Acústica General

Capitulo 1

Conceptos básicos

Platón, 400 años antes de Cristo, escribía: “El sonido es un soplo que pasa a través de los oídos y es transmitido por medio del aire que se encuentra en el interior del cerebro, a la sangre y al alma; la audición es la vibración de este soplido que comienza en la cabeza y culmina en la región del hígado”.

Llamamos ACÚSTICA a la ciencia que estudia el comportamiento del sonido y las vibraciones, tanto en el aire como en los sólidos.

Es una ciencia muy antigua. En el siglo primero de esta era, el arquitecto Vitrubio Pollion, de quien nos ha llegado al presente sus diez tomos de “DE ARCHITECTURA”, había comprendido el comportamiento de las ondas en el agua, el proceso de reflexión e interferencia e interpretado, por analogía, la propagación del sonido y la perdida de la inteligibilidad.

A la reflexión del sonido decide llamarla RESONANTIA, no debiéndosela confundir con el concepto moderno de resonancia.

La RESONANTIA era un grave problema en los teatros Griegos y Romanos. Si las reflexiones muy fuertes llegaban al espectador en diferentes tiempos, resultaba difícil la

comprensión de la palabra.Por otra parte, estos teatros, de simetría semicircular, en oposición a los anfiteatros circulares,

tenían una relativa buena acústica para la palabra.El viajero ilustrado que haya tenido oportunidad de escucharlos, seguramente habrá quedado

impresionado por su claridad, sin importar donde se sentara.Cuando en esos lugares se ejecutaba música, la aparente sequedad del sonido constituyó un

problema para Vitrubio, obligándole a realizar un importante esfuerzo a fin de desarrollar un sistema para mejorarlo.

La solución fueron los vasos resonantes de bronce. Escuchémoslo:“Permitan que se construyan vasos de bronce proporcionados a las dimensiones del

recinto y permitan que funcionen de tal manera que al ser tocados produzcan las notas de la cuarta, la quinta y sucesivamente todas las dobles octavas”.

“La voz proveniente del escenario y del centro, que se distribuirá y golpeará sobre las cavidades de los diferentes vasos, se incrementará en claridad del sonido, creando una nota armoniosa al unísono con esta”.

Vitrubio muestra como los vasos deben ser espacialmente distribuidos alrededor del teatro, cuantos deben ser usados y como debe ser su exacta sintonía. Deja entender, por otra parte, que esta sintonía era para asistir a músicos y cantores.

Estos vasos pueden ser considerados como unidades tempranas de reverberación, capaces de acentuar determinadas frecuencias y excluir otras.

Obviamente, la reverberación actual no funciona exactamente de esa manera, pero los vasos del siglo I son nuestros actuales resonadores de Helmholtz, de cuyo cálculo pueden dar cuenta nuestros alumnos cada vez que diseñan un gabinete del tipo reflector de bajos.

Siendo el sonido el objeto de nuestro estudio, Leo Beranek en su libro “Acústica” dice: “El sonido es un disturbio que se propaga por un material elástico, causando alteraciones en la presión o desplazamiento de las partículas de ese material. Esto puede ser reconocido por el oído humano o por un instrumento”.

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A lo largo de este texto intentaremos expresar, en un lenguaje simple, la descripción, el análisis y la interpretación de todos aquellos fenómenos físicos vinculados con el tema, por lo que deberemos familiarizarnos con el manejo de diferentes conocimientos aprendidos a través de distintas disciplinas.

Generación de sonido

Un sonido puede ser generado por una gran cantidad de elementos, entre los que destacamos: A) Una superficie vibrante (membrana) en un medio elástico (aire). B) Campanas; C) Un tambor; D) Un cono de altavoz; E) Una cuerda vibrante con su caja; F) Un tubo abierto o cerrado.

Llamamos membrana a un material razonablemente rígido, delgado y liviano que se mueve en el aire. Son casos típicos los parches de los instrumentos de percusión. Respecto a la fundamental, generan armónicos ligeramente corridos de la misma.

La figura 1.1, muestra el comportamiento de una cuerda tensada. La fundamental (f1) es una semionda y los armónicos ondas completas (f2 y f3). La frecuencia a la

que vibra la cuerda, es función de la tensión a la que está sometida. En los próximos capítulos, estudiaremos el nivel de presión sonora (SPL), una herramienta

poderosa en acústica, que nos facilitará la comprensión de muchos fenómenos. Sin embargo, podemos graficar en un sistema de ejes, la señal percibida (a la que llamamos nivel

SPL) en función de la frecuencia, lo que nos dará, para la cuerda en estudio, un diagrama como el de la figura 1.2.

Figura 1.1 Figura 1.2

Los instrumentos de viento consisten, básicamente, en un tubo abierto o cerrado con una abertura que, por su particular posición, genera turbulencia. La figura 1.3, ilustra un tubo de este tipo. Cuando la distancia d sea múltiplo de media longitud de onda, hay un máximo de presión. Se presenta entonces un fenómeno de "modulación" del aire con generación de armónicos de 2 f, 3 f etc. .

Figura 1.3

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Propagación del sonido

El proceso de propagación se caracteriza por ser un transporte de energía pero no de materia.Si una partícula de aire es desplazada de su posición original, las fuerzas elásticas del mismo,

tienden a ponerla en su posición original. Debido a la inercia de la partícula, esta pasará de su posición de reposo, empezando a jugar fuerzas en la dirección opuesta.

El sonido se transmite rápidamente en Gases, Líquidos y Sólidos tal como el aire, agua, acero o concreto. Sin un medio, el sonido no puede ser propagado. Un despertador sonando, suspendido dentro de un frasco de vidrio cerrado, logrará hacerse escuchar. Si mediante algún sistema, comenzamos a extraer el aire que esta en el interior del frasco, observaremos que el sonido se hace cada vez más tenue, hasta que cuando hayamos extraído casi todo el aire, ya no podremos escuchar al despertador.

El aire como medio de propagación es lineal, dispersivo y homogéneo. La velocidad de propagación de la onda sonora es función del medio de propagación y varía con

su densidad. Es directamente proporcional a la temperatura e independiente de la frecuencia, de las características de la onda o de la fuerza que la genera.

Movimiento de partículas

Si observamos el efecto del viento sobre un campo de trigo, podemos ver las ondas que se crean sobre él. Las ondas se mueven, pero cada espiga permanece con la base en el mismo lugar. Lo mismo sucede con el aire y el sonido. Las partículas de aire no viajan, solo se desplazan respecto a su posición de equilibrio, tal como se observa en la figura 1.4.

La forma en que se propagan, su velocidad y atenuación, dependerán de las características físicas del medio.

Figura 1.4

Existen tres formas de movimientos de partículas: Circular (una piedra en el agua calma), Transversal (cuerda de violín vibrando) y Longitudinal (sonido en un medio gaseoso).

Cómo se propaga una onda de sonido

En la figura 1.5, las moléculas de aire están representadas por puntos negros. Dado que existen más de un millón de moléculas por centímetro cúbico, el dibujo es solamente a título ilustrativo.

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Figura 1.5

Las zonas con mas densidad de moléculas representan áreas de compresión en las cuales la presión es un poco mayor que la presión atmosférica existente, así como aquellas que tienen menos densidad de moléculas representan áreas de rarefacción y en ellas la presión es un poco menor a la atmosférica. Las flechas muestran que, en promedio, las moléculas se mueven hacia la derecha de las áreas de compresión, y hacia la izquierda de las áreas de rarefacción. Cualquier molécula escogida se va a mover un poco a la derecha y luego otro poco a la izquierda de su posición de reposo, a medida que la onda progresa hacia la derecha.

Cuál es la razón por lo que la onda se mueve hacia la derecha?. Si observamos nuevamente la figura 1.5, notaremos que las moléculas tienden a concentrarse en aquellos puntos dónde las flechas se enfrentan y esto ocurre un poco a la derecha de cada zona de compresión. Cuando las flechas apuntan en sentido contrario, la densidad de moléculas baja. Así, el movimiento de la cresta de alta presión y los valles de baja presión, suman a la pequeña progresión de la onda hacia la derecha.

Como se mencionó anteriormente, la presión en las crestas es mas alta que la atmosférica prevaleciente y en los valles es menor, como se muestra en la onda senoidal de la figura 1.6.

Estas variaciones de presión son muy pequeñas en sí mismas. La presión del sonido más débil que el oído puede captar es de 20 micro pascales.

Figura 1.6

Las ondas sonoras que viajan en el aire, son del tipo longitudinales, es decir, se desplazan en la misma dirección que el movimiento que las generó.

Poseen

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un llamado “frente de onda”, definido como aquel plano perpendicular a la dirección de propagación donde las presiones, desplazamiento de partículas y cambios de densidad instantáneos tienen la misma fase y amplitud.

Si el frente de onda mantiene constante su superficie y energía a medida que se propaga en el tiempo y en el espacio, la onda será plana.

Si por el contrario, mantiene la energía a medida que se propaga en el tiempo y en el espacio pero diverge (no mantiene constante la superficie), la onda será esférica.

Una consecuencia directa de esto es la atenuación de la amplitud de la presión y la intensidad sonora a medida que el oyente se aleja de la fuente.

Ambos tipos de onda se modelan con la misma ecuación de onda, pero en las planas la variable será solo una magnitud (desplazamiento lineal), y en las esféricas las variables serán tres (desplazamiento espacial).

Los frentes de onda esféricos toman el carácter de onda plana al alejarse mucho de la fuente, momento en que la presión instantánea estará en fase (o casi) con la velocidad instantánea de las partículas.

El sonido en el espacio libre

Debemos efectuar una distinción en la forma de onda del campo acústico generado. La figura 1.7 esquematiza las tres formas posibles.1.- Campo esférico: Originado por una fuente puntual que radia en todas direcciones. 2.- Campo cilíndrico: Originado por una línea de fuentes puntuales. 3.- Campo plano: Originado por una fuente plana.Las figuras, considerando elementos ideales, asimila estos campos a distintas formaciones de

altoparlantes.

Figura 1.7

La intensidad del sonido decrece a medida que la distancia a la fuente aumenta, tal como podemos observar en la figura 1.8

Al aire libre, lejos de la influencia de objetos cercanos, el sonido generado por la fuente se propaga uniformemente en todas direcciones.

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Figura 1.8

La misma potencia sonora fluye a través de las áreas A1, A2, A3 y A4, pero sus superficies crecen a medida que crece el cuadrado del radio r. Esto significa que la potencia sonora por unidad de área (intensidad) decrece según el cuadrado del radio. Doblando la distancia reducimos la intensidad a 1/4 del valor inicial. Triplicando la distancia se reduce a 1/9 y Cuadruplicando la distancia obtenemos 1/16 del valor inicial. La ley del cuadrado inverso establece que la intensidad de sonido al aire libre es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente. Esta ley, que provee la base para estimar el nivel sonoro en muchas circunstancias practicas, será discutida mas adelante.

La sinusoide simple

Una onda senoidal o sinusoide, es la forma más simple de representar los movimientos comunes que se presentan a menudo en la naturaleza. Estos movimientos son llamados vibraciones u oscilaciones.

Un ejemplo clásico de estas vibraciones puede obtenerse a partir de fijar un lápiz a una pesa que cuelga de un resorte. Si hacemos oscilar la pesa y simultáneamente correr el papel a velocidad constante, el lápiz describirá el movimiento de la misma, tal como se observa en la figura 1.9

Figura 1.9

La oscilación es posible gracias a la elasticidad del resorte y a la inercia de la pesa, constituyéndose en los elementos que todo medio debe poseer para ser capaz de transmitir sonido.

Lenguaje senoidal

Tanto en electrónica como en acústica o mecánica, existen varios términos asociados a los movimientos alternativos y a la onda senoidal en particular, por lo que debemos familiarizarnos con ellos.

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En general las definimos por sus magnitudes de espacio y tiempo.Las magnitudes de espacio serán su amplitud pico a pico y pico, su valor RMS y su promedio. Las de tiempo serán su período (T), su fase (j), su frecuencia (f) y su longitud de onda (l).

El análisis efectuado con un osciloscopio nos permite visualizar fácilmente el valor pico a pico, tal como se observa en la figura 1.10. Si la onda es simétrica, el valor pico a pico es el doble del valor pico.

La medición efectuada con un voltímetro común, básicamente un instrumento de corriente continua modificado con un rectificador que cambia el sentido de la corriente senoidal alterna a corriente pulsante en una sola dirección, responderá al valor promedio, tal como se indica.

Estos instrumentos de medición están casi universalmente calibrados en términos de valor cuadrático medio RMS (root - mean - square) o eficaz, lo cual constituye una buena aproximación para

señales sinusoidales, pero de lectura errónea para formas de onda no sinusoidales.

Figura 1.10

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Longitud de onda, frecuencia, período, velocidad del sonido y fase

La figura 1.11 muestra varias ondas

sinusoidales simples de diferentes frecuencias incluyendo una señal cuadrada.

Las mismas se han representado en ejes de amplitud-tiempo y amplitud-frecuencia.

La frecuencia (Hertz) es el número de ciclos completos que repite por segundo.

Llamamos período a la inversa de la frecuencia, tal como se observa en la figura 1.12.

La longitud de onda (l) es la distancia que una onda que viaja en el tiempo toma para completar un ciclo. La onda puede ser medida entre dos picos sucesivos (figura 1.13) o bien entre dos puntos correspondientes en el ciclo. Esto vale también para otras ondas periódicas, aún no sinusoidales.

La velocidad del sonido en el aire es alrededor de 344 metros por segundo (1238 Km. por hora) a niveles normales de presión y temperatura.

Sin embargo, es muy dependiente de la temperatura, haciéndose mayor cuando esta aumenta.

La ecuación matemática que relaciona la velocidad del sonido en el aire con la temperatura ambiente es:

Figura 1.11

Figura 1.12 Figura 1.13

Frecuencia y Longitud de onda se relacionan según la siguiente ecuación:

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Figura 1.14

La figura 1.14 nos muestra varias ondas sinusoidales desfasadas (corridas) angularmente en tiempo, respecto a la primera. Llamamos fase o rotación de fase a la diferencia angular que existe entre varias señales periódicas con respecto a una referencia, generalmente tomada con su origen en 0°.

Ondas Complejas

Las formas de onda del habla y la música se alejan de la forma senoidal. Sin embargo, sin importar cuan compleja sea la onda, puede ser reducida a componentes senoidales.

La teoría dice que cualquier onda periódica, puede conformarse a partir de la combinación (suma) de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias, amplitudes y relaciones de tiempo (fase).

El desarrollo de esta idea se debe a Charles Fourier y será motivo de profundización en el desarrollo de la carrera.

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Armónicos

Figura 1.15 Figura 1.16

Tomemos una onda sinusoidal de frecuencia f1 y amplitud determinada (Figura 1.15A). Tomemos otra de frecuencia f2 = 2 f1 y la mitad de amplitud (Figura 1.15B). La suma punto a punto de ambas, nos dará una tercera onda, según la figura 1.15C. Si a esta última le sumamos otra de f3 = 3 f1 y la mitad de amplitud A (figura 1.15D), obtendremos

una quinta (gráfico 1.15E). Como vemos, la sinusoidal simple de la figura 1.15A se fue deformando a medida que se le

sumaron otras, también simples.La figura 1.15E puede ser descompuesta en sus componentes f1, f2 y f3, ya sea a través de filtros

acústicos o electrónicos. Si a esta onda la pasamos por un filtro que rechace las señales f 2 y f3, pero no la f1, recobraremos la f1.

Usualmente, llamamos Fundamental a la componente de menor frecuencia (figura 1.12A), segunda armónica a la que tiene el doble de frecuencia de la fundamental (2 f1), tercera armónica a la que tiene una frecuencia 3 f1 y sucesivamente.

Fase

En la figura 1.15, las tres componentes comienzan desde cero, lo cual significa que están en fase. En algunos casos, las relaciones de tiempo entre los armónicos y la fundamental son un poco diferentes a esto.

Dado que las ondas son fenómenos repetitivos, éstos pueden ser divididos en intervalos de tiempo regulares, medidos normalmente en grados.

Cada longitud de onda completa "viaja" 360°, por lo tanto, a media longitud de onda le corresponden 180°. Así, la máxima amplitud ocurre a los 90° (1/4 de l

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Para mostrar la importancia de la fase, desplacemos la onda f2 90º hacia la izquierda (la adelantamos), y la onda f3 90º hacia la derecha (la atrasamos). Si sumamos las tres ondas punto a punto, obtendremos la resultante de la figura 1.16E.

Si comparamos las formas de onda de las figuras 1.15E y 1.16E, vemos que son distintas, a pesar de que lo único que hicimos fue rotar ligeramente la fase de cada armónica

La impresión general es que el oído es insensible a la rotación de fase, por lo que sería dable esperar que las ondas de ambas figuras suenen muy similares.

Sin embargo, estudios más modernos sobre el tema, demuestran que la rotación de fase es percibida por oídos entrenados, como veremos al hablar de percepción de la distorsión lineal.

Presión sonora

El planeta en que vivimos somete a todo elemento que lo integra, incluido al ser humano, a una presión barométrica que denominamos presión estática, cuyo valor es igual a 105 Pascales (N/m2) ó 1013 HectoPascales.

Esta presión se halla presente en ambas caras de la membrana externa del oído (tímpano), tal como veremos.

Definimos a la presión sonora instantánea (pt) como: “La variación de la presión barométrica o estática del aire, causada por una onda sonora”.

La presión sonora eficaz (p) será: “El valor cuadrático medio de la presión sonora instantánea, integrada sobre un número entero de períodos”.

Estas variaciones de presión pueden ser enormes. La intensidad del sonido más fuerte y dolorosa que el oído puede tolerar es cien billones de veces mayor que la del sonido menos intenso (100.000.000.000.000 : 1), considerando que este último (1) es el nivel de mínima percepción auditiva.

El bel y la presión sonora

Ante lo poco práctico de usar diferencias de magnitudes tan grandes, deberemos utilizar un sistema de medición que simplifique esto, por lo que se recurre a la escala Bel (nombre dado en honor a Alexander Graham Bell, 1847-1922), de progresión logarítmica.

Las relaciones de estímulos se acercan más a la percepción humana, que las diferencias de estímulos.

Relaciones entre potencias, intensidades, presión sonora, voltaje o corriente son adimensionales, es decir un número.

La escala Bel se basa en los logaritmos y permite realizar expansiones y comprensiones de escalas, simplificando el calculo de grandes cantidades.

La tabla muestra tres formas diferentes de expresar un mismo número. Forma decimal Forma aritmética Forma exponencial

100.000 10x10x10x10x10 105

100 10x10 102

10 10x1 101

1 10/10 100

0.1 1/10 10-1

0.01 1/(10x10) 10-2

Las más conocidas son la decimal y la aritmética, aunque para nosotros, la más útil será la exponencial.

Es más fácil escribir 10-12 watt para expresar una millonésima de una millonésima de watt que escribir 0.000000000001 Watt.

Este tipo de escritura "abreviada" se llama notación científica y es muy usada, dado que permite manejar todo tipo de números, desde muy grandes hasta muy pequeños.

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Logaritmos

La palabra proviene del griego “logos” (relación) y “arithmos” (números)."El logaritmo decimal de un número dado es el número del exponente al cual debe ser

elevado 10 para obtener ese número".Si representamos 100 como 102, esto es equivalente a escribir 10x10 = 100.Igualmente 103 significará 10x10x10 = 1000.Como podemos expresar lo anterior con logaritmos?Podemos decir que el logaritmo de 100 en base 10 es igual a 2 (log10100 = 2) ó simplemente log

100 = 2 (ya que los logaritmos "comunes" son en base a 10) y que log 1000 = 3.

El bel, el decibel y la relación de los logaritmos con los seres humanos

El tacto, la vista, la sensación de peso, el oído, etc, funcionan en forma logarítmica. En presencia de un estímulo, la variación mínima perceptible es proporcional al estímulo

existente, aunque esta relación no es igual para todos los sentidos.Los logaritmos reducen la multiplicación a una adición y la división a una resta, por lo que:

log x.y = log x + log ylog x / y = log x - log y

log xn = n log x

Los logaritmos constituyen la base del uso de los decibeles, dado que un nivel es el logaritmo de una relación.

Un nivel en Bels es el logaritmo en base 10, de la relación entre dos cantidades de lo mismo.Bel = log10 (W1 / W2)

Un decibel equivale a la décima parte de un Bel (Bel / 10) y se lo expresa como: dB = 10 x log10 (W1 / W2)

Constituye una unidad de referencia para medir la potencia de una señal o la intensidad de un sonido.

En este caso, el uso los de logaritmos tiene la ventaja de que pueden ser fácilmente sumados o restados y de que el oído humano responde naturalmente a niveles de señal en un forma aproximadamente logarítmica.

El decibel y el nivel de presión sonora

En este capítulo, al hablar de presión sonora, hemos mencionado la enorme diferencia de intensidades que existe entre el umbral de dolor y el sonido menos intenso que el ser humano es capaz de percibir con una relación de valores aproximada de 100.000.000.000.000 a 1, considerando que el valor 1 está referido a la mínima presión de aire necesaria para estimular el oído.

Diversos estudios han establecido este valor en 20 mP a 1000 Hz, siendo equivalente, en el sistema MKS, a 20 mN/m2.

Para mediciones de intensidad o nivel sonoro en el aire se utiliza el dB SPL (Sound Pressure Level), referido a la mínima presión o umbral de audición.

Si ahora aplicamos la escala Bel a la medición de la intensidad del sonido, tendremos que 1014

(notación científica correspondiente a 100 billones) es igual a 14 Bels o 140 dB y expresa ese límite superior equivalente a cien billones de veces el umbral de mínima percepción (0 dB).

Ello también quiere decir que si se aumenta 10 dB la intensidad de un sonido, éste aumenta 10 veces; pero si en cambio se aumenta 20 dB, el incremento será de 100 veces y si lo hace 30 dB, estará aumentando 1000 veces.

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Nivel de presión sonora (SPL)

Expresamos el nivel de presión sonora (SPL) mediante la ecuación:

Donde: Pref = 20 mP = 2x10-5 (N/m2)

“El nivel de presión sonora expresa a 1000 Hz el valor en decibeles de la presión sonora relativa al umbral de audibilidad”.

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