Agujero Negro Regular en La Geometria de Schwarzschild de Sitter-Introduccion a La Astrofisica

7/25/2019 Agujero Negro Regular en La Geometria de Schwarzschild de Sitter-Introduccion a La Astrofisica

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Trabajo Final:

Introduccion a la Astrofsica de Agujeros Negros

Agujero negro regular en la geometra

de Schwarzschild-de Sitter

Carolina Soledad Negrelli

La Plata, Mayo de 2014

Facultad de Ciencias Astronomicas y Geofsicas

Universidad Nacional de La Plata


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Indice

1. Introduccion 1

1.1. Agujeros negros singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Primeras ideas sobre agujeros negros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Geometra de de Sitter 3

3. Agujero negro de Schwarzschild-de Sitter 3

3.1. Vaco esfericamente simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2. Metrica de Schwarzschild-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2.1. El tensor de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2.2. El tensor de energa-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.3. La funcion m(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.4. La solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3. El tensor de energa-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4. Los horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5. Las coordenadas de Eddington-Finkelstein y la regularidad de la metrica . . 83.6. El escalar de Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Agujero negro regular como producto del colapso gravitatorio 8

4.1. Ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2. Ecuacion de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3. La solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4. Equilibrio de la configuracion interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4.1. Termodinamica de la materia dentro del horizonte . . . . . . . . . . 144.4.2. Equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4.3. Equilibrio dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Conclusiones 19

I


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1. Introduccion

1.1. Agujeros negros singulares

La solucion a las ecuaciones de Einstein mas estudiada es la metrica de Schwarzschild

ds2 =

1rs

r

c2dt2

dr2

1rsr

r2 d2 + sin2 d2 , (1)con

rs=2GM

c2 , (2)

donde M es la masa de la fuente medida por un observador distante. La geometra deSchwarzschild describe al campo gravitacional producido por una masa esferica en unespacio-tiempo vaco.

Esta metrica esfericamente simetrica es usada para describir el resultado del colap-so gravitatorio, i.e. un agujero negro, cuando el momento angular, la carga electrica ymagnetica de la estrella colapsante son nulas. En este caso, el tensor de energa-impulsoresponsable de la geometra es igual a cero en todo punto excepto en r = 0, donde ladensidad de energa es infinita. Ademas, los invariantes de Riemman tambien tienden ainfinito cuandor 0 y la nocion estandar de la geometra espacio-temporal pierde sentidoall. Decimos entonces, que en r= 0 hay una singularidad.

Hemos aprendido a aceptar la idea que la Teora de la Relatividad General prediceagujeros negros y tambien singularidades. Sin embargo, la presencia de esta ultima sueleser una motivacion para remarcar que esta teora es inadecuada para describir el espacio-

tiempo debajo de una cierta escala de longitudes.Esto ha incentivado la busqueda de una teora de la gravedad mas completa que incluyalos efectos cuanticos. Se espera que esta teora admita un estado con curvatura finita comoresultado final del colapso gravitatorio. Otro punto de vista, es pensar que la presencia delas singularidades simplemente refleja nuestra falta de entendimiento de las propiedadesde la materia ba jo condiciones extremas. Se sugiere que las singularidades podran ser evi-tadas si se rela jan algunas de las condiciones impuestas a la materia colapsante. Tambiense han hecho muchos esfuerzos para llevar la teora de Einstein al lmite tratando de evitarla singularidad.

Es interesante entonces, considerar si las singularidades pueden ser evitadas en pre-

sencia de horizontes. A las soluciones en las que esto sucede se las llama agujeros negrosregulares.

1.2. Primeras ideas sobre agujeros negros regulares

Una singularidad inevitable como estado final del colapso de un cuerpo masivo es elresultado de los teoremas de singularidades probados por Penrose, Hawking y Geroch enla segunda mitad de los anos sesenta. Una de las condiciones en las que se basan estos

1


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teoremas es la Condicion Fuerte de Energa, que establece que para cada vector tipo tiempou

T

1

2g

Tuu 0. (3)Esta condicion garantiza que en el colapso gravitatorio la contraccion sea ilimitada.

La primer semilla de lo que eventualmente llevara a la idea de agujero negro regularfue la propuesta de A. D. Sakharov a mediados de los a nos sesenta que consideraba quepresion=-densidad de energaera la ecuacion de estado apropiada para describir el estadode la materia y energa a altas densidades. Esta ecuacion de estado es la misma que obedecela constante cosmologica.

Luego en 1966, E. B. Gliner sugirio que a muy altas densidades todo tipo de partculapierde su identidad de materia sufriendo una transicion a un estado de vaco descripto porel tensor de energa impulsoT =g y la geometra de de Sitter. La caracterstica masimportante de la geometra de de Sitter es la divergencia de las geodesicas. La gravedadactua de forma tal que las partculas libres se comportan como si fueran repelidas desdeel centro. Con esto en mente, Gliner sugirio que si un estado fsico de vaco de este tipopuede lograrse durante un colapso, entonces la contraccion podra ser detenida y un estadode vaco sera el estado final de un colapso gravitatorio, en vez de una singularidad. Estapropuesta, que debera haber ayudado a deshacerse de la singularidad, no fue avalada enese tiempo por una solucion exacta a las ecuaciones de Einstein.

La primer solucion regular de las ecuaciones de Einstein con horizontes fue obtenidaen 1968 por J. M. Bardeen. Esta es solucion a las ecuaciones en presencia de un campoelectrico, como la bien conocida solucion de Reissner-Nordstrom, y es parametrizada porla masa m y la carga e. Para r pequenos, la metrica se comporta como la de de Sittery es asintoticamente Schwarzschild para r grandes. Es decir que, la solucion de Bardeenes el primer caso concreto que plasma las ideas de Sakharov y Gliner reemplazando lasingularidad por un nucleo de de Sitter regular.

A partir de estas ideas, es natural que se pensara en reemplazar el interior de un agu-jero negro de Schwarzschild por el espacio-tiempo de de Sitter. En 1988, E. Poisson y W.Israel postularon que la transicion de un espacio-tiempo de Schwarzschild a uno de deSitter es posible pero que es necesario interponer una capa de material no-inflacionario enla interfase.

Vamos a tratar de mostrar como la solucion de de Sitter y la fsica subyacente puedenarrojar luz en uno de los mas dramaticos problemas fsicos: el problema de las singula-ridades. En la primer parte de este trabajo encontraremos cual es la geometra generadapor un espacio-tiempo vaco con constante cosmologica no nula y mostraremos que estageometra describe un agujero negro regular. En la segunda parte, consideraremos a esteagujero negro regular como el resultado de un colapso gravitatorio y analizaremos comodebe ser el tensor de energa-impulso y que propiedades debe tener la materia involucra-da. Luego, analizaremos la propiedades termodinamicas del modelo y mostraremos que estermodinamica y dinamicamente inestable.

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2. Geometra de de Sitter

En 1917 Willem de Sitter publico su solucion cosmologica

ds2 =

1

r2

r02

c2dt2

dr2

1

r2/r20 r2 d2 + sin2 d2 , (4)

con r20 = 3/ donde la constante cosmologica es la responsable de la geometra.Recien quince anos despues, se comprendio que la metrica de de Sitter es la solucion a

las ecuaciones de Einstein en el vaco con constante cosmologica. Por lo tanto, la geometrade de Sitter es generada por un vaco con densidad de energa no nula = c4/8Gdescripta por el tensor de energa-impulso

T =g, (5)

con ecuacion de estadop= (6)

donde p es la presion del fluido.De la ecuacion de conservacion T; = 0 se obtiene que es constante, implicando p

constante. Por lo tanto, el tensor de energa-impulso (5) describe un vaco isotropico.

Los resultados de la ultima decada del WMAP han confirmado que nuestro universo esdecripto por el modelo cosmologico CDM cuya componente de energa oscura es equiva-lente a una constante cosmologica > 0. Esta energa oscura representa casi tres cuartosdel contenido total de energa del universo (0,728 0,738).

El primer indicio de la existencia de la componente de energa oscura fue obtenido en1998 cuando el analisis de datos de supernovas tipo Ia dejo nos mostro una expansionacelerada del universo. La responsable de esta expansion acelerada sera la energa oscura.Esto es debido a su presion negativa p = , con < 1/3. El mejor ajuste para es= 1 que se corresponde con una constante cosmologica > 0.

A pesar de que haya tenido una contribucion despreciable en el universo temprano, ladensidad de energa de todas las demas componentes (materia normal, materia oscura fraradiacion, neutrinos y ondas gravitacionales) decrece a medida que el universo se expande.Entonces, tuvo que volverse dominante en algun momento del pasado y por eso hoytenemos una expansion acelerada. En un futuro distante, todas las demas componentesseran varios ordenes de magnitud menores que y se volveran despreciables. En este

estado final, el tensor de energa-impulso va a estar dado por (5). Como vimos, la soluciona las ecuaciones de Einstein con esta fuente es el espacio-tiempo de de Sitter.

3. Agujero negro de Schwarzschild-de Sitter

3.1. Vaco esfericamente simetrico

El vaco es definido como el tipo de materia que no permite un marco de referencia pre-ferencial. Entonces, cualquier marco de referencia es comovil con el vaco. Esta propiedad

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no solo se cumple para el vaco estandar T = 0. Por ejemplo, el tensor de energa-impulso(5) describe un vaco isotropico. Tambien existen otras posibilidades.

Si exigimos simetra esferica el tensor de energa-impulso debe cumplir que T22 = T33

con todas sus componentes espaciales cruzadas nulas. Un tensor de energa-impulso de laforma

T22 =T33 y T

00= T

11 (7)

tiene un conjunto infinito de marcos de referencia comoviles, de acuerdo con la clasifica-cion de Petrov. Entonces, puede ser interpretado como el tensor de energa-impulso quedescribe al vaco esfericamente simetrico. En general, este vaco es anisotropico. De la cla-sificacion de Petrov se tiene que existe solo un tipo de estructura algebraica del tensor deenerga-impulso que describe al vaco esfericamente simetrico.

Mostraremos que el vaco esfericamente simetrico puede generar una solucion de agujero

negro que es regular en r = 0 y en cualquier otro punto.

3.2. Metrica de Schwarzschild-de Sitter

3.2.1. El tensor de Einstein

La metrica esfericamente simetrica y estatica mas general tiene la forma

ds2 = e(r)dt2 + e(r)dr2 + r2

d2 + sin2 d2

, (8)

donde hemos considerado c = 1. A partir de los coeficientes g podemos calcular lasconexiones

=

1

2 g

(g+ g g) , (9)

el tensor de Ricci

R=

+

, (10)

el escalar de RicciR= gR, (11)

y el tensor de Einstein

G=R1

2gR. (12)

Las primeras dos componentes de este ultimo son

G00 = e+

1 + e + r

r2

(13)

G11 = 1 e + r

r2 (14)

donde =d/dr y =d/dr.

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3.2.2. El tensor de energa-impulso

Utilizando la ecuacion de Einstein

G= 8T, (15)

donde consideramos G = 1, encontramos que

G00 = g0G0 = g

00G00 = eG00= 8T

00 (16)

G11 = g1G1 = g

11G11 = eG11 = 8T

11 . (17)

Como en nuestro caso pedimos que T00 = T11 , entonces e

G00 = eG11. Lo cual

nos lleva a la condicion

+ = 0. (18)

Dado que estamos buscando una solucion esfericamente simetrica y estatica, al integrarobtenemos que + = 0.

Debemos asumir una forma especfica para el tensor de energa-impulso (7). Pedimosque

T00 =T11 = exp

r3

r20rs

, (19)

donde

r20 = 3

8. (20)

3.2.3. La funcion m(r)

Definimos una nueva funcion m(r) como :

m(r) = r

2(1 e) . (21)

Resolviendo la ecuacion (16) y considerando que el tensor de energa-impulso es el de unfluido ideal se encuentra

dm(r)

dr = 4r2T00 , (22)

que coincide con la formula estandar de la masa

m(r) = 4

r0

T00 r2dr. (23)

Reemplazando (19) obtenemos

m(r) = rs

2

1 exp

r3

r20rs

. (24)

Cuando r nos da la masa total Mque esta relacionada con rs segun (2).

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Despejando (21) tenemos que

e = 12m(r)

r , (25)

y considerando que + = 0, entonces

e = 1

1 2m(r)r

. (26)

3.2.4. La solucion

Definimos

Rg(r) = 2m(r) =rs

1 exp

r3

r3

(27)

conr3 =r

20rs. (28)

ReemplazandoRg(r) en (8) llegamos finalmente a

ds2 =

1

Rg(r)

r

dt2 +

dr2

1 (Rg(r)/r)+ r2

d2 + sin2 d2

. (29)

Esta es una solucion exacta a las ecuaciones de Einstein con simetra esferica. Parar r coincide con la solucion de Schwarzschild (1), y para r r se comporta como lasolucion de de Sitter (4).

3.3. El tensor de energa-impulso

Queremos obtener las componentes restantes del tensor de energa-impulso. Como pedi-mos simetra esferica, i.e T22 =T

33 , solo sera necesario calcular una de las dos componentes.

De la misma forma que obtuvimos (16) y (17) encontramos que

G22= r

4e

2 + r2

2 + r

+ 2r

. (30)

A partir de las ecuaciones de Einstein (15) y considerando (25) y (27) llegamos a que

T22 =T33 =1

3r3

2r3 expr3

r3. (31)Entonces, nuestro vaco esfericamente simetrico es anisotropico pues (19) y (31) no

tienen por que ser iguales. Sin embargo, cuando r r tenemos isotropa pues T00 =

T11 =T22 =T

33 =. Lo mismo sucede para r r, pues todas las componentes del tensor

tienden rapidamente a ceroT00 =T11 =T

22 =T

33 = 0 y obtenemos el vaco estandar que es

isotropico.

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3.4. Los horizontes

La metrica (29) tiene dos horizontes, el externor+ y el interno r

r+= rs

1 exp

r2sr20

r= r0

1

r04rs

. (32)

Para encontrar estas expresiones hay que ver donde divergen las componentes de lametrica. Por lo tanto, buscamos que

Rg=rs

1 exp

r3

r3

= r. (33)

Debido a que g00(r+) = 0, la metrica (29) describe un objeto con las mismas propieda-des que aquellas que definen a un agujero negro: no puede enviar ninguna senal al exteriory solo interactua con su ambiente a traves de su campo gravitacional. Es decir, el horizonteexteriorr+ es un horizonte de eventos.

El horizonte internor es un horizonte de Cauchy. Es decir, que dentro de el no puedohacer predicciones con los datos que conozco. La cada de la predictibilidad supone un serioproblema tanto para el interior de un agujero negro como para multiples espacio-tiemposconectados.

r+ yr coinciden para una dada masa Mcr que se corresponde con el llamado agujeronegro extremo. Este valor pone un lmite inferior a la masa del agujero negro. Es interesanteremarcar que SiM < Mcrla geometra de Schwarzschild - de Sitter describe una estructuratipo partcula autogravitante sin horizontes llamada G-lump tal como se muestra en laFigura 1.

Figura 1: La funciong(r) = 1Rg(r)/rpara la configuracion de Schwarzschild - de Sitter.La masa M esta normalizada de forma tal que Mcr= 1. Si M > Mcr la metrica describeun agujero negro no singular con dos horizontes.Si M=Mcrse corresponde con un agujeronegro extremo cuyos horizontes coinciden. Si M < Mcr no hay horizontes y tenemos unG-lump.

Ambos horizontes son singularidades que pueden ser removidas de la metrica por mediode un cambio de coordenadas apropiado.

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3.5. Las coordenadas de Eddington-Finkelstein y la regularidad de la

metrica

Para encontrar la entension analtica maxima de la metrica (29) debemos introducirlas coordenadas isotropicas de Eddington-Finkelstein. En estas la solucion (29) esta dadapor

ds2 =

1Rg(r)r dudv+ r2 d2 + sin2 d2 (34)

que es regular en r+ y r. Ademas, cuando r 0 podemos aproximar la exponencialdentro de Rg de forma tal que Rg(r) r

3/r20 y vemos que la metrica tambien es regularen este lmite. Por lo tanto, la solucion aqu presentada es regular en todo punto.

3.6. El escalar de Riemman

El invariante cuadrado del tensor de Riemann R2 =RR tiene la forma

R2 = 4R2g(r)

r6 + 4

3

r20er

3/r3

Rg(r)

r3

2+

2Rg(r)

r3

9r3

r40rser

3/r3

. (35)

Para r 0, R2 es finito y tiende al valor de de Sitter R20 = 24/r40 que naturalmente

parece ser el limite al valor de la curvatura espacio-temporal. Todos los demas invariantesson tambien finitos.

4. Agujero negro regular como producto del colapso gravi-

tatorio

4.1. Ecuaciones de Einstein

Por simplicidad, asumimos que un objeto colapsante puede ser descripto razonable-mente por una geometra estatica y con simetra esferica como la de la ecuacion (8). Apartir de la ecuaciones de Einstein (15) obtenemos

8(r) = e

r

1

r2

+

1

r2 (36)

8pr(r) = e

r

+ 1

r2 1

r2

(37)

8p(r) = e

2

4 +

2

4 +

2r

(38)

donde = T00 es la densidad de energa, pr = T11 es la presion radial y p = (p =

T22 ) = (p= t33) es la presion tangencial. Por lo tanto, tenemos un fluido anisotropico con

T22 =T33 =T

11 =T

00 .

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4.2. Ecuacion de estado

Debemos construir la ecuacion de estado pr() en la direccion radial que reproduzca

las caractersticas de un cuerpo colapsado con las simetras indicadas. Por otro lado, laecuacion de estado de la presion tangencial p() la derivaremos luego a partir de lasecuaciones de Einstein usando la funcion de la presion radial pr() construida.

Las principales caractersticas que vamos a pedirle a nuestra ecuacion de estado pr()son

1. que cambie desde la ecuacion de estado asociada con la materia usual, a bajas densi-dades, hasta la asociada con la geometra de de Sitter a densidades muy altas cercadel centro de la configuracion;

2. que este cambio sea bien comportado.

Consideramos la siguiente forma generica para la ecuacion de estado

pr=

( + 1)

max

m max

1n

(39)

donde m y 1/nson numeros reales y positivos y es un parametro libre a encontrar.Esta ecuacion implica la presencia de una densidad maxima max concentrada en unaregion de radio r0=

1/max, que consideramos como el nucleo de la configuracion.

A bajas densidades, i.e

max

m

+ 1, (42)

la presion decrece de forma tal que

pr= max= (43)

con la densidad de energa en el espacio de de Sitter.

Dado que la ecuacion (39) ya cumple con las caractersticas generales que requerimospara el modelo, su forma especfica (basada en la eleccion apropiada de los ndices m, n ydel parametro) la eligiremos teniendo en cuenta las siguientes condiciones basicas

1. no tiene que tener patologas, es decir, la velocidad del sonidodp/d no puede sermaxima en = 0. Ademas, la velocidad maxima en el punto donde d2p/d2 = 0tiene que estar dada por dp/d= c2s =c = 1;

2. tiene que satisfacer la condicion de energa debil, 0, +pr 0, y la condicionde energa dominante, 0, pr[, +].

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Los casos

m= 1, 1/n= 0;

m= 2, 1/n= 0

son patologicos. Los siguientes casos mas simples son

m= 1, n = 1;

m= 2, n = 1

En estos ultimos no hay patologas y cs 0 cuando 0.

Si les pedimos que satisfagan dp/d = 1 y d2p/d2 = 0 obtenemos, en el primercaso, dos valores posibles para el parametro, mientras que en el segundo, solo uno.Usaremos este ultimo por simplicidad.

Entonces,

pr=

( + 1)

max

2 max

, (44)

con = 2,2135. El comportamiento de esta funcion se puede ver de la Figura 2

Figura 2: Ecuacion de estado: Pr()

No es nuestra intencion estudiar la evolucion dinamica del colapso. Asumimos queel cuerpo colapasado ya ha llegado a un estado de equilibrio.

Esperamos tener cuatro regiones en el espacio-tiempo:

Region I Vaco de Schwarzschild con p = = 0 si R < r < .

Region II Campos de materia regular con 0< p y >0 si 0,4R < r < R.

Region III Campos de materia exotica con 0 < < max y max < p < 0 sir0< r


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Region IV Vaco con constante cosmologica con p = = max si 0 r r0.

Donde

R3

= 8rsr20, (45)

con rs el radio de Schwarzschild (2) y r20 = 3/8max de (20).

Por lo tanto, pedimos que la solucion a las ecuaciones (36), (37) y (38) satisfaga lassiguientes condiciones:

1. El espacio-tiempo debe ser asintoticamente Schwarzschild para valores grandesder, es decir,R < r < . La metrica tendra la forma (1).R es tal queR


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Para completar formalmente la solucion debemos encontrar p = {p , p}. Seobtiene que

p= pr+r

2pr+

1

2(pr+ )

m(r) + 4r3pr

r 2m(r)

. (50)

El comportamiento de esta funcion se muestra en la Figura 3. Observemos que cuan-do 0 y m(r) M, e = e = 1 2mr y por lo tanto, fuera de la masa,el espacio-tiempo es asintoticamente Schwarzschild. Ademas, en el lmite r r0, max tanto pr como p tienden a max. Entonces, para 0 r < r0 el fluidotiene una densidad constante positiva max y una presion constante negativa maxpor lo que toma la forma de un espacio-tiempo de de Sitter cuya ecuacion de estadoes p = max.

Figura 3: Presion tangencial como funcion de la coordenada radial

Para estudiar en detalle el comportamiento de la metrica para rpequenos es necesarioelegir un perfil de densidad. Por su simplicidad puede utilzarse el perfil dado por laecuacion (19)

(r) =max exp

r3

rsr0

, (51)

que en funcion de (45) es

(r) =maxexp

8

r3

R3

. (52)

De esta expresion podemos ver que casi toda la masa esta contenida en una esfera deradio R que se corresponde con la superficie del objeto y que est a contenida dentrodel horizonte.

La introduccion de la funcion densidad en la metrica (48) nos da una solucion parti-cular para el modelo. La presion radial como funcion de la coordenada r se muestra

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en la Figura 4. Podemos ver que la presion sigue la ecuacion p = en el nucleode la configuracion, y es cero en r/R = 1 que es la superficie de la regi on con ma-teria. Tambien hay otro cero localizado en r/R = 0,28, dos puntos de inflexion en

r/R = 0,26 y r/R = 0,5 y un maximo absoluto enr/R = 0,4. La materia exotica, quees aquella en la que la presion decrece cuando aumentar, ocupa la regionr/R


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4.4.1. Termodinamica de la materia dentro del horizonte

La temperatura de la materia como funcion del radio puede ser estimada utilizando

las leyes de la termodinamica

T dS= d(V) +prdV, (53)

dondedV es un elemento de volumen en el sistema de referencia propio del fluido.Usando que

2/V T =2/TS, (54)

obtenemos

dpr=+pr

T dT. (55)

Reemplazando (19) y (39) e integrando obtenemos la temperatura como funcion

de la coordenada radial. El resultado se muestra en la Figura 5. Notemos que latemperatura tiende a cero cerca del nucleo. Hay solo un maximo en r/R= 0,4. Lospuntos de inflexion se encuentran en r/R= 0,31 y r/R= 0,57.

Figura 5: Temperatura como funcion der.Tsup es la temperatura de la materia en r = R.

SustituyendoT(r) en (53) encontramos la expresion de la entropa como funcion dela coordenada radial

S +p

T V (56)

El resultado se muestra en la Figura 6. La entropa tiende a cero cuando r 0. Sumaximo esta aproximadamente en r/R = 0,4, en la region de mayor densidad de lamateria normal.

La densidad de entropa tambien puede ser calculada en funcion de r y de . Losresultados los mostramos en las Figuras 7 y 8 respectivamente. Podemos ver quela densidad de entropa diverge en el origen como resultado de que el volumen sevuelve nulo. En el caso de la densidad de entropa como funcion de la densidad, hayun punto de inflexion en /max que se corresponde con r/R = 0,34.

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Figura 6: Entropa del campo de materia como funcion de la coordenada radial. Ssup

es laentropa en r = R.

Figura 7: Densidad de entropa en funcion de r .

La velocidad del sonido radial se calcula considerando que v2r =dp/d. El resultadose muestra en la Figura 9.

De las Figuras 4 y 9 vemos que la velocidad del sonido es cero cuando la presi on es

maxima. Ademas, la velocidad del sonido toma valores complejos para r/R < 0,4,lo cual concuerda con la pendiente negativa de la ecuacion de estado. El hechode que las ondas sonoras no se propaguen en esta regiones una consecuencia delcomportamiento del fluido exotico que all se encuentra. La variacion en la presiongenera una expansion en lugar de una compresion.

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Figura 8: Densidad de entropa en funcion de la densidad

Figura 9: Velocidad del sonido como funcion de r.

4.4.2. Equilibrio termodinamico

La condicion para que un sistema este en equilibrio termodinamico estable es que,dado un valor de la entropa y del volumen, la energa debe ser mnima. Esto esequivalente a pedir que que el calor especfico a volumen constante satisfaga

CV >0. (57)

Considerando que

CV= T

dS

dT

V

, (58)

y usando las expresiones antes deducidas se encuentra la funcion CV(r) mostradaen la Figura 10. Podemos ver que CV es negativo para r/R < 0,4 y positivo parar/R >0,4. Parar/R= 0,4 no esta definido. El cambio de signo puede ser entendido

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a partir de las Figuras 5 y 8 teniendo en cuenta que podemos escribir

CV = TdSd

V d

dTV

. (59)

Como la pendiente de la entropa como funcion de la densidad es siempre positiva,el cambio de signo esta determinado por d/dT = (d/dr)(dr/dT). La densidadcomo funcion de r es una funcion exponencial decreciente, entonces d/dr 0,4, dr/dT < 0 y d/dT > 0 en la region demateria normal.

Figura 10: Calor especfico a volumen constante en funcion der.CVsup es el calor especficoa volumen constante en r= R.

De forma similar podemos calcular el calor especfico a presion constante:

CP = T

dS

dT

P

. (60)

El resultado lo vemos en la Figura 11. A r /R= 0,57 vemos que CP = 0, este puntocoincide con uno de los puntos de inflexion de la temperatura. CP es positivo parar/R 0,57. En la region 0,4< r/R 0 parar/R 0,4entoncesCP tiene un cambio de signo.

El comportamiento discontinuo de de CP y CV en r/R= 0,4 es tpico de una tran-sicion de fase de segundo orden y sugiere que el sistema es termodin amicamenteinestable. Ademas, el calor especfico no esta definido para el valor de r/R donde la

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Figura 11: Calor especfico a presion constante en funcion de r . CVsup es el calor especfico

a presion constante en r = R.

velocidad del sonido es nula, reforzando la existencia de una region de inestabilidadpara la materia normal. El cambio de signo en ambas cantidades termodinamicases debido a la presencia de materia exotica en el nucleo del objeto que estamosanalizando.

En resumen, las discontinuidades en las derivadas segundas de las funciones de estadoindican que que la materia dentro del agujero negro no puede estar en equilibriotermodinamico. El calculo de la velocidad transversal en funcion de la coordenadaradial puede ser calculada considerando que v2

= dp/d, las ecuaciones (39) y

(50). El resultado se muestra en la Figura 12. El gr afico nos muestra no solo lainestabilidad que hemos discutido, sino tambien una nueva en la zona de materianormal.

Figura 12: Velocidad del sonido tangencial como funcion de la coordenada radial.

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4.4.3. Equilibrio dinamico

Recordemos que en la region de materia exotica no hay propagacion de las ondas so-

noras. La ecuacion para la velocidad del sonido radial en esta zona podemos escribirlacomo

v2r = p

. (62)

De aqu podemos ver que si la presion aumenta, la densidad disminuye. Pero si ladensidad decrece, la presion sigue creciendo. En este proceso, la presion y la densidadestan relacionadas de forma tal que si el sistema es perturbado, el fluido nunca dejade expandirse. La gran acumulacion de energa que ocurre en este proceso podra serla responsable de las divergencias que indican la inestabilidad del sistema.

5. Conclusiones

El espacio-tiempo de de Sitter es la solucion mas simple a las ecuaciones de Einsteincon constante cosmologica positiva. Es esfericamente simetrica y describe un universoen expansion acelerada. La solucion de Schwarzschild es la solucion esfericamentesimetrica mas simple a las ecuaciones de Einstein sin constante cosmol ogica. Lageometra de Schwarzschild - de Sitter es una combinacion de ambas.

La solucion de Schwarzschild - de Sitter representa un agujero negro que contiene unnucleo vaco de de Sitter en vez de una singularidad. El tensor de energa-impulsoresponsable de esta geometra describe una suave transicion desde un estado devaco estandar en el infinito hasta un estado de vaco isotropico con densidad deenerga no nula cuando r 0. Esta transicion se hace pasando por un estado devaco anisotropico en la region intermedia, lo que concuerda con la prediccion dePoisson-Israel que considera materia no inflacionaria en la interfase.

Hemos sugerido un posible modelo para un agujero negro regular como productode un colapso gravitacional. Este modelo esta basado en una eleccion prudente dela ecuacion de estado de la materia colapsada que reemplaza al vaco anisotropicoanteriormente encontrado. A altas densidades, esta ecuacion viola algunas de lascondiciones de energa originalmente usadas para justificar la existencia de la singu-laridad en el interior de los agujeros negros. En nuestro modelo, esta violaci on nosconduce a un colapso no singular.

La solucion describe un espacio-tiempo con fluido material en la region exterior(region II). Si nos movemos hacia adentro, pasamos a la region III, de la cual nohemos hablado en detalle, y luego a la regi on IV que es el nucleo mas interno quetiene las caractersticas del espacio-tiempo de de Sitter. Las regiones III y IV sonlas que proveen la presion negativa necesaria para sostener la materia externa enequilibrio. La solucion tiene el comportamiento asintotico requerido, reduciendose alvaco de Schwarzschild fuera del campo de materia y a la solucion de de Sitter cuandonos aproximamos al centro del agujero negro. La regi on III es la responsable de que

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el campo de materia y la region de de Sitter se unan suavemente. La transici on aeste estado exotico de materia ocurre dentro del horizonte de Schwarzschild.

Por ultimo, hemos calculado las cantidades termodinamicas que describen a la fuentede materia del agujero negro regular y hemos visto que la region de materia exoticaes inestable. Tambien hay evidencia de inestabilidad dinamica.

Referencias

[1] Akcay, S. & Matzner, R. A., Class. Quant. Grav.28085012 (2010).

[2] Ansoldi, S., arXiv:0802.0330v1 (2008).

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Agujero Negro Regular en La Geometria de Schwarzschild de Sitter-Introduccion a La Astrofisica

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