Materia: Matemática I

Profesor: Adriana Natividad Olmos

Alumno: Gómez Emanuel

Actividad: 5 D

PIZARRON de la ACTIVIDAD 5D.

Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):a)    El vector genérico TX.b)    El núcleo de esta TL. c)    Los autovalores de la TL. d)    Una base de los autovectores asociados a cada autovalor. Además:e)    Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.f)    Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que  hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices? h)    Plantee la transformación inversa.

Use paquetes informáticos en los cálculos. Las matrices que se dan originan diferentes casos: diagonalizable, no diagonalizable; uno, dos, tres autovalores diferentes; autovalor de multiplicidad superior a 1; uno, dos, tres, autovectores LI, etc, etc. La idea es cubrir diversidad de situaciones que nos lleven a esclarecer ideas. Pregunte sus dudas ¡estudiamos y aprendemos juntos! ¡No está solo! ¿O no nota que le tengo su mano?

La matriz elegida es:

A=[ 1 1 13 −1 1

−2 2 1]a) El vector genérico TX queda así:

T :R3→R3

X⟼T (X )

[ xyz ]↦[ 1 1 13 −1 1

−2 2 1] .[ xyz ]=[ x+ y+z3 x− y+z

−2 x+2 y+z ]b) NulT={X∈R3:TX=0}

Planteamos el SELH:

[ 1 1 1 03 −1 1 0

−2 2 1 0]Resolvemos:

NulT=[000 ]c) Los autovalores: AX=kX

( A−k I n )=0 Para realizar la resta incorporamos I del mismo tamaño que A.

¿k .(1 0 00 1 00 0 1)=(k 0 0

0 k 00 0 k )

[ 1 1 13 −1 1

−2 2 1]−[k 0 00 k 00 0 k ]=[1−k 1 1

3 −1−k 1−2 2 1−k ]

Buscamos el determinante:

Ahora buscamos los ceros del polinomio y factorizado nos quedaría:

−k 2 (k−1 )+4 (k−1 )=(−k2+4 ) . (k−1 )=−(k2−4 ) . (k−1 )=−(k−2 ) . (k+2 ) .(k−1)

Los autovalores son: k={2 ,−2,1 }

d) Autovectores:

Comenzamos con el 2:

( A−k I nX )=0

( A−2 I ) X=0

[ 1 1 13 −1 1

−2 2 1]−[2 0 00 2 00 0 2]=[−1 1 1

3 −3 1−2 2 −1]=[ −x+ y+z

3 x−3 y+z−2x+2 y−1 z]

Ahora planteamos el SELH:

[ −x+ y+z3 x−3 y+z

−2x+2 y−1 z ]=[000]

[ z−zz ]=[ 1−11 ]Que es unautovector .

Ahora -2:

[ 1 1 13 −1 1

−2 2 1]−[−2 0 00 −2 00 0 −2]=[ 3 1 1

3 1 1−2 2 3]=[ 3 x+ y+z

3 x+ y+z−2x+2 y+3 z]

Ahora planteamos el SELH:

[ 3 x+ y+z3 x+ y+z

−2x+2 y+3 z]=[000]

[0,125 z1,373 zz ]=[0,125

1,3751 ]Segundoautovector .

Por ultimo 1:

[ 1 1 13 −1 1

−2 2 1]−[1 0 00 1 00 0 1]=[ 0 1 1

3 −2 1−2 2 0 ]

[ 0x+ y+z3−2 y+z

−2x+2 y+0 z ]=[000]

El último autovector es: [−z−zz ]=[−1

−11 ]