (x) = 1sen (x)

La fórmula de MoivreLa fórmula de Moivre es una expresión muy útil

que expresa el valor de las funciones coseno y senode n . x a partir de las funciones coseno y seno de x.Dado un número complejo de módulo 1, z = ex . i

sabemos expresado, por la fórmula de Euler, comocos x + i . sen x. Así de la igualdad

ex . i = cos x + i . sen x

en . x . i = cos (n . x + i . sen (n . x)

se sigue casi directamente que

y también, que en . x . i =(ex . i)n =(cos x + i . sen x)n

así que podemos escribir la expresión de la fórmulade Moivre como

(cos x + i . sen x)n = cos (n . x) + i . sen (n . x)

Por medio del desarrollo del binomio de Newtonen la parte izquierda de la ecuación tendremos queserá posible, como decíamos, el cálculo de las

/

2πR {(2K +1) . )}

49. Desde un puntode vista analítico, latangente de un númeroreal se define como elcociente entre el senoy el coseno de estenúmero.

50. El dominio de lafunción tangente deun número real es

Figura 23

Álgebra

473

y análogamente, el seno de 5x podrá hallarse demanera parecida:

Igualmente podemos hallar el valor de la funcióntg (nx) , a partir de las expresiones generales para elcoseno y el seno obtenidas de la fórmula de Moivre:

funciones seno y coseno de n . x a basándonos en losvalores de las funciones seno y coseno de x.

(cos x + i . sen x)n = cosn x+ n cosn–

1 x . i

1

. sen x n cosn-2 x . (i . sen x)2 + ...

2

n cos x . (i . sen x)n-1 + (i . sen x)n = n–1

= cosn x + i . n cosn–

1 x . sen x– n

1 2

cosn–

2 x . sen2 x – i . n cosn–

3 x .

3

. sen3 x + n cosn–

4 x . sen4 x + ...+

4

+ in . sennx

Entonces, agrupando todas las partes reales,primero, obtenemos:

= cos (nx) = cosn x– n cosn–

2 x . sen2 x + n

2 4

cosn–

4 x . sen4 x – ...

y agrupando las partes imaginarias:

sen (nx) = n cosn-1 x . sen x– n cosn–

3 x .

1 3

sen3 x+ n cosn–

5 x . sen5 x – ...

5

Así, por ejemplo, hallemos el coseno de 4x:

cos(4x) = cos4 x – 6 cos2 x . sen2 x +sen4 x

sen(5x) = 5 . cos4 x . sen x – 10 . cos2 x .

. sen3 x+sen5x

tg(nx) = sen(nx)

= cos(nx)

cosn x– n cosn–

2 x . sen2 x+ n cosn–

4 x .

2 4

y al dividir numerador y denominador por cosnx, quedaque

tg (nx) =

n tg x - n tg3 +x+ n . tg5 x - ... 1 3 5

1 - n tg2 x+ n tg4 x - ... 2 4

Encontremos entonces la expresión para tg(5x):

tg (5x) = 5 . tg x - 10 . tg3 x+tg5 x

1 - 10 . tg2 x +5 . tg4 x

Raíz n-ésima de un número complejoSi z es un número complejo diferente de 0, se dice

que y es una raíz n-ésima de z si se satisface laigualdad

yn = z

A partir de la expresión polar de z, el cálculo de lassoluciones posibles de la ecuación yn = z se realiza dela siguiente manera:

Tenemos que z = rθ y que y, expresado en forma

polar vale y = tϕ. Así, resulta que si se satisface la

ecuación yn = z, también se satisfará rθ = (t

ϕ )n.

De lo que hemos explicado hasta ahora, elevar ala n-ésima potencia un número complejo esequivalente a elevar su módulo a n y multiplicar elargumento por n. En nuestro caso tendremos, pues,que

por lo que podremos escribir que

(tϕ)n = tn

n . ϕ

rθ = tn

n . ϕ

con lo que podremos igualar independientemente losmódulos y los argumentos, de manera que r = tn y θ= n . ϕ

. Ahora es fácil obtener el valor de t y el de ϕ

a partir de r y θ, ya que se trata de números reales.Luego,

t = n r y ϕ = θ

n

Como ya hemos visto, en general, q es un conjuntode números reales que pueden ser definidos por laexpresión θ= {θ

k ⎜θ

k = θ

0+2 . π . k} donde k es un

número entero. Por tanto, ϕ es también un conjuntode números reales que pueden ser definidos por laexpresión

El resultado puede ser expresado de manera quese manifiesten la parte real y la parte imaginaria pormedio de las herramientas de que disponemos.

cosn–

5 x . sen5 x – . sen4 x – ...

n cosn–

1 x . sen x – n cosn–

3 x . sen3 x+ n

1 3 5

ϕ = ϕk | ϕ

k =

θ0

+

2 . π . k

n n

Gaspard Monge

(10 de mayo - 1746

- 28 de julio - 1818),

matemático francés.

Viaja a Egipto y tras

un tiempo,regresa a

Francia con Napoleón

el 23 de agosto de

1799, año en que

publica su famosa

obra Geometrie

descriptive. Es

nombrado miembro

del Senado, director

de la Escuela

Politécnica (1802) y

conde de Pelusio.

51. ¿Cuáles de lassiguientes afirmacio-nes son correctas?a) arctg (tg α) = αb) arctg α . tg α = αa) cotg (tg α) = αb) cotg α . tg α = α

52. ¿Qué dice lafórmula de Moivre?

474

Álgebra

51. Para cualquierángulo α se verificasiempre quearctg (tg α) =α y cotg α . tg α = 1.

52.(cos x + i sen x)n == cos (nx) + i sen (nx).

Así tendremos que

θ= arco tg1

=π

1 4El argumento será

donde k = 0, 1, 2, ..., (n –1).Hallemos, por ejemplo, el resultado de la raíz quinta

de z =1+i. Tenemos, pues, que n = 5 y

que el módulo de z es √ ⎜z ⎜= 12 + 12 = 2 .

cos = θ

0 +

2 . π . k +t

k= n r

n n

+ i . sen θ

0 +

2 . π . k

n n

Como es una raíz quinta hay cinco soluciones queespecificaremos usando la fórmula anterior:

tk=

10

220π

cos + 2 . π . k + i . 5

20π. sen + 2 . π . k

5

= 1,071773463 ... . (0,987688341 ... ++ i . 0,1564344465...) = 1.058578154... ++ i . 0,167662308 ...

donde k = 0, 1, 2, ... , (n-1)Y entonces, tendremos que

10

220

cos + i . sen =π π

20t

0 =

. sen + 2 . π .1 = 1,071773463 ... .

5

. (0,156434464 ...+ i . 0,987688341 ...) == 0,167662307 ...+i . 1,058578154 ...

t1=

10

220π

cos + 2 . π .1 + i 5

20π

. sen + 2 . π .2 = 1,071773463 ... .

5

. (0,891006525 ... + i . 0,453990498 ...) == - 0,954957149 ...+i . 0,486574968 ...

t2=

10

220π

cos + 2 . π . 2 + i 5

20π

20

. sen + 2 . π .3 = 1,071773463 ... .

5

. (–0,707106780 ..+ i . –0,757858282 ...) =–0,757858282 ... +i . –0.812252395...

t3=

10

220π

cos + 2 . π . 3 + i 5

π

. sen + 2 . π . 4 = 1,071773463 ... .

5

. (0,453990498 ...+ i . –0,891006525 ...) == 0,486574968 ... + i . –0,954957149 ...

t4=

10

220π

cos + 2 . π . 4 + i 5

20π

Aplicaciones linealesEl objeto de la presente sección es presentar las

aplicaciones lineales –homomorfismos de espaciosvectoriales– utilizando para ello una herramientaesencial: las matrices. La importancia de los espaciosvectoriales radica fundamentalmente en las aplicacioneslineales que actúan sobre ellos. En muchos elementosdel álgebra y del análisis, el estudio se reduce al de lasaplicaciones lineales entre espacios vectoriales. Porejemplo, la teoría de matrices, ciertos tipos de ecuacio-nes diferenciales y la moderna y más elegante formade presentar la teoría de la integración son ejemplos deello.

MatricesUna matriz real de orden (m, n) es un cuadro de

doble entrada (m líneas y n columnas) de númerosreales:

Se llama matriz cuadrada la que tiene igual númerode filas que columnas (m = n). Dada una matrizcuadrada A = (a

¡j), se llama diagonal principal al

conjunto de números {a¡j con i = j}. Se llama matriz

traspuesta de una matriz A, y se denota con At, a laque resulta de cambiar las filas por las columnas enA. Una matriz S se llama simétrica si coincide con sutraspuesta: S = St. Una matriz es opuesta de otra A= (a

ij), y se denota con –A, si –A = (–a

ij). Una matriz

se llama antisimétrica (o hemisimétrica) si coincidecon la opuesta de su traspuesta: A = –At. Una matrizfila es la que consta de una sola fila; y una matrizcolumna es la que consta de una sola columna. Unamatriz nula, denotada con 0, es la que tiene todossus elementos iguales a cero. Una matriz identidad,denotada con I, es una matriz cuadrada que tienetodos los elementos iguales a cero salvo los de ladiagonal principal, que son iguales a uno.

Veamos ahora algunas operaciones con ma-trices:

1) Denotamos con Mm . n

el conjunto de matricesde orden (m, n). Sean A = (a

ij), B = (B

ij) dos matrices

de Mm . n

. Entonces, por definición A + B es unamatriz (c

ij), siendo c

ij la suma a

ij con b

ij. Con esta

operación (+) el conjunto Mm . n

tiene estructura degrupo conmutativo.

Dado ahora un número real k y una matriz A =(a

ij), se define koA = (k . a

ij). Se comprueba fácilmente

que (Mm . n

+, o) es una estructura de espacio vecto-rial sobre el cuerpo de los números reales R.

A = (aij) =

a11

a11

... aln

a21

a22

... a2n

am1

am2

... amn

○ ○ ○ ○ ○ ○

24

π

De donde podemos expresar z en forma polarz = y entonces, y entonces, z =

10

20

2 π5

Álgebra

475

2) Dada una matriz fila Ai = (a

ij, ..., a

in) de M

l . n y

una matriz columna Bj =

se denota con Ai o B

j al número real:

aij

. bij + ... + a

in . b

nj

Dadas ahora dos matrices A = (aik), B = (b

kj) de

Mm . n

, Mn . p

respectivamente, la matriz (Ai o B

j) se

llama matriz producto y se denota con A . B.Está claro que esta última operación no es interna

ni externa, salvo que m = n = p. En este últimocaso, las tres operaciones definidas antes dotan aM

m . n de estructura de álgebra no conmutativa.

DeterminantesSea un conjunto con n índices: {1,2,3..., n}. Hay

n! formas de ordenarlo y a cada una de ellas se lellama permutación de orden n. Por ejemplo, si n = 3,las seis distintas permutaciones son: (123), (132),(213), (312), (231) y (321). Dada la permutación (...,k, ... , 1, ...), con k, I ≤ n, se dice que los índices k, Iestán en inversión si k < 1. Diremos que el signo deuna permutación es positivo si hay un número par deinversiones, y negativo en caso contrario.

Dada una matriz A de orden n, se llamadeterminante de la matriz al número:

| A | = Σsil, ...,

in . a

1 , i

1 ..., a

n . in

en donde sil , ..., i

n es el signo de la permutación (i

1

..., in), y el sumatorio está extendido a todas las

permutaciones de orden n. Veamos el caso n = 3:

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Sea A =

Entonces las seis diferentes permutaciones son:

123, 132, 213, 312, 231, 321

como hemos visto antes. Y los respectivos signosson:

+, –, –, +,+, –

A = a11

. a22

. a33

–a

11 . a

23 . a

32 –a

12. a21

. a33

+ a13

. a21

. a32

+ a12

a23

. a31

–a13

. a22

. a31

Al agrupar los términos en positivos y negtivos sepuede recordar dicha expresión mediante losesquemas:

(+) ( _ )

regla nemotécnica conocida como «regla deSarrus».

Dada una matriz de orden (m, n) se llama menorde orden k (siendo k menor o igual que el menor dem, n) a un determinante de la matriz cuadrada queresulte de elegir k filas y k columnas de la matrizdada.

Dada una matriz cuadrada A y elegido un elementoa

ij de dicha matriz m, se llama menor complementario

de aij, y se denota con A

ij al determinante de la matriz

que resulta de eliminar la fila i y la columna j.Asimismo, se llama adjunto de a

ij , y se denota A

ij, al

número:

Aij = (–1)1+j . A

ij

Veamos un método práctico de calculardeterminantes: la regla de Laplace. Dada una matrizcuadrada:

a11

a12

... aln

a21

a22

... a2n

... ... ... ... ... .....

a

n1a

n2..... a

nn

A =

Se verifica:

| A | = ail . A

il* + a

12* + A

12* + ...a

in . A

in*

o bien:

| A | = aij . A

lj* + a

2j . A

2j + ... a

nj . A

nj*

en donde i, j son, respectivamente, una fila, columnaelegidas arbitrariamente.

Efectivamente es así: para verlo basta con observarque en cada producto del desarrollo del determinanteque se utiliza en la definición del mismo apareceexactamente un elemento –y sólo uno– de cada filay de cada columna de la matriz.

Así, sacando factor común los elementos deuna fila (o columna) resulta la expresión conocidacomo regla de Laplace. Veámoslo para el caso n= 3.

Utilizando la regla de Sarrus tenemos:

bij

.

.

.b

nj

como se calcula fácilmente contando en cadapermutación el número de inversiones que posee.Así, los seis productos del determinante de A, consus respectivos signos, nos dan la expresión final deldeterminante:

53. ¿Qué es unamatriz cuadrada?

54. ¿Cuáles de lassiguientes afirmacio-nes son correctas?a) La respuesta de unamatriz simétrica esuna matriz simétrica.b) La suma de dosmatrices simétricases una matriz simétri-ca.c) El producto de dosmatrices simétricases una matriz simétri-ca.d) El determinante deuna matriz simétricaes siempre diferentede cero.

476

Álgebra

A = a21

(a13

a32

–a12

a33

) + a22

(a11

a33

–a13

a31

)+

+ a23

(a12

a31

–a11

a32

) = a21

. |a13

a12

+ a22

.

. a11

a13

+ a23

. |a12

a11

a33

a32

|a31

a33

|a32

a31

|

que es la expresión de la regla de Laplace.

Propiedades de los determinantesI) Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada

está formada por ceros, el determinante de dichamatriz es igual a cero. Un resultado obvio teniendo encuenta lo dicho arriba para el cálculo de determinantespor medio de la regla de Laplace.

II) Si se permutan entre sí dos filas (o columnas)en una matriz cuadrada, el determinante de dichamatriz cambia de signo. En efecto, pues al hacer dichapermutación se produce una permutación más encada uno de los sumandos del desarrollo del cálculodel determinante.

III) Si en una matriz cuadrada A hay dos filas (ocolumnas) iguales, el determinante es igual a cero.En efecto, basta con permutar dichas filas (ocolumnas) y aplicar la propiedad 11); entonces setiene:

| A | = – | A | → | A | = 0

IV) Si se multiplican o dividen los elementos deuna fila (o columna) por un número, el determinantequeda multiplicado o dividido por dicho número. Enefecto, basta con desarrollar el determinante, usandola regla de Laplace, por dicha fila (o columna). Así,cada término del desarrollo del determinante quedamultiplicado o dividido por el número dado.

V) Si en una matriz cuadrada hay dos filas (ocolumnas) proporcionales, el determinante de la matrizes igual a cero. En efecto, utilizando IV) se puedeextraer el factor de proporcionalidad para conseguiruna matriz con dos filas (o columnas) iguales y, portanto, el determinante será cero.

VI) Sea la matriz:

Entonces:

Cuya demostración es obvia desarrollando eldeterminante por la fila i.

VII) Si en una matriz cuadrada se sustituye una fila(o columna) por la suma de ésta más otra multiplicadapor un número, el determinante no varía.

En efecto, sea la matriz

Calculemos el determinante:

a11

a12

.... a1n

.....................a

i1 + t . a

k1 a

12 +

t . a

k2 ... a

in+ t . a

kn

.....................a

k1a

k2.... a

kn

.....................a

n1a

n2.... a

nn

=

a11

a12

.... a1n

.....................a

i1a

i2.... a

in

.....................a

k1a

k2.... a

kn

.....................a

n1a

n2.... a

nn

a11

a12

.... a1n

.....................a

i1a

i2.... a

in

.....................a

k1a

k2.... a

kn

.....................a

n1a

n2.... a

nn

a11

a12

.... a1n

.....................t . a

k1 t . a

k2 ...t . a

kn

.....................a

k1a

k2.... a

kn

.....................a

n1a

n2.... a

nn

+

+0

=

=

=

VIII) Si A + B son dos matrices cuadradas deorden n, se tiene:

| A . B| = | A | . | B |

Si At es la matriz traspuesta de A, entonces:

| At | =| A |

La comprobación de estos resultados es un sencilloejercicio.

Rango de una matriz.Matriz inversa

Dada una matriz A de orden (m, n), decimos quetiene rango igual a k si todos los menores de ordenmayor que k son iguales a cero y existe alguno deorden k distinto de cero. Para el cálculo efectivo delrango de una matriz nos apoyaremos en la propiedad:«Si en una matriz se sustituye una fila (o columna)por la suma de ésta multiplicada por un número, elrango no varía».

Lo que es una consecuencia inmediata de lapropiedad VII) de los determinantes y de la

a11

a12

.... a1n

.....................a

i1a

i2.... a

in

.....................a

k1a

k2.... a

kn

.....................a

n1a

n2.... a

nn

A =

A =

a11

... ... ... a1n

...... ... ... ... ... ... ... ...a

i1+ b

i1... ... a

in+ b

in

... ... ... ... ... ... ... ...a

n1... ... ... a

nn... ...

| A | =

a11

... ... a1n

... ... ... ...a

i1... ... a

in

... ... ... ...a

n1... ... a

nn

a11

... ... a1n

... ... ... ...b

i1... ... b

in

... ... ... ...a

n1... ... a

nn

+

53. Una matrizcuadrada es aquellaque tiene el mismonúmero de filas quede columnas.

54. La traspuesta deuna matriz simétricaes una matriz simé-trica. La suma y elproducto de dosmatrices simétricases una matrizsimétrica.

Álgebra

477

definición de rango de una matriz. Veamos algúnejemplo.

Sea la matriz:

Haciendo sucesivamente f2 –2f

1, f

3 + 4f

1, f

4 +

f1, siendo f

i la fila i, se tiene:

1 –2 3 00 3 –6 10 –9 18 –30 –3 5 –3

A1 =

haciendo sucesivamente f2 – 3f

2, f4 + f

2, se tiene:

1 –2 3 00 3 –6 10 0 0 00 0 –1 –2

A2 =

intercambiando las filas tercera y cuarta:

1 –2 3 00 3 –6 10 0 –1 –20 0 0 0

A3 =

que tiene rango 3, ya que, por ejemplo, el menor

1 –2 30 3 –6 = –30 0 0

El método anterior (consistente en producir cerosbajo la diagonal principal) es conocido como métodode Gauss. Más adelante, cuando veamos la resoluciónde sistemas de ecuaciones, veremos un método máscómodo para calcular rangos.

Dada una matriz cuadrada A se llama matriz inversade A (si existe), y se denota A–

1 a la que cumple:

A . A–

1= A-1 . A = I

siendo I la matriz identidad.Veamos un método de cálculo de A–

1 a partir de A:

a11

a12

... ain

............................a

n1a

n2... a

nn

Sea A =

Por definición se tiene:

A = ai1 . A

i1* + a

i2 . A

i2* + ... + a

in . A

in*

para cada i = 1, ..., n. Y

0 = aj1 . A

i1* + a

j2 . A

i2* + ... + a

jn . A

in*

para cada par de filas i, j distintas.

Así, en forma matricial, se puede poner:

1 –2 3 02 –1 0 1

–4 –1 6 –3–1 –1 2 –3

A =

=

Siendo | A | . . |A|

= | A | . I, con la matrizidentidad

De aquí se deduce que:

Veamos un ejemplo para centrar ideas: dada lamatriz:

calculemos primero At:

y la matriz de los adjuntos de At será:

Se tiene finalmente:

2 – 4 0– 4 2 0– 2 1 –3

(At)*=

A–

1 =(1/ | A|)

A11

* ... An1

*...............A

1n* ... A

nn*

a11

a12

... a1n

... ... ... ...

... ... ... ...a

n1a

n2... a

nn

A11

* An1

*... ... ... ...... ... ... ...A

1n* A

nn*

| A | . . |A|

–1/3 2/3 02/3 –1/3 01/3 –1/6 1/2

=

Del proceso seguido para obtener la matriz inversase desprende que la única condición exigida(necesaria y suficiente) para que exista dicha matrizinversa es que el determinante de la matriz sea distintode cero. Una matriz que tenga inversa se llama regu-lar o invertible.

Una matriz A es otorgonal si A . At = 1 (cuando lainversa es su traspuesta). Si una matriz es ortogonal,entonces su determinante es I ó –1, ya que:

| A . At | = | A | . | At | =| A |2 =1 → | A | = ±1

Una matriz es involutiva si a –1= A. En este casotambién se verifica que A es igual a 1 ó –1, ya que:

| A . A–

1 | = | A . A | = | A |2 = 1

1 2 02 1 –10 0 2

At =

2 – 4 0– 4 2 0– 2 1 –3

A-1= (–1/6) =

1 2 02 1 00 –1 2

A = , con = | A | –6

55. ¿Es necesarioque una matriz seacuadrada para podercalcular su determi-nante? ¿Es necesarioque una matriz seacuadrada para podercalcular su rango?

56. Si se permutanentre sí dos filas deuna matriz cuadrada,¿qué le pasa aldeterminante?

57. ¿Qué es unamatriz ortogonal?

478

Álgebra

Volvamos ahora a nuestro objeto principal: lasaplicaciones lineales.

Aplicaciones linealesDados dos espacios vectoriales, V, W sobre el

mismo cuerpo K, una aplicación:

1 : V → W

es lineal (morfismo de espacios vectoriales) si:1) l(v

1+v

2)= l(v

1)+ l(v

2) para todo v

1, v

2 de V.

2) l(kov) = k1o1(v) para todo v de V y todo k

de K.O bien:1’) l(k

1ov

1+ k

2ov

2) =k

1o1(v

1)...+ k

2o1(v

2)

Es un ejercicio sencillo comprobar que lascondiciones 1) y 2) son equivalentes a la 1’). Veamosalgunos ejemplos interesantes de aplicacioneslineales:

1) de R2 en sí mismo, la aplicación s: para cada (x,y) ∈ R2

s (x, y) = (y, x)

Esta aplicación es una simetría respecto a la di-agonal y = x (figura 24).

2) De R2 en sí mismo, la aplicación hr: para cada (x,

y) ∈ R2.h

r (x, y) = (r . x, r . y)

siendo r un número real. Esta aplicación se llamahomotecia de razón r (figura 25).

3) De R2 en sí mismo la aplicación p: para cada (x,y) ∈ R2

p (x, y) = (x, 0)

Esta aplicación se llama proyección sobre el eje y= 0 (figura 26).

4) De R [x] en sí mismo, siendo R [x] el espaciovectorial real de los polinomios con una variable x ycoeficientes reales, la aplicación D:

D (p(x)) = dp/dx

siendo p(x) un polinomio de R [x] y dp / dx su derivada.

5) La aplicación I:

I(f) = ∫ f(x) dx1

0

que asocia a cada función continua f(x) de [0, 1] en Rel número ∫

o

1 f(x)dx, es una aplicación lineal entre elespacio vectorial C [0, 1] de las funciones derivablesy el espacio vectorial R.

Centraremos nuestro interés en dos tiposespeciales de aplicaciones lineales: los endo-morfismos y las formas.

Un endomorfismo sobre un espacio vectorial V esuna aplicación lineal de V en sí mismo. Denotamoscon L (V, V) el conjunto de los endomorfismos de V yveamos qué operaciones pueden definirse en él:

Dados dos endomorfismos f, g ∈ L (V, V), sedefine:

1) f + g: V → V, tal que f + g (v) = f(v) +g(v)2) fog: V → V, tal que fog(v) = f(g(v))3) Dado un endomorfismo f ∈ L (V, V) y un

número real k ∈ K: (k . f)(v) = k . f(v).Así pues, L(V, V) con las operaciones (+) y

producto por escalares ( . ), tiene estructura deespacio vectorial; y, además, con la operacióncomposición de endomorfismos (o) se convierte enun álgebra sobre R.

Matriz de una aplicación linealSean dos espacios vectoriales reales V, W de

dimensiones n, m respectivamente y una aplicaciónlineal I entre ellos. Sea {v

1 ..., v

1}, {w

1 ..., w

1, ...,

wm} bases respectivas de V, W.Dado un vector v ∈ V designamos con w la imagen

de v por 1: I(v) = w. Sean (x1, ..., x

n), (y

1, ..., y

m) las

coordenadas de v, w en sus respectivas bases.Entonces:

v = x1 . v

1 + ... + x

n . v

n

w = y1 . w

1 + ... + y

m . w

m

Por otra parte I(v1), ..., I(vn) por ser vectores de Wpodrán ponerse como combinación lineal de losvectores de la base de W:

55. Para podercalcular el determi-nante de una matriz,ésta ha de ser necesa-riamente cuadrada.Sin embargo, sepuede calcular elrango de cualquiermatriz rectangular.

56. Si se permutanentre sí dos filas enuna matriz cuadrada,el determinantecambia de signo.

57. Una matrizortogonal es aquellaen que la inversa esigual a la traspuesta.

Álgebra

479

Y además:

l(v) = x1 . l(v

1+ ... + x

n . l (v

n))

Y sustituyendo l(v1), ..., l(v

n) por las expresiones

anteriores se obtiene:

l(v1) = a

11 . w

1+ ... + a

m1 . w

m

l(vn) = a

1n . w

1+ ... + a

mn . w

m

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

y1 = a

11 . x

l+ ... + a

in . x

n

ym = am1

. x1+ ... + a

mn . x

n

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Que puesto en forma matricial:

se le llama matriz asociada a la aplicación lineal enbases dadas.

Es interesante observar que las columnas de dichamatriz son las componentes de los vectores imagenen la base dada de V, y que el rango de dicha matrizes igual a la dimensión del espacio imagen I(V). Es unsencillo ejercicio comprobar que si L1, L

2 son, respec-

tivamente, las matrices asociadas de dos aplicacioneslineales l

1 l

2:

l1: V → W

l2: V → U

entonces L1. L

2 es la matriz asociada a la aplicación

lineal compuesta l2 ó l

1. Asimismo, las operaciones

suma de matrices y producto de una matriz por unnúmero que se han definido antes corresponden a lasuma y producto por un escalar de aplicacioneslineales. Esto hace que se establezca de forma natu-ral un isomorfismo entre el álgebra de los endomor-fismos de un espacio vectorial V de dimensión n y elálgebra de las matrices asociadas, de orden n, enuna base dada de V.

Formas linealesSe llama forma lineal a una aplicación lineal de un

espacio vectorial real V en R (que también es unespacio vectorial sobre sí mismo):

h: V → R

Como se ha visto antes, el conjunto de formas deV, que habitualmente se denota con V*, es tambiénun espacio vectorial sobre R con las operaciones sumay producto por ecalares.

Sea V un e . v . de dimensión n. Sea {v1, ..., vn}una base de V, y sea h ∈ V* una forma lineal. Dadoun vector v ∈ V se puede poner como combinaciónlineal de los vectores de la base:

v = x1 . v

1 + ... + x

n . v

n

De donde:

h(v) = x1 . h(v

1) + ... + x

n . h(v

n)

Expresión que nos sugiere la siguiente idea:conocidas las imágenes de los vectores de la basedada, puede conocerse la imagen de cualquiervector.

Sea, en particular, el conjunto de formas {h1 ...,

hn}, tales que:

hi(vj) =0 si i ≠ j1 si i = j

a11

... ain

. . . . . . . .

am1

... amn

y1

. .y

m

=

x1

. .x

n

A la matriz:

a11

... a1n

. . . . . . . .a

m1... a

mn

Entonces, el conjunto {h1 ...,h

n} es una base de

V*. En efecto, sea h una forma cualquiera. Para todov ∈ V de coordenadas (x

1 ...,x

n) en la base dada se

tiene:

h(v) = x1 . h(v

1) + ... + x

n . h(v

n)

Llamando ti =h(v

i) ∈ R se tiene:

h= t1 . h

1 +... t

n . h

n

lo que demuestra que h ∈ <h1, ..., h

n>, y por tanto

que {h1 ..., h

n} es un sistema de generadores.

Por otra parte, si hubiera una combinación linealnula:

r1 . h

1 +... + r

n . h

n = 0

siendo o la forma o(v)= 0 para todo v ∈ V, aplicandoa cada sector vi de la base se tiene:

(r1 . h

1 +... + r

n . h

n)( v

i) = r

i = 0

58. ¿Cuál de lassiguientes afirmacio-nes es cierta?a) La matriz de unaaplicación lineal essiempre cuadrada.b) La matriz de unendomorfismo essiempre cuadrada.c) La matriz de unaforma lineal essiempre cuadrada.

59. ¿Qué es unaforma lineal?

480

Álgebra

lo que demuestra que el conjunto de formas {h1, ...,

h2} es libre y por tanto una base, como queríamos

demostrar.Queda así patente que V y V* tienen igual

dimensión y además la aplicación:

d: V → V*

tal que un vector v = x1 . v

1 + ... + x

n . v

n tenga

como imagen la forma lineal v* = x1 . h

1 + ... + x

n .

hn, es un isomorfismo de espacios vectoriales

(aplicación lineal biyectiva) que se denominadualización. Y por último, observemos que aplicandoel mismo proceso de dualización a V* podemosidentificar (V*) con V.

Sistemas de ecuaciones

El teorema de Rouché-FröbeniusUn sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas

x1, ..., x

n es una expresión algebraica:

a11

. x1 + ... + a

1n . x

n = b

1

am1

. x1+ ... + a

mn . x

n = b

m

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

que puede ponerse en forma matricial:

O abreviadamente:

S . x = bsiendo:

a11

... a1n

... ... ... ...a

m1... a

mn

x1

.x

n

b1

.b

m

A los números aij de la matriz S se les llamacoeficientes del sistema, a la matriz S, matriz de loscoeficientes del sistema y a la matriz b, matriz co-lumna de términos independientes.

Resolver el sistema es encontrar n números {s1,

..., sn} tales que al ser sustituidas las incógnitas por

ellos se verifiquen:

a11

. s1 + ... + a

1n . s

n = b

1

am1

. s1+ ... + a

mn . s

n = b

m

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

O bien:S . s = b

Un caso particular de sistemas es cuando b = o.Entonces el sistema se llama homogéneo.

s1

. .s

m

siendo s=

Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:S . x=b

puede interpretarse como una aplicación lineal de unespacio vectorial de dimensión m en otro de dimensiónn, siendo S la matriz asociada a la aplicación lineal.En este contexto, resolver el sistema será encontrarel conjunto de vectores {s} cuya imagen por laaplicación lineal sea b; en el caso particular de unsistema homogéneo, el conjunto de soluciones {s}coincide exactamente con el núcleo de la aplicaciónlineal. Cuando un sistema no tiene solución se diceque es incompatible; en el caso particular de unsistema homogéneo, el sistema se llama incompa-tible cuando la única solución es el vector o. En casocontrario, un sistema con solución se llama compa-tible, y en el caso particular de un sistemahomogéneo, el ser compatible le obliga a tener mássoluciones que la trivial. Si la solución de un sistemacompatible es única, se llama sistema compatibledeterminado, y si admite más de una, sistema com-patible indeterminado.

Si escribimos un sistema S . x = b del modo:

O abreviadamente:

x1 . a

1+ x

2 . a

2 + ... + x

n . a

n = b

puede interpretarse como una combinación linealde los vectores a

1, a

2, ..., a

n, b, o mejor que el

vector b es combinación lineal de los a1, a

2, ..., a

n.

A la matriz:

a11

a12

... aln

b1

a21

a22

... a2n

b2

. . . . . . . .a

m1a

m2... a

mnb

m

S’ =

se le llama matriz ampliada de la matriz S de loscoeficientes. Supongamos que los respectivos rangosde S, S’ son r, r’.

Un resultado importante que proporciona unacondición necesaria y suficiente para que unsistema tenga solución (sea compatible) es elsiguiente:

Teorema de Rouché-Fröbenius: un sistema S . x= b es compatible si y sólo si rg(S) = rg(S’), siendoS’, como hemos dicho antes, la matriz ampliadade S.

En efecto, si {s1, ..., s

n} es una solución del sistema,

entonces s1 . a

1 + s

2 . a

2 +... + s

n . a

n = b, siendo

aisb

, como arriba las matrices columna:

=

a11

... a1n

... ... ... ...a

m1... a

mn

x1

.x

n

b1

.b

m

S = ; x = ; b =

a11

a21

. .a

ml

a12

a22

. .a

m2

b1

b2

. .b

m

a1n

a2n

. .a

mn

x1 . + x

2 . +...+ x

n . =

58. La matriz de unendomorfismo essiempre cuadrada.

59. Una forma lineales una aplicaciónlineal de un espaciovectorial real V en R.

Álgebra

481

a1i

a2i

. . .a

mi

ai =

b1

b2

. . .b

m

; b =

Es decir, los vectores {a1, a

2, ..., a

n, b} son

linealmente dependientes, por tanto:

<a1, a

2, ..., a

n> = <a

1, a

2, ..., a

n, b>

Ahora bien, si la matriz S tiene rango r:

quiere decir que entre sus filas y columnas, comomáximo, encontraremos determinantes no nulos deorden r. Por otra parte, como:

a11

a12

... aln

b1

a21

a22

... a2n

b2

. . . . . . . .a

m1a

m2... a

mnb

m

S’ =

a11

a12

... aln

a21

a22

... a2n

. . . . . .a

m1a

m2... a

mn

S =

resulta obvio que, por S sub matriz de S’, el rango deS será menor o igual que el rango de S’. Ahora bien,si tomamos una submatriz cuadrada de orden r + 1puede ocurrir:

- Que las r + 1 filas y columnas se hayan formadotodas de S. Si es así, el correspondiente determinanteserá igual a cero (ya que S tiene rango r).

- Que entre las r + 1 columnas está la de lostérminos independientes. Sea por ejemplo:

a11

a12

... a1r

b1

. . . . . . . .a

r1a

r2... a

rr . b

r

dicho determinante. Será igual a cero por ser la co-lumna de términos independientes combinación li-neal de las restantes. Es decir, cualquier menor deorden superior a r es nulo, luego S’ tiene rango r.

Recíprocamente. Si el rango de las matrices S, S’es igual a r, supongamos que el correspondientedeterminante no nulo está formado por las r primerasfilas y columnas (suposición que no va en contra de lageneralidad, pues bastaría con alterar el orden defilas y columnas en la expresión inicial del sistema deecuaciones). Como las m-r filas restantes de la matrizS’ son combinación lineal de las r primeras (por ser elrango r), pueden suprimirse sin alterar el sistema.Entonces, el sistema:

es equivalente al dado. Entonces, como:

a11

. x1 + ... + a

1r . x

r =

= b1 _ a

1,r+1 . x

r+1 _ ... _a

1n . x

n

... ... ... ... ... ...a

1r . x

r +...+ a

rr . x

r =

= bm _a

r,r+1 . x

r+1 _ ... _ a

rr . x

n

a11

a12

... a1r

. . . . . .a

r1a

r2a

rr

≠ 0

dando valores arbitrarios sr+1

, ..., sn a las incógnitas

xr+1

, ..., xn el sistema anterior tendrá solución.

En el caso particular de un sistema homogéneo:

a11

. x1 + ... + a

1n . x

n = 0

... ... ... ... ... ... ... ...a

m1 . x

1+ ... + a

mn . x

m = 0

las matrices S y S’ difieren en una columna de ceros,y por tanto, según el teorema de Rouché-Fröbenius,siempre será compatible; pero como hemos dichoarriba que un sistema homogéneo es incompatible sisólo tiene la solución trivial (0,...,0), deberemos descar-tar esta solución.

Supongamos que el rango de S es r. Entonces m_ r ecuaciones del sistema son combinación lineal delas restantes, por tanto serán desechadas y quedaráun sistema con r ecuaciones y n incógnitas, de talmodo que n _ r incógnitas podrán tomarse comoparámetros:

a11

. x1 + ... + a

1r . x

r =

= b1 _a

1, r+1 . x

r+1 _ ... _ a

1n . x

n

... ... ... ... ... ...a

r1 . x

r +...+ a

rr . x

r =

= bm _a

r,r+1 . x

r+1 _ ... _ a

rr . x

n

resolviéndose como se hacía en la demostración delteorema de Rouché-Fröbenius. Por tanto, podemosconcretar este resultado diciendo que un sistemahomogéneo es compatible si y sólo si el rango de lamatriz de los coeficientes es menor que n.

Métodos de resolución de sistemasde ecuaciones lineales

- Fórmulas de Cramer

Sea un sistema lineal no homogéneo con igualnúmero de ecuaciones que de incógnitas:

a11

. x1 + ... + a

1n . x

n = b

1

... ... ... ... ... ... ...a

n1 . x

1+ ... + a

nn . x

n = b

n

y tal que el rango sea n.

60. ¿Qué dice elteorema de RouchéFröbenius?

61. ¿Es posible queel rango de la matrizdel sistema seaestrictamente mayorque el rango de lamatriz ampliada?

482

Álgebra

En forma matricial podemos poner:

S . x = b

de donde, multiplicando a izquierda por S-1 (que existepor ser el determinante de S distinto de cero):

x = S-1 . b

Como:

podemos poner:

A11

* ... An1

*A

12* ... A

n2*

. ... . . ... .A

1n* ... A

nn*

S-1 = (1/ | S| )

Por tanto:

x1 = (1/ | S | ) (A

11* . b

1+... + A

n1* . b

n)

x2 = (1/ | S | ) (A

12* . b

1+... + A

n2* . b

n)

xn = (1/ | S | ) (A

1n* . b

1+... + A

n1* . b

n)

O bien:b

1a

12... a

1n

. . .

. . .b

na

n2... a

nn x1 =

| S |

a11

b1

... a1n

. . .

. . .a

1nb

n... a

nn x2 =

| S |

a11

a12

... b1

. . .

. . .a

n1a

n2... b

n x3 =

| S |

Expresiones que se conocen como fórmulas deCramer.

Veamos un ejemplo. Sea el sistema:

2x _ y + 3z = 1 x + 2y _ z = 22x + y _ 2z = _1

El determinante de la matriz de los coeficientes es(utilizando la Regla de Sarrus):

2 _1 31 2 _1 = _ 8+2+3 _ 12 _ 2+2= _152 1 _2

Por tanto la solución es:

=_ 415

1 _1 32 2 _1

_1 1 _2

x = _ 15

=53

2 1 31 2 _12 _1 _2

y = _ 15

- Método de GaussSea un sistema lineal cualquiera:

a11

. x1 + ... + a

1n . x

m = b

1

... ... ... ... ... ... ... ...a

m1 . x

1+ ... + a

mn . x

m= b

m

que podemos representar matricialmente así:

en donde queda bien patente la matriz de loscoeficientes y su matriz ampliada. Si una de las filasde la matriz ampliada se sustituye por la suma de ellacon otra multiplicada por un número, el sistema no sealtera. De este modo puede conseguirse un sistemacon ceros bajo la diagonal principal. Veamos unejemplo. Sea el sistema:

que puesto en forma matricial:

b1

.b

m

x1

xn

a11

... a1n

................a

m1... a

mn

x y z t1 _2 3 _4 12 1 _1 1 21 _1 1 _1 0

sustituyendo la segunda y tercera filas por la sumade la primera multiplicada por _2 y _1,respectivamente, queda:

x1

x2

. . .x

n

= (1/ | S| )

A11

* ... An1

* b1

A12

* ... An2

* b2

. . . . . .A

1n* ... A

nn* b

n =1615

2 _1 11 2 22 1 _1

y = _ 15

x _ 2 + 3z _ 4t = 12x + y _ z + t = 2x _ y + z _ t = 0

60. Un sistema deecuaciones linealeses compatible si ysólo si el rango de lamatriz del sistema esigual al rango de lamatriz ampliada.

61. El rango de lamatriz del sistemaes siempre menor oigual que el rango dela matriz ampliada,porque el rangocalcula el númerode columnaslinealmente indepen-dientes de unamatriz, y la matrizampliada tiene unacolumna más que lamatriz del sistema.Por eso, también elrango de la matrizampliada difiere delrango de la matrizdel sistema comomucho en unaunidad.

Álgebra

483

x y z t1 _2 3 _4 10 5 _7 9 00 1 _2 3 _1

sustituyendo la tercera por la suma de la segundamultiplicada por _1/5 queda:

x y z t1 _2 3 _4 10 5 _7 9 00 1 _3/

5

6/5

_1

Por tanto, de la última expresión:

t = _ 24/23

Y sustituyendo en las sucesivas ecuaciones dondese eligen pivotes:

z = 4 _ 4t = 188/23x = 2t + 3 = 21/23y = _ t _2x = _41/23

Este método es de gran interés por su rapidez ypor la fácil interpretación que se puede extraer delproceso.

Por ejemplo, el sistema:

2x + y = 1x + 2y + z = _ 3x _ y _ z = 4

es indeterminado, y al aplicar el método del pivote:

Consiguiendo así un sistema donde aparece unaecuación (la última) con un número mínimo deincógnitas. De esta última ecuación resulta:

_(3/5)z + (6/5)t = _1

de donde:z = 2t + (5/3)

Sustituyendo en la anterior ecuación:

5y _7z + 9t = 0

de donde:

y = t+ (7/3)

Y sustituyendo por fin en la primera:

x = (2/3)

se llega a la solución final de la última incógnita,quedando la variable t como parámetro.

- Método del pivote

Si se tiene un sistema:

x1

... xk

... xn

a11

... a1k

... aln

b1

........... .a

i1... a

ik... a

inb

1

..........a

j1... a

jk... a

jnb

j

..........

am1

... amk

... amn

bm

y se quiere despejar la incógnita xk de la ecuación

correspondiente a la fila i, es necesario que sucoeficiente a

ik sea distinto de cero:

xk = (b

i / a

ik) _ (a

i1 / a

ik) . x

1 _ ... _ (a

in / a

ik) . x

n

y al sustituir esta expresión, por ejemplo, en la ecuacióncorrespondiente a la fila j, se tiene:

aj1

. x1 +... + a

jk . [(b

i /a

ik) _ (a

i1 /a

ik). x

1 _

... _ ain

/ aik . x

n ] +... +a

jn. x

n = b

j

Lo que permite el cálculo sistemático de loscoeficientes del sistema reducido. Al coeficiente nonulo elegido a

ik se le llama pivote, y para resaltar su

función y simplificar el cálculo se le suele destacar conun círculo. Veamos un ejemplo:

x y z t2 � 0 1 _13 1 0 _1 21 0 1 2 1_2 3 1 0 1

→ x z t_� 0 _2 3

1 1 2 1_ 8 1 _3 4

Se llega a una matriz ampliada nula.Si el sistema fuese incompatible, como el que se

presenta a continuación:

x _ 2y + z = 4_x+ 2y _z = _22x _ 4y + 2z = 6

Al aplicar el proceso:

x y z2 1 0 1� 2 1 _31 _1 _1 4

→y z_3 _� 7_3 _2 7

→ (0) 0)y

x y z�

_2 1 4_1 2 _1 _22 _ 4 2 6

→y z0 0 20 0 _2

z t t � 4 4 (_23) 24) 1 _19 28

→

y eliminando los paréntesis y agrupando resulta:

ai1 a

ik

ai1 a

ik

ai1 a

ik

ai1 a

ik

ai1 b

1

ajk b

j

. x1+...+ . x

n =

se llega a la matriz S nula, no siéndolo la matrizampliada.

62. ¿Cuáles sonlos métodos que semplean habitualmen-te para la resoluciónde sistemas deecuaciones lineales?

63. ¿Qué relaciónexiste entre el gradode libertad, el rangoy el número deecuaciones deun sistema deecuaciones lineales?

484

Álgebra

a11

. x1 + ... + a

1n . x

n = b

1

... ... ... ... ... ... ... ...a

m1 . x

1+ ... + a

mn . x

n = b

m

Un sistema lineal compatible de ecuaciones:establece una serie de «ligaduras» en el conjunto devariables s {x

1, ..., x

n} de modo que:

a) Si el sistema es compatible indeterminado quieredecir que, en el proceso que se sigue para llegar a lasolución, quedarán libres de tomar cualquier valor pvariables (independientes) de las n dadas, y r = n_ pvariables (dependientes) tomarán los valores que lasp independientes le determinen. Diremos en este casoque el sistema tiene p grados de libertad y rango r.

Hay dos casos particulares:b) Cuando p = n y por tanto r = 0, que equivale

a la situación trivial de un sistema cuya matriz ampliadaes idénticamente nula (cualquier n-tupla es solución).

c) Cuando p = 0 y por tanto r = n, situación queaparece en los sistemas de Cramer: la solución es única.

Hay una íntima relación entre el rango de unamatriz y el proceso de eliminación de variables que seefectúa al resolver un sistema lineal por el método delpivote. En efecto: cada paso del proceso (cálculo dela matriz reducida) indica la eliminación de una varia-ble; por tanto, al final, el número de pasos hasta

llegar a una matriz nula (o el número de matrices nonulas que aparecen en el proceso) coincide con elrango del sistema.

Veamos algún ejemplo.Calculemos por este método los rangos de las

matrices:

por tanto el rango es 2.

2 1 0 01 0 1 23 1 1 2

a) 2 1 1 3 20 1 1 3 _12 1 0 _1 20 0 1 4 0

b)

por tanto el rango es 3.

-� 0 _3 0 0 0

(0 0)→→

→ � 1 21 1 2

(0 0)→2 � 0 01 0 1 23 1 1 2

a)

2 � 1 3 20 1 1 3 _12 1 0 _1 20 0 1 4 0

a) _2 0 0 _30 _1 _ 4 00 � 4 0

→

62. Para la resoluciónde sistemas deecuaciones linealesse emplean habitual-mente las fórmulas deCramer, el método deGauss, y el métododel pivote.

63. Si se denotapor p el grado delibertad, por r elrango y por n elnúmero deecuaciones de unsistema deecuaciones lineales,se verifica siempreque n = p + r.

ArgumentativasInterpretativas Propositivas

COMPETENCIASLas Competencias proponen actividades que orientan procesos de análisis, comprensión y explicación, en los niveles

interpretativo, propositivo y argumentativo con el objetivo de evaluar el desempeño dentro de un contexto.

Desarrollar los términos y coeficientesde expresiones algebraicas.

Sustentar en qué consiste el binomiode Newton.

Interpretar qué comprende lospolinomios de una sola variable.

Distinguir cómo se trabajan lasfracciones algebraicas.

Explicar qué es la regla de Ruffini.

Analizar qué son las fraccionespolinómicas.

Interpretar y analizar lo que significaecuaciones de primer grado.

Resolver sistema de ecuaciones deprimer grado.

Describir con ejemplos ecuacionesde segundo grado.

Comprender lo que significacoeficientes y raíces.

Sustentar la definición de conjuntopor extensión y por comprensión.

Definir términos y coeficientes de unaexpresión algebraica.

Establecer qué es productocartesiano de conjuntos.

Conocer de correspondencia yaplicaciones entre conjuntos.

Identificar las funciones polinómicas.

Sustentar qué es el teorema delresto.

Distinguir en las ecuaciones de primergrado, los valores de una y dosincógnitas.

Cuestionar el llamado teorema delfactor.

Explicar la Representación cartesiana dela función polinómica de segundogrado.

Analizar por qué los números y letrasse usan en esta temática.

Describir qué es el cardinal de unconjunto.

Establecer con ejemplos lasoperaciones con conjuntos.

Analizar cuántos elementos tiene elproducto cartesiano de los conjuntosA= (1,2) y B= (7,8,9) y cuáles son.

Explicar el valor numérico de unaexpresión algebraica.

Analizar qué es una aplicacióninyectiva.

Plantear lo que son polinomios de unavariable.

Distinguir qué es una clase deequivalencia.

Definir cómo son las operaciones conpolinomios.