Materia: Matemática I

Profesor: Adriana Natividad Olmos

Alumno: Gómez Emanuel - Suarez Marcos

Actividad: 3 A B

Ejemplo 16:

C

SF

Conexiones directas entre ciudades:

NY P L BA C SFNY 3 2 0 0 0P 2 1 2 0 0L 1 1 1 0 0

BA 0 1 3 0 0C 0 0 1 0 1SF 0 0 0 1 1

La matriz A representa los vuelos directos de una ciudad a otra, esta matriz la denominamos matriz adyacencia. Los elementos a ij de la matriz representan la cantidad de vuelos que hay desde la ciudad i a la ciudad j.

A=|0 3 2 0 0 02 0 1 2 0 01 1 0 1 0 00 1 3 0 0 00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0

|

Por ejemplo el elemento a12=3 representa la cantidad de vuelos directos que hay desde NY hacia P, que son 3.

Para establecer la cantidad de vuelos que llegan de una ciudad a otra pasando por una intermedia se debe formar una matriz B, tal que B=A . A=A2

A2=|0 3 2 0 0 02 0 1 2 0 01 1 0 1 0 00 1 3 0 0 00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0

|x|0 3 2 0 0 02 0 1 2 0 01 1 0 1 0 00 1 3 0 0 00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0

|=(8 2 3 8 0 01 9 10 1 0 02 4 6 2 0 05 3 1 5 0 01 1 0 2 1 00 1 4 0 0 1

)Entonces decimos que la matriz B contiene la cantidad de viajes que salen desde una ciudad y llegan a otra pasando por un punto intermedio. Por lo tanto cada elemento b ij representa la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad i hacia la ciudad j pasando por una ciudad intermedia.

B=(8 2 3 8 0 01 9 10 1 0 02 4 6 2 0 05 3 1 5 0 01 1 0 2 1 00 1 4 0 0 1

)Por ejemplo el elemento b34=2 son la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad L hacia la ciudad BA pasando por un punto intermedio.

Por último para establecer la cantidad de vuelos que salen desde una ciudad y llegan a otra pasando por 3 puntos intermedios tomamos una matriz C, tal que C=A4

A4=(112 70 70 112 0 042 126 154 42 0 042 70 84 42 0 070 56 56 70 0 020 18 15 21 1 09 26 38 9 0 1

)=C

Entonces decimos que la matriz C contiene la cantidad de viajes que salen desde una ciudad y llegan a otra pasando por 3 puntos intermedios. Por lo tanto cada elemento c ij representa la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad i hacia la ciudad j pasando por 3 ciudades intermedias.

Por ejemplo el elemento c32=70 son la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad L hacia la ciudad P, pasando por 3 puntos intermedios.

Analizando el problema planteado y teniendo en cuenta que los resultados dependen de operar con las potencias de la matriz A, deducimos que el requisito para este problema es que las matrices sean cuadradas, ya que al tener una potencia implica multiplicar la matriz por si misma, debido a la restricción del producto matricial, para una potencia es necesario que la matriz sea cuadrada.

Ejemplo 17: Agregando dos nodos y tres conexiones.

El grafico representa la interacción entre las calles y el plano urbano de la ciudad. Las formas de llegar a través de calles de una sola dirección o de doble sentido hacia monumentos, plazas y diferentes atractivos de la ciudad, representadas por las letras T, U, V, W, X, Y, Z.

A través de la Matriz de Adyacencia veremos las distintas formas de llegar, usando las calles, de un lugar a otro de manera directa y a través de intermediarios.

¿Cuántos caminos hay para llegar del punto u al punto w de la ciudad:a) sin pasar por puntos intermedios?b) Pasando por un punto intermedio?

a) Por medio de la matriz de adyacencia vemos que entre U y W hay 0 puntos.

A =

TUVWXYZ

[0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 01 0 1 0 1 0 10 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 1 0

] A matriz de conexiones directas entre dos puntos. La entrada ij expresa el número de trayectos directos que salen de i y llegan a j.

b) A2=

TUVWXYZ

[1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 2 1 3 0 1 11 1 1 0 2 0 10 0 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 2

] Aquí vemos la conexión a través de puntos intermedios y entre U y W existe 1 punto.

a) ¿Cuántos caminos unen u con w en forma directa o con un punto intermedio?b) ¿Qué puntos no se unen directamente ni pasando por un punto intermedio?c) Calcule la matriz que proporciona información sobre la cantidad de caminos que unen 4 puntos de referencia distintos.

a) S=A+A2=

TUVWXYZ

[1 0 1 2 1 1 20 1 1 1 1 0 00 1 0 0 1 0 01 2 2 3 1 1 21 2 2 1 2 0 10 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 2

] U y W se unen a través de 1 punto intermedio S24.

b) Todos aquellos puntos que posean 0 en S.

c)

A3=[

1 2 2 3 1 1 31 1 1 0 2 0 10 1 1 1 0 0 03 1 3 1 5 1 40 3 2 4 1 1 11 0 1 0 1 0 20 2 1 4 0 2 1

]TUVWXYZ

¿Qué información condensa cada entrada de la matriz producto [1 1 1 1 1 1 1] S?

[ 1 1 1 1 1 1 ] .[1 0 1 2 1 1 20 1 1 1 1 0 00 1 0 0 1 0 01 2 2 3 1 1 21 2 2 1 2 0 10 0 0 1 0 1 11 0 1 1 1 1 2

]=¿ [ 4 6 6 9 7 3 8 ]

Indican cuantos caminos y/o tramos llegan a cada uno de los puntos. Por ejemplo a Z llegan 8 caminos los cuales pueden ser directos o indirectos.

Es una matriz cuadrada de 7x7. No es simétrica porque tiene grafos dirigidos.

A2

A2 . A=A3