Activ1 Octubre 29 2013

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Actividad 1

Introducción al estudio del movimiento mediante el análisis de video

En la actualidad es fácil trazar y analizar la trayectoria de un cuerpo, ya que contamoscon una gran diversidad de

instrumentos desarrollados con tal finalidad. Uno de ellos son losvideogramas o videos, los cualesconsisten en series de fotogramas o

fotografías. Cuando las fotografías son tomadas por una cámara enreposo, con enfoque fijo y con igual

separación en el tiempo, podemosconocer varias de las característicasdel movimiento de un cuerpo, al

proyectar el videograma.

En la Figura 1.1, se muestracomo ejemplo el movimiento de uninsecto mediante una serie de

fotografías tomadas a igualesintervalos de tiempo. Al tratar deanalizar su movimiento, se apreciaque en realidad un insecto es uncuerpo muy complejo, ya que consta

de partes cuyos movimiento particulares son muy variados(patas, antenas, cuerpo), por lo que se ha seleccionado analizar el movimiento de sucabeza como representativo de todo el cuerpo del insecto. Para analizar el movimiento,requerimos además de un sistema de referencia , el cual de preferencia debe ser un objeto

físico, ya sea una mancha o una imperfección de la superficie. En el presente caso secolocó una moneda con tal finalidad. A continuación, es necesario seleccionar un sistemacoordenado para localizar al objeto en diferentes instantes. En el presente caso los ejescoordenados fueron trazados con origen aproximadamente en el centro de la moneda. El

siguiente paso consistiría en trazar líneas paralelas a cada uno de los ejes para“cuadricular” la superficie en la que se mueve el objeto.

Para evitar el trazado de ejes y demás líneas auxiliares para cada uno de los casos, lomejor es realizarlo una sola vez sobre la superficie en la cual ocurrirá el movimiento,como se muestra en la Figura 1.2. En este caso, únicamente aparecen los puntos que

fueron trazados sobre la cabeza del insecto (se trata de otro insecto, por supuesto), y este solamente aparece en el instante en la posición considerada al final (esquina inferiorderecha). La separación entre las líneas es de un centímetro. Sobre la moneda aparece

1.1 Fotografías de un insecto en movimiento tomadasa iguales intervalos de tiempo.

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recalcado el origen del sistema coordenado y además, han sido trazados varios vectorescorrespondientes a varias de las posiciones del insecto durante su movimiento.

Ejercicio.

Expresa analíticamente los vectores de posición solicitados, como se muestra enlos ejemplos. Observa que algunos vectores no han sido trazados, pero la posicióndel objeto puede ser expresada analíticamente independientemente de ello.

Figura 1.2. Superficie cuadriculada sobre la cual se ha movido una hormiga, según lo indicadopor los puntos y vectores trazados. La separación entre las líneas es de un centímetro.

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Comparación con los resultados obtenidos utilizando el programa Logger Pro

Logger Pro es un programa de computadora que permite analizar videogramas yvideos. Se basa en que estosconsisten en fotografíastomadas por una cámara fijaa iguales intervalos detiempo (30 fotografías porsegundo, aproximadamente).Cada punto de la pantalla esun pixel con suscoordenadas (x, y), lascuales son calibradas

introduciendo el valor de lalongitud de un objeto o ladistancia entre dos señalesde referencia. Además,

permite insertar un sistemade ejes cartesianos, el cual

puede ser colocado encualquier punto de la pantalla, y puede girarse y orientarse en cualquier dirección. LaFigura 1.2 es en realidad una foto modificada del área de trabajo del programa Logger Pro.En el programa, se insertó un sistema coordenado con origen en el centro de la moneda, y

se asignó a la longitud de la línea que aparece muy cerca del eje X un valor de 0.2 m (20cm), con la finalidad de hacer comparaciones con el cuadriculado realizado sobre el área enla que ocurre el movimiento. Las posiciones del objeto o cuerpo se seleccionan colocandoel puntero del mouse sobre una parte de este y dando clic con el botón izquierdo. Fue asícomo fueron seleccionados los puntos que representan las diversas posiciones del insectoen la Figura 1.2. En la Tabla 1.1 aparecen tanto los valores del tiempo como los de lascoordenadas y componentes de la velocidad correspondientes a cada una de las posicionesrepresentadas por los puntos. Además, con los valores de estas posiciones, en Logger Pro

puede ser elaborada una gráfica para representar la trayectoria del cuerpo, la cual esmostrada en la Figura 1.3. Esta es una trayectoria “muy burda” ya que los puntosseleccionados están muy separados, pero será utilizada para aclarar algunos conceptos

Compara tus resultados del ejercicio anterior con los mostrados en la Tabla 1.1, y solamente en caso de que sean considerablemente diferentes, corrígelos. A continuación,encuentra los desplazamientos solicitados, utilizando las expresiones anteriores, tal y como

se muestra en los ejemplos.

( ) ( )( )

Tabla 1.1 Tiempos, componentes de la posición y componentes de lavelocidad del insecto, obtenidas utilizando el programa Logger Pro.

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( ) ( )( )

( ) ( )

Traza sobre la gráfica de la Figura 1.4 los vectores desplazamiento que has escrito, de

manera similar a como se muestran los vectores correspondientes a los desplazamientos delos ejemplos.

Figura 1.3 Trayectoria de la hormiga obtenida utilizando el programa Logger Pro. Cada punto dela gráfica corresponde a la posición del insecto mostrada en la Figura 1.2 y las coordenadasaparecen en la Tabla 1.1.

Auxiliándote de los valores del tiempo mostrados en la Tabla 1.1, correspondientes a cada posición, encuentra la velocidad media entre las posiciones indicadas, como se muestra enlos ejemplos.

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( )

( )

( )

Traza sobre la gráfica de la Figura 1.4 los vectores de velocidad media que has escrito, demanera similar a como se muestran los vectores correspondientes a las velocidades mediasde los ejemplos.

Figura 1.4 Ejemplos de desplazamientos y velocidades medias de la hormiga entre diversasposiciones. En uno de los ejemplos se muestran las posiciones, el desplazamiento y la velocidadmedia de la hormiga. Puede observarse que la velocidad media coincide con la dirección delcorrespondiente desplazamiento.

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Según la Figura 1.3, el insecto sigue trayectorias rectilíneas entre dos posicionesconsecutivas. Aplicando el teorema de Pitágoras, es fácil obtener la distancia que el cuerporecorre entre dos de tales posiciones, así como entre cualquier par de ellas (al sumar lostramos entre ellas). Por ejemplo, para la distancia recorrida entre la posición y la

posición , utilizando los valores de la Tabla 1.1 tenemos:

| | √ ( ) ( )

√ ( ) ( ( ))

De manera similar:

| | √ ( ) ( )

| | √ ( ) ( )

| | √ ( ) ( )

| | √ ( ) ( )

| | √ ( ) ( )

| | √ ( ) ( )

| | √ ( ) ( )

√ ( ) ( )

Realiza los siguientes cálculos, utilizando los datos de la Tabla 1.1.

| || || |

Utilizando los resultados anteriores, así como los datos de la Tabla 1.1, encuentra larapidez media del insecto entre las posiciones indicadas, como se muestra en el ejemplo ycompárala con la magnitud de la velocidad media correspondiente.

Por definición …

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| |

Por tanto: | |

Cálculo de la velocidad instantánea y de la rapidez instantánea.

Utilizando los valores de la posición y del tiempo mostrados en la Tabla 1.1, así como loscalculados para las distancias entre las distintas posiciones, calcular los valores de lavelocidad instantánea, su magnitud y la rapidez instantánea en las posiciones solicitadas.

Ejemplo 1:

Se han seleccionado las posiciones conocidas más

cercanas a la posición en la que se quiere conocer la velocidad instantánea.

Sustituyendo los valores correspondientes de la Tabla 1.1, tenemos:

( ) ( )( )

Este resultado es muy aproximado al mostrado en laTabla 1.1, el cual se obtiene utilizando el programa Logger Pro:

La magnitud de la velocidad instantánea obtenida es:

| |

La dirección de la velocidad obtenida es:

| |

Para la rapidez instantánea:

Así, vemos que a pesar de ser muy grande el intervalo temporal; | | Ejemplo 2:

Al igual que en el ejemplo anterior, se han

seleccionado las posiciones conocidas más cercanas a la posición en la que se

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quiere conocer la velocidad instantánea. Sustituyendo los valores

correspondientes de la Tabla 1.1, tenemos:

( ) ( )( )

Este resultado es muy aproximado al mostrado en laTabla 1.1, el cual se obtiene utilizando el programa Logger Pro:

La magnitud de la velocidad instantánea obtenida es:

| |

La dirección de la velocidad obtenida es:

| |

Para la rapidez instantánea:

Así, vemos que a pesar de ser muy grande el intervalo temporal; | |

De manera similar a lo mostrado en el ejemplo anterior, calcular:

| |

| |

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| |

Traza sobre la gráfica de la Figura 1.5 los vectores de velocidad instantánea que has escrito,de manera similar a como se muestran los vectores correspondientes a las velocidadesinstantáneas de los ejemplos.

Figura 1.5 Ejemplos en los que se muestran tanto el vector velocidad instantánea como suscomponentes de hormiga entre diversas posiciones. Nótese que si trazáramos una trayectoria quepartiera de la posición A hasta la posición Ñ, los vectores velocidad instantánea en cada posicióntienden a tomar una dirección tangente a ella.

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Cálculo de la aceleración media y de la aceleración instantánea.

Utilizando los valores de la velocidad instantánea y del tiempo mostrados en la Tabla 1.1,calcular los valores de la aceleración media en las posiciones solicitadas.

Ejemplo: Encontrar la aceleración media del insecto cuando cambia de la posición a la

posición

=

Ejemplo 2: Encontrar la aceleración instantánea del bicho en la posición

Debemos seleccionar las velocidades conocidas más cercanas a la posición en laque se quiere conocer la aceleración instantánea. Sustituyendo los valores

correspondientes de la Tabla 1.1, tenemos:

Encontrar la aceleración media y la aceleración instantánea solicitadas a continuación, procediendo como se muestra en los ejemplos anteriores.

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Traza sobre la gráfica de la Figura 1.6 los vectores de aceleración media e instantánea quehas escrito, de manera similar a como se muestran los vectores correspondientes a lasaceleraciones de los ejemplos.

Figura 1.6 Ejemplos en los que se muestran tanto el vector aceleración media, así como el vectoraceleración instantánea y sus componentes, en varias posiciones de la hormiga.

Procedimi ento general para anali zar el movimiento de un cuerpo u til izando Logger Pro,a parti r de un archi vo de video.

A continuación, se mostrará una introducción de cómo utilizar Logger Pro para estudiar el

movimiento de objetos a partir del análisis de un video en el que se haya capturado su

movimiento.

El archivo debe estar en formato .mov ó .avi.

Debe haber sido grabado en frecuencia de aproximadamente 30 imágenes por segundo,

aunque no es indispensable.

Se corre el programa Logger Pro y se s elecciona “Insertar” → “Video” - o “Película”,

dependiendo de la versión del programa- … para lo cual se busca el archivo de video, se

selecciona y se presiona en “Abrir” o se da doble clic sobre el nombre del archivo de video

(en el presente caso se utilizó el archivo hormiguita.mov . Al hacerlo aparece una ventana

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para mostrar video, con sus controles en la parte inferior izquierda, como se muestra en la

Figura 1.7. En la parte inferior derecha de la ventana aparecen dos controles, con el

segundo (el cual es preferible utilizar primero) se abre la barra lateral derecha. Las

herramientas básicas – que aparecen en dicha barra- son las que permiten:

Establecer escala, lo cual se consigue presionando y arrastrando sobre un objeto de

longitud conocida. Quedará una línea verde, cuya longitud real debe introducirse. En el

ejemplo se introduce la veinte cuadrados de 1 cm de lado, la cual es de 0.20 m (Figura 1.7).

Insertar ejes coordenados, lo cual permite introducir, desplazar y girar un sistema

coordenado cartesiano. Para girar el eje coordenado se presiona el punto que indica la

dirección positiva del eje X y se arrastra en dirección -o en contra- de las manecillas del

reloj.

Figura 1.7 Ventana principal de Logger Pro, en la cual se ha insertado un archivo de video(película) y dónde se muestran las principales herramientas para analizar el movimiento de unobjeto a partir de este.

Antes de iniciar la toma de valores, es conveniente utilizar los controles de video para

avanzar hasta el videograma en el cual queremos iniciar la toma de datos, ya que, lo más

seguro, es que el video contenga escenas que no sean de nuestro interés. Para ello se utiliza

el botón de sincronización del video con la gráfica, lo cual abre la ventana

“Sincronizar película”, m ostrada en la Figura 1.7. Una vez que se ha conseguido establecer

el fotograma de interés (lo cual se consigue utilizando el botón hasta que aparezca el

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videograma de interés) y se introduce el valor cero para el tiempo, que permite la

sincronización entre video y gráfica.

En el presente ejemplo se utilizó una opción que permite avanzar de forma automática 20

videogramas en el video – debido a que la hormiga se mueve muy lentamente-, a la cual se

accede colocando el indicador del ratón sobre el video y dando clic sobre el botón derecho(o en “Opciones” de la barra de herramientas seleccionando “Opciones de video”, y luego

se edita la ventana emergente que aparece, como se muestra en la izquierda de la Figura

1.8.

Luego hay que presionar sobre el botón “Seleccionar punto”, colocar el indicador del

mouse sobre el punto del objeto que se moverá (en este caso, la cabeza de la hormiga), y

dar un clic. Al hacerlo aparecerá un punto sobre la pantalla dónde se muestra el video y la

película avanzará un cuadro (en este caso 20) . Se repite el proceso “siguiendo” al punto de

interés del cuerpo, hasta que el cuerpo haya completado su movimiento o alcanzado la

posición de nuestro interés. Conforme este proceso se lleva a cabo, detrás de la pantalla de

video aparece regularmente una gráfica donde se muestra la evolución de las componentes

de la posición del cuerpo. Sin embargo, es muy conveniente borrar tales gráficas e ir a la

opción “Página” de la barra de herramientas de Logger Pro y seleccionar “Anadir página” y

verificar que están señalados “vacía” y “Después de página actual.” Al presionar en

“Aceptar”, aparecerá una nueva página, en la cual es posible Insertar (entre otros

elementos) una o varias gráficas correspondientes a los parámetros del movimiento, tales

como posición, velocidad, aceleración, fuerza, cantidad de movimiento, energía cinética,

energía potencial, etc., como muestra el ejemplo de la Figura 1.8. Pero, como la trayectoria

de un insecto es compleja, iniciaremos estudiando el movimiento de objetos cuyas

trayectorias son más simples, como los que se estudian en cursos iniciales de física.

El análisis de video permite utilizar la “teoría” para el análisis de aquellos casos que se

consideran clásicos en la física, desde la caída libre de un cuerpo, el oscilador armónico,

el péndulo, el movimiento circular, las interacciones entre dos o más cuerpos, etc., hasta

casos más complicados como el movimiento de un sistema compuesto de dos o más cuerpos

o el movimiento ondulatorio. Sin duda alguna, pronto aparecerán textos escritos en los que

se utilizarán estas modalidades de aprendizaje.

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