(TALF-­‐ITIS-­‐C)    –    Clase  3    –    5  de  Octubre  de  2010  

Ac=vidades  de  par=cipación  de  alumnos  

•   2  Alumnos  :  Blog  de  la  Asignatura:  hIp://talf.blogspot.es/  

•   1  Alumno:  BiograMa  relacionada  con  la  asignatura  

ACTIVIDADES  POR  ASIGNAR  

•   Explicar  un  ejercicio  interesante  (ver  listado  CV).  Tiene  que  ser  presentado  a  =empo  con  el  tema.  •   Explicar  como  funciona  el  demostrador  de  código,  explicaciones  +  ejemplo.  •   Mostrar  un  video  en  inglés  e  ir  traduciendo  y  explicando  (relacionado  con  la  asignatura  !  ).    

          Temas  de  la  clase  de  hoy  

-­‐ Dudas  sobre  temas  anteriores  

-­‐   Conjuntos  Finitos  e  Infinitos  

-­‐   Conjuntos  numerables      

-­‐   Teorema  de  Cantor,  cardinalidad  de  los  números  reales  

Ej.  33  .  Sea  el  monoide  (N,  +)  y  sea  P={n  ∈  N|  n=2k  con  k  ∈  N}  

¿Es  P  cerrado  para  la  operación  +  ?  

Definición  1.28:  Conjuntos  equipotenciales  (equipotentes)  Sean    A    y    B    dos  conjuntos,  decimos  que  son  equipotenciales    si    ∃  f:  A  →  B    |      f    es  biyec=va.      Definición  1.29:  Conjunto  finito  Un  conjunto    A    es  finito  si  es  vacío    o    ∃  n  ∈  N    |    {  1,  2,...,  n  }    y    A    son  equipotenciales.      Definición  1.30:  Cardinal  de  un  conjunto  finito  no  vacío  

El  cardinal  de  un  conjunto  finito  no  vacío    A    es    n  ,  y  lo  notaremos    ||  A  ||  =  n  ,  sii    A    y      {  1,  2,  ...,  n  }    son  equipotenciales.      

Definición  1.31:  Cardinal  del  conjunto  vacío  ||  ∅  ||  =  0  .  

Definición  1.32:  Conjunto  infinito  Un  conjunto    A    se  dice  infinito  sii  no  es  finito.      

Definición  1.33:  Conjunto  infinito  numerable  Un  conjunto    A    es  infinito  numerable  sii      A    y    N    son  equipotenciales.      

Definición  1.34:    Conjunto  numerable,  Conjunto  no  numerable  Sea    A    un  conjunto,  decimos  que  es  numerable  si  es  finito  o  infinito  numerable.  En  caso  contrario  diremos  que  es  no  numerable.    

Proposición  1.35:    Todo  subconjunto  de  un  conjunto  numerable  es  numerable.  

Demostración:  Un  conjunto  numerable  puede  ser  finito  o  infinito  numerable.  

Es  trivial  que  cualquier  subconjunto  de  un  conjunto  finito  es  también  finito  y  por  tanto  numerable.  

Por  otro  lado,  un  subconjunto  de  un  conjunto  infinito  numerable  puede  ser  finito  o  infinito.  

Si  el  subconjunto  es  finito  entonces  es  numerable.  

Nos  queda  por  analizar  el  úncio  caso  interesante  en  que    el  conjunto  y  el  subconjunto  sean  infinitos.    

Entonces:  

Sea  A  un  conjunto  infinito  numerable  (por  medio  de  la  biyección    g:  N  →  A  ),    

y  sea  B  un  conjunto  infinito    tal  que  B  ⊆  A  (es  decir  un  subconjunto  de  A).  

1)  Vamos  a  definir  el  mínimo  de  un  conjunto  Dado    D  ⊆  A    definimos  el  mínimo  del  conjunto    D  ,  notado    mínimo(  D  )  ,  como:                                      mínimo(  D  )  =  g(  min{  i  ∈N  |    g(i)  ∈D  }  )  

2)  Ahora  definimos  la  función    f:  N  →  B    como:  

f(n)  =  mínimo(  B  –  {  f(m)  |    m  <  n  }  )  

Es  decir,    ordenamos  de  acuerdo  a  n,  agregando  ordenadamente  el  elemento  mínimo  (usando  g)  no  enumerado  hasta  el  momento.  

f  por  construcción  es  biyec=va,  y  por  tanto    B    es  numerable.    

Para  que  quede  claro:  A  es  numerable  (biyección  con  N).  (A={A1,A2,A3,….})    

Para  probar  que  B  ⊆  A  es  también  numerable,  vamos  a  definir    una  sub-­‐secuencia  tal  que  

B1=  mínimo{  n  |n  ∈  N,  y    An    ∈  B}  

B2=  mínimo{  n  |n  ∈  N,  n  >  B1    y    An    ∈  B}  

B3=  mínimo{  n  |n  ∈  N,  n>  B2  y    An    ∈  B}  

…..        

Entonces  tenemos  una  biyección  entre  B  y  N  por  lo  que  B  es  numerable    

Demostración:  Supondremos  que  los  conjuntos  numerables  son  infinitos  y  disjuntos,  ya  que  en  otro  caso  la  demostración  es  trivial  (finitos)  o  reducible  (no  disjuntos).  En  la  demostración  usaremos  una  técnica  conocida  como  machihembrado,  que  consiste  en  encontrar  una  función  biyec=va  entre  el  conjunto  unión  y  los  naturales  (  f:  A0  ∪  A1  ∪  ...  ∪  Ak  →  N  )  según  muestra  la  figura.  

Proposición  1.36:    La  unión  finita  de  conjuntos  numerables  es  numerable.  

La  expresión  de  esta  función,  para    n    conjuntos,  es:      fn(aij  )  =  nj+i    

Ejercicio  55:  Usando  la  técnica  de  machihembrado  usada  para  demostrar  que  la  unión  finita  de  conjuntos  numerables  es  numerable,y  suponiendo  que  tenemos  5  conjuntos  infinitos  numerables  ¿Qué  número  asignaría  la  biyección  vista  en  clase  al  quinto  elemento  del  cuarto  conjunto  conjunto  (a34)?    

La  expresión  de  esta  función,  para    n    conjuntos,  es:      fn(aij  )  =  nj+i    

Proposición  1.37  La  unión  infinita  numerable  de  conjuntos  numerables  es  numerable    

Demostración:    Para  su  demostración  emplearemos  una  variante  de  la  técnica  de  machihembrado.  Realizamos  la  unión  infinita  numerable  de  conjuntos  numerables  y  obtenemos  una  biyección  con  los  naturales  según  la  figura.    

La  expresión  de  esta  función  es:    

€

f (aij ) =(i + j) (i + j +1)

2+ j

Ejercicio  57:  Usando  la  técnica  de  machihembrado  usada  para  demostrar  que  la  unión  infinita  de  conjuntos  numerables  es  numerable.  ¿Qué  número  asignaría  la  biyección  vista  en  clase  al  tercer  elemento  del  primer  conjunto  (a02)?    

€

f (aij ) =(i + j) (i + j +1)

2+ j

Definición  1.41:    Cardinal  del  conjunto  de  los  naturales  ||  N  ||  =  ℵ0    (  alef  cero  ).  

En  vez  de  trabajar  con  todos  los  reales  trabajaremos  sólo    con    el    intervalo    (  0,  1  )  ,  que  es  equipotencial  con    R  .  Esto    lo    podemos  comprobar  viendo  que  la  función:  

€

tg x -12

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ π

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Que  establece  una  biyección  entre    (  0,  1  )    y    R  .  

Teorema de Cantor: || N || ≠ || R ||

La  cardinalidad  del  conjunto  de  los  naturales  es  diferente  de  la  cardinalidad  del  conjunto  de  los  reales.  

x  

€

tg x -12

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅ π

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

La  demostración  de  que    (  0,  1  )    no  es  numerable  la  realizaremos  por  reducción  al  absurdo.      Así,    supongamos    que    el    intervalo    (  0,  1  )    es  equipotencial  con    N  .    En    ese    caso    habrá    una    función      f:  N  →  (  0,  1  )    que  es  biyec=va.  Si  denominamos    ri    a    f(i)    tenemos:  

0  →    f  (0)=r0  1  →    f  (1)=r1  2  →    f  (2)=r2     .     .  

Si  esto  es  así,  podemos  afirmar  que  todos  los  reales  del  intervalo  estarán  en  la  siguiente  lista:  

r0  =  0’  d00    d01    d02    d03      ...  r1  =  0’d10    d11    d12    d13      ...  r2  =  0’d20    d21    d22    d23      ...  r3  =  0’d30    d31    d32    d33      …     .     .  

donde  cada    dij    (con    i,  j  ∈  N  )  es  el  j-­‐ésimo  dígito  de  la  expresión  decimal  completa  del  real    ri    (el  i-­‐ésimo  real  de  la  lista).  Para  los  reales  con  dos  posibles  expresiones  decimales  (infinitos  ceros  o  nueves  hacia  la  derecha)  se  escogerá  la  de  infinitos  nueves  hacia  la  derecha.  (Es  decir  para  0.5  usaremos  0.4999999999….)  

Sea    r  =  0’d0  d1  d2  d3  ...  ∈  (  0,  1  )      donde    ∀i  ≥  0    di  =  4      si      dii  ≠  4  di  =  5      si      dii  =  4  

Por  lo  tanto:    di  ≠  dii      ∀i  ≥  0      ⇒      r  ≠  ri      ∀i  ≥  0      ⇒    r    no  está  en  la  anterior  lista.  Pero  esto  contradice  la  suposición  inicial,  ya  que  en  esta  lista  estaban  todos  los  elementos  del  intervalo    (  0,  1  )  ,  de  donde  concluimos  que    f    no  es  biyec=va  y  por  tanto    R    no  es  equipotencial  con    N  .    

(dii  es  el  i-­‐ésimo  dígito  de  la  diagonal  de  la  lista  anterior).  

r0  =  0’  d00    d01    d02    d03      ...  r1  =  0’d10    d11    d12    d13      ...  r2  =  0’d20    d21    d22    d23      ...  r3  =  0’d30    d31    d32    d33      …     .     .  

(Probar  que  0.999999…  =  1)  

Definición  1.42:  Cardinal  del  conjunto  de  los  reales  ||  R  ||  =  ℵ1    (  alef  uno  ).      

Definición  1.43:  Transfinitos  Diremos  que    ℵi    (  alef    i  )  es  el  i-­‐ésimo  transfinito.  El  conjunto    {  ℵi    |    i  ∈  N  }    es  el  conjunto  de  todos  los  transfinitos.  

   Definición  1.44:    Cardinal  de  un  conjunto  infinito    El  cardinal  de  un  conjunto  infinito    A    es    ℵi    sii  es  equipotencial  con  un  conjunto  de  cardinal  conocido    ℵi  ,  y  lo  notaremos    ||  A  ||  =  ℵi  ,    con    i  ∈  N  .  

Ejemplo  1.45:  Los  tres  conjuntos  del  ejemplo  1.40  =enen  cardinal    ℵ0  ,  ya  que  existe  una  biyección  entre  cada  uno  de  ellos  y  los  naturales.        El  intervalo    (  0,  1  )    =ene  cardinal    ℵ1  ,  ya  que  existe  una  biyección  entre  este  conjunto  y  el  de  los  reales.  Una  función  para  establecer  esa  biyección  es    f(x)  =  tg[  (x-­‐0’5)·∙π  ]  .      El  intervalo    (  0,  2  )    =ene  cardinal    ℵ1  ,  ya  que  existe  una  biyección  entre  este  conjunto  y  el  intervalo    (  0,  1  )  ,  del  cual  sabemos  que  su  cardinal  es    ℵ1  .  Una  función  para  establecer  esa  biyección  es    f(x)  =  2x  .    

Trabajar  con  conjuntos  infinitos  es  algo  bastante  contraintui=vo.  Quizás  lo  mejor  es  imaginarse  el  cardinal  de  un  conjunto  infinito  como  una  medida  de  su  “densidad”.  Ya  hemos  visto  que  al  cardinal  de    N    se  le  denomina  Alef  Cero  (ℵ0),  que  es  el  primer  infinito  (el  infinito  “menos  denso”).  También    ||  Q  ||  =  ℵ0    ya  que    a/b    se  puede  considerar  como  otra  notación  para    (  a,  b  )  ∈  N  ×  N  .  Al  cardinal  de    R    se  le  denomina  también  potencia  del  conYnuum  (  c  ),  pero  denominarlo  así  nos  llevaría  a  la  hipótesis  del  conYnuum,  la  cual  queda  fuera  de  los  obje=vos  docentes  de  este  libro.                Señalar  por  úl=mo  dos  resultados  que  necesitaremos,    ℵ1  -­‐  ℵ0  =  ℵ1      y        2ℵ0  =  ℵ1  .    

Vamos  a  estudiar  tres  técnicas  fundamentales  de  demostración:  a)  el  principio  de  inducción,  b)  el  de  los  casilleros,  y  c)  el  de  diagonalización.  Para  demostrar  su  validez  u=lizaremos  la  técnica  de  reducción  al  absurdo.  

1.3  Técnicas  Fundamentales  de  Demostración    

a)  Principio  de  inducción  Si  A  es  un  conjunto  de  números  naturales  que  cumple:     a)      0  ∈  A;     b)      {  0,  1,  ...,  n  }  ⊆  A    ⇒    n  +  1  ∈  A        ∀n∈N  .  entonces    A  =  N.  

Demostración  :    Sea    A  ⊆  N    que  cumple  a)    y    b).  Supongamos  que    A  ≠  N.  A  ≠  N      ⇒    N  -­‐  A  ≠  ∅      ⇒      ∃m  ∉  A  |    m  =  min  (  N  –  A  )      ⇒      m  ≠  0      ⇒      {0,  1,  ...,  m-­‐1}  ⊆  A     ↑       por  a)      ⇒      m  ∈  A      ⇒      A  =  N      ↑        ↑    por  b)              

La  inducción  se  u=liza  para  probar  afirmaciones  de  la  forma:  “Para  todos  los  números  naturales,  la  propiedad  P  es  verdadera”.  El  principio  se  aplica  al  conjunto    A  =  {  n  |  P  es  verdadera  para  n  }  =  {  n  |  P(n)  }    de  la  siguiente  forma:  1º  )    Caso  Base  (C.B.):    Demostramos  P(0)       (  a  veces  el  C.B.  es  P(n)  con  n>0  )  2º  )    Hipótesis  de  Inducción  (H.I.):    Suponemos  que      ∃n  ≥  0    |    P(i)        ∀i  =  0,  1,  ...  ,  n    3º  )    Paso  de  Inducción  (P.I.):  Demostramos,  usando  la  H.I.,  P(n+1)    por  el  principio  de  inducción    A  =  N  ,  es  decir,  ∀n  P(n)  .  

Ejemplo  1.46:  Demostrar  u=lizando  la  técnica  de    inducción  que  

€

1+ 2 + ... + n =(n2 + n)

2

C.B.:  Es  trivial  para    n  =  0  H.I.:  Suponemos  que    ∃n  ≥  0    tal  que        con    m  ≤  n  P.I.:  Demostramos  para    n+1  1+  2+  ...  +  n+  (  n+  1)=  (1+  2+  ...+  n  )+(  n+  1)  ⇒     ↑       por  H.I.  

€

n2 + n + 2n + 22

=n2 + 2n +1+ n +1

2=(n +1)2 + (n +1)

2

∀n  ≥  0: