Actividad 5 - Parte DGustavo A. Martnez / Natalia Bravo

Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica):a) El vector genrico TX.b) El ncleo de esta TL.c) Los autovalores de la TL.d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.Adems:e) Grafique cada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado.f)Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?h)Plantee la transformacin inversa.

ResolucinMatrz elegida:N 4: Espacios de Salida y Llegada:

En nuestro caso:

a) Vector genrico TX

(Expresin genrica de un vector en el espacio de llegada)b) Ncleo de la TLTeniendo en cuenta que:

Entonces:

Planteo la matriz ampliada con el vector nulo:

Y la resuelvo con Wiris:

Luego, el ncleo de la transformacin es el vector nulo:

c) Autovalores de la TLDado un escalar k, se dice que existe un X tal que TX=kX:Planteamos entonces: (T-kI)X=0

Luego le calculo el determinante (uso el Wiris):

Donde encuentro los autovalores k=1 y k=2

d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalorpara k=1:

Resuelvo:

Dado entonces que:

Tomo como parmetro t a z, y lo expreso en trminos de Vectores:

lo que es lo mismo:

El conjunto solucin es un vector variable que pertenece al GEN:

para k=2:

Resuelvo:

El conjunto solucin es el vector nulo:

e) Grafico de cada vector de cada base y de cada espacio generado

f) Analisis de si A es diagonalizable. En caso de serlo construccion de P y D que hacen verdadera la igualdad. Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?Para determinar si la matriz A es diagonizable, usamos las matrices P, su inversa y la matriz D.La matrz P se forma con los autovectores y la matrz D con los autovalores en su diagonal.Si podemos invertir la matriz P, entonces podemos obtener un resultado y afirmar que la matriz A es diagonizable con el siguiente planteo:A=PDP-1en nuestro caso, la matriz P no es cuadrada (condicin necesaria para que tenga inversa) ya que tenemos solo dos autovectores de 3x1, lo que nos dara una matriz de 3x2. Al no tener inversa no hacen falta ms clculos, la matrz A no es diagonizable.

g) Planteo de la transformacin inversa.

Calculo en el Wiris:

Luego: