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Cálculo Matricial y Sistemas de EcuacionesFacultat d'Informàtica de Barcelona

PILAR SOBREVILLA FRISÓN

DEPT. MATEMÀTICA APLICADA IIUNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA

2

� �

1 21 1 11 22 2 2

1 2

con ; 1 , 1 A

m

m

j ji i

mn n n

a a aa a a

a a i n j m

a a a

� �� � �� �

� � �� �� �� � � � � �

� � � � � � �� �� � � � � �� �

� �� � � � � �� �� �� � �

�����

I.- Matrices. Operaciones con matrices.

II.- Rango de una matriz. Sistemas lineales. Matriz inversa. 

I . - M A T R I C E S . O P E R A C I O N E S C O N M A T R I C E S

I.1.- Def inic iones

Definición: Una matriz nxm con coeficientes en un cuerpo � , es una tabla del tipo:

� Los elementos 1 2 , , , mi i ia a a⋅ ⋅ ⋅ forman la i-ésima fila de A.

� Los elementos 1 2 , , ,j j jna a a⋅ ⋅ ⋅� forman la j-ésima columna de A.

� A tiene n filas y m columnas

� � � �� �Matrices 1 1A ;j jinxm iM a i n, j ma� � � � � � �� �

3

� Las matrices del tipo nx1 se denominan Vectores Columna:

1

2

j

j

j

jn

aa

a

a

⋅

⋅

⋅

� �� �� �� ��� �� �� �� �� �

� Las matrices 1xm se denominan Vectores Fila: � �1 1 mi i i ia a a a� ⋅ ⋅ ⋅

� Toda matriz A se puede expresar como un vector fila (columna) de vectorescolumna (fila)

� �

12

1 2A m

n

aa

a a a

a

� �� �� ��� � � � � � ��� ��� �� �

� Si n = m, A es una matriz cuadrada: Mn( � �� � 1) A ; ,j ji ia i j na� � � � ���

� Los elementos 1 11 1 , , , n

na a a⋅ ⋅ ⋅ de una matriz cuadrada forman su Diagonal.

I .2 . - Tipos especiales de matrices cuadradas

� Matriz Simétrica: ; ,j ii ja a i j� � .

� Matriz Antisimétrica: ; 0 ,j i ii j ia a i j a i� � � � � � .

� Triangular Superior: jia = 0 �i >j �

1 2 31 1 1 1

2 32 2 2

33 3

00 0

0 0 0

A

n

n

n

nn

a a a aa a a

a a

a

� �� �� �� ��� �� �� �� �

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

� Triangular Inferior: jia = 0 �i < j �

111 22 21 2 33 3 3

1 2 3

0 0 00 0

0A

nn n n n

aa aa a a

a a a a

� �� �� �� ��� �� �� �� �

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

4

� Diagonal: jia = 0 �i�j ��

11

22

0 00 00 0 0

0 0

A

mn

aa

a

� �� �� �

� �� �� �� � �� �� � � � �� �

� �� �� �

� Matriz escalar u homotecia de razón �:

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0

A

�

�

�

�

�� �� ��� �

� � ��� �� � � � �� �

� ��� �

.

Si �=1, se denomina matriz Identidad, y se denota In

I .3 . - Operaciones con matrices:

� Suma de matrices: Dadas � � � �, A B ( )j ji i nxmMa b� � � � , su suma es la

matriz:

� � t.q. A B ( ) , .j j j ji i i inxmM i jc c a b � � ��

Propiedades: � A, B, C � Mnxm(� ), se cumple

1. Asociativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C )

2. Conmutativa: A + B = B + A

3. � Neutro O� Mnxm(� ) matriz de ceros t.q. A + O = O + A = A

4. �A � matriz opuesta � �A jia� � � t.q. A + (�A) = �A + A = O

� ( Mnxm (� ); + ) es Grupo Conmutativo

� Producto de matrices: Dadas � � � �( ), ( ) A B jki nxp k pxma M b M� � � �� � , su

producto es la matriz � �A B ( )ji nxmc M� � � � t.q.

; 1 11

,ji

jki k

pc a b i n j m

k� � � � � ��

�

5

Propiedades: � A� Mnxp(� ); B, B1 y B2 � Mpxm(� ); C � Mmxl(� ), el

producto de matrices verifica las siguientes propiedades:

1. Asociativa: ( A x B ) x C = A x ( B x C )

2. Distributiva respecto de la suma: A x (B1 + B2) = ( A x B1) + ( A x B2)

3. � Neutros a izquierda y a derecha: In x A = A x Ip = A, donde

In� Mn(� ) y Ip� Mp(� ) son matrices identidad.

4. No Conmutativa: En general A x B � B x A

5. �n es interno en Mn(� )

6. No todas las matrices son invertibles

� ( Mn (� ); +, � ) es Anillo Unitario no Conmutativo

� Producto de una matriz por un escalar: Dados � � ( ) y A ji nxma M �� � �� �

� � A A ( )ji nxma M� � � ⋅� � � �

Propiedades: � A, C� Mnxp(� ), B � Mpxm(� ), � y � �� ; se cumplen

1. (� � ) A = � (� A )

2. � (A x B ) = (� A ) x B = A x (� B )

3. (� +� ) A = (� A ) + (� A )

4. � (A + B ) = (� A ) + (� B )

� Trasposición de matrices: Dada � � ( )A ji nxma M� � � , su matriz traspuesta es:

� � t.q. tA ( )j j ii mxn i jb M b a� � ��

Propiedades: � A, C� Mnxp(� ), B � Mpxm(� ), � �� , se cumplen

1. (A + C )t = At + Ct

2. (� A )t = � (At )

3. (A x B )t = Bt x At

4. Si A es invertible, entonces At es invertible y (At)�1 = (A�1) t

6

I I . - R A N G O D E U N A M A T R I Z . S I S T E M A S L I N E A L E S .

M A T R I Z I N V E R S A

II.1.- Rango de una matriz

Definición: Dada A� Mnxm(� ), se denomina Menor de orden l de A a toda matriz

cuadrada de Ml(� ), formada por los elementos de l filas y l columnas de A,

siendo l � min {n, m}.

Definición: El rango de una matriz A - rg(A) - es el orden (número de filas y

columnas) de su mayor menor con determinante no nulo.

Cálculo de rangos:

� Realizar una Transformación Elemental de Filas (columnas) sobre A, consiste

en hacer una de las operaciones siguientes:

1. Permutar filas (columnas).2. Sumar a una fila (columna) un múltiplo de otra.3. Multiplicar una fila (columna) por un escalar no nulo.

� Dos matrices son Equivalentes por Filas (columnas) si se puede pasar de una a

otra mediante transformaciones elementales de filas (columnas).

� Dos matrices son Equivalentes si se puede pasar de una a otra mediante

transformaciones elementales de filas y columnas.

Propiedades:

1. Una Familia F = { vvv l���

21 }, de l vectores columna, es Linealmente

Independiente si la matriz 1 2( )A lv v v� � � � , que los contiene por

columnas, tiene rango l.

2. La Familia F es Linealmente Dependiente si el rango de A es menor que l.

7

II.2.- S is temas Lineales

Definición: Un Sistema Lineal, de m ecuaciones y n incógnitas, con coeficientes en

un cuerpo � , es una tabla del tipo:

1 21 1 1 2 1 11 22 1 2 2 2 2

1 21 2

. . . . . . . .

nn

nn

nm m m n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

� � � � � � � ��

� � � � � � ����� � � � � � � ��

t.q. los jia �� son los coeficientes, los ib �� los términos imdependientes,

y las xj las incógnitas del sistema.

� Forma matricial: AX = b, siendo

A� Mmxn(� ) matriz del sistema.

X� Mnx1(� ) vector columna incógnita.

b� Mmx1(K) vector columna término independiente.

B = (A�b)� Mmx(n+1)(� ) matriz ampliada.

Estudio de las soluciones de un sistema

1.- rg(A) < rg(B) � Sistema Incompatible (S.I.). No existen soluciones.

2-1.- r = n � Sistema Compatible Determinado

(S.C.D.) (Solución única)

2-2.- r < n � Sistema Compatible Indeterminado(S.C.I.) (Solución no única)nr = de grados de libertad

Métodos de solución:

1. Gauss: Se aplican las transformaciones elementales de filas (y, eventualmente,

permutaciones de columnas) para obtener un sistema equivalente (con las

mismas soluciones), cuya matriz ampliada asociada sea reducida (por ejemplo,

triangular). Se resuelve el sistema asociado a dicha matriz ampliada.

2.- rg(A) = rg(B) = r

(S.C.)

8

Ejemplo:

x+2y=1x+y+t=1x+3y+4z+2t=12x+6y+2z+2t=2

Para resolver el sistema, aplico transformaciones elementales de filas a B = (A�b)

1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 0 11 1 0 1 1 0 -1 0 1 0 0 -1 0 1 0 0 -1 0 1 01 3 4 2 1 0 1 4 2 0 0 0 4 3 0 0 0 2 4 02 6 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 2 4 0 0 0 0 -5 0

1 2 0 0 1 x+2y=1

0 -1 0 0 0 y=0 y = z = t = 0 Solución0 0 2 0 0 2z=0 x = 1 (1, 0, 0, 0)0 0 0 1 0 t=0

2. Cramer: Cuando el sistema es Compatible Determinado (r = n) X=A�1b.

Sistemas Homogéneos: AX=O

� Los sistemas homogéneos son siempre Compatibles. (siempre es rg(A) = rg(B))

Solución Trivial: x1= x2= � � � = xn= 0

� El número máximo de soluciones independientes coincide con el número de

grados de libertad del sistema.

� Si el sistema tiene más incógnitas que ecuaciones, el sistema tiene infinitas

soluciones ( rg(A) < n ).

� Si el número de incógnitas y ecuaciones coincide, ha de ser �A�= 0 para que

existan soluciones diferentes de la trivial.

Ejemplo:

2xmy+ 4z = 0 2 m 4 x+ y+ 7z = 0 � A = 1 1 7 � �A�= 7m2 + 9m + 36mx y+13z = 0 m 1 13

�A�=0 � m = 12/7 ó m = 3

~Todas –1ª

~3ª y 4ªcon 2ª

4ªx-(1/5)

~2ª –4ª

3ª –4ªx4

~permuto3ª y 4ª.4ª-3ªx2

~

� � �

9

Si m = 12/7

1 1 7A 0 1 35 � S.C.I. con 1 grado de libertad

0 0 0

Si m = 3

1 1 7A 0 1 2 � S.C.I. con 1 grado de libertad

0 0 0

II.3.- Matriz Inversa

Definición: Dada A� Mn(� ), se dice que es invertible si � B� Mn(� ) t.q.:AB=BA=In

B se denomina Matriz Inversa de A, y se denota B=A�1

Propiedades:

1. La inversa de una matriz es única.

2. Si A y B� Mn(� ) son invertibles, entonces AB es invertible y ( AB )�1= B�1A�1

3. Si A� Mn(� ) es invertible y k� � (k�0), entonces:� k A es invertible y ( k A )�1= (1/k) A�1

� A�1 es invertible y ( A�1 )�1= A� An es invertible y ( An )�1= ( A�1 )n

Cálculo de la matriz inversa:

1. A=( jia ) � A�1=( j

ib ) t.q.

1 siendo ( 1) el adjunto de A AAj ji i ij i

j j ji ib aM�� � �

2.

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

jia

� �� �� �� �� �� �

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

jib

� �� �� �� �� �� �

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

~

Mediantetransformaciones

elementales de filas

A In In A�1

~

10

Ejemplo:

1 2 3A = 2 5 3

1 0 8

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 0 0 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 01 0 8 0 0 1 0 2 5 1 0 1 0 0 1 5 2 1

- - - -- - - -

� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

∼ ∼ ∼

1 2 3 1 0 0 1 2 0 14 6 30 1 3 2 1 0 0 1 0 13 5 3 0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1

-- - - -

- - - -

� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �

∼ ∼ ∼

1 0 0 40 16 9 0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1

-- -- -

� �� �� �� �� �

∼

2ª fila + (1ªx (-2)) 3ª fila + (2ªx2)3ª fila � 1ª fila

I3 A�1

3ª fila x (-1) 1ª fila + (3ª x (-1)) 1ª fila + (2ª x (-2))