Aguilar Duran Ensayo u2

7/24/2019 Aguilar Duran Ensayo u2

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ALGEBRAINEALATRICES Y DETERMINANTES

Andrea Aguilar Duran14040011INGENIERIA INDUSTRIAL TERCERSEMESTRE A


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INTRODUCCIN

En esta unidad se dar la definicin clsica de matriz, sus propiedades as

como tambin las diferentes clasificaciones de matrices. Tambin se abordarn

las diferentes operaciones que se pueden realizar con arreglos matriciales; para

as poder dar paso al uso y aplicacin de las determinantes en la resolucin de

ejercicios y problemas. e tocar el tema de matriz in!ersa.

DESARROLLO

"E#$%$&$'% "E ()T*$&E

En matemticas, una matriz se puede definir como una tabla de n+meros

consistente en cantidades abstractas, con las cuales pueden realizarse

operaciones algebraicas como la suma y la multiplicacin. as matrices seocupan para describir sistemas de ecuaciones lineales, lle!ar a cabo un

seguimiento de coeficientes para una aplicacin lineal y para registrar una tabla

de datos que dependen de !arios parmetros. as matrices son descritas en un

campo denominado teora de matrices.

&on las matrices pueden efectuarse operaciones algebraicas diferentes o

descomponerse de !arias maneras, lo cual las con!ierte en un punto cla!e

dentro del lgebra lineal.

a matriz

Es una matriz -/. El elementoA01,/2 o a1, /es 3.

a matriz


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Es una matriz 456, o un !ector fila con 6 elementos.

&)$#$&)&$'% "E ()T*$&E

Cuadrada

7na matriz de n8m elementos9

i ) es una matriz m por n con la siguiente caracterstica m : n, entonces )

se llama matriz cuadrada.7na matriz es cuadrada si el n+mero de elementos de

la fila es igual al n+mero de elementos de columnas.

Toda matriz cuadrada la podemos descomponer en una suma de unamatriz simtrica y una matriz anti simtrica

i la matrizA y Bson matrices del mismo orden, entonces las podemos

sumar entre s. os productos de matrices son !lidos en ambos sentidos, ABy

BA, recordando que orden de los factores no altera el producto. )dems,surgen los conceptos de determinante

Ejemplo de matriz cuadrada para n : /9

as matrices cuadradas son las ms utilizadas en lgebra.

Triangulares

En lgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial y particular de matriz

cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal


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son cero.racias a que los sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices

triangulares son fciles de resol!er, las matrices triangulares son las ms

utilizadas en el anlisis numrico para resol!er sistemas de ecuaciones lineales

con n incgnitas, calcular in!ersas de las matrices y determinantes de las

mismas. El mtodo de descomposicin 7 permite descomponer cualquier

matriz in!ertible como producto de una matriz triangular inferior Ly una superior

U.

7na matriz cuadrada de orden nse afirma que es triangular superior, si

posee la caracterstica siguiente9

)nlogamente, una matriz de la forma9

e dice que es una matriz triangular inferior.

Ejemplos

Es triangular superior y


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Es triangular inferior.

7na matriz triangular superior e inferior es una matriz diagonal.

El producto de dos matrices triangulares superiores


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"e forma anloga puede resol!erse un sistema dado por una matriz

triangular superior.

/?

Escalar

7na matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la

diagonal principal son iguales, son aquellos arreglos matriciales en los cuales

se deben de coincidir en el !alor numrico con el mismo !alor que se tiene al

inicio de la matriz.

Unitaria

7na matriz unitaria podemos definirla como aquella en la que los elementosde su diagonal principal son todos iguales a uno y todos los dems

elementos son iguales a cero. Tambin se le conoce como matriz identidad

porque cualquier matriz ( con m filas y n columnas permanece sin cambios

cuando se multiplica por una matriz unitaria % 8 %

Nula

En las ciencias matemticas, pero en particular en lgebra lineal, una

matriz cero o tambin llamada matriz nula es un matriz con todos sus elementos

iguales a cero. )lgunos ejemplos de matrices nulas son9

@or lo tanto, una matriz nula de orden m5n definida sobre un anillo A

asume la forma9


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7na matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simtrica, matriz anti simtrica,

matriz ni potente y matriz singular.

Transpuesta

ea ) :


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Es semidefinida positi!a

C7na matriz cuadradaAes simtrica si coincide con su transpuesta, esto es

si.D

Es anti simtrica si coincide con su negati!a

i los elementos de la matrizAson n+meros complejos y su transpuestacoincide con su conjugada, se dice que la matriz es ermtica

F antielmntica si

Gale la pena obser!ar que si una matriz es ermtica


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)sociati!a

"adas las matrices mpor n A, By C2

) J


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Elemento %eutro9 4L) : )

"istributi!idad9

o "e escalar9 c


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*)%H "E 7%) ()T*$N

CEn lgebra lineal, el rango de una matriz es el n+mero de columnas


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dimensin de la imagen de ", como ya se mencion.

El rango puede calcularse, en relacin con una aplicacin lineal, al

considerar una base cualquiera y al determinar el rango de la matriz que

representa la aplicacin en esa base, pues el n+mero que se obtenga no estar

sujeto de la base elegida.

&on el clculo de determinantes, el rango de una matriz puede determinarsede modo sencillo. )s, la matriz de una aplicacin lineal 9

El rango queda de definido como el mimo entero r,de tal manera que

eiste un menor no nulo de orden r9

&abe mencionar que el mtodo de aussIOordan representa otra forma de

obtener el rango de una matriz, la cual es idntica al n+mero de filas no nulas

de la matriz obtenida con este mtodo.

C7na matriz es in!ertible


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las matemticas y en las ciencias naturalesD.M4

a figura que se muestra en la parte de abajo es una determinante de

orden n, pues es una tabla que contiene n filas y n columnas, esto nos indica

que la determinante !a desde un primer elemento a 44asta un elemento ann. 7n

determinante de orden nIsimo es una tabla cuadrada con nfilas y ncolumnas

como se muestra en la figura9

CEl adjunto menor, #ij, de un elemento cualquiera aij de la tabla es el

determinante formado por los elementos restantes al eliminar la fila i y la

columnajen las que aparece el elemento aij. El co"actor, Aij, de un elemento aij

es igual a


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CEstos trminos se e!al+an a su !ez utilizando la definicin dadaanteriormente para el determinante de segundo ordenD. MK

C@ara determinantes de orden superior al tercero, el proceso se repite para

los determinantes formados por los adjuntos menores, asta llegar a

determinantes que puedan desarrollarse fcilmenteD.MM

CEste mtodo de clculo del !alor de un determinante puede ser bastante

laborioso, por lo que se utilizan ciertas propiedades de los determinantes parareducir la cantidad de clculos necesarios. Entre estas propiedades, tenemos

las siguientesD9

4= C7n determinante es igual a cero si todos los elementos de una fila


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Ce construye un determinante, V, utilizando estos coeficientes, y siendo V&el

determinante que se obtiene al eliminar la columna &y sustituirla por la columnade las constantes '4, '1, ... 'n. i V W ? las ecuaciones son consistentes y es

posible encontrar una solucin. Xsta est dada porD3/

CONCLUSION

as matrices y los determinantes son erramientas del algebra que facilitan elordenamiento de datos, asY como su manejo.as matrices se encuentran en aquellos Zambitos en los que se trabaja condatos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las&iencias ociales , Economicas y Biologicas.a utilizacin de las matrices constituye una parte esencial en los lenguajes deprogramacin ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadoresen tablas organizadas en filas y columnas. a utilizacin de bases de datos

implican el empleo de operaciones con matrices que estudiaremos en estetema.

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