AC2014FB[1]SOL (6)

7/21/2019 AC2014FB[1]SOL (6)

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SOLUCIONES

AMPLIACION DE CALCULO. ETSI INDUSTRIALES. Febrero 2014. 1a semana.

Ejercicio 1 (a), (c), (d), (f)Ejercicio 2 (e)Ejercicio 3 (f)Ejercicio 4 (0, 0, 0) ; 2π + 2Ejercicio 5 (k)Ejercicio 6 (g)Ejercicio 7 (g)

1. Sea M = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4, y consideremos los siguientes subconjuntos de M :A =

(x, y)

∈ M : x2 + y2 > 0

, B =

(x, y)

∈ M : x2 + y2 > 1

,

C = (x, y) ∈ M : x2 + y2 = 1, D = (x, y) ∈ M : x2 = 1E = (x, y) ∈ M : x2 ≤ 1, F = (x, y) ∈ M : x = ySenale las integrales cuyo valor coincida con el de

M

f (x, y) dxdy para toda funcion f integrable en

M .(a)

A

f (x, y) dxdy (b) B

f (x, y) dxdy (c) C

f (x, y) dxdy

(d) D

f (x, y) dxdy (e) E

f (x, y) dxdy (f) F

f (x, y) dxdy (g) Ndla

Solucion: (a), (c), (d) y (f). Para poder asegurar que A

f (x, y) dxdy coincide con M

f (x, y) dxdy

para toda funcion f integrable sobre M , el conjunto M \

A debe tener contenido cero. De esta manera,los sumandos de las sumas de Riemann correspondientes a subrectangulos que intersequen a M \ Ase acercaran tanto como se quiera a cero, con tal de hacer la particion lo suficientemente fina, y ası,las integrales sobre A y sobre M coincidiran.Como M \ A = (0, 0) es un solo punto, entonces |M \ A| = 0. Analogamente,Como M \ B es un cırculo, entonces |M \ B| > 0.Como M \ C es una circunferencia, entonces |M \ C | = 0.Como M \ D es un par de segmentos, entonces |M \ D| = 0.Como M \E es la parte del cırculo M , de radio 2, que no esta comprendida entre las rectas x = −1y x = 1, entonces |M \ E | > 0.Como M \ F es un segmento, entonces |M \ F | = 0.

2. Determine la distancia desde el centroide de una semiesfera maciza de radio R al centro de lapropia esfera.

(a) 0 (b) 1

2 (c) R (d)

3π

5 (e)

3R

8 (f)

5R

16

(g) R2

2 (h)

R2

3 (i)

2R

3 (j)

2

3 (k)

5R

7 (l)

R

2 (m) Ndla

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Solucion: (e). Situamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera maciza, que cortamospor el plano xy para obtener la semiesfera E . Por la simetrıa de la semiesfera, el centroide de E seencuentra en un punto de la forma (0, 0, cz), en donde:

cz =

E zdxdydz

E dxdydz

Introducimos las siguientes coordenadas esfericas:

x = ρ cos θ cos φ, y = ρ sen θ cos φ, z = ρ sen φ , ρ ∈ (0, R) , θ ∈ (0, 2π) , φ ∈ (0, π/2)

cuyo jacobiano, en valor absoluto, es J = ρ2 cos φ, de manera que

E

zdxdydz = R0

2π0

π/20

(ρ sen φ)Ä

ρ2 cos φä

dφdθdρ = R0

2π0

ρ3

2 dθdρ =

R0

πρ3dρ = 1

4πR4

Por otra parte, sabemos que el volumen de la semiesfera E es E dxdydz = 23πR3, por lo que:

cz =

E zdxdydz E dxdydz

=14

πR4

23πR3

= 3

8R

Nota: hay que saber cual es el volumen de una semiesfera de radio de R, aunque no se tarda nadaen calcularlo:

E

dxdydz = R0

2π0

π/20

Äρ2 cos φ

ädφdθdρ =

R0

2π0

ρ2dθdρ = R0

2πρ2dρ = 2

3πR3

3. Calcular M

sen(x2 + y2)dxdy,

donde M es un cırculo de radio 4 centrado en el origen.

(a) 0 (b) 16π (c)√

2π (d) −16 sen(16) (e) 0 (f) π − π cos 16 (g) Ndla

Solucion: (f) Vamos a usar el cambio de variable x = r cos θ e y = r sen θ. De este modo

g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) J = |det(g(r, θ))| = r,

y

M sen(x

2

+ y

2

)dxdy = 2π0

40 r sen(r

2

)drdθ = 2π0

160

1

2 sen(t)dtdθ = (1 − cos16)π.

4. Calcule el rotacional del campo vectorial f (x,y,z ) = (x2 + zy,zx + sen y, 3√

z + xy) y la integral

curvilınea I = C

Äx2 + zy

ädx + (zx + sen y) dy +

Ä 3√

z + xyä

dz , en donde C es la curva x = cos2(πt),

y = π√

2 − t2 sen(πt/2), z = 2 3

» cos2(πt), con t ∈ [0, 1].

rot(f )(x,y,z ) = ( , , ) I =

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Solucion:.

rot f (x,y,z ) =

i j k

D1 D2 D3

x2 + zy xz + sen y 3√

z + xy

= i (x − x) − j (y − y) y + k (z − z ) = (0, 0, 0) .

En consecuencia, la integral solo depende del punto inicial y del final, pero no depende del caminoseguido (ver 15.8 en la pagina 103 de las UU.DD.). El punto inicial (para t = 0) es (1, 0, 2) mientras

que el punto final (para t = 1) es (1, π, 2). Un camino sencillo que une estos dos puntos es el segmentoL dado por x = 1, y = s, z = 2, con s ∈ [0, π]. Por lo tanto:

I = L

Äx2 + zy

ädx + (zx + sen y) dy +

Ä 3√

z + xyä

dz = π0

(2 + sen s) ds = 2π + 2.

5. Calcule la integral de superficie S

(∇F · n) dS , en donde F (x,y,z ) = x2 + 4y2 + z 2, y

S = (x,y,z ) : F (x,y,z ) = 1 esta orientada segun los vectores salientes del elipsoide. Recuerde que

el volumen del elipsoide macizo de ecuacion x2

a2 +

y2

b2 +

z 2

c2 ≤ 1 es

4

3πabc.

(a) 0 (b) −1 (c) π (d) π/3 (e) 2π (f) 7π (g) 3π(h) 1/8 (i) −π (j) π/4 (k) 8π (l) π2 (m) Ndla

Solucion:(k). Primer procedimiento, utilizando el Teorema de la divergencia. Denotemos por M alelipsoide macizo M = (x,y,z ) : F (x,y,z ) ≤ 1 y tengamos en cuenta que

(∇ · (∇F ))(x,y,z ) = ∇ · (2x, 8y, 2z ) = 2 + 8 + 2 = 12,

para obtener

S (∇F · n) dS = M (∇ · (∇F )) dxdydz = M

12 dxdydz = 12 Vol(M) = 12

Ç4

3

Çπ

1

2

åå = 8π

Segundo procedimiento, calculando directamente la integral de superficie.

r(θ, φ) =

Çcos θ sen φ,

1

2 sen θ sen φ, cos φ

å

∂ r(θ, φ)

∂θ =

Ä − sen θ sen φ , 12 cos θ sen φ , 0

ä∂ r(θ, φ)

∂φ =

Ä cos θ cos φ , 1

2 cos φ sen θ , − sen φä

N(φ, θ) =Ä

cos θ cos φ , 12 cos φ sen θ , − sen φä ∧ Ä − sen θ sen φ , 12 cos θ sen φ , 0

ä =

=Ä 12 cos θ sen2 φ , sen θ sen2 φ , 1

2 cos φ sen φ cos2 θ + 12 cos φ sen φ sen2 θ

ä

∇F (x,y,z ) = (2x, 8y, 2z ) ; ∇F (θ, φ) = (2 cos θ sen φ, 4sen θ sen φ, 2cos φ)

∇F · N = sen φ cos2 θ + cos2 φ sen3 θ + 4 sen2 θ sen3 φ

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S

(∇F · n) dS = S

(∇F · N) 1

NdS = Ω

(∇F · N) dφdθ =

= 2π0

π0

Äcos2 θ sen3 φ + cos2 φ sen φ + 4 sen2 θ sen3 φ

ädφdθ =

= 2π0

π0

Äcos2 φ sen φ +

Äcos2 θ + 4 sen2 θ

äsen3 φ

ädφdθ =

= 2π

0

π

0

Äcos2 φ sen φ +


ä Ä1 − cos2 φ

äsen φ

ädφdθ =

= 2π0

î−13 cos3 φ +


ä Ä− cos φ + 1

3 cos3 φäóφ=πφ=0

dθ =

= 2π0

Ç4

3 cos2 θ +

16

3 sen2 θ +

2

3

ådθ =

2π0

Ç4

3 +

12

3 sen2 θ +

2

3

ådθ =

= 2π0

Ä4sen2 θ + 2

ädθ =

2π0

((2 − 2cos2θ) + 2) dθ = [4θ − sen2θ]θ=2πθ=0 = 8π

Nota. Es facil deducir la formula V = 43πabc, que se proporciona en el enunciado, para el volumen

del elipsoide E de ecuacion x2

a

2 + y2

b

2 + z2

c

2

≤ 1. Con el cambio de variable:

x = ar cos θ sen φ, y = br sen θ sen φ, z = cr cos φ,

se tiene: E

dxdydz = 10

2π0

π0

abcr sen φ dφdθdr = 10

2π0

2abcr2dθdr = 10

4πabcr2dr = 4

3πabc

6. Senalese el radio de convergencia de la serie de potencias∞n=0

2cos(nπi) (z − i)n.

(a) 0 (b) i (c) 1 (d)−1 (e) cos(nπ) (f) eπ (g) e−π (h)∞ (i) eπ + e−π (j)−eπ (k) Ndla

Solucion: (g)

El radio de convergencia de una serie de potencias de la forma

an(z − z 0)n es r = (lım supn→∞

n

» |an|)−1

Por tanto,

r = (lım supn→∞

n

» 2| cos(nπi)|)−1 = ( lım

n→∞

n

√ enπ + e−nπ)−1 = ( lım

n→∞

n

√ enπ)−1 = (eπ)−1 = e−π.

7. Senale el residuo de la funcion f (z ) = 4

(z 2 + 1)2 en el punto z = i.

(a) 0 (b) 1 (c) −1 (d) 1/2 (e) π (f) π2 (g) −i (h) i/2(i) i (j) i/2 (k) ∞ (l) No existe (m) Ndla

Solucion:(g). Primer procedimiento, seccion 21.8 de las UU.DD.: z = i es un polo de orden 2 de

f (z ) = 4

(z 2 + 1)2, pues f (z ) =

4

(z 2 + 1)2 =

4

(z − i)2 (z + i)2. Por lo tanto,

Res(f, i) = lımz→i

Ä(z − i)2 f (z )

ä

= lımz→i

4

(z + i)2

= lımz→i

−8

(z + i)3 =

−8

(i + i)3 = −i

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Segundo procedimiento, desarrollando la serie de Laurent alrededor de z = i:

1

z + i =

1

(z − i + i) + i =

1

2i + (z − i) =

−i/2

1 − (i/2) (z − i) = −i/2

∞n=0

(i/2)n (z − i)n = −∞n=0

(i/2)n+1 (z −

1

(z + i)2 = −Ç 1

z + iå

=∞

n=1

(i/2)n+1n (z −

i)n−1

f (z ) = 4

(z − i)2 (z + i)2 =

∞n=1

4(i/2)n+1n (z − i)n−3 =∞

k=−2

4(i/2)k+4(k + 3) (z − i)k

Res(f, i) = 4(i/2)(−1)+4((−1) + 3) = −i

8. a) La curva γ parametrizada por z (t) = |cos t| eit, en donde t ∈ñ−π

2, 3π

2

ô esta dibujada al pie de

la pagina. Indique el sentido de recorrido dado por esa parametrizacion en cada uno de sus tramos.(0.5 puntos)

b) Determine todas las singularidades de la funcion f (z ) = 11 − 16z 4

. Determine tambien el ındice

de γ respecto de cada una de ellas (basta con dar argumentos graficos, utilizando el apartado a)). (1punto)

c) Calcule la integral γ

1

1 − 16z 4 dz , en donde γ es la curva del apartado a). Preste atencion al

sentido del recorrido. (1.5 puntos)

Solucion:. a) Vamos a proporcionar una razonamiento riguroso, pero tambien se admite uno pura-mente intuitivo, que sugiera una curva con forma de ocho, aunque no se aprecie que son circunferen-cias, siempre que quede bien claro el sentido de recorrido.

Razonamiento riguroso. Cuando t ∈ [−π/2, π/2], tenemos |cos t| = cos t, por lo que

z (t) = cos2 t + i cos t sen t = 1

2 +

1

2 cos 2t +

i

2 sen 2t =

1

2 +

1

2e2it

Por lo tanto, el arco de curva es la circunferencia con centro en z = 12

y radio 12

, recorrida en sentidopositivo (antihorario)

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De la misma manera, cuando t ∈ [π/2, 3π/2], tenemos |cos t| = − cos t, por lo que

z (t) = −cos2 t − i cos t sen t = −1

2 − 1

2e2it = −1

2 +

1

2e2i(t−π/2)

Por lo tanto, el arco de curva es la circunferencia con centro en z = − 12 y radio 1

2 , recorrida en sentidopositivo (antihorario).

Razonamiento intuitivo. El argumento de z (t) es precisamente t ∈ [−π/2, 3π/2], mientras que elmodulo de z (t) es |cos t|. Por lo tanto, para cada valor t del argumento en el intervalo tenemosexactamente un punto de la curva y ese punto esta a distancia |cos t| del origen. Cuando t = −π/2,el punto esta en z = 0; segun aumenta t, el coseno (y por lo tanto el modulo) aumenta, hasta llegara t = 0, momento en el que z = 1.

Despues, el coseno disminuye, hasta que (para t = π/2) nos hallamos de nuevo en z = 0.

En el segundo cuadrante, comenzamos, para t = π/2, en z = 0; el modulo aumenta hasta que ent = π estamos en z = −1.

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Completamos la curva en el cuarto cuadrante al llegar, para t = 3π/2, al punto inicial z = 0.

b) Las singularidades de la funcion f (z ) = 1

1 − 16z 4 son los puntos que verifican 1 − 16z 4 = 0, es

decir, z = 12

, z = −12

, z = i2

, z = −i2

. En particular

f (z ) = −1

16 Äz −

1

2ä Äz + 1

2ä Äz

− i

2ä Äz + i

2ä

y las cuatro singularidades son polos simples. Solo las dos primeras estan en la region acotada por γ (es decir, es cero el ındice de γ respecto de z = i

2, al igual que el ındice respecto de z = −i

2 ). El ındice

de γ respecto de z = 12 , es 1, porque la primera circunferencia da una vuelta en sentido positivo

alrededor de z = 12

. Por la misma razon, el ındice de γ respecto de z = −12

es tambien 1.

c) Los residuos en esos puntos son:

ResÄ

f, −12

ä = lım

z→−1

2

(z + 12

)f (z ) = lımz→−1

2

−1/16Äz − 1

2

ä Äz − i

2

ä Äz + i

2

ä = 1/16Ä

−12 − i

2

ä Ä−1

2 + i2

ä = 1/16

Ä− 1

2ä2 −

Äi2ä

2 =

ResÄ

f, 12

ä = lım

z→1

2

(z − 12

)f (z ) = lımz→1

2

−1/16Äz + 1

2

ä Äz − i

2

ä Äz + i

2

ä = −1/16(1)

Ä12 − i

2

ä Ä12 + i

2

ä = −1/16Ä12

ä2 − Äi2

ä2 = −18

Por el teorema de los residuos:

γ

1

1 − 16z 4dz = 2πi

ÄRes

Äf, −1

2

ä + Res

Äf, 1

2

ää = 0

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