Actividad 2. Números Complejos.

Actividad 2. Nmeros Complejos.

G. Edgar Mata Ortiz

Nmeros naturales, enteros,

racionales, irracionales, reales y

complejos.

Los Nmeros Complejos

http://licmata-math.blogspot.mx/ 2

Los nmeros han acompaado al ser humano desde su aparicin sobre la tierra. En un primer momento

solamente para contar. Posteriormente fue necesario efectuar operaciones aritmticas y, al preguntarse cmo

y porqu se podan efectuar dichas operaciones, se produce conocimiento matemtico.

En el presente material se har un rpido recorrido por los diferentes tipos de nmeros que ha empleado el ser

humano hasta llegar a los nmeros complejos.

Contenido Introduccin............................................................................................................................................................................................................................. 3

Importancia del cero. ......................................................................................................................................................................................................... 3

Sistemas de numeracin no posicionales. ............................................................................................................................................................................... 3

Otros sistemas de numeracin no posicionales. ................................................................................................................................................................ 4

Sistemas de numeracin posicional. ........................................................................................................................................................................................ 4

Los nmeros naturales. ...................................................................................................................................................................................................... 4

Propiedades de los nmeros naturales. ........................................................................................................................................................................ 4

La resta en los nmeros naturales. ............................................................................................................................................................................... 4

Los nmeros enteros. ......................................................................................................................................................................................................... 4

Propiedades de los nmeros enteros. ........................................................................................................................................................................... 4

La divisin en los nmeros naturales y nmeros enteros. ............................................................................................................................................ 4

Los nmeros racionales. ..................................................................................................................................................................................................... 5

Propiedades de los nmeros racionales. ....................................................................................................................................................................... 5

La raz cuadrada de un nmero racional. ...................................................................................................................................................................... 5

Los nmeros reales. ............................................................................................................................................................................................................ 5

Propiedades de los nmeros reales. ............................................................................................................................................................................. 5

La raz cuadrada de un nmero real. ............................................................................................................................................................................. 5

Los nmeros complejos. ..................................................................................................................................................................................................... 6

Los nmeros imaginarios. ............................................................................................................................................................................................. 6

Propiedades de los nmeros imaginarios. .................................................................................................................................................................... 6

Concepto de nmeros complejos. ................................................................................................................................................................................. 6

Operaciones con nmeros complejos. ............................................................................................................................................................................... 7

Multiplicaciones y potencias del nmero i. ................................................................................................................................................................... 7

Suma y resta de nmeros complejos. ........................................................................................................................................................................... 8

Multiplicacin de nmeros complejos. ......................................................................................................................................................................... 8

Divisin de nmeros complejos. ................................................................................................................................................................................... 9

Aplicaciones de los nmeros complejos. ..................................................................................................................................................................... 10



Introduccin. La numeracin que actualmente empleamos recibe el nombre de

numeracin indo-arbiga debido a su origen.

Con base en la informacin que se muestra a la izquierda acerca del

origen de este sistema de numeracin escribe un ensayo de 600 palabras

acerca del tema.

Importancia del cero. Para que pudieran existir los sistemas de numeracin posicional, el uso

del cero fue fundamental, explica por qu:

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

Sistemas de numeracin no posicionales. No todos los sistemas de numeracin empleados por el ser humano han

sido posicionales, un ejemplo conocido es la numeracin romana.

Entre muchas otras desventajas, este sistema de numeracin dificulta la

realizacin de operaciones aritmticas, sin embargo, es posible resolver

sumas y restas. Anota, en el siguiente espacio, tres ejemplos de suma y

tres de resta con nmeros romanos.

El origen de

los nmeros.

Existen varias explicaciones

y teoras acerca del origen

del sistema de numeracin

que empleamos

actualmente.

Es generalmente aceptado

que la numeracin indo-

arbiga fue desarrollada en

la India y difundida por los

rabes en occidente.

Simultneamente, otras

culturas elaboraron sus

propios sistemas de

numeracin y los emplearon

durante siglos; finalmente,

las indudables ventajas del

sistema de numeracin

posicional base 10 hicieron

que, poco a poco, se

convirtiera en el nico

sistema de numeracin

empleado por los seres

humanos.

Las computadoras emplean un sistema de numeracin posicional, pero de base dos, es decir, solamente existen dos dgitos (0, 1) y, de acuerdo a la posicin que ocupan, toman diferentes valores: 1, 2, 4, 8, 16, etc.

El cero tiene gran importancia en las matemticas, ya que sin el se escribiran nmeros sin poder usar notacin posicional, el cero en suma y resta es un elemento neutro, en multiplicacin es un elemento absorbente.



Otros sistemas de numeracin no posicionales. Realiza una investigacin y explica otros dos sistemas de numeracin no posicional. Elabora un reporte de 400

palabras en el que expliques los smbolos empleados en esos sistemas de numeracin, su origen histrico y, en

caso de que sea posible, algunas operaciones aritmticas.

Sistemas de numeracin posicional. Los sistemas de numeracin posicional presentan grandes ventajas sobre los no posicionales,

especialmente la facilidad para efectuar operaciones aritmticas.

Un ejemplo ampliamente conocido es el de la numeracin maya, que utiliza el cero y es

posicional.

Los nmeros naturales. Se les llama as al conjunto: N = {1, 2, 3,}

El cero es un caso aparte. En muchos libros se le considera un nmero natural y en otros no, por ello, para evitar confusiones, si estamos considerando que el cero forme parte de un conjunto de nmeros se emplea la expresin: Enteros no negativos, y si no deseamos incluir al cero: Enteros positivos.

Propiedades de los nmeros naturales. Los nmeros naturales presentan diversas propiedades que hacen referencia a las operaciones aritmticas que se realizan con ellos. Realiza una investigacin y elabora un reporte de 200 palabras acerca de dichas propiedades.

La resta en los nmeros naturales. Cuando efectuamos cualquier suma de nmeros naturales el resultado es otro nmero natural, sin embargo, al efectuar una sustraccin de dos nmeros naturales, no siempre se obtiene como resultado otro nmero natural: 3 5 = 2. Es obvio que el 2 no es un nmero natural.

Cuando esto sucede, se ampla el conjunto de los nmeros naturales para que incluya al cero y a los nmeros negativos. Se obtiene as un nuevo conjunto de nmeros:

Los nmeros enteros. Se les llama as al conjunto: Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,}

Este conjunto de nmeros incluye los naturales, el cero, y los enteros negativos.

Propiedades de los nmeros enteros. Los nmeros enteros presentan diversas propiedades que hacen referencia a las operaciones aritmticas que se realizan con ellos. Realiza una investigacin y elabora un reporte de 200 palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los nmeros enteros y los naturales.

La divisin en los nmeros naturales y nmeros enteros. Cuando efectuamos cualquier suma o multiplicacin de nmeros naturales o enteros el resultado es otro nmero natural o entero, sin embargo, al efectuar una divisin de dos nmeros naturales o enteros, no

siempre se obtiene como resultado otro nmero natural o entero: = .

Es evidente que 0.6 no es un nmero natural ni entero. Nuevamente se ampla el conjunto de los nmeros enteros para que incluya resultados fraccionarios. A este conjunto de nmeros se le llama:



Los nmeros racionales. Los nmeros racionales incluyen a los enteros y a cualquier nmero

que pueda expresarse como una fraccin. A diferencia de los

nmeros naturales y enteros, no existe el consecutivo de un nmero

racional ya que entre un racional y otro, existen infinidad de

nmeros racionales.

En este conjunto de nmeros se incluyen racionales positivos y

negativos

Propiedades de los nmeros racionales. Los nmeros racionales, al ser una ampliacin de los nmeros enteros, presentan algunas propiedades

similares a aquellos y otras diferentes. Realiza una investigacin y elabora un reporte de 200 palabras acerca de

la diferencia entre las propiedades de los nmeros enteros y los racionales.

La raz cuadrada de un nmero racional. Tal como ha ocurrido con otros conjuntos de nmeros, al efectuar alguna operacin aritmtica, el resultado no

pertenece al conjunto de nmeros en estudio, por lo que se hace necesario ampliar ese conjunto y formar as,

un nuevo conjunto. En este caso, la operacin aritmtica es la raz cuadrada.

Al obtener a raz cuadrada de diversos nmeros racionales el resultado es otro nmero racional, sin embargo,

existen nmeros racionales cuya raz es un nmero irracional, por ejemplo: 2 3

En esta ocasin no resulta tan evidente como en los ejemplos anteriores, por ello realiza una consulta acerca

de los nmeros irracionales y elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de dichos

nmeros. Se obtiene as el conjunto de:

Los nmeros reales. Este conjunto de nmeros contiene a los racionales y a los irracionales.

Pueden expresarse como nmeros enteros, decimales o fracciones

comunes.

La representacin ms comn de los nmeros reales es la recta

numrica.

Propiedades de los nmeros reales. Los nmeros reales tambin tienen sus propiedades. Realiza una investigacin y elabora un reporte de 200

palabras acerca de la diferencia entre las propiedades de los nmeros reales y los racionales.

La raz cuadrada de un nmero real. Al extraer raz cuadrada de un nmero real, a veces se obtiene un nmero real, pero no siempre.

Especficamente la raz cuadrada de un nmero negativo no es un nmero real: =?

Para poder resolver situaciones como esta, se ampla nuevamente el conjunto de los nmeros reales.



Los nmeros complejos. En forma similar a la forma en que se han resuelto las situaciones anteriores vamos a agregar elementos al

conjunto de los nmeros reales para obtener los nmeros complejos. Los nuevos elementos del conjunto son:

Los nmeros imaginarios. Por lo que hemos aprendido hasta ahora, no es posible obtener la raz cuadrada de un nmero negativo,

debido a que no existe ningn nmero real que, elevado al cuadrado, produzca un resultado negativo, es decir,

cualquier nmero real; positivo o negativo, al elevarlo al cuadrado, da como resultado un nmero positivo.

Para poder extraer la raz cuadrada a un nmero negativo necesitamos un nmero que, al elevarlo al cuadrado,

produzca un resultado negativo, entonces se define el nmero i como la raz cuadrada de meno uno.

= 1

Ahora s, existe un nmero, llamado i, que al elevarse al cuadrado da como resultado un nmero negativo: -1.

= 1 2 = (1)2

= Este procedimiento de ampliar conjuntos de nmeros parece un tanto artificial, tal vez lo es, pero tiene la

ventaja de que hemos inventado un nmero (i) que tiene propiedades sumamente tiles; especialmente la obtencin de la raz cuadrada de nmeros negativos. Por ejemplo:

4 = (4)(1) = 41 = 2 Es posible que, para muchas personas, la idea de obtener la raz cuadrada de un nmero negativo suene

absurda, sin sentido, y sin ninguna aplicacin til. No debemos olvidar que, durante mucho tiempo se opin lo

mismo de los nmeros negativos e irracionales, e incluso del cero. Son un concepto matemtico que ha

probado ser til en diversas ramas de la ciencia y la tecnologa, especialmente en electricidad y magnetismo.

Naturalmente la incorporacin de este nmero, ocasiona que algunas propiedades de los nmeros reales no se

puedan aplicar y, en cambio, aparezcan otras propiedades que los nmeros reales no tenan.

Propiedades de los nmeros imaginarios. Al igual que otros conjuntos de nmeros, los imaginarios tienen sus propiedades. Realiza una investigacin y

elabora un reporte de 200 palabras acerca de las propiedades de los nmeros imaginarios.

Concepto de nmeros complejos.

A partir de la existencia del nmero i, podemos construir los nmeros complejos que constan de dos partes; un nmero real y un nmero imaginario.

Generalmente se representan escribiendo primero la parte real y luego la

imaginaria: a + bi.

Dado que cualquiera de los dos elementos del nmero complejo puede ser cero, todos los nmeros reales se

consideran complejos con parte imaginaria igual a cero, y los imaginarios se consideran complejos con parte

real igual a cero: 5 = 5 + 0i, 2i = 0 + 2i.



Operaciones con nmeros complejos. Las operaciones aritmticas con nmeros naturales, enteros, racionales, irracionales y reales se estudian

durante toda la educacin bsica. Debido a la incorporacin del nmero i, las operaciones con nmeros complejos presentan algunas diferencias que es necesario estudiar.

Multiplicaciones y potencias del nmero i. Al elevar a una potencia el nmero i, debemos tener en cuenta que las propiedades que se aplican a los nmeros reales no funcionan con los nmeros complejos. Un error ocasionado por la aplicacin de

propiedades de los nmeros reales a nmeros imaginarios es:

= 1 2 = (1)2

2 = (1)2

2 = (1)2 2 = 1 =

La forma correcta de elevar el nmero i a una potencia o multiplicarlo es la siguiente:

=

2 = (1)2

=

3 = 2 = () =

4 = 2 2 = () () =

5 = 4 = () =

6 = 4 2 = () () =

7 = 4 3 = () () =

8 = 4 4 = () () = Es evidente que existe una regla emprica que nos permite simplificar los clculos, antala en seguida:

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Depende de las potencias que se usen, se suele multiplicar i por las potencias



Suma y resta de nmeros complejos. Las sumas, restas y cualquier combinacin de ellas, pueden resolverse aplicando las reglas algebraicas de

reduccin de trminos semejantes: se suman y restan por separado las partes real e imaginaria. Ejemplos:

1. (2 + 3) + (5 4) = 2 + 3 + 5 4 = (2 + 5) + (3 4) = 7 1 =

2. (6 9) (7 4) = 6 9 7 + 4 = (6 7) + (9 + 4) =

Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones:

1. (6 + 5) + (3 9) =

2. (8 + 2) (5 4) =

3. (1 + 8) (7 3) =

4. (2 4) + (6 + 7) =

5. (5 6) + (3 + 9) (7 + 2) =

Multiplicacin de nmeros complejos. Para efectuar multiplicaciones se trata como cualquier multiplicacin algebraica, con la consideracin de que al

elevar el nmero i, a alguna potencia, debemos tomar en cuenta que se puede simplificar. Ejemplos:

El resultado se simplifica utilizando la equivalencia de i2.

10 + 7 122 = 10 + 7 12(1) = 10 + 7 + 12 = +

Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.

1. (3 + 4)(2 7) =

2. (5 + 2)(6 2) =

3. (1 + 9)(4 3) =

4. (7 )(8 + 2) =

5. (3 2)(5 + 3)(6 + 7) =

9-4i

-3+6i

7+11i

-8+3i

5+1i

18-13i

34-2i

31-33i

58-6i

187+51i



En ocasiones es necesario, antes de efectuar operaciones, obtener el nmero complejo debido a la presencia

de races cuadradas de nmeros negativos.

Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones.

1. (5 + 9)(3 4) =

2. (1 + 16)(4 36) =

3. (1 + 121)(1 121) =

4. (2 1)(2 + 1) =

5. (4 49)(4 + 49)(3 + 25) =

Observa los ejercicios 3 y 4. Se trata de nmeros complejos conjugados, es decir, solamente difieren en el

signo. Explica lo que sucede al multiplicar nmeros complejos conjugados:

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Divisin de nmeros complejos. La multiplicacin de nmeros complejos conjugados es importante porque se emplea en la divisin de nmeros

complejos.

Para dividir dos nmeros complejos se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor como se

muestra en el siguiente ejemplo (Completa las operaciones faltantes):

Dividir 2 + 2 entre 2 2:

2+2

22=

(2+2)(2+2)

(22)(2+2)=

=

Ejercicio: Efecta las siguientes operaciones.

1. (4 + 3) (2 3) =

2. (1 + 2) (1 2) =

3. (1 + 9) (1 3) =

4. (4 ) (8 + 2) =

5. [(3 2) (5 + 3)] (6 + 7) =

6. [(3 2) (5 + 3)] (6 + 7) =

7. [(1 2) (1 + 3)] [(3 + 2)(2 3)]

8. [(2 ) (1 2)] [(2 + 2)(2 )]

21-i

28-10i

5+-0i

65+-0i

0i+123

__ __

-1 + 18i13 13

__ __

_____

_____

Cuando se multiplica los nmeros complejos se suman para obtener un solo nmero

5 + 4i3 3

-28 + 6i 10

34 + 14i 10



Aplicaciones de los nmeros complejos. Los nmeros complejos aparecieron desde muy temprano en la historia de la matemtica, pero fueron

ignorados debido a que no tenan sentido ni se podan representar. Una de las primeras referencias de que se

tiene noticia es la de Hern de Alejandra.

Es hasta el siglo XVI cuando los matemticos italianos investigaron y emplearon estos nmeros en la resolucin

de ecuaciones de segundo y tercer grado: 3 + 2 + + = 0

Son particularmente reconocidos los trabajos de Cardano, Tartaglia, Descartes y sobre todo Euler quien

introdujo el smbolo i llamndolos nmeros imaginarios.

Las principales aplicaciones de los nmeros complejos se encuentran en la electricidad y magnetismo, sin

embargo, un rea relativamente nueva y muy interesante es la de los fractales.

Realiza una investigacin y elabora un reporte de 600 palabras acerca de los fractales.

Ejemplos de fractales:

Fractal de Mandelbrot. Tringulo de Sierpinski. El atractor de Lorentz.

Lecturas complementarias recomendadas.

Actividad 2. Números Complejos.

Documents

Transcript of Actividad 2. Números Complejos.