Actividad 1.

Una ecuación diferencial lineal de orden 2 es de la forma:

Si b( x )=0, se dice que la ecuación es Homogénea , si b( x )≠0, se llama ecuación no homogénea y el termino b( x ), se denomina termino no

homogéneo.

Actividad 2.

En caso de que p(x)¿−7x

entonces

se puede ver que una segunda solución l.i. con

y1 (x ) es simplemente ỹ 2 ( x )=x10 . De modoque lasolución general en (0 , α ) de la ecuacióndiferen cial es :

y ( x )=C1 x−2+C2 x10

Actividad 3.

1. w (x )=|y1 y2y1

' y2' |=¿w ( x )=|e

x2 xe

x2

ex2

2e

x2

2(x+2)|= ex (x+2)

2− xex

2=ex

2. w (x )=|y1 y2 y3y1

' y2' y3

'

y1' ' y2

' ' y3' '|=¿ w ( x )=|x x−2 x−2 ln ( x )

1−2x3

1−2 ln ( x )x3

06

x46 ln ( x )−5

x4|=¿

¿−12 ln ( x )+10

x7+0+

6 ln ( x )x6

−(0+6−12 ln ( x )x5

+6 ln ( x )−5

x6 )10−12 ln ( x )

x7+0+

6 ln ( x )x6

−6−12 ln ( x )

x5−6 ln ( x )−5

x6¿

−x2(6−12 ln ( x )+5 x+10−12 ln ( x ))x7

Actividad 4.

Ejercicio1. w ( e4x , e−x )| e4 x e−x

4 e4x −e−x|= e5x−1ex -

4 e5 x−1ex = −3e4 x ≠ 0

y=C1 e4x+C2e− x Es una solución general de la ecuación en R

Actividad 5.

ay ' '−by '+cy=0

am2−bm+c=0

Donde: m=−b±√b2−4ac2a

m=12±√(12)2−4(4)(9)

2(4 )

m=12±√08

m1=32

m1=m2

La solución general seria: y=C1 e32

x+C2 x e

32

x

ay ' '+by '+cy=0am2+bm+c=0

Donde: m=−b±√b2−4ac2a

m=−2±√(2)2−4 (2)(3)

2(2)

m=−2±√4−244

=−1±√−202

=¿

m1=−1+√−20

2, m2=

−1−√−202

y=e−12

x(C¿¿1cos (1

2√20)+C2 sen (1

2√20))¿

y ' '−by '+cy=0m2−6m+9=0

(m−3 ) (m−3 )=0

(m−3 )2=0 , m1=m2=3

La solución general seria: y=C1 e3 x+C2 x e3x

Reemplazamos la primera condición y (0)=1 , en la solución general y=C1 e3 x+C2 x e3x

y=C1 e3.0+C2 x e3.0

1=C1 e0+C20 e0

1=C1

Reemplazamos la segunda condición y (0)=5 , en la solución general y=C1 e3 x+C2 x e3x

y '=3C1e3x+C2e

3x(3x+1)

5=3C1 e3.0+C2 e3.0(3.0+1)

5=3C1+C2

Resolviendo el sistema5=3+C2

C1=1 ,C2=2

La ecuación auxiliar es:

m5+4m4+5m3−6m−4=0

Se tiene por división sintética: 1+4+5+0−6−4 /1

1+5+10+10+4 /−1

1+4+6+4 /−2

(m¿¿2+2m+2)(m+2)(,m+1)(m−1)¿

m=−b±√b2−4ac2a

m=−2±√(2)2−4 (1 )(2)

2(1)=¿m1=−1+2 i , m2=−1−2i

m3=−2 , m4=1, m5=−1

La ecuación auxiliar es:

m5+5m4−2m3−10m2+m+5=0Se tiene por división sintética: 1+5−2−10+1+5 /−5

1+0−2+0+1/−1

1−1−1+1/1

(m+5 ) (m+1 ) (m−1 )=0

m1=−5 , m2=−1 , m3=1

La ecuación auxiliar es:

m3−5m2+3m+9=0Se tiene por división sintética:

1−5+3+9/31−2−3/−11−3 /3

(m−3 ) (m+1 )=0

m1=3 , m2=−1 ,

La ecuación auxiliar es: 9m2+6m+82=0

Se tiene por división sintética:

m=−b±√b2−4ac2a

m=−6±√ (6 )2−4 (9 ) (82 )

2 (9 )=−1+√−2916

3=−1+54 i

3

=−1−√−29163

=−1−54 i3

Reemplazamos la primera condición y (0 )=−1 , en la solución general

y=e−13

x(C¿¿1cos (54 x)+C2 sen (54 x))¿

−1=e−13.0(C¿¿1cos (54.0)+C2 sen (54.0))¿

−1=C1

Reemplazamos la segunda condición y (0)=2 , en la solución general

y=e−13

x(C¿¿1cos (54 x)+C2 sen (54 x))¿

y '=13

e−x3 (−(C1−162C2 )cos (54 x )−(162C1+C ¿¿2)sen (54 x ))¿

2=13

e−03 (−(C1−162C2 )cos (54.0 )−(162C1+C ¿¿2)sen (54.0))¿

2=13

(−C1+162C2 )

2=13+54C2=¿C2=

5354

=0.03086

Actividad 6.

Actividad 7.

Asumimos que y=xm

y '=m xm−1

y ' '=m(m−1)xm−2

x2 (m (m−1 ) xm−2 )−7 x (m xm−1 )+41xm=0

xm ¿ ÷xm

¿

m2−m−7m+41=0

m2−8m+41=0

m2+1=0

m=4±10i => m1=4+10 i

m2=4−10i

y=x 4(C1 cos (10 lnx)+C2 sen (10 lnx))

Asumimos que y=xm

y '=m xm−1

y ' '=m(m−1)xm−2

x2 (m (m−1 ) xm−2 )+8 x ( m xm−1 )+10 xm=0

xm ¿ ÷xm

¿

m2−m+8m+10=0

m2+7m+10=0

(m+5 ) (m+2 )=0

m=−5 ,m=−2

La solución general seria: y=C1 e−5x+C2 xe−2 x

x2 y ' '+8 x y '+10 y=x−1lnx ÷ x2

y ' '+ 8 y 'x

+ 10 y

x2=x−3 lnx ÷ x2

g ( x )=x−3lnx

w ( e−5x , x e−2x )| e−5x xe−2x

−5e−5x e−2 x(1−2 x)|=e−7x (1−2x )+5 x e−7x=e−7 x(5 x+1−2 x)

w=e−7 x(1+3x )

w1=| 0 xe−2x

x−3 lnx e−2x (1−2 x)|= lnxe2x x2

w2=| e−5 x 0−5e−5 x x−3lnx|= lnx

e5 x x3

u1=∫w1

wdx=∫

lnx

e2 x x2

e−7x (1+3x )dx=∫ e5 x ln (x)

x2 (1+3x )dx

u2=∫w2

wdx=∫

lnx

e5 x x3

e−7x (1+3x )dx=∫ e2 x ln (x)

x3 (1+3 x )dx

y=e−5x (∫ e5 x ln ( x )x2 (1+3x )

dx)+xe−2x (∫ e2x ln (x )x3 (1+3 x )

dx )

Asumimos que y=xm

y '=m xm−1

y ' '=m(m−1)xm−2

x (m (m−1 ) xm−2 )−4 ( m xm−1 )=0

xm−1¿ ÷xm−1

¿m2−m−4m=0

m2−5m=0m (m−5 )=0m=0 ,m=5

La solución general seria: y=C1 e0 x+C2 xe5x

x y' '−4 y '=x4÷ x

y ' '−4 y '

x=x3

g ( x )=x3

w ( e0x , xe5x )|1 xe5x

0 e5 x (1+5x )|=e5 x (1+5 x )

w1=|0 xe5 x

x3 e5 x(1+5 x )|=−x4 e5x

w2=|1 00 x3|=x

3

u1=∫w1

wdx=∫ −x4 e5 x

e5x (1+5 x )dx

u2=∫w2

wdx=∫ x3

e5x (1+5 x )dx

y=(∫ −x4 e5x

e5 x (1+5 x )dx )+xe5 x(∫ x3

e5x (1+5 x )dx)