ACTIVIDADES DE SEPTIEMBRE. MATEMÁTICAS 4º ESO OPCIÓN A.

UNIDAD 1: LOS NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES.

1.- Calcula y ordena de menor a mayor.

2.- Realiza las siguientes operaciones:

3.- Efectúa las siguientes operaciones y, si es posible, simplifica el resultado:

4.- Calcula.

5.- Calcula.

6.- Efectúa.

8.- Expresa el resultado como potencia única.

9.- Calcula, aplicando las propiedades de las potencias.

10.- Reduce aplicando las propiedades de las potencias.

11.- Una empresa aceitera dispone de 126 l de aceite que quiere envasar en botellas de 3/4 l para regalar a sus clientes. ¿Cuántas botellas podrá regalar? 12.- Tres amigos se reparten un premio. El primero se lleva 5/11 del total; el segundo, la tercera parte de lo que queda, y el tercero, el resto. Si el premio asciende a 1 375 €, ¿qué cantidad se lleva cada uno? 13.- En cierta empresa, 2/5 de los empleados son chicos, de los cuales 4/7 son licenciados. Si la empresa tiene 560 empleados, ¿cuántos chicos hay?, ¿cuántos son licenciados? 14.- Un alumno estudia por la mañana 5/8 partes de una unidad, y por la tarde, el resto, que son 15 páginas. ¿Cuántas páginas tiene la unidad? 15.- Una empresa gasta 3/7 de su presupuesto en la formación de sus empleados, y 1/5, en renovar ordenadores. ¿Qué fracción del presupuesto se ha gastado? ¿Qué fracción le queda? Si el presupuesto es de 128 030 €, ¿cuánto dinero le queda? 16.- Pablo, para ir a su trabajo, recorre la sexta parte del trayecto en coche; 5/6 del resto, en tren, y los 5 km restantes, en autobús. ¿Qué distancia recorre?

UNIDAD 2: LOS NÚMEROS DECIMALES. 1.- Calcula y expresa el resultado en notación científica.

2.- Transforma en número decimal las siguientes fracciones:

3.- Rodea los números que pueden expresarse como fracción y exprésalos como fracción.

4.- Aproxima a las milésimas los números siguientes:

5.- Efectúa y expresa el resultado en notación científica (comprueba los resultados con la calculadora).

6.- Expresa en notación científica y calcula.

7.- Da una cota del error absoluto y otra del error relativo para las siguientes aproximaciones: a) Asistentes a un concierto: 12 000 personas. b) Distancia entre dos localidades: 65,6 km. c) Precio de una moto: 8 900 €. d) Número de habitantes de una ciudad: 5 millones. e) Longitud de una varilla: 2,3 m.

UNIDAD 3: LOS NÚMEROS REALES. 1.- Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales, irracionales y/o reales:

2.- Escribe en forma de intervalo y representa en cada caso:

3.- Escribe en forma de desigualdad y representa en cada caso:

4.- Halla el valor de k en cada caso:

5.- a) Expresa en forma exponencial.

b) Expresa en forma de raíz.

6.- Simplifica y extrae del radical los factores que puedas.

7.- Calcula y simplifica.

8.- Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

9.- Suprime el radical del denominador y simplifica.

10.- Suprime el radical del denominador y simplifica.

UNIDAD 4: PROBLEMA ARITMÉTICOS. 1.- Un operario tarda 5 días en poner tarima flotante a una habitación de dimensiones 35 m x12 m. ¿Cuánto tardaría si la habitación fuera de 30 m x 14 m? 2.- Un grupo de amigos recorren 350 km en 12 días andando 7 horas al día. ¿Cuánto tardarán en recorrer 100 km más si reducen la marcha en 1 hora diaria?

3.- Cuatro personas pagan 1 330 € por alojarse en una casa rural durante una semana. Si fueran dos personas más, ¿cuánto pagarían por 15 días? 4.- Diez obreros realizan una obra en 12 días trabajando 9 horas diarias. ¿Cuántos obreros se necesitan para realizar esa misma obra en 15 días a un ritmo de 8 horas diarias?

5.- En una granja, 16 vacas consumen 100 kg de pienso en 15 días. Si se compran 2 vacas más, calcula cuántos días podrán comer si se compran 20 kg más de pienso. 6.- Para limpiar 3 plantas de un edificio se contrata a un equipo de 20 personas trabajando 6 horas al día. Si se quieren limpiar 5 plantas iguales haciendo que el equipo trabaje 8 horas diarias, ¿cuántos trabajadores se necesitan?

7.- Por enviar un paquete de 10 kg de peso a una población que está a 130 km de distancia me han cobrado 14 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 26 kg a una población que está a mitad de distancia? 8.- Un solador embaldosa un suelo de 180 m2 en 3 días trabajando 9 horas al día. Le ofrecen el trabajo de embaldosar un suelo de 420 m2 en una semana. Calcula cuántas horas diarias tiene que trabajar. 9.- Tres socios invierten 1 millón, 2 millones y 5 millones de euros, respectivamente en un negocio que al cabo de un año rinde un beneficio de 600.000 €. ¿Qué cantidad de los beneficios corresponde a cada uno? 10.-Tres tiendas de confección compran un lote de piezas iguales de tela que cuestan 79 800 €. La primera se queda con 7 piezas; la segunda, con 3, y la tercera, con 4. ¿Cuánto ha de pagar cada tienda?

11.- Un comerciante mezcla 220 litros de vino de 1,8 €/l con 140 litros de otro vino cuyo precio es de 3,6 €/l. Calcula el precio del litro de mezcla. 12.- Dos amigos que viven en poblaciones separadas 7 km, deciden salir a la misma hora para encontrarse en un punto intermedio del camino. El primero va caminando a 5 km/h y el segundo va patinando a 9 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse? 13.- Un ciclista, que lleva una velocidad de 24 km/h, persigue a un compañero que avanza por la misma carretera a 18 km/h y que le lleva una ventaja de 10 km. ¿Cuánto tardará el alcanzarlo? 14.- Hace una año compré un coche que me costó 8.000 €. Si lo vendiera ahora, me darían un 30% menos de su valor inicial. ¿Cuál es el precio actual del coche? 15.- Un fontanero cobra 15 € por hora en horario normal y un 18% más si se le llama fuera de horario. ¿A cuánto subirá la factura para un arreglo que le ha exigido dos horas y media de trabajo en la mañana de un domingo? 16.- Un pueblo tenía 35.000 habitantes. Su población aumentó un 18% y, después, un 25%. ¿Cuántos habitantes tiene ahora? 17.- Una persona gana un premio de 78 000 € en la lotería primitiva y decide colocarlo en un banco que le ofrece un 4,25% anual. Si cada año saca los intereses y mantiene el capital con las mismas condiciones, ¿qué cantidad tendrá al cabo de 1 año? ¿Y después de 6 años? UNIDAD 5: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. 1.- Dados los monomios A = 6x, B = –2x3 y C = 3x2, calcula:

2.- Dados los polinomios

!

A = 3x 3 " 5x 2 + 7 y

!

B = "x 3 + 2x 2 " 8x , calcula:

3.- Efectúa las siguientes operaciones:

4.- Desarrolla aplicando las identidades notables.

5.- Realiza las siguientes operaciones con polinomios utilizando las identidades notables y simplificando.

6.- Calcula el cociente y el resto en cada una de estas divisiones:

7.- Saca factor común y utiliza los productos notables para factorizar los siguientes polinomios:

8.- Reduce las siguientes expresiones:

9.- Desarrolla A 2 – B 2 y simplifica en cada uno de los siguientes casos:

10.- Reduce las siguientes expresiones:

UNIDAD 6: ECUACIONES E INECUACIONES. 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

!

x " 32

"5x +13

=1" 9x6

!

2 (x + 2)3

" 4 (x " 4) =3x " 42

!

x +12

+x " 35

" 2x =x " 85

" 6

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado mas complejas:

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

5.- Resuelve las siguientes ecuaciones factorizadas:

6.- Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales (no olvides comprobar las soluciones que obtengas):

7.- Carlos tiene 8 años más que Víctor y entre los dos suman 36 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? 8.- La suma de tres números pares consecutivos es la sexta parte del producto de los dos menores. ¿Cuáles son esos números? 9.- Halla tres números impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen 515. 10.- Calcula las dimensiones del rectángulo cuya base es el triple de su altura y el perímetro mide 20 cm. 11.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 20 cm y la hipotenusa supera en 8 cm al otro cateto. Calcula el área y el perímetro del triángulo. 12.- El perímetro de un rectángulo mide 46 cm, y la longitud de la diagonal, 17 cm. Calcula los lados del rectángulo. 13.- Resuelve y representa gráficamente las soluciones.

14.- Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

UNIDAD 7: SISTEMAS DE ECUACIONES. 1.- Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones indicando la solución:

2.- Resuelve por el método que consideres más adecuado estos sistemas de ecuaciones lineales:

3.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales por el método más adecuado:

4.- Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 6 €; seis kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13 €. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas? 5.- El perímetro de un triángulo isósceles es de 27 cm y se sabe que el lado desigual mide 3 cm más que los la- dos iguales. Calcula la longitud de los lados del triángulo.

6.- Por un monedero y un bolso habría pagado hace una semana 96 €. El monedero tiene una rebaja del 15%, y el bolso, del 30%, pagando entonces por ambos 72,60 €. ¿Cuánto costaba cada uno de los artícu- los hace una semana? 7.- La diferencia de dos números es 3, y la de sus cuadrados, 45. Halla los números. 8.- En un test se hacen 60 preguntas. Por cada acierto se dan 50 puntos, y por cada error se descuentan 20. Si Nuria ha obtenido 2 440 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado? 9.- Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya superficie es 480 cm2 y su altura es 5/6 de su base. 10.- Pedro compra una plaza de garaje y un trastero por 30000 €. Al cabo de un tiempo, los vende por 34 950 €. Con la plaza de garaje ganó un 15% de su valor, y con el trastero, un 20%. ¿Cuánto le costó ca- da propiedad? 11.- La suma de dos números es 14. Añadiendo uno al mayor se obtiene el doble del menor. Halla los dos números. UNIDAD 8: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS.

1.- Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

!

f (x) = 2x 2 " 3x

!

f (x) =x + 34

!

f (x) =5x "1

!

f (x) =7xx + 3

!

f (x) =x "1x 2 + 3x

!

f (x) =x 2

x 2 + 3

!

f (x) =2x +1

x 2 + 5x + 6

!

f (x) =4

x 3 " 4x

!

f (x) = x

!

f (x) = x + 4

!

f (x) = "x + 5

!

f (x) = 8 " 4x

2.- Observa las siguientes gráficas y contesta a las siguientes preguntas.

a) Di cuál es su dominio de definición y su recorrido. b) ¿Tienen máximo y mínimo relativo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c) ¿En qué intervalos es creciente la función? ¿en cuáles es decreciente?

3.- Observa la gráfica siguiente y resuelve las cuestiones:

a) ¿En qué intervalos es continua la función?

b) ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad?

4.- Halla la tasa de variación media de la siguiente función en los intervalos indicados:

, ,

5.- Calcula la T.V.M. de la función

!

f (x) = x 2 " 3x + 4 en los siguientes intervalos: a) [2, 3] b) [3, 4] c) [3; 3,5] d) [4, 5] e) [1, 2] f ) [2, 4]

UNIDAD 9: LAS FUNCIONES LINEALES.

1.- Determina la ecuación de las siguientes rectas dadas por un punto y su pendiente:

A a)

!

P 3, 7( ) ,m = 4

b) b)

!

P 0, "1( ) ,m =1,2

C c)

!

P "3, 0( ) ,m =15

2.- Representa cada una de estas funciones y di cuáles de ellas son de proporcionalidad y cuáles son constantes:

!

f (x) = 3

!

f (x) = "3x

!

f (x) =x2

!

f (x) = "3

3.- Representa las siguientes rectas y di, en cada caso, cuál es su pendiente y cuál es la ordenada en el origen:

!

f (x) = "3x + 9

!

f (x) =2x " 55

!

f (x) =x2

+ 6

!

f (x) = "3 " x

4.- Escribe la ecuación de las funciones dibujadas:

5.- En una compañía telefónica el precio de cada minuto de llamada en horario normal es de 0,25 € y en horario reducido es de 0,20 €. El horario reducido es de 16 h a 8 h. Una persona hace una llamada a las 15:55 h. a) ¿Cuánto cuesta la llamada si dura 5 min? ¿Y 15 min? ¿Y 30 min? b) Haz la gráfica de la función que nos da el precio de la llamada dependiendo del tiempo que dure esta. Supón que la llamada no va a durar más de 40 minutos.

6.- Representa las siguientes funciones, señala su dominio de definición y estudia su continuidad:

!

f (x) ="2x "1 si x #13 si1 < x < 5

$ % &

!

f (x) =

3x " 4 si x < 3x + 5 si 3 # x # 712 si 7 < x <10

$

% &

' &

!

f (x) ="2x "1 si x #13 si1 < x < 5

$ % &

!

f (x) =

2 si " 3 # x <1"2x + 3 si 1# x < 5"7 si 5 # x < 8

$

% &

' &

7.- ¿Cuál es la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica?

UNIDAD 10: OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES.

1.- Representa las siguientes parábolas y halla el vértice en cada caso, indicando si es un máximo o un mínimo:

!

f (x) = x 2 + 3x

!

f (x) = "x 2 " 2x " 4

!

f (x) = x 2 " 4

!

f (x) = 2x 2 "10x + 8

2.- Representa cada una de las siguientes funciones:

3.- Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de

!

x ordenadores son:

!

G(x) = 20.000 + 250x en euros y los ingresos que se obtienen por las ventas son:

!

I(x) = 600x " 0,1x 2 en euros. ¿Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo? 4.- En el contrato de alquiler de un apartamento figura que el precio subirá un 5% anual. Si el precio es de 250 € mensuales, ¿cuál será dentro de 5 años? Escribe la función que da el precio del alquiler según los años transcurridos. 5.- Asocia a cada gráfica una de las ecuaciones:

6.- Representa cada una de las siguientes funciones:

7.- Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de

!

x ordenadores son:

!

G(x) = 20.000 + 250x en euros y los ingresos que se obtienen por las ventas son:

!

I(x) = 600x " 0,1x 2 en euros. ¿Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo? 8.- En el contrato de alquiler de un apartamento figura que el precio subirá un 5% anual. Si el precio es de 250 € mensuales, ¿cuál será dentro de 5 años? Escribe la función que da el precio del alquiler según los años transcurridos. UNIDAD 11: LA SEMEJANZA Y SUS APLICACIONES. 1.- ¿Cuáles de estas figuras son semejantes? Justifícalo y di cuál es la razón de semejanza.

2.- Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos. ¿Cuánto miden los lados a y b ?

3.- Una parcela con forma de cuadrilátero irregular tiene 450 m2 de área y uno de sus lados mide 15 m. Calcula el área de un cuadrilátero semejante al de la parcela en el que el lado correspondiente al dado mide 25 cm.

4.- Para medir la altura de un árbol, María, que mide 1,62 m, buscó un palo de 2 m de alto y tomó las medidas que se indican en el dibujo. ¿Cuál es la altura del árbol?

5.- Una maqueta de una urbanización está hecha a escala 1:400. a) Si el perímetro de la maqueta es 3,75 m, ¿cuál es el perímetro real? b) La zona edificada ocupa en la maqueta 62,5 dm2. ¿Cuál es la superficie real edificada? c) Calcula los litros de agua necesarios para llenar la piscina de la urbanización si en la maqueta tiene 5 cm3. 6.- La razón entre las áreas de dos rectángulos semejantes es 9 . Si el perímetro del menor es 138 m, ¿cuál será el perímetro del mayor? 7.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 16 cm. ¿Cuál será el área de otro semejante cuya hipotenusa mide 85 cm? 8.- Las áreas de los círculos máximos de dos esferas son 100π cm2 y 16π cm2. ¿Cuál será la razón entre sus radios? ¿Y la razón entre los volúmenes de las dos esferas? 9.- Una parcela tiene forma de trapecio isósceles con las dimensiones indicadas en la figura. Se quiere insta- lar un foco luminoso en el punto donde se cortan los lados oblicuos. ¿A qué distancia de B y de C estará el foco?

UNIDAD 12: GEOMETRÍA ANALÍTICA. 1.- Comprueba analíticamente si los puntos P(–1, 3), Q(2, 6) y R(16, 48) están alineados. 2.- Halla la ecuación de las rectas siguientes: a) r: Pasa por A(–3, 5) y B(1, 2). b) s: Pasa por C(4, –1) y su pendiente es 14. 3.- Escribe la ecuación de las rectas r y s que pasan por el punto P(–5, 2) y son: a) Paralela a 3x – 2y + 5 = 0. b) Perpendicular a x – 2y – 3 = 0. 4.- Calcula el valor de k para que el punto P (k, 17) pertenezca a la recta que pasa por (–1, 3) y (2, 6). 5.- Halla el punto de intersección de las siguientes rectas: r: 8x + 9y – 52 = 0 y s: 3x + 2y – 3 = 0 6.- Los puntos A(–1, 3), B(2, 6), C(7, –2) y D(–5, –3) son vértices de un cuadrilátero. Halla los puntos medios de sus lados. 7.- Calcula la distancia entre los puntos (–3, 5) y (2, –7). 8.- Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices A(–2, 1), B(4, 11/2) y C(1, –3) es rectángulo.

9.- Halla la longitud de la mediana que parte del vértice B en el triángulo A(–2, –3), B(6, 1) y C(2, 5). 10.- Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a)

!

r : 5x " 4y +10 = 0 y s : y = 2x +1 b)

!

r pasa por

!

2, "1( ) y

!

8, 2( ) ;

!

s pasa por

!

2, 5( ) y su pendiente es -1. c)

!

r pasa por

!

3, 8( ) y

!

8, 3( ) ;

!

s:

!

x + y =11 d) )

!

r pasa por

!

2, 4( ) y

!

4, 7( ) ;

!

s:

!

y = 32 x " 2 11.- Calcula, en cada caso, el valor de k para que se cumpla la condición indicada: a) La recta kx + 5y – 3 = 0 sea paralela a 6x – 2y + 1 = 0. b) La recta 5x + ky – 7 = 0 sea perpendicular a 2x – 3y + 1 = 0. c) El punto (k, –3) pertenezca a la recta 7x – 3y + 5 = 0. d) El punto de corte con el eje OY de la recta x – 6y + 15 = 0 sea (0, k).

UNIDAD 13: ESTADÍSTICA. 1.- Los puntos conseguidos por Teresa y por Rosa en una semana de entrenamiento, jugando al baloncesto, han sido los siguientes:

a) Halla la media de cada una de las dos.

b) Calcula la desviación típica y el coeficiente de variación. ¿Cuál de las dos es más regular? 2.- Contando el número de erratas por página en un libro concreto, David ha obtenido los datos siguientes:

Halla la media y la desviación típica. 3.- En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los siguientes datos:

Calcula la media y la desviación típica.

4.- A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas respondieron esto:

a) Haz la tabla de frecuencias, incluyendo las frecuencias acumuladas y su expresión en porcentaje. b) Calcula la mediana, los cuartiles y los percentiles de orden 80 y 98. 5.- Las edades de un grupo de personas se distribuyen del siguiente modo:

Calcula

!

x ,

!

" y CV. Represéntalo gráficamente (histograma). 6.- El número de hijos de una serie de familias viene dado por la siguiente tabla:

Calcula

!

x ,

!

" y CV. Represéntalo gráficamente (diagrama de barras). UNIDAD 14: CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 1.- Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos el número obtenido.

a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Escribe los sucesos: A = “Menos de 5 ” B = “Más de 4 ”

C = “Número par ” D = “No múltiplo de 3 ”

2.- Lanzamos una moneda tres veces y anotamos los resultados. Describe el espacio muestral (hay 8 casos).Describe los sucesos:

A = “Obtener dos veces cara ” B = “Obtener dos veces cruz ” C = “No obtener ninguna cruz ”

3.- Se lanza un dado de seis caras, numeradas del 1 al 6, y se consideran los siguientes sucesos: A = “salir par ” B = “salir un número mayor que 3 ” C = {1, 2, 6} Escribe los sucesos elementales que componen los siguientes sucesos:

4.- En un examen de Matemáticas aprueban 16 de los 28 alumnos de una clase. Calcula la probabilidad de que, elegido un alumno al azar, haya obtenido un aprobado. 5.- En una urna hay 5 bolas blancas, 6 bolas negras y 7 bolas rojas. Extraemos una bola al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

A = “Extraer una bola blanca ” B = “No extraer una bola negra ” C = “Extraer una bola blanca o roja ”

6.- Una urna contiene 2 bolas rojas, 5 bolas azules y 4 bolas amarillas. Se extraen 2 bolas de forma consecutiva y sin reemplazamiento. Realiza un diagrama de árbol para describir los posibles sucesos elementales de este experimento. Con ayuda del diagrama, calcula las siguientes probabilidades: A = “obtener dos bolas amarillas ” B = “obtener la última bola roja ” C = “obtener dos bolas del mismo color ”

7.- En la siguiente tabla se contabilizan los accidentes de tráfico ocurridos durante un fin de semana, atendiendo a si hubo víctimas mortales (VM) o no las hubo (no VM) y a la utilización del cinturón de seguridad (CS) o no utilización (no CS).

Calcula las siguientes probabilidades y explica sus significados:

8.- Se realiza un estudio sobre enfermedades de pulmón a 500 personas. Los datos se recogen en la siguiente tabla. Calcula las siguientes probabilidades y explica sus significados: