Algebra

ndice 1.-Ecuaciones cuadrticas.

1.1 Concepto

1.2 Resolucin de ecuaciones cuadrticas incompletas

1.3 Ecuaciones cuadrticas completas

1.4 Mtodos de solucin de ecuaciones cuadrticas

1.5 Sntesis del tema

2.- Desigualdades

2.1 Concepto

2.2 Propiedades de las desigualdades

2.3 Desigualdades absolutas y condicinales

2.4 Solucin de desigualdades o inecuaciones


En este proyecto sabrs acerca de

las ecuaciones cuadrticas, sus

distintas formas de resolverlas,

ecuaciones cuadrticas completas y

al final de estos temas encontraras

un resumen de todo el 1 tema.

Nuestro segundo tema

desigualdades en este tema

encontraras el concepto,

propiedades de la desigualdad,

desigualdades absolutas y

condicionales, solucin de

desigualdades o inecuaciones, y al

final de la misma manera

encontraras una sntesis del tema y

de unos tutoriales seleccionados

con atencin para que sea de gran

ayuda para el lector.

1.- ECUACIONES CUADRTICAS 1.1 Concepto:

Es una expresin algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno

o ambos miembros de la ecuacin debe tener al menos una variable o letra, llamada incgnita. Las ecuaciones se convierten en identidades slo para determinados valores de la(s) incgnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la

ecuacin.

Ejemplo. 3x - 8 = 10

Slo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuacin quedar la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solucin de la ecuacin dada. De hecho, es la nica solucin. Si usramos, por ejemplo, x = 2, resultara -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuacin es hallar los valores de x que la satisfacen a travs de tcnicas matemticas variadas. Si la ecuacin es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si

el grado de la ecuacin es superior a uno, deben utilizarse otros mtodos.

1.2 Resolucin de ecuaciones cuadrticas

incompletas

Qu son las ecuaciones cuadrticas incompletas?

Se llama ecuaciones incompletas de segundo grado o cuadrticas, cuando la

ecuacin carece del trmino en x o el trmino independiente, y se clasifican

en ecuaciones cuadrticas incompletas puras (de la forma; ax2 + c = 0) y

mixtas (de la forma ax2 + bx = 0), respectivamente.

Cmo resolver ecuaciones cuadrticas incompletas puras?

Para resolver las ecuaciones cuadrticas incompletas puras de la forma

ax2 + c = 0, debers despejar la incgnita. Para esto pasamos c al 2

miembro, luego ay por ltimo el cuadrado de x, como se muestra a

continuacin;

Entonces, las races (o soluciones) de una ecuacin cuadrtica incompleta

pura son;

- Si a y c tienen el mismo signo, las races son imaginarias por ser la raz

cuadrada de una cantidad negativa, y si tienen signo distinto las races son

reales.

- Tambin, se puede llegar al mismo resultado aplicando la frmula

general de la ecuacin cuadrtica completa, teniendo presente que b = 0, o

sea, el trmino bx es nulo, donde tenemos que;

Frmula General;

Si quitamos b, nos quedara;

Ejemplos:

a) Resolver la ecuacin 7x2 + 14 = 0.

Remplazamos los datos en la frmula;

Respuesta: Las races de la ecuacin

son . Las dos races son imaginarias

b) Resolver la ecuacin (2x - 3) (2x + 3) - 135 = 0.

Primero resolvemos la ecuacin, como hay un producto notable (suma por

su diferencia) aplicamos la frmula (a + (a b) = a2 b2;

Ahora, reemplazamos en la frmula;

Respuesta: Las races son 6 y -6, las dos races son reales y racionales.

Cmo resolver ecuaciones cuadrticas incompletas mixtas?

Para resolver las ecuaciones cuadrticas incompletas mixtas de la forma

ax2 + bx = 0, debers factorizar la ecuacin por x. Donde se tiene que;

Igualando a cero ambos factores:

Recuerda que esto lo podemos realizar, ya que sabemos que si un producto

es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero.

En las ecuaciones incompletas mixtas, siempre una raz es cero, y la otra es

el coeficiente del trmino en x con el signo cambiado partido por el

coeficiente del trmino en x2.

Tambin, se puede llegar al mismo resultado aplicando la frmula general de

la ecuacin cuadrtica completa, teniendo presente que c = 0, o sea, el

trmino independiente c es nulo, donde tenemos que;

La frmula general es;

Si quitamos c, nos quedara;

Y de aqu obtenemos;

Ejemplos:

a) Resolver la ecuacin 4x2 = - 32x

Ordenamos la ecuacin;

Reemplazamos en la frmula;

Respuesta: Las races son 0 y - 8.

b) Resolver la

ecuacin

Para resolver la ecuacin hay que quitar los denominadores, para lo cual,

tenemos que sacar el mnimo comn mltiplo entre 3, 6 y 2, que es 6, y

despus transponemos los trminos para igualar a 0;

Reemplazamos en la frmula;

1.3 ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS

Una ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a 0.

Se resuelve mediante la siguiente frmula:

Ejemplos

1.

2.

3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (1).

1.4 Mtodos de solucin de las ecuaciones cuadrticas

Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales

son ecuaciones polinmicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinmicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadrticas.

Definicin: Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son nmeros reales y a es un nmero diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

La condicin de que a es un nmero diferente de cero en la definicin asegura que exista el trmino x2 en la ecuacin. Existen varios mtodos para resolver las ecuaciones cuadrticas. El mtodo apropiado para resolver una ecuacin cuadrtica depende del tipo de ecuacin cuadrtica que seva a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes mtodos: factorizacin, raz cuadrada, completando el cuadrado y la frmula cuadrtica.

Factorizacin:

Para utilizar este mtodo la ecuacin cuadrtica debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de

la ecuacin que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos para discusin en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorizacin:

1) x2 - 4x = 0

2) x2 - 4x = 12

3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadrticas por factorizacin porque este mtodo est limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros mtodos.

Raz cuadrada:

Este mtodo requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuacin.

Propiedad de la raz cuadrada: Para cualquier nmero real k, la ecuacin x2 = k es equivalente a :

Ejemplos para discusin en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el mtodo de raz cuadrada:

1) x2 - 9 = 0

2) 2x2 - 1 = 0

3) (x - 3)2 = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer trmino de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto

es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el ltimo trmino de x2 + bx + ?: El ltimo trmino de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de

la mitad del coeficiente del trmino del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros trminos son x2 + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuacin equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a

un lado. Para obtener la ecuacin equivalente el nmero que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuacin.

Ejemplos para discusin en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el mtodo de completar el cuadrado:

1) x2 + 6x + 7 = 0

2) x2 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0

Frmula cuadrtica:

La solucin de una ecuacin ax2 + bx + c con a diferente de cero est dada por la frmula cuadrtica:

La expresin:

Conocida como el discriminante determina el nmero y el tipo de soluciones. La tabla a continuacin muestra la informacin del nmero de soluciones y el tipo de solucin de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de:

Tipo de solucin

positivo dos soluciones reales

cero una solucin real negativo dos soluciones imaginarias

1.5 Sntesis del tema Qu es una ecuacin?

Es una expresin algebraica que consta de dos miembros separados por un

signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuacin debe tener al

menos una variable o letra, llamada incgnita. Las ecuaciones se convierten

en identidades slo para determinados valores de la(s) incgnita(s). Estos

valores particulares se llaman soluciones de la ecuacin.

Ejemplo. 3x - 8 = 10

slo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuacin

quedar la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solucin

de la ecuacin dada. De hecho, es la nica solucin. Si usramos, por

ejemplo, x = 2, resultara -2 = 10 (un absurdo)

Resolver una ecuacin es hallar los valores de x que la satisfacen a travs

de tcnicas matemticas variadas. Si la ecuacin es de primer grado, un

despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuacin es superior

a uno, deben utilizarse otros mtodos. Consideremos la ecuacin general de

segundo grado (ecuacin cuadrtica) que tiene la forma: .

Resolver esta ecuacin implica encontrar el valor o los valores de que

cumplen con la expresin, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de

problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es

probando con varios nmeros hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonra la

buena fortuna, o por aproximacin).

Algunos incluso prueban nmero tras nmero hasta hallar la solucin

(Mtodo de la "Fuerza Bruta").

Despus, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran

ecuaciones cuadrticas, descubrimos algunos mtodos de solucin. De los

primeros que aprendemos (por simplicidad) estn el "Mtodo Grfico"

(Realizar la grfica correspondiente a la ecuacin cuadrtica igualada a cero

y observar en que abscisas la grfica "toca o pasa" por el eje horizontal del

plano cartesiano). Otro mtodo que aprendemos es el "Mtodo de

Factorizacin" (Trabajar con la expresin cuadrtica igualada a cero hasta

dejarla expresada como multiplicacin de otras dos expresiones algebraicas,

y encontrar "por simple observacin" los valores que hacen que estas

ltimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos mtodos es que implican trabajo excesivo, y no se

garantiza que se encuentre la solucin de la ecuacin (al menos una solucin

"Real").

El ltimo mtodo que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado

es la "Frmula General".

Analizando la raz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si es menor que los resultados de X sern dos valores con

parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un nmero

complejo.

Si es mayor que obtendremos dos valores distintos de X

reales.

Y si es igual que obtendremos dos valores de X reales e

iguales.

Al trmino se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los terminos: "a","b"y"c"=x-

6x+9

2.- Desigualdades 2.1 concepto

Una desigualdad es una expresin matemtica que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

no es igual

< menor que

> mayor que

menor o igual que

mayor o igual que

De la definicin de desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1 Todo nmero positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 0 = 5

2 Todo nmero negativo es menor que cero

Ejemplo:

9 < 0 ; porque 9 0 = 9

3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

10 > 30; porque -10 (30) = 10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuacin.

Por ejemplo:

X + 3 < 7

(La punta del signo < siempre seala el menor)

Ejemplos:

3 < 4, 4 > 3

Cmo resolvemos una inecuacin? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no vara si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a 16 / 2 (restamos 2 a ambos lados)

2 + x 2 > 16 2

x > 14

2. Una desigualdad no vara su sentido si se multiplica o divide por un nmero positivo:

a 0) (c es positivo, mayor que cero)

a c b / c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a c > b c

Ejemplo

3 5 x / :5

3/5 x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad vara su sentido si se multiplica o divide por un nmero negativo:

a b c

a > b / c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a c < b c

Ejemplo:

15 3 x 39 / 15

3 x 39 15 /: 3

x 24: (3)

x 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que 8.

De manera recproca, cuando la parte de la incgnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incgnita negativa.

2.2 Propiedades de las Desigualdades

Una desigualdad es un enunciado que indica que dos cantidades no son iguales, en lugar del signo igual incluye algunos smbolos. Los signos de desigualdad son: no es igual

> Mayor que

Menor o igual que

Mayor o igual que

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuacin.

Por ejemplo: x + 3

(La punta del signo

2.3 Desigualdades absolutas y condicionales

Desigualdad absoluta: es aquella que se veridfica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Ejemplo: a+3>a

Desigualdad condicional: es aquella que slo se verifica para ciertos valores de las literales. Ejemplo: 2x-8>0, que solamente satisface para x>4. aqu se dice que 4 es el lmite de x.

Nota: las desigualdades condicionales se llaman entonces inecuaciones.

Teoremas

a) Axioma de tricotoma: Dados nmeros reales a y b, Se cumple una y slo una de las condiciones siguientes: a b , a = b b) Axioma de la adicin: Si se suman dos desigualdades del mismo sentido, el sentido de la desigualdad resultante no se altera. a a + c c) Axioma de la multiplicacin: Si se multiplican ambos miembros de una desigualdad por el

mismo nmero positivo, el sentido de la desigualdad resultante no se altera. a 0 ac d) Axioma de la transitividad: Si un nmero es menor que otro y este es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.

Intervalos Se llama intervalo al conjunto de nmeros reales comprendidos entre otros dos nmeros dados: a y b que se denominan extremos del intervalo; tambin se llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b. los intervalos segn sus caractersticas topolgicas se clasifican en: abiertos, cerrados, semi-abiertos y semi-cerrado. Intervalo abierto: la solucin no incluye los extremos y se representa con el signo de parntesis en ambos lados que indica la exclusin de los lmites (a, b) y significa a x b y que a su vez se representa con crculos sin rellenos en la recta numrica. Intervalo cerrado: la solucin si incluye los extremos y se representa con el signo de corchetes en ambos lados indica la inclusin de los limites [a,b]y significa que axb y se representa con crculos rellenos en la recta numrica. Intervalo semi-abierto: indica que por el lado izquierdo es abierto y por el derecho cerrado lo cual quiere decir que aIntervalo semi-cerrado: indica que por el lado derecho es abierto y por el izquierdo cerrado, quiere decir que ax

2.4 Solucin de desigualdades o inecuaciones

Los enunciados a > b y a < b, junto con las expresiones a b (a b o a = b) se conocen como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.

En numerosas oportunidades y situaciones cotidianas surge la necesidad de comparar dos cantidades y establecer una relacin entre ellas. Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la divisin y la multiplicacin.

Ejemplos.

Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9. Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1 Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30 Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10.(- 3), esto es - 21 > - 30

En los diferentes ejemplos se observa que: Al sumar un mismo nmero a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene

Al restar un mismo nmero a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene La multiplicacin por un nmero positivo mantiene el sentido de la desigualdad,

La multiplicacin por un nmero negativo invierte el sentido de la desigualdad. Se pueden enunciar algunas propiedades relacionadas con las desigualdades. Sean a, b y c nmeros reales cualesquiera: Si a 0 entonces a.c < b.c Si a b.c Cuando se verifica que a , y .

Inecuaciones

Una inecuacin es una desigualdad en la que aparecen uno o ms valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los nmeros reales para los cuales es verdadera. Para resolver una inecuacin se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los nmeros reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada. Todos los nmeros que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solucin.

Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5. Para resolver la inecuacin se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solucin. se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4) 2x < 1 se multiplican ambos miembros por {short description of image}: x < {short description of image} La solucin es el conjunto de todos los valores reales de x menores que {short description of image}. Por lo tanto, el conjunto solucin es S = {short description of image}. Grficamente:

Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 3.

La solucin se obtiene de la siguiente manera:

Se suma - 8 a ambos miembros: - 5x + 8 + (- 8) 3 + (- 8) - 5x - 5 se multiplican ambos miembros por . Como el nmero es negativo se invierte el sentido de la desigualdad: {short description of image}.(- 5x) {short description of image}.(- 5) x 1 Grficamente: El conjunto solucin es S = {x / x 1}


Cuando se utilicen los smbolos menor que o mayor que entre dos o mas expresiones lineales para una desigualdad lineal o inecuacin. El nuero o expresin una debe ser mayor que otro. Ejemplo: el nmero o expresin del lado izquierdo debe ser menor que el del lado derecho en el smbolo menor y el smbolo mayor el del lado izquierdo debe ser mayor que el del lado derecho. Si el smbolo menor o mayor tiene una lnea abajo digamos que quiere decir igual.

Gracias a esta investigacin ahora podemos saber mas a afondo acerca de las ecuaciones cul es su frmula sus distintas soluciones podemos resaberlas ahora con facilidad.

En tema de desigualdades de la misma manera podemos ya resolver las desigualdades con facilidad y podemos leer este proyecto y despus resolver los ejercicios, haca es ms fcil estos proyectos nos sirven para tener un mejor desempeo.

Bibliografa

https://www.youtube.com/watc

h?v=xmzG2xR-oBI


h?v=dXakJkBRpqM


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