algebra (06-02-07)
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A)
FACTORIZACINConcepto:Proceso por el cual se transforma un polinomio, en una multiplicacin indicada de sus factores primos
Factor Algebraico
Es aquella expresin que posee al menos una variable y divide exactamente al polinomio
Ejemplo:
Dado el polinomio
Factorizando se tiene:
Entonces los factores son:
*) x
*)
*)
*) x+3
*)
*) x3
*)
Conteo de factores algebraicos
Dado el polinomio factorizado:
Donde son los factores primos
Ejemplo
Dado el polinomio
Factorizando se tiene:
Entonces se tiene:
N F.A = (2+1)(1+1)(1+1)1
N F.A = 11Factor Primo AlgebraicoEs aquel factor algebraico que es divisible por si misma y por la unidad. Es decir, estas expresiones no admiten factores de menor grado.
Ejemplo
En el polinomio factorizado
Los factores primos son:
Problema 1Del polinomio factorizado
Indicar:
*)N factores Primos ( ______________*)El factor primo de mayor grado ( ____*)N factores lineales (1er grado) ( ____*)La suma de sus factores lineales ( ___
*)N factores algebraicos ( ___________*)El factor primo de mayor suma de coeficientes ( __________________
CRITERIO DE FACTORIZACIN
I.CRITERIO DEL FACTOR COMN Y/O AGRUPACIN DE TRMINOS
Se aplica en polinomios donde todos sus trminos tienen variables o factores comunes. el producto de las variables y factores comunes elevadas a sus menores exponentes representar el FACTOR COMN GENERAL.
En caso de no haber algo en comn, se agruparn convenientemente los trminos del polinomio, tratando que aparezca el FACTOR COMN GENERALEjemplo: Factorizar el polinomio e indicar un factor primo
Solucin1.Identificando el factor comn
2.Dividiendo cada trmino del polinomio entre el F.C. se tendr
3.Los factores primos son:
x ; y ; z ; (x+2) ; (x2)Ejemplo: Sumar los factores lineales del polinomio
Solucin1.Como no existe factor comn, agruparemos convenientemente los trminos para hallar el F.C.
2.Extrayendo el factor comn en cada una de las agrupaciones se tendr:
Obteniendo as el factor comn general
3.Dividiendo cada trmino del polinomio anterior entre el factor comn general tendremos
4.Los factores primos son:
(z+3); (z3) y (z2+3z+9)
Los lineales (1er grado) son dos
(f. Lineales= z+3+z3
(f. Lineales= 2zProblema 2Factorizar el polinomio
E indicar el nmero de factores y la suma de ellos
A)4; y5+y2+x2B) 5; 2x+3y2
C) 4; 2x+y2D) 5; 2xy
E) 5; 3x+2y2
Problema 3
Factorizar el polinomio
E indicar la suma de sus factores de primer grado
A) 2x+zB) 3x+zC) 3x2
D) 3x8E) 3x2z
II.CRITERIOS DE LAS IDENTIDADES
En este caso utilizaremos las equivalentes algebraicas (productos notables) en sentido inverso. Entre lo ms importantes tenemos:A.DIFERENCIA DE CUADRADOS
B.SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
C.TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
D.IDENTIDAD DE ARGAND
Ejemplo: Sumar los factores primos cuadrticos del polinomio
Solucin1.
2.Aplicando la suma y diferencia de cubos
3.Los factores primos cuadrticos son:
;
Sumndolos se tendr
Ejemplo: Indique los factores primos del polinomio
Solucin1.Formando un T.C.P., para originar una D.C.
2.Aplicando la D.C al polinomio transformado
Ordenando
3.Los factores primos son:
;
Problema 4Indicar un factor primo del polinomio
A) x+y+zB) xy+zC) x3y+z
D) xy3zE) x+y+3z
Problema 5
Sealar un factor primo del polinomio
A) a+25B) a25C) a2+4a+16
D) a24a+16E) a4
III.CRITERIOS DEL ASPAS SIMPLESe utiliza en trinomios de grado par de la forma:
Donde: m;
Procedimiento
1.Descompones los trminos extremos en dos factores respectivamente y verificarlos es ASPA, para luego verificar que la suma de dichos productos sea igual al trmino central
Donde:
*)
*)
*)
2.Formar los factores sumando algebraicamente y en forma horizontal las expresiones que conforman el ASPA
Ejemplo: Indicar los factores primos del polinomio
Solucin1.
2.
3.Los factores primos son:
Ejemplo: Sumar los factores primos del polinomio
Solucin1.
Comprobando el aspa simple
Entonces los factores son:
2.Reduciendo cada factor se tiene
3.Los factores primos son:
x 4z ; x + 3z ; x 2z ; x + z
(F.P. = x4z+x+3z+x2z+x+z
(F.P. = 4x2zProblema 6
Factorizar el polinomio
E indicar el nmero de factores primos y la suma de ellos
A) 5; 5x+zB) 6; 5x+zC) 4; 5x+y+z
D) 6; 5x+y+zE) 5; 5x+9y+z
Problema 7
Sumar los factores primos del polinomio
A) 4x6yB) 4x+3yC) 5xy
D) 4x2yE) x+4y
IV.ASPA DOBLE ESPECIAL
Polinomio General:
Caso Particular: n=1
Procedimiento1.Adecuamos el polinomio a la forma general, en caso faltase uno ms trminos, estos se completan con ceros.
Luego descomponer convenientemente los extremos en dos factores respectivamente, se multiplican en ASPA y se suman los productos obtenidos hallando as una cantidad parcial (C.P) semejante al trmino central
2.Hallar la diferencia entre el trmino central y la cantidad parcial (CP)
Est diferencia ser la expresin a descomponer en la parte central en dos factores originando las 2 aspas simple que verificarn el segundo y cuarto trmino
3.Los factores se formarn Horizontalmente
Ejemplo: Si ; es un factor primo del polinomio
Calcular:
Solucin1.
2.
3.El factor primo que cumple la condicin del problema es:
entonces
de donde se deduce que:
A=1 ; B=6 y C=2
EMBED Equation.DSMT4 Ejemplo: Indicar un factor primo del polinomio
Solucin1.
2.
3.
Los factores primos son:
Problema 8
Factorizar:
E indicar la suma de los coeficientes de un factor primo
A) 8B) 9C) 10
D) 13E) 5
Problema 9
Si: es un factor primo del polinomio
Calcular
A) 4B) 25C) 36
D) 49E) 125
IV.CRITERIOS DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Se aplica para factorizar polinomios de grado superior generalmente de una variable, que admiten por lo menos un factor lineal
Antes de aplicar este criterio debemos conocer algunos conceptos previos
RAZ DE UN POLINOMIOSea:
a es raz de
Es decir, raz es el valor que anula al polinomio
Ejemplo:
Luego podemos concluir que: 1; 3 y 4 son races de
POSIBLES RACES RACIONALES (P.R.R.)
Ejemplo:
TEOREMA DEL FACTORDado un polinomio P(x) tal que se cumpla
Donde:
es un polinomio de grado
Ejemplo:
Si
Entonces (x+1) es factor de
Si
Entonces (x+3) es factor de
Si
Entonces (x4) es factor de
Procedimiento:1.Calcular los P.R.R.
2.Hallar las races del polinomio mediante divisiones sucesivas por el mtodo de Ruffini
3.Con el teorema del factor formar los factores lineales que multiplicar al cociente final de las divisiones sucesivas
Ejemplo: sumar los factores primos del polinomio
Solucin1.Coeficiente principal =1
2.Calculando las races por ruffini
3.Utilizando el teorema del factor se formar los factores binmicos
4.Los factores primos son:
x+1 ; x+2 ; x+4 ; x3
(f.P.= x+1+x+2+x+4+x3
(f.P.= 4x+4
Ejemplo: Indicar el factor primo de menor grado
Solucin1.Coeficiente principal=2
2.Calculando las races por ruffini
3.Por el teorema del factor se tiene
4.El factor primo de menor grado es:
2a1Problema 10
Indicar el nmero de factores primos y la suma de ellos
A) 5; 5y6B) 3; 3yC) 4; 4y2
D) 5; 3y5E) 3; 3y6
Problema 11
Si la suma de los factores lineales del polinomio
Es equivalente a: Pz+Q
Calcular:
A) 25B) 81C) 36
D) 4E) 100
Problema 12
Si el factor primo cuadrtico del polinomio
Es equivalente a
Calcular:
A) 27B) 64C) 49
D) 125E) 243
PROBLEMAS PROPUESTOS
01.Respecto al polinomio factorizado
Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I.El nmero de factores primos es 4
II.La suma de los factores lineales es 3x+4
III.El factor primo de mayor grado es x3
IV.El nmero de factores algebraicos es 143
A) VFVFB) FVFVC) FVVF
D) VVVVE) FFVF
02.Factorizar el polinomio
E indicar el nmero de factores primos y la suma de ellosA) 5; 4xB) 4; 3xzC) 5; xz
D) 4; 4xzE) 5; 4z+x
03.Sumar los factores lineales del polinomio
A) 3a8bB) 3a3C) 4ab
D) 3a4bE) a+2b
04.Indicar un factor primo del polinomio
A) x3y+4zB) x+3y4zC) x+y5z
D) x3y5zE) x6y+5z
05.Indique el factor primo de mayor grado
A)
B)
C)
D)
E)
06.Sumar los factores primos del polinomio
A) n2+4n5 B) n2+3n6C) n2n+3
D) n25n+4E) n2+4n6
07.Sumar los factores lineales del polinomio
A) 4xB) 4x6C) 5x+z
D) x+zE) 5x+2z
08.Si la suma de los factores primos del polinomio
Es equivalente a
Calcular: (AB)xC
A) 14B) 42C) 24
D) 56E) 32
09.Indique el nmero de factores primos del polinomio
A) 8B) 7C) 6
D) 5E) 2
10.Indique un factor primo del polinomio
A) m+1B) m2C) m+3
D) m6E) m3
11.Indique el nmero de factores primos y la suma de ellos
A) 4; 4x1B) 4; 4x8C) 4; 3x4
D) 3; 3x3E) 3; 2x4
12.Indique un factor primo del polinomio
A) a+3B) a3C) a2
D) a2+3E) a2a+313.Factorizar el polinomio
E indicar el nmero de factores primos y la suma de ellos
A) 4; 4x1B) 3; 3x+3C) 4; 3x3
D) 4; 3x1E) 3; 3x4
14.Si un factor primo del polinomio:
Es equivalente a Mx2+Nx+P donde N