Actividades de matemticas 4 de E.S.O.

Actividades de matemticas 4 de E.S.O. 2 edicin revisada

Jess Molina Nez Antonio M. Garca Barber Roland Calvo Calabuig

ISBN: 9788499489384

e-book v.1.0

ISBN edicin en Papel: 978-84-8454-544-6

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/. Cottolengo, 25 San Vicente (Alicante)www.ecu.fm

Maqueta y diseo: Gamma. Telf.: 965 67 19 87C/. Cottolengo, 25 San Vicente (Alicante)www.gamma.fmgamma@gamma.fm

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningn procedimiento electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, grabacin magntica o cualquier almacenamiento de informacin o siste ma de reproduccin, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

ndice Tema 1: Nmeros Reales 5 Tema 2: Polinomios 19 Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas 41 Tema 4: Funciones 79 Tema 5: Semejanza 131 Tema 6: Trigonometra 149 Tema 7: Funciones trigonomtricas 165 Tema 8: Estadstica 191 Tema 9: Probabilidad 229 Soluciones 258 Este libro ha sido pensado para las dos opciones, se han sealado con la letra B aquellos temas o actividades recomendables slo para la opcin B.

Tema 1: Nmeros Reales En cursos anteriores hemos clasificado los nmeros segn el cuadro siguiente:

::

Reales :

NaturalesEnteros

Racionales negativosRacionales no enteros

Irracionales

Actividad 1.- Clasifica los nmeros atendiendo al cuadro anterior.

33

3 3

3 3

3 62; 2; ; 4; ; 8; ; 4,25 ; 5; 24 2

1 93,22222... ; 0; ; 2; 3,101001000....; ; 13 3

23,15222... ; 1; ; 4; 11,23581321....; 1; 57

Para poder distinguir entre los distintos tipos de nmeros, daremos algunas propiedades que nos sern de utilidad:

6

Naturales: no tienen parte decimal, son positivos, sirven para contar cosas:

39;8;4;2 3

Enteros: no tienen parte decimal, pero pueden ser positivos o negativos:

39;1;8;

26;4;2;2 33

Racionales: son todos los que se pueden expresar como divisin de dos nmeros enteros. En principio cualquier nmero decimal con una cantidad finita de cifras decimales o con un cierto periodo decimal.

333 6 92 ; 2 ; ; 4; ; 8; 4, 25 ; 3, 222222... ; 1; ; ;4 2 3

13

Irracionales: todos los no racionales, es decir, aquellos que no se pueden representar como una fraccin, por tanto debern tener infinitas cifras decimales y stas no seguir ningn periodo.

3 3; 5; 3,101001000....; 4; 2 Actividad 2.- Clasifica los siguientes nmeros:

3

33

2 83,12345....; 6, 25; 4; ; 64; ; 8; 4;3 4

2 12; ; 5; 4; 6, 24242424...; 2,10222..7 3

Notacin cientfica A menudo es necesario debido a la magnitud de ciertas cantidades trabajar en lo que se denomina notacin cientfica, que consiste en expresar ciertas cantidades que suelen ser muy grandes o muy pequeas como producto de un nmero pequeo por una potencia de 10. Esto resulta bastante til no slo a la hora de expresarlo sino tambin a la hora de operar con ellos. Para hacer operaciones en notacin cientfica es necesario dominar las propiedades de las potencias.

0 1a = n m n ma a a += n

n mm

a aa

= 1m ma a = ( )mn na a= m

7

Veamos a continuacin algunos ejemplos de dichas cantidades, que en ciencia son bastante comunes: o El radio del protn es 0,00000000005 metros. o El tamao del virus del resfriado comn es 0,0000000022 metros. o La masa de la Tierra es 5980000000000000000000000 kilos. o El nmero de partculas que hay en un litro de aire en condiciones

ambientales es 2448373980000000000000. o La distancia media de la Tierra a la Luna es 384000000 metros. o La distancia media de la Tierra al Sol es 149600000000 metros. o La masa de la Luna es 73474000000000000000000 kilos. o La masa del Sol es 1988920000000000000000000000000 kilos. o El radio del Sol es 696000000 metros. o La velocidad de la luz es 300000 km/s. o Altitud del Everest 8846,1 metros. o Tiempo transcurrido desde la desaparicin de los dinosaurios 65000000

aos o Una diezmillonsima. Veamos algunas de estas cantidades expresadas en notacin cientfica: o Radio del protn: 0,00000000005 m = 5 10 -11 m o Dimetro del Sol: 2 696000000 m. = 1392000000 m. = 1,392 109 m. o Masa de la Tierra: 5980000000000000000000000 Kg. = 5,98 10 24 Kg. Actividad 3.- Expresa el resto de las cantidades anteriores en notacin cientfica. Actividad 4.- Cuntas veces pesa ms la Tierra que la Luna? y el Sol que la Tierra? Actividad 5.- Sabiendo que un ao luz es la distancia que la luz recorre a lo largo de un ao en kilmetros, calcula esa distancia.

8

Veamos ahora algunos ejemplos de cmo operar en notacin cientfica: a) En el caso de las multiplicaciones y divisiones, bastara con aplicar las

propiedades de potencias y agrupar las potencias de base 10, multiplicando o dividiendo tambin los nmeros que acompaan a stas:

( ) ( ) ( )20515515

2108108

93636

1076210322110321021iii10310123610121036ii

10322110251410251014i

+

====

==

,,,,,),,,,)

,,,,,)

b) En el caso de sumas y diferencias, para poder resolverlas los sumandos

deben tener la misma potencia de 10, en caso contrario deberemos de convertir una de ellas. Veamos algunos ejemplos:

( ) ( )

444439999910

10101010

103331031103210311023iii106321042351042103510421053ii

1086104821041082i

=+=+===

=+=+

,,,,),,,,,)

,,,)

Actividad 6.- Resuelve las operaciones siguientes: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 313243

25251820

313099

10211027f1021087c1041051e1051052b

10521052d105103a

,,),),),)

,,))

) Actividad 7.- Resuelve las operaciones siguientes:

313243

25251820

313099

10611087f106110782c10641056e10421052b10642105d10541073a

+

++

,,),,),,),,),),,)

9

Nmeros racionales Los nmeros racionales podemos expresarlos de dos formas distintas: de forma decimal o como fraccin de dos nmeros enteros.

Ejemplo: 5

1743 =, Veamos el paso de decimal a fraccin, ya que el paso contrario slo consiste en realizar la divisin. Supongamos que tenemos un nmero con una cantidad finita de cifras decimales; multiplicndolo por una potencia de 10 obtendremos un nmero entero, por tanto slo nos queda despejar el nmero y lo tendremos en forma de fraccin. Veamos un ejemplo:

25004189

100002875628756100008756,2 ==== xxx

Supongamos ahora que tenemos un nmero con una cantidad infinita de cifras decimales que tiene algn periodo. La idea consiste en obtener dos nmeros peridicos puros con el mismo periodo (multiplicando el nmero por dos potencias de 10 distintas); una vez hecho esto restaremos dichas cantidades y obtendremos un mltiplo de nuestro nmero, que en realidad es un nmero entero, as pues slo nos queda despejar nuestro nmero. Veamos un ejemplo:

( ) 49511611

99023222x

000023222x9905656234x10565623456x1000

4565623x ===

==

=...,...,...,

..,

Actividad 8.- Expresa los siguientes nmeros como fracciones de nmeros enteros:

...12345,2)...67888,5)

999,2)

....271271,381)...234141,29)

575,5)

...2323,31)...999,1)

32,2)

ihg

fed

cba

10

Nmeros irracionales Al igual que cuando trabajamos con nmeros racionales, normalmente en nuestros clculos no solemos trabajar con nmeros en expresin decimal (trabajamos con las fracciones). Con los nmeros irracionales intentaremos hacer lo mismo siempre que esto sea posible. Pero los nmeros irracionales tienen diversas procedencias, por lo que no existe una forma general de expresarlos.

....,....;,

;;;;;;;;

45512358132131000101001000101

251327532 43 +

Muchos de los nmeros irracionales aparecen en forma de radical. Por tanto nos interesa recordar la equivalencia entre los radicales y las potencias. As expresaremos la raz ensima de un nmero en forma exponencial

nn aa1

= nm

n m aa = Usando dicha relacin, se puede comprobar que se cumplen las propiedades siguientes:

a) nnn baba =

b) n

nn

ba

ba =

c) ( ) n ppn aa = d) nmm n aa =

Partiendo de estas propiedades se podrn realizar algunos clculos y simplificaciones que sern muy tiles.

11

Para calcular de races (de cualquier ndice) descompondremos el radicando en factores primos y utilizaremos las propiedades de las races. Ejemplo, cuando es exacta:

a) 505252522500 2124

22

42 ====

b) 9333729 236

3 63 ====

c) 42221024 2510

5 105 ====

d) 427327321764 22

22

22

222 === Actividad 9.- Calcula las siguientes races:

a) 144 b) 3 1000

c) 196 d) 3 1728

e) 676 f) 225

Ejemplo, cuando la raz no es exacta: En este caso extraemos factores de la raz simplificndola.

a) 2222228 21

22

2 ===

b) 58525252320 321

26

6 ====

c) 33 232

64

6 46 9333381 =====

d) 2222222512 21

22

23

69

6 96 =====

12

Actividad 10.- Extrae factores de las races y simplifica cuando sea posible:

a) 4 324 b) 6 1000

c) 216 d) 3 576

e) 32 f) 4 8100

g) 375 h) 3 375

En la comparacin de radicales, es decir, para determinar si un radical es mayor que otro, procederemos del siguiente modo: Ejemplo: Ordena los radicales 28 y 3 128

666 26 3

62

63

31

21

3

16384y21952128y28

128y28128y28128y28

Claramente llegados aqu, resulta que 3 12828 > Ejemplo: Ordena los radicales 4 8 y 6 32

46129

1210

123

122

41

61

46 8322y28y328y328y32 > Actividad 11.- Compara las siguientes races:

654000)

1060)

325)

4

3

4

yc

yb

ya

13

Para multiplicar y dividir races del mismo ndice, operaremos de la manera siguiente, multiplicamos o dividimos los radicandos y despus simplificamos la nueva raz. Ejemplo:

a) 4 2

4 2 22 28 18 8 18 144 2 3 2 3 2 3 12= = = = = =

b) 585252523201032 21

321

26

6 =====

c) 228972

972 3 333

3

3

====

d) 3 2

32

3

323

43

3

33

2

323

32332

72816

72816 ====

Actividad 12.- Resuelve y simplifica los siguientes productos y cocientes:

a) 7512 b) 548

c) 3

3

4500 d)

4

44

16212508

e) 33 6489 f) 33 1654

g) 27

192 h) 86

32

i) 27192 j) 8632

k) 33 4500 l) 444 16212508

m) 1275

n) 854

14

En la multiplicacin y divisin de races de distinto ndice convertimos las races en potencias, reducimos los exponentes al mismo denominador, volvemos a la notacin con radicales y simplificamos si se puede.

( )( )

12 1112 231223

1215308

45

25

32

45

25

32

41

21

31

4

3

331

311

32

22

33

32

21

2

31

32

21

31

3

151515 35153

155

51

31

53

2222222

22

32

32432

324c

32

3

223233

23

3

23

9

72972b

250008312525252525a

=======

=======

=====

++

)

)

)

Actividad 13.- Resuelve y simplifica los siguientes productos y cocientes:

24964d549b

8500c1612a

343

33

))

))

No existen propiedades para sumar ni restar races. No obstante para realizar operaciones de este tipo simplificamos y extraemos factores. Nos podemos encontrar con dos casos: Radicandos distintos, ejemplo:

322 +

no podemos hacer nada, (si acaso calcular una aproximacin).

Radicandos iguales, ejemplo:

22322232188 23 ===

15

Veamos ahora otros ejemplos donde tambin se podr simplificar:

3221228322424322843232d

523

56521221032

52652322586200

32c

5365652565253620b

33310323532532351253275a

35

323

2

22

=+=+=+

+=++=

=++=++

+=+=+=+

=+=+=+

)

)

)

)

Actividad 14.- Resuelve y simplifica las sumas y restas siguientes:

a) 9205005 +

b) 27312275 + c) 12508332 + d) 12 75 300 +

e) 20 45 6059 +

f) 44 99 176 + g) 3 324 375+ h) 3 31024 1458

16

Racionalizacin Cuando tenemos una fraccin con algn radical en el denominador, buscaremos una fraccin equivalente en la que no aparezca el radical en el denominador. Para conseguirlo usaremos las propiedades siguientes: ( ) aaaa 2 ==

npaaaa n nn pnn p

17

Actividades de refuerzo 1. Clasifica los nmeros:

3;9;8;875,2;27;9;28;

82;33,4...;333,2 3

Sol Q; Q; Q; Z; ; Z; Q; I; N; 2. Realiza las operaciones en notacin cientfica:

15

18

2210

242223

10121024c

10651024b

105010541092a

+

,,)

,,)

,,,)

Sol a) 74,5 1022 b) 23,52 1012 c) 0.002 3. Expresa en forma de fraccin las expresiones decimales:

...25777,2)....333,4)222,3) cba Sol a) 29/9 b) 13/3 c) 508/225

4. Extrae fuera de la raz todos los factores que sea posible y simplifica:

43

3

48d729b

80c8600a

))

))

Sol 3 410 86 9 2 10 2 3 5. Compara las races:

53

3

256y16b

1400y130a

)

)

Sol 3 3 5130 1400 16 256> <

18

6. Realiza las operaciones y simplifica:

3

3

3

33

4

108724d

3225100b

10100c624a

))

))

Sol 35 512 10 2 22

7. Resuelve y simplifica las sumas y restas de radicales:

10004001016932c

48827b

2518200272a

+

+

+

)

)

)

Sol 67 574) 2 )7 3 2 2 ) 10 105 3

a b c + 8. Racionaliza las expresiones:

a) 13 b)

1 33

c) 3

3

24

Sol a) 33

b) 3 33 c)

3 42

9. Racionaliza las expresiones:

3 1 3 1) ) )2 2 3 2 3 2

a b c 21 +

Sol 3 2 6 4 3 2 2 3 6) ) 3 2 3 6 )2 4

a b c+ + + +

Tema 2: Polinomios Actividad 1.- Expresa en el lenguaje algebraico las expresiones siguientes:

a) El doble de un nmero. b) El permetro de un tringulo equiltero es de 18 metros. c) El doble de un nmero menos su quinta parte. d) El doble de un nmero menos otro.

La respuesta a cada una de estas preguntas es una expresin algebraica en la que intervienen uno o ms trminos. Efectivamente, en el apartado ltimo de la actividad anterior la expresin es 2x y, donde intervienen dos variables. Actividad 2.- Expresa mediante el lenguaje algebraico cada uno de los enunciados siguientes:

a) El rea de un cuadrado de lado x. b) El rea de un crculo de radio x. c) El permetro de un cuadrado de lado x. d) El volumen de una esfera de radio x.

20

Cada una de las expresiones anteriores es una expresin algebraica que consta de un solo trmino. La expresin x2 que nos proporciona el rea de un crculo de radio x, est formada por el producto de una parte numrica y una parte literal x2. A la letra asociada (x) o parte literal se le denomina indeterminada. Un monomio es una expresin algebraica de la forma axn, donde a es un nmero real y n un nmero natural. Actividad 3.- Indica cuales de las expresiones algebraicas siguientes son monomios.

a) x2 b) x2 +3x 1 c) 2x 3 d) 32x4

e) 2153 x

En cada monomio nos encontraremos la indeterminada acompaada de un factor numrico que llamaremos coeficiente y un exponente al que va elevada, al que llamaremos grado del monomio. Actividad 4.- Indica cuales de las expresiones son monomios y el grado de los mismos.

a) 12x5 b) 3x4 c) 3x4 + 2x3 d) 5 x312 e) 7

21

En la actividad anterior la expresin 3x4 + 2x3 no es un monomio, ya que no cumple los requisitos de la definicin. En cursos anteriores estudibamos los sistemas de numeracin y la escritura de los nmeros en cada uno de ellos. En nuestro sistema, el nmero 4628 tiene el desarrollo siguiente:

81021061044628 23 +++= Esta es la manera de descomponer un nmero en potencias de 10. Si en lugar de las potencias de 10 ponemos una indeterminada, obtendramos una expresin de la forma:

4x3 + 6x2 + 2x + 8 A cualquier expresin de este tipo le llamaremos polinomio en una indeterminada. Un polinomio en una indeterminada x es una expresin de la forma:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + + a2x2 + a1x +a0 Donde cada uno de los exponentes es un nmero natural y los coeficientes a0 ... an son nmeros reales. Al mayor exponente al que va elevada la indeterminada le llamaremos grado del polinomio. Ejemplo: El polinomio 3x3 2x + 1 es un polinomio de grado 3, ya que el exponente de mayor grado de la indeterminada es 3. Un polinomio es completo si posee todos sus coeficientes y trminos en la indeterminada.

22

Actividad 5.- Indica los coeficientes de los polinomios:

A(x) = 3x3 2x2 + 5x 1 B(x) = 3x3 + x 1 C(x) = 2x + 3 D(x) = 2x2 4

Actividad 6.- Escribe un polinomio que cumpla las condiciones siguientes: De grado 4 completo y ordenado. De grado 4 y que slo tenga tres trminos. De la respuesta de la actividad anterior se deduce que a pesar de tener el mismo grado, no todos los polinomios son iguales. Actividad 7.- Encuentra los valores de a, b y c para que los polinomios A(x) y B(x) sean iguales.

A(x) = ax3 + 2x2 x + 1 B(x) = 2x3 bx2 + cx +1

Operaciones con polinomios Con polinomios se pueden realizar todas las operaciones elementales. La suma de polinomios es otro polinomio que tendr grado menor o igual que el mayor de los grados de los polinomios que intervienen. Cada trmino se obtiene como suma de los trminos de igual grado de cada uno de ellos.

23

Ejemplo: Sean los polinomios: A(x) = 3x4 2x2 + x 1 ; B(x) = 3x3 5x2 + 2x 3 y C(x) = 3x3 5x2 + 7

Calcula A(x) + B(x) y C(x) + B(x). En primer lugar ordenamos los polinomios y efectuamos la suma trmino a trmino.

4 2

3 2

4 3 2

3 23 5 2

3 3 7 3

x xx x x

x x x x

134

x + + +

+ +

3 2

3 2

2

3 53 5 2

10 2 4

x xx x x

x x

73

++ +

+ +

Para restar polinomios, le sumamos al primero el opuesto del segundo. Ejemplo: Sean los polinomios P(x) = 3x3 2x2 +5x 1 y Q(x) = 2x3 6x +3. Calcula P(x) Q(x). P(x) Q(x) = ( 3x3 2x2 + 5x 1) + (-2x3 + 6x 3) = x3 2x2 + 11x 4 Multiplicar un polinomio por un nmero es multiplicar todos los trminos del mismo por dicho nmero. Ejemplo: Sea P(x) = 2x4 7x2 + 2x 3. Calcula 3P(x).

3P(x) = 6x4 21x2 + 6x 9 Para multiplicar polinomios, se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los trminos del segundo polinomio y despus se suman los monomios de igual grado. Ejemplo: Sean los polinomios A(x) = 2x y B(x) = x2 2x + 1. Calcula A(x) B(x). A(x) B(x) = 2x (x2 2x + 1) = 2x3 4x2 + 2x

24

Ejemplo: Sean los polinomios A(x) = 2x +1 y B(x) = x2 2x +1. Calcula A(x) B(x). A(x) B(x) = (2x +1) ( x22x+1) = 2x34x2+2x+x22x+1 = 2x3 3x2 + 1 La potencia de exponente natural de un polinomio se obtiene multiplicando dicho polinomio por s mismo tantas veces como indique el exponente. Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = 2x2 3x + 2. Calcula (P(x))2. (P(x))2 = (2x2 3x + 2) (2x2 3x + 2) = = 4x46x3+4x26x3+9x26x+4x26x+4 = 4x4 12x3 +17x2 12x +4 Actividad 8.- Dados los polinomios: A(x)= 4x33x2+5x1, B(x)= 2x +3, C(x)= 2x2 5x 1 y D(x) = 3x3 + 6x2 7x + 4. Efecta las operaciones siguientes:

A(x) + B(x) = A(x) C(x) = A(x) B(x) = A(x) + 3D(x) = A(x) + B(x) D(x)= A(x) (C(x) B(x)) = A(x) + D(x) + C(x) = A(x) B(x) C(x) = (B(x))3 = (D(x))2 =

La divisin de polinomios es una operacin ms compleja que las anteriores. Para dividir dos polinomios seguiremos las indicaciones siguientes: En primer lugar, dividiremos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor grado del divisor.

25

Ejemplo: Sea P(x) = 4x4 + 3x2 2x +1 y lo queremos dividir por el polinomio Q(x) = x2 + x 1. El monomio de mayor grado de P(x) es 4x4 y el de mayor grado del divisor es x2. Si efectuamos su divisin:

4x4 : x2 = 4x2 Ahora multiplicaremos cada trmino del divisor por dicho monomio y despus se lo restaremos al dividendo.

4 3 2

24 2

2

3 2

4 4 4

14 3 2 14

4 7 2 1

x xx x xx

x xx x

xx

+ + +

+ + +

El polinomio resultante es el nuevo dividendo y repetimos el proceso.

-4x3 : x2 = -4x Multiplicaremos todos los trminos del divisor por (4x) y el resultado se lo restaremos al dividendo.

3 2

4

4 3

2 2

2

2

2

2

3 2

4 4 4

4 3 2 1 1

4 4 14 7 2 1

11 6 1

1711 11 11

4

1

4

2

4x x x x x

x xx x x

x xx x x

x x

x x

x

x

+

+ + + +

+

+

+

+

+

+

1

Como el grado del polinomio 17x + 12 de grado menor que el del divisor, ya no podemos seguir efectuando la divisin. El polinomio R(x) = 17x + 12 ser el resto de la divisin y C(x) = 4x2 4x + 11 el cociente.

26

Para comprobar que la divisin est bien efectuada, realizaremos la comprobacin siguiente, que ya efectubamos con la divisin entre nmeros.

Dividendo igual a divisor por cociente ms el resto Actividad 9.- Encuentra un polinomio que al dividirlo por x2 2 nos d de cociente x + 1 y de resto x + 2. Actividad 10.- Realiza las divisiones siguientes:

(3x5 6x3 x2 + 4) : (x3 + 3x2 + 1) (4x3 2x2 + 5x 1) : (x2 + 2x 1) (4x4 7x3 + 2x2 x + 1) : (x3 + 2x2 x + 3)

Actividad 11.- Efecta las divisiones siguientes:

(3x4 + 7x3 5x2 + 2x 1) : (x2 2x 3) (4x3 7x2 + 2x 3) : (x2 + 3)

Cuando el coeficiente del trmino de mayor grado del divisor es distinto de uno, la divisin se complica al necesitar el uso de las fracciones. Ejemplo: Efecta la divisin (3x2 + 5x 1) : (2x + 3) Siguiendo el proceso anteriormente utilizado, dividimos 3x2 entre 2x, es decir:

23

23 2 x

xx =

El siguiente paso consiste en multiplicar por este factor todos los trminos del divisor y restar el resultado al dividendo.

27

2

2

2 33 5 19 3 132 2 41 121 32 4

74

xx x

x x x

x

x

++ +

Actividad 12.-B Realiza las divisiones de polinomios:

(4x3 + 2x2 5x 1) : (3x2 + x + 3) (5x4 + 6x3 2x2 + 3) : (2x3 3x2 + 4x 1) (3x3 5x2 + 2x + 3) : (3x2 + 5x 1)

Actividad 13.-B Realiza las divisiones siguientes:

(7x4 2x3 + 2) : (4x3 5x + 1) (2x5 + 4x4 7x3 + 2x2 5x + 1) : (3x3 + 2x 5)

Si la divisin es por un tipo particular de polinomio de primer grado, la podemos realizar por dos procedimientos diferentes: uno por el mtodo general y el otro aplicando la regla de Ruffini. Sean los polinomios:

A(x) = x3 + 2x2 2x + 1 y B(x) = x 1. Si efectuamos la divisin por el procedimiento general

28

3 2

3 2 2

2

2

12 2 1

3 13 2 13 3

112

xx x xx x x x

x xx x

xx

+ + + + +

+ +

+ +

Aplicando la comprobacin de la divisin:

D = d C + R Nos queda:

x3 + 2x2 2x + 1 = (x 1) (x2 + 3x + 1) + 2 Que tambin podramos escribir del siguiente modo:

( )( ) ( )

( )( )

D x r xq x

d x d x= +

3 2

22 2 1 23 11 1

x x x x xx x

+ + = + + + Ahora efectuaremos la misma divisin aplicando la regla de Ruffini. Consiste en colocar todos los coeficientes que acompaan a la indeterminada de la forma:

3 22 2 1

1

x x x+ +

1 2 2 1

Si el polinomio no es completo, pondremos un cero en el lugar que corresponda.

29

El 1 que hay en la parte inferior corresponde al valor que anula el divisor: x 1 = 0. En nuestro caso el polinomio es completo por lo que no tendremos que completarlo con ceros. A continuacin bajamos el primer coeficiente del dividendo.

1 2 2 11

1

El siguiente paso consiste en multiplicar el divisor por dicho coeficiente, sumarlo al trmino siguiente y repetir el proceso.

1 2 2 11 1 11 3

1 21 3

11

Si te fijas la divisin quedar:

2

1 3 11 3

1 2 2 11 1 1 1 1

2 2

1 3 1

1

divisorx resto

cociente x x

+ +

2)13()1(122 223 +++=++ xxxxxx Ejemplo: Efecta aplicando la regla de Ruffini la divisin entre polinomios:

(3x4 4x3 x + 1) : (x + 2) Para efectuar la divisin, en primer lugar completaremos el polinomio aadiendo un cero donde no exista un trmino:

4 33 43 4 0 1 1x x x 1 +

30

Observa que hemos puesto un cero, ya que el trmino de grado 2 no existe.

3 4 0 12

12x

+

El valor 2 corresponde a la solucin de x + 2 = 0 Una vez dispuestos los coeficientes, bajamos el primero

3 4 0 1

3

12

) ( ) ) ( )( )

( ) )( (

Despus se multiplica ( 2) por 3 y se le suma a (4) y as sucesivamente hasta llegar al ltimo coeficiente que ser el resto de la divisin.

(2 2 23 1 2 2 2 03 4 0 1 1

830 41

3 10 20 41

( )( )4 3 3 2

4 33 2

3 4 1 2 3 10 20 41 8

3 4 1 833 10 20 412 2

x x x x x x x

x x x x x x

3

x x

+ = + + +

+ = + ++ +

Actividad 14.- Efecta, si es posible, las divisiones por la regla de Ruffini.

(4x2 + 5x 3) : (x + 1) (3x4 5x3 + 7x2 2x + 13) : (x 4) (2x3 7x2 + 5x 6) : (x 3) (2x2 + 5x 1) : (2x 1) (3x3 + 4x + 7) : (3x 2)

31

Actividad 15.- Halla el valor de k para que el resto de dividir 3x5 4x4 + 2x3 + kx 3 entre x 1 sea 2. Actividad 16.- Sabiendo que la divisin 2x3 ax2 + ax + 28 entre x + 2 es exacta, calcula el valor de a. Hasta ahora hemos visto que cualquier polinomio se puede dividir por otro de la forma x a, bien por el mtodo tradicional bien aplicando la regla de Ruffini. Adems hemos visto que:

Dividendo igual a divisor por cociente ms el resto D = d c + r

Esto quiere decir, que si quiero dividir el polinomio H(x) por x- a obtendr un cociente C(x) y un resto R.

H(x) = (x a) C(x) + R Si en esta igualdad sustituimos el valor de x por el valor a, obtendremos:

H(a) = (a a) C(a) + R O lo que es lo mismo

H(a) = 0 + R = R Este resultado nos muestra cmo obtener el resto de una divisin sin efectuarla. Lo anteriormente expuesto recibe el nombre de teorema del resto y lo podemos enunciar de la siguiente manera: El valor numrico de un polinomio H(x) para x = a, es igual al resto de la divisin de dicho polinomio por x a.

32

Ejemplo: Calcula el valor numrico del polinomio P(x) = x2 5x + 3 para x = 1 y para x = 2.

P(-1) = (-1)2 5(-1) + 3 = 1+ 5 + 3 = 9

P(2) = 22 5(2) + 3 = 4 10 + 3 = 3 Actividad 17.- Calcula el valor numrico del polinomio B(x) = 2x3 +4x2 5x +1 para x = 2. Actividad 18.- Encuentra el resto de la divisin de C(x) = 4x5 7x3 + 2x2 5x + 11 entre x 1. Actividad 19.- Obtn el resto de las divisiones sin efectuarlas.

(4x3 2x2 + 5x 1) : (x 5) (4x4 + 12x3 5x2 15x 4) : (x + 1) (x3 5x2 + 6x 2) : (x 1)

Actividad 20.- Halla el valor de m para que el resto de la divisin 3x5 4x4 + 2x3 + m entre x + 1 sea 5. Actividad 21.- Encuentra los valores de m y n para que el polinomio P(x)= x3 + x2 + (m+1)x n+1 verifique P(0) = 2 y P(1) = 7. Mientras las dos primeras divisiones de la actividad 19 tenan resto distinto de cero, en la tercera el resto era cero. Vemoslo de otro modo, calculemos el valor numrico del polinomio P(x) = x3 5x2 + 6x 2 para x = 1.

P(1) = 13 5(1)2 + 6(1) 2 = 1 5 + 6 2 = 0

33

Diremos que un nmero es una raz de un polinomio si anula ese polinomio. Por tanto el valor x = 1 es una raz del polinomio x3 5x2 + 6x 2. Ejemplo: Sea el polinomio x2 3x + 2, encuentra las races enteras de dicho polinomio. Para encontrar las races enteras de un polinomio, probaremos con los divisores del trmino independiente, es decir: como el trmino independiente es 2, sus divisores son 1, 1, 2 y 2. Aplicando la regla de Ruffini tendremos:

1

1 3 21 1

2 21 0

2 0

2

Los valores x = 1 y x = 2 son los valores que anulan dicho polinomio y por tanto races del mismo. Actividad 22.- Encuentra las races de los polinomios siguientes: P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 Q(x) = x3- x2 4x + 4 M(x) = x3 + 2x2 5x 6 H(x) = x4 13x2 + 36 Si en un polinomio P(x), al sustituir la indeterminada por un nmero a, resulta que su valor numrico es cero, la divisin es exacta y, aplicando la regla de la divisin, nos queda:

P(x) = (x a) C(x) En estas circunstancias diremos que (x a) es un factor de dicho polinomio. Factorizar polinomios es descomponerlos en producto de sus factores.

34

En efecto, sea el polinomio P(x) = x2 3x + 2, las races de dicho polinomio las encontramos calculando su valor numrico (o aplicando la regla de Ruffini) para los divisores positivos y negativos del trmino independiente. P(1) = 1 3 + 2 = 0 P(2) = 4 6 + 2 = 0 O aplicando la regla de Ruffini

1

1 3 21 1

2 21 0

2 0

2

Su descomposicin factorial ser:

x2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Si el polinomio no tiene trmino independiente sacaremos factor comn. Ejemplo: Encuentra la descomposicin factorial del polinomio 7x4 7x2 Sacamos factor comn, aplicamos la regla de Ruffini y obtendremos

7x4 7x2 = 7x2 (x2 1) = 7x2 (x 1) (x + 1) Actividad 23.- Escribe un polinomio de grado 4 que tenga por races 1, 2, 1 y 2. Actividad 24.- Encuentra la descomposicin factorial de los polinomios:

3x3 6x2 15x + 18 x4 + 2x3 23x2 60x x4 + 2x3 6x2 13x 6 2x4 + 9x3 + 8x2 9x 10 x4 + 2x3 x2 2x

35

Al cociente entre dos polinomios se le denomina fraccin algebraica. Con las fracciones algebraicas se pueden realizar las mismas operaciones que con las numricas. Sean los polinomios P(x) = x3 2x2 + x 2 y Q(x) = x3 + x 10, llamamos fraccin algebraica al cociente:

1022

)()(

3

23

++=

xxxxx

xQxP

Para simplificar dicha fraccin, descompondremos en producto de factores ambos polinomios. x3 2x2 + x 2 = (x 2) (x2 + 1) x3 + x 10 = (x 2) (x2 + 2x + 5)

521

)52()2()1()2(

)()(

2

2

2

2

+++=++

+=xx

xxxx

xxxQxP

que es una fraccin irreducible. Actividad 25.-B Simplifica las fracciones:

a) 1243935

23

23

+++

xxxxxx b)

14x3x9x27x19x6

23

2

++

Actividad 26.-B Simplifica las fracciones:

a) xx

xxx66

2423

23

++ b)

)4()1()1()2(

22

2

++

xxxx c) ( ) ( )( ) ( )

2 3

2 22

2 7 7

1 7 14

x x

x x

+ + +

36

Para sumar o restar fracciones algebraicas, se procede igual que con las numricas. Calculamos el mcm de los denominadores, dividimos por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. Ejemplo:

Efecta la siguiente operacin xx1x2

x3

2 ++

En primer lugar descompondremos en factores cada uno de los polinomios de los denominadores: x = x x2 + x = x (x +1) El mcm( x; x2 + x ) = mcm( x; x (x + 1) ) = x (x + 1) Una vez hallado, lo dividimos por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por su numerador.

( )( )

( )( )

3 1 2 1 11 1

x xx x x x

+ ++ + = xxx

xxxx

xxxx

++=+

++=+++

22

251233)1(

12)1(3

Actividad 27.-B Efecta las operaciones siguientes:

a) xx

xxx

232

413

22

2

++

=

b) 11

32++ xx

xx=

37

Para multiplicar fracciones, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

Ejemplo: Efecta 34

232 22

x

xx

xx

2x3x2x1x3x2x

2x2x1x3x3x2x

4x3x2x3x4x

2x3x2x

2

2222

++=++=++=

==

))(())((

))()()(())((

))((

El cociente de fracciones se realiza multiplicando en cruz o, lo que es lo mismo, realizando el producto de la primera fraccin por la inversa de la segunda.

Ejemplo: Efecta 1

2:12 +

xx

xx

2

2

212

2)1)(12(

2112

12:12

xxx

xxxx

xx

xx

xx

xx =

+=+=+

Actividad 28.-B

Realiza la operacin: 232:

1522

+

++

xx

xxx

Actividad 29.-B Halla a y b para que se verifique la igualdad:

236513

2 +=+

xb

xa

xxx

38

Actividades de refuerzo

1.- Ordena el polinomio: 3334

2323 32756 +++ xxxxxx . Es

completo o incompleto? Cul es su grado? Sol 7 2.- Encuentra el valor de a para que se verifique la igualdad:

P(x) = 3Q(x) C(x) Donde: P(x)= 6x3 +3x2 +ax 1, Q(x)= 2x3 +x2 2x +1 y C(x) = x +4.

Sol a=-7

3.- Sea A(x)= x3 x2 +6x 5, B(x)= -x4 +5x3 8x2 +6 y C(x)= .832

91 3 + xx

Halla:

A(1), B(2) y C(3) A(x) + B(x)= A(x) C(x)= A(x) C(x)= (B(x))2=

Sol -13; -82; 9; 4.- Dados los polinomios A(x)= 3x2 2x 1, B(x)= x53x3 +x 2 y C(x)= x4 + 3x3 2x2 + x 1. Calcula:

3A(x) 2B(x) + C(x)= -2x5+x4+9x3+7x-7x A(x)[B(x) C(x)]= 3x7-5x6-17x5+19x4+2x-5x+2x+1 (C(x))2= 1-2x+5x-10x+8x4-10x5+5x6+6x7+x8(A(x))3= 27x6-54x5+9x4+28x-3x-6x-1

5.-B Halla el valor de a para que el valor numrico del polinomio

P(x) = 323 23714 ++ xaxxx para x = 1 sea

47 .

Sol a=11/4 6.- Efecta la divisin de polinomios (x10 x5 + 1) : (x 1).

Sol Q(x)=x9+x8+x7+x6+x5+1 R(x)=1

39

7.- Halla los valores de a y b para que el polinomio P(x) = x3 8x2 ax + b sea divisible por x2 1.

Sol a=1; b=8 8.- Halla el polinomio B(x) que restado del polinomio A(x) = 4x3 2x2 + x 1 nos d el polinomio C(x) = 3x3 x2 + x 2.

Sol B(x)= x3-x2+1 9.- Efecta la divisin: (x3 2x2 + 4x + 7): (x2 + 4x 1).

Sol Q(x)=x-6; R(x)=29x+1 10 Encuentra las races del polinomio: x3 x2 x + 1.

Sol -1; 1; 1 11.- Sean los polinomios: A(x) = x32x2+4x+7 y B(x) = 2x3+2x2+2x5. Calcula:

2A(x) + 3B(x) = A(1) B(3) =

Sol 4x3+10x2-2x-29; 0 12.- Sean los polinomios: P(x) = 3x4 + 2x2 5x + 7 y Q(x) = x2 x + 1. Efecta las operaciones:

P(x) : Q(x) )()( xQxP

(Q(x))2Sol Qu(x)=3x2+3x+2; R(x)=-6x+5; 3x6-3x5+5x4-7x3+14x2-12x+7; x4-2x3+3x2-2x+1 13.-B Simplifica la fraccin:

3215133

2

23

++

xxxxx

Sol (x2+x-15)/(x+3) 14.-B Simplifica las fracciones algebraicas:

a) xxx

xxxx32

24347423

234

++ b)

444

2

23

+

xxxx c)

xxxxxx

862

23

23

+++

Sol (x2-6x+8)/x; x-1; (x-1)/(x+4)

40

15.-B Efecta las operaciones:

a) 124

3213

+++

xx

xx b)

124

3213

++

xx

xx c)

124:

3213

+

+

xx

xx

Sol ( )( )211 12 7

2 3 1x xx x

+ ++ ( )(; )

212 2 22 3 1

x xx x

+ ( )( )+ ;

23 4 12 3 4 2

x xx x

+ + + 16.- Calcula a y b para que el valor numrico del polinomio x56x4+axb sea 2 para x = -1 y 3 para x = 2. Sol b=-85/3; a=58/3 17.- Encuentra la descomposicin factorial de los polinomios:

3x5 27x4 + 27x3 27x2 + 24x 3x(x-1)(x-8)(x2+1) x4 x3 7x2 + x + 6 (x-1)(x-3)(x+2)(x+1) x5 x4 27x3 + 13x2 + 134x 120 (x-1)(x-2)(x-5)(x+4)(x+3)

18.- Dado el polinomio P(x) = x3 5x2 + ax + b. Halla a y b sabiendo que, tanto al dividirlo por x 2, como por x + 1, el resto de la divisin es 11.

Sol a=2; b=-3 19.-B Simplifica:

a) 3 2

3 2

3 5 4 43 17 28 1

x x xx x x

+2 + b)

3 2

2

2 26 11 4

1x x xx x+ + +

Sol (x+1)/(x-3); (x2-1)/(3x+4) 20.- Halla la descomposicin factorial del polinomio:

a) 4 3 225 30 3 2x x x x + + b) 6 5 4 32 4 26x x x x x+ + Sol x(x-1) (25x2-5x-2); x2 (x - 1)(x + 3)(x2 + 2)

21.-B Efecta:

a) 11222

222 +

++x

xxx

xx

x b) 312

31

932

2 +++

+

xx

xx

xx

Sol (4x3 +x+2)/(x4-x2); (3x2 +5x+3)/(x2 - 9) 22.-B Halla a y b para que se verifiquen las igualdades:

a) 224

522 ++=+

xb

xa

xx b)

2

3 2

4 10 2 13 2 1

x x a bx x x x x x

+ = + +2 +

Sol a=-1/4 b=9/4; a=-1 b=-4

Tema 3: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Para comenzar esta unidad didctica, repasaremos los conceptos de ecuaciones ya estudiados el curso anterior.

Ecuaciones Una ecuacin de primer grado con una incgnita es una expresin que se puede reducir a la forma:

0=+ bax Resolver una ecuacin de primer grado es encontrar la solucin. Generalmente habr que transformar la ecuacin en otra equivalente cada vez ms sencilla. Para lograrlo, ser necesario realizar bien alguno o todos los pasos siguientes y no necesariamente en ese orden:

- Quitar denominadores. - Quitar parntesis. - Pasar a una parte de la igualdad los trminos que tengan incgnita y

dejar al otro lado los que no. - Realizar las operaciones de suma y resta en cada miembro y despejar

la incgnita. Ejemplo: Resuelve la ecuacin

2)1(3

3)3(2

4)1(3)1( =++ xxxx

42

En primer lugar, calculamos el mnimo comn mltiplo de los denominadores (2; 4; 3) que es 12. Una vez obtenido, lo dividimos por cada uno de los denominadores y su resultado lo multiplicamos por el numerador. As obtenemos:

)1(36)3(24)1(33)1(12 =++ xxxx El siguiente paso consistir en realizar los productos y quitar parntesis.

1818248991212)1(18)3(8)1(9)1(12

+=++=++

xxxxxxxx

A continuacin, agrupamos los trminos que tengan incgnita en una parte de la igualdad y los que no en la otra parte de la igualdad.

1824912188912 +=++ xxxx

313

331==

x

x

Actividad 1.- Resuelve las ecuaciones: a) )()()( 3x257x21x45x23 =++ b)

65x2x2

31x2

4x3 +=

c) 2

x21x10

5x45

2x34 += )(

d) 3

4x316

7x22

3x1 +=

e) 10

x115

x210

7x65

x43 += )(

43

Una ecuacin de segundo grado es aquella cuya incgnita aparece elevada al cuadrado. Su forma general es:

02 =++ cbxax y cuando tiene todos los trminos se dice que es completa. La solucin de la ecuacin de segundo grado es:

aacbbx

242 =

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones a) x2 9 x +14 = 0 b) x2 + x + 4 = 0 c) x2 2 x +1 = 0 a) x2 9 x +14 = 0 Las dos soluciones de la ecuacin se obtendrn sustituyendo en la frmula anterior a, b y c por 1, -9 y 14 respectivamente.

259

2259

256819 ===x

Y las dos soluciones de la ecuacin sern:

22

59x72

59x 21 ===+= b) x2 + x + 4 = 0

114

abc

= = =

2151

21611x ==

Como no existe ningn nmero real igual a 15 ,encontramos que la ecuacin no tiene soluciones en los nmeros reales.

44

c) x2 2 x + 1 = 0

12

1

abc

= = =

202

202

2442x ===

Y las dos soluciones de la ecuacin sern iguales.

12

02x12

02x 21 ===+= Si la ecuacin es incompleta, de la forma:

02 =+ bxax Se resolver sacando factor comn la incgnita.

0)( =+ baxx Recordando que el producto de dos trminos es cero, cuando uno o los dos lo son tendremos:

0bax0x =+= Las dos soluciones sern:

abx0x 21

== Otra forma de haber resuelto la ecuacin anterior, hubiese sido resolverla como una ecuacin completa, pero teniendo en cuenta que c = 0.

abb

aabbx

22042 ==

Y las dos soluciones sern:

ab

a2b2

a2bbx0

a20

a2bbx 21

=====+=

45

Ejemplo: Resuelve la ecuacin 3 x2 9 x = 0.

39

0

abc

= = =

699

6034819 ==x

Y las dos soluciones son:

06

99x36

99x 21 ===+= Si la ecuacin de segundo grado es de la forma:

02 =+ cax Su solucin se obtendr despejando la incgnita.

acx

acx2 ==

Ejemplo: Resuelve la ecuacin 3x2 75 = 0. Despejando la incgnita tendremos:

525253

752 ==== xx Actividad 2.- Resuelve las ecuaciones:

a) 6x3x

41xx

32xx 2=++ )()( b) 2 4

1 4x xx x+ +=

c) d) 22 1x12x3 )()( = 116

2x8

3x4 2 =+++

e) B 2x

1x

x2x

1x2

=++

46

Una vez efectuado un repaso de lo estudiado el curso anterior, trataremos de resolver ecuaciones un poco ms complejas. Llamamos ecuacin irracional o ecuacin con radical a aquella cuya incgnita aparece en alguno de sus trminos dentro de un radical. Ejemplo: Resuelve la ecuacin

6xx = Para resolver ecuaciones de este tipo, trataremos siempre de dejar en una parte de la igualdad los trminos que tengan el radical y en la otra parte los que no lo tengan.

x6x =

El siguiente paso consistir en elevar al cuadrado las dos partes de la igualdad.

( ) ( )22 x6x = Recordemos los productos notables:

))((2)(2)(

22

222

222

bababaabbabaabbaba

+=+=++=+

Por tanto:

( ) ( )222

2

2

6

12 3612 36 0

13 36 0

x x

x x xx x x

x x

= + =

+ = + =

22513

214416913x ==

47

Y las dos soluciones de la ltima ecuacin sern:

42

513x92

513x 21 ===+= Volvemos a recordar la ecuacin original y vemos si estos valores nos sirven.

6

9 9 9 6

4 4 4 6

x x

si x cierto

si x falso

== == =

Por tanto la solucin de la ecuacin 6x x = es x = 9. Ejemplo: Resuelve la ecuacin

31x5xx2 2 =+ En primer lugar despejaremos el radical:

1532 2 += xxx Elevando al cuadrado las dos partes de la igualdad:

( ) ( )2

22 2

2 2

2

2 3 5 1

2 3 5 1

4 9 12 5 1

3 17 10 0

= +

= +

+ = +

+ =

x x x

x x x

x x x x

x x

48

317 289 120 17 169 17 1317

6 610

ab xc

= 6

= = = = =

Y las soluciones de la ltima ecuacin sern:

1 217 13 17 13 25

6 6x x

3+ = = = =

Volvemos a recordar la ecuacin original y vemos si estos valores nos sirven.

22 5 1 3

5 10 25 25 1 3

2 4 4 10 1 33 3 9 3

+ =

= + =

= + =

x x x

si x cierto

si x falso

Por tanto la solucin de la ecuacin 22 5 1x x x 3 + = es x = 5. Actividad 3.-B Resuelve las ecuaciones: a) 2 3 1 4x x x+ + = b) 2 9 3x x x + + = c) 3 2x x + + = 3 d) 4 6x x+ = 2 e) 3 1 1x x + = f) 23 9 8 7 1 2x x x + + = +

49

Sistemas de ecuaciones lineales En muchas ocasiones no podemos resolver un problema con una sola incgnita, sino que tenemos que utilizar ms de una. Cuando para plantear un problema se necesita un conjunto de ecuaciones con dos o ms incgnitas, estamos introduciendo los sistemas de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que han de verificarse para los valores de las incgnitas. Un sistema puede tener dos, tres o ms incgnitas, y por tanto dos, tres o ms ecuaciones. Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas se pueden simplificar a la forma:

x yx

a b cu v wy

+ = + = Los mtodos que se utilizan para su resolucin son: sustitucin, igualacin, reduccin y grfico. El mtodo de sustitucin consiste en despejar una incgnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuacin; a continuacin resolvemos la ecuacin resultante. Para obtener el valor de la otra incgnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuacin. Ejemplo: Resuelve el sistema

=+=+

4)(47

12

13

1

yxx

yx

En primer lugar convendra transformar las ecuaciones hasta que el sistema adopte la forma:

x yx

a b cu v wy

+ = + =

50

Comenzaremos en la primera ecuacin quitando denominadores; para ello, calculamos el mcm (3, 2) = 6. Una vez hallado, dividimos el mcm por cada uno de los denominadores y el resultado lo multiplicamos por su numerador.

2x + 2 3y + 3 = 6

2x 3y = 1 Cuando ya hemos transformado la primera ecuacin, haremos lo mismo con la segunda.

7x 4(x + y) = 4

7x 4x 4y = 4

3x 4y = 4 El nuevo sistema que obtenemos es:

==

443132

yxyx

Para resolver el sistema por el mtodo de sustitucin, despejamos una incgnita de una de las ecuaciones y la sustituimos en la otra.

231 yx +=

Sustituyendo en la segunda ecuacin, tenemos:

4y42

y313 =

+

3(1 + 3y) 8y = 8

3 + 9y 8y = 8

51

y = 5 Para obtener el valor de la otra incgnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuacin.

82151 =+=x

Actividad 4.- En la Euroliga de baloncesto, el TAU participa junto a otros 7 equipos en el grupo C a doble partido. Cada partido que gana vale 2 puntos y cada partido que pierde vale un punto. En la clasificacin final del grupo, el TAU ha obtenido 23 puntos. Cuntos partidos ha ganado? Actividad 5.- Resuelve por el mtodo de sustitucin el sistema

=+=++

5y2x31

6yx

2y2x3

El mtodo de igualacin consiste en despejar la misma incgnita en las dos ecuaciones. Igualar las dos expresiones obtenidas y resolver la ecuacin de primer grado resultante. Para obtener el valor de la otra incgnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuacin. Ejemplo: Resuelve el sistema

=+

+=

)3(91)(

31)8(

61

632

4)42(5

2)4(3

yyxx

yxyx

Transformmoslo en un sistema ms simple. El mcm de la primera ecuacin es 12.

52

Dividimos el mcm por cada denominador y el resultado lo multiplicamos por su numerador:

18(x 4) 15(2y 4) = 2(2x + 3y)

18x 72 30y + 60 = 4x + 6y

14x 36y = 12

En la segunda ecuacin, el mcm es 18 y nos queda:

3(x 8) 6(x + y) = 2(3 y)

3x 24 6x 6y = 6 2y

-3x 4y = 30

El sistema resultante ser:

= = 30y4x3 12y36x14

Si despejamos la incgnita x en las dos ecuaciones queda:

3430

143612

+=

+=yx

yx

Igualando:

3430

143612

+=+ yy

Resolvemos la ecuacin de primer grado resultante multiplicando en cruz:

36 108y = 420 + 56y

456 = 164y

53

y = 41114

164456 =

Para obtener el valor de la otra incgnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuacin.

41258

341114430

x =

+=

Actividad 6.- Resuelve por el mtodo de igualacin el sistema

==+

16y8x3x1

42y

31x

Actividad 7.- Calcula dos nmeros tales que su diferencia sea 12 y que al dividir el mayor entre el menor su cociente sea 5 y su resto 4. El mtodo de reduccin o de Gauss consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por el nmero adecuado, para que al sumarlas o restarlas una de las incgnitas desaparezca. Para obtener el valor de la otra incgnita sustituimos el valor de la calculada en cualquier ecuacin. Ejemplo: Resuelve el sistema

==

235423

yxyx

El mcm(3 ; 5) = 15, multiplicamos por tanto, la primera ecuacin por 5.

5(3x 2y = 4)

Y nos queda: 15x 10y = 20

54

La segunda ecuacin la multiplicamos por 3.

3(5x 3y = 2)

15x 9y = 6

El sistema que nos queda es:

= = 6y9x15 20y10x15

Cambiando el signo de una de las ecuaciones tendremos:

6y9x1520y10x15 =+ =

Sumando las dos ecuaciones nos desaparecer la incgnita x, quedando:

y =14 y = 14 ( ) 4142x3 = x = -8 Actividad 8.- Resuelve el sistema

( )

+=+=

45yx21315x21

12

yx3

y4x25

y2x3

Actividad 9.- En su hucha, Jess tiene dos tipos de monedas: de euro y de dos euros. En total tiene 100 monedas y 160 euros. Cuntas monedas tiene de cada clase? Actividad 10.- Calcula a y b para que al dividir el polinomio A(x) = x3 + ax2 + bx + 1 entre x1, se obtenga de resto 3, y al dividirlo por x + 1 el resto sea 2.

55

Una vez repasados los mtodos de resolucin de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incgnitas, nos proponemos resolver sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incgnitas. Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incgnitas tiene la forma:

=++=++=++

qpznymxtwzvyuxdczbyax

Para resolver un sistema de este tipo bastar con aplicar los mtodos aprendidos anteriormente. Ejemplo: Resuelve el sistema

==+=+

4z2yx31z5y3x27z3y2x

En primer lugar lo resolveremos por sustitucin. Si despejamos la incgnita x en la primera ecuacin, nos queda:

x = 7 + 2y 3z

Sustituyendo su valor en las otras ecuaciones nos quedar: ( )

( )

=+=++

4z2yz3y2731z5y3z3y272

Efectuando las operaciones: 13

5 11 17y z

y z = =

Si despejamos la incgnita y, en la primera ecuacin, nos queda:

y = z 13

56

Sustituyendo y, en la segunda ecuacin tendremos:

5(z 13) 11z = 17

6z = 48

z = 8

Sustituyendo el valor de z en la ecuacin y = z 13 tendremos:

y = 8 13 = -21

Y por ltimo sustituyendo en x = 7 + 2y 3z, tendremos:

x = 7 42 + 24 = 11

Para resolver el mismo sistema por igualacin, despejamos la misma incgnita en las tres ecuaciones.

324

2531327

zyx

zyx

zyx

++=

+=+=

Igualando dos a dos:

324327

2531327

zyzy

zyzy

++=+

+=+

Hemos pasado de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas a uno de dos ecuaciones con dos incgnitas. Operando en las ecuaciones anteriores:

++=++=+

zyzyzyzy

2496215316414

57

El sistema resultante es:

==

17z11y513zy

Despejando y, en las dos ecuaciones, nos queda:

==

51711

13zy

zy

Igualando:

8z48z6

17z1165z55

17z1113z

==

==

A pesar de que como hemos visto, con los mtodos anteriores se pueden resolver sistemas de tres ecuaciones, en la prctica el mtodo de Gauss es el ms utilizado. El mtodo de Gauss consiste en elegir, en primer lugar, una incgnita de una de las ecuaciones y eliminar dicha incgnita en las otras dos. Posteriormente se realizar dicha operacin con el resto de las incgnitas en las ecuaciones resultantes. Ejemplo: Resuelve por el mtodo de Gauss el sistema

==+=+

4231532

732

zyxzyx

zyx

Si escogemos de la primera ecuacin la incgnita que tiene el coeficiente ms sencillo, o sea la x. Ahora deberemos eliminar dicha incgnita en las otras dos ecuaciones.

58

Fijmonos en la primera y segunda ecuacin, el mcm de los coeficientes de x es: mcm(1 ; 2) = 2. Multiplicando la primera ecuacin por 2 y cambiando el signo tendremos:

=+=+1z5y3x2

14z6y4x2

Sumando las dos ecuaciones nos queda:

y z = 13 Ahora realizaremos lo mismo con la primera y tercera ecuacin. El mcm de los coeficientes es mcm(1 ; 3) = 3. Multiplicamos la primera ecuacin por tres y le cambiamos el signo y nos queda:

==+4z2yx3

21z9y6x3

Sumando:

5y 11z = 17 Hemos transformado el sistema inicial:

==+=+

4z2yx31z5y3x27z3y2x

en el siguiente:

==

=+

17z11y513zy

7z3y2x

59

Ahora elegimos una de las incgnitas de la segunda ecuacin y la eliminaremos en la tercera. Sea y la incgnita elegida en la segunda ecuacin. El mcm (1 ; 5) = 5. Multiplicando la segunda ecuacin por cinco y cambiando el signo, nos queda:

==+

17z11y565z5y5

Sumando las dos ecuaciones:

-6z = 48 Hemos transformado el sistema anterior, en otro equivalente, ms sencillo y que nos permite encontrar la solucin de ste si la tiene.

==

=+

48z613zy

7z3y2x

Despejando z en la tercera ecuacin:

z = 8

Si sustituimos su valor en la segunda ecuacin:

y + 8 = 13

y = 21

Sustituyendo ambos valores en la primera ecuacin:

x 2 ( 21) + 3 ( 8) = 7

x + 42 24 = 7

x = 7 42 + 24 = 11

60

Ejemplo: Resuelve el sistema

==++=+

3zy2x22zyx31z5y3x2

Procediendo como en el ejemplo anterior, mcm(2 ; 3) = 6. Multiplicando la primera ecuacin por 3 y la segunda por 2, nos queda:

=++=+

4z2y2x63z15y9x6

Sumando:

11y 13z = 7 Tomando ahora la primera ecuacin y la tercera: mcm(2 ; 2) = 2. Multiplicando la primera ecuacin por 1, nos quedar:

==+

3zy2x21z5y3x2

Sumando:

5y + 4z = 4

Hemos pues, transformado el sistema inicial

==++=+

3zy2x22zyx31z5y3x2

En otro equivalente

61

=+==+

4z4y57z13y111z5y3x2

El mcm(11 ; 5) = 55, por tanto multiplicaremos por 5 la segunda ecuacin y por 11 la tercera.

=+=

44z44y5535z65y55

Sumando:

21z = 9

El sistema que nos ha quedado es:

===+

9z217z13y111z5y3x2

De la tercera ecuacin

73

219 =

=z Sustituyendo su valor en la segunda ecuacin

78

7788y

788y11

73949y11

7397y11

7739y11

==

=

+=

+=

=

62

Si sustituimos los valores de z e y en la primera ecuacin nos queda:

71x

72x2

791x2

179x2

17

15724x2

=

=

=

=+

=+

Actividad 11.- Resuelve el sistema

=+=+=+

3z4yx1z4y3x20zyx

Actividad 12.- Resuelve el sistema

=++==

12zyx6z

2y

3x

Actividad 13.- Resuelve el sistema

=+=+

+

=+++

5zyx

14z

32y3

21x6

3z2y4x3zyx2 )()(

63

Actividad 14.- Averigua las edades de tres personas sabiendo que la suma de sus edades es 139 aos. La edad del primero hace un ao era el doble de la suma de las edades actuales de los otros dos, y el tercero sobrepasa en 4 aos al segundo. Actividad 15.- Calcula tres nmeros sabiendo que la suma del primero y el tercero es el doble del segundo. La suma de los tres es 9 y el triple del primero menos el doble del segundo ms el tercero es 4. Actividad 16.- Resuelve el sistema

=+

=++

=+

523

1132

732

zyx

zyx

zyx

Actividad 17.- Tres amigos reparten 3000 euros de beneficio. Si el primero puso la cuarta parte de lo que los otros dos juntos y el tercero la mitad que el segundo ms 30 euros. Qu le corresponder a cada uno?

Sistemas no lineales A veces nos encontramos ecuaciones dentro de un sistema en las cuales las incgnitas aparecen multiplicndose o bien alguna est elevada a una potencia, o dentro de un radical, etc. A este tipo de sistemas se les denomina no lineales. Para su resolucin el mtodo de sustitucin suele ser el ms fcil de aplicar.

64

Ejemplo: Resuelve el sistema

==

10025

yxyx

Si despejamos una de las incgnitas en la ecuacin lineal nos quedar:

x = 25 + y Sustituyendo su valor en la segunda ecuacin

0100y25y

100yy252 =++

=+ )(

1

2

25 15 525 625 400 25 225 25 15 225 152 2 2 20

2

yy

y

+ = = = = = = = =

Las soluciones del sistema son:

( )( )

11

22

25 5 20525 20 520

xyxy

= + = = = + ==

Actividad 18.-B Resuelve el sistema

2

2 2 24 03 38 0

xy yy xy

= + =

Actividad 19.-B Resuelve el sistema

=++

=+05yx225yx 22

65

Actividad 20.-B Resuelve el sistema

=

=+2yx4yx 22

Actividad 21.-B Resuelve el sistema

=+=+

10xyx5yx

2

Actividad 22.-B La suma de las reas de dos cuadrados es 3250 cm.2 y su diferencia 800 cm.2. Calcula la medida de sus lados. Actividad 23.-B Resuelve el sistema

=+

=2yxyx

1y2x

Actividad 24.-B Resuelve el sistema

+ = + = 2 2725

x yx y

Actividad 25.-B Resuelve el sistema

==

70xy4yx2

66

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones Actividad 26.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:

a) El nmero de alumnos y alumnas de este grupo que un da normal asisten a clase.

b) Tengo ms de 100 euros. c) Voy a viajar menos de una semana. d) Tengo igual o ms aos que tu. e) Mides menos que yo.

Hasta ahora en las ecuaciones, el nico smbolo que hemos utilizado ha sido el de la igualdad. Sin embargo existen otros signos llamados de desigualdad, stos son:

< menor que > mayor que mayor o igual que menor o igual que

Los signos anteriores nos permiten contestar a las cuestiones de la actividad anterior, sin ellos difcilmente podramos expresar algebraicamente su enunciado. En la actividad anterior, tengo ms de 100 euros lo escribiramos de la siguiente forma:

x > 100

Una inecuacin es una desigualdad en la que aparece una incgnita. Al conjunto de valores que hagan que la desigualdad sea cierta le llamamos conjunto solucin.

67

Actividad 27.- Encuentra los valores de x que hacen que el permetro del rectngulo sea ms pequeo que el del tringulo equiltero.

2x + 4 < 3x 4< 3x 2x

4< x

La solucin de la inecuacin es x > 4, es decir a partir de dicho valor se verifica dicha inecuacin.

4]+ Todos los valores que se encuentran a la derecha del 4 sern solucin de la actividad anterior. Ahora bien, cmo podemos expresar algebraicamente esta solucin? Para poder contestar a este interrogante, deberemos definir anteriormente lo que es un intervalo. Intervalo cerrado. Se representa genricamente de la forma:

[a ; b] = }:{ bxaRx y es el conjunto de valores que se encuentran entre a y b ambos inclusive. Intervalo semiabierto por la derecha.

[a ; b[ = { xaRx : < b}

Intervalo semiabierto por la izquierda.

] a ; b] = {x aR : < x b} Intervalo abierto.

]a ; b[ = {x R : a< x < b}

68

En el caso de la actividad anterior, la solucin que tenamos era x > 4. En forma de intervalo x]4, +[, ya que el + y el - son los valores inicial y final de la recta. Actividad 28.- Expresa en forma de intervalo las siguientes soluciones obtenidas de diferentes inecuaciones:

a) x 2 b) 2 < x 3 c) x < 5 d) x > 7 e) 3 x 5 f) 3 x < 5 g) x 12 h) x < 5 o x > 5

Para resolver una inecuacin realizaremos los mismos pasos que en una ecuacin, respetando siempre el sentido de la desigualdad. Un aspecto importante a la hora de resolver inecuaciones es el signo de la incgnita. Si es negativo se cambiar a positivo multiplicando por 1 la inecuacin y el sentido de la desigualdad cambiar al mismo tiempo. Ejemplo:

x 3 < 2x + 1

x 2x < 3 + 1

x < 4

Por tanto la solucin ser: x > 4

Y en forma de intervalo x ] 4 ; +[.

69

Actividad 29.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 2x (x 1) + 3 < 3x 6 b)

64

21

3+ xxx

c) 5x 32 < 4 (3x 6) 2x

d) 5

352

325

210

14 ++ xxxx Actividad 30.- Un vendedor de libros tiene un contrato con su empresa en las condiciones siguientes:

- Sueldo fijo 900 . - Una ganancia de 1,5 por libro vendido.

Si su sueldo fue superior a 1200 . Cuntos libros vendi?

Sistemas de inecuaciones con una incgnita Un sistema de inecuaciones en una variable es un conjunto de inecuaciones en la misma variable. Las soluciones son todas las que sean comunes a todas las inecuaciones. Ejemplo: Resuelve el sistema de inecuaciones

++

623042xx

x

De la primera inecuacin tenemos:

2x 4 x 2

70

Es decir la solucin es el intervalo [-2 ; +[. De la segunda inecuacin:

3x 2 x +6 3x x 2 +6

2x 8 x 4

La solucin es x] ; 4] Si ponemos juntas las dos soluciones:

[ 2+ 4] +

[ 2 [ 2 [ 2 [ 2 [ 2 4] 4]

La parte comn a las dos sern todos los valores comprendidos entre 2 y 4, ambos incluidos, es decir el intervalo [2 ; 4]. Actividad 31.- Resuelve los sistemas de inecuaciones:

a)

++

101x2x33x25x

)(

b)

++

)()()()()(

x212xx3x245x234x221x3

c)

>

)( 4x6516x

23

5x318x2

71

Inecuaciones de segundo grado Una inecuacin de segundo grado es una desigualdad en la que la incgnita aparece elevada al cuadrado. Ejemplo:

x2+ 3x 4 0

Para resolver una inecuacin de segundo grado podemos razonar de dos maneras. Un primer mtodo consiste en descomponer en factores el polinomio. Para lo cual resolvemos la ecuacin x2+ 3x 4 = 0

==+=

14

253

21693x

Por tanto:

x2 +3x 4 = (x 1) (x + 4)

As la inecuacin queda

(x 1)(x + 4) 0 Para resolverla, recordaremos en primer lugar los productos de signos:

+.+ = + + . - = - - . + = - - . - = +

Como nuestro producto ha de ser mayor o igual que 0, solamente se podrn dar la primera y la cuarta posibilidad, es decir:

+

0401

xx

+

0401

xx

72

En el primer caso, nos quedar:

x 1 0 x 1 x + 4 0 x 4

La solucin es aquella que cumpla las dos condiciones, es decir: x 1 o lo que es lo mismo x[1 ; +[. En el segundo caso:

x 1 0 x 1 x + 4 0 x -4

La solucin ser x 4 o lo que es lo mismo x] ; 4] Con lo cual la solucin de la inecuacin x2+ 3x 4 0 es

x] ; 4] [1; +[ Otra manera de resolver la inecuacin sera la siguiente: Comenzamos, como antes, resolviendo la ecuacin

x2+ 3x 4 = 0 1

1

3 5 13 9 16 3 5 23 52 2 42

xx

x

+ = = + = = = = =

Despus dividimos la recta real con las soluciones encontradas

] [ ] [ ] [4 1

; 4 4; 1 1; +

+

Encontrando, en este caso, tres intervalos. Sabemos que cualquier nmero de un intervalo tendr el mismo comportamiento en la inecuacin, es decir que 10; 5; 4,3 todos ellos cumplen o no la inecuacin por formar parte del mismo intervalo.

73

Aplicando lo comentado elegir un nmero cualquiera de cada intervalo y comprobar si cumple o no la inecuacin.

] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )

2

2

2

; 4 5 3 5 4 0

4; 1 0 3 0 4 0

1; 5 3 5 4 0

cierto

falso

cierto

+ + + +

Ahora slo nos queda identificar los intervalos que forman la solucin. Por otro lado identificaremos si los extremos de los intervalos son soluciones de la inecuacin.

( ) ( )( ) ( )

2

2

4 4 3 4 4 0

1 1 3 1 4 0

cierto

cierto

+ +

Con lo cual la solucin de la inecuacin x2+ 3x 4 0 es

x] ; 4] [1; +[ Actividad 32.- Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) 2x2 7x + 3 < 0 b) 3x2 + 2x 4 + x2

c) 0132 +

xx d) (x 3)(x + 2) 0

e) B 2 1 43 1 5 6

x xx x > + f) B

1 ( 12 3

x x x ) +>

74

Sistemas de inecuaciones lineales Un sistema de inecuaciones con dos incgnitas es un conjunto formado por inecuaciones con dos incgnitas como mucho. La solucin del sistema es el conjunto de valores que satisfacen al mismo tiempo las dos inecuaciones. Ejemplo: Calcula cul es el conjunto de puntos que verifican las siguientes condiciones

a) Los nmeros y menores o iguales que la mitad de otro x. b) Los nmeros y mayores o iguales que otro nmero x menos 3.

Si traducimos al lenguaje algebraico las dos inecuaciones, tendremos:

32xy

xy

La solucin a ste sistema de inecuaciones lineales con dos incgnitas, se obtiene al representar grficamente ambas inecuaciones:

La zona interior de las dos rectas es la que verifica las dos condiciones.

75

Actividad 33.- El grupo de 4 de ESO est preparando su viaje de estudios y decide alquilar una de las dos discotecas de su pueblo. La primera ofrece un coste fijo de 2000 euros y la segunda un coste fijo de 60 euros (para la limpieza del local) ms 5 euros por persona que vaya a la fiesta.

a) Cul de las dos discotecas crees que deben elegir? b) Si el nmero de personas que esperan que asista a la fiesta es como

mximo de 200. Cul es la mejor opcin? c) Si la capacidad mxima de la discoteca fuera de 500 personas. Qu

opcin sera la ms interesante? Actividad 34.- Resuelve mediante el mtodo grfico los sistemas de inecuaciones:

a)

++

0yx20yx

b)

03

2 10

xy

x yy x

+

c)

4 2 8020

x yy x

yy

+

Actividad 35.- Con un presupuesto mximo de 150 , un coleccionista desea comprar monedas a un precio por unidad de 6 y sellos a un precio por unidad de 9 . En total quiere comprar un mnimo de 20 unidades. Qu opciones tiene?

76

Actividades de refuerzo 1.-B Resuelve las ecuaciones siguientes:

047385)3

11616)

0896)

4

2

2

=

+==+

xxc

xxb

xxa

Sol a) {x=11; x=-5} b) {x=-29/9} c) x=101 2.- Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales:

a) b)

=+=+=+

4332

1

zyxzyx

zyx

==+=+

23

52

zyzxyx

c) B

=+

=

432

131

yx

yx d)

=+=+=+

3214

332

zyxzyxzyx

e)

=+

=++=+

1432

32

2

123

2

zyx

xzyx

zyx

f) B

=+=++

432

3111

yxxy

Sol a) 2;-5/2;-3/2 b) 0;5;3 c) 3/5;9/2 d) 2/3;10/3;5/3 e) 21;-96;-90 f) -5/8; 7/4 3.-B Calcula dos nmeros enteros positivos y consecutivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 85. Sol 6; 7 4.-B Averigua dos nmeros sabiendo que: la suma de sus cuadrados es 58 y la diferencia de sus cuadrados 40. Sol 7; 3

77

5.-B Halla las dimensiones de un rectngulo sabiendo que el lado mayor es el triple que el menor y que si se aumenta en 3 metros el mayor la relacin

con el menor es de 154

. Sol x = 12 y = 4

6.-B Averigua dos nmeros sabiendo que su producto es 20 y la suma de sus cuadrados es 41. Sol {y=4,x=5},{y=5,x=4},{y=-5,x=-4} 7.- Un padre reparte 1460 euros entre sus tres hijos. Al primero le deja la quinta parte que al segundo ms los cinco tercios del tercero. Al segundo el doble que al tercero menos 50 euros. Calcula cunto le corresponde a cada uno. Sol p = 610 s = 550 t = 300 8.- Calcula tres nmeros sabiendo que el doble del primero es igual al tercero menos la tercera parte del segundo. El primero ms el segundo es igual al tercero y la suma de los tres es 20. Sol 4;6;10 9.-B Resuelve los sistemas:

a) 8

15x yx y+ = =

b) =+

+=2

12

yxyx

yx

c) 2 22 9

3x y

x y+ = =

Sol a) (3;5) (5;3) b) (17;8) c) (0; 3) (-2; 1) 10.- Resuelve las inecuaciones siguientes:

a) xxxx +++2

)1(324

53

2 b) 3

122

123

14 ++ xxxx

c) 2

13

)1(23

12 xxxx + d) 1 52 6

x x +>

Sol a) x27/19 b) x-3/8 c) x-5/3 d) x>4

78

11.-Resuelve:

a) b)

94)12(353

xxxx

3 1 32 4

2 1 1 13 4

x x

x x

+ + +

Sol a) 4x6 b) -1x5 12.-B Resuelve:

a) 01

432 +

xxx

b) 0)1()3( + xx c) 2x2 5x + 3 0

Sol a) 4x b) -3x1 c) 1x3/2 13.- Halla grficamente la solucin de los sistemas:

a)

+252

yxyx

b) 2 4

1x y

x y+ +

c)

>

>+

21

02

yyx

yx

14.-B Calcula las edades de dos amigos sabiendo que la suma de las edades de los dos es menor o igual a 30 y su diferencia es igual a 10.

Sol 0y10; x=10+y 15.-B Halla dos nmeros sabiendo que su suma es 24 y el primero es mayor que el doble del segundo.

Sol y2y

Tema 4: Funciones Una funcin es una relacin entre dos magnitudes o variables de forma, que a cada valor real de la variable independiente le hacemos corresponder un nico valor real de la variable dependiente. Dicha relacin puede venir expresada mediante una tabla de valores, una grfica o una frmula. Se representa por y = f(x) y se lee y es igual a f de x. Un ejemplo de funcin es y = 2x + 1. Para representarla habr que elaborar una tabla de valores

tabla de valores: Su representacin grfica ser: x y = 2x + 1 -3 -5 -2 -3 -1 -1 0 1 1 3 2 5 3 7

80

Actividad 1.- Completa una tabla de valores para cada una de las funciones siguientes y represntalas grficamente.

y = 3x 1 y = 2x

Hasta aqu hemos visto cmo se puede representar una funcin pero podemos obtener ms informacin estudiando otros aspectos de la misma como el dominio, la continuidad, el crecimiento y el decrecimiento, la simetra, la tendencia y la periodicidad.

Dominio de la funcin El dominio de una funcin es el conjunto de valores de la variable independiente para los que existe la variable dependiente. Dicho de otro modo, los valores de la variable independiente para los que se pueden realizar las operaciones que la frmula plantea. Se representa por Dom(f). En las funciones polinmicas y las irracionales de ndice impar el dominio es toda la recta real, mientras que en las racionales e irracionales de ndice par el dominio hay que calcularlo. Ejemplo: Halla el dominio de las funciones

a) y = 3x + 2 b) 2

1= xy c) 2= xy

a) y = 3x + 2 Para cada valor de la variable independiente x siempre podemos calcular el valor de la variable dependiente y. Por tanto el dominio ser toda la recta real R o el intervalo ]-, +[. Grficamente lo observamos al no ver huecos sobre el eje OX.

81

b) 2

1= xy

Cuando analizamos las operaciones implicadas en la frmula vemos que terminaramos realizando una divisin. Tenemos presente que no todos los nmeros se pueden utilizar en las divisiones, no podemos pretender dividir entre cero. Cuando x toma el valor 2 la variable dependiente y se calcula con la

operacin 12 2 que no puede realizarse, por tanto no existe un valor de la

variable dependiente relacionado con el valor 2 en la variable independiente. Cualquier otro valor que demos a la variable independiente tendr un valor real asociado en la variable dependiente, ya que podemos realizar el clculo. El dominio de la funcin ser todos los nmeros reales excepto el 2.

Dom(f) = Dom 12x

= { }/ 2 0x R x = ] ; 2 [ ] 2; + [ c) 2= xy En esta funcin, cuando sustituimos la variable x por un valor numrico terminamos calculando una raz cuadrada. Slo podemos calcular la raz cuadrada de un nmero positivo. Formalmente planteamos:

x 2 0 La resolucin de la inecuacin nos da que la solucin es x 2. Por tanto para esos valores podemos realizar el clculo que la funcin plantea. As

Dom(f) = Dom ( )2x = { }/ 2 0x R x = [ 2 ; + [

82

Actividad 2.- Halla el dominio de las funciones siguientes:

a) 432 = xxy b) 132 += xxyc)

23

+=

xxy

d) 3

432

=

xxxy

e) 652 23 += xxx

xy

Recorrido o imagen de una funcin La imagen de una funcin es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Ejemplo:

Sea y=f(x) = x2. Despus de representar la funcin vemos que x2 tomar cualquier nmero real positivo. Por tanto diremos que Im(f) = Im(x2) = [ 0 + [

83

Continuidad de una funcin Una funcin es continua si no presenta ningn salto. Ejemplo: Estudia la continuidad de las funciones

a) 3

2= xy b) 12 = xy

La funcin 3

2= xy

12

no es

continua, ya que el valor x = 3 no pertenece al dominio de la funcin y vemos que la grfica presenta un salto.

La funcin = xy es continua, tal como vemos en la representacin grfica, ya que para cualquier valor de x R = Dom f no existe ningn salto.

84

Actividad 3.- Indica en qu puntos las funciones son o no continuas:

132 2 += xxy

3 3= xy

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

232

2 =xx

xy

85

Crecimiento y decrecimiento de una funcin Una funcin es creciente si cuando aumenta la variable independiente lo hace tambin la dependiente.

x1 < x2 f(x1) f(x2) Una funcin es decreciente cuando al aumentar la variable independiente disminuye la dependiente.

x1< x2 f(x1) f(x2) Una funcin es constante cuando al aumentar o disminuir la variable independiente la dependiente permanece fija.

x1< x2 f(x1) = f(x2) Actividad 4.- El siguiente grfico representa la variacin de la Bolsa a lo largo de una semana.

L M X J V S

300

302

304

306

308

310

Indica en qu das ha crecido y en qu das ha decrecido la funcin.

86

Actividad 5.- El grfico siguiente corresponde a la 8 etapa de la vuelta a Murcia.

200 40 60 80 100 120 140 160

250

300

350

400

Recorrido en Km

Altu

ra e

n m

Altu

ra e

n m

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin. Es continua la funcin? Indica el dominio de la funcin.

Mximos y mnimos de una funcin Una funcin alcanza un mximo relativo en un punto si antes y despus del mismo la funcin toma valores menores. Es decir, el mximo es el punto donde la funcin pasa de ser creciente a decreciente. Una funcin alcanza un mximo absoluto en un punto si es el mayor valor que toma la funcin. Una funcin alcanza un mnimo relativo en un punto, si antes y despus del mismo la funcin toma valores mayores. Es decir, el mnimo es el punto donde la funcin pasa de ser decreciente a creciente. Una funcin alcanza un mnimo absoluto en un punto si es el menor valor que toma la funcin.

87

Actividad 6.- La grfica adjunta muestra cmo vara la profundidad del agua en el ro Segura a su paso por Murcia durante un periodo de tiempo, medida sta a la misma hora todos los das.

1 2 3 4 5 76 8

2

4

6

8

10

Das

Pro

fund

idad

(m)

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento del caudal. En qu momentos su caudal alcanza mximos y mnimos? Es continua la funcin? Actividad 7.- El horario de clases del instituto Lus Garca Berlanga es de 8 de la maana a 14 h 30 min. de la tarde, con dos recreos de 20 min. La grfica muestra el nmero de alumnos y profesores que acuden a la cantina del centro a lo largo de la maana.

Nm

ero

de p

erso

nas

8 9 10 11 12 13 14 15

10

20

30

40

50

60

80

70

Horas Indica en qu momentos es creciente o decreciente la funcin. Indica los puntos en donde alcanza un mximo o un mnimo. Es continua la funcin?

88

Simetras Una funcin es simtrica respecto del eje OY si se obtiene el mismo valor de y para cualquier pareja de valores de x iguales y cambiados de signo. Una funcin ser por tanto, simtrica respecto del eje OY si se verifica:

f(x) = f(x) a la funcin que verifica lo anterior se le denomina funcin par. Grficamente, una funcin es simtrica respecto del eje de ordenadas (OY), si el dibujo que hay a su izquierda coincide con el de la derecha.

Ejemplo: Estudia la simetra de la funcin: y = x4 2x2 respecto del eje OY. En primer lugar calcularemos f(x), f(x) = x4 2x2. En segundo lugar, calcularemos f(x) = (x)4 2(x)2 = x4 2x2. Como coinciden ambos valores, la funcin ser simtrica respecto del eje de ordenadas.

89

Una funcin es simtrica respecto del origen de coordenadas, si verifica que para cualquier valor de x del dominio

f(x) = f(x). A la funcin que verifica lo anterior se le denomina funcin impar. Grficamente se dice que una funcin es simtrica respecto al origen de coordenadas si al girar la mitad de la figura 180 coincide con la otra mitad. Observa los dos ejemplos.

Ejemplo: Estudia la simetra de la funcin 42 = x

xy respecto del origen de

coordenadas.

Calculamos f(x) = 42 x

x , f(x) = ( ) 4xx

4xx

22 =

. Como los dos valores no coinciden, esta funcin no es simtrica respecto a OY. Ahora bien:

f(x) = ( ) 4xx

4xx

22 =

que coincide con f(x), por tanto la funcin ser simtrica respecto del origen de coordenadas.

90

Actividad 8.- Estudia la simetra de las funciones siguientes:

a) 2( ) 2 3f x x x= + b) 2

2

1( )1

xf xx+=

c) ( ) 2 3f x x= d) 3

2( ) 9xf x

x= +

e) ( ) 3f x x= + f) ( ) 2xf x = g) [ ]( )f x E x= = (parte entera de x)

Tendencia En ocasiones interesa saber cmo se comporta una funcin al aumentar mucho la variable. Si al aumentar o disminuir la variable independiente indefinidamente, la variable dependiente se va aproximando a un valor determinado, entonces se dice que la funcin tiende hacia ese valor.

Ejemplo: Estudia la tendencia de la funcin 1x

1y 2 += . Comenzamos estudiando cmo se comporta la funcin con valores muy grandes para la variable independiente. x 1 3 10 100 1000 1000000 y 0,5 0,1 0,0099 0,00009999 0,000000999999 0,000000000000999999999999 Hemos de fijarnos que si vamos representando esos valores, la variable dependiente cada vez se va aproximando ms a cero.

91

Diramos por tanto, que la funcin

1x1y 2 += tiende a cero cuando x

tiende a +. Esto lo representaremos de la siguiente manera:

x + y 0 o tambin 2

1lim 01x x+

= +

Grficamente veramos

Ahora estudiamos cmo se comporta la funcin con valores muy pequeos para la variable independiente. Creamos una tabla dando valores a la variable independiente x, y obtenemos los valores de la variable dependiente y. x -1 -3 -10 -100 -1000 -1000000 y 0,5 0,1 0,0099 0,00009999 0,000000999999 0,000000000000999999999999 Hemos de fijarnos que si vamos representando esos valores, la variable dependiente cada vez se va aproximando ms a cero.

Grficamente veramos Diramos por tanto, que la funcin

1x1y 2 += tiende a cero cuando x

tiende a . Esto lo representaremos de la siguiente manera:

x y 0 o tambin 2

1lim 01x x

= +

92

Actividad 9.- Indica la tendencia, tanto para valores muy grandes como muy pequeos, de las funciones cuyas grficas son:

Actividad 10.- Estudia la tendencia de una funcin que relaciona el ngulo interior de un polgono regular y el nmero de lados.

x360180y = siendo x= 3; 4; 5;

93

Periodicidad Una funcin es peridica cuando los valores que toma la variable dependiente se van repitiendo cada cierto intervalo. A este intervalo se le denomina periodo. Un ejemplo tpico de funciones peridicas son las funciones trigonomtricas seno y coseno.

Aunque no son las nicas

94

Actividad 11.- Estudia el dominio, el recorrido, la continuidad, la simetra, los mximos, los mnimos y la tendencia de las funciones siguientes:

95

Actividad 12.-

Dom f = Im f = Intervalos donde crece Intervalos donde decrece Extremos relativos (mximos y mnimos) y absolutos. y= f (8)= 4= f (x) x = Puntos donde no es continua la funcin. lim ( )x

f x = lim ( )x f x+ = Actividad 13.- Dibuja las grficas de las funciones siguientes:

a) b) 1 1

( ) 2 2 1 21 2

si xf x x si x

si x

96

Actividad 14.- Dibuja la grfica de las funciones que verifican las caractersticas siguientes:

a) Dom(f) = [-3; 3], Im(f ) = [-1; [, simtrica respecto del eje OY y posee un mnimo en el punto (0,-1).

b) Decreciente en el intervalo ]-; -3[, creciente en el intervalo ]-3; 0[, Im(f) = ]-; 2] y la funcin tiende a 1 cuando x tiende a +.

c) La funcin tiende a 2 cuando x tiende a - y tiende a - cuando x tiende a +. Posee un mnimo en el punto (0; 0) y un mximo en el punto (2; 2).

Funcin afn La funcin afn es de la forma y = ax +b y se representa mediante una recta.

y = 3 y = 3x y = 2x+1 Si a = 0, la funcin afn se convierte en una funcin constante. Ejemplo: y=3.

Dndole valores a la variable independiente, obtenemos una tabla de valores de la forma:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 3 3 3 3 3 3 3

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

97

Si b = 0, la funcin afn pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo: La funcin y = 3x. Dndole valores a la variable independiente, obtenemos una tabla de valores de la forma:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -9 -6 -3 0 3 6 9

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Despus uniramos los puntos. Si b 0, la grfica de la funcin no pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo: La funcin y = 2x + 1.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 7 5 3 1 -1 -3 -5

Una forma elemental de dibujar su grfica, ser obtener una tabla de valores y luego representar la misma.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Despus uniramos los puntos.

98

Una manera ms certera y til de hacer esta misma representacin, es a travs de los puntos de corte con los ejes. Si a la variable x le damos el valor 0, obtenemos:

y = 2 0 + 1 = 1 El punto de corte con el eje OY ser el punto (0 ; 1). Si a la variable y le damos el valor 0, nos quedar:

0 = 2x + 1 resolvemos la ecuacin

2x = 1

x = 21

El punto de corte con el eje OX ser el 1 ; 02

. Para representar dicha funcin bastar con unir estos puntos de corte y prolongar su grfica.

6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -1 0 1 2

(0 ; 1)

1 ; 02

99

Actividad 15.- Dibuja la grfica de las funciones siguientes:

y = 31 x; y = 2x; y = 2x + 2; y = 3x 1; y = 1.

Toda funcin afn est definida por dos caractersticas fundamentales, su pendiente y su ordenada en el origen. Llamamos pendiente al coeficiente que acompaa a la variable independiente. La pendiente de una recta nos mide la variacin de la variable dependiente y cuando aumenta una unidad la variable independiente x.

Si la pendiente de la funcin afn es positiva, la grfica es creciente.

Si la pendiente es negativa, la grfica es decreciente.

100

Ejemplo:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Encuentra la pendiente de la funcin afn cuya grfica pasa por los puntos (2 ; 3) y (2 ; 3). Si dibujamos la recta tenemos: La pendiente hemos dicho que es la variacin de y, es decir:

3 (3) = 6 respecto a la variacin de x

2 (2) = 4

La pendiente ser a = 23

46 =

Actividad 16.- Encuentra la pendiente de la funcin afn que pasa por los puntos (1 ; 0) y (3 ; 5). Actividad 17.- Halla la pendiente de la funcin afn que pasa por los puntos (2 ; 7) y (3 ; 2). La ordenada en el origen es el trmino independiente b y coincide con el valor de corte con el eje OY, es la longitud del segmento vertical comprendido entre el origen de coordenadas y la recta. Ejemplos:

101

Actividad 18.- Dibuja la grfica de las funciones afines siguientes, y=ax+b donde: a = 1, b = 2. a = 3, b = 3. a = 0, b = 2. a = 2, b = 0. Una funcin afn, cuya grfica hemos dicho que es una recta, no siempre viene definida por su pendiente y su ordenada en el origen. Actividad 19.- Determina la ecuacin de la recta que tiene por pendiente 2 y pasa por el punto (1,2). La ecuacin de la recta es de la forma:

y = ax + b Como a = 2, la ecuacin tomar la forma:

y = 2x + b al pasar por el punto (1 ; 2)

2 = 2(1) + b

2 = 2 + b

0 = b La ecuacin de la recta ser y = 2x.

102

Actividad 20.- Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3 ; 1) y tiene por pendiente 1. Actividad 21.- Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2 ; 3) y tiene por ordenada en el origen 1. Actividad 22.- Determina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (2 ; 1) y (3 ; 0). Actividad 23.- Determina la pendiente de la recta y = ax + 4 que pasa por el punto (8 ; 2). Actividad 24.-

a) Expresa en funcin de la longitud de los lados, el permetro de la figura:

x x + 5

b) Representa grficamente la funcin.

Actividad 25.- Un electricista cobra 15 euros por desplazamiento y 21 euros por hora de trabajo. Encuentra la expresin matemtica que expresa el coste por reparacin. Si ha tardado dos horas y media en arreglar la avera. Cul es su coste? Si he pagado 72,75 euros por la reparacin. Cunto ha tardado en reparar la avera?

103

Actividad 26.- Ayer al salir a pasear, me cruc con mi vecino al cabo de 4 km. Si ando a un ritmo constante de 6 km/h, cunto tiempo llevaba andando cuando me he cruzado con el vecino? Y cunto habr recorrido al cabo de 2 horas y media?

Funcin cuadrtica La funcin cuadrtica es una funcin de la forma y = ax2 +bx + c, donde los coeficientes a, b y c son nmeros reales con la condicin de que a sea siempre distinto de cero. Su grfica es una parbola. Ejemplo: y = x2 X -1 0 1 2 Y 1 0 1 4

X -3 -0,5 0,5 1,5 Y 9 0,25 0,25 2,25

Actividad 27.- Indica cules de las funciones siguientes son cuadrticas

a) y = x2 + 2x + 1 b) y = x2 3x. c) y = x2 + 3 d) y = 3x 2.

104

Para representar grficamente una funcin cuadrtica, procederemos de la manera siguiente: 1 Calcularemos los puntos de corte con los ejes. 2 Calcularemos las coordenadas del vrtice. Damos en primer lugar el valor 0 a la variable x.

x = 0 y = a (0)2 + b (0) + c = c Luego el punto de corte con el eje de ordenadas es el punto (0 ; c). En