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D-modulos hipergeometricos y familias de Dwork

Alberto Castano Domınguez

Instituto de Matematicas de la Universidad de Sevilla (IMUS)

Universidad de Sevilla

2o Congreso de Jovenes Investigadores de la RSME

Sevilla, 17 de septiembre de 2013

Alberto Castano Domınguez (IMUS) Hipergeometricos y Dwork 2cji RSME - 17/9/2013 1 / 13

Familias de Dwork

Fijemos:

Un entero positivo n.

w = (w0, . . . ,wn) ∈ Zn+1>0 tal que gcd(w0, . . . ,wn) = 1; dn =

Un cuerpo de caracterıstica cero K .

Xn,w : xdn0 + . . .+ xdn

n − λxw00 · . . . · x

wnn ⊂ Pn × A1

{(ζ0, . . . , ζn) ∈ µn+1

dn|∏i

ζwi = 1

}/∆.

Xn,w/G ∼= Yn,w

Yn,w :

0 · . . . · xwnn = 1

x0 + . . .+ xn = λ

Familias de Dwork

Fijemos:

Xn,w : xdn0 + . . .+ xdn

− λxw00 · . . . · x

wnn ⊂ Pn × A1

{(ζ0, . . . , ζn) ∈ µn+1

dn|∏i

ζwi = 1

}/∆.

Xn,w/G ∼= Yn,w

Yn,w :

0 · . . . · xwnn = 1

x0 + . . .+ xn = λ

Familias de Dwork

Fijemos:

Xn,w : xdn0 + . . .+ xdn

n − λxw00 · . . . · x

wnn ⊂ Pn × A1

{(ζ0, . . . , ζn) ∈ µn+1

dn|∏i

ζwi = 1

}/∆.

Xn,w/G ∼= Yn,w

Yn,w :

0 · . . . · xwnn = 1

x0 + . . .+ xn = λ

Familias de Dwork

Fijemos:

Xn,w : xdn0 + . . .+ xdn

n − λxw00 · . . . · x

wnn ⊂ Pn × A1

{(ζ0, . . . , ζn) ∈ µn+1

dn|∏i

ζwi = 1

}/∆.

Xn,w/G ∼= Yn,w

Yn,w :

0 · . . . · xwnn = 1

x0 + . . .+ xn = λ

Familias de Dwork

Fijemos:

Xn,w : xdn0 + . . .+ xdn

n − λxw00 · . . . · x

wnn ⊂ Pn × A1

{(ζ0, . . . , ζn) ∈ µn+1

dn|∏i

ζwi = 1

}/∆.

Xn,w/G ∼= Yn,w

Yn,w :

0 · . . . · xwnn = 1

x0 + . . .+ xn = λ

D-modulos algebraicos complejos

Trabajaremos en la categorıa derivada de complejos cuyas cohomologıasson ciertos DX -modulos a la izquierda, D∗ (DX ).

DX es el haz de operadores diferenciales de orden finito con coeficientespolinomiales en un esquema liso X .

Localmente, con variables x1, . . . , xn, es el algebra de Weyl

An(C) := C[x1, . . . , xn]〈∂1, . . . , ∂n〉,

donde todo conmuta exceptuando la relacion xi∂i = ∂ixi − 1.

An(C) := C[x1, . . . , xn]〈∂1, . . . , ∂n〉,

D-modulos hipergeometricos sobre Gm.

αi , βj , γ numeros complejos, para i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m.

Dλ = λ∂λ ∈ DGm .

Hypγ(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm;λ) := γ∏i

(Dλ − αi )− λ∏j

(Dλ − βj)

Hγ(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm) := DGm/DGm(Hypγ(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm;λ))

Es un D-modulo holonomo, y cuando n = m es regular y viene“caracterizado”por que su caracterıstica de Euler-Poincare sea −1, surango, el unico punto de Gm en donde tiene una singularidad regular y losvalores propios de sus monodromıas locales en cero e infinito.

Hypγ(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm;λ) := γ∏i

(Dλ − βj)

Hypγ(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm;λ) := γ∏i

(Dλ − βj)

Hypγ(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm;λ) := γ∏i

(Dλ − βj)

¿He oıdo monodromıa?

Todo D-modulo regular M tiene soluciones multivaloradas en un discopuntuado con centro en sus singularidades regulares.

Son realmente funciones definidas en C visto como recubridor universal deGm mediante el morfismo ω 7→ e2πiω.

El operador monodromıa es el resultado de trasladar una unidad en elrecubridor y proyectar sobre Gm.

Viene unıvocamente determinado por M⊗OGmC((λ)), siendo λ un

parametro local en el punto λ0 y C((λ)) =(OGm,λ0

)[λ−1]. Sus soluciones

formales meromorfas se definen como

Solfλ0 := HomDGm

(M⊗OGm

C((λ)),C((λ)))

Solfλ0 := HomDGm

(M⊗OGm

C((λ)),C((λ)))

Solfλ0 := HomDGm

(M⊗OGm

C((λ)),C((λ)))

Solfλ0 := HomDGm

(M⊗OGm

C((λ)),C((λ)))

¿Y eso como se traduce en D-modulos?

Lo que queremos hallar es Kn := pn,+OYn .

Yn : xw11 · . . . · x

wnn (λ− x1 − . . .− xn)w0 = 1 ⊂ Gn

m × A1.

Zn : xw11 · . . . · x

wnn · (1− x1 − . . .− xn)w0 = λ ⊂ An × A1.

Yn − p−1n (0)

��

αn // Zn − p−1n (0)

��Gm

ιn // Gm

donde αn(x , λ) =((x1/λ, . . . , xn/λ), λ−dn

)e ιn(z) = z−dn .

Alternativamente, si λn : Zn −→ Gm viene dada porλn(x) = xw1

1 · . . . · xwnn · (1− x1− . . .− xn)w0 , Kn|Gm

∼= ι+n Kn := ι+n λn,+OZn .

Yn : xw11 · . . . · x

wnn (λ− x1 − . . .− xn)w0 = 1 ⊂ Gn

m × A1.

Zn : xw11 · . . . · x

wnn · (1− x1 − . . .− xn)w0 = λ ⊂ An × A1.

Yn − p−1n (0)

��

αn // Zn − p−1n (0)

��Gm

ιn // Gm

1 · . . . · xwnn · (1− x1− . . .− xn)w0 , Kn|Gm

Yn : xw11 · . . . · x

wnn (λ− x1 − . . .− xn)w0 = 1 ⊂ Gn

m × A1.

Zn : xw11 · . . . · x

wnn · (1− x1 − . . .− xn)w0 = λ ⊂ An × A1.

Yn − p−1n (0)

��

αn // Zn − p−1n (0)

��Gm

ιn // Gm

1 · . . . · xwnn · (1− x1− . . .− xn)w0 , Kn|Gm

Yn : xw11 · . . . · x

wnn (λ− x1 − . . .− xn)w0 = 1 ⊂ Gn

m × A1.

Zn : xw11 · . . . · x

wnn · (1− x1 − . . .− xn)w0 = λ ⊂ An × A1.

Yn − p−1n (0)

��

αn // Zn − p−1n (0)

��Gm

ιn // Gm

1 · . . . · xwnn · (1− x1− . . .− xn)w0 , Kn|Gm

Yn : xw11 · . . . · x

wnn (λ− x1 − . . .− xn)w0 = 1 ⊂ Gn

m × A1.

Zn : xw11 · . . . · x

wnn · (1− x1 − . . .− xn)w0 = λ ⊂ An × A1.

Yn − p−1n (0)

��

αn // Zn − p−1n (0)

��Gm

ιn // Gm

1 · . . . · xwnn · (1− x1− . . .− xn)w0 , Kn|Gm

Yn : xw11 · . . . · x

wnn (λ− x1 − . . .− xn)w0 = 1 ⊂ Gn

m × A1.

Zn : xw11 · . . . · x

wnn · (1− x1 − . . .− xn)w0 = λ ⊂ An × A1.

Yn − p−1n (0)

��

αn // Zn − p−1n (0)

��Gm

ιn // Gm

1 · . . . · xwnn · (1− x1− . . .− xn)w0 ,

Kn|Gm∼= ι+n Kn := ι+n λn,+OZn .

Yn : xw11 · . . . · x

wnn (λ− x1 − . . .− xn)w0 = 1 ⊂ Gn

m × A1.

Zn : xw11 · . . . · x

wnn · (1− x1 − . . .− xn)w0 = λ ⊂ An × A1.

Yn − p−1n (0)

��

αn // Zn − p−1n (0)

��Gm

ιn // Gm

1 · . . . · xwnn · (1− x1− . . .− xn)w0 , Kn|Gm

Otro cuadrado cartesiano

Zn − {xn = 1}

�(πn,λn)��

ψ // Zn−1 × (Gm − {1})

πn×λn−1

��(Gm − {1})×Gm

φn // (Gm − {1})×Gm

Las lıneas horizontales son los isomorfismos

φn : (Gm − {1})×Gm −→ (Gm − {1})×Gm

(z , λ) 7−→ (z , λ/(zwn(1− z)dn−1))

ψn : Zn − {xn = 1} −→ Zn−1 × (Gm − {1})(x1, . . . , xn) 7−→ (x1/(1− xn), · · · , xn−1/(1− xn), xn)

Otro cuadrado cartesiano

Zn − {xn = 1}

�(πn,λn)��

ψ // Zn−1 × (Gm − {1})

πn×λn−1

��(Gm − {1})×Gm

φn // (Gm − {1})×Gm

Las lıneas horizontales son los isomorfismos

φn : (Gm − {1})×Gm −→ (Gm − {1})×Gm

(z , λ) 7−→ (z , λ/(zwn(1− z)dn−1))

ψn : Zn − {xn = 1} −→ Zn−1 × (Gm − {1})(x1, . . . , xn) 7−→ (x1/(1− xn), · · · , xn−1/(1− xn), xn)

Un triangulo amoroso

Tn = {x ∈ Gnm : x1 + . . .+ xn−1 6= 0}; Mn := λn|Tn,+OTn .

Mn nos dice que es lo que perdemos haciendo induccion en(Gm − {1})×Gm en lugar de en G2

m. Con esto podemos formar eltriangulo

Kn −→ π2,+(π2φn)+Kn−1 −→ Mn.

Un triangulo amoroso

Tn = {x ∈ Gnm : x1 + . . .+ xn−1 6= 0}; Mn := λn|Tn,+OTn .

Mn nos dice que es lo que perdemos haciendo induccion en(Gm − {1})×Gm en lugar de en G2

m. Con esto podemos formar eltriangulo

Kn −→ π2,+(π2φn)+Kn−1 −→ Mn.

El teorema (I)

Teorema

Kn cumple que Hi (Kn) = 0 if i /∈ {−(n − 1), . . . , 0}, Hi (Kn) ∼= O( ni+n−1)

para todo −(n − 1) ≤ i ≤ −1, y en grado 0 se tiene la sucesion exacta

0 −→ Gn −→ H0(Kn) −→ OnGm−→ 0,

siendo Gn un D-modulo cuya semisimplificacion es

Gssn :=⊕α∈A∗

Kα ⊕Fn.

El teorema (y II)

Teorema

En la diapositiva anterior, Kα es el D-modulo de Kummer DGm/(Dλ − α),A∗n es el conjunto{

w0, . . . ,

wn, . . . ,

dn, . . . ,

}− {1},

y Fn es el D-modulo hipergeometrico

Hγ−1n

(cancel

w0, . . . ,

wn, . . . ,

); cancel

dn, . . . ,

siendo

γn =n∏

wwii /ddn

¿Como probarlo?

Usamos la caracterizacion de un D-modulo hipergeometrico antesmencionada.

Para hallar la parte OGm -libre de Kn, el rango de Gn y el valor de γnusamos la induccion, y el resto de propiedades se calculan directamente.Lo mas difıcil es hallar los autovalores de la monodromıa en el origen.

i+j!+j+H0(Kn) ∼= Cdim Solf0(H0(Kn))

H0(i+H0(Kn)

) ∼= Hn−2s (A)

¿Como probarlo?

Usamos la caracterizacion de un D-modulo hipergeometrico antesmencionada.

Para hallar la parte OGm -libre de Kn, el rango de Gn y el valor de γnusamos la induccion, y el resto de propiedades se calculan directamente.Lo mas difıcil es hallar los autovalores de la monodromıa en el origen.

i+j!+j+H0(Kn) ∼= Cdim Solf0(H0(Kn))

H0(i+H0(Kn)

) ∼= Hn−2s (A)

D-modulos p-adicos sobreholonomos

Muy superficialmente, son modulos sobre el haz de operadores diferencialesde orden infinito y coeficientes sobreconvergentes, que ademas satisfagancierta condicion de sobreconvergencia en los sımbolos de las derivadas.

Desde hace ya bastantes anos, el trabajo de muchos matematicos(Berthelot, Mebkhout, Narvaez Macarro, Christol, Arabia, Caro, etc.) hadado lugar a que hoy en dıa sepamos que es la categorıa adecuada en laque trabajar.

D-modulos p-adicos sobreholonomos

Muy superficialmente, son modulos sobre el haz de operadores diferencialesde orden infinito y coeficientes sobreconvergentes, que ademas satisfagancierta condicion de sobreconvergencia en los sımbolos de las derivadas.

Desde hace ya bastantes anos, el trabajo de muchos matematicos(Berthelot, Mebkhout, Narvaez Macarro, Christol, Arabia, Caro, etc.) hadado lugar a que hoy en dıa sepamos que es la categorıa adecuada en laque trabajar.

Gracias

Figura: Una variedad singular.

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