Abordagens interactivas para tratamento da incerteza em...

UNIVERSIDADE DE COIMBRA

FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Abordagens interactivas para tratamento da incerteza

em modelos de optimização multiobjectivo

para apoio à decisão

Ana Rosa Pereira Borges

Coimbra

2005

Capítulo X

Conclusões

e pistas de desenvolvimento

Neste capítulo fazemos uma síntese das conclusões e pistas de desenvolvimento mais importantes (a generalidade das quais foram já apresentadas no final dos vários capítulos).

As contribuições principais deste trabalho consistem nas propostas de novos algoritmos interactivos, que possibilitem construir ferramentas computacionais flexíveis, para apoio ao AD na análise da estabilidade e robustez das potenciais soluções básicas eficientes, e na exploração da sua própria estrutura de preferências, em modelos de optimização lineares com múltiplos objectivos, contemplando a incerteza que lhes está associada.

Entre as contribuições e conclusões mais relevantes deste trabalho podemos destacar:

Nos capítulos III e IV são estudadas as questões relativas ao tratamento da incerteza em modelos de PLMO fazendo uso da aplicação dos conceitos fundamentais da teoria de conjuntos difusos no domínio dos métodos de decisão. Nestes capítulos são propostos dois métodos interactivos onde as soluções eficientes obtidas possuem natureza difusa.

A abordagem exposta no capítulo III permite incorporar a difusão na operação de optimização e nas relações matemáticas existentes nas restrições funcionais do modelo, enquanto que a abordagem apresentada no capítulo IV considera os parâmetros do modelo difusos e caracterizados por números reais difusos triangulares. As duas abordagens de tratamento da incerteza estudadas nos capítulos III e IV possibilitam efectuar análises diferentes, mas complementares.

UNIVERSIDADE DE COIMBRA

FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Abordagens interactivas para tratamento da incerteza

em modelos de optimização multiobjectivo

para apoio à decisão

Ana Rosa Pereira Borges

Dissertação submetida à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra para obtenção do grau de Doutor em Engenharia Electrotécnica, especialidade de Informática.

Coimbra

2005

Capítulo X

Conclusões







Índice

Índice.................................................................................................................................... i Agradecimentos................................................................................................................vii Resumo............................................................................................................................... ix Abstract ............................................................................................................................. ix

Capítulo I Introdução .............................................................................................................. 1

Capítulo II Programação linear multiobjectivo: conceitos fundamentais ............ 11 II.1 O problema linear com objectivos múltiplos ............................................ 12 II.2 Solução eficiente, solução não dominada e solução de compromisso satisfatória 13 II.3 Tabela de óptimos individuais, solução ideal e solução anti-ideal ........... 22 II.4 Processos de cálculo de soluções eficientes ............................................. 24 II.4.1 Soma ponderada das funções objectivo ............................................... 24 II.4.1.1 O problema escalarizante ............................................................... 24 II.4.1.2 O quadro simplex multiobjectivo .................................................. 25 II.4.1.3 Decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) em regiões de indiferença 26 II.4.2 Abordagem de pontos de referência ..................................................... 30 II.4.2.1 O problema escalarizante ............................................................... 31 II.4.3 Soma ponderada das funções objectivo versus abordagem de pontos de referência . 33 II.4.4 Optimização de uma das funções objectivo impondo limitações nos valores das restantes ............................................................................. 34 II.5 Ordem de grandeza das funções objectivo ............................................... 34 II.6 Articulação da estrutura de preferências do AD ....................................... 35

Capítulo III Programação linear multiobjectivo difusa: algumas abordagens .... 39 III.1 Breve introdução à teoria de conjuntos difusos ........................................ 41 III.1.1 Algumas definições básicas da teoria de conjuntos difusos ................ 41 III.1.2 Operações sobre conjuntos difusos ...................................................... 44 III.1.2.1 Operações algébricas sobre conjuntos difusos .............................. 44 III.1.2.2 Operações estruturais básicas sobre conjuntos difusos ................. 45

ii

III.1.3 O princípio da extensão e algumas aplicações ..................................... 46 III.1.3.1 O princípio da extensão .................................................................. 46 III.1.3.2 A noção de função difusa ............................................................... 46 III.1.3.3 A noção de número real difuso ...................................................... 47 A noção número real difuso triangular .......................................... 47 As noções de intervalo difuso e de intervalo difuso trapezoidal .... 48 Representação LR de um número real difuso ................................ 49 III.2 Decisão em ambiente difuso ...................................................................... 50 III.2.1 O modelo de decisão em ambiente difuso de Bellman e Zadeh ........... 51 III.2.2 Operadores compensatórios e operadores não compensatórios ........... 51 III.2.3 Generalização de Werners da noção de solução eficiente .................... 52 III.3 Programação linear multiobjectivo difusa ................................................. 55 III.3.1 Algumas abordagens de programação linear multiobjectivo difusa ..... 56 III.3.1.1 O modelo simétrico ........................................................................ 56 Modelo simétrico com solução rígida – – abordagem de Zimmermann ..................................... 58 Modelo simétrico com solução difusa – – abordagem de Chanas ............................................... 60 III.3.1.2 Estrutura do modelo difusa com solução difusa – – abordagem de Carlsson e Korhonen .......................... 60 III.3.1.3 A abordagem interactiva com solução rígida de Werners .............. 61 III.4 Uma metodologia interactiva de PLMO onde as relações matemáticas intervenientes são difusas .......................................................................... 61 III.4.1 Alguns conceitos introdutórios ............................................................. 62 III.4.2 O funcionamento da abordagem interactiva proposta .......................... 65 III.4.3 Exemplo ilustrativo ............................................................................... 70 III.4.4 Considerações finais ............................................................................. 80

Capítulo IV Uma metodologia interactiva para PLMO, com parâmetros difusos . 83 IV.1 O funcionamento da abordagem interactiva proposta ............................... 85 IV.1.1 Coeficientes difusos nas funções objectivo .......................................... 87 IV.1.2 Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais ........ 88 IV.1.3 Introdução de nova variável de decisão com coeficientes difusos ....... 88 IV.1.3.1 Análise global à introdução de uma nova variável de decisão ....... 91 IV.1.3.2 Análise dinâmica das alterações ocorridas numa solução seleccionada 92 Alteração no valor de nível de pertença c ...................................... 92 Alteração no valor de nível de pertença a ..................................... 92 IV.2 Exemplo ilustrativo ................................................................................... 93 IV.2.1 Coeficientes difusos nas funções objectivo .......................................... 94 IV.2.2 Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais ........ 101

iii

IV.2.3 Introdução de nova variável de decisão com coeficientes difusos ....... 111 IV.2.3.1 Análise global à introdução de uma nova variável de decisão ...... 112 IV.2.3.2 Análise dinâmica das alterações ocorridas numa solução seleccionada 115 Alteração no valor de nível de pertença c ..................................... 115 Alteração no valor de nível de pertença a ..................................... 121 IV.3 Considerações finais ................................................................................. 127

Capítulo V Abordagem de tolerância em problemas de programação linear ..... 129 V.1 A abordagem de tolerância de Wendell (1985, 1984) .............................. 132 V.1.1 Limites de tolerância para as perturbações dos lados direitos das restrições e para os coeficientes da função objectivo ........................................... 133 V.1.1.1 O problema .................................................................................... 133 V.1.1.2 Formulação matemática e interpretação geométrica ..................... 136 V.1.1.3 Os resultados .................................................................................. 138 Lados direitos das restrições ......................................................... 138 Coeficientes da função objectivo ................................................... 140 Comentários ................................................................................... 141 V.1.1.4 Exemplo ilustrativo ........................................................................ 141 V.1.2 Existência “à priori” de informação relativa às gamas de variação para os coeficientes dos lados direitos das restrições e da função objectivo .... 144 V.1.2.1 O problema .................................................................................... 144 V.1.2.2 Formulação matemática e interpretação geométrica ..................... 145 V.1.2.3 Os resultados .................................................................................. 146 Lados direitos das restrições ......................................................... 147 Coeficientes da função objectivo ................................................... 149 Comentários ................................................................................... 152 V.1.2.4 Exemplo ilustrativo ........................................................................ 153 V.2 Generalização da abordagem de tolerância de Wendell ........................... 155 V.2.1 A abordagem expandida de Wondolowski (1991) e Wendell (1992) ... 155 V.2.1.1 Interpretação geométrica ............................................................... 156 V.2.1.2 Exemplo ilustrativo ........................................................................ 157 V.2.2 A abordagem baseada na região de volume máximo de Wang e Huang (1993) . 158 V.2.2.1 Interpretação geométrica ............................................................... 159 V.3 A abordagem de tolerância em problemas de PLMO de Hansen et al. (1989) .. 161 V.3.1 O problema ........................................................................................... 161 V.3.2 Formulação matemática ....................................................................... 162 V.3.3 Os resultados ........................................................................................ 164 V.3.4 Exemplo ilustrativo .............................................................................. 166 V.4 Considerações finais ................................................................................. 169

iv

Capítulo VI Uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância em problemas de PLMO ................................................................................ 171

VI.1 A geometria da abordagem de Hansen et al.(1989) .................................. 172 VI.1.1 Inexistência de informação adicional “à priori” ................................... 173 VI.1.2 Existência de informação “à priori” relativa às gamas de variação para os pesos das funções objectivo ............................................................. 177 VI.2 O funcionamento da abordagem interactiva proposta (baseado na análise geométrica do diagrama paramétrico) ....................... 184 VI.2.1 Inexistência de informação adicional “à priori” ................................... 187 VI.2.2 Existência de informação “à priori” relativa às gamas de variação para os pesos das funções objectivo ............................................................. 195 VI.3 Exemplo ilustrativo ................................................................................... 197 VI.4 Considerações finais .................................................................................. 205

Capítulo VII Estudo de um modelo multiobjectivo para planeamento energético com implicações económicas e ambientais ................................................ 207

VII.1 O modelo de PLMO para planeamento energético baseado na análise “input-output” 208 VII.1.1 Funções objectivo do modelo ............................................................... 210 VII.1.2 Restrições do modelo ............................................................................ 210 VII.2 Análise das soluções difusas eficientes do modelo usando a abordagem interactiva de PLMO com parâmetros difusos .......................................... 211 VII.2.1 Coeficientes difusos nas funções objectivo .......................................... 213 VII.2.2 Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais ........ 220 VII.3 Análise das soluções eficientes do modelo usando a metodologia interactiva de abordagem tolerante em problemas de PLMO ..................................... 225 VII.4 Considerações finais .................................................................................. 231

Capítulo VIII Abordagens baseadas em pontos de referência versus análise difusa no apoio à decisão em problemas de PLMO .................................................. 235

VIII.1 Abordagem simétrica difusa de Zimmermann considerando funções membro lineares ....................................................................................................... 236 VIII.2 Metodologias baseadas em pontos de referência versus abordagem simétrica difusa de Zimmermann .............................................................................. 239 VIII.3 Exemplo ilustrativo ................................................................................... 245 VIII.3.1 O modelo de PLMO para planeamento energético .............................. 245 VIII.3.2 Alguns resultados ................................................................................. 246 VIII.4 Considerações finais .................................................................................. 248

v

Capítulo IX Abordagem de tolerância aos pontos de referência em problemas de

programação linear multiobjectivo ............................................................. 249 IX.1 Conceitos introdutórios ............................................................................. 250 IX.1.1 O problema ........................................................................................... 251 IX.1.2 Interpretação geométrica ...................................................................... 251 IX.2 Uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância aos pontos de referência em problemas PLMO ........................................................... 254 IX.3 Exemplo ilustrativo ................................................................................... 255 IX.4 Outros desenvolvimentos .......................................................................... 261 IX.5 Considerações finais ................................................................................. 264

Capítulo X Conclusões e pistas de desenvolvimento .................................................... 267

Referências ........................................................................................................... 271

Capítulo X

Conclusões







vii

Agradecimentos A autora deste trabalho deseja expressar o seu agradecimento por todo o suporte e motivação recebida durante a execução do mesmo, assim como durante a fase de escrita da dissertação. Ainda que agradecendo a todos, uma palavra especial para aqueles que sempre acreditaram na minha determinação, qualidade de trabalho, e que mais me encorajaram:

♦ Ao Professor Doutor Carlos Henggeler Antunes, meu orientador científico, pela incondicional disponibilidade, encorajamento, críticas e sugestões cordialmente manifestadas ao longo de todo o trabalho, e pela não menos indispensável e cuidadosa revisão de todo o texto desta dissertação.

♦ Aos meus pais, irmão e familiares pelo seu incessante apoio, carinho, compreensão e paciência à medida que decorreu este trabalho, bem como pelas inúmeras horas de convívio que tive de prescindir para poder completar o trabalho.

♦ A todos quantos no ISEC me prestaram a sua ajuda e deram incentivo e apoio no sentido de concretizar este projecto.

♦ Ao núcleo de Coimbra do INESC pela ajuda e condições de trabalho proporcionadas.

♦ Por fim, aos meus amigos pelo estímulo e motivação que continuamente expressaram.

Muitos outros colaboraram, directa ou indirectamente de alguma forma, durante a prossecução deste trabalho. Na impossibilidade de a todos mencionar, fica contudo o reconhecimento da sua contribuição e a minha gratidão.

Capítulo X

Conclusões







ix

Resumo Este trabalho tem por objectivo principal o estudo de novas abordagens metodológicas interactivas que permitam lidar, de forma explícita, com a incerteza e imprecisão inerentes ao processo de tomada de decisão, em modelos de programação linear multiobjectivo, onde as múltiplas funções objectivo consideradas são geralmente conflituosas e não comensuráveis. O tratamento das questões relacionadas com a incerteza é efectuado com base na aplicação da teoria de conjuntos difusos no âmbito dos métodos de apoio à decisão e em estudos de análise de sensibilidade, ou mais especificamente de abordagem de tolerância em análise de sensibilidade (“the tolerance approach to sensitivity analysis”). No tocante à aplicação da teoria de conjuntos difusos, são propostas duas abordagens interactivas, as quais se fundamentam em princípios metodológicos distintos, onde o cálculo das soluções eficientes é efectuado pela optimização da soma ponderada das diferentes funções objectivo. Uma das propostas permite incorporar a difusão na operação de optimização e nas relações matemáticas existentes nas restrições, enquanto que na outra proposta alguns dos parâmetros do modelo são considerados números reais difusos triangulares. O conjunto de soluções difusas eficientes obtido não se limita apenas a vértices eficientes do poliedro admissível (não difuso) inicial, a menos que para todas as restrições funcionais as relações matemáticas ou os coeficientes presentes sejam não difusos. Depois de realizado um estudo pormenorizado sobre a abordagem de tolerância apresentada por Wendell no domínio da programação com um único objectivo, assim como da respectiva extensão ao domínio multiobjectivo proposta por Hansen et al. (na qual o cálculo das soluções eficientes consiste também na optimização de uma soma pesada das funções objectivo), apresentamos uma via de natureza geométrica para a obtenção dos resultados propostos. Utilizando um estudo de geometria analítica no espaço paramétrico (dos pesos) é proposta uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância que possibilita analisar dinamicamente como uma determinada solução básica eficiente do modelo se comporta perante perturbações simultâneas e independentes nos coeficientes de ponderação das várias funções objectivo. Dado que as metodologias de pontos de referência são também utilizadas para caracterizar o conjunto das soluções eficientes em problemas multiobjectivo, realizámos um estudo comparativo das metodologias de pontos de referência (em modelos de programação linear multiobjectivo) com a abordagem simétrica de programação linear em ambiente difuso de Zimmermann. Por fim, é também sugerido um modo de interligar a abordagem de tolerância em análise de sensibilidade apresentada inicialmente por Wendell com as metodologias baseadas em pontos de referência. Os resultados apresentados neste trabalho foram obtidos a partir da implementação computacional dos algoritmos mais significativos, a qual constituiu uma base de experimentação e de aperfeiçoamento das metodologias de apoio à decisão.

x

Abstract The main contribution of this work is the design and development of new interactive methodological approaches aimed at tackling, in an explicit manner, the uncertainty and the imprecision, which are intrinsic to the decision making process, in linear programming multiobjective models.

The application of fuzzy set theory concepts in the realm of decision analysis support methods, as well as sensitivity analysis studies, namely the tolerance approach, have been used to deal with uncertainty.

Two interactive approaches for decision support in fuzzy environment are proposed, which are based on different methodological concepts, for multiobjective programming problems where efficient solutions are computed by solving a scalar optimisation problem consisting of a non-negative weighted sum of the objective functions. In the first approach the mathematical relations involved are considered fuzzy (fuzzy optimising objective functions and/or fuzzy constraints relations), while in the other one the parameters of the model are defined as triangular fuzzy numbers. The set of fuzzy efficient solutions computed is not restricted to extreme efficient points of the crisp initial feasible polyhedron, unless all the constraints are precisely known.

A detailed study is presented concerning the tolerance approach to sensitivity analysis developed by Wendell for single objective linear programming problems, as well as the extension proposed by Hansen et al. for multiple objective problems (for which efficient solutions are also determined by optimising a weighted-sum scalarising function). A novel geometric interpretation to compute these results is then presented. By using a similar geometrical analysis in the parametric (weight) space, a visual interactive tolerance approach to sensitivity analysis methodology is proposed, which allows to analyse dynamically the behaviour of basic efficient solutions subject to simultaneous and independent changes of more than one objective functions weights.

Since reference point methodologies provide an appealing framework to aid the decision maker to strive for "satisfactory" efficient solutions in multiple objective models, a comparative study has been carried out between the reference point methodologies (in multiple objective linear programming models) and the Zimmermann’s symmetrical fuzzy linear programming approach.

Finally, we have also established bridges between the tolerance approach to sensitivity analysis initially proposed by Wendell with the reference point-based approaches.

The results presented in this work have been obtained from the computational implementation of the algorithms as the core of a decision support system. This decision support software we have developed has been used as an experimentation framework towards the improvement of interactive decision aid methodologies.

Capítulo I

Introdução

Os modelos de programação matemática clássicos têm-se mostrado insuficientes para dar conta do carácter complexo e mal estruturado da generalidade dos problemas de optimização em que é necessário ter em conta diversos aspectos de avaliação do mérito das soluções. A natureza destes problemas requer, por um lado, a consideração de múltiplos critérios de avaliação, geralmente conflituosos e incomensuráveis, os quais abrangem aspectos distintos num dado contexto (como, por exemplo, aspectos sociais, económicos, políticos, de engenharia, etc.) (Steuer, 1986; Roy, 1985, 1990). Por outro lado, estes problemas são caracterizados pela presença de vários tipos de incerteza e risco, subjacentes ao processo de decisão e proveniente de diversas fontes (como, por exemplo, a resultante da imprecisão e variações associadas aos dados de entrada, das inevitáveis imprecisões e simplificações na fase de modelação, do carácter subjectivo e evolutivo da estrutura de preferências do agente de decisão (AD) durante o processo interactivo de decisão, assim como da ocorrência imprevista de acontecimentos relevantes) (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996; Antunes, 1991; Gal e Greenberg, 1997).

A tentativa de inclusão numa única função objectivo de vários aspectos de avaliação no contexto dum determinado problema, aspectos estes por vezes difíceis de quantificar e/ou de diferente natureza e ordens de grandeza, mostrou-se em termos práticos pouco adequada. Esta motivação “realista” leva ao aparecimento da programação matemática com critérios múltiplos, e ao posterior emergir de diferentes técnicas e abordagens quantitativas de investigação operacional, novas metodologias interactivas de apoio à decisão, assim como à implementação computacional de sistemas de apoio à decisão (SADs) com “modernos” (e atractivos) “interfaces” funcionando sobre “hardware” cada vez melhor e a preço mais acessível. Esta evolução torna-se possível devido à sinergia de diferentes ramos do conhecimento, que beneficiam com a

Capítulo I - Introdução

2

inter−disciplinaridade, como as ciências da gestão, a matemática, a informática, a psicologia cognitiva, e os diferentes ramos da engenharia (entre outros).

Os problemas de optimização multicritério subdividem-se normalmente em dois grandes grupos, aos quais estão associadas as respectivas abordagens metodológicas: os problemas multiatributo e os problemas multiobjectivo.

Na análise multiatributo as alternativas admissíveis são explicitamente conhecidas e em número finito. Cada alternativa tem associados os respectivos índices de mérito para os vários critérios considerados. Neste contexto, podem distinguir-se as problemáticas de selecção, ordenação ou categorização (Roy, 1990).

Na programação multiobjectivo, o conjunto das soluções admissíveis forma um contínuo, sendo definido implicitamente por um conjunto de restrições. O conjunto das alternativas admissíveis, no espaço das variáveis de decisão, é mapeado no espaço das funções objectivo, de modo a que a cada alternativa está associado um vector cujas componentes são os valores das funções objectivo correspondentes a essa alternativa (Steuer 1986; Cohon, 1978).

Nos problemas multiobjectivo não existe, em geral, uma alternativa que optimize simultaneamente todas as funções objectivo, ou seja, o paradigma da optimalidade, o qual postula a completa comparabilidade entre pares de alternativas admissíveis e a transitividade dessas comparações, é posto em causa. A noção de solução óptima (em geral única), que nos problemas com um só objectivo corresponde à alternativa admissível com melhor valor para a função objectivo considerada, cede lugar à noção de solução não dominada (solução eficiente)1. Uma solução não dominada caracteriza-se por não existir outra solução admissível que melhore simultaneamente todos os objectivos. A melhoria num dos objectivos só pode ser alcançada pela degradação do valor de, pelo menos, um dos outros objectivos.

Neste trabalho, vamos apenas estudar problemas de programação linear multiobjectivo (PLMO). Sempre que, nesta dissertação, o termo critério apareça tal pretende significar objectivo.

Embora a existência de mais do que uma solução não dominada possa ser encarada como um inconveniente, relativamente à unicidade da solução óptima encontrada na generalidade dos problemas monocritério, a possibilidade de escolha entre várias soluções não dominadas pode tornar-se uma mais valia, no sentido em que o AD dispõe de um maior universo de escolha e pode seleccionar a solução que melhor satisfaça as suas preferências.

De facto, a existência de apenas uma solução óptima poderá ser vista como demasiado limitativa perante a complexidade dos problemas reais. No entanto, o conhecimento de um número considerável de soluções não dominadas, apresentando estas características distintas, poderá resultar numa enorme quantidade de informação sem que isso se traduza num aumento de qualidade da informação fornecida ao AD. A menos que existam meios que possibilitem ao AD um estudo “guiado” das soluções não dominadas apresentadas, as limitadas capacidades cognitivas do Ser Humano, poderiam levar o AD a adoptar uma solução que intuitivamente lhe pareça boa.

1 A distinção formal entre estes dois conceitos, solução não dominada/eficiente, será efectuada no capítulo II.


3

A consideração de múltiplas funções objectivo, e a resultante existência de mais do que uma solução não dominada, conduz assim à necessidade de estabelecer uma troca de informação (diálogo) entre a componente metodológica e o AD. De acordo com o instante e o tipo de intervenção que é requerida ao AD, podem distinguir-se três categorias de métodos multiobjectivo (Hwang e Masud, 1979; Clímaco et al., 2003): os métodos geradores, onde não existe articulação de preferências do AD ou, como alguns autores referem, esta é feita “a posteriori”; os métodos em que é feita uma articulação “a priori” das preferências do AD; e os métodos interactivos, onde existe uma articulação progressiva das preferências do AD.

Os métodos interactivos pretendem ultrapassar as principais desvantagens dos métodos geradores (onde se determina todo ou parte do conjunto das soluções não dominadas que é depois apresentado ao AD), assim como dos métodos de articulação “a priori” de preferências (os quais pressupõem a existência duma função valor ou utilidade2 implícita, com base na qual se resolve um problema monocritério), nomeadamente ao nível do esforço computacional envolvido e da sobrecarga cognitiva de processamento de informação imposta ao AD. Os métodos interactivos alternam fases de diálogo entre o AD e a componente metodológica (geralmente através de uma ferramenta computacional integrada) com fases de cálculo de soluções não dominadas, até se atingir uma condição de paragem do algoritmo ou até que o AD fique satisfeito com as soluções que lhe são apresentadas durante as fases de cálculo. As preferências (escolhas) do AD, manifestadas em cada fase de diálogo, são usadas nas fases de cálculo seguintes de modo a orientar a pesquisa das soluções não dominadas do problema em estudo.

A expressão das escolhas do AD assume particular importância nas metodologias interactivas. O modo como é encarada a interactividade pode ir desde a presunção de que há uma estrutura de preferências preexistente estável até às metodologias orientadas para a adaptação e aprendizagem na expressão das preferências ao longo do processo de decisão. A aprendizagem deve ser entendida não apenas no sentido de maior conhecimento disponível mas também no sentido de melhoramento das capacidades do AD, de modo a poder utilizar convenientemente essa informação, assim como conhecer melhor o problema e as correspondentes soluções.

As abordagens que propomos nesta dissertação são de natureza interactiva, podendo as escolhas do AD evoluir ao longo do processo interactivo de diálogo com as ferramentas computacionais de apoio à decisão. O AD estuda não apenas o problema mas também o seu conhecimento e aprende com a análise que efectua.

Uma das maiores críticas à programação matemática é a de que as informações disponíveis na prática são inexactas e incertas, tornando difícil que uma solução óptima/não dominada do modelo formulado funcione como esperado. Torna-se então importante conhecer como uma determinada solução se comporta na presença de factores intrínsecos ao processo de decisão, analisar outras potenciais soluções consideradas satisfatórias pelo AD, assim como validar o modelo matemático do problema real em estudo.

Além de possibilitarem o cálculo de soluções não dominadas, os SADs podem também ser utilizados para ajudar na análise interactiva detalhada (em tempo útil e sem a

2 Embora muitos autores não diferenciem entre função valor e função utilidade, podem distinguir-se considerando que no último caso existem probabilidades associadas aos resultados da cada acção potencial.


4

necessidade de reformular o modelo do problema) das consequências que uma determinada solução pode produzir, se a situação real estudada sofrer alterações3.

Se bem que, na maior parte da literatura científica os termos incerteza e risco surjam com a mesma conotação, o seu significado nem sempre é usado de forma consistente por todos os autores (Antunes, 1991). Neste trabalho, será usada a distinção mais vulgarmente encontrada para os termos incerteza e risco:

• A incerteza está relacionada com fenómenos que não podem ser repetidos de todo, ou se repetem apenas ocasionalmente de tal modo que é difícil retirar alguma informação a partir de sucessivas observações4.

• O termo risco está relacionado com fenómenos que podem ser caracterizados pela existência de alguma distribuição de probabilidade, conhecida e mensurável, mesmo se o tempo específico ou a sequência espacial de ocorrência dos acontecimentos não puder ser determinada5.

O tratamento das questões relacionadas com a incerteza e o risco em modelos de programação matemática pode ser efectuado basicamente através de quatro abordagens diferentes, dependendo estas essencialmente do tipo de informação disponível, da informação que o AD está interessado em obter e do modo como o AD apreende a imprecisão inerente ao modelo e aos dados:

• A aplicação da teoria de conjuntos difusos no domínio dos métodos de decisão, inicialmente efectuada por Bellman e Zadeh (1965), possibilitava o enfraquecimento das relações matemáticas intervenientes no modelo, ou seja, pretendia tornar menos rígidas as noções de restrição e de optimização das funções objectivo. Posteriormente, o carácter difuso estendeu-se também à solução final obtida, assim como aos parâmetros (coeficientes) intervenientes no modelo matemático.

• A análise de sensibilidade (ou a teoria da estabilidade) em programação linear monocritério tem como principal objectivo a determinação dos intervalos de variação dos parâmetros do modelo de tal modo que não haja alteração na solução (base) óptima inicialmente encontrada. Em problemas multiobjectivo esta definição torna-se difícil e não é tratada de maneira uniforme na literatura. No entanto, todas as abordagens têm como finalidade a avaliação do impacto da variação dos coeficientes ou do próprio modelo, na(s) solução(ões) de compromisso considerada(s) satisfatória(s) pelo AD, sem necessidade de reformulação do problema desde o início.

3 Embora actualmente quase todo o “software” existente para programação linear possua um módulo que permite efectuar um estudo de análise de sensibilidade (ou seja, caso o utilizador queira pode saber qual o intervalo de variação para determinado coeficiente do modelo que conduz a uma solução ou base óptima calculada), poucas são as ferramentas computacionais multiobjectivo existentes que facultam um estudo semelhante. 4 Ou, como citado em (Tavares et al., 1996), casos onde “não será possível de associar qualquer medida de frequência ou de credibilidade de ocorrência a cada elemento do seu domínio”. 5 Tavares et al. (1996) afirmam que “Sempre que é possível associar distribuições de probabilidades aos diversos cenários que podem ocorrer diz-se que se trata de um problema de decisão com risco”.


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• A teoria das probabilidades requer a existência de dados estatísticos suficientes que forneçam informação sobre as funções de distribuição das variáveis aleatórias do modelo matemático (programação estocástica) ou o uso de probabilidades subjectivas, quando este tipo de informação não exista. Esta abordagem é uma das aproximações mais usadas para o tratamento do risco (segundo a terminologia anterior).

• Na programação intervalar admite-se que os coeficientes presentes nos modelos matemáticos não são especificados com precisão, mas definidos como intervalos.

Ao longo desta dissertação, são exploradas vias para o tratamento da incerteza, sendo esta modelada utilizando como base a teoria de conjuntos difusos e a análise de sensibilidade, ou mais especificamente a abordagem de tolerância6. Expressões como imprecisão, informação insuficiente ou incompleta, imperfeição ou simplificação do modelo matemático, subjectividade ou ambiguidade na atitude do AD enquadram-se no âmbito da incerteza.

Por intermédio de um estudo de análise de sensibilidade (tradicional)7 aplicado a problemas de programação linear torna-se difícil considerar perturbações simultâneas e independentes nos coeficientes do modelo. A abordagem de tolerância possibilita ao AD um modo de contornar este problema. Esta abordagem permite calcular a maior percentagem, chamada percentagem máxima de tolerância, de tal modo que se alguns coeficientes seleccionados não variarem simultânea e independentemente mais do que a referida percentagem, uma solução (ou base) óptima/eficiente calculada anteriormente mantém-se óptima/eficiente.

O desenvolvimento de novas metodologias interactivas e a implementação de SADs que têm em conta a presença de múltiplos critérios em ambiente não completamente determinístico, tem atraído a atenção dos investigadores nas últimas décadas. Foi neste âmbito que decidimos desenvolver a investigação que deu origem à presente dissertação.

As metodologias que serão apresentadas neste trabalho foram sendo consolidadas através da experiência adquirida, tendo sempre em mente fornecer ao AD ajudas visuais (apelativas) de interacção com os algoritmos, recorrendo ao uso de ”interfaces” Ser Humano/computador flexíveis com utilização de gráficos, assim como modos de expressar interactivamente as suas preferências evolutivas, adoptando um protocolo de comunicação aberto. É fornecido um ambiente operacional, no qual o AD assume o papel de condutor no processo de decisão, que estimula a reflexão e o surgir de novas pistas de

6 Ao longo deste trabalho irá ser usada a tradução “abordagem de tolerância em análise de sensibilidade” ou “abordagem tolerante em análise de sensibilidade” para a expressão inglesa “the tolerance approach to sensitivity analysis”, uma vez que não foi encontrada qualquer tradução na literatura em língua portuguesa sobre a temática. No dicionário elaborado pela APDIO (DicIO) figura o termo “tolerance”, para o qual o correspondente em português é “tolerância”. No entanto, quando nos referirmos à abordagem de tolerância em análise de sensibilidade usaremos apenas a expressão “abordagem de tolerância” (ou “abordagem tolerante”), sempre que isso não comprometa o rigor da exposição. 7 Sempre que nos referirmos à análise de sensibilidade, e se mostre conveniente, utilizaremos o qualificativo “tradicional” para a distinguirmos da abordagem de tolerância em análise de sensibilidade. Em (Wendell, 1985, 1984, 1992, 1997, 2004; Wondolowski, 1991) os autores empregam os termos “tradicional sensitivity analysis” e “ordinary sensitivity analysis”.


6

pesquisa, permitindo ao AD uma exploração e aprendizagem mais profunda e selectiva das características do problema em análise e das suas percepções e escolhas, a crítica aos resultados que vão sendo obtidos, até que o AD fique satisfeito com a informação disponibilizada pelas metodologias. As soluções analisadas pelas técnicas propostas não devem ser encaradas com carácter normativo, mas sim como referências para encontrar planos de acção bem fundamentados, em modelos multiobjectivo contemplando explicitamente o tratamento da incerteza.

Assumiremos ao longo deste trabalho que no processo de decisão intervém um único AD8. Embora reconheçamos que na generalidade dos casos tal não acontece e as diferenças de posição entre ADs relativamente ao mesmo conjunto de soluções pode não ser unânime (resultantes, por exemplo, de eventuais diferenças de interesses e/ou estruturas de preferências, diferentes pontos de partida no que concerne à informação de base sobre os problemas a resolver e correspondente caracterização, etc.) esse assunto enquadra-se no âmbito da escolha em grupo (ou escolha social) o qual não será aqui tratado.

Esta dissertação encontra-se dividida em dez capítulos, correspondendo parte dos capítulos a trabalhos de natureza científica já publicados em revistas internacionais e apresentados em conferências internacionais:

♦ Neste capítulo, “Introdução“, expomos as motivações que conduziram ao trabalho, o qual aparece consubstanciado nesta dissertação. Para terminar, é feito um pequeno resumo de cada um dos capítulos da dissertação e são referidas as contribuições relevantes.

♦ No capítulo II, “Programação linear multiobjectivo: conceitos fundamentais“, apresentam-se alguns conceitos base de programação multiobjectivo essenciais para a compreensão global deste trabalho. São definidos os conceitos de solução eficiente, solução não dominada e solução de compromisso satisfatória, bem como resumidamente descritos dois processos de cálculo de soluções eficientes em problemas de PLMO, que consistem na resolução de programas escalarizantes (a soma ponderada das funções objectivo e a abordagem de pontos de referência). São também feitas algumas considerações sobre a agregação da estrutura de preferências do AD nas abordagens de decisão multiobjectivo.

♦ No capítulo III, “Programação linear multiobjectivo difusa: algumas abordagens“, começamos por rever alguns conceitos e propriedades essenciais da teoria de conjuntos difusos, assim como expor as ideias fundamentais que permitem a aplicação dos conceitos da teoria de conjuntos difusos no âmbito da PLMO. De seguida, são resumidamente expostas algumas técnicas e algoritmos de programação linear no domínio difuso, necessárias à compreensão dos capítulos subsequentes. Na secção 4 deste capítulo propomos uma abordagem interactiva de PLMO no domínio difuso, a qual é ilustrada por um exemplo com três funções objectivo. As técnicas expostas

8 Sendo o AD uma pessoa que habitualmente não está familiarizada com os modelos e técnicas matemáticas, é normal que no processo de apoio à decisão participe outra pessoa, denominada de analista, cuja finalidade é a de facilitar a comunicação de informação entre o AD e o sistema computacional (nomeadamente para auxiliar AD na análise da informação de preferências a fornecer ao sistema ou na interpretação dos resultados obtidos). Ao longo deste trabalho, consideraremos que o analista existe implicitamente entre o sistema e o AD, mesmo que não lhe seja feita referência formal.


7

permitem incorporar a difusão na operação de optimização e nas relações matemáticas presentes nas restrições, sendo a solução obtida também difusa. Este capítulo é parcialmente baseado em (Borges, 1995) e (Borges e Antunes, 2003a).

♦ No capítulo IV, “Uma metodologia interactiva para PLMO, com parâmetros difusos“, é apresentada uma nova abordagem interactiva de PLMO, na qual alguns dos parâmetros do modelo são caracterizados por números reais difusos e a solução obtida é ela própria difusa. Esta metodologia é ilustrada na secção 2 deste capítulo por intermédio do mesmo exemplo utilizado no capítulo anterior. As potencialidades da abordagem aqui apresentada serão exploradas no capítulo VII. O capítulo IV é parcialmente baseado em (Borges e Antunes, 2000), se bem que já se encontrem aqui expostas (e ilustradas com o exemplo analisado) algumas ideias e sugestões apresentadas posteriormente em (Borges e Antunes, 2003b).

♦ O capítulo V, “A abordagem de tolerância em problemas de programação linear“, possui um cariz essencialmente teórico. Depois de tecidas algumas considerações genéricas sobre análise de sensibilidade em modelos mono e multiobjectivo, é feita uma descrição pormenorizada da abordagem de tolerância em análise de sensibilidade apresentada por Wendell (1985, 1984, 1997) no domínio da programação com um único objectivo. São também resumidamente referidas as duas generalizações propostas respectivamente em (Wondolowski, 1991, Wendell, 1992) e em (Wang e Huang, 1993), as quais possibilitam alargar os intervalos de tolerância anteriores de (Wendell, 1985). Por fim é detalhadamente descrita a extensão ao domínio multiobjectivo proposta em (Hansen et al., 1989).

♦ Através de um estudo de geometria analítica no espaço dos pesos é exposto, no capítulo VI deste trabalho, “Uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância em problemas de PLMO“, o modo geométrico de obtenção dos resultados apresentados por Hansen et al. em (1989) (e anteriormente referidos no capítulo V). Com base neste estudo é proposta uma abordagem interactiva, baseada na decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) que, fazendo uso de inspecção visual, possibilita compreender as consequências de uma determinada decisão adoptada. Esta metodologia é ilustrada na secção 3 deste capítulo com o mesmo exemplo utilizado por Hansen et al. (1989). Este capítulo é baseado em (Borges e Antunes, 2002a).

♦ No capítulo VII, “Estudo de um modelo multiobjectivo para planeamento energético com implicações económicas e ambientais“, é estudado um modelo de PLMO para planeamento energético, baseado em análise “input−output”, o qual tem em conta as respectivas interacções com toda a economia, assim como a quantificação dos impactos ambientais resultantes9.

9 Trata-se de um problema que se reveste de grande actualidade e envolve decisões de considerável importância nas sociedades modernas, não podendo as questões relativas ao tratamento da incerteza ser omitidas. A elevada dependência energética Portuguesa do exterior, a interacção do sistema energético com toda a economia, o desemprego, a liberalização do mercado de energia na União Europeia (desde 1996), o protocolo de Quioto (assinado em 1997 por todos os estados membros da União Europeia, e que tem como objectivo a diminuição da emissão de gases que provocam o efeito de estufa a um mínimo de 5% relativamente a 1990 durante o período 2008 a 2012), são algumas das faces visíveis deste problema.


8

Este modelo é baseado nos trabalhos Oliveira e Antunes (2002, 2004) e Antunes et al. (2002). No estudo apresentado na secção 2 é utilizada como suporte interactivo à tomada de decisão a abordagem difusa proposta no capítulo IV. Na secção 3 é usada a metodologia interactiva de abordagem de tolerância apresentada no capítulo VI para analisar dinamicamente como uma determinada solução básica eficiente do modelo se comporta perante perturbações simultâneas e independentes nos parâmetros de ponderação dos vários objectivos. Este capítulo é parcialmente baseado em (Borges e Antunes, 2003b).

♦ No capítulo VIII, “Abordagens baseadas em pontos de referência versus análise difusa no apoio à decisão em problemas de PLMO“, é efectuado um estudo comparativo entre a abordagem simétrica de programação linear em ambiente difuso apresentada por Zimmerman (1978, 1983a) e as metodologias baseadas em pontos de referência, ou mais especificamente em níveis de aspiração e níveis de reserva, considerando modelos de PLMO (Wierzbicki, 1982, 2000; Lewandowski e Wierzbicki, 1988, 1989). O exemplo apresentado no capítulo anterior será usado neste capítulo com pequenas alterações (por exemplo, considerando mais uma função objectivo) para melhor ilustração. Este capítulo é parcialmente baseado em (Antunes e Borges, 2002).

♦ No capítulo IX, “Abordagem tolerante aos pontos de referência em problemas de PLMO“, são tecidas algumas considerações, com cariz essencialmente teórico, sobre a possibilidade de integração da abordagem de tolerância (Wendell, 1985) com as metodologias baseadas em pontos de referência (Wierzbicki, 1982; Lewandowski e Wierzbicki, 1988, 1989). Tirando partido da incerteza inerente à especificação dos valores dos pontos de referência dos vários objectivos por parte do AD, é possível estudar o conjunto de soluções eficientes de problemas de PLMO, independentemente destas soluções serem ou não pontos extremos da região admissível do problema, assim como analisar a estabilidade das bases eficientes. Este capítulo é parcialmente baseado em (Borges e Antunes, 2002b).

♦ Por fim, no capítulo X, “Conclusões e pistas de desenvolvimento“, procuramos apresentar as principais conclusões da investigação efectuada, assim como apontar pistas de desenvolvimento futuro.

Em síntese, podemos considerar como principais contribuições deste trabalho as seguintes:

♦ Concepção de um método interactivo de PLMO para tratamento de incerteza no domínio difuso, o qual permite incorporar a difusão na operação de optimização e nas relações matemáticas existentes nas restrições funcionais do modelo, sendo as soluções eficientes obtidas através da optimização da soma pesada das funções objectivo (capítulo III).

♦ Concepção de um método interactivo de PLMO para tratamento de incerteza no domínio difuso, onde os parâmetros difusos do modelo são considerados números reais difusos triangulares, sendo as soluções eficientes obtidas através da optimização da soma pesada das funções objectivo (capítulo IV).


9

♦ Interpretação geométrica da extensão da abordagem de tolerância em análise de sensibilidade para problemas de PLMO apresentada em (Hansen et al., 1989), na qual o cálculo das soluções eficientes consiste na resolução de um problema escalar cuja função objectivo é uma soma ponderada das múltiplas funções objectivo do modelo (capítulo VI).

♦ Desenvolvimento de uma metodologia interactiva de abordagem tolerante aos pesos das funções objectivo de um problema de PLMO (capítulo VI).

♦ Implementação computacional dos algoritmos considerados mais relevantes.

♦ Experimentação e exploração das potencialidades das técnicas interactivas de PLMO propostas para o estudo de um modelo multiobjectivo de planeamento energético com implicações económicas e ambientais (capítulo VII).

♦ Análise das analogias existentes entre as metodologias de optimização baseadas em pontos de referência e a abordagem simétrica difusa de PLMO proposta por Zimmermann (1978, 1983a) (capítulo VIII).

♦ Interligação dos conceitos base da abordagem de tolerância em análise de sensibilidade (apresentada inicialmente por Wendell (1985)) com as metodologias baseadas em pontos de referência (capítulo IX).

A generalidade das figuras encontradas nos capítulos desta dissertação foi obtida a partir de cópias dos écrans, apresentados ao utilizador pelas implementações computacionais realizadas10, eventualmente com algum tratamento posterior a fim de as tornar mais elucidativas.

10 As abordagens apresentadas foram implementadas na sequência dos vários estudos efectuados, usando os compiladores de C/C++ da Borland® em ambiente Windows® 3.1 e Windows® 95/98, bem como o compilador de C++ da Microsoft® Visual Studio.NET 2003 em ambiente Windows® 2000 e Windows® XP.

Capítulo X

Conclusões







Capítulo II

Programação linear multiobjectivo:

conceitos fundamentais

Um problema de programação matemática multiobjectivo pode assumir várias formas dependendo da natureza das funções objectivo ou restrições funcionais intervenientes (lineares, não lineares), das variáveis de decisão (contínuas, discretas), dos coeficientes (determinísticos, estocásticos ou difusos) e da região admissível (convexa, não convexa).

O objectivo deste capítulo é o de apresentar algumas noções básicas utilizadas no âmbito da optimização multiobjectivo onde as variáveis são contínuas e os coeficientes determinísticos, com especial destaque para o domínio da PLMO1. Não é nossa intenção escrever um texto integral do ponto de vista formal, mas apenas descrever detalhadamente alguns dos conceitos, métodos e técnicas mais significativos nesta área e que serão referenciados nos capítulos posteriores deste trabalho. Como referências mais importantes na área de optimização linear multiobjectivo podemos destacar as obras de Steuer (1986), Cohon (1978), Hwang e Masud (1979), Zeleny (1974, 1982), Yu (1985), Wierzbicki et al. (2000) e o recente livro em língua portuguesa de Clímaco et al. (2003).

Este capítulo encontra-se organizado da seguinte forma:

Na secção 1 apresentamos a formulação matemática do modelo de optimização linear multiobjectivo, a qual irá ser usada de modo consistente ao longo deste trabalho.

Seguidamente, são expostos alguns conceitos fundamentais de programação multiobjectivo, nomeadamente as noções de solução eficiente, solução não dominada e

1 Omitiremos todos os conceitos base de programação linear com um só objectivo, os quais surgem normalmente adaptados ao domínio multiobjectivo.

Capítulo II - Programação linear multiobjectivo: conceitos fundamentais

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solução de compromisso na secção 2, e as noções de tabela de óptimos individuais, solução ideal e solução anti-ideal na secção 3.

Na secção 4 são resumidamente descritos dois processos de cálculo de soluções eficientes em problemas de PLMO, que consistem na resolução de programas escalarizantes: a soma ponderada das funções objectivo e a abordagem de pontos de referência. Nesta secção é também realizada uma comparação entre estes dois processos de obtenção de soluções eficientes, assim como referido outro modo de cálculo de soluções eficientes a partir da resolução de um problema de programação linear monobjectivo: a optimização de uma das funções objectivo impondo restrições nos valores das restantes funções objectivo.

A existência de valores com distintas ordens de grandeza nos vários coeficientes das diferentes funções objectivo pode levar à necessidade prévia de reduzir à mesma escala os correspondentes valores. Na secção 5 são resumidamente referidas três abordagens vulgarmente utilizadas para esse efeito.

Na secção 6 são tecidas algumas considerações sobre a estrutura de preferências do AD nas abordagens de decisão multiobjectivo.

II.1 O problema linear com objectivos múltiplos

Um problema de PLMO com n variáveis de decisão x = (x1, ..., xj, ..., xn)T ≥ 0 consiste na optimização de p funções objectivo lineares z = (z1, ..., zr, ..., zp)T sujeitas a um conjunto de m restrições funcionais lineares2. Se assumirmos, sem perda de generalidade, que as funções objectivo são a maximizar e as restrições funcionais são do tipo ‘ ≤ ’3, o problema pode ser matematicamente formalizado do seguinte modo:

max z1(x) = .1C x (II.1) ... max zr(x) = .rC x ... max zp(x) = .pC x

s.a

x ∈ X ≡ {x ∈ nℜ : A x ≤ b, x ≥ 0};

ou

2 Na notação utilizada ao longo desta dissertação considera-se que as letras maiúsculas designam matrizes, as letras minúsculas e a negrito designam vectores coluna, e as letras minúsculas representam escalares. Considerando uma matriz M, Mij corresponde ao elemento na linha i e coluna j da matiz M, e

.M i e j.M representam a linha i e a coluna j da matriz M, respectivamente. 3 Para as funções objectivo a minimizar e para as restrições do tipo ‘ ≥ ’ e ‘=’ deverão ser feitas as conversões convenientes.

II.1 - O problema linear com objectivos múltiplos

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max C x s.a

X A ≡⎭⎬⎫

≥≤0x

bx ,

onde C é a matriz dos coeficientes das funções objectivo (dimensão pxn), cujos vectores linha .rC são os coeficientes da função objectivo zr, A é a matriz dos coeficientes tecnológicos (dimensão mxn e característica m), e b é o vector dos m termos independentes das restrições funcionais.

Sendo X o conjunto de todas soluções admissíveis no espaço das variáveis de decisão, podemos definir Z como sendo o conjunto de todas soluções admissíveis no espaço das funções objectivo (figura II.1),

Z = {z(x) ∈ pℜ : x ∈ X}. (II.2)

Figura II.1 – Espaço das variáveis de decisão e espaço das funções objectivo.

Cada solução admissível no espaço das variáveis de decisão, x ∈ X, tem associado no espaços das funções objectivo um vector, z ∈ Z, cujas componentes são os valores de cada função objectivo para esse ponto da região admissível. Se o conjunto das soluções admissíveis for definido por intermédio de um número finito de inequações lineares, como acontece em problemas de programação linear, X e Z são poliédricos e convexos.

II.2 Solução eficiente, solução não dominada e solução de compromisso satisfatória

A consideração explícita de várias funções objectivo distintas, normalmente conflituosas e não comensuráveis, não permite, em geral, a existência de uma solução admissível que optimize simultaneamente todas as p funções objectivo. A noção de solução óptima (em geral única) dá lugar à de solução eficiente (ou óptima de Pareto) e de solução não dominada (ou não inferior).


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Uma solução eficiente caracteriza-se por não existir uma outra solução admissível que melhore o valor de uma função objectivo sem piorar o valor de, pelo menos, uma outra função objectivo.

Solução eficiente: x) ∈ X é uma solução eficiente do problema (II.1) se e só se não existir outra solução x( ∈ X tal que

zr( x( ) ≥ zr( x) ), para todo o r=1, 2, ..., p (II.3)

e zr( x( ) > zr( x) ), para pelo menos um r=1, 2, ..., p.

Podemos definir a relação de dominância da seguinte maneira (Steuer, 1986):

z( ∈ pℜ domina z z () ≠ ∈ pℜ se e só se

zr( x( ) ≥ zr( x) ), para todo o r=1, 2, ..., p (II.4)

e zr( x( ) > zr( x) ), para pelo menos um r=1, 2, ..., p.

Considerando que a eficiência está relacionada com o espaço das variáveis de decisão e a dominância está relacionada com o espaço dos objectivos, podemos afirmar que a imagem de uma solução eficiente é uma solução não dominada e definir solução não dominada do seguinte modo:

Solução não dominada: z) ∈ Z é uma solução não dominada do problema (II.1) se e só se rz) = zr( x) ), r=1, 2, ..., p, para x) ∈ X eficiente.

O conjunto de todas as soluções eficientes no espaço das variáveis de decisão pode ser definido por:

Xef = { X ∈x) | X ∈∃/ x ( : z( x( ) ≥ z( x) )}, (II.5)

onde z( x( ) ≥ z( x) ) se e só se zr( x( ) ≥ zr( x) ), para r=1, 2, ..., p, e zr( x( ) > zr( x) ), para pelo menos um r=1, 2, ..., p;

e o conjunto dos vectores não dominados no espaço das funções objectivo por:

Znd = {z( x) ) ∈ pℜ : x) ∈ Xef}. (II.6)

Uma solução dominada é menos atractiva para o AD, uma vez que será sempre possível encontrar outra solução tão boa como a primeira no tocante a todos os objectivos e melhor em relação a algum(ns).

Uma solução admissível para um problema multiobjectivo diz-se fracamente eficiente se e só se não existir outra solução admissível que melhore estritamente o valor de todas as funções objectivo.

Solução fracamente eficiente: X ∈x) é uma solução fracamente eficiente do problema (II.1) se e só se não existir outra solução X ∈x( tal que

zr( x( ) ≥ zr( x) ), para todo o r=1, 2, ..., p. (II.7)

O conjunto de todas as soluções fracamente eficientes no espaço das variáveis de decisão pode ser definido por: XFef = { X ∈x) | X ∈∃/ x ( : z( x( ) ≥ z( x) )}; (II.8)

II.2 - Solução eficiente, solução não dominada e solução de compromisso satisfatória

15

e o conjunto de todos os vectores fracamente não dominados no espaço das funções objectivo por:

ZFnd = {z( x) ) ∈ pℜ : x) ∈ XFef}. (II.9)

As figuras II.2 e II.3 ilustram os conceitos de solução não dominada e fracamente não dominada anteriormente apresentados.

(a) Soluções não dominadas

(b) Soluções fracamente não dominadas

Figura II.2

Na figura II.2 está representado um problema de PLMO onde Znd = [D, E] ∪ [E, F] e ZFnd = Znd ∪ [C, D[.



Figura II.3

Para o problema não linear4 multiobjectivo representado na figura II.3 Znd corresponde à fronteira (a traço mais grosso) entre os pontos B e C e entre os pontos D e E incluindo os extremos, ZFnd = Znd ∪ [A, B[ ∪ ]E, F].

A partir dos exemplos anteriores conclui-se que uma solução eficiente/não dominada é também fracamente eficiente/fracamente não dominada, pelo que pode considerar-se esta última como uma relaxação da primeira. 4 Se bem que este trabalho apenas se restrinja aos modelos de programação linear, este exemplo foi aqui considerado dado que irá ser utilizado mais à frente (nesta secção) para uma melhor compreensão das noções de solução impropriamente eficiente (a qual não existe para problemas lineares) e ε-impropriamente eficiente.


16

Um modo diferente de definir solução eficiente/não dominada e solução fracamente eficiente/fracamente não dominada pode ser conseguido se for efectuado um estudo geométrico (no espaço das variáveis de decisão ou das funções objectivo) onde é considerada uma região cónica gerada pelos gradientes das p funções objectivo (Steuer, 1986; Wierzbicki et al., 2000)5.

A solução admissível correspondente ao vértice da região cónica em estudo é não eficiente/dominada (fracamente não eficiente/fracamente dominada), se houver outra solução admissível dentro dessa região considerando o invólucro (não considerando o invólucro), que seja tão boa como a solução que corresponde ao vértice em relação a todos os objectivos e melhor para algum(ns).

Seja D o cone positivo6 no espaço das funções objectivo:

D = {z ∈ pℜ : zr(x) ≥ 0, ∀ r=1, 2, ..., p}, (II.10)

e D~ o cone estritamente positivo, que se obtém de D não considerando o seu vértice:

D~ = D \ {0} = {z ∈ pℜ : zr(x) ≥ 0, ∀ r=1, 2, ..., p; ∃ r : zr(x) > 0}. (II.11)

Se o invólucro de D for retirado, obtemos o interior de D:

Int D = {z ∈ pℜ : zr(x) > 0, ∀ r=1, 2, ..., p}. (II.12)

O conjunto das soluções não dominadas no espaço das funções objectivo aparece agora definido por:

Znd = { z ∈ Z : ( z + D~ ) ∩ Z = ∅}; (II.13)

e o conjunto das soluções eficientes no espaço das variáveis de decisão definido como:

Xef = { x) ∈ X : (z( x) )+ D~ ) ∩ z(X) = ∅}. (II.14)

A soma de z /z( x) ) a D~ em (II.13)/(II.14) ocasiona uma translação do vértice do cone da origem dos eixos para qualquer ponto no espaço das funções objectivo.

Se substituirmos em (II.13) e (II.14) D~ por Int D podemos, de igual modo, definir o conjunto das soluções fracamente não dominadas no espaço das funções objectivo por:

ZFnd = { z ∈ Z : ( z +Int D) ∩ Z = ∅}; (II.15)

e o conjunto das soluções fracamente eficientes no espaço das variáveis de decisão como:

XFef = { x) ∈ X : (z( x) )+Int D) ∩ z(X) = ∅}. (II.16)

Estas definições de eficiência/não dominância coincidem com as anteriormente apresentadas. A equivalência entre elas pode ser ilustrada se compararmos as figuras II.2 com II.4 e II.3 com II.5 (onde os exemplos analisados são respectivamente os mesmos, mas interpretados à luz das duas ópticas expostas).

5 Em (Clímaco et al., 2003) os autores denominam estes cones de “cones de dominância”. 6 Considerando apenas funções objectivo a maximizar.


17

A partir das figuras II.4(a) e II.5(a) podem ser geometricamente visualizadas as soluções não dominadas como sendo as soluções admissíveis ( z ) tais que a intersecção da região admissível com os diferentes cones D~ com vértices em z não possuem qualquer ponto comum. Relativamente às soluções fracamente não dominadas, podem similarmente ser visualizadas nas figuras II.4(b) e II.5(b), como sendo aquelas que a intersecção da região admissível com os diferentes interiores dos cones com vértices em z não possuem qualquer ponto comum.



Figura II.4



Figura II.5

Um conceito mais estrito de eficiência é o de solução propriamente eficiente (ou eficiente própria), proposta por Geoffrion (1968).

Solução propriamente eficiente: X ∈x) é uma solução propriamente eficiente se e só se for eficiente e existir um número finito M > 0 tal que, para cada função objectivo zr(x), r=1, 2, ..., p, e cada X ∈ x( com zr( x( ) > zr( x) ), se verifica

) (z - ) (z) (z - ) (z x x x x()

)(

jj

rr ≤ M, para algum j em que zj( x( ) < zj( x) ). (II.17)


18

Ou seja, para cada solução eficiente própria existe uma razão melhoria/degradação (ou ganho/perda) entre os valores das funções objectivo (“trade-off coefficients”), que é limitada superiormente.

Uma solução eficiente que não seja solução propriamente eficiente denomina-se impropriamente eficiente (ou eficiente imprópria).

As noções de solução propriamente não dominada e de solução impropriamente não dominada decorrem directamente, por analogia com a relação entre solução eficiente e solução não dominada.

O conjunto de todas as soluções propriamente eficientes no espaço das variáveis de decisão pode ser definido por: (II.18)

XPef = { x) ∈ Xef | ∃ M > 0, ∀ r ∈ {1, 2, ..., p} com zr( x( ) > zr( x) ) ∀ x( , tal que

∃ j ∈ {1, 2, ..., p}, j ≠ r, com zj( x) ) > zj( x( ) tal que ) (z - ) (z) (z - ) (z x x x x()

)(

jj

rr ≤ M }.

O conjunto de todos os vectores propriamente não dominados no espaço das funções objectivo é definido por:

ZPnd = {z( x) ) ∈ pℜ : x) ∈ XPef} (II.19)

A noção de solução propriamente não dominada pode ser ilustrada por intermédio do problema representado na figura II.6(a), onde as soluções B, C, D e E apresentam compromissos ilimitados entre as funções objectivo, ou seja, são impropriamente não dominadas.

No contexto da PLMO a noção de solução propriamente eficiente é desnecessária, dado que, se Z for poliédrico, o conjunto de soluções eficientes coincide com o de soluções propriamente eficiente (Isermann, 1974).

(a) Soluções propriamente não dominadas

(b) Soluções ε-propriamente não dominadas

Figura II.6

No entanto, esta noção pode ser importante se se fixar “a priori”7 um valor para os limites aos coeficientes de compromisso (“trade-off coefficients”), M, de modo a eliminar

7 Fixar antecipadamente o valor de M pode apresentar-se difícil.


19

as soluções eficientes cuja razão melhoria/degradação (ou ganho/perda) entre os valores das funções objectivo não seja significativa para um AD as distinguir das soluções fracamente eficientes, ou seja, que apresentem compromissos muito grandes entre objectivos.

Por exemplo, no contexto da PLMO, se no poliedro correspondente ao espaço dos objectivos em análise, pelo menos uma das hiperfaces não dominadas for quase paralela a um dos hiperplanos de nível das funções objectivo, então existem soluções não dominadas tais que é possível melhorar significativamente o(s) valor(es) de algum(ns) dos objectivos à custa de uma degradação infinitesimal de outro(s) objectivo(s), como acontece com os pontos em ]E, F] na figura II.2 (agora reproduzida em II.7, de forma a clarificar os conceitos apresentados), onde podemos considerar que o segmento de recta [E, F] é “praticamente” vertical.

Figura II.7 – Soluções ε-propriamente não dominadas.

Estas soluções enquadram-se na definição de solução ε−propriamente eficiente de Lewandowski e Wierzbicki (1988, 1989) em que ε representa um número positivo pequeno (tal que ε = 1/(M - 1)). Segundo estes autores (Lewandowski e Wierzbicki, 1988), este conceito de eficiência é o mais restritivo e o mais prático de todos os apresentados anteriormente (nesta secção), mas também o mais difícil de expressar teoricamente.

Uma solução ε−propriamente eficiente é uma solução que satisfaz a condição de eficiência própria, com M definido previamente.

Lewandowski e Wierzbicki (1988, 1989) exprimem a definição de conjunto de soluções ε−propriamente não dominadas, de modo análogo ao anteriormente apresentado para o conjunto das soluções fracamente não dominadas, com base no interior duma região cónica levemente “alargada” em relação a D, Dε, de molde a incorporar também os pontos na sua vizinhança−ε (”ε−neighborhood” em (Wierzbicki et al., 2000)).

A solução admissível correspondente ao vértice dessa região cónica, Dε, é ε−propriamente não eficiente/dominada se houver outra solução eficiente/não dominada dentro dessa região, não considerando o invólucro (ou seja, em Int Dε), tal que é possível melhorar significativamente o valor de algum(ns) do(s) objectivo(s) à custa de uma degradação infinitesimal de outro(s) objectivo(s), em relação à solução que corresponde ao vértice.

O que acabou de ser dito pode ser facilmente compreendido pela análise das figuras II.6(b) e II.7.

Na figura II.6(b), as soluções sobre os arcos que unem os pontos B e B’, C’ e C, D e D’, e E’ e E, excluindo as soluções B’, C’, D’ e E’, são ε−propriamente dominadas. Por


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exemplo, se a região cónica tiver como vértice o ponto B, então qualquer ponto sobre o arco que une os pontos B e B’ pertence ao interior da região cónica, o que significa que o seu vértice é ε−propriamente dominado. O mesmo já não se verifica se a região cónica tiver como vértice o ponto B’, ponto para o qual uma tangente ao arco que une B a C possui uma inclinação igual ao invólucro da região cónica; nesta situação não existe nenhum ponto pertencente ao interior da região cónica que domine ε−propriamente o vértice B’, o que significa que B’ é ε−propriamente não dominado.

De modo análogo, na figura II.7 todas as soluções sobre a aresta ]E, F] são ε−propriamente dominadas. Para qualquer Dε com vértice num ponto de ]E, F], a solução E pertence sempre a Int Dε, pelo que a solução E domina ε−propriamente todas as soluções de ]E, F]. São ε−propriamente não dominadas as soluções em [D, E].

Chamemos a Dε o cone positivo alargado8 no espaço das funções objectivo, isto é, a região cónica que inclui não só o cone positivo como também os pontos na sua vizinhança (vizinhança−ε da região cónica). Wierzbicki (2000) define o seu interior como:

Int Dε = {z ∈ pℜ : dist(z, D) < ε || z ||}, (II.20)

onde || z || representa uma norma9 de z e dist(z, D) a distância entre o ponto z e o conjunto D em pℜ , de modo a obter um conjunto aberto10.

Deste modo, Dε é definido como:

Dε = {z ∈ pℜ : )(zminp 1

xrr ≤≤ + ε ∑

=

p

1 )(z

rr x ≥ 0}. (II.21)

No espaço das funções objectivo da figura II.8 encontra-se representado o cone positivo D (octante positivo) e o cone positivo alargado Dε, considerando 3 funções objectivo a maximizar.

Se substituirmos em (II.15) e (II.16) Int D por Int Dε podemos similarmente definir o conjunto das soluções ε−propriamente não dominadas no espaço das funções objectivo por:

PndεZ = { z ∈ Z : ( z +Int Dε) ∩ Z = ∅}; (II.22)

8 Considerando apenas funções objectivo a maximizar. 9 Uma norma é uma função que transforma um determinado vector c ∈ nℜ num escalar || c ||. Se considerarmos a família de normas Lp, a norma Lp de c é dada por:

|| c ||p = 1/ppn

1c ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∑ =j j

, com p ∈ {1, 2, 3, ...} ∪ {∞}.

Por exemplo, as normas L1, L2 e L∞ de c são respectivamente || c ||1 = ∑ =

n 1

cj j , || c ||2 = ∑ =

n 1

2c

j j

e || c ||∞ = jjcmax

n ..., 1,=.

10 Com o intuito de possibilitar as necessárias limitações aos coeficientes de compromisso, Wierzbicki (2000) aconselha que sejam usadas as normas L1 e L∞ no cálculo da distância e L1 para determinar a norma do lado direito da inequação em (II.20).


21

e o conjunto das soluções ε−propriamente eficientes no espaço das variáveis de decisão como:

PefεX = { x) ∈ X : (z( x) )+Int Dε) ∩ z(X) = ∅}. (II.23)

Figura II.8 – Dε = octante positivo D e a vizinhança−ε do octante positivo D

O conjunto de soluções propriamente não dominadas e o conjunto de soluções propriamente eficientes são caracterizados com base no conjunto de soluções ε−propriamente não dominadas e no conjunto de soluções ε−propriamente eficientes, respectivamente, do seguinte modo:

ZPnd = U0 ε

Pndε Z>

(II.24)

XPef = U0 ε

PefεX >

. (II.25)

Quer o conjunto de soluções admissíveis seja convexo ou não, é possível estabelecer a seguinte relação (de inclusão) entre os vários conjuntos de soluções eficientes/não dominadas referidos:

XεPef ⊆ XPef ⊆ Xef ⊆ XFef; ZεPef ⊆ ZPef ⊆ Zef ⊆ ZFef. (II.26)

A longo deste trabalhos iremos utilizar indistintamente os termos solução eficiente e solução não dominada, sem especificar se a solução pertence ao espaço das variáveis de decisão ou ao espaço dos objectivos, consoante se apresente mais conveniente, sem no entanto comprometer o rigor da exposição.

Não existindo uma solução admissível que optimize ao mesmo tempo todas as funções objectivo, a simples comparação entre soluções não dominadas não permite a escolha de uma solução final a adoptar.

Dado que, tipicamente, o conjunto de soluções não dominadas contém muitos elementos, Wierzbicki et al. (2000) consideram o conceito de solução eficiente mais fraco do que o conceito de solução óptima, no sentido em que, neste caso sabemos especificamente qual a decisão a escolher e no primeiro apenas quais as decisões a evitar. No entanto, se houver alguma forma interactiva de apoio à escolha de uma solução final em que parâmetros especificados pelo AD permitam controlar este processo, a não unicidade do conjunto de soluções eficientes torna-se uma vantagem.


22

Em situações práticas, o conhecimento do conjunto de todas as soluções eficientes não é normalmente necessário. Torna-se mais importante conhecer (aprender) as características fundamentais da região não dominada e dos compromissos a fazer para poder identificar uma solução satisfatória aceitável como solução final do processo de decisão. Convém referir o facto de não ser encontrada uma definição uniforme na literatura para os termos solução de compromisso, solução de compromisso óptima, solução satisfatória, solução de compromisso satisfatória, muito embora todas elas tenham associado um carácter de subjectividade por contraste com a conotação de objectividade de solução óptima.

Vulgarmente, uma solução de compromisso do problema (II.1) é aquela à qual está associado um determinado compromisso (ou equilíbrio) entre os vários objectivos; uma solução de compromisso óptima presume a existência de uma função valor que agrega os diversos objectivos e expressa analiticamente as preferências do AD; uma solução satisfatória é aquela que o AD está disposto a aceitar, uma vez que nela são alcançadas metas satisfatórias. Neste trabalho, a denominação de solução de compromisso satisfatória é usada para traduzir a ideia de que se trata de uma solução eficiente, à qual se encontra associado um determinado compromisso entre as funções objectivo, assumindo estas valores satisfatórios para o AD de tal forma que a solução é aceitável como solução final do processo de decisão.

II.3 Tabela de óptimos individuais, solução ideal e solução anti-ideal

É vulgar agrupar numa matriz, com p linhas e p colunas como a apresentada na tabela II.1, os valores das funções objectivo correspondentes às soluções não dominadas que optimizam separadamente cada uma das p funções objectivo na região admissível X

do problema (onde vrz = .rC vx , r

rz = .rC rx = *rz , e zr* representa o óptimo da função

objectivo r, zr(x), na região admissível X, r=1, ..., p). Esta matriz, denominada tabela de óptimos individuais, ou mais vulgarmente tabela de “pay-off”, é por vezes utilizada com o intuito de possibilitar ao AD uma visão da gama de valores que as funções objectivo podem atingir na região eficiente.

Tabela II.1 – Representação esquemática da tabela de óptimos individuais (ou de “pay-off”).

1z 2z ... rz ... pz

1x 11z = *

1z 12z ... 1

rz ... 1pz

2x 21z 2

2z = *2z ... 2

rz ... 2pz

... ... ... ... ... ... ... rx

r1z ... ... r

rz = *rz ... r

pz

... ... ... ... ... ... ... p

x p1z

p2z ... p

rz ... ppz = *

pz

II.3 - Tabela de óptimos individuais, solução ideal e solução anti-ideal

23

A tabela de óptimos individuais pode não ser definida de forma única, caso existam óptimos alternativos eficientes para alguma função objectivo.

Designa-se normalmente por solução ideal (ou ponto utopia) o ponto do espaço dos objectivos z* que optimizaria simultaneamente todas as funções objectivo, ou seja, cujas componentes são o óptimo de cada função objectivo na região admissível. As componentes da solução ideal podem ser obtidas na diagonal da tabela de óptimos

individuais, isto é, são os elementos rrz = *

rz na tabela II.1.

Em geral, a solução ideal não pertence à região admissível, embora cada *rz seja

individualmente alcançável. Além disso, pode não haver solução x* cuja imagem é o ponto ideal z*.

A solução anti-ideal corresponde à solução no espaço dos objectivos cujas componentes são os piores valores de cada função objectivo na região eficiente. Dado que para problemas com p≥3 funções objectivo a determinação desta solução pode não se apresentar computacionalmente razoável (Isermann e Steuer, 1988; Reeves e Reid, 1988), é vulgar considerar-se como uma boa aproximação da solução anti-ideal o ponto Nadir. Este ponto obtém-se seleccionando, em cada coluna da tabela de óptimos individuais, o pior valor que a correspondente função objectivo possa assumir, considerando-se neste caso apenas as soluções que optimizam individualmente cada função objectivo. O ponto Nadir é assim definido por:

( )rvvminr z p , ... 1,Nadir == ; r=1, …, p. (II.27)

Refira-se que cada um destes valores (Nadirr) pretende representar o mínimo real na região eficiente e são utilizados pela sua facilidade de determinação e por constituírem uma “boa” aproximação. Apenas para problemas com 2 funções objectivo o ponto Nadir (obtido a partir da tabela de óptimos individuais) coincide necessariamente com a solução anti-ideal.

Para problemas com p funções objectivo, um ponto extremo não dominado pode ter valores para as funções objectivos abaixo do mínimo obtido na tabela de óptimos individuais para apenas (p-2) funções objectivo.

Figura II.9 – Solução ideal e Nadir (e anti-ideal) para um problema com duas funções objectivo.

A figura II.9 representa no espaço dos objectivos a solução ideal e Nadir para um problema linear com apenas dois objectivos. Quando há duas funções objectivo a solução anti-ideal coincide sempre com o ponto Nadir dado que os mínimos obtidos na tabela de óptimos individuais coincidem sempre com os mínimos de cada objectivo na região eficiente.


24

II.4 Processos de cálculo de soluções eficientes

Na presença de múltiplas funções objectivo torna-se importante caracterizar o conjunto das soluções eficientes, através de processos de cálculo destas soluções.

Existem várias metodologias de cálculo de soluções eficientes, as quais usam técnicas distintas e/ou requerem diferentes graus de envolvimento do AD no cálculo das soluções para o problema multiobjectivo.

O cálculo de soluções eficientes consiste na resolução de um problema escalar substituto cuja solução óptima é uma solução eficiente (por vezes apenas fracamente eficiente) do problema multiobjectivo. A função objectivo do problema escalar, denominada função escalarizante, possibilita agregar numa única dimensão as p funções objectivo iniciais, assim como parâmetros adicionais que podem conter informação sobre as preferências do AD.

Existem dois tipos principais de programas escalarizantes que possibilitam calcular soluções eficientes em problemas de programação linear (Clímaco et al., 2003): a soma ponderada das funções objectivo (Steuer, 1986; Zeleny, 1982) e a abordagem de pontos de referência (Wierzbicki, 1982; Lewandowski e Wierzbicki, 1988, 1989).

Outra forma de cálculo de soluções eficientes consiste na optimização de uma das funções objectivo restringindo as outras (Steuer, 1986).

II.4.1 Soma ponderada das funções objectivo

Este processo de escalarização consiste na optimização de um problema escalar, cuja função objectivo é uma soma pesada das p funções do problema multiobjectivo originais, no conjunto de soluções admissíveis.

II.4.1.1 O problema escalarizante

Considerando p funções objectivo (zr(x)= .rC x; r=1, …, p) a maximizar, o problema escalarizante que consiste na optimização de uma soma ponderada das funções objectivo pode ser formalizado por:

max )(Cp

1

. ∑=r

rr xλ (II.28)

s. a. x ∈ X rλ ≥ 0; r=1, …, p.

II.4 - Processos de cálculo de soluções eficientes

25

Sem perda de generalidade, consideram-se, em geral, pesos normalizados, ou seja, o vector dos pesos é definido num simplex com dimensão (p-1) de um espaço Euclidiano de dimensão p:

Λ p = {λ: λ ∈ pℜ , ∑ =

p1r rλ = 1, λr ≥ 0, r=1, 2, ..., p}, (II.29)

sendo o seu interior definido por:

Λ+p = {λ: λ ∈ pℜ , ∑ =

p1r rλ = 1, λr > 0, r=1, 2, ..., p}. (II.30)

O problema (II.28) pode agora ser formalizado como:

max )(Cp

1

. ∑=r

rr xλ (II.31)

s. a. x ∈ X λ ∈ Λ p .

Em problemas lineares, a resolução do problema (II.28) considerando apenas pesos estritamente positivos ( rλ > 0, ou seja, λ ∈ Λ +

p ) tem como solução óptima um vértice eficiente para o problema (II.1) (Steuer, 1986). Se algum dos pesos for nulo, podem ser obtidas soluções fracamente eficientes de (II.1), desde que existam óptimos alternativos resultantes da resolução do problema (II.31) (onde λ ∈ Λ p ).

II.4.1.2 O quadro simplex multiobjectivo

Se as restrições forem linearmente independentes, qualquer solução básica não degenerada do problema (II.31) é constituída por m variáveis básicas diferentes de zero e pelas restantes (n) variáveis não básicas iguais a zero. Consideremos K como o conjunto dos índices correspondentes às variáveis não básicas; K={k=1, 2, …, (n+m): k≠hi; para i=1, 2, …, m} onde hi é o índice da i-ésima variável básica.

Em relação a uma base B o quadro simplex multiobjectivo, que se obtém ampliando o quadro simplex monobjectivo através da introdução de uma linha para cada uma das p funções objectivo, tem a forma:

B-1N B-1 B-1b

CBB-1N - CN CBB-1 CBB-1b

sendo A = [B, N], C = [CB, CN] e x = [xB, xN] partições, tais que B e CB correspondem às varáveis básicas xB, e N e CN correspondem às varáveis não básicas xN.


26

A matriz dos custos reduzidos relativa à base B, onde cada elemento Wrk representa a taxa de variação marginal da função objectivo zr(x) devida a uma variação unitária da variável não básica xk, é dada por W = CBB-1N - CN.

B é uma base eficiente se e só se for uma base óptima do problema (II.28), para algum conjunto de pesos λ ∈ Λ p , ou seja, B é uma base eficiente se e só se o sistema {λT W ≥ 0, λ ∈ Λ} for coerente.

A variável não básica xj é eficiente, em relação à base B, se e só se existir λ ∈ Λ tal que λT W ≥ 0 e λT

j.W = 0, onde j.W representa a coluna da matriz W

correspondente a xj, isto é, tal que o custo reduzido de xj pode ser feito nulo.

II.4.1.3 Decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) em regiões de indiferença

Em relação a uma dada base eficiente B, podemos definir uma região de indiferença para os pesos das p funções objectivo como sendo a região em Λ p , na qual os pesos podem variar de tal forma que essa base continua a ser óptima para o problema escalar soma ponderada.

Estas regiões de indiferença são polítopos num simplex com dimensão (p-1) de um espaço Euclidiano de dimensão p e podem ser determinadas pela intersecção com Λ p das #K restrições, correspondentes às variáveis não básicas, obtidas a partir da matriz dos custos reduzidos do quadro simplex multiobjectivo óptimo calculado para um determinado conjunto de pesos11:

K ;0 W p

1

∈≥∑=

kλr

rkr (II.32a)

λ ∈ Λ p . (II.32b)

Dado que estas regiões de indiferença dependem dos coeficientes das funções objectivo e da geometria da região admissível, o seu estudo pode ser utilizado como uma ferramenta que nos possibilite adquirir um maior conhecimento sobre a geometria da região admissível não dominada e os "trade-offs" a estabelecer entre as funções objectivo.

A representação gráfica destas regiões de indiferença em Λ p designa-se normalmente por diagrama paramétrico (dos pesos) (Steuer, 1986).

Em particular, para problemas bi-objectivo/tri-objectivo o diagrama paramétrico, assim como a correspondente decomposição em regiões de indiferença, pode ser visualizado graficamente numa recta/plano.

11 Hansen et al. (1989) denominam a região definida pela intersecção das #K restrições (II.32a) de região crítica para os pesos das funções objectivo, associada a uma solução eficiente considerada.


27

Nas figuras II.10 e II.11 exemplifica-se como representar uma região de indiferença no diagrama paramétrico para problemas com duas e três funções objectivo, respectivamente.

Se houver duas funções objectivo (figura II.10) as regiões de indiferença para os pesos das funções objectivo situam-se em Λ 2

12, isto é, sobre a parte da recta λ1+λ2=1 situada no 1º quadrante (restrições (II.32b)), e são definidas pela intersecção das #K restrições obtidas a partir da matriz dos custos reduzidos do quadro simplex multiobjectivo óptimo calculado para um determinado conjunto de pesos (restrições (II.32a)). Repare-se que o diagrama paramétrico pode ser visualizado graficamente como um segmento de recta, correspondente à referida parte da recta λ1+λ2=1 situada no 1º quadrante. Por uma questão de melhor legibilidade, o segmento de recta aparece normalmente representado por um rectângulo, como mostrado na figura II.10. Nesta figura está representada a sombreado uma região de indiferença obtida pela intersecção em Λ 2 de 2 semiplanos definidos pelas restrições (II.32a) (onde Πk representa a recta obtida a partir da restrição k em (II.32a) substituindo a desigualdade ‘≥’ por ‘=’, e πk

representa o ponto de intersecção com Λ 2 , k =1, 2).

Figura II.10 – Decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) para problemas com duas funções objectivo.

Similarmente, para o caso de existirem três funções objectivo, as regiões de indiferença para os pesos das funções objectivo situam-se em Λ3

13, isto é, sobre a parte do plano λ1+λ2+λ3=1 situada no 1º octante (restrições (II.32b)), e são definidas pela intersecção das #K restrições obtidas a partir da matriz dos custos reduzidos do quadro simplex multiobjectivo óptimo calculado para um determinado conjunto de pesos (restrições (II.32a)). Neste caso, o diagrama paramétrico pode ser visualizado graficamente como um triângulo equilátero, definido pelos pontos (0, 0, 1), (1, 0, 0) e (0, 1, 0), e correspondente à referida parte do plano λ1+λ2+λ3=1 situada no 1º octante.

Nas figuras II.11(a) e II.11(b) está representada a sombreado uma região de indiferença (onde se situa o ponto P) obtida pela intersecção da parte do plano λ1+λ2+λ3=1 localizada ao 1º octante com 4 semiespaços definidos pelas restrições (II.32a) (onde Πk representa o plano obtido a partir da restrição k em (II.32a) substituindo a

desigualdade ‘≥’ por ‘=’, e πk representa a recta de intersecção do plano com Λ3 ). 12 Λ 2 = {λ : λ ∈ 2

ℜ , ∑ =

2

1 r rλ = 1, λr ≥ 0, r=1, 2}.

13 Λ 3 = {λ : λ ∈ 3ℜ , ∑ =

3

1 r rλ = 1, λr ≥ 0, r=1, 2, 3}.


28

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

Π 4

Π 1 Π 2

Π 3

4 π

2 π

1 π

3 π

(a)

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

4

π

3

π

1

π

2

π

(b) Figura II.11 – Decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) para problemas com três funções objectivo.

Por uma questão de simplificação de notação, iremos usar ao longo deste trabalho a notação Λ para representar o diagrama paramétrico (dos pesos) Λp . O índice p depreende-se do número de funções objectivo do modelo em estudo.

Para problemas com duas ou três funções objectivo, o uso de ferramentas gráficas interactivas baseadas na decomposição do diagrama paramétrico mostra-se particularmente adequado à troca de informações com o AD, dado que o ajuda a identificar os vértice, arestas e faces não dominados.

No método interactivo TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 1989) é feita uma pesquisa progressiva e selectiva do conjunto de soluções básicas não dominadas tirando partido da decomposição do diagrama paramétrico em regiões de indiferença. A decomposição do diagrama paramétrico em regiões de indiferença tem um papel fundamental no protocolo de interacção deste método, uma vez que se pode escolher por simples inspecção visual uma zona ainda não ocupada com regiões de indiferença onde pesquisar novas soluções (básicas) não dominadas.

Além disso, a partir da inspecção visual do diagrama paramétrico é possível chegar a algumas conclusões que se mostram relevantes num método interactivo:

• Uma fronteira comum a duas regiões de indiferença em Λ, como acontece, por exemplo, com as regiões de indiferença associadas às soluções não dominadas 3 e 4 ou as associadas às soluções não dominadas 2 e 9 na figura II.12(a), significa que os respectivos vértices não dominados se encontram ligados por uma aresta não dominada, correspondente à introdução na base de uma variável não básica eficiente (figura II.12(b)).

• Se um ponto λ ∈ Λ pertencer a várias regiões de indiferença, como acontece, por exemplo, com o ponto que é comum às regiões de indiferença associadas às soluções não dominadas 3, 4 e 7 ou as associadas às soluções não dominadas 4, 5, 6 e 7 na figura II.12(a), significa que os vértices não dominados correspondentes pertencem à mesma face não dominada. Como nenhuma nova região de indiferença pode vir a possuir um ponto comum com


29

as regiões de indiferença associadas às soluções não dominadas 4, 5, 6 e 7 esta face não dominada encontra-se completamente definida na figura II.12(b).

As mesmas conclusões podem ser obtidas a partir da observação da projecção f1-f2 no espaço dos objectivos apresentada na figura II.12(b).

(a) Diagrama paramétrico (dos pesos) Λ

(b) Projecção f1-f2 no espaço dos objectivos

Figura II.12 – Um exemplo com três funções objectivo.

Por vezes, o diagrama paramétrico é apresentado nas suas projecções (sobre um λr=0) da parte do plano λ1+λ2+λ3=1 situada no 1º octante. Na figura II.13 são mostradas respectivamente as projecções λ1-λ2, λ1-λ3 e λ2-λ3 correspondentes ao exemplo da figura II.12.

(a) Projecção λ1-λ2

(b) Projecção λ1-λ3

(c) Projecção λ2-λ3

Figura II.13 – Projecções do diagrama paramétrico (dos pesos) Λ para problemas com três funções objectivo.

A área ocupada por uma região de indiferença (associada a uma solução extrema não dominada) no diagrama paramétrico conjuntamente com a forma geométrica da referida região podem ser, de algum modo, utilizados para inferir sobre a robustez da correspondente solução básica não dominada perante a variação do valor dos pesos. Contudo, uma vez que a região de indiferença depende da normalização associada às várias funções objectivo (que referiremos na secção seguinte deste capítulo), a interpretação do valor da referida área deve ser encarada com algum cuidado (Clímaco e Antunes, 1987, 1989; Clímaco et al., 2003).


30

A análise comparativa do diagrama paramétrico e do espaço dos objectivos (ou respectivas projecções), assim como o conhecimento dos valores numéricos associados às soluções básicas não dominadas já pesquisadas, permite ao AD estimar os valores atingidos pelos objectivos em vértices não dominados ainda não conhecidos que correspondam a regiões vizinhas no diagrama paramétrico de outros vértices já calculados. A partir desta informação, o AD pode seleccionar as zonas que lhe interessa ou não pesquisar de forma progressiva e selectiva (Clímaco e Antunes, 1987, 1989).

Geralmente, não se pretende calcular todos os vértices não dominados do problema em análise mas apenas determinar um conjunto soluções dispersas e suficientemente distintas, de modo a que o AD consiga apreender as características essenciais da fronteira não dominada do problema. Em problemas complexos, uma pesquisa exaustiva, além de implicar um esforço computacional elevado, poderá também originar soluções com características bastante semelhantes, com a consequente sobrecarga do esforço cognitivo do AD.

II.4.2 Abordagem de pontos de referência

Outro dos processos de obtenção de soluções eficientes frequentemente utilizado consiste na consideração de níveis para as funções objectivo, sejam eles níveis de reserva (valores que se pretende que sejam ultrapassados sempre que possível), níveis de aspiração (valores que se deseja alcançar ou ultrapassar, mas que não são necessariamente alcançáveis), ou apenas níveis de referência que podem ser interpretados como níveis de aspiração.

As metodologias de optimização multiobjectivo baseadas em pontos de referência começaram a ser desenvolvidas em 1980 por um grupo de cientistas do IIASA (International Institute for Applied Systems Analysis) (Wierzbicki, 1982; Kallio et al., 1980; Lewandowski e Wierzbicki, 1988, 1989).

No processo de cálculo das soluções eficientes são usadas funções escalarizantes de realização (“scalarizing achievement function”) que projectam os pontos de referência no conjunto das soluções não dominadas.

As metodologias baseadas em pontos de referência podem ser consideradas como uma generalização da programação por metas (“goal programming”) proposta por Charnes e Cooper (1977), interpretando a meta como ponto de referência (Wierzbicki et al., 2000):

• Partindo do pressuposto que o ponto de referência considerado é não alcançável, a solução admissível que se encontra mais próxima (em determinado sentido) do ponto de referência, corresponde àquela que minimiza a distância (segundo determinada métrica) do ponto de referência ao conjunto de soluções não dominadas.

• No entanto, se a meta estabelecida for alcançável e dominada, a solução obtida por intermédio da programação por metas corresponde à própria meta, enquanto que a solução obtida por uma abordagem de pontos de referência corresponde ao ponto da fronteira não dominada que se encontra mais próximo (segundo determinada métrica) do ponto de referência. Como Wierzbicki


31

(1983, 2000) salienta, esta discrepância prende-se com o facto de a função “minimização de uma distância” ser matematicamente inconsistente como o conceito de optimização ou de eficiência, ou seja, quando se atravessa a fronteira eficiente esta função é não monótona.

• Se a meta estabelecida for alcançável e não dominada, caímos no caso limite das duas situações anteriores. A solução obtida corresponderá sempre à própria meta.

Enquanto que na primeira e terceira situações referidas a solução coincide com a obtida pela programação por metas, na segunda o significado de “chegar perto” (“coming close”) do ponto de referência é mais abrangente, podendo ser interpretado como “chegar perto ou ultrapassar” (“coming close or better”) (Wierzbicki, 1998; Wierzbicki et al., 2000). Ou seja, se o ponto de referência for dominado, no quadro das metodologias de pontos de referência, os níveis de referência devem não só ser alcançados como ultrapassados (devem ser melhorados). Se utilizarmos a terminologia de Wierzbicki (1982; Wierzbicki et al., 2000) podemos afirmar que a solução obtida corresponde a uma solução “quase-satisfatória” (“quasi-satisficing“)14.

A abordagem de pontos de referência procura preservar as maiores vantagens da programação por metas, com especial destaque para o facto de ser intuitivamente apelativa, e ultrapassar as desvantagens de base, ou seja, o cálculo de soluções não eficientes quando as metas são atingíveis e dominadas.

II.4.2.1 O problema escalarizante Nesta secção é feito um resumo das questões mais importantes relativas à metodologia de optimização por pontos de referência em problemas lineares. Uma descrição mais detalhada, considerando modelos lineares e outro tipo de modelos, pode ser encontrada em (Wierzbicki, 1998; Lewandowski e Wierzbicki, 1988, 1989; Wierzbicki et al., 2000).

Seja q = )q ..., ,q..., ,q ( p1 r ∈ pℜ um ponto de referência no espaço dos objectivos, que representa as aspirações do AD (valores que o AD gostaria de obter em

14 De acordo com as ideias de Simon (1957, 1959), os ADs desenvolvem progressivamente, através de um processo de aprendizagem, níveis de aspiração (e eventualmente de reserva) relativamente aos resultados capitais nas suas decisões. Ou seja, o estudo do comportamento humano face a situações sociais complexas indica que a experiência leva os ADs a aceder a determinadas regras evolutivas de carácter ético, que aconselham a paragem de procura do óptimo quando se alcançam soluções satisfatórias. Estas ideias estão relacionadas com a noção de decisão “satisfatória” (“satisficing decision”), utilizada para descrever o modo como o Ser Humano geralmente toma decisões. Por outro lado, a noção de decisão “quase-satisfatória” (“quasi-satisficing decision”) proposta por Wierzbicki (Wierzbicki, 1998; Lewandowski e Wierzbicki, 1988, 1989; Wierzbicki et al., 2000), segundo o qual a solução obtida é sempre eficiente mesmo quando o ponto de referência escolhido pelo AD é atingível e dominado, pretende descrever o modo como um SAD (computacional) deve ajudar o AD (humano) na tomada da decisão. Ou seja, os ADs tentam geralmente atingir os seus níveis de referência, mas se estes forem alcançáveis e dominados devem continuar a optimizar até encontrarem soluções não dominadas (pois não existem motivos para o AD se satisfazer com resultados que são dominados).


32

cada função objectivo). Este ponto pode ou não ser admissível. Uma função escalarizante, σ(z, q ), projecta o ponto de referência, q , sobre o conjunto de soluções não dominadas.

Consideremos, sem perda de generalidade, a seguinte versão simplificada de função escalarizante15:

σ(z, q ) = p 1

min≤≤ r

( )rr q - z + ε ( )∑=

p

1 q - z

rrr (II.33)

Esta função difere das utilizadas na programação por metas ou em projecções baseadas em normas, por ser consistente na ordem (“order-consistent achievement function”). Uma função consistente na ordem mantém-se monótona mesmo quando o ponto de referência atravessa a fronteira não dominada de um problema.

O parâmetro ε é um valor positivo pequeno. Se o valor de ε for nulo, a função deixa de aproximar uma ordem para passar a representá-la, ou seja, corre-se o risco de obter soluções fracamente não dominadas16.

Se se maximizar a função σ(z, q ) sujeita à região admissível do problema original, resolve-se o seguinte problema “max-min”:

max {σ( z, q ) : z ∈ Z}, (II.34)

obtendo-se como resultado um ponto não dominado.

A solução deste problema pode ser obtida resolvendo um programa linear auxiliar17:

max { α + ε ( )∑=

p

1 q - z

rrr } (II.35)

s. a. α ≤ rr q - z ; r=1, …, p

x ∈ X α ∈ ℜ .

Para um dado ponto de referência q ∈ pℜ , a solução óptima do problema (II.35) é uma solução eficiente para o problema multiobjectivo inicial (II.1). Considerando

15 O termo ( )rr q -z pode ser considerado como um exemplo simplista de funções mais genéricas

( )rrr qz ,σ da variável rz e do nível de referência (ou aspiração) rq , r=1, .., p. As funções ( )rrr qz ,σ são chamadas funções escalarizante de realização parciais e devem possuir propriedades específicas de monotonicidade (sendo normalmente definidas como funções lineares por partes). 16 As funções consistentes na ordem podem dividir-se em funções que representam uma ordem e em funções que a aproximam. Distinguem-se entre si por as primeiras poderem originar soluções fracamente não dominadas e as segundas garantirem soluções não dominadas.

17 A função objectivo do problema (II.35) pode ser rescrita como { α + ε ∑=

p

1

)(zr

r x - ε ∑=

p

1

qr

r }.

Sendo o termo { ε ∑=

p

1

qr

r } uma constante para um dado q ∈ pℜ , pode ser desprezado.


33

diferentes q ∈ pℜ (e eventualmente, variando alguns parâmetros existentes na função de realização), é possível determinar todas as soluções eficientes para o problema (II.1), considerando ε suficientemente pequeno (Wierzbicki, 1982; Lewandowski e Wierzbicki, 1989; Wierzbicki et al., 2000).

Substituindo o termo ( )rr q - z em (II.33) por σr(zr, rq , rq ) obtemos a seguinte função de realização consistente na ordem, mais genérica (Wierzbicki, 1982):

σ(z, q ) = p 1

min≤≤ r

σr(zr, rq , rq ) + ε ( ) ( )pε 1q ,q ,zσp

1

+∑=r

rr r ; (II.36)

onde q = )q ..., ,q..., ,q ( p1 r e q = )q ..., ,q..., ,q ( p1 r ∈ pℜ representam os níveis de aspiração e os níveis de reserva do AD, respectivamente. Problemas equivalentes a (II.34) e (II.35) podem também ser obtidos com esta função de realização.

II.4.3 Soma ponderada das funções objectivo versus abordagem de pontos de referência

Se bem que, em relação aos programas escalarizantes baseados na soma ponderada das funções objectivo, a abordagem de pontos de referência seja mais genérica, no sentido em que garante a obtenção de soluções não dominadas num maior número de modelos de programação matemática (nomeadamente no caso de as funções serem não lineares ou as variáveis serem inteiras), e para o caso de funções lineares possibilite atingir soluções eficientes que não sejam pontos extremos da região admissível inicial18, matematicamente apresentam-se mais complicados do que os primeiros.

Em (Costa e Clímaco, 1999) é efectuada uma comparação entre as metodologias de PLMO baseadas em somas pesadas das funções objectivo e as baseadas em projecções de pontos de referência. Os autores mostram que os valores das variáveis duais associadas às restrições auxiliares (relativas às funções objectivo) do problema escalarizante usado na abordagem de pontos de referência são iguais aos valores dos pesos a serem usados no cálculo das mesmas soluções eficientes por intermédio da optimização de somas pesadas das funções objectivo. Assim sendo, torna-se possível numa mesma metodologia interactiva integrar as duas abordagens de cálculo de soluções eficientes, de modo a fazer uso nas diferentes interacções da informação resultante das interacções anteriores. Como referido pelos autores, os resultados obtidos pela utilização de um dos métodos numa interacção podem ser usados como informação de entrada para o outro método na interacção subsequente.

18 Segundo Lewandowski e Wierzbicki (1988), as três características mais importantes que qualquer método deve possuir são o de ser “completo”, a “simplicidade/pouco esforço computacional” e a “controlabilidade”. Dado que as metodologias baseadas na soma ponderada das funções objectivo apenas possibilitam determinar soluções eficientes que sejam vértices da região admissível, estas metodologias não são “completas” usando a terminologia de Lewandowski e Wierzbicki.


34

II.4.4 Optimização de uma das funções objectivo impondo limitações nos valores das restantes

Optimizando uma das funções objectivo do problema (II.1) (geralmente o objectivo ao qual o AD atribui mais importância) e transformando as restantes (p-1) funções objectivo em restrições (as quais correspondem a especificar os limites inferiores, lr, que o AD aceita para os valores dessas funções objectivo), de modo que a região admissível reduzida fique não vazia, obtemos o seguinte problema monobjectivo:

max ze(x) = .eC x, para algum e = 1, …, p (II.37) s. a. x ∈ X zr(x) ≥ lr; r=1, …, e-1, e+1, …, p;

Se a solução óptima de (II.37) for única, então é uma solução eficiente do problema multiobjectivo inicial (II.1). Possuindo a solução obtida óptimos alternativos podem ser determinadas soluções fracamente eficientes (Steuer, 1986).

Resolvendo o problema (II.37) para diferentes valores das limitações lr, é possível obter todo o conjunto de soluções eficientes. Desta forma, é possível atingir soluções eficientes que não são vértices da região admissível inicial.

II.5 Ordem de grandeza das funções objectivo

Se a ordem de grandeza relativa dos vários coeficientes das funções objectivo (e dos correspondentes valores para os objectivos) for muito díspar, é aconselhável reduzi-los a uma mesma ordem de grandeza, para evitar esse efeito na agregação numa função escalar com vista à obtenção das soluções eficientes.

Uma das três abordagens seguintes pode ser utilizada para esse efeito:

• A normalização dos coeficientes das funções objectivo através da norma Lp19.

• Multiplicar os coeficientes de cada função objectivo por uma potência de 10 apropriada, tal que todos os coeficientes das funções objectivo fiquem com uma ordem de grandeza aproximadamente igual.

• Multiplicar cada função objectivo por um factor de uniformização do seu intervalo de variação.

Uma descrição mais detalhada sobre cada uma destas abordagens pode ser encontrada em (Steur, 1986).

19 As normalizações mais frequentes são as efectuadas usando a norma de Tchebycheff (L∞) e a norma Euclideana (L2).

II.6 - Articulação da estrutura de preferências do AD

35

II.6 Articulação da estrutura de preferências do AD

Caso o problema possua apenas uma função objectivo a solução óptima é inerente ao modelo, cabendo ao método utilizado a missão de a determinar. Se houver mais do que um objectivo, além de meios técnicos de cálculo de soluções não dominadas (geralmente em número infinito), assume particular relevância a estrutura de preferências do AD que permite discriminar essas soluções.

Tendo por base o momento de intervenção do AD (eventualmente auxiliado por um analista) no processo de tomada de decisão, alguns autores (Hwang e Masud, 1979; Steuer, 1986; Antunes, 1991; Clímaco et al., 2003) subdividem estas metodologias em três grupos:

• Os métodos geradores, também designados como métodos em que não existe articulação de preferências ou em que a articulação de preferências é feita "a posteriori". Estes métodos possibilitam caracterizar todo o conjunto de soluções não dominadas, sendo o compromisso entre os vários objectivos feito no final das várias fases do processo de cálculo, quando o AD escolhe uma das soluções geradas.

Do ponto de vista computacional estas metodologias podem mostrar-se demasiado pesadas, especialmente para problemas de dimensão elevada: pode ser necessário resolver problemas auxiliares para determinar se cada vértice é eficiente ou não e/ou determinar quais as variáveis não básicas eficientes; além disso, a pesquisa de novos vértices pode mostrar-se incomportável.

Com um método desta natureza, chega-se normalmente a um número elevado de soluções não dominadas, a menos que sejam consideradas técnicas de filtragem de soluções, de modo a apenas serem apresentadas ao AD as soluções consideradas mais representativas no conjunto. A sobrecarga cognitiva do AD surge assim como potencial desvantagem, uma vez que este pode sentir-se “desconfortável” ao ter que escolher apenas uma solução entre muitas (que, por vezes, apresentam características sensivelmente semelhantes).

• Os métodos de articulação "a priori" de preferências, nos quais o AD inicialmente conjuga as várias funções objectivo explicitamente contempladas no modelo numa única (função valor), a ser optimizada. A solução obtida pode então ser considerada a melhor solução de compromisso.

Embora estes métodos não se apresentem normalmente muito pesados em termos computacionais, métodos onde é tudo escolhido à partida pelo AD podem tornar-se pouco desejáveis pois, além de serem bastante limitativos e desprovidos de flexibilidade, podem exigir inicialmente do AD um grande esforço cognitivo na modelação da função valor que reflicta as suas preferências (dependendo da função valor usada).

Estes métodos têm sofrido algumas críticas: a validade da função valor que se supõe uma representação analítica das preferências do AD, assim como a própria existência dessa função valor, pode ser questionável (em particular no caso em que a função valor considerada não é uma mera ferramenta técnica


36

que possibilite apenas calcular soluções) (Slowinski e Teghem, 1990); estudos empíricos revelam que os ADs não são sempre coerentes com as funções valor, actuando normalmente mais em conformidade com a sua maneira peculiar de ver o problema (Bell e Farquhar, 1986).

• Os métodos interactivos, onde há uma participação do AD ao longo de todo o processo de decisão. Estes métodos resultaram da necessidade de encontrar abordagens mais flexíveis, que possibilitassem explorar várias direcções de pesquisa no conjunto das soluções não dominadas, de modo a obter uma solução de compromisso aceitável, sem que o esforço computacional e o esforço cognitivo exigido ao AD fossem elevados.

Estas metodologias evitam o recurso à informação prévia das preferências para formar a função valor e permitem incorporar aprendizagem e adaptação na expressão das preferências. Normalmente, são optimizadas uma ou várias funções monobjectivo, construídas a partir do (sucessivo) diálogo entre as metodologias e o AD, até ser atingida uma condição de paragem que depende de método para método. Podemos dizer que há uma articulação progressiva de preferências pois, em cada iteração, há uma fase de cálculo de soluções eficientes e uma fase de diálogo, na qual é pressuposto que o AD reaja à proposta de solução apresentada pela fase de cálculo anterior, manifestando as suas preferências de modo a conduzir o processo interactivo de pesquisa de novas soluções.

Como exemplos de métodos interactivos (Clímaco et al., 2003; Steuer, 1986), podemos referir os métodos: STEM (Benayoun et al., 1971), método de redução da região admissível; de Zionts-Wallenius (Zionts e Wallenius, 1976, 1983), método de redução do espaço dos pesos; TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 1989), método de redução do espaço dos pesos e do espaço das funções objectivo; "Pareto Race" (Korhonen e Wallenius, 1988), método de pesquisa direccional; e "Interval Criterion Weights" (Steuer, 1977, 1986), método de contracção do cone dos critérios.

Em cada um dos métodos anteriores, a informação fornecida pelo AD pode consistir em pesos, taxas marginais de substituição, níveis de aspiração e de referência, comparação entre pares de alternativas ou julgamentos de "trade-offs".

Actualmente, quase todos os autores são peremptórios ao considerar a abordagem interactiva como a mais adequada e eficaz para o estudo de problemas de decisão reais. Nestas metodologias, é desejável que o processo de cálculo não seja muito exigente e a fase de diálogo seja constituída por perguntas suficientemente simples, para que não se torne quase labiríntica para o AD. A troca de informação entre o AD e a metodologia interactiva permite-lhe compreender melhor o problema, bem como a sua própria estrutura de preferências. O AD pode obter um conhecimento mais profundo sobre o conjunto das acções potenciais e os compromissos (“trade-offs”) entre os diferentes objectivos. A essência da abordagem interactiva consiste em permitir ao AD fazer “correcções” intermédias durante o processo de pesquisa, utilizando a intervenção do AD para reduzir a gama de soluções a pesquisar, minimizando deste modo quer o esforço computacional, quer a sobrecarga cognitiva de processamento de informação exigido ao AD.

II.6 - Articulação da estrutura de preferências do AD

37

As metodologias interactivas surgem por vezes agrupadas em dois grande grupos, de acordo com a maneira como a interactividade é encarada (Antunes, 1991):

• Nas metodologias orientadas para a procura duma solução de compromisso satisfatória, a estrutura de preferências do AD é geralmente considerada pré−estabelecida e estável. As decisões intermédias não são revogáveis e a descoberta da função valor (utilidade) implícita de cada indivíduo é um resultado do processo.

O objectivo da interacção consiste na busca da melhor solução de compromisso perante a estrutura de preferências existente, sendo a convergência garantida e controlada pelo método.

• Nas metodologias orientadas para a aprendizagem no processo interactivo, as preferências do AD podem ser instáveis e contraditórias e admite-se que o AD explora não só o problema, mas também a sua própria estrutura de preferências face ao conhecimento entretanto reunido.

O objectivo da interacção consiste não só na busca da melhor solução de compromisso satisfatória, mas também na aprendizagem, sendo possível a evolução da estrutura de preferências em cada interacção. A convergência para uma solução de compromisso satisfatória não é garantida, sendo controlada pelo AD: o processo interactivo termina quando o AD assumir que, perante a informação disponível, já conhece o suficiente do problema em análise e/ou não parecer possível a emergência de novas informações relevantes sobre o problema.

Capítulo X

Conclusões







Capítulo III

Programação linear multiobjectivo

difusa: algumas abordagens

O aumento da complexidade dos problemas reais de decisão tem levado os ADs a serem confrontados com a existência de uma multiplicidade de critérios, geralmente conflituosos e incomensuráveis, assim como com a presença intrínseca de factores que influenciam o processo de tomada de decisão, como a incerteza.

Seria útil que todos estes aspectos da realidade, complexa e mal estruturada, pudessem ser explicitamente contemplados quando da formulação dos problemas, da construção dos modelos matemáticos, e da interpretação e análise das soluções obtidas com o auxílio de um SAD.

A aplicação da teoria de conjuntos difusos no âmbito dos métodos de apoio à decisão tem progredido grandemente desde que Bellman e Zadeh (1970) sugeriram um primeiro modelo de decisão em ambiente difuso, inspirados no modelo clássico de optimização. Uma grande diversidade de possíveis modificações no modelo de programação linear (II.1), assim como distintas metodologias de resolução das correspondentes formulações (em ambiente difuso) podem ser encontrados na literatura científica (Zimmermann, 1987, 1996; Lai e Hwang, 1994, 1992c).

O modelo simétrico, inicialmente proposto por Bellman e Zadeh (1970), possibilitava o enfraquecimento das relações matemáticas intervenientes, ou seja, pretendia tornar menos rígidas as noções de restrição e de optimização das funções objectivo. Posteriormente, o carácter difuso expandiu-se também aos parâmetros (coeficientes) presentes no modelo, assim como à própria solução do problema.

Na primeira secção deste capítulo começamos por fazer uma breve introdução à noção de conjunto difuso, assim como a alguns conceitos e propriedades importantes na área de apoio à decisão.

Capítulo III - Programação linear multiobjectivo difusa: algumas abordagens

40

Na secção 2 será exposto o conceito de decisão em ambiente difuso, ou seja, serão discutidas as questões essenciais ligadas à aplicação dos conceitos da teoria de conjuntos difusos no âmbito dos métodos de apoio à decisão.

Na secção 3 deste capítulo serão descritos os aspectos fundamentais de algumas das abordagens mais significativas de programação linear difusa existentes na literatura. Um estudo mais pormenorizado e exaustivo dos conceitos e das abordagens referidas (bem como de outras abordagens) pode ser encontrado em (Borges, 1995) ou nas referências aí incluídas, em particular os trabalhos de Zimmermann (1987, 1996), quer pela clareza das exposições, quer pelo seu carácter didáctico.

Na secção 4 será detalhadamente apresentada uma abordagem interactiva para problemas de PLMO no domínio difuso (Borges, 1995, Borges e Antunes, 2003a), a qual foi implementada computacionalmente1 como extensão ao método TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 1989), onde o cálculo das soluções eficientes é efectuado por intermédio da optimização de somas ponderadas das funções objectivo. O funcionamento da abordagem proposta, assim como as suas potencialidades, serão aqui ilustrados por meio de um exemplo escolhido com a preocupação de mostrar praticamente todas as situações relevantes.

No capítulo IV desta dissertação será apresentada e detalhadamente descrita uma outra abordagem interactiva para tratamento da incerteza em problemas de PLMO (Borges e Antunes, 2000), de alguma forma singular em relação a outros SADs interactivos congéneres, a qual também faz uso dos conceitos da teoria de conjuntos difusos.

Ainda que em termos metodológicos as propostas utilizem abordagens distintas, ambas são baseadas na exploração do diagrama paramétrico, possuindo as soluções eficientes obtidas carácter difuso. O principal objectivo das duas abordagens consiste em auxiliar o AD a reunir o maior conhecimento possível sobre um determinado problema difuso, reforçando ou enfraquecendo as suas próprias convicções e preferências, de modo a ser possível tomar uma decisão bem informada. Alternando fases de cálculo com fases de decisão, onde o AD pode exprimir os seus julgamentos e explorar as suas preferências, é possível pesquisar zonas da região eficiente em ambiente difuso onde se localizam as soluções que melhor correspondem ao sistema de preferências evolutivo do AD.

A proposta apresentada neste capítulo (Borges, 1995; Borges e Antunes, 2003a) permite incorporar a difusão na operação de optimização e nas relações matemáticas existentes nas restrições, enquanto que na proposta descrita no capítulo IV (Borges e Antunes, 2000) os parâmetros presentes no modelo são considerados números reais difusos triangulares.

A decomposição do diagrama paramétrico Λ em regiões de indiferença, o espaço dos objectivos (ou respectivas projecções no caso de mais de duas funções objectivo), assim como tabelas de dupla entrada com informação relevante são extensamente utilizados como forma de apresentar ou requerer informação de modo que facilite a interacção com o AD. Atendendo a que a representação gráfica do diagrama paramétrico 1 A implementação computacional realizada teve por objectivo a construção de uma ferramenta flexível, capaz de constituir uma base de experimentação das abordagens propostas. O programa foi desenvolvido utilizando o compilador C/C++ da Borland®, versão 3.1, em ambiente Windows®. O núcleo do programa, assim como o “interface” gráfico, foi construído em C++ fazendo uso das classes OWL deste compilador.

III.1 - Breve introdução à teoria de conjuntos difusos

41

só se mostra viável para problemas com duas ou três funções objectivo, apresentando-se o caso tri-objectivo mais elucidativo que o bi-objectivo, as abordagens propostas são mais adequadas para problemas com três ou duas funções objectivo (de modo a possibilitar fazer uso de meios gráficos bastante úteis no diálogo com o AD).

III.1 Breve introdução à teoria de conjuntos difusos

A finalidade desta secção é a de expor alguns conceitos e propriedades fundamentais da teoria de conjuntos difusos, introduzida por Zadeh (1965) e resultante da extensão da relação de pertença definida na teoria clássica de conjuntos.

III.1.1 Algumas definições básicas da teoria de conjuntos difusos

Na teoria clássica de conjuntos a relação de pertença de um objecto em relação a um determinado conjunto (rígido) assume uma natureza binária: um objecto ou pertence ou não pertence a um conjunto. Esta noção clássica de conjunto é generalizada na noção de conjunto difuso, em relação ao qual um elemento pode pertencer apenas parcialmente, existindo um nível de pertença do objecto em relação ao conjunto.

Zimmermann (1987, 1996) apresenta a definição de conjunto difuso, apoiando-se na definição de Zadeh (1965), do seguinte modo:

Se X = {x} é uma colecção de objectos, denominados genericamente por x, então o subconjunto difuso A~ , de X, é um conjunto de pares ordenados

A~ = {(x, µA~ (x)) : x ∈ X} (III.1)

onde µA~ (x) é designada função membro do conjunto difuso A~ e traduz o grau de

pertença ou o nível de compatibilidade do elemento x a A~ .

µA~ (x) toma valores não negativos e finitos.

Se x

sup (µA~ (x)) = 1 o conjunto difuso A~ diz-se normalizado e µA~ (x): nℜ →[0, 1].

Nesta situação, a função membro toma o valor ‘1’ se o elemento pertencer na totalidade ao conjunto, o valor ‘0’ se não pertencer, e um valor entre ‘0’ e ‘1’ se pertencer apenas parcialmente.

Por exemplo, se X = conjunto de objectos coloridos e A~ = conjunto dos objectos que apresentam cor vermelha, µA~ (x) traduz o nível de coloração vermelha de x. Um

objecto laranja tem um determinado grau de pertença relativamente a A~ consoante a quantidade de vermelho (não amarelo!) existente na cor do objecto.

Usualmente, designa-se por (X)P~ o conjunto dos subconjuntos difusos em X.


42

Muitas vezes, pode mostrar-se conveniente saber quais os elementos que possuem grau de pertença não nulo, ou seja, conhecer o suporte de um conjunto difuso A~ ∈ (X)P~ , S( A~ ):

O suporte de A~ é um subconjunto rígido em X, tal que µA~ (x) > 0, ou seja:

S( A~ ) = {x ∈ X: µA~ (x) > 0} (III.2)

Uma noção mais genérica e frequentemente encontrada na prática é a de corte de nível α (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996):

O subconjunto rígido de elementos de X que possuem um grau de pertença, em relação ao conjunto difuso A~ ∈ (X)P~ , pelo menos igual a α (α ∈ [0, 1]) é denominado corte de nível α ou conjunto de nível α de A~ :

Aα = {x ∈ X: µ A~ (x) ≥ α} (III.3)

Substituindo a desigualdade em sentido lato pela desigualdade estrita, resulta o corte forte de nível α:

A'α = {x ∈ X: µ A~ (x) > α} (III.4)

Se bem que a forma de representar um conjunto difuso usada anteriormente seja a mais vulgar na literatura, outras nomenclaturas podem ser encontradas. Segundo Zadeh (1965):

A~ = 1

1x

)x(µA~ + 2

2x

)x(µA~ + . . . + n

nx

)x(µA~ = ∑=

n

1 x

)x(µA~

i i

i (III.5)

se X é um conjunto finito, ou

A~ = ∫x x

)x(µA~ (III.6)

se X for não finito.

Outros autores apenas indicam a correspondente função membro.

Na definição de conjunto difuso (III.1) assume-se que a função membro do conjunto difuso é conhecida com precisão. Partindo do pressuposto de que, na prática, é pouco provável ao Ser Humano definir funções membro rígidas, Zadeh (1973) propõe a noção de conjunto difuso para o qual os graus de pertença dos objectos em relação ao conjunto também são difusos.

Se designarmos por conjunto difuso do tipo 1 aquele que é normalmente denominado por conjunto difuso, podemos designar por conjunto difuso do tipo 2 aquele cujos valores das funções membro são conjuntos difusos do tipo 1 e, generalizando esta definição, designar por conjunto difuso do tipo m aquele cujos valores das funções membro são conjuntos difusos do tipo (m-1), m>1.


43

Diferentes autores tentaram incluir a incerteza na especificação dos graus de pertença dos objectos em relação a um conjunto. Dependendo da maneira como os graus de pertença e/ou o conjunto difuso são encarados, surgem os conceitos de conjunto probabilístico2 (Hirota, 1981), de "rough set"3 (Pawlak,1985), de "intuitonistic fuzzy set"4 (Atanassov, 1986), de conjunto L-difuso5 (Zimmermann, 1996), e de modelo difuso estocástico6 (Norwich e Turksen,1984).

A noção de convexidade de um conjunto difuso está directamente relacionada com a de função membro desse conjunto.

Seja X um espaço Euclidiano n-dimensional. O conjunto difuso A~ , em X, diz-se convexo se e só se quaisquer que sejam x1, x2 ∈ X e qualquer que seja λ ∈ [0,1], se verificar:

µ A~ (λ x1 + (1- λ) x2) ≥ min [µ A~ (x1), µ A~ (x2)]. (III.7)

Alternativamente, a convexidade do conjunto difuso A~ em X pode ser garantida, se todos os seus cortes de nível α, Aα, forem convexos.

As noções de igualdade e de inclusão entre conjuntos difusos podem também ser definidas à custa dos valores das funções membro desses conjuntos.

Dois conjuntos difusos A~ e B~ ∈ (X)P~ são iguais ( A~ = B~ ) se e só se:

µA~

(x) = µB~

(x), para todo o x em X. (III.8)

Sejam A~ e B~ ∈ (X)P~ :

A~ ⊆ B~ se e só se (III.9)

µA~

(x) ≤ µB~

(x), para todo o x em X (inclusão em sentido lato);

A~ ⊂ B~ se e só se (III.10) µ

A~(x) < µ

B~(x), para todo o x em X (inclusão em sentido estrito).

2 No conjunto probabilístico os graus de pertença dos objectos em relação ao conjunto são variáveis aleatórias. 3 No "rough set" os valores dos graus de pertença são determinados usando a noção de aproximação. 4 No "intuitonistic fuzzy set" cada objecto é caracterizado não só pelo grau de pertença, µ A~ (x), mas

também pelo grau de não pertença, ν A~ (x), em relação ao conjunto difuso A~ de X, sendo 0 ≤ µA~ (x) + νA~ (x) ≤ 1.

5 A função membro de um conjunto L-difuso transforma X num conjunto parcialmente ordenado, L. Dado que o intervalo [0, 1] é um conjunto parcialmente ordenado, um conjunto difuso é um caso particular de um conjunto L-difuso. 6 O modelo difuso estocástico considera o conjunto difuso como uma família de variáveis aleatórias sendo as funções densidade estimadas estocasticamente a partir destas.


44

III.1.2 Operações sobre conjuntos difusos

Do ponto de vista computacional é extremamente difícil lidar com conjuntos difusos cujos valores do nível de pertença não sejam rígidos, pelo que iremos apenas referir os operadores considerando conjuntos difusos do tipo 1.

Comecemos por definir o conceito de operação de agregação entre conjuntos difusos: Sejam A~ 1, A~ 2, ..., A~ n conjuntos difusos em X. A agregação de A~ 1, A~ 2, ..., A~ n é um conjunto difuso A~ que, de algum modo, representa a “confluência” dos conjuntos agregados.

III.1.2.1 Operações algébricas sobre conjuntos difusos

Os operadores algébricos existentes no domínio rígido podem alargar-se para conjuntos difusos, à custa das correspondentes funções membro, uma vez que estas constituem as componentes fundamentais destes conjuntos.

O produto cartesiano em ambiente difuso é definido por:

Sejam A~ 1, A~ 2, ..., A~ n conjuntos difusos em X1, X2, ..., Xn, respectivamente. O produto cartesiano de A~ 1, A~ 2, ..., A~ n, representado por A~ 1 x A~ 2 x ... x A~ n, é o conjunto difuso do espaço produto X1 x X2 x ... x Xn, cuja função membro é definida por:

µA~ 1 x A~ 2 x ... x A~ n(x) = n ..., 2, 1, =imin [µA~ i

(xi)], (III.11)

para todo o x=(x1, x2, ..., xn) em X1 x X2 x ... x Xn.

A potência de grau m de A~ é um conjunto difuso cuja função membro é definida por: µA~

m (x) = [µA~ (x)]m, para todo o x em X. (III.12)

Outras operações algébricas adicionais podem ser definidas como se segue:

A soma algébrica (ou probabilística) de A~ e B~ , C~ = A~ + B~ é definida por:

C~ = {( x, µA~ + B~

(x)), x ∈ X}, (III.13)

onde µA~ + B~

(x)= µA~

(x) + µB~

(x) - µA~

(x) . µB~

(x), para todo o x em X, e A~ , B~ ∈ (X)P~ .

A soma limitada de A~ e B~ , C~ = A~ ⊕ B~ é definida por:

C~ = {( x, µA~ ⊕ B~

(x)), x ∈ X}, (III.14)

onde µA~ ⊕ B~

(x) = min ( 1, µA~

(x) + µB~

(x)), para todo o x em X, e A~ , B~ ∈ (X)P~ .


45

A diferença limitada de A~ e B~ , C~ = A~ Θ B~ é definida por:

C~ = {( x, µA~ Θ B~

(x)), x ∈ X}, (III.15)

onde µA~ Θ B~

(x) = max ( 0, µA~

(x) + µB~

(x) - 1 ), para todo o x em X, e A~ , B~ ∈ (X)P~ .

O produto algébrico de A~ e B~ , C~ = A~ . B~ é definido por:

C~ = {( x, µA~ .B~

(x)), x ∈ X}, (III.16)

onde µA~ .B~

(x) = µA~

(x) . µB~

(x), para todo o x em X, e A~ , B~ ∈ (X)P~ .

III.1.2.2 Operações estruturais básicas sobre conjuntos difusos

As operações clássicas de intersecção, de reunião e do complementar existentes entre conjuntos rígidos podem também generalizar-se no domínio dos conjuntos difusos à custa das correspondentes funções membro. No entanto, a sua interpretação não se apresenta unívoca, uma vez que diversos autores têm proposto diferentes operadores para modelar estas operações em conjuntos difusos.

Zadeh (1965) sugeriu os operadores “max-min”, para os quais o valor da função membro da reunião corresponde ao máximo dos valores das funções membro intervenientes, o valor da função membro da intersecção corresponde ao mínimo dos valores das funções membro intervenientes e a função membro do complementar de um conjunto difuso corresponde a ‘1’-valor da função membro correspondente.

Os operadores “max-min” não são as formas de agregação mais adequadas na maioria das situações práticas, nomeadamente quando se pretende agregar as percepções e os julgamentos subjectivos dos Seres Humanos. Estes operadores são apenas formas relativamente simples e bastante particulares de agregação, revelando-se de aplicação limitada em situações reais. Zimmermann (1983b) refere que se torna necessária a existência de um operador onde a compensação nos graus de pertença dos conjuntos difusos agregados seja apenas parcial.

Formas mais gerais e complexas para representar as referidas operações de agregação podem ser encontradas na literatura. Estas sugestões diferenciam-se não só pela forma e grau como são apresentadas as correspondentes justificações (argumentação intuitiva, justificação empírica ou axiomática), como também pelo seu carácter de generalidade e adaptação (famílias parametrizadas de operadores, classes preenchendo determinadas propriedades). Para modelar a intersecção de conjuntos difusos foram também sugeridos o operador produto algébrico (Zadeh, 1965) e a diferença limitada (Zimmermann, 1987, 1996). Para a reunião, foram propostos o operador soma probabilística (Zadeh, 1965) e a soma limitada (Zimmermann, 1987, 1996), entre outros operadores mais complexos7.

7 Por exemplo, os operadores reunião e intersecção de Hamacher (Zimmermann, 1987, 1996), os operadores “triangulares” de Yager (1980), os operadores reunião e intersecção propostos por Dubois e Prade (1982) ou por Dombi (1982), ou outros operadores mais sofisticados como o operador γ compensatório (onde γ exprime o grau de compensação) (Zimmermann, 1987, 1996).


46

III.1.3 O princípio da extensão e algumas aplicações

O princípio da extensão é um dos conceitos basilares da teoria de conjuntos difusos que permite a generalização das estruturas matemáticas clássicas no âmbito da teoria de conjuntos difusos. Tendo sido inicialmente proposto por Zadeh (1965), sofreu ao longo dos tempos algumas modificações (Zadeh, 1973; Zadeh et al., 1975; Dubois e Prade, 1980).

III.1.3.1 O princípio da extensão

Zimmermann (1996) apresenta a definição mais clássica do princípio da extensão do seguinte modo:

Sejam X um produto cartesiano de universos, X = X1 x X2 x ... x Xn, e Ã1, Ã2, ..., Ãn conjuntos difusos em X1, X2, ..., Xn, respectivamente. Seja ainda f uma aplicação de X no universo Y, y = f(x1, x2, ..., xn). O princípio da extensão permite-nos definir um conjunto difuso B~ em Y:

B~ = {(y, µB~

(y)): y = f(x1, x2, ..., xn) e (x1, x2, ..., xn) ∈ X}, com

(III.17)

µB~

(y) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧ ∅≠−

−∈

contrário caso , 0

)( se , ))(µ ..., ),((µ 1

n1nA~1A~

)(1 n21

yfxxminsupyfxxx ) ..., , ,(

onde f -1(y) = {(x1, x2, ..., xn): y = f(x1, x2, ..., xn)}.

III.1.3.2 A noção de função difusa

A generalização da noção da matemática clássica de função pode ser alargada8 ao domínio difuso pela utilização do princípio da extensão. Deste modo, a aplicação do princípio da extensão a uma função, dado um domínio difuso, permite obter uma função difusa no sentido da seguinte definição (Dubois e Prade 1980):

Diz-se que o domínio difuso B~ em Y é o transformado do domínio difuso A~ em X pela função f: X->Y se

µB~

(f(x)) ≥ µA~

(x), para todo o x em X. (III.18)

8 Esta noção de função difusa não é única (Zimmermann, 1996).


47

III.1.3.3 A noção de número real difuso

Um tipo particular de conjunto difuso, que permite generalizar a noção clássica de número real é o número real difuso:

Um número real difuso, n~ , é um subconjunto difuso da recta real, cuja função membro, n~µ (x), é caracterizada do seguinte modo:

• n~µ : ℜ →[0, 1] é uma aplicação contínua;

• existe um e um só n ∈ ℜ tal que n~µ (x) = 1;

• n~µ é constante em ]-∞,n1], ou seja, n~µ = 0 para todo o x ∈ ]-∞,n1];

• n~µ é estritamente crescente em [n1, n];

• n~µ é constante em [n2, +∞[, ou seja, n~µ = 0 para todo o x ∈ [n2, +∞[;

• n~µ é estritamente decrescente em [n, n2].

Todo o número real difuso, n~ , é um conjunto difuso em ℜ , normalizado, convexo e de suporte finito ]n1, n2[, se n1 e n2 forem finitos. n diz-se o valor modal de n~ . A figura III.1 representa a função membro de um número real difuso n~ .

1

n x

µ ~n

n 2n1

Figura III.1 – Número real difuso.

O conjunto difuso n~ representa um conjunto de números reais "aproximadamente iguais a n" e n~µ dá-nos o grau de proximidade dos correspondentes valores em relação ao valor n. Se n1 = n2 = n, então n~ representa um número real rígido.

Um número real difuso, n~ , diz-se positivo (negativo) se a sua função membro é tal que n~µ (x)= 0 para todo o x negativo (positivo).

A noção de número real difuso triangular

Um tipo especial de número real difuso é o número real difuso triangular:

Um número real difuso a~ = {(x, a~µ (x)), x ∈ ℜ } diz-se triangular se:

a~µ (x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+≤≤−

−−

contrário caso,0

cαxcα se,c

xα1

(III.19)

sendo α e c constantes reais e c > 0.


48

1

x

µ a ~

αc

Figura III.2 – Número real difuso triangular.

a~ representa uma quantidade difusa "aproximadamente igual a α" ("com centro em α e largura c"9 (Tanaka e Asai, 1984a, 1984b)), é descrito por uma função membro como a apresentada na figura III.2 e surge normalmente denotado por a~ = {α, c}.

Tanaka e Asai (1984a, 1984b) referem que toda a função linear em x1, x2, ..., xn com coeficientes a~ 1, a~ 2, ..., a~ n ( a~ i = {αi, ci}, i=1, 2, ..., n) é ainda um número real difuso triangular. A função y~ = a~ x = a~ 1 x1 + a~ 2 x2 + ... + a~ n xn, é caracterizada pela seguinte função membro:

µ( y~ ) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==≠=

>−≠

≤−≠−

−

0x 0xxcαx0x

xcαx0xxcαx

0y e se , 1 0y e se , 0 y e se , 0

y e se ,

y1

(III.20)

com x = (x1, x2, …, xn) e |x| = (|x1|, |x2|, …, |xn|).

Um conceito mais alargado de número real difuso triangular é aquele para o qual as larguras à direita e à esquerda do valor modal são diferentes10.

As noções de intervalo difuso e de intervalo difuso trapezoidal

Por uma questão de eficiência computacional e de facilidade na aquisição de dados, as noções de número real difuso e de número real difuso triangular aparecem generalizadas nas de intervalo difuso (figura III.3(a)) e intervalo difuso trapezoidal (figura III.3(b)), respectivamente. As funções membro correspondentes tomam o valor ‘1’ para todos os valores entre n1' e n2', e ‘0’ para valores abaixo de n1 e acima de n2

11.

9 Dado que o valor central está associado ao maior valor da função membro correspondente, alguns autores chamam a α o valor modal do número real difuso triangular. 10 No Capítulo IV desta dissertação os parâmetros do modelo irão ser considerados números reais difusos triangulares deste tipo. 11 Note-se que um número real difuso triangular para o qual as larguras à direita e à esquerda do valor modal são diferentes, não é mais do que um intervalo difuso trapezoidal em relação ao qual n1'=n2'.


49

1

x

µ ~n

n 1

1

µ ~n

x' 'n 1 n 2 n 2 n 1 ' 'n 1 n 2 n 2 (a) Intervalo difuso (b) Intervalo difuso trapezoidal

Figura III.3

Representação LR de um número real difuso

A representação LR de um número real difuso, sugerida por Dubois e Prade (1979) é definida do seguinte modo:

Um número real difuso, n~ , diz-se do tipo LR se existirem funções de referência L (à esquerda) e R (à direita) e escalares α > 0 e β > 0 de tal modo que a função membro,

n~µ (x), é caracterizada por:

n~µ (x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

n xse,β

xnR

n xse,α

xnL

(III.21)

As funções de referência L, R: [0, +∞[→[0, 1] são decrescentes, pares, contínuas e tais que L(0) = R(0) = 1.

O número real difuso n~ é vulgarmente denotado por (n, α, β), onde n é o valor modal do número real difuso e α e β os limites esquerdo e direito, respectivamente12.

n~ é tanto mais difuso quanto maiores forem os valores de α e β.

Dubois e Prade (1979) deduziram fórmulas de cálculo bastante eficientes para efectuar as operações algébricas fundamentais sobre números difusos, com base na definição anteriormente apresentada.

12 Segundo esta convenção, qualquer número rígido pode ser representado por (n, 0, 0). Por analogia com esta representação, no Capítulo IV denotamos o número real difuso triangular c~ por c~ = (cL, cM, cR), sendo cM o valor modal de c~ , cM-cL a largura do lado esquerdo e cR-cM à largura do lado direito da função membro µ c~ correspondente ao número c~ .


50

III.2 Decisão em ambiente difuso

Contrariamente à optimização clássica, o modelo de optimização difuso não apresenta uma formulação única, mas permite bastantes variações semânticas, dependendo das suposições e das características da situação real a modelar. Diversos modos de incorporar a difusão em problemas monobjectivo e/ou multiobjectivo, correspondendo cada um deles (normalmente) a abordagens diferentes de cálculo da solução óptima e/ou não dominadas em ambiente difuso, têm sido encontrados na literatura13.

A estrutura do modelo, ou seja, os coeficientes presentes no vector dos termos independentes das restrições funcionais ( b~ ), e/ou na matriz dos coeficientes tecnológicos ( A~ ), e/ou na matriz dos coeficientes das funções objectivo ( C~ ) podem ter um carácter difuso (Tanaka e Asai, 1984a, 1984b; Carlsson e Korhonen, 1986; Sakawa e Yano, 1990, Lai e Hwang 1994), quer pelo facto de serem difusos por natureza, quer pelo facto da sua percepção ser difusa.

As relações matemáticas envolvidas no modelo podem também ter carácter difuso (restrições funcionais e/ou funções objectivo difusas) (Zimmermann, 1978, 1983a; Chanas, 1983; Werners, 1987a, 1987b).

O sinal das restrições funcionais pode ter carácter difuso (‘~≤ ’, ‘

~≥ ’ ou ‘

~= ’) no

sentido em que são permitidas (pequenas) violações nas relações matemáticas. O AD permite que as relações matemáticas sejam relaxadas e o conjunto de soluções passa a possuir não só os vectores que verificam efectivamente a restrição mas também alguns daqueles que a violam em ambiente rígido.

A operação de optimização pode ser difusa ( xa~m ou ni~m ) no sentido em que o AD pode não pretender obter o valor máximo (ou mínimo) para uma (ou várias) função(ões) objectivo, mas antes atingir um determinado nível de aspiração, z0

14.

Ainda, a solução de um problema linear difuso pode ser rígida (Zimmermann, 1978, 1983a; Tanaka e Asai, 1984a, 1984b; Werners, 1987a, 1987b, Sakawa e Yano, 1990) ou difusa (Chanas, 1983; Verdegay, 1984; Zhao, Govind e Fan, 1992; Carlsson e Korhonen, 1986). Neste último caso, é apresentado ao AD um conjunto de soluções difusas dependendo deste a escolha da decisão a tomar, de acordo com as suas preferências.

Pires et al. (1996) propõem uma metodologia baseada num algoritmo de “Simulated Annealing”, a qual possibilita tratar todos os tipos de difusão referidos. 13 O modelo difuso não apresenta uma modelação unicamente estabelecida, tal como sucede na programação linear clássica (ou seja, em ambiente rígido). Inicialmente, alguns autores (Negoita, 1981) reconheceram duas grandes subdivisões na programação linear difusa: a programação flexível (“soft”), onde o carácter difuso se manifestava na operação de optimização e nas restrições funcionais do problema, aparecendo as relações matemáticas intervenientes enfraquecidas; e a programação robusta, onde o carácter difuso se manifestava na estrutura do modelo, ou seja, os coeficientes de A, b e C não são conhecidos com exactidão. Esta visão encontra-se praticamente esbatida na actualidade. 14 z0 é um nível de aspiração estabelecido pelo AD (de forma precisa ou não). Se, no problema em causa, o objectivo a optimizar representar a maximização de um lucro deixamos de obter um “lucro máximo” para obter um “lucro consideravelmente elevado” e que pode não ser atingido.

III.2 - Decisão em ambiente difuso

51

III.2.1 O modelo de decisão em ambiente difuso de Bellman e Zadeh

Muitas vezes, em situações reais, quer as restrições funcionais, quer as funções objectivo não são perfeitamente conhecidas nem facilmente formalizáveis.

Inspirados no modelo clássico convencional, Bellman e Zadeh (1970) apresentaram um modelo de decisão simétrico, no qual os objectivos e as restrições não são conhecidos com precisão e desempenham papéis semelhantes. Os objectivos e as restrições são difusos no sentido em que são caracterizados pelas respectivas funções membro ( )(G~ x

rµ e )(C~ x

iµ ), as quais indicam o grau de compatibilidade do elemento x

em relação ao objectivo difuso rG~ ou à restrição difusa iC~ .

Segundo Bellman e Zadeh, a agregação de objectivos e restrições, possuindo igual importância, corresponde ao "e" lógico, sendo este traduzido pela intersecção de conjuntos difusos. O conjunto de decisões difusas, D~ , pode ser definido por:

D~ = 1G~ ∩ 2G~ ∩…∩ pG~ ∩ 1C~ ∩ 2C~ ∩…∩ mC~ (III.24)

ou seja:

D~ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∩

=r

rG~

p

1 ∩ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∩

=i

iC~

m

1

(III.25)

Se a intersecção de conjuntos difusos for definida à custa do operador “min” (sugerido por Zadeh (1970)) e as funções membro associadas aos conjuntos difusos forem conhecidas, então teremos:

)(D~ xµ = min ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µµ

== )( , )( C~

m

1 G~

p

1 xx

ir irminmin , para todo o x em X

= ( ))(mp

1 xk

kmin µ

+

=, para todo o x em X. (III.26)

Se a melhor solução de compromisso for aquela que apresenta maior grau de pertença relativamente à decisão difusa, ou seja a decisão maximizante, teremos:

( ))(D~ xx

µmax = ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

+

=)(

mp

1 x

xk

kminmax , para todo o x em X. (III.27)

III.2.2 Operadores compensatórios e operadores não compensatórios

Como Bellman e Zadeh (1970) referiram “Decision = confluence of goals and constraints”.


52

O operador “min” usado anteriormente para modelar a intersecção (ou, mais genericamente, a "confluência") de conjuntos difusos não admite qualquer compensação entre os graus de pertença dos conjuntos envolvidos, pelo que poderá sofrer algumas modificações consoante o contexto em que se insere a decisão.

Além disso, a complexidade do problema em estudo depende grandemente do tipo de função de agregação usada (assim como do tipo de funções membros consideradas). Daí que vários autores se tenham preocupado com a escolha do melhor operador para efectuar a agregação de conjuntos difusos.

O uso de uma forma de agregação (ou de uma função membro) mais complexa poderá tornar o modelo mais preciso, mas aumentará, em geral, o esforço computacional.

Se Φ representar uma forma de agregação apropriada genérica, então:

)(D~ xµ = ( ))(mp

1 xkk

µΦ+

=, para todo o x em X (III.28)

e a decisão pontual maximizante será:

( ))(D~ xx

µmax = ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µΦ

+

=)(

mp

1 x

xk

kmax , para todo o x em X. (III.29)

III.2.3 Generalização de Werners da noção de solução eficiente

Nos problemas de decisão em ambiente rígido, as restrições subdividem o conjunto das soluções em dois: as que são admissíveis e as que são não admissíveis; as funções objectivo possibilitam determinar quais das soluções admissíveis são não dominadas e quais são dominadas.

No modelo difuso temos soluções não admissíveis e admissíveis sendo estas últimas distinguidas não apenas pelos valores das funções objectivo que se mantêm rígidas (tal como em ambiente rígido) mas também pelo seu grau de admissibilidade em relação aos conjuntos difusos envolvidos (correspondentes às restrições e aos objectivos difusos). Esta definição possibilita que uma solução difusa para a qual todos os valores das funções objectivo que se mantêm rígidas sejam piores do que os de outra que é eficiente, também possa ser eficiente desde que pelo menos um dos valores das funções membro presentes seja maior. Por outro lado, permite que pontos não pertencentes à região admissível para o caso rígido se tornem eficientes em ambiente difuso.

A noção de solução eficiente (em ambiente rígido), anteriormente apresentada no capítulo II, pode ser generalizada para problemas de decisão em ambiente difuso.

Werners (1987a, 1987b) propõe a generalização desta definição para o caso em que as p funções objectivo zr (r=1, 2, ..., p) são definidas com precisão e as m restrições funcionais são difusas:


53

Solução eficiente em ambiente difuso (restrições difusas):

Sejam )(C~ xi

µ : X → [0, 1] (i=1, 2, ..., m) as funções membro associadas às m

restrições difusas. x) ∈ X é uma solução eficiente em ambiente difuso se e só se não existir outra solução x( ∈ X tal que:

zr( x( ) ≥ zr( x) ), para todo o r=1, 2, ..., p (III.30)

e )(C~ x(i

µ ≥ )(C~ x)i

µ , para todo o i=1, 2, ..., m

e [ zr( x( ) > zr( x) ), para pelo menos um r=1, 2, ..., p

ou )(C~ x(i

µ > )(C~ x)i

µ , para pelo menos um i=1, 2, ..., m].

O conjunto de todas as soluções difusas eficientes de um problema de optimização difuso constitui a solução difusa eficiente (completa) (Werners 1987a, 1987b).

Comparando as definições de solução eficiente em ambiente rígido (II.3) e em ambiente difuso (III.30), podemos concluir que nesta última uma solução eficiente caracteriza-se por não existir uma outra solução admissível que melhore o valor “efectivo” de uma função objectivo ou do nível de pertença associado a uma das restrições funcionais difusas sem piorar o valor de, pelo menos, outra função objectivo ou do nível de pertença associado a outra restrição funcional difusa.

O exemplo seguinte ilustra esta generalização. Consideremos o problema, já estudado por Zimmermann (1983a):

max z(x) = max [f1(x), f2(x)]T = max ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++−

21

212

2xxxx

s.a. -x1 + 3x2

~≤ 21 (c1)

x1 + 3x2 ~≤ 27 (c2)

4x1 + 3x2 ≤ 45 (c3) 3x1 + x2 ≤ 30 (c4) x1 ≥ 0; x2 ≥ 0;

onde as relações matemáticas presentes na primeira e segunda restrições ((c1) e (c2)) são definidas de modo difuso.

Dado que se trata de um problema com duas dimensões, podemos representar graficamente as soluções eficientes (no espaço das variáveis de decisão) e as soluções não dominadas (no espaço dos objectivos).

Se todas as restrições e objectivos do exemplo fossem rígidos (problema de optimização clássico), as soluções eficientes situar-se-iam apenas nas arestas que unem xA-xB-xC-xD (figura III.4(a)), ou seja:

Xef = [(0,7), (3,8)] ∪ [(3,8), (6,7)] ∪ [(6,7), (9,3)]. e, de modo análogo, as correspondentes soluções não dominadas seriam apenas os pontos contidos nos segmentos de recta [PA, PB], [PB, PC] e [PC, PD] (figura III.4(b)). PA e PD


54

correspondem aos óptimos individuais de f1(x) e f2(x), respectivamente. xA=(0, 7) é o óptimo da primeira função objectivo com z(xA)=(14, 7), e xD=(9, 3) é o óptimo da segunda função objectivo com z(xD)=(-3, 21).

(a) Espaço das varáveis de decisão.

(b) Espaço das funções objectivo.

Figura III.4 –Soluções eficientes/não dominadas em ambiente rígido.

x'=(3.4, 0.2) é a solução para a qual z(x')=(-3, 7), ou seja, aquela que corresponde aos valores mais baixos de z1(x)= f1(x) e z2(x)= f2(x), no conjunto das soluções não dominadas.

Na figura III.5 encontra-se representada a região admissível difusa, no espaço das funções objectivo, correspondente ao exemplo anterior. As sub-regiões onde as funções membro, associadas à primeira ( c~µ 1) e à segunda ( c~µ 2) restrições difusas, tomam um valor entre ‘0’ e ‘1’ encontram-se preenchidas respectivamente com um tracejado horizontal e vertical.

Figura III.5 – Soluções não dominadas em ambiente difuso (2 das restrições funcionais são difusas).

Considerando as restrições (c1) e (c2) difusas, o conjunto de soluções não dominadas em ambiente difuso inclui não apenas todos os pontos pertencentes aos


55

segmentos de recta [PA, PB], [PB, PC] e [PC, PD], como também todos os pontos da região admissível difusa pertencentes à zona preenchida a tracejado na figura III.5, incluindo a fronteira, ou seja, todos os pontos que podem ser obtidos por combinação linear convexa dos pontos {PA, PN, PM, PL, PI} e dos pontos {PC, PM, PL, PJ}.

Repare-se que todas as soluções para as quais 0 ≤ c~µ 1 < 1 e 0 ≤ c~µ 2 < 1 na figura III.5, embora não sejam admissíveis em ambiente rígido, são não dominadas em ambiente difuso, ou seja, a definição (III.30) conduz a soluções difusas não dominadas que podem ser não admissíveis em ambiente rígido.

Pode também acontecer que uma solução em que todos os valores dos objectivos sejam piores do que os de outra solução, seja eficiente em ambiente difuso, bastando para tal que pelo menos um dos valores das funções membro associadas às restrições difusas seja maior. Tal acontece com o ponto PA no exemplo considerado. O ponto PI não é admissível em ambiente rígido mas é admissível e não dominado em ambiente difuso; em relação a PA, PI tem melhor valor para ambos os objectivos mas pior valor no tocante à função membro associada à primeira restrição (difusa). Ambos os pontos pertencem à solução difusa eficiente (completa) do problema.

III.3 Programação linear multiobjectivo difusa

Como mencionado anteriormente em II.6, alguns autores categorizam os métodos de apoio à decisão multiobjectivo em três grupos, baseando-se no instante em que no processo de decisão é requerida a intervenção do AD. Esta subdivisão pode ser generalizada aos problemas de decisão em ambiente difuso (Werners, 1987b), ou seja:

• Quando as funções membro são calculadas implicitamente pelo método, podemos afirmar que não há intervenção do AD, a não ser na escolha da melhor solução de compromisso. Neste caso, poderá não haver efectivamente participação do AD, se a solução obtida for rígida como acontece na abordagem apresentada inicialmente por Zimmermann (1978, 1983a, 1987, 1996; Wiedey e Zimmermann, 1978), ou haver uma participação "a posteriori", se a solução gerada for difusa como acontece na abordagem apresentada inicialmente por Chanas (1983).

• Quando o AD tem de definir à partida as funções membro ou quando ele aceita explicitamente as sugeridas pelo método, então há uma articulação "a priori" de preferências, tal como acontece em métodos baseados na abordagem de Zimmermann (1978, 1983a, 1987, 1996; Wiedey e Zimmermann, 1978), quando o AD tem de definir as várias funções membro correspondentes aos conjuntos difusos presentes no modelo, na abordagem de Tanaka e Asai (1984a, 1984b) e na abordagem das duas fases de Lee e Li (1993). Se a solução obtida for difusa, como acontece nas abordagens propostas por Zhao, Govind e Fan (1992) e Carlsson e Korhonen (1986), pode ser pedido ao AD que escolha posteriormente a solução de compromisso.

• Nos métodos interactivos há uma troca de informações entre o AD, que manifesta as suas preferências, e o método, o qual informa o AD sobre as possíveis soluções existentes, como acontece nas abordagens propostas por


56

Werners (1987a, 1987b), Lai e Hwang (1992a, 1993), Rommelfanger (1989), e Tapia e Murtagh (1991), entre outros.

Actualmente, os métodos interactivos tendem a ser considerados como a abordagem mais adequada para o estudo de problemas de programação multiobjectivo difusa, uma vez que estas abordagens não se resumem ao cálculo de soluções eficientes mas baseiam-se numa “colaboração” entre o AD e o método.

III.3.1 Algumas abordagens de programação linear multiobjectivo difusa Depois de expostas as ideias essenciais da aplicação dos conceitos da teoria de conjuntos difusos em problemas PLMO, iremos descrever resumidamente algumas técnicas e algoritmos propostos na literatura científica, que fornecem algumas bases conceptuais para o desenvolvimento da nova abordagem exposta na secção 4 deste capítulo (Borges, 1995; Borges e Antunes, 2003a).

No capítulo VIII desta dissertação será feita uma descrição mais detalhada da abordagem simétrica com solução rígida proposta por Zimmermann, considerando as funções membro lineares, que será aí alvo de um estudo comparativo com as metodologias baseadas em pontos de referência (Antunes e Borges, 2002b).

III.3.1.1 O modelo simétrico

Consideremos a situação onde a estrutura do modelo é conhecida com precisão; onde as p funções objectivo são difusas, no sentido em que se pretende atingir um determinado nível de aspiração estabelecido (com determinada imprecisão) pelo AD; e as m restrições também são difusas15. Neste caso, as p funções objectivo são tratadas como metas a atingir, sendo Z0 um vector coluna constituído pelos limites inferiores.

O problema considerado: xa~m C x (III.31) s. a. Ax ~

≤ b x ∈ X é equivalente a:

C x ~≥ Z0 (III.32)

Ax ~≤ b

x ∈ X

onde Z0 ∈ pℜ . 15 Neste caso, X é constituído apenas pelas restrições de não negatividade, se bem que seja possível a presença de outras restrições rígidas no modelo em estudo.

III.3 - Programação linear multiobjectivo difusa

57

O modelo é simétrico, uma vez que as funções objectivo e as restrições têm a mesma estrutura formal. A simetria do problema obtido torna-se mais evidente se

fizermos A' = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

A C e b' = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

bZ0 . Isto é :

A'x ~≤ b' (III.33)

x ∈ X

onde A' ∈ np)(m x+ℜ e b' ∈ pm+ℜ .

Cada uma das (m+p) linhas de (III.33) pode ser representada por um conjunto difuso, cuja função membro é µi(x).

O problema consiste em determinar o maior valor para a medida de satisfação do conjunto de objectivos e restrições difusas, de modo a que essa medida de satisfação seja menor ou igual do que os valores dos vários graus de pertença em relação aos conjuntos difusos envolvidos, e satisfaça as restrições rígidas iniciais.

Se considerarmos o modelo de decisão exposto por Bellman e Zadeh (1970), o problema toma a forma:

µD~ (x) = mini

pm

1

+

=µi(x), para todo o x em X (III.34)

ou, se o AD estiver apenas interessado numa decisão pontual:

max µD~ (x) = max {mini

pm

1

+

=µi(x)}, para todo o x em X. (III.35)

Normalmente µi(x) é uma função (de preferência linear) que toma o valor ‘0’ se as restrições (incluindo as funções objectivo) são fortemente violadas, ‘1’ se elas são totalmente satisfeitas (isto é, satisfeitas no sentido rígido) e que decresce de forma monótona de ‘1’ para ‘0’ nos intervalos de tolerância ]b'i,b'i+pi[ ou cresce de forma monótona de ‘0’ para ‘1’ nos intervalos de tolerância ]b'i-pi,b'i[16.

Por exemplo, para restrições do tipo (A'x)i ~≤ b'i:

µi(x) ] [

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤=+≤<∈

+>=

ii

iiii

iii

b' x)(A' se ,1pb' x)(A' b' se , 1 0,

pb' x)(A' se , 0

(III.36)

, para todo o x em X e i=1, ..., m+p.

Se µi(x) for linear terá uma representação similar à mostrada na figura III.10 (a).

Vários autores têm apresentado diferentes propostas para resolver os problemas (III.34) e (III.35). Poucos modelos têm sido apresentados para resolver o problema considerando operadores de agregação diferentes dos operadores “max-min”.

16 pi é uma constante não negativa e representa o nível máximo de tolerância, para o correspondente nível de satisfação bi, da i-ésima restrição.


58

Modelo simétrico com solução rígida - abordagem de Zimmermann

Na abordagem proposta por Zimmermann (1978, 1983a) e Wiedey e Zimmermann (1978) o problema multiobjectivo, com p funções objectivo e m restrições funcionais difusas, é convertido num problema monobjectivo com mais uma variável de decisão, λ, e p restrições, tendo por base o seguinte teorema:

x é óptimo de (III.35) se e só se ( x , λ ), com λ = minpm

1

+

=iµi(x), é solução óptima para

o programa

max λ (III.37) s. a. λ ≤ µi(x) x ∈ X, λ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.

Sendo λ = X

max∈x

{ minpm

1

+

=iµi(x)}, então λ pode ser interpretado como uma medida

de satisfação ou grau de pertença da decisão óptima x em relação aos conjuntos (funções objectivo e restrições) difusos definidos em (III.33).

Zimmermann (1978) provou que a resolução do problema monobjectivo (III.37) conduz sempre a uma solução não dominada do problema multiobjectivo original. Se µ D~ (x) tem solução única, µ D~ (x0) = max µ D~ (x), então x0, que é um elemento do conjunto completo de soluções difusas, é directamente determinado pela resolução do problema monobjectivo referido.

Caso existam soluções óptimas alternativas, Leberling (1981) demonstra que pelo menos uma delas é solução não dominada do problema inicial. Werners (1987b) refere que esta solução pode ser determinada com o uso de uma versão modificada do algoritmo lexicográfico “max-min”. Este algoritmo encontra-se detalhadamente explicado por Behringer (1981).

Zimmermann (1978, 1983a) sugere que, na definição das funções membro associadas aos objectivos difusos, sejam consideradas funções lineares17 e sejam usados os valores das componentes do ponto ideal (óptimos individuais de cada uma das funções objectivo) assim como do ponto Nadir.

Consideremos novamente o exemplo usado em III.2.3, retirado de (Zimmermann, 1983a).

Se definirmos as funções membro associadas aos objectivos difusos como sugerido por Zimmermann, a solução procurada corresponde ao ponto PF na figura III.6(b). λ = 0.742 é o valor do nível máximo de satisfação do conjunto de funções objectivo difusas (ou seja, o grau de pertença em relação aos conjuntos difusos definidos) e corresponde à solução x=(5.03; 7.32)T com z(x)=(9.61, 17.38)T.

Se as funções membro, associadas aos objectivos difusos usados, forem definidas de modo diferente obtemos soluções óptimas distintas. 17 O uso de alguns tipos particulares de funções membro não lineares, assim como a aproximação de funções membro não lineares por funções lineares por partes, pode também ser encontrado na literatura com vista à resolução do problema (III.37).


59

(a) Espaço das variáveis de decisão.

(b) Espaço das funções objectivo.

Figura III.6 – Soluções não dominadas em ambiente difuso (só as funções objectivo são difusas), P’=(-3, 21).

Por exemplo, se assumirmos que não estamos interessados em soluções com valor negativo em relação ao primeiro objectivo f1(x), podemos considerar as mesmas funções lineares anteriores mas alterando o valor limite inferior da função membro associada ao primeiro objectivo de ‘-3’ para ‘0’ (como aparece na figura III.7).

A solução determinada x = (4.80; 7.40)T e z(x) = (10.00, 17.00)T, ponto PH na figura III.7, corresponde ao nível máximo de satisfação λ = 0.714.

Figura III.7 – Soluções não dominadas em ambiente difuso (só as funções objectivo são difusas), P’1=(0, 21).

Note-se que a solução óptima obtida pela abordagem proposta por Zimmermann pertence sempre ao conjunto de soluções difusas eficientes do problema, independentemente das funções membro lineares que caracterizam as relações difusas presentes. Se forem consideradas as funções membro lineares sugeridas por Zimmermann, a solução óptima determinada corresponde àquela a que está associado o maior valor para o nível máximo de satisfação das funções objectivo e restrições difusas presentes no modelo.


60

Modelo simétrico com solução difusa - abordagem de Chanas

Chanas (1983) mostrou como, aplicando a técnica de programação paramétrica a um problema de programação linear difusa, é possível identificar a decisão difusa eficiente (completa) do problema. Ou seja, estabelece uma correspondência entre a programação paramétrica com recursos parametrizados e a programação difusa com recursos difusos. Em vez de se calcular µD(x) determina-se µD(θ), onde θ é interpretado como o nível de violação das restrições difusas.

A aplicação de programação paramétrica a um problema de programação linear no domínio difuso revela-se interessante, uma vez que a solução difusa obtida deste modo possibilita ao AD fazer uma análise mais profunda do problema da escolha da melhor solução de compromisso na presença de vários objectivos conflituosos.

O esforço computacional necessário para calcular a melhor decisão difusa é maior que o usado anteriormente para determinar a melhor decisão rígida pela abordagem de Zimmermann. Este facto pode tornar-se um inconveniente para problemas reais (com alguma dimensão) tal como referem Lai e Hwang (1992a, 1992b).

Um método mais genérico, que tem como caso particular o anteriormente apresentado pelo mesmo autor, aparece proposto em (Chanas, 1989). Utilizando a abordagem de Zimmermann, os métodos clássicos de programação linear (método simplex e de programação paramétrica) e considerando funções membro correspondentes aos objectivos difusos não lineares, Chanas (1989) obtém uma solução difusa do problema que é um subconjunto difuso das soluções fracamente eficientes do problema original. Esta solução difusa inclui aquela que tem maior grau de pertença no problema original, e para modelos lineares multiobjectivo a solução com maior valor para µ D~ (x) (usando a formulação de Bellman e Zadeh (1970)) coincide com a obtida na abordagem de Zimmermann (1978, 1983a).

III.3.1.2 Estrutura do modelo difusa com solução difusa - abordagem de Carlsson e Korhonen

A abordagem paramétrica de resolução de problemas de PLMO no domínio difuso apresentada por Carlsson e Korhonen (1986) aplica-se a modelos nos quais os coeficientes são total ou parcialmente difusos, ou seja, onde os coeficientes presentes no vector dos termos independentes das restrições funcionais ( b~ ) e/ou na matriz dos coeficientes tecnológicos ( A~ ) e/ou na matriz dos custos das funções objectivo ( C~ ) podem ter um carácter difuso.

O AD deve ser capaz de especificar intervalos para os possíveis valores desses parâmetros.

Embora os autores refiram que efectuam programação paramétrica, em termos práticos aquilo que fazem consiste na resolução do problema para diferentes concretizações do valor do nível de satisfação (para 0.0; 0.1; 0.2; ...; 0.9; 1).


61

III.3.1.3 A abordagem interactiva com solução rígida de Werners

Na abordagem interactiva de resolução de problemas de PLMO difusos apresentada por Werners (1987a, 1987b), as funções objectivo assim como as restrições são difusas. No entanto, o AD não estabelece “a priori” as funções membro associadas aos conjuntos difusos.

O método consiste em duas etapas:

• Na primeira fase é formulado o problema e é apresentada ao AD uma tabela de vértices eficientes, no sentido de lhe fornecer informação global sobre o problema, nomeadamente a gama de variação dos valores das funções objectivo. Esta tabela pode ser considerada como duas tabelas de "pay-off": a superior obtida pela optimização de cada função objectivo isoladamente com α = 0, e a inferior com α = 1. Com base nesta informação, o AD deve formular funções membro correspondentes aos objectivos difusos existentes.

• Na fase interactiva o objectivo é calcular uma solução de compromisso aceitável pelo AD, caso ela exista, utilizando um raciocínio similar ao de Zimmermann (1978, 1983a). É possível, a qualquer momento, recomeçar o processo interactivo com uma das soluções encontradas em iterações anteriores ou reformular o modelo inicialmente considerado (regresso à etapa 1), de acordo com a informação entretanto reunida (existindo, portanto, um processo de aprendizagem).

O objectivo principal do SAD interactivo proposto consiste em encontrar uma solução de compromisso considerada satisfatória pelo AD ou concluir que não existe nenhuma solução de compromisso que satisfaça os requisitos exigidos.

III.4 Uma metodologia interactiva de PLMO onde as relações matemáticas intervenientes são difusas

A abordagem interactiva apresentada seguidamente baseia-se na decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) Λ em regiões de indiferença. Uma análise comparativa das regiões de indiferença, associadas às bases das diversas soluções difusas eficientes presentes nos vários diagramas paramétricos Λ (que variam em função da gama de valores do nível de satisfação dos objectivos e das restrições difusas), permite perceber a estabilidade e evolução das diferentes bases eficientes que correspondem às soluções eficientes determinadas, perante a variação de alguns parâmetros do modelo.

O AD tem a possibilidade de modificar interactivamente as funções membro associadas aos objectivos e às restrições presentes no modelo. Estas modificações possibilitam avaliar o impacto da alteração de alguns parâmetros no modelo e estudar diferentes situações sem necessidade de reformular o problema desde o início.

As técnicas expostas permitem incorporar a difusão na operação de optimização e nas relações matemáticas presentes nas restrições ou, seguindo a óptica de alguns autores


62

(Carlsson e Korhonen, 1986, Lai e Hwang, 1992a), nos coeficientes dos termos independentes das restrições.

A solução obtida é difusa, cabendo ao AD a tarefa de escolher uma solução de compromisso satisfatória segundo as suas preferências. O AD assume um papel activo, o que permite a aprendizagem do problema e possibilita a evolução (e adaptação) dos seus julgamentos e preferências, à medida que a informação que lhe é apresentada pelo método origina novas pistas de pesquisa. Ou seja, a interactividade é encarada como um processo construtivo fazendo apelo à “convergência psicológica” do AD (que Vincke contrapõe à convergência matemática do método).

A metodologia proposta tem como finalidade auxiliar o AD a adquirir o maior conhecimento possível sobre o conjunto de soluções difusas de um problema de PLMO e a explorar as suas convicções e preferências, de forma a poder tomar uma decisão bem fundamentada (fazendo o uso adequado do conhecimento adquirido). Não existem decisões irrevogáveis, uma vez que, a qualquer momento, o AD pode rever as opções já tomadas com base nas informações entretanto fornecidas pelo método.

III.4.1 Alguns conceitos introdutórios

Na secção III.2.3 explicamos detalhadamente a proposta de generalização da definição de solução eficiente (II.3) (em ambiente rígido) apresentada por Werners (1987a, 1987b), para o caso em que as p funções objectivo zr (r=1, 2, ..., p) são definidas com precisão e as m restrições são difusas (III.30).

Esta definição pode também ser alargada à situação em que algumas das p funções objectivo são difusas (Borges, 1995; Borges e Antunes, 2003a). É com base nessa generalização que, na abordagem apresentada, se faz o estudo do conjunto de todas as soluções difusas eficientes.

Consideremos o exemplo já estudado anteriormente em III.2.3 e em III.3.1.1, retirado de (Zimmermann, 1983a).

Figura III.8 – Soluções não dominadas em ambiente difuso (as funções objectivo e as restrições funcionais são difusas).

III.4 - Uma metodologia interactiva de PLMO onde relações matemáticas intervenientes são difusas

63

Sejam ambas as funções objectivo (z1(x) = f1(x) e z2(x) = f2(x)) difusas e sejam as relações matemáticas presentes na primeira e segunda restrições ((c1) e (c2)) também difusas, e tais que a região admissível difusa corresponda à zona a ponteado na figura III.818. O conjunto de soluções não dominadas no domínio difuso coincide com esta região, e é constituído por todos os pontos que são combinação linear convexa de PA, PI, PL, PM, PG e P1’.

Estas soluções são tais que para cada uma delas não é possível melhorar o valor do seu grau de pertença em relação a um dos conjuntos difusos envolvidos sem piorar pelo menos um dos outros graus de pertença.

Se apenas estivermos interessados na solução eficiente que possui maior valor para o nível de satisfação de todos os conjuntos difusos intervenientes λ, de modo a que esse nível de satisfação seja menor ou igual do que os valores dos vários graus de pertença dos conjuntos difusos envolvidos (“max-min”) e satisfaça as restrições rígidas iniciais, somos conduzidos ao ponto PP na figura III.8 com λ = 0.79.

Seguindo uma linha de raciocínio semelhante à de Werners (1987a, 1987b), quando efectua a generalização da noção de solução eficiente em ambiente rígido (II.3) para problemas com restrições difusas (III.30), podemos definir solução eficiente para o caso em que tanto as funções objectivo como as restrições são difusas:

Solução eficiente em ambiente difuso (restrições e objectivos difusos):

Sejam )(G~ xr

µ : X → [0, 1], r = 1, 2, ..., p, as funções membro representativas das p

funções objectivo difusas e )(C~ xi

µ : X → [0, 1], i = 1, 2, ..., m, as funções membro

representativas das m restrições difusas. x ∈ X é solução eficiente em ambiente difuso se e só se não existir outra solução x ∈ X tal que:

)ˆ(G~ xr

µ ≥ )(G~ xr

µ , para todo o r = 1, ..., p (III.38)

e )ˆ(C~ xi

µ ≥ )(C~ xi

µ , para todo o i = 1, ..., m

e [ )ˆ(G~ xr

µ > )(G~ xr

µ , para pelo menos um r = 1, 2, ..., p

ou )ˆ(C~ xi

µ > )(C~ xi

µ , para pelo menos um i = 1, 2, ..., m].

Tal como referido por Werners (1987a, 1987b), podemos também aqui denominar o conjunto de todas as soluções difusas eficientes (em ambiente difuso) como solução difusa eficiente (completa).

Seguindo a óptica de alguns autores (Chanas, 1983; Verdegay, 1984; Zhao, Govind e Fan, 1992; Carlsson e Korhonen, 1986), segundo a qual a solução de um problema difuso também deve ser difusa, afigura-se-nos conveniente dar ao AD a possibilidade de conhecer não apenas uma solução de compromisso rígida mas todas aquelas que ele tiver interesse em analisar de entre as pertencentes à solução difusa eficiente do problema. 18 Note-se que as funções membro associadas aos objectivos e restrições difusas são as mesmas dos exemplos apresentados na figura III.7 (em III.3.1.1) e na figura III.5 (em III.2.3), respectivamente.


64

Figura III.9 – Abordagem interactiva de PLMO difusa onde as relações matemáticas intervenientes são difusas.


65

III.4.2 O funcionamento da abordagem interactiva proposta

Na figura III.9 está representado um fluxograma o qual, conjuntamente com a figura III.8 e com a descrição detalhada apresentada nesta secção, ajuda a compreender o funcionamento do algoritmo.

Todas as funções membro utilizadas no modelo possuem uma estrutura linear como mostrado na figura III.10 ((a) a (c)).

Para cada restrição difusa (i-ésima restrição), o AD deve definir as correspondentes funções membro da seguinte maneira:

• Para restrições do tipo ‘ ~≤ ‘ (sub-matriz A1 de A) são especificados dois

valores, 1ib e

1ib . Dado que não é permitido ultrapassar

1ib em caso algum e a

restrição é completamente satisfeita para valores abaixo de 1ib , a função

membro toma o valor de ‘0’ para valores acima de 1ib , ‘1’ para valores abaixo

de 1ib , e é linear entre estes dois limites (figura III.10(a)).

• Para restrições do tipo ‘ ~≥ ‘ (sub-matriz A2 de A) são também especificados

dois valores, 2ib e

2ib . Como a restrição é completamente satisfeita para

valores acima de 2ib e valores abaixo de 2

ib nunca são permitidos, a função

membro toma o valor de ‘1’ para valores acima de 2ib , ‘0’ para valores abaixo

de 2ib , e é linear entre estes dois limites (figura III.10(b)).

• Se as restrições são do tipo ‘~= ‘ (sub-matriz A3 de A), a função membro é

determinada por três valores, 3ib , 3

ib e 3ib . Para o valor 3

ib a restrição é completamente satisfeita, e apenas são permitidos desvios inferiores e superiores até aos valores de 3

ib e 3ib , respectivamente. A função membro

toma o valor ‘0’ para valores acima de 3ib ou abaixo de 3

ib , ‘1’ em 3ib , e é

linear entre os limites 3ib e 3

ib e entre 3ib e

3ib (figura III.10(c)).

Devido à formulação do modelo a condição vib ≤ v

ib ≤vib (v=1, 2, 3) é sempre

satisfeita.

( )

1

A 1 0 x

µ ( ) i x

i b 1 i b 1 i (a) Restrições do tipo

~≤

( )

1

A 20

x

µ ( )i x

ib 2ib 2

i (b) Restrições do tipo

~≥

( )A

1

30

x

µ ( )i x

ib3ib 3

i b 3 i (c) Restrições do tipo

~=

Figura III.10 – Funções membro utilizadas no modelo.


66

A principal diferença entre as restrições rígidas e as difusas consiste no seguinte: no caso de uma restrição rígida o AD consegue distinguir estritamente as soluções admissíveis das não admissíveis, enquanto que para uma restrição difusa o AD necessita considerar graus de pertença (admissibilidade) no intervalo [ v

ib ,vib ].

As funções objectivo difusas para as quais o AD conseguir estabelecer os níveis de aspiração e os níveis máximos de tolerância correspondentes (ou seja, os valores ib e

ib ) são tratadas como restrições difusas no modelo. O modelo consiste em p funções objectivo e m restrições lineares, as quais podem ser rígidas e/ou difusas, como apresentado seguidamente:

xa~m z(x) = C x (p funções objectivo) (III.39) s.a.

A1x ~≤

1b ,

1b (m1 restrições)

A2x ~≥

2b ,


A3x ~=

3b , 3b ,


X DDD

33

22

11

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

≥=

≥

≤

0xdxdx

dx

onde vb , v

b e vb são os vectores coluna associados aos valores (especificados pelo AD

na definição das funções membro) vib , v

ib e vib (v=1, 2, 3), respectivamente.

Uma vez formulado o problema entra-se numa fase não interactiva, cuja finalidade é fornecer ao AD informação sobre a gama de valores que os objectivos podem assumir na região eficiente.

Pela optimização de cada função objectivo isoladamente, com α = 0 e α = 1, no domínio:

A1x ≤ 1

b + α ( 1b - 1

b ) (m1 restrições de ~≤ ) (III.40)

A2x ≥ 2b + α (2

b - 2b ) (m2 restrições de ~≥ )

A3x ≤ 3

b + α ( 3b - 3

b ) (m3 restrições de ~=

)

A3x ≥ 3b + α ( 3b - 3b ) (m3 restrições de ~=

) x ∈ X

é obtida a tabela III.1. α pode ser interpretado como o nível de satisfação (nível de pertença) dos objectivos e restrições difusas agregadas.

As regiões consideradas na resolução do problema (III.40) correspondem, respectivamente, à região admissível do problema rígido inicial (α=1) e à região obtida a partir da do problema inicial mas considerando as restrições difusas com um nível de difusão máximo (α=0).


67

Na tabela III.1, as soluções 1-r, r = 1, 2, ..., p, correspondem às soluções extremas eficientes obtidas com α = 1, e as soluções 0-r, r = 1, 2, ..., p, às soluções extremas eficientes obtidas com α = 0. A tabela III.1 é uma dupla tabela de "pay-off", a parte superior considerando as restrições rígidas iniciais (α = 1) e a parte inferior obtida considerando as restrições difusas com um nível de difusão máximo (α = 0). Se inicialmente o modelo só possuir restrições rígidas, restará apenas a parte superior da tabela.

Tabela III.1 – Soluções extremas eficientes.

C1. x C2. x ... Cp. x

Solução 1-1 (x11) ∑j

jj x111C ∑j

jj x112C ... ∑j

jj x11 pC

... ... ... ... ...

Solução 1-p (x1p) ∑j

jj x1p1C ∑

jjj x1p

2C ... ∑j

jj x1p pC

Solução 0-1 (x01) ∑j

jj x111C ∑j

jj x112C ... ∑j

jj x11 pC

... ... ... ... ...

Solução 0-p (x0p) ∑j

jj x1p1C ∑

jjj x1p

2C ... ∑j

jj x1p pC

No caso de alguma das soluções extremas eficientes não poder ser calculada, por não existir solução admissível finita, deve surgir essa informação na linha correspondente da tabela III.1.

Com base nesta informação, o sistema sugere as funções membro correspondentes aos objectivos difusos ainda existentes. Na diagonal da parte inferior da tabela encontram−se os melhores valores (valores de rc , r=1, 2, ..., p) atingidos por cada uma das funções objectivo19. Nas correspondentes colunas devem ser procurados os piores valores20 (valores de rc , r=1, 2, ..., p).

O processo interactivo começa neste ponto.

O AD pode reformular as funções membro associadas aos objectivos e restrições difusas ou aceitar as sugestões do método. Embora apenas algumas modificações nos valores das funções membro tenham interesse, todas elas são permitidas. Pretende-se desta forma, à medida que vai aumentando o conhecimento sobre o problema em cada interacção, pôr à disposição do AD os meios e a informação que lhe permitam reflectir sobre as opções manifestadas anteriormente, criticando continuamente as suas preferências (que assumem um carácter evolutivo), e lhe possibilitem voltar atrás se

19 Se o modelo só tiver restrições rígidas os melhores valores encontram-se na diagonal da tabela. 20 Não necessariamente os piores valores na região não dominada, mas apenas os piores na gama de valores da tabela de óptimos individuais, que são, contudo, convenientes pela facilidade na sua determinação, como já referido no capítulo II.


68

detectar incoerências entre as preferências manifestadas em diferentes interacções, ou simplesmente mudar de ideias ao pretender explorar diferentes situações.

Seguidamente, faz-se uso da técnica de programação paramétrica, com a finalidade de determinar p soluções difusas de compromisso, analiticamente dependentes de α (nível de satisfação dos objectivos e restrições difusas presentes no modelo), em relação a cada objectivo separadamente, na seguinte região

Cx ≥ c + α (c - c ) (p funções objectivo) (III.41) A1x ≤

1b + α ( 1b -

1b ) (m1 restrições de ~

≤ )

A2x ≥ 2b + α (2


A3x ≤ 3

b + α ( 3b - 3


)


)

x ∈ X, α ∈ [0, 1].

Os valores limite do parâmetro α nos intervalos anteriormente obtidos (que conduzem à mesma base óptima nos problemas de programação paramétrica estudados) são ordenados por ordem crescente.

À região definida em (III.41) pertencem todas as soluções para as quais pelo menos um dos valores do nível de satisfação dos objectivos e restrições difusas intervenientes (correspondentes aos vários conjuntos difusos agregados) é não nulo, podendo, na situação limite, serem todos conjuntamente nulos.

Neste ponto, o AD pode terminar o processo se achar que reuniu informação suficiente para tomar uma decisão bem fundamentada, repetir esta primeira fase interactiva com outras funções membro, ou entrar numa segunda fase interactiva do estudo.

Na segunda fase do processo interactivo é optimizada uma soma ponderada dos p objectivos na região admissível (III.41), para cada um dos diferentes αs (anteriormente obtidos):

max [ ∑=

p

1 )((

rrr z xλ ] (III.42)

s.t.

Cx ≥ c + α (c - c ) (p funções objectivo) A1x ≤

1b + α ( 1b -

1b ) (m1 restrições de ~

≤ )

A2x ≥ 2b + α (2


A3x ≤ 3

b + α ( 3b - 3


)


)

x ∈ X; Σλr = 1 e λr ≥ 0, para r = 1, 2, ..., p.

Utilizando o método TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 1989), o AD pode efectuar uma pesquisa progressiva e selectiva das soluções difusas eficientes, tendo


69

presente a informação gráfica das regiões de indiferença no diagrama paramétrico, para a gama de estabilidade de α em análise. Para cada α, o método TRIMAP determina automaticamente as p soluções extremas eficientes correspondentes ao óptimo de cada uma das funções objectivo na região (III.41). A seguir, o AD pode interactivamente seleccionar diferentes vectores de pesos, correspondentes a zonas do diagrama paramétrico dos pesos ainda não preenchidas com regiões de indiferença, e determinar novas soluções extremas difusas eficientes, evitando assim um estudo exaustivo, o qual poderia tornar-se computacionalmente incomportável.

Em cada interacção desta segunda fase interactiva, são apresentados ao AD os valores numéricos correspondentes a cada solução extrema difusa eficiente, conjuntamente com dois gráficos: a decomposição do diagrama paramétrico Λ em regiões de indiferença e o espaço dos objectivos (ou respectivas projecções no caso de mais de duas funções objectivo), com as diferentes soluções extremas difusas eficientes entretanto determinadas para o valor de α em estudo.

Uma atenção especial deve ser prestada à análise comparativa destes dois gráficos, assim como aos valores numéricos associados às soluções básicas eficientes já pesquisadas, em cada interacção. O conhecimento dos valores dos objectivos para as soluções extremas eficientes já pesquisadas permite ao AD inferir possíveis valores atingidos pelos objectivos em pontos extremos eficientes ainda não conhecidos, que correspondam a regiões de indiferença vizinhas no diagrama paramétrico de outros já conhecidos. Esta informação possibilita ao AD seleccionar as zonas que lhe interessa ou não pesquisar, havendo assim uma redução do esforço computacional e correspondentemente evitando-se uma sobrecarga do esforço cognitivo do AD.

Variando o valor do nível de pertença dos objectivos e restrições difusas agregadas (α) e os valores dos pesos associados a cada objectivo (λr≥0, para r = 1, 2, ..., p), é possível observar como as várias soluções extremas difusas eficientes variam para as funções membro consideradas.

O estudo comparativo da decomposição dos diagramas paramétricos obtidos, para os diferentes valores de α, permite observar a evolução das várias regiões de indiferença correspondentes a soluções eficientes (vértices) já conhecidas até esse momento; em particular, a junção e separação destas para todos os valores dos níveis de satisfação estudados, permitindo perceber a forma da região difusa eficiente.

Como a região admissível considerada para cada um dos α é diferente (quando α aumenta a região admissível diminui), somos conduzidos a pontos extremos diferentes. Na prática, todos os pontos pertencentes à solução difusa eficiente do problema de optimização difuso (ou seja, todas as soluções difusas eficientes do problema) podem ser encontrados se alterarmos as funções membro intervenientes.

Uma vez que o valor do nível α considerado é sucessivamente maior (desde ‘0’ até αmax) e a correspondente região (III.41) menor, com α = αmax a solução determinada é única.

Na metodologia utilizada é garantida a possibilidade de o AD, a qualquer momento, revogar uma decisão já tomada. Há, pois, um processo de aprendizagem onde o AD pode ir construindo ou modificando o seu sistema de preferências, de acordo com a informação entretanto reunida.


70

O processo acaba quando o AD considerar que reuniu informação suficiente sobre a solução (difusa) do problema em estudo de modo a poder basear uma decisão mais fundamentada, ou eventualmente rever o modelo e efectuar uma análise similar.

III.4.3 Exemplo Ilustrativo

Com a finalidade de ilustrar o funcionamento da metodologia apresentada vamos considerar o seguinte problema linear21, com três funções objectivo a maximizar e três restrições:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++−++−+++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

4321

4321

4321

2 1 5 1 4 2 1 1 1 2 1 3

xa~m xa~m

3

2

1

xxxxxxxxxxxx

fff

s.a 4321 3 4 2 xxxx +++

~≤ 60 (c1)

4321 2 1 4 3 xxxx +++ ~≤ 60 (c2)

4321 4 3 2 1 xxxx +++ ~≤ 50 (c3)

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

A tabela III.2 é inicialmente obtida, através do cálculo das soluções básicas eficientes que optimizam individualmente cada função objectivo. Tabela III.2 – Soluções extremas eficientes.

Maximizar f1 Maximizar f2 Maximizar f3

Solução 1-1 66 30 -12

Solução 1-2 12.5 50 25

Solução 1-3 15 -15 75

Numa fase inicial, o AD possui geralmente reduzida informação sobre o problema. Suponhamos que o AD aceita tolerâncias numericamente iguais a 30 em relação aos melhores valores atingidos por cada um dos objectivos nas soluções eficientes determinadas anteriormente (valores na diagonal da tabela de "pay-off" mostrada na tabela III.2), e admite tolerâncias de 10%, 40% e 20% nos lados direitos da primeira, segunda e terceira restrições ((c1), (c2) e (c3)), respectivamente. Os limites utilizados na definição das funções membro associadas aos objectivos e às restrições difusas encontram-se na tabela III.3.

21 Este problema ilustrativo, o qual será também usado no capítulo seguinte, já foi estudado pormenorizadamente em (Antunes, 1991), utilizando técnicas interactivas de análise de sensibilidade.


71

Tabela III.3 – Limites utilizados na definição das funções membro intervenientes.

Funções objectivo Restrições funcionais

f1 f2 f3 c1 c2 c3

[ 36, 66 ] [ 20, 50 ] [ 45, 75 ] [ 60, 66 ] [ 60, 84 ] [ 50, 60 ]

Aplicando a técnica de programação paramétrica, a cada uma das funções objectivo isoladamente, na região delimitada pelas restrições de não negatividade (das variáveis de decisão) e pelo conjunto de restrições:

3x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 36 + 30α x1 – x2 + 2x3 + 4x4 ≥ 20 + 30α -x1 + 5x2 + x3 + 2x4 ≥ 45 + 30α 2x1 + x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 66 – 6α 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 ≤ 84 – 24α x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 60 – 10α

α ∈ [0, 1]

são calculadas três soluções difusas de compromisso, analiticamente dependentes do nível de satisfação α. Os valores de α limites dos intervalos anteriormente considerados (intervalos para os quais as bases óptimas correspondentes se mantêm) são ordenados.

As características destas soluções difusas de compromisso encontram-se descritas na tabela III.4-a, III.4-b e III.4-c, onde s_fk (k=1, 2, 3) e s_ci (i=1, 2, 3) são as variáveis folga associadas respectivamente à k-ésima função objectivo, e à i-ésima restrição.

Tabela III.4-a

Solução de compromisso 1: Funções objectivo Restrições funcionais

f1 f2 f3 c1 c2 c3

x1= 12.17 -13.76α 61.88 -37.32α 20 +30α 45 +30α 66 -6α 84 -24α 56.59 +23.12αx2= 9.68 -1.02α x3= 7.54 -3.80α [61.88, 58.03] [20, 23.09] [45, 48.09] [66, 65.38] [84, 81.53] [56.59,, 58.97] x4= 0.61 +12.59α s_f1= 25.88 -67.32α s_c3= 3.41 -33.12α

0 ≤ α ≤ 0.103093 x1= 10.75 -8.40α 58.03 -53.15α 23.09 +18.33α 48.09 +18.33α 65.38 -54.25α 81.53 -14.66α 58.97 -6.11α x2= 9.58 -0.63α x3= 7.14 -22.56α [52.56, 43.95] [24.98, 27.95] [49.98, 52.95] [59.79, 51.01] [80.01, 77.64] [58.34, 57.35] x4= 1.91 +17.81α s_f1= 18.94 -71.48α s_c1= 0 +50.59α

0.103093 ≤ α ≤ 0.264957


72

Tabela III.4-b


f1 f2 f3 c1 c2 c3

x1= 6.51 +9.57α 36 +30α 41.43 -47.02α 45 +30α 50.04 -1.70α 64.85 +53.96α 60 -10α x2= 6.19 +12.34α x4= 10.28 -11.06α [36, 43.18] [41.43, 30.16] [45, 52.18] [50.04, 49.63] [64.85, 78.25] [60, 57.61] s_f2= 21.43 -77.02α s_c1= 15.96 -4.30α s_c2= 19.15 -79.96α

0 ≤ α ≤ 0.239489 x1= 8.80 -1.05α 43.18 +2.88α 30.16 -8.36α 52.18 +2.88α 49.63 +5.18α 78.25 -2.31α 57.61 -0.96α x2= 9.15 +1.00α x3= 0 +4.41α [43.88, 43.95] [28.16, 27.95] [52.88, 52.95] [50.88, 51.01] [77.70, 77.64] [57.37, 57.35] x4= 7.63 -3.78α s_f2= 2.98 -11.25α s_c1= 14.93 -5.76α

0.239489 ≤ α ≤ 0.264957

Tabela III.4-c


f1 f2 f3 c1 c2 c3

x1= 5.21 +14.24α 36 +30α 20 +30α 75.52 -79.70α 44.85 +16.97α 83.03 -9.39α 60 -10α x2= 13.33 -13.33α x4= 7.03 +0.61α [36, 37.99] [20, 21.99] [75.52, 70.22] [44.85, 45.98] [83.03, 82.41] [60, 59.34] s_f3= 30.52 -109.70α s_c1= 21.15 -22.97α s_c2= 0.97 -14.61α

0 ≤ α ≤ 0.06639 x1= 6.16 +8.94α 37.99 +22.48α 21.99 +22.48α 70.22 -65.20α 45.98 +18.99α 82.41 -17.99α 59.34 -7.49α x2= 12.45 -11.46α x3= 0 +4.41α [39.48, 43.95] [23.48, 27.95] [65.90, 52.95] [47.24, 51.01] [81.21, 77.64] [58.84, 57.35] x4= 7.07 -1.68α s_f3= 23.23 -87.68α s_c1= 19.63 -23.49α

0.06639 ≤ α ≤ 0.264957

Nestas tabelas estão contidos, para cada uma das gamas admissíveis para α (intervalos nos quais as bases óptimas correspondentes se mantêm), os valores da solução difusa de compromisso (em função de α), os valores atingidos pelos objectivos e pelas restrições nessa solução (em função de α), e os valores atingidos pelos objectivos e pelas restrições nos correspondentes limites das gamas admissíveis de α.


73

Se o AD não estiver ainda satisfeito com as soluções de compromisso obtidas, pode alterar as funções membro e determinar novas soluções difusas de compromisso ou, para cada um dos valores limite do nível de satisfação α previamente calculados, pode efectuar um estudo progressivo e selectivo do comportamento de várias soluções difusas eficientes no diagrama paramétrico Λ (e/ou no espaço dos objectivos).

Suponhamos que o AD, para cada um dos valores limite de α previamente determinados, deseja atribuir ponderações diferentes aos objectivos e pesquisar os diagramas paramétricos, de modo a obter um melhor conhecimento da região eficiente em ambiente difuso (tabelas III.5 a III.9, e figuras III.11 a III.15).

A cada região de indiferença nos diagramas paramétricos representados nas figuras III.11(a) a III.15(a) está associada uma solução extrema eficiente, determinada optimizando uma soma ponderada das funções objectivo na região admissível considerada para cálculo das soluções difusas de compromisso anteriores.

Com α = 0.0 foram encontradas as sete soluções extremas eficientes representadas na figura III.11, cujas características se descrevem na tabela III.5. Tabela III.5 – Soluções Ai.

α = 0.000000 Solução f1 f2 f3 xB L∞

A1 61.88 20.00 45.00 x1=12.17, x2=9.68, x3=7.54, x4=0.61, s_f1=25.88, s_c3=3.14 30.52

A2 36.00 41.43 45.00 x1=6.51, x2=6.19, x4=10.28, s_f2=21.43, s_c1=15.96, s_c2=19.15 30.52

A3 36.00 20.00 75.52 x1=5.21, x2=13.33, x4=7.03, s_f3=30.52, s_c1=21.15, s_c2=0.97 25.88

A4 51.52 35.48 45.00 x1=11.79, x2=8.17, x4=7.97, s_f1=15.52, s_f2=15.48, s_c1=10.34 30.52

A5 60.00 27.00 45.00 x1=12, x2=9, x3=6, x4=3, s_f1=24, s_f2=7 30.52

A6 58.25 20.00 53.75 x1=10.25, x2=10.75, x3=7.75, x4=1.25, s_f1=22.25, s_f3=8.75 21.77

A7 37.07 20.00 74.93 x1=5.6, x2=13.33, x4=6.93, s_f1=1.07, fs_f3=29.93, s_c1=20.67 24.81

(a) Regiões de indiferença em Λ (b) Projecção f1-f2 no espaço dos objectivos22

Figura III. 11 – α = 0 (soluções Ai).

22 As etiquetas presentes nas projecções f1-f2 no espaço dos objectivos correspondem à identificação da solução/valor de f3.


74

Para α = 0.066390 foram encontradas as seis soluções extremas eficientes da figura III.12, descritas na tabela III.6. Tabela III.6 – Soluções Bi.


B1 59.40 21.99 46.99 x1=11.26, x2=9.61, x3=7.28, x4=1.45, s_f1=21.41, s_c3=1.22 23.23

B2 37.99 38.30 46.99 x1=7.15, x2=7.01, x4=9.54, s_f2=16.31, s_c1=15.67, s_c2=13.84 23.23

B3 37.99 21.99 70.22 x1=6.15, x2=12.45, x3=0, x4=7.07, s_f3=23.23, s_c1=19.63 21.41

B4 49.21 34.01 46.99 x1=10.96, x2=8.44, x4=7.87, s_f1=11.22, s_f2=12.02, s_c1=11.62 23.23

B5 58.73 24.48 46.99 x1=11.20, x2=9.37, x3=6.74, x4=2.30, s_f1=20.74, s_f2=2.49 23.23

B6 58.11 21.99 50.11 x1=10.57, x2=9.99, x3=7.36, x4=1.67, s_f1=20.12, s_f3=3.12 20.11

(a) Regiões de indiferença em Λ (b) Projecção f1-f2 no espaço dos objectivos

Figura III.12 – α = 0.06639 (soluções Bi).

Comparando os diagramas paramétricos Λ das figuras III.11(a) e III.12(a) pode concluir-se que as regiões de indiferença correspondentes às soluções eficientes A3 e A7 irão juntar-se e dar origem à região de indiferença associada à solução eficiente B3, ou seja, o conjunto de pesos que com α = 0.0 originava as soluções difusas eficientes A3 e A7, com α = 0.06639 apenas gera a solução eficiente B3, solução esta que é degenerada, uma vez que x3 = 0, mais estável em relação à variação dos pesos do que as soluções A3 e A7 e possui um menor valor para a distância de Tchebycheff à solução ideal.

As cinco soluções extremas eficientes encontradas com α = 0.103093 estão representadas na figura III.13 e descritas na tabela III.7.

Comparando os diagramas paramétricos Λ das figuras III.12(a) e III.13(a) obtêm−se também algumas conclusões interessantes. A região de indiferença correspondente à solução difusa eficiente B3, que como referimos anteriormente é degenerada, aparece agora dividida em duas: a correspondente à solução eficiente C3 e a correspondente à solução eficiente C5. Embora estas duas soluções sejam menos estáveis em relação à variação dos pesos, apresentam uma menor distância de Tchebycheff. Por outro lado, as regiões de indiferença correspondentes às soluções eficientes B1, B5 e B6 vão juntar-se, originando a região de indiferença correspondente à solução eficiente C1, solução esta que é degenerada. A solução extrema eficiente C1 é mais estável em relação à variação dos pesos e tem menor distância de Tchebytcheff do que B1, B5 e B6.


75

Tabela III.7 – Soluções Ci.


C1 58.03 23.09 48.09 x1=10.75, x2=9.58, x3=7.15, x4=1.91, s_f1=18.94, s_c1=0 18.94

C2 39.09 36.58 48.09 x1=7.50, x2=7.46, x4=9.14, s_f2=13.49, s_c1=15.51, s_c2=10.91 18.94

C3 39.09 23.09 67.03 x1=6.60, x2=11.89, x3=0.22, x4=6.99, s_f3=18.94, s_c1=18.48 18.94

C4 47.93 33.19 48.09 x1=10.51, x2=8.59, x4=7.82, s_f1=8.84, s_f2=10.10, s_c1=12.32 18.94

C5 39.09 23.72 66.40 x1=6.72, x2=11.75, x4=7.19, s_f2=0.63, s_f3=18.31, s_c1=18.63 18.94


Figura III.13 – α = 0.103093 (soluções Ci).

Tabela III.8 – Soluções Di.


D1 46.16 27.18 52.18 x1=8.88, x2=9.44, x3=2.11, x4=5.88, s_f1=2.98, s_c1=11.29 2.98

D2 43.18 30.16 52.18 x1=8.80, x2=9.15, x3=0, x4=7.63, s_f2=2.98, s_c1=14.93 2.98

D3 43.18 27.18 55.16 x1=8.22, x2=9.80, x3=1.02, x4=6.68, s_f3=2.98, s_c1=14.20 2.98


Figura III.14 – α = 0.239489 (soluções Di).


76

Quando α = 0.239489 (figura III.14 e tabela III.8) as regiões de indiferença correspondentes às soluções eficientes C2, C4 e C5 vão juntar-se na região de indiferença associada à solução extrema eficiente D2, como pode deduzir-se pela inspecção visual dos diagramas paramétricos Λ das figuras III.13(a) e III.14(a). A solução eficiente D2 é mais estável em relação à variação dos pesos do que as soluções eficientes C2, C4 e C5.

Finalmente, para α = 0.264957 foi encontrada apenas uma solução extrema eficiente (degenerada, s_f1=0), E1, representada na figura III.15 e descrita na tabela III.9. A região de indiferença associada à solução eficiente E1 corresponde à junção das anteriores regiões de indiferença associadas às soluções eficientes D1, D2 e D3 (diagramas paramétricos Λ das figuras III.14(a) e III.15(a)) e, como era de esperar, possui distância de Tchebycheff nula (uma vez que é a solução ideal nesta situação). A solução eficiente E1 é mais estável em relação à variação dos pesos do que as soluções eficientes

Tabela III.9 – Solução E1.


E1 43.95 27.95 52.95 x1=8.53, x2=9.41, x3=1.17, x4=6.62, s_f1=0, s_c1=13.40 0.00


Figura III.15 – α = 0.264957 (solução E1).

Para as funções membro consideradas, todas as soluções calculadas encontram-se fora da região admissível rígida original do problema. Além disso, quanto maior o valor do nível de satisfação α dos objectivos e restrições difusas agregadas, mais próximas da região admissível rígida original do problema se encontram as soluções obtidas e menores são as distâncias de Tchebycheff à solução ideal.

A análise anteriormente realizada permite-nos estudar a "trajectória" e a estabilidade das soluções e das bases eficiente obtidas em função da variação de α.

Suponhamos que, neste momento, o AD está interessado em manter a difusão definida anteriormente para as restrições, mas deseja que as tolerâncias correspondentes a todos os objectivos sejam diminuídas para 20.

As três soluções difusas de compromisso, analiticamente dependentes do nível de satisfação α e descritas nas tabelas III.10(a) a III.10(c), foram obtidas aplicando a técnica


77

de programação paramétrica a cada um dos objectivos isoladamente, na região delimitada pelas restrições de não negatividade e por:

3x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 46 + 20α x1 – x2 + 2x3 + 4x4 ≥ 30 + 20α -x1 + 5x2 + x3 + 2x4 ≥ 55 + 20α 2x1 + x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 66 – 6α 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 ≤ 84 – 24α x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 60 – 10α

α ∈ [0, 1] Tabela III.10-a


f1 f2 f3 c1 c2 c3

x1= 9.73 -11.32α 47 -67α 30 +20α 55 +20α 52.59 -66.85α 84 -24α 60 -10α x2= 9.93 -1.27α x3= 0.22 -26.20α [47, 46.44] [30, 30.17] [55, 55.17] [52.59, 52.03] [84, 83.79] [60,, 59.92] x4= 7.44 +20.61α s_f1= 1.0 -87.0α s_c1= 13.42 +60.85α

0 ≤ α ≤ 0.00837989

x1= 9.64 -7.83α 46.44 -22.88α 30.17 +3.61α 55.17 +3.61α 52.03 -10.24α 83.79 -25.89α 59.92 -1.81α x2= 9.92 -1.81α x4= 7.61 +2.41α [46.25, 46.20] [30.20, 30.21] [55.20, 55.21] [51.93, 51.92] [83.58, 83.53] [59.90, 59.89] s_f1= 0.27 -26.49α s_c1= 13.92 +9.15α s_c2= 0 +21.56α

0.00837989 ≤ α ≤ 0.0102273

Tabela III.10-b


f1 f2 f3 c1 c2 c3

x1= 9.49 +9.59α 46 +20α 30.57 -36.17α 55 +20α 51.96 -3.62α 83.15 +37.66α 60 -10α x2= 9.81 +8.72α x4= 7.72 -8.51α [46, 46.21] [30.57, 30.21] [55, 55.21] [51.96, 51.92] [83.15, 83.53] [60, 59.90] s_f2= 0.57 -56.17α s_c1= 14.04 -2.38α s_c2= 0.85 -61.66α

0 ≤ α ≤ 0.0102273


78

Tabela III.10-c


f1 f2 f3 c1 c2 c3

x1= 9.46 +10α 46 +20α 30 +20α 55.82 -60α 51.81 +10α 83.64 -10α 60 -10α x2= 10 -10α x4= 7.64 +0α [46, 46.21] [30, 30.21] [55.82, 55.20] [51.81, 51.92] [83.64, 83.53] [60, 57.61] s_f3= 0.82 -80α s_c1= 14.18 -16α s_c2= 0.37 -14α

0 ≤ α ≤ 0.0102273

Os valores de α limites dos intervalos agora obtidos (intervalos para os quais as bases óptimas correspondentes se mantêm) são ordenados por ordem crescente.

Se o AD pretender ainda prosseguir a pesquisa, pode alterar as funções membro e determinar novas soluções difusas de compromisso ou pode fazer uma pesquisa nos diagramas paramétricos, para cada um dos valores limite das gamas de estabilidade de α.

Tabela III.11 – Soluções Ai.


A1 47.00 30.00 55.00 x1=9.73, x2=9.93, x3=0.22, x4=7.44, s_f1=1.0, s_c1=13.42 0.82

A2 46.00 30.57 55.00 x1=9.49, x2=9.81, x4=7.72, s_f2=0.57, s_c1=14.04, s_c2=0.85 1.00

A3 46.00 30.00 55.82 x1=9.46, x2=10.0, x4=7.64, s_f3=0.82, s_c1=14.18, s_c2=0.36 1.00

A4 46.69 30.31 55.00 x1=9.72, x2=9.90, x4=7.62, s_f1=0.69, s_f2=0.31, s_c1=13.79 0.82

A5 46.40 30.00 55.60 x1=9.6, x2=10.0, x4=7.6, s_f1=0.4, fs_f3=0.6, s_c1=14.0 0.60


Figura III.16 – α = 0 (soluções Ai).

Para α = 0.0 foram encontradas as cinco soluções extremas eficientes representadas na figura III.16 e descritas na tabela III.11. Quando α = 0.00837989 obtemos as três soluções extremas eficientes representadas na figura III.17 e descritas na


79

tabela III.12. Para α = 0.103093 é calculada a solução extrema eficiente da figura III.18 descrita na tabela III.13. Tabela III.12 – Soluções Bi.

α =0.00837989 Solução

f1 f2 f3 xB L∞

B1 46.44 30.17 55.17 x1=9.64, x2=9.92, x4=7.61, s_f1=0.27, s_c1=13.92, s_c2=0 0.15

B2 46.17 30.27 55.17 x1=9.54, x2=9.88, x4=7.65, s_f2=0. 10, s_c1=14.02, s_c2=0.33 0.27

B3 46.17 30.17 55.32 x1=9.54, x2=9.92, x4=7.64, s_f3=0. 15, s_c1=14.05, s_c2=0.25 0.27


Figura III.17 – α = 0.00837989 (soluções Bi).

Comparando os diagramas paramétricos Λ das figuras III.16(a) e III.17(a) constatamos que as regiões de indiferença associadas às soluções eficientes A1, A4 e A5 vão juntar-se originando a região de indiferença associada à solução eficiente B1. Tabela III.13 – Solução C1.

α = 0.0102273 Solução

f1 f2 f3 xB L∞

C1 46.20 30.20 55.20 x1=9.56, x2=9.90, x4=7.64, s_f1=0, s_c1=14.02, s_c2=0.22 0.00


Figura III.18 – α = 0.0102273 (solução C1).


80

Uma conclusão similar é obtida se compararmos os diagramas paramétricos Λ das figuras III.17(a) e III.18(a). As regiões de indiferença associadas às soluções eficientes B1, B2 e B3 vão juntar-se originando a região de indiferença associada à única solução eficiente determinada com α = 0.103093 (solução C1).

III.4.4 Considerações finais

Nesta secção foi detalhadamente exposta uma abordagem interactiva de PLMO no domínio difuso, a qual foi computacionalmente implementada como parte central de um SAD. O objectivo principal do sistema consiste em possibilitar ao AD uma ferramenta flexível, por intermédio da qual seja possível adquirir, de um modo progressivo e selectivo, informação relevante sobre o conjunto de soluções difusas eficientes, criticar os resultados que vão sendo obtidos e cuidadosamente considerar distintas situações, assumindo as suas preferências um papel activo no processo de decisão, de forma a que possa ser tomada uma decisão bem fundamentada.

A análise é baseada na decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) em regiões de indiferença associadas às soluções difusas eficientes, usando utensílios gráficos interactivos bastante úteis no diálogo com o AD.

A análise interactiva proporcionada ao AD pela ferramenta gráfica construída apresenta-se bastante intuitiva e pouco exigente no que diz respeito às informações pedidas ao AD. O estudo comparativo dos diferentes diagramas paramétricos obtidos, os quais variam em função das gamas admissíveis para α, permite analisar como as diferentes soluções eficientes (e as correspondentes bases) evoluem, de modo a ser possível conhecer a forma da região difusa eficiente, assim como estudar os compromissos que devem ser feitos entre os vários objectivos e restrições difusas intervenientes.

De salientar que, nos estudos efectuados, a pesquisa de soluções eficientes não está limitada a vértice eficientes do poliedro admissível inicial, a menos que todas as restrições sejam não difusas.

Dada a dimensão do problema ilustrativo estudado, a pesquisa exaustiva dos vários diagramas paramétricos não implicou um esforço computacional elevado.

No entanto, em problemas reais não se justifica, em geral, o completo preenchimento do diagrama paramétrico, pois podem existir regiões neste que o AD não manifeste interesse em pesquisar, quer por corresponderem a soluções muito semelhantes às associadas a regiões de indiferença vizinhas já conhecidas, quer por corresponderem a soluções que apresentam características piores, de acordo com a estrutura de preferências do AD, em relação a outras já pesquisadas. O cálculo de todos os vértices não dominados exigiria um esforço computacional considerável e obrigaria a uma sobrecarga do esforço cognitivo por parte do AD, a menos que a configuração da região não dominada seja tal que possua poucos pontos extremos.

A versão actual está vocacionada para problemas com duas ou três funções objectivo, o que possibilita, do ponto de vista cognitivo, tirar partido de ferramentas gráficas bastante úteis no diálogo com o AD. Se o número de funções objectivo for superior a três, a informação apresentada é essencialmente numérica o que torna a sua


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análise mais difícil e aumenta o esforço cognitivo exigido ao AD. O diálogo com o AD também se torna menos intuitivo.

Capítulo X

Conclusões







Capítulo IV

Uma metodologia interactiva

para PLMO, com parâmetros difusos

Este capítulo descreve o desenvolvimento de técnicas interactivas de tratamento de incerteza em problemas de programação linear multiobjectivo (Borges e Antunes, 2000). No estudo efectuado, os coeficientes das funções objectivo e dos lados direitos das restrições funcionais do modelo original, assim como os coeficientes das funções objectivo e da matriz tecnológica associados a uma nova variável de decisão a considerar, são definidos por números reais difusos triangulares, para os quais pode ser diferente a largura (ou amplitude - “spread“) à direita e à esquerda do valor central cM (figura IV.1). Estes números difusos são denotados por c~ = (cL, cM, cR), e as correspondentes funções membro caracterizadas como apresentado seguidamente:

µ c~ (x) =

( )( )

( )( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

<<

=

<<

≤

R

RMMR

R

M

MLLM

L

L

c x se, 0

c x c se, c-cx-c

c x se, 1

c x c se, c-c

c-x

c x se, 0

(IV.1)

O valor central cM encontra-se associado ao nível de pertença (ou de satisfação) máximo, ‘1’, e denomina-se valor modal de c~ ; cM-cL corresponde à largura do lado

Capítulo IV - Uma metodologia interactiva para PLMO, com parâmetros difusos

84

esquerdo e cR-cM à largura do lado direito da função membro. c~ será tanto mais difuso quanto maiores forem os valores de cM-cL e cR-cM.

1

µ c

c L c M c R0

~

x Figura IV.1 – Função membro do número real difuso triangular c~ = (cL, cM, cR).

Como os valores com maior nível de pertença são os que têm mais possibilidade de ocorrer, os valores modais (cM) dos números reais difusos triangulares são considerados como aos parâmetros rígidos (iniciais) do modelo. As técnicas investigadas foram implementadas como parte central de um SAD1, que tem por base o método TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 1989) no cálculo das soluções eficientes do problema. O objectivo principal consiste em possibilitar ao AD uma visualização dinâmica das alterações ocorridas nas várias soluções básicas não dominadas pesquisadas durante o estudo interactivo, com a variação contínua dos níveis de pertença associados às funções membro dos parâmetros difusos. O AD pode também saber quais das soluções básicas não dominadas calculadas é possível alcançar (ou seja, se situam na fronteira eficiente em ambiente difuso), se o nível de pertença das funções membro consideradas for de pelo menos α2. O estudo pode ser tão exaustivo quanto o AD deseje. Durante a análise interactiva o AD pode rever as suas preferências iniciais e explorar novas direcções, modificando as funções membro consideradas por intermédio da alteração de alguns dos valores de cL e/ou cR dos coeficientes difusos (e também dos valores de cM da nova variável de decisão a considerar). O estudo termina quando o AD achar que conhece o suficiente sobre o conjunto de soluções difusas do problema em análise, de modo a poder tomar uma decisão bem informada.

A abordagem apresentada baseia-se na análise da decomposição do diagrama paramétrico dos pesos (Λ) em regiões de indiferença correspondentes a soluções básicas não dominadas, possibilitando um estudo comparativo das alterações, em forma e 1 Tal como mencionado anteriormente, com a implementação computacional realizada pretendeu-se constituir uma base de experimentação das várias metodologias estudadas, tendo sempre em mente fornecer ao AD capacidades visuais apelativas de interacção com os algoritmos. É fornecido um ambiente operacional, no qual o AD (em geral auxiliado por um analista) assume o papel de condutor no processo de decisão, que incita à reflexão, à exploração, ao surgir de novas pistas e percepções, permitindo ao AD uma compreensão mais profunda e selectiva das características do problema em análise, a crítica aos resultados que vão sendo obtidos e a consideração cuidadosa de determinadas situações, de modo a possibilitar a evolução da sua estrutura de preferências. Este programa foi construído utilizando o compilador C/C++ da Borland® versão 5.01 em ambiente Windows® 95/98, tendo sido aproveitados alguns módulos de cálculo da implementação descrita no capítulo anterior (secção III.4). Com a finalidade de ultrapassar as limitações de memória existentes anteriormente, foi realizada a correspondente actualização num compilador mais recente, Microsoft® Visual Studio.NET 2003 em ambiente WINDOWS® XP. 2 O estudo das soluções básicas não dominadas que se situam na fronteira eficiente em ambiente difuso, se o nível de pertença das funções membro analisadas for de pelo menos α, não foi considerado em (Borges e Antunes, 2000).

IV.1 - O funcionamento da abordagem interactiva proposta

85

tamanho, verificadas nas regiões de indiferença associadas quer às soluções básicas inicialmente calculadas quer às novas soluções básicas que entretanto foram pesquisadas em ambiente difuso.

As novas soluções básicas não dominadas em ambiente difuso são obtidas usando o método simplex ou dual-simplex, a partir de um quadro simplex multiobjectivo associado a uma solução básica não dominada previamente calculada em ambiente rígido, e seleccionando um conjunto de pesos pertencente a zonas de Λ não preenchidas em ambiente difuso com regiões de indiferença, no diagrama paramétrico em análise (Borges e Antunes, 2000).

Na secção seguinte deste capítulo é feita uma descrição metodológica da abordagem interactiva de PLMO em ambiente difuso proposta. Serão expostas separadamente as situações em que são difusos os coeficientes das funções objectivo, dos lados direitos das restrições, e os coeficientes associados a uma nova variável de decisão a considerar.

Na secção 2 será usado um exemplo para ilustrar mais detalhadamente o funcionamento da metodologia exposta. Embora o exemplo aqui estudado possua apenas 3 restrições funcionais, 4 variáveis de decisão e 3 funções objectivo, é suficientemente rico quer para compreender o funcionamento da abordagem proposta, quer para possibilitar uma análise comparativa das alterações verificadas nas várias regiões de indiferença, correspondentes às soluções básicas não dominadas, do diagrama paramétrico Λ. Este exemplo foi sumariamente analisado em (Borges e Antunes, 2000); por limitações de espaço impostas pela publicação, apenas foi aí brevemente ilustrada a análise com coeficientes das funções objectivo difusos. Um estudo mais exaustivo desta situação, assim como a análise dos lados direitos das restrições funcionais difusos e da introdução duma nova variável de decisão com coeficientes difusos será apresentado nas secções 2.1, 2.2 e 2.3 deste capítulo, respectivamente.

Na secção 3 deste capítulo será feita uma análise crítica à metodologia proposta, assim como referidas algumas afinidades possíveis entre esta abordagem e a exposta na secção 4 do capítulo anterior.

IV.1 O funcionamento da abordagem interactiva proposta

A figura IV.2 mostra, em termos genéricos, o funcionamento da abordagem interactiva de PLMO difusa proposta.

Nesta abordagem começa-se por efectuar um estudo do conjunto de soluções não dominadas para o problema em ambiente rígido através do método TRIMAP.

Em geral, não é necessário calcular no início todos os vértices não dominados em ambiente rígido para o problema em análise, mas apenas determinar um conjunto de soluções básicas dispersas e suficientemente distintas, de modo a que o AD consiga perceber as características essenciais da fronteira não dominada do problema em ambiente rígido. Caso se mostre necessário, é sempre possível durante a análise do problema em ambiente difuso calcular novas soluções básicas não dominadas para o problema rígido inicial.


86

Figura IV.2 – Abordagem interactiva para PLMO, onde os parâmetros são definidos por números reais difusos.


87

De seguida, é possível efectuar um estudo interactivo, tão exaustivo quanto o AD deseje, das alterações ocorridas no conjunto de soluções básicas eficientes em ambiente difuso, considerando os coeficientes das funções objectivo, os lados direitos das restrições funcionais, ou os coeficientes associados a uma nova variável de decisão a introduzir no modelo, definidos por números reais difusos triangulares. O estudo tira partido da análise comparativa dos vários gráficos (especialmente das decomposições dos diagramas paramétricos Λ em regiões de indiferença associadas às soluções básicas eficientes determinadas) e dos valores numéricos apresentados ao AD, para diferentes valores dos níveis de pertença das funções membro e/ou para diferentes funções membro associadas aos parâmetros difusos.

Quando o AD considerar que reuniu a informação suficiente sobre o conjunto de soluções difusas do problema, de acordo com as suas convicções e preferências evolutivas, de modo a poder tomar uma decisão bem fundamentada, o processo interactivo termina.

IV.1.1 Coeficientes difusos nas funções objectivo

Consideremos que o valor modal (cM) dos números reais difusos triangulares associados aos vários coeficientes das funções objectivo correspondem aos parâmetros rígidos (iniciais) do modelo, e que o valor do nível de pertença das funções membro associadas a esses coeficientes, y, é comum a todas as funções objectivo.

Dado que, para diferentes valores de y, apenas os coeficientes da matriz das funções objectivo C~ variam, então a região admissível mantém-se inalterada, ou seja, a condição de admissibilidade das soluções básicas eficientes inicialmente calculadas nunca é posta em causa.

No entanto, a matriz dos custos reduzidos, W= BC~ B-1N- NC~ , sofre alterações com a variação do valor de y e, consequentemente, a região eficiente pode também sofrer alterações.

Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes for continuamente alterado, as regiões de indiferença, nos diferentes diagramas paramétricos Λ obtidos, associadas às várias soluções básicas eficientes do problema irão variar continuamente em tamanho e forma, podendo mesmo acontecer que zonas anteriormente preenchidas com regiões de indiferença deixem de o estar e vice-versa.

Seleccionando conjuntos de pesos em zonas não preenchidas com regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ correspondente a um determinado valor de y, novas soluções básicas eficientes podem ser calculadas. Estas novas soluções são obtidas usando o método simplex a partir de uma solução eficiente seleccionada pelo AD de entre as inicialmente calculadas considerando os coeficientes rígidos (valores de cM nas funções objectivo).

As regiões de indiferença associadas a uma dada solução básica eficiente calculada podem mesmo desaparecer, significando neste caso que essa solução básica se tornou não eficiente.


88

IV.1.2 Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais Tal como anteriormente, os coeficientes dos lados direitos das restrições são definidos por números reais difusos triangulares, correspondendo o valor cM aos parâmetros rígidos do modelo, e o valor do nível de pertença das funções membro associadas a esses coeficientes, t, é comum a todas as restrições.

Alterando os valores de t o vector b~ sofre alterações e, consequentemente, a região admissível pode ser alterada. Se para uma solução básica eficiente, xB=B-1 b~ , alguma(s) das variáveis de decisão tomar(em) valor(es) negativo(s), então essa solução básica torna-se não admissível.

Não sendo os coeficientes das funções objectivo alterados com esta variação, então, para uma dada base eficiente, a matriz dos custos reduzidos, W=CBB-1N-CN, nunca é alterada com a variação do valor de t e, como tal, a condição de optimalidade (condição de admissibilidade do problema dual) nunca é posta em causa.

Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes dos termos independentes for continuamente alterado, então as regiões de indiferença nos diferentes Λ obtidos, associadas às várias soluções básicas eficientes do problema não irão variar de maneira contínua (em tamanho e forma), como acontecia anteriormente para os coeficientes das funções objectivo, mas variarão bruscamente, aparecendo e desaparecendo, conforme as soluções básicas associadas aos pontos extremos eficientes se tornam admissíveis e não admissíveis, respectivamente, devido a alterações em xB=B-1 b~ .

Seleccionando conjuntos de pesos em zonas não preenchidas com regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ, correspondente a um determinado valor de t, novas bases eficientes podem ser calculadas usando o método dual simplex a partir da solução eficiente inicialmente calculada para aquele conjunto de pesos considerando os coeficientes rígidos (valores de cM para os coeficientes dos lados direitos das restrições).

Se o conjunto de pesos seleccionado corresponder a uma zona do diagrama paramétrico ainda não preenchida em ambiente rígido com regiões de indiferença, é sugerido ao AD o cálculo prévio dessa solução básica eficiente, considerando os parâmetros rígidos (iniciais) do modelo.

IV.1.3 Introdução de nova variável de decisão com coeficientes difusos Consideremos que se pretende introduzir no modelo uma nova variável de decisão, xnova. Sejam nova. A

~ e nova. C

~ os vectores dos coeficientes na matriz tecnológica

e na matriz das funções objectivo correspondentes à nova variável, respectivamente. Cada um dos coeficientes destes vectores é definido por um número real difuso triangular.

A introdução de uma nova variável de decisão num problema de programação linear multiobjectivo significa a criação de uma nova dimensão no espaço das variáveis


89

de decisão. O problema de programação linear multiobjectivo (II.1) toma agora a seguinte forma:

max [C ¦ nova. C~ ] [x ¦ xnova]

T (IV.2)

s.a [A ¦ nova. A

~ ] [x ¦ xnova]T ≤ b

x ≥ 0, xnova ≥ 0

Seja nova.W = CBB-1nova. A

~- nova. C

~ o vector dos custos reduzidos correspondente

à nova variável de decisão; uma base eficiente B permanece eficiente em relação ao problema aumentado (IV.2) se e só se o sistema

λT W ≥ 0 (IV.3a) λ ∈ Λ

λT nova.W ≥ 0 (IV.3b)

for coerente (Antunes e Clímaco, 1992), ou seja, a base B permanece eficiente se houver pelo menos um ponto no diagrama paramétrico que satisfaça (IV.3a) e (IV.3b).

A nova variável de decisão pode ser classificada, em relação a uma dada solução eficiente anteriormente calculada, do seguinte modo:

• xnova é não básica não eficiente. A introdução da nova variável no modelo não irá afectar a solução eficiente anteriormente seleccionada, porque a nova restrição (IV.3b) adicionada não é activa relativamente à região de indiferença, definida por (IV.3a), no diagrama paramétrico Λ.

• xnova é não básica eficiente. Para uma solução eficiente seleccionada, a nova restrição (IV.3b) intersecta a região de indiferença definida por (IV.3a), no diagrama paramétrico Λ. Ou seja, a região definida por (IV.3a) é parcialmente cortada por (IV.3b). Isto significa que esta solução continuou eficiente, embora menos estável no tocante à variação dos pesos (uma vez que a correspondente área da região de indiferença em Λ diminuiu), mas algumas das arestas e faces às quais esta solução pertencia deixaram de ser eficientes para o problema aumentado (dado que apenas parte da anterior região de indiferença em Λ se mantém preenchida por esta solução eficiente em 1n+ℜ ). A nova dimensão, no espaço das variáveis de decisão, levou ao aparecimento de novas arestas eficientes que unem a solução eficiente seleccionada a novas soluções básicas eficientes (do problema aumentado), assim como, possivelmente, novas faces eficientes. Pode ser importante conhecer as novas soluções básicas eficientes que foram criadas devido à nova dimensão, bem como as novas arestas e faces eficientes às quais a solução eficiente anteriormente calculada passou a pertencer e/ou deixou de pertencer em 1n+ℜ . As novas soluções básicas eficientes, que irão ocupar no diagrama paramétrico Λ a zona da região de indiferença anteriormente preenchida pela solução seleccionada do problema original e agora não preenchida no problema aumentado, terão como variável básica xnova (dado que nenhuma das soluções


90

extremas não eficientes em nℜ se pode tornar eficiente em 1n+ℜ ). Pode ser interessante efectuar uma pesquisa progressiva e selectiva na zona da região de indiferença de Λ agora não preenchida (e na zona circundante se esta também não estiver preenchida) e calcular as novas soluções básicas eficientes.

• xnova deve ser tornada básica. Em relação à solução eficiente seleccionada, a nova restrição (IV.3b) forma juntamente com as restrições definidas por (IV.3a), um sistema não coerente. Isto significa que esta solução eficiente, assim como as arestas que a ela uniam e as faces às quais pertencia, deixaram de ser eficientes para o problema aumentado. As novas soluções básicas eficientes que irão ocupar no diagrama paramétrico Λ a zona da região de indiferença correspondente à solução eficiente anteriormente calculada terão como variável básica xnova. Uma pesquisa progressiva e selectiva desta zona de Λ (e da zona circundante se esta também não estiver preenchida), possibilitará calcular novas soluções básicas eficientes do problema aumentado.

Dado que os coeficientes na matriz tecnológica e na matriz das funções objectivo da nova variável são números reais difusos, a condição (IV.3b) irá depender analiticamente dos valores das funções membro associadas aos números difusos, ou seja dos níveis de pertença correspondentes.

Consideremos dois níveis de pertença distintos (para as funções membro correspondentes aos parâmetros difusos):

• um nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes de nova. C

~, c, comum a todas as funções objectivo;

• um nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes de nova. A

~, a, comum a todas as restrições.

Para um determinado valor de a e de c, é sempre possível saber como a nova variável de decisão pode ser classificada, em relação a cada uma das soluções eficientes inicialmente calculadas. Para cada uma das soluções eficientes iniciais, basta intersectar a nova restrição (IV.3b) com a correspondente região definida por (IV.3a) e verificar no diagrama paramétrico Λ como a região de indiferença foi afectada: pode não ter sofrido qualquer alteração ou ter sido total ou apenas parcialmente cortada. Ou seja, as regiões de indiferença associadas às soluções eficientes iniciais do problema podem ser progressivamente cortadas ou aumentadas (conforme a nova restrição (IV.3b) se for deslocando), podendo mesmo, no caso limite, desaparecer ou manter a forma inicial, consoante xnova é não básica eficiente, deva ser tornada básica ou é não básica não eficiente em relação às soluções eficientes iniciais, respectivamente.

O AD pode variar dinamicamente os valores dos níveis de pertença a e c e observar no diagrama paramétrico Λ as alterações ocorridas nas várias regiões de indiferença associadas às soluções básicas eficientes pesquisadas. Se esses valores forem continuamente variados, então as regiões de indiferença em Λ associadas às várias soluções básicas eficientes do problema podem ser progressivamente alteradas (devido às alterações em nova.W = CBB-1

nova. A~

- nova. C~

, ou também em W=CBB-1A se uma nova base com xnova variável básica estiver a ser considerada) ou podem aparecer e desaparecer


91

bruscamente (quando as correspondentes soluções associadas às bases eficientes se tornam admissíveis ou não, respectivamente).

Seleccionando conjuntos de pesos em zonas de Λ não preenchidas com regiões de indiferença, para o problema aumentado com a nova variável de decisão, novas soluções básicas eficientes podem ser calculadas, usando o método simplex, a partir do quadro simplex multiobjectivo correspondente à solução eficiente seleccionada pelo AD de entre as inicialmente calculadas.

Para o caso da introdução duma nova variável de decisão com coeficientes difusos foram efectuados dois tipos de estudo: uma análise exaustiva para determinados valores de a e c (ou seja, o estudo pormenorizado de uma situação específica) ou uma análise comparativa das alterações ocorridas numa solução eficiente inicial seleccionada3 (e na respectiva fronteira eficiente circundante), com a variação contínua dos valores dos níveis de pertença a ou c (ou seja, o estudo dinâmico de diferentes situações).

IV.1.3.1 Análise global à introdução de uma nova variável de decisão

Neste tipo de análise fixam-se valores para ambos os níveis de pertença das funções membro, a e c, e faz-se um pesquisa, tão exaustiva quanto o AD deseje, em determinadas zonas do diagrama paramétrico Λ (ou mesmo em todo o Λ, se o problema não possuir muitas soluções básicas eficientes e/ou o AD assim o desejar).

Depois de investigar o que acontece a cada uma das soluções eficientes inicialmente calculadas, o AD pode rever as soluções em relação às quais a nova variável é não básica eficiente, ou seleccionar conjuntos de pesos em zonas do diagrama paramétrico Λ não preenchidas com regiões de indiferença e determinar novas soluções básicas eficientes.

Este tipo de estudo pode ser proveitoso tanto numa fase inicial, de modo a ser possível adquirir um conhecimento mais genérico das consequências decorrentes da introdução da nova variável no modelo, como depois de já se ter efectuado o estudo comparativo dinâmico das alterações ocorridas numa solução seleccionada para diferentes valores de a e c, e se desejar efectuar um estudo mais pormenorizado para valores específicos dos níveis de pertença.

O AD pode começar por fazer uma análise deste tipo para os valores de a=1 e c=1, ou seja, pode começar por ver como a introdução da nova variável de decisão afectaria as soluções eficientes inicialmente calculadas, se os coeficientes afectos a essa nova variável fossem aqueles que apresentam maior nível de pertença para todas as funções membro presentes (valores modais cM). 3 Durante esta análise, podem ser estudadas várias soluções eficientes inicialmente calculadas se o AD desejar (com o aumento de complexidade na análise), bastando para tal efectuar o estudo comparativo simultâneo das correspondente alterações ocorridas no novo diagrama paramétrico Λ, com a variação contínua dos valores dos níveis de pertença a e c. Se o AD pretender estudar muitas soluções ao mesmo tempo (e se estas não forem adjacentes), é de prever que a análise se torne um pouco mais complexa, dada a quantidade de soluções básicas a comparar, em especial na situação em que o valor do nível de pertença a varia (quando a varia, as regiões de indiferença no diagrama paramétrico podem não só variar continuamente, em forma e tamanho, mas também aparecer e desaparecer bruscamente, devido à respectiva admissibilidade).


92

IV.1.3.2 Análise dinâmica das alterações ocorridas numa solução seleccionada

Se o AD se mostrar interessado nas características de uma solução eficiente específica obtida inicialmente, pode variar continuamente os valores de a ou c e observar dinamicamente as alterações ocorridas no diagrama paramétrico Λ.

A análise efectuada nesta situação é parecida com o estudo anteriormente realizado para o caso em que os coeficientes das funções objectivo ou dos termos independentes das restrições eram difusos. O AD pode não só determinar quais as gamas de variação para a ou c em que xnova deve ser tornada básica, é não básica eficiente ou é não básica não eficiente em relação a cada uma das solução eficiente inicialmente calculadas, como também pesquisar as novas soluções básicas eficientes para as quais as respectivas regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ, para o problema aumentado, se sobrepõem à região de indiferença inicial correspondente a uma solução básica eficiente particular seleccionada de entre as soluções básicas eficientes calculadas em ambiente rígido.

Se as zonas circundantes da região de indiferença associada à solução eficiente seleccionada para o problema original, ou das novas regiões de indiferença entretanto pesquisadas para o problema aumentado, no diagrama paramétrico Λ em análise, também se encontrarem por preencher, poderá haver interesse em efectuar uma pesquisa localizada (nessas zonas) de modo a determinar as novas arestas e faces eficientes às quais a solução básica eficiente seleccionada ou as novas soluções básicas eficientes difusas em análise passaram a pertencer ou deixaram de pertencer.

A alteração contínua dos valores de a ou c possibilita observar dinamicamente a evolução das várias soluções básicas eficientes em estudo, assim como das várias arestas e faces eficientes através de um estudo comparativo dos diferentes diagramas paramétricos Λ obtidos.

Alteração no valor de nível de pertença c

Na situação em que apenas é modificado o valor do nível de pertença associado aos coeficientes do vector nova. C

~, c, (tomando a um valor constante) só estão a ser

modificados os coeficientes correspondentes à nova variável de decisão nas funções objectivo, ou seja, em 1n+ℜ a fronteira da região admissível assim como os respectivos pontos extremos não sofrem alterações, muito embora a região eficiente possa ser alterada.

Com a alteração contínua do valor do nível de pertença c, as regiões de indiferença no diagrama paramétrico dos pesos, Λ, associadas às soluções básicas eficientes em estudo irão alterar-se continuamente, em forma e tamanho, como acontecia no caso em que os coeficientes das funções objectivo (das variáveis de decisão iniciais do modelo) eram difusos.

Alteração no valor de nível de pertença a

Nesta situação, o valor do nível de pertença associado ao vector dos coeficientes na matriz tecnológica da nova variável de decisão nova. A

~, a, irá variar dinamicamente

IV.2 - Exemplo Ilustrativo

93

(tomando c um valor constante). Assim sendo, a fronteira da região admissível (assim como os respectivos pontos extremos) em 1n+ℜ poderá ser alterada.

Com a alteração contínua do valor do nível de pertença a, as regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ, associadas às soluções básicas eficientes em estudo irão não só alterar-se continuamente, em forma e tamanho, como poderão aparecer e desaparecer bruscamente, conforme as soluções básicas associadas aos pontos extremos eficientes se tornam admissíveis e não admissíveis, respectivamente.

IV.2 Exemplo ilustrativo

Para ilustrar o funcionamento da abordagem proposta, vamos estudar o seguinte problema de programação linear multiobjectivo:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++−−++−−+−+++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

4321

4321

4321

4) 2, (0, 4) 1, (0, 8) 5, (1, 0) 1, 3,( 5) 4, (1, 6) 2, (1, )3,1,5( 4) 1, (0, 5) 1, 2,( 6) 2, (1, 9) 1, (0, 5) 3, (1,

max ~~~

max

3

2

1

xxxxxxxxxxxx

fff

s.a

80) 60, (20, 3 4 2 4321 ≤+++ xxxx (c1) 75) 60, (45, 2 4 3 4321 ≤+++ xxxx (c2) 100) 50, (25, 4 3 2 4321 ≤+++ xxxx (c3)

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Note-se que, se considerarmos apenas os valor modais cM dos números reais difusos triangulares, este problema transforma-se no anteriormente estudado no capítulo III. Este exemplo também já foi alvo de um estudo de análise de sensibilidade em (Antunes, 1991).

A ideia essencial da abordagem difusa proposta não é a de efectuar um estudo exaustivo, para todo o conjunto de soluções básicas eficientes (com o correspondente preenchimento total dos vários diagramas paramétricos Λ com regiões de indiferença) e para todos os valores dos níveis de pertença. Pelo contrário, pretende-se, em geral, permitir uma análise comparativa, nos vários diagramas paramétricos estudados, da evolução das soluções básicas eficientes que o AD deseje. Contudo, a análise exaustiva será efectuada ao longo de praticamente todo o exemplo, não só por questões ilustrativas, mas também pelo facto de a abordagem não se ter mostrado computacionalmente pesada. No entanto, se por algum motivo o AD não estiver interessado em efectuar um estudo exaustivo, pode deixar zonas de Λ por pesquisar ou estudar apenas alguns dos valores dos níveis de pertença (por exemplo, valores acima de um determinado nível α).

Consideremos para coeficientes iniciais do problema os valores associados ao nível de pertença máximo dos números reais difusos triangulares, ou seja, para parâmetros rígidos do modelo os valores modais cM. A pesquisa progressiva e selectiva das oitos soluções básicas não dominadas representadas na figura IV.3 levou ao preenchimento total do diagrama paramétrico com regiões de indiferença. As


94

características destas soluções extremas encontram-se descritas na tabela IV.1, onde sl_c1, sl_c2 e sl_c3 são as variáveis folga (“slacks”) correspondentes às restrições (c1), (c2) e (c3), respectivamente.

(a) Regiões de indiferença em Λ


Figura IV.3 – Soluções básicas eficientes iniciais (em ambiente rígido)4.

Tabela IV.1 – Soluções básicas eficientes iniciais (em ambiente rígido).

Solução f1 f2 f3 Área (%) xB

1 66.000 30.000 -12.000 13.4344 x1=18.0; x3=6.0; sl_c3=14.0

2 51.000 50.000 4.000 17.0067 x1=14.0; x4=9.0; sl_c1=5.0

3 15.000 -15.000 75.000 1.2500 x2=15.0; sl_c1=45.0; sl_c3=20.0

4 12.500 50.000 25.000 7.8717 x4=12.5; sl_c1=22.5; sl_c2=35.0

5 18.333 15.000 71.667 17.0262 x2=11.667; x4=6.667; sl_c1=28.333

6 29.000 3.000 73.000 23.7050 x2=13.0; x3=8.0; sl_c1=15.0

7 55.500 47.500 2.000 15.0880 x1=14.5; x3=2.5; x4=7.0

8 48.500 19.500 37.000 4.6179 x1=7.5; x2=7.0; x3=9.5

IV.2.1 Coeficientes difusos nas funções objectivo

Suponhamos que o AD se mostrou particularmente interessado nas características da solução 8, e deseja estudar o que acontece às soluções inicialmente calculadas se os

4 A etiqueta presente nas projecções f1-f2 no espaço dos objectivos apresentadas corresponde à: identificação da solução/valor de f3.


95

coeficientes das funções objectivo presentes forem difusos (definidos pelos números difusos triangulares anteriores).

Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas a esses coeficientes, y, for contínua e interactivamente alterado5 é possível visualizar dinamicamente as alterações, em forma e tamanho, das várias regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ. Algumas das soluções podem deixar de ter associada uma região de indiferença, o que significa que se tornaram dominadas, e novas soluções básicas eficientes podem ser pesquisadas, considerando conjuntos de pesos em zonas de Λ não preenchidas com regiões de indiferença para o valor do nível de pertença considerado. Tabela IV.2 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.5000L).

Solução (y=0.5000L) f1 f2 f3 Área (%)

Número de iterações xB

1 Difuso 45.000 18.000 -33.000 22.1887 - x1=18.0; x3=6.0; sl_c3=14.0

2 Difuso 23.500 29.500 -19.000 1.0288 - x1=14.0; x4=9.0; sl_c1 = 5.0

3 Difuso 7.500 -45.000 45.000 1.5385 - x2=15.0; sl_c1=45.0; sl_c3=20.0

4 Difuso -6.250 31.250 12.500 16.2110 - x4=12.5; sl_c1=22.5; sl_c2 = 35.0

5 Difuso 2.500 -18.333 41.667 3.2554 - x2=11.667; x4=6.667; sl_c1=28.333

6 Difuso 18.500 -27.000 43.000 26.0192 - x2=13.0; x3=8.0; sl_c1=15.0

7 Difuso 29.250 28.500 -20.750 7.3467 - x1=14.5; x3=2.5; x4=7.0

8 Difuso 32.750 -3.000 10.750 3.7399 - x1=7.5; x2=7.0; x3=9.5

Rígido 28.572 37.143 18.571 Dominada A Difuso 17.857 26.429 9.286 13.4088 2

x3=12.867; x4=2.857; sl_c2=41.429

Rígido 32.000 24.000 34.000 Dominada B

Difuso 23.000 9.000 19.000 3.6183 1

x2=4.0; x3=14.0; sl_c2=30.0

Rígido 30.000 30.000 15.000 Dominada C

Difuso 22.500 22.500 7.500 1.6447 2

x3=15.0; sl_c2=45.0; sl_c3=5.0

Por exemplo, considerando y=0.5000L obtemos os valores da tabela IV.2 e os gráficos da figura IV.4. As áreas das regiões de indiferença, assim como os valores das funções objectivo associados às soluções não dominadas previamente obtidas encontram-se alteradas6. Nesta situação, é possível calcular 3 novas soluções extremas não dominadas, A, B e C, cujas características se encontram também descritas na tabela IV.2. Todas estas novas soluções possuem zonas, nas respectivas regiões de indiferença no diagrama paramétrico dos pesos Λ, que inicialmente se encontravam preenchidas pela região de indiferença correspondente à solução 8.

5 Na implementação computacional utilizada, foi usado um incremento de 1/300=0.0033 para a variação dos valores numéricos dos níveis de pertença das funções membro. 6 Os valores das variáveis de decisão correspondentes às soluções eficientes iniciais apresentados nas tabelas IV.2, IV.3 e IV.4 são iguais aos apresentados na tabela IV.1, pois a região admissível não é alterada nesta situação.


96



Figura IV.4 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.5000L).

Para y=0.0000L obtemos os gráficos da figura IV.5. As soluções básicas 2, 4, 5, 7 e 8 tornam-se dominadas, uma vez que as respectivas regiões de indiferença ficam com área nula. No tocante às soluções básicas 1, 3 e 6, assim como às 3 novas soluções não dominadas A, B e C (previamente obtidas com y=0.5000L), embora se mantenham não dominadas, as respectivas regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ sofrem variações, em forma e tamanho, e os valores numéricos das funções objectivo associados alteram-se (como pode ser visto na tabela IV.3).

Tabela IV.3 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.0000L).

Solução (y=0.0000L) f1 f2 f3 Área (%)


1 Difuso 24.000 6.000 -54.000 7.1429 - x1=18.0; x3=6.0; sl_c3=14.0

3 Difuso 0.000 -75.000 15.000 2.0000 - x2=15.0; sl_c1=45.0; sl_c3=20.0

6 Difuso 8.000 -57.000 13.000 7.0000 - x2=13.0; x3=8.0; sl_c1=15.0

Rígido 28.572 37.143 18.571 Dominada A Difuso 7.143 15.714 0.000 8.1111 2

x3=12.867; x4=2.857; sl_c2=41.429

Rígido 32.000 24.000 34.000 Dominada B Difuso 14.000 -6.000 4.000 3.7937 1

x2=4.0; x3=14.0; sl_c2=30.0

Rígido 30.000 30.000 15.000 Dominada C Difuso 15.000 15.000 0.000 71.9524 2

x3=15.0; sl_c2=45.0; sl_c3=5.0

Para y=0.0000R (figura IV.6 e tabela IV.4) apenas as soluções básicas 6 e 8 inicialmente obtidas em ambiente rígido se mantêm não dominadas, tendo as respectivas regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ sofrido alterações, em forma e tamanho, assim como os valores numéricos das correspondentes funções objectivo.


97



Figura IV.5 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.0000L).

Tabela IV.4 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.0000R).

Solução (y=0.0000R) f1 f2 f3 Área (%) xB

6 Difuso 165.000 87.000 136.000 75.4386 x2=13.0; x3=8.0; sl_c1=15.0

8 Difuso 157.500 108.000 94.000 24.5614 x1=7.5; x2=7.0; x3=9.5



Figura IV.6 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.0000R).

Se alterarmos continuamente o valor do nível de satisfação y desde 0.0000L até 0.0000R, obtêm-se os resultados apresentados na tabela IV.5 e na figura IV.7 ((a) a (n)).


98

(a) (y=0.0000L)

(c) (y=0.0833L)

(e) (y=0.2733L)

(b) (y=0.0433L)

(d) (y=0.1067L)

(f) (y=0.3433L)

Figura IV.7 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos ((ccoonnttiinnuuaa)).


99

(g) (y=0.5800L)

(i) (y=0.8900R)

(k) (y=0.7033R)

(h) (y=0.7733L)

(j) (y=0.7600R)

(l) (y=0.5567R)

Figura IV.7 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos ((ccoonnttiinnuuaa)).


100

(m) (y=0.0067R)

(n) (y=0.0000R)

Figura IV.7 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos.

Tabela IV.5 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos.

y ∈ Soluções eficientes iniciais Novas soluções eficientes

(i) [ 0.0000L; 0.0433L [ 1, 3, 6 A, B, C (ii) [ 0.0433L; 0.0833L [ 1, 3, 6, 8 A, B, C (iii) [ 0.0833L; 0.1067L [ 1, 3, 6, 8, 4 A, B, C (iv) [ 0.1067L; 0.2733L [ 1, 3, 6, 8, 4, 5 A, B, C (v) [ 0.2733L; 0.3433L [ 1, 3, 6, 8, 4, 5, 7 A, B, C (vi) [ 0.3433L; 0.5800L [ 1, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 A, B, C (vii) [ 0.5800L; 0.7733L [ 1, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 A, B (viii) [ 0.7733L; 0.7767L [ 1, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 A (ix) [ 0.7767L; 0.8867R [ 1, 3, 6, 8, 4, 5, 7, 2 (x) [ 0.8867R; 0.7567R [ 1, 6, 8, 4, 5, 7, 2 (xi) [ 0.7567R; 0.7000R [ 1, 6, 8, 5, 7, 2 (xii) [ 0.7000R; 0.5533R [ 1, 6, 8, 7 (xiii) [ 0.5533R; 0.0033R [ 6, 8, 7

(xiv) [ 0.0033R; 0.0000R ] 6, 8

Na figura IV.8(a) e IV.8(b) encontram-se apresentados os diagramas paramétricos correspondentes respectivamente aos limites inferior e superior de y, para os quais as novas regiões de indiferença agora ocupadas pela solução básica 8 (em análise) deixaram de intersectar a região inicialmente ocupada por esta solução.

De facto, estes valores não são mais do que os limites mínimos e máximos da gama admissível para o parâmetro escalar, obtidos por intermédio de análise de sensibilidade em programação linear multiobjectivo (Antunes e Clímaco, 1992), tal que para uma dada solução eficiente seleccionada pelo AD a intersecção das regiões de indiferença do problema perturbado e não perturbado é não vazia. Estes valores podem


101

ser facilmente determinados por intermédio de um cálculo similar ao explicado em (Antunes e Clímaco, 1992).

(a) (y=0.1800L) - limite mínimo

(b) (y=0.6767R) - limite máximo

Figura IV.8 – Limites da gama admissível para o parâmetro escalar y, obtidos por análise de sensibilidade em PLMO.

Note-se que, os respectivos diagramas paramétricos podem não existir, significando com isso que para um valor do nível de pertença y desde 0.0000L até 1.0000 ou desde 1.0000 até 0.0000R respectivamente, as correspondentes regiões de indiferença em Λ nunca deixam de intersectar a região de indiferença inicial associada à solução em análise.

Os resultados apresentados na figura IV.7 e na tabela IV.5 podem ser interpretados de modo diferente se tivermos em atenção a noção de corte de nível α de um conjunto difuso (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996). Por vezes, poderá ter interesse em saber-se quais as soluções básicas eficientes calculadas pertencem à fronteira eficiente do problema difuso, se o valor do nível de pertença das funções membro consideradas (associadas aos coeficientes das funções objectivo), y, for de pelo menos α. Por exemplo, considerando um nível de pertença das funções membro y de pelo menos 0.8000, apenas é possível alcançar as soluções básicas eficientes iniciais 1 a 8 (gamas (ix) e (x) da tabela IV.5). Para um nível de pertença de pelo menos 0.7500 já é possível alcançar também as soluções básicas eficientes A e B (gamas (vii) a (xi) da tabela IV.5). Mas se o nível de pertença das funções membro y for de pelo menos 0.5767 já é possível alcançar todas as soluções determinadas durante a análise (aos coeficientes das funções objectivo difusos), ou seja, as soluções 1 a 8 e A a C (gamas (vi) a (xii) da tabela IV.5).

Uma análise equivalente pode ser efectuada se algumas das funções membro associadas aos coeficientes das funções objectivo forem alteradas, através da modificação de alguns dos valores de cL e/ou cR correspondentes.

IV.2.2 Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais

Consideremos que o AD também deseja analisar o comportamento das soluções básicas eficientes obtidas inicialmente em ambiente rígido, se alguns dos coeficientes dos


102

lados direitos das restrições funcionais forem definidos pelos números reais difusos triangulares apresentados anteriormente. Nesta situação, as várias regiões de indiferença (associadas às bases eficientes) no diagrama paramétrico Λ, apenas irão sofrer alterações em tamanho com a variação do nível de pertença das funções membro associadas a esses coeficientes, t.

Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais, t, for contínua e interactivamente alterado, as várias regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ irão aparecer ou desaparecer bruscamente, significando com isso que as soluções básicas que lhe estão associadas se tornam, respectivamente, admissíveis e não admissíveis para as funções membro consideradas. Escolhendo conjuntos de pesos em zonas de Λ não preenchidas com regiões de indiferença para o valor do nível de pertença t considerado, novas soluções básicas eficientes podem ser pesquisadas em ambiente difuso.

Se, para as funções membro consideradas, alterarmos continuamente o nível de pertença t desde 0.0000L até 0.0000R obtemos os resultados apresentados nas tabelas IV.6 e IV.7 e nas figuras IV.9 a IV.17. Tabela IV.6 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando

80) 60, (20,~1 =b , 75) 60, (45,~

2 =b e 100) 50, (25,~3 =b .

t ∈ Bases eficientes iniciais Novas bases eficientes

(i) [ 0.0000L; 0.3333L [ 3, 4, 5, 6, 8 A, B, C, D (ii) [ 0.3333L; 0.7533L [ 1, 3, 4, 5, 6, 8 C, D, E (iii) [ 0.7533L; 0.6833R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (iv) [ 0.6833R; 0.6000R [ 1, 2, 3, 4, 5, 7 F, G (v) [ 0.6000R; 0.0000R ] 1, 3, 4, 5 F, G, C, D, E

Tabela IV.7 – Novas bases eficientes obtidas durante a análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando 80) 60, (20,~

1 =b , 75) 60, (45,~2 =b e 100) 50, (25,~

3 =b .

Bases Área (%) xB

A 8.4209 (x1; x2; sl_c3)

B 12.2093 (x1; sl_c2; sl_c3)

C 6.4980 (x1; x2; x4)

D 18.4010 (x1; x4; sl_c2)

E 7.1958 (x1; x4; sl_c3)

F 11.8841 (x2; x3; x4)

G 16.4388 (x2; x3; sl_c3)

Nas figuras IV.10, IV.12, IV.15 e IV.17 encontram-se representadas as projecções em f1-f2 (espaço dos objectivos), correspondentes aos valores de t que são extremos dos intervalos associados aos diagramas paramétricos Λ, respectivamente apresentados nos gráficos das figuras IV.9 (gama (i) na tabela IV.6), IV.11 (gama (ii) na tabela IV.6), IV.14


103

(gama (iv) na tabela IV.6) e IV.16 (gama (v) na tabela IV.6). A figura IV.13 representa as projecções em f1-f2, correspondentes aos valores de t que são extremos do intervalo onde apenas as soluções básicas eficientes (associadas às bases) inicialmente calculadas em ambiente rígido podem ser alcançadas, isto é, se mantêm admissíveis (gama (iii) na tabela IV.6 e gráfico do espaço paramétrico Λ apresentado na figura IV.3(a)).

Figura IV.9 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando

80) 60, (20,~1 =b , 75) 60, (45,~

2 =b e 100) 50, (25,~3 =b ; bases eficientes para t ∈ [ 0.0000L; 0.3333L [.

(a) t=0.0000L

(b) t=0.3300L

Figura IV 10 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando 80) 60, (20,~

1 =b , 75) 60, (45,~2 =b e 100) 50, (25,~

3 =b ; projecção f1-f2 no espaço dos objectivos.

Analisando os gráficos das figuras IV.10, IV.12, IV.14, IV.15 e a IV.17, podemos concluir que os valores numéricos, correspondentes às soluções básicas eficientes representadas (associadas às bases eficientes iniciais e às novas bases eficientes apresentadas na tabela IV.7), irão variar continuamente com a variação de t.

Comparando as figuras IV.9 com IV.11 e IV.10(b) com IV.12(a), verificamos que para um valor de t (a aumentar) entre 0.3300L e 0.3333L as soluções básicas eficientes A e B se tornam não admissíveis, indo dar lugar às soluções básicas eficientes 1 e E, as quais eram anteriormente não admissíveis.


104


80) 60, (20,~1 =b , 75) 60, (45,~

2 =b e 100) 50, (25,~3 =b ; bases eficientes para t ∈ [ 0.3333L; 0.7533L [.

(a) t=0.3333L

(b) t=0.7500L


80) 60, (20,~1 =b , 75) 60, (45,~

2 =b e 100) 50, (25,~3 =b ; projecção f1-f2 no espaço dos objectivos.

Uma conclusão semelhante pode ser retirada, para as soluções C, D e E e 2 e 7, da comparação das figuras IV.11 com IV.3(a) e IV.12(b) com IV.13(a) e da análise dos valores das tabelas IV.8 e IV.9. Como pode ser verificado na tabela IV.8, para t=0.7500L, as soluções básicas C, D e E tornam-se degeneradas, indo originar as soluções básicas 2 e 7, as quais também são degeneradas para esse valor de t7. A partir da tabela IV.9 podemos constatar que as soluções básicas eficientes (associadas às bases) 2 e 7 têm, respectivamente, um valor de sl_c1 e de x3 quase nulo para t=0.7533L. Além disso, todas estas soluções (C, D e E na tabela IV.8 e 2 e 7 tabela IV.9) têm conjuntamente na base as variáveis x1 e x4. 7 Se o incremento nos valores numéricos dos níveis de pertença das funções membro utilizado na implementação computacional fosse mais pequeno (t inferior ao valor 1/300 usado) era de esperar que as soluções A e B (na figura IV.10(b)), 1 e E (na figura IV.12(a)), C, D e E (na figura IV.12(b)), 2 e 7 (na figura IV.13(a)), 6 e 8 (na figura IV.13(b)), F e G (na figura IV.15(a)), 2 e 7 (na figura IV.15(b)), assim como C, D e E (na figura IV.17(a)), se tornassem efectivamente degeneradas para um determinado valor do nível t.


105

Tabela IV.8 – Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais (t=0.7500L).

Base (t=0.7500L) f1 f2 f3 Área (%)

Solução de partida


1 60.000 25.000 -13.750 13.4344 - - x1=17.5; x3=3.75; sl_c3=15.0

3 14.063 -14.063 70.313 1.2500 - - x2=14.063; sl_c1=35.938; sl_c3=15.625

4 10.938 43.750 21.875 7.8718 - - x4=10.094; sl_c1=17.188; sl_c2=34.375

5 16.667 9.375 67.708 17.0262 - - x2=11.458; x4=5.208; sl_c1=22.917

6 25.000 0.000 68.750 23.7050 - - x2=12.5; x3=56.25; sl_c1=12.5

8 41.250 13.750 38.750 4.6179 - - x1=6.25; x2=7.5; x3=7.5

C 48.750 43.750 1.250 6.4980 7 1 x1=13.75; x2=0.0; x4=7.5

D 48.750 43.750 1.250 18.4010 7 1 x1=13.75; x4=7.5; sl_c2=0.0

E 48.750 43.750 1.250 7.1958 7 1 x1=13.75; x4=7.5; sl_c3=0.0 Tabela IV.9 – Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais.(t=0.7533L).

Base (t=0.7533L) f1 f2 f3 Área (%) xB

1 60.072 25.060 -13.729 13.4344 x1=17.506; x3=3.777; sl_c3=14.988

2 48.777 43.825 1.283 17.0067 x1=13.753; x4=7.518; sl_c1 = 0.060

3 14.074 -14.074 70.369 1.2500 x2=14.074; sl_c1=36.046; sl_c3=15.678

4 10.956 43.825 21.913 7.8717 x4=10.956; sl_c1=17.251; sl_c2=34.383

5 16.687 9.443 67.756 17.0262 x2=11.461; x4=15.226; sl_c1=22.982

6 25.048 0.036 68.801 23.7050 x2=12.506; x3=6.271; sl_c1=12.530

7 48.831 43.795 1.259 15.0880 x1=13.759; x3=0.030; x4=7.494

8 41.337 13.819 38.729 4.6179 x1=6.265; x2=7.494; x3=7.524

(a) t=0.7533L

(b) t=0.6867R

Figura IV.13 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando 80) 60, (20,~

1 =b , 75) 60, (45,~2 =b e 100) 50, (25,~



106


80) 60, (20,~1 =b , 75) 60, (45,~

2 =b e 100) 50, (25,~3 =b ; bases eficientes para t ∈ [ 0.6833R; 0.6000R [.

(a) t=0.6833R

(b) t=0.6033R

Figura IV.15 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando 80) 60, (20,~

1 =b , 75) 60, (45,~2 =b e 100) 50, (25,~



80) 60, (20,~1 =b , 75) 60, (45,~

2 =b e 100) 50, (25,~3 =b ; bases eficientes para t ∈ [ 0.6000R; 0.0000R ].


107

A análise das figuras IV.3(a) e IV.14 juntamente com as figuras IV.13(b) e IV.15(a), assim como das figuras IV.14 e IV.16 juntamente com as figuras IV.15(b) e IV.17(a), possibilita chegar a conclusões similares: para um valor de t entre 0.6867R e 0.6833R as soluções básicas eficientes 6 e 8 tornam-se não admissíveis e concomitantemente vão dar origem às soluções básicas eficientes F e G o mesmo acontecendo às soluções básicas eficientes 2 e 7 e C, D e E para um valor de t entre 0.6033R e 0.6000R.

(a) t=0.6000R

(b) t=0.0000R


80) 60, (20,~1 =b , 75) 60, (45,~

2 =b e 100) 50, (25,~3 =b ; projecção f1-f2 no espaço dos objectivos.

Tabela IV.10 – Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais (t=0.0000R).

Base (t=0.0000R) f1 f2 f3 Área (%)

Solução de partida


1 84.000 40.000 -13.000 13.4344 - - x1=22.0; x3=9.0; sl_c3=51.0

3 18.750 -18.750 93.750 1.2500 - - x2=18.75; sl_c1=61.25; sl_c3=62.5

4 25.000 100.000 50.000 7.8718 - - x4=25.0; sl_c1=5.0; sl_c2=25.0

5 29.167 75.000 83.333 17.0262 - - x2=8.333; x4=20.833; sl_c1=9.167

C 42.000 88.750 56.750 6.4980 7 3 x1=5.5; x2=3.75; x4=21.75

D 36.000 100.000 44.000 18.4010 2 1 x1=4.0; x4=24.0; sl_c2=15.0

E 57.000 85.000 23.000 7.1958 7 1 x1=13.0; x4=18.0; sl_c3=15.0

F 36.500 66.750 84.250 11.8841 8 1 x2=9.25; x3=5.5; x4=16.25

G 47.333 18.000 89.667 16.4388 8 1 x2=14.667; x3=16.333; sl_c3=21.667

Para t=0.0000R obtemos os gráficos das figuras IV.16 e IV.17(b) e os valores numéricos apresentados na tabela IV.10. As soluções básicas eficientes 2, 6, 7 e 8 tornam-se não admissíveis e é possível obter 5 novas soluções básicas eficientes C, D, E, F e G. As regiões de indiferença no espaço paramétrico Λ inicialmente preenchidas pelas soluções básicas 2 e 7 passam a ser ocupadas pelas novas soluções básicas C, D e E; as inicialmente preenchidas pelas soluções básicas 6 e 8 passam a ser ocupadas pelas novas


108

soluções básicas F e G. Os valores numéricos das variáveis básicas e das funções objectivo associadas às soluções inicialmente obtidas sofrem alterações como mostrado na tabela IV.10.

Embora no estudo previamente efectuado (considerando os coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos), o AD não tenha seleccionado uma solução eficiente particular, de entre as inicialmente calculadas, vamos considerar que, tal com anteriormente, ele se mostrou interessado nas características da solução 8. Se o AD estiver interessado em conhecer os limites inferior e superior do parâmetro t, para os quais a região de indiferença associada à solução básica eficiente 8 passa a ter área nula, ou seja, para os quais se torna não admissível, pode sabê-lo de imediato a partir da tabela IV.6 ou pela observação dos diagramas paramétricos anteriores.

Para um valor do nível de satisfação t a variar desde 0.0000L até 1.0000 a solução básica eficiente 8 manteve-se admissível, não existindo consequentemente limite inferior. Para um valor de t a variar desde 1.0000 até 0.0000R, a solução em análise tornou-se não admissível a partir do nível de satisfação t = 0.6833R.

Repare-se que, tal como anteriormente, estes valores não são mais do que os limites mínimo e máximo da gama admissível para o parâmetro escalar, obtidos por intermédio de análise de sensibilidade em programação linear multiobjectivo (Antunes e Clímaco, 1992), tal que para uma dada solução eficiente seleccionada pelo AD as regiões de indiferença do problema perturbado e não perturbado deixam de ser iguais.

Tal como acontecia para o caso em que os coeficientes das funções objectivo eram difusos, também aqui podemos interpretar os resultados apresentados na tabela IV.6 (e nas figuras IV.9 a IV.17) a partir da noção de corte de nível α de um conjunto difuso (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996). O AD pode estar interessado em saber quais das soluções básicas eficientes calculadas se mantêm admissíveis, se o valor do nível de pertença das funções membro consideradas t (associadas aos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais), for de pelo menos α.

Por exemplo, considerando um nível de pertença das funções membro t de pelo menos 0.7533, apenas são admissíveis e eficientes as soluções básicas eficientes iniciais 1 a 8 (gama (iii) da tabela IV.6). Para um nível de pertença de pelo menos 0.7000, já é possível alcançar também as soluções básicas eficientes C, D e E (gamas (ii) e (iii) da tabela IV.6). Para um nível de pertença das funções membro t de pelo menos 0.3300, é possível alcançar todas as soluções básicas eficientes determinadas durante a análise aos coeficientes dos lados direitos das restrições, ou seja, 1 a 8 e A a G (gamas (i) a (v) da tabela IV.6).

Depois de efectuado este primeiro estudo (considerando os coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos), podemos prosseguir analisando como se comportam as diferentes soluções básicas eficientes determinadas, perante a alteração de algumas das funções membro associadas aos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais: não só as soluções obtidas inicialmente em ambiente rígido, como também as obtidas durante análise efectuada previamente.

Consideremos que o AD deseja analisar o que acontece se for alterada a função membro do termo independente da segunda restrição, mais especificamente se o lado direito da restrição (c2) deixar de ser o número real difuso triangular 75) 60, (45, ~

2 =b e passar a ser definido com precisão e com o valor modal do número difuso (b2=60).


109

Se, para estas novas funções membro, alterarmos continuamente o nível de pertença t desde 0.0000L até 0.0000R obtemos os resultados apresentados nas tabelas IV.11 e IV.12 e nas figuras IV.18 e IV.19.

Tabela IV.11 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando 80) 60, (20,~

1 =b , 60 2 =b e 100) 50, (25,~3 =b .


(i) [ 0.0000L; 0.0733L [ 4 B, D, I, J

(ii) [ 0.0733L; 0.2000L [ 4, 8 A, B, C, D, H, I

(iii) [ 0.2000L; 0.5000L [ 3, 4, 5, 6, 8 A, B, C, D (iv) [ 0.5000L; 0.8200L [ 1, 3, 4, 5, 6, 8 C, D, E (v) [ 0.8200L; 0.7267R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (vi) [ 0.7267R; 0.0000R ] 1, 2, 3, 4, 5, 7 F, G

Tabela IV.12 – Novas bases eficientes obtidas durante a análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos, considerando 80) 60, (20,~

1 =b , 60 2 =b e 100) 50, (25,~3 =b .

Bases Área (%) xB

H 3.5094 (x1; x2; sl_c1)

I 38.4718 (x2; sl_c1; sl_c2)

J 23.0462 (x1; x2; sl_c2)

Na figura IV.18 ((a) a (f)) estão representados os vários diagramas paramétricos Λ, obtidos para os diferentes valores de t. Para t ∈ [0.8200L; 0.7267R[, apenas as soluções básicas eficientes inicialmente calculadas em ambiente rígido podem ser alcançadas, isto é, mantêm-se admissíveis (gama (v) na tabela IV.11 e gráfico de Λ apresentado na figura IV.3(a) = figura IV.18(e)).

Se compararmos as tabelas IV.6 com IV.11, podemos notar que elas apresentam algumas similaridades: as soluções básicas eficientes alcançadas na gama (i) da tabela IV.6 (obtida com t ∈ [0.0000L; 0.3333L[) são as mesmas presentes na gama (iii) da tabela IV.11 (obtida com t ∈ [0.2000L; 0.5000L[), o mesmo acontecendo respectivamente às soluções básicas eficientes presentes na gama (ii) da tabela IV.6 (obtida com t ∈ [0.3333L; 0.7533L[) e na gama (iv) na tabela IV.11 (obtida com t ∈ [0.5000L; 0.8200L[). O mesmo se verifica em relação às soluções básicas eficientes presentes na gama (iii) da tabela IV.6 (obtida com t ∈ [0.7533L; 0.6833R[) e na gama (v) na tabela IV.11 (obtida com t ∈ [0.8200L; 0.7267R[), e às soluções básicas eficientes da gama (iv) da tabela IV.6 (obtida com t ∈ [0.6833R; 0.6000R[) e da gama (vi) na tabela IV.11 (obtida com t ∈ [0.7267R; 0.0000R]).

Além disso, quando nos deslocamos de baixo para cima na tabela IV.11 constatamos que as soluções básicas que se mantêm eficientes possuem a folga sl_c2 (correspondente à restrição (c2), para a qual o lado direito da restrição funcional é preciso) como variável básica.

Todas as soluções básicas eficientes alcançadas na gama (i) da tabela IV.11 (obtida com t ∈ [0.0000L; 0.0733L[), 4, B, D, I e J, possuem sl_c2 na base.


110

(a) bases eficientes para t ∈ [ 0.0000L; 0.0733L [

(c) bases eficientes para t ∈ [ 0.2000L; 0.5000L [

(e) bases eficientes para t ∈ [ 0.8200L; 0.7267R [

(b) bases eficientes para t ∈ [ 0.0733L; 0.2000L [

(d) bases eficientes para t ∈ [ 0.5000L; 0.8200L [

(f) bases eficientes para t ∈ [ 0.7267R; 0.0000R]


80) 60, (20,~1 =b , 60 2 =b e 100) 50, (25,~

3 =b .


111

No tocante às soluções básicas 8, A, C e H, presentes na gama (ii) da tabela IV.11 (obtida com t ∈ [0.0733L; 0.2000L[), embora não possuam a folga sl_c2 como variável básica, são as que resultam da (ou vão dar origem à) solução básica eficiente J depois de as correspondentes soluções eficientes se tornarem não admissíveis (comparem-se as figuras IV.18(a) e IV.18(b)).

Na figura IV.19(a) e IV.19(b) encontram-se representadas as projecções f1-f2 no espaço dos objectivos, correspondentes aos valores de t=0.0000L e t=0.0000R, respectivamente.

(a) t = 0.0000L

(b) t = 0.0000R

Figura IV 19 – Análise difusa aos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais considerando

80) 60, (20,~1 =b , 60 2 =b e 100) 50, (25,~


Para t=0.0000R, figuras IV.18(f) e IV.19(b), apenas as soluções básicas eficientes 6 e 8 inicialmente obtidas se tornaram não admissíveis e é possível obter 2 novas soluções eficientes, F e G.

Como anteriormente, poderíamos interpretar os resultados apresentados na tabela IV.11 à luz da noção de corte de nível α de um conjunto difuso.

IV.2.3 Introdução de nova variável de decisão com coeficientes difusos

Consideremos agora que o AD está interessado em saber quais as implicações na solução não dominada 8 inicialmente calculada, decorrentes da introdução no modelo de uma nova variável, xnova, para a qual os coeficientes na matriz das funções objectivo e na matriz tecnológica são respectivamente:

nova. C~

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

8) 6, (2,5) 4, (2,5) 4, (0,

e nova. A~

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

9) 5, (1,4.5) 4, (3,4) 3, (2,

.


112

IV.2.3.1 Análise global à introdução de uma nova variável de decisão

Como os valores com maior nível de pertença são os que têm mais possibilidade de ocorrer, vamos supor que o AD optou por realizar inicialmente uma análise pormenorizada da situação correspondente a c=1.0000 e a=1.0000 (tabelas IV.13 e IV.14 e figura IV.20). Com a finalidade de tornar as figuras mais elucidativas, no diagrama paramétrico Λ apresentado na figura IV.22(a) (e nos seguintes) foram escondidos os padrões referentes às regiões de indiferença do problema original, muito embora se tenham mantido os respectivos contornos assim como as respectivas etiquetas.

A informação da segunda coluna da tabela IV.13 revela que a introdução de xnova no modelo, com os coeficientes que apresentam maior nível de pertença em relação a todas as funções membro presentes (valores modais cM), irá tornar não eficientes no problema aumentado as soluções básicas 3, 5, 6 e 8 (inicialmente calculadas).

Muito embora as soluções 1, 2, 4 e 7 inicialmente calculadas continuem eficientes no problema modificado (agora renomeadas para E, F, H e G, respectivamente), algumas das faces e arestas às quais elas inicialmente pertenciam tornaram-se não eficientes.

Neste momento, podemos não só verificar como ficaram as regiões de indiferença correspondentes às soluções iniciais que ainda se mantêm eficientes, como também fazer uma pesquisa progressiva e selectiva de novas soluções eficientes, seleccionando conjuntos de pesos sobre zonas do diagrama paramétrico que ficaram por preencher em relação ao problema aumentado.

Tabela IV.13 – Análise global à introdução da nova variável de decisão (xnova); soluções básicas eficientes iniciais.

Solução (c=1.0000 e a=1.0000) xnova Área (%)

1 → E Não básica eficiente 0.0527 2 → F Não básica eficiente 6.7082

3 Deve ser tornada básica - 4 → H Não básica eficiente 1.8519

5 Deve ser tornada básica - 6 Deve ser tornada básica -

7 → G Não básica eficiente 0.2834 8 Deve ser tornada básica -

Tabela IV.14 – Análise global à introdução da nova variável de decisão (xnova); novas soluções básicas eficientes.

Solução (c=1.0000 e a=1.0000) f1 f2 f3 Área (%)


A 65.588 40.29417.647 14.6979 1 x1=12.647; x3=5.588; xnova=4.118

B 60.000 41.81840.000 28.1115 2 x1=9.091; xnova=8.182; sl_c1=17.273

C 40.000 40.00060.000 13.0970 3 xnova=10.0; sl_c1=30.0; sl_c2=20.0

D 35.000 18.33381.667 35.1974 3 x2=8.333; xnova=6.667; sl_c1=31.667


113

Ao longo do estudo efectuado foi considerada sempre a solução inicial 8, se bem que pudessem ter sido escolhidas outras soluções de partida no cálculo das novas soluções eficientes. Na figura IV.20 encontram-se representadas as alterações sofridas pelas soluções eficientes 1, 2, 4 e 7 inicias (1→E, 2→F, 4→H e 7→G), e na última coluna da tabela IV.13 os valores das áreas das novas regiões de indiferença associadas a estas soluções básicas eficientes. Se observarmos a figura IV.20(a) (ou se compararmos as figuras IV.3(b) e IV.20(b)) verificamos que nenhuma das faces eficientes iniciais se manteve eficiente no problema modificado. Em relação às arestas, apenas as arestas que unem as soluções 2 (→F) e 4 (→H) e que unem as soluções 2 (→F) e 7 (→G) se mantêm eficientes, um vez que apenas estas regiões de indiferença no novo diagrama paramétrico Λ se mantêm adjacentes.



Figura IV.20 – Análise global à introdução da nova variável de decisão (xnova) para c=1.0000 e a=1.0000.

Durante a análise global à introdução da nova variável de decisão foi possível determinar 4 novas soluções eficientes para o problema aumentado, A a D, cujas características se encontram descritas na tabela IV.14. Surgem 3 novas faces eficientes e 8 novas arestas eficientes, como pode ser visualizado na figura IV.20.

Neste momento, é possível: • efectuar um estudo similar pormenorizado para uma situação específica

diferente (ou seja, para diferentes valores de a e c); • seleccionar uma das soluções eficientes iniciais e fazer uma análise dinâmica

das alterações ocorridas na solução seleccionada; • fazer uma análise considerando não só diferentes funções membro associadas

aos coeficientes difusos da nova variável (modificando alguns dos valores de cL e/ou cR correspondentes), como também alterando os próprios números triangulares difusos associados aos coeficientes da nova variável (modificando também alguns dos valores de cM correspondentes).

Se o AD pretender saber o que acontece para c=0.7500L e a=0.2500R, basta que realize uma análise detalhada do género da anteriormente efectuada. Nesta situação, são obtidos os gráficos da figura IV.21 e os valores das tabelas IV.15 e IV.16.


114

Tabela IV.15 – Análise global à introdução da nova variável de decisão (xnova); soluções básicas eficientes iniciais.

Solução (c=0.7500L e a=0.2500R) xnova Área (%)

1 → A Não básica eficiente 9.4488 2 → B Não básica não eficiente = 3 → C Não básica eficiente 1.2334 4 → D Não básica não eficiente = 5 → E Não básica eficiente 17.0154 6 → F Não básica eficiente 23.6600 7 → G Não básica eficiente 13.1556 8 → H Não básica eficiente 3.3281

Tabela IV.16 – Análise global à introdução da nova variável de decisão (xnova); novas soluções básicas eficientes.

Solução (c=0.7500L e a=0.2500R) f1 f2 f3 Área (%)


I 62.128 33.872 2.596 7.2077 1 x1=14.723; x3=5.401; xnova=2.383

J 21.559 0.80773.387 0.0724 4 x2=11.237; xnova=3.441; sl_c1=35.86


(b) Projecção f1-f2 no espaço dos objectivos.

Figura IV.21 – Análise global à introdução da nova variável de decisão (xnova) para c=0.7500L e a=0.2500R.

A restrição desenhada a vermelho na figura IV.21(a) (assim como nas figuras seguintes) representa a nova condição (IV.3b) obtida a partir do quadro simplex multiobjectivo correspondente à solução eficiente 8 calculada inicialmente8.

Todas as soluções eficientes iniciais se mantiveram eficiente no problema modificado e as regiões de indiferença associadas às soluções 2 e 4 (agora B e D,

8 Na figura IV.20(a), a restrição correspondente não aparecia desenhada uma vez que não intersectava o diagrama paramétrico.


115

respectivamente) no novo diagrama paramétrico não sofreram qualquer alteração. As áreas das novas regiões de indiferença associadas às soluções eficientes iniciais 1, 3, 5, 6, 7 e 8 (agora A, C, E, F, G e H respectivamente) são as apresentadas na última coluna da tabela IV.15. A aresta que unia as soluções iniciais 1 e 8, assim como a face eficiente à qual ela pertencia, tornaram-se dominadas (dado que, no novo diagrama paramétrico Λ da figura IV.21(a), as regiões de indiferença associadas às soluções eficientes A e H deixaram de ser adjacentes e as regiões de indiferença associadas às soluções eficientes A, G e H deixaram de ter 1 ponto comum).

Partindo do quadro simplex multiobjectivo associado à solução eficiente inicial 8, foi necessária 1 iteração para determinar a nova solução básica eficiente I (para o problema aumentado). A nova solução eficiente I irá originar 3 novas arestas eficiente (unindo I às soluções eficientes 1→A, 7→G e 8→H respectivamente) e 2 novas faces eficientes (cujos vértices são, respectivamente, as soluções 1→A, 7→G e I e as soluções 7→G, 8→H e I). Partindo do quadro simplex multiobjectivo associado à solução eficiente inicial 8, foram necessárias 4 iterações para determinar a nova solução básica eficiente J. A nova solução eficiente J irá originar 3 novas arestas eficiente (unindo J às soluções eficientes iniciais 3→C, 5→E e 6→F, respectivamente) e 2 novas faces eficientes (cujos vértices são, respectivamente, as soluções 5→E, 6→F e J e as soluções 3→C, 6→F e J).

Observando as tabelas IV.14 e IV.16, podemos constatar que as novas soluções básicas eficientes I e J são, respectivamente, as soluções eficientes A e D obtidas anteriormente para c=1.0000 e a=1.0000.

IV.2.3.2 Análise dinâmica das alterações ocorridas numa solução seleccionada

Suponhamos que o AD deseja efectuar uma análise dinâmica comparativa das implicações na (fronteira eficiente circundante à) solução eficiente 8 inicialmente calculada9, decorrentes da introdução no modelo da nova variável de decisão, xnova (cujos coeficientes são definidos pelos números difusos triangulares anteriormente referidos).

Alteração no valor de nível de pertença c Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes das funções objectivo da nova variável, c, for contínua e interactivamente alterado (mantendo-se o valor do nível de pertença a constante) é possível visualizar dinamicamente as alterações ocorridas no diagrama paramétrico Λ. Tal como acontecia para o caso em que os coeficientes das funções objectivo (das variáveis de decisão iniciais do modelo) eram difusos, as regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ, associadas às soluções básicas eficientes em estudo, alterar-se-ão continuamente, em forma e tamanho.

Se variarmos continuamente o nível de satisfação c desde 0.0000L até 0.0000R, considerando um valor de a=1.0000, obtemos os resultados apresentados nas tabelas IV.17 e IV.18 e na figura IV.22 ((a) a (l)).

9 Como referido atrás, durante esta análise poderiam ser simultaneamente estudadas várias soluções eficientes inicialmente calculadas caso o AD o desejasse, com o correspondente aumento em complexidade na análise a efectuar, assim como do esforço computacional necessário.


116

(a) c=0.0000L

(c) c=0.5433L

(e) c=0.6067L

(b) c=0.4267L

(d) c=0.5533L

(f) c=0.6333L

Figura IV.22 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→E perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) para a=1.0000 e ((ccoonnttiinnuuaa)).


117

(g) c=0.6733L

(i) c=0.8900L

(k) c=0.6667R

(h) c=0.7367L

(j) c=0.9200R

(l) c=0.0000R

Figura IV.22 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→E perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) para a=1.0000 e


118

Tabela IV.17 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→E perante a introdução da nova variável de decisão (xnova).

Em relação à solução eficiente inicial, xnova é

a=1.0000 e c ∈ Não básica não eficiente

Não básica eficiente

Deve ser tornada básica

Novas soluções eficientes

(i) [ 0.0000L; 0.4267L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (ii) [ 0.4267L; 0.5533L [ 2, 3, 4, 5, 6, 1, 7, 8 A (iii) [ 0.5533L; 0.6067L [ 3, 4, 1, 2, 5, 6, 7, 8 A, B (iv) [ 0.6067L; 0.6333L [ 3, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (v) [ 0.6333L; 0.6767L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (vi) [ 0.6767L; 0.7400L [ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 5, (vii) [ 0.7400L; 0.7533L [ 1, 2, 3, 4, 7 5, 6, 8 A, B (viii) [ 0.7533L; 0.8900L [ 1, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 (ix) [ 0.8900L; 0.9167R [ 1, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 B (x) [ 0.9167R; 0.7467R [ 2, 4, 7 1, 3, 5, 6, 8 (xi) [ 0.7467R; 0.6667R [ 2, 4 1, 3, 5, 6, 7, 8

(xii) [ 0.6667R; 0.0000R ] 2, 4 1, 3, 5, 6, 7, 8 B, C

As novas soluções eficientes A a D (tabela IV.17) são as mesmas obtidas atrás para c=1.0000 e a=1.0000. Repare-se que a situação analisada anteriormente corresponde a uma instância da gama (ix) da tabela IV.17, ou seja, corresponde a um estudo detalhado de uma situação específica que surge entre os diagramas paramétricos apresentados na figura IV.22(i) e IV.22(j).

Na última coluna da tabela IV.17 apenas figuram as novas soluções eficientes calculadas durante a análise dinâmica das alterações ocorridas na solução 8→E, para as quais as suas regiões de indiferença nos novos diagramas paramétricos para o problema aumentado se sobrepõem à região de indiferença inicial correspondente à solução eficiente 8. A solução D, que irá fazer parte de uma face eficiente à qual a solução eficiente 8→E pertence, não aparece referida nesta tabela, dado que as suas regiões de indiferença nos vários diagramas paramétricos obtidos com a=1.0000, nunca se sobrepõem à região de indiferença inicial da solução eficiente 8.

Uma análise comparativa dos vários gráficos e tabelas apresentados ao AD, possibilita apreender as alterações ocorridas na fronteira eficiente circundante à solução 8 do problema inicial, perante a introdução da nova variável de decisão. Tabela IV.18 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→E perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) com a=1.0000; novas soluções básicas eficientes.

Solução Número de iterações xB

A 1 x1=12.647; x3=5.588; xnova=4.118;

B 2 x1=9.091; xnova=8.182; sl_c1=17.273

C 3 xnova=10.0; sl_c1=30.0; sl_c2=20.0

D 3 x2=8.333; xnova=6.667; sl_c1=31.667

8 → E - -


119

Por exemplo, para c ∈ [0.0000L; 0.4267L[ (e a=1.0000), gama (i) na tabela IV.17, não se verifica qualquer alteração na região eficiente, pois xnova é não básica não eficiente em relação a todas as soluções inicias. Quando c=0.4267L (e a=1.0000), figura IV.22(b), a face que tem como vértices as soluções eficientes iniciais 1, 7 e 8 torna-se não eficiente. Surge um novo vértice eficiente, A; 3 novas arestas, que unem os vértices A e 1, A e 7 e A e 8→E, respectivamente; e 3 novas faces, formadas pelos vértices 1, 7 e A, 1, 8→E e A, e 7, 8→E e A, respectivamente.

A partir de c=0.5433L (e com a=1.0000), figura IV.22(c), a aresta que une as soluções básicas eficientes 1 e 8→E torna-se não eficiente, o mesmo acontecendo com a face cujos vértices são as soluções 1, A e 8→E.

Quando c=0.5533L (e a=1.0000), figura IV.22(d), surgem as novas soluções eficientes B e D, assim como novas arestas e novas faces eficientes. Se bem que nenhuma das novas arestas eficientes ligue directamente a 8→E no problema aumentado, esta solução básica eficiente vai pertencer a uma das novas faces eficientes, a qual tem como vértices as soluções A, B, D, 6 e 8→E. Com c=0.6067L (e a=1.0000), figura IV.22(e) e tabelas IV.19 e IV.20, surge a solução básica eficiente C que, embora no problema aumentado não esteja unida directamente por uma aresta à solução em análise, 8→E, ou pertença a uma mesma face eficiente, posteriormente vai ser uma das novas soluções eficientes a preencher no diagrama paramétrico Λ parte da região de indiferença inicial correspondente à solução eficiente 8 (para c ∈ [0.6667R; 0.0000R] e a=1.0000). Tabela IV.19 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→E perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) com a=1.0000 e c=0.6067L; soluções básicas eficientes iniciais.

Solução (a=1.0000 e c=0.6067L) Área (%)

1 10.2182 2 16.3556 3 = 4 7.8703 5 11.2073 6 20.4849 7 10.1550

8 → E 1.4815 Tabela IV.20 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→E perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) com a=1.0000 e c=0.6067L; novas soluções básicas eficientes.

Solução (a=1.0000 e c=0.6067L) f1 f2 f3 Área (%)

A 59.110 37.055 11.169 10.9392

B 47.127 35.382 27.127 1.1003

C 24.267 32.133 44.267 0.0020

D 24.511 13.089 71.178 8.9356


120

Se bem que para c=0.6333L (e a=1.0000), figura IV.22(f), também não exista nenhuma alteração na região eficiente vizinha à solução em análise, a nova variável torna-se não básica eficiente em relação à solução eficiente 3.

A partir de c=0.6767L (e com a=1.0000), figura IV.22(g), a solução 5 inicial vai deixar de ser eficiente, assim como as arestas que unem as soluções básicas 5 e D e as soluções básicas 5 e 4, e a face cujos vértices são as soluções 5, D, C e 4.

Para c=0.7400L (e a=1.0000), figura IV.22(h), a solução básica eficiente em análise (8→E) torna-se não eficiente, assim como a face e as 2 arestas eficientes à qual ela pertencia. Coincidentemente, a solução básica eficiente inicial 6 também se torna não eficiente a partir de c=0.7400L, o mesmo acontecendo à solução básica eficiente inicial 3 a partir de c=0.7533L (e com a=1.0000).

A partir de c=0.8900L (e com a=1.0000), figura IV.22(i), a região de indiferença correspondente à solução básica eficiente A no diagrama paramétrico Λ deixa de se sobrepor à região de indiferença inicial da solução 8 (em estudo).

Com o conjunto de pesos que inicialmente nos conduziam à solução eficiente 8, apenas podemos determinar a nova solução básica eficiente B no problema aumentado, com (a=1.0000 e) c ∈ [0.8900L; 0.6667R[, gamas (ix) a (xi) na tabela IV.17.

Dentro das soluções eficientes inicialmente calculadas, as soluções 2 e 4 são as únicas que ainda se mantêm eficientes para c=0.0000R (e a=1.0000), embora as suas regiões de indiferença possuam uma área extremamente pequena. As restrições desenhadas a verde na figura IV.22(l) representam as novas condições (IV.3b) obtidas a partir dos quadros simplex multiobectivo correspondentes às soluções eficientes 2 e 4 calculadas inicialmente.

À semelhança do que acontecia quando os coeficientes das funções objectivo ou dos lados direitos das restrições funcionais eram difusos, podemos também tentar interpretar estes resultados à luz da noção de corte de nível α de um conjunto difuso (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996). No entanto, é preciso ter em atenção que na análise efectuada se estudou uma solução específica (ou um pequeno grupo de soluções) e se manteve constante um dos 2 níveis de pertença considerados.

Poderá ter interesse saber-se quais as soluções básicas eficientes, calculadas durante a análise dinâmica à solução eficiente inicial 8, que pertencem à fronteira eficiente do problema difuso, se o valor do nível de pertença associado às funções membro dos coeficientes nas restrições funcionais da nova variável, a, tomar o valor constante 1.0000 e o valor do nível de pertença associado às funções membro dos coeficientes nas funções objectivo da nova variável, c, for de pelo menos α. Por exemplo, considerando um nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes nas funções objectivo da nova variável de decisão, c, de pelo menos 0.7500 (e a=1.0000) é possível alcançar as soluções básicas eficientes iniciais 1, 2, 3, 4 e 7 e as novas soluções básicas eficientes A, B, C e D (gamas (vii) a (x) da tabela IV.17). Com o conjunto de pesos que inicialmente nos conduziam à solução eficiente 8, apenas conseguimos alcançar as novas soluções A e B. Para um valor do nível de pertença c de pelo menos 0.5000 (e a=1.0000) já é possível alcançar todas as soluções iniciais e todas as determinadas durante a análise dinâmica à introdução da nova variável de decisão, ou seja, as soluções 1 a 8 e A a D (gamas (ii) a (xii) da tabela IV.17). No problema aumentado nunca é possível alcançar a nova solução básica eficiente D, com os conjuntos de pesos que inicialmente nos conduziam à solução 8.


121

Alteração no valor de nível de pertença a

Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes na matriz tecnológica da nova variável de decisão, a, for contínua e interactivamente alterado (mantendo-se o valor do nível de pertença c constante) é também possível visualizar dinamicamente as alterações ocorridas no diagrama paramétrico Λ.

Dado que, quando o valor do nível de pertença das funções membro a varia continuamente, a fronteira da região admissível (assim como os respectivos pontos extremos) no problema aumentado poderá ser alterada, as regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ, associadas às soluções básicas eficientes em estudo, irão não só alterar-se continuamente, em forma e tamanho, como poderão aparecer ou desaparecer bruscamente (de acordo com a admissibilidade ou não dos pontos extremos eficientes).

Vamos agora variar o valor do nível de satisfação a, com c=0.7500L, e efectuar uma análise comparativa dinâmica das implicações na solução eficiente 8 inicialmente calculada, decorrentes das alterações introduzidas.

Se alterarmos continuamente o nível de satisfação a desde 0.0000L até 0.0000R, considerando um valor de c=0.7500L, obtêm-se os resultados apresentados nas tabelas IV.21 e IV.22 e na figura IV.23 ((a) a (l)).

À semelhança do que acontecia na tabela IV.17, na última coluna da tabela IV.21 apenas figuram as novas soluções básicas eficientes calculadas durante a análise comparativa à solução 8 que se está a efectuar, para as quais as regiões de indiferença em Λ das respectivas soluções básicas eficientes do problema aumentado se sobrepõem à região de indiferença inicial correspondente à solução eficiente 8. As bases associadas às novas soluções eficientes A a D são, respectivamente, as mesmas das soluções eficientes A a D obtidas durante o estudo correspondente à introdução da nova variável de decisão anteriormente efectuado. Tabela IV.21 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→G perante a introdução da nova variável de decisão (xnova).

Em relação à solução eficiente inicial, xnova é

c=0.7500L e a ∈ Não básica não eficiente

Não básica eficiente

Deve ser tornada básica

Novas bases eficientes

(i) [ 0.0000L; 0.2467L [ 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 F

(ii) [ 0.2467L; 0.4767L [ 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 E

(iii) [ 0.4767L; 0.6267L [ 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 C, B

(iv) [ 0.6267L; 0.6367L [ 1, 2, 4 3, 5, 6, 7, 8

(v) [ 0.6367L; 0.7033L [ 1, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8

(vi) [ 0.7033L; 0.7433L [ 1, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8 B

(vii) [ 0.7433L; 1.0000 [ 1, 2, 4, 7 3, 5, 6, 8

(viii) [ 1.0000 ; 0.9767R [ 1, 2, 3, 4, 7 5, 6, 8

B, A

(ix) [ 0.9767R; 0.9300R [ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 5, B, A

(x) [ 0.9300R; 0.8433R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

(xi) [ 0.8433R; 0.6833R [ 4, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8

(xii) [ 0.6833R; 0.1933R [ 2, 4, 1, 3, 5, 6, 7, 8

(xiii) [ 0.1933R; 0.0000R ] 2, 3, 4, 5, 6 1, 7, 8

A


122

(a) a=0.0000L

(c) a=0.2467L

(e) a=0.4767L

(b) a=0.2433L

(d) a=0.4733L

(f) a=0.6367L

Figura IV.23 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→G perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) para c=0.7500L e ((ccoonnttiinnuuaa)).


123

(g) a=0.7033L

(i) a=0.9767R

(k) a=0.6833R

(h) a=0.7433L

(j) a=0.8433R

(l) a=0.0000R

Figura IV.23 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→G perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) para c=0.7500L e


124

As soluções básicas eficientes H, I e J, calculadas durante a análise efectuada à solução 8 (figura IV.23), não foram inicialmente consideradas no estudo comparativo dos diagramas paramétricos, dado que as mesmas não possuem uma relação privilegiada com a solução 8 em análise. Aparecem apenas aqui acrescentadas, quando se revelem convenientes, para melhor compreensão da metodologia proposta. Como veremos seguidamente, para um dado valor do nível de satisfação a, as correspondentes soluções básicas eficientes irão tornar-se não admissíveis (assim como eventualmente outras soluções básicas eficientes), e as regiões de indiferença que lhe estão associadas no diagrama paramétrico Λ em estudo irão desaparecer bruscamente. Novas soluções básicas eficientes surgirão, aparecendo também bruscamente no diagrama paramétrico Λ as regiões de indiferença que lhe estão associadas. Tabela IV.22 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→G perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) com c=0.7500L; novas soluções básicas eficientes.

Bases Número de iterações xB

A 1 (x1; x3; xnova)

B 2 (x1; xnova; sl_c1)

C 3 (xnova; sl_c1; sl_c2)

D 2 (x2; xnova; sl_c1)

E 2 (x3; xnova; sl_c1)

F 3 (x3; xnova; sl_c3)

8 → G - (x1; x2; x3)

H 3 (x4; xnova; sl_c1)

I 4 (xnova; sl_c1; sl_c3)

J 2 (x3; x4; xnova)

A variação dinâmica do valor do nível de satisfação a desde 0.0000L a 0.2433L, desde 0.2467L a 0.4733L, e desde 0.4767L a 0.0000R (e considerando c=0.7500L), apenas irá fazer alterar continuamente, em forma e tamanho, as regiões de indiferença associadas às soluções básicas eficientes presentes nos vários diagramas paramétricos Λ (soluções eficientes F, H, I e J; A, E, H e I; e A, B, C, D e 8→G, respectivamente).

Com os conjuntos de pesos que inicialmente nos conduziam à solução 8, apenas conseguimos alcançar as novas soluções básicas eficientes F (figuras IV.23(a)-(b)) e E (figuras IV.23(c)-(d)), para a ∈ [0.0000L; 0.2467L[ e a ∈ [0.2467L; 0.4767L[, respectivamente, e c=0.7500L (uma vez que as correspondentes regiões de indiferença nos diferentes diagramas paramétricos se sobrepõe totalmente à região de indiferença inicial da solução 8). Considerando apenas as soluções básicas eficientes pesquisadas, não foi encontrada nenhuma face eficiente do problema aumentado para a ∈ [0.0000L; 0.4767L[ (c=0.7500L), embora existam 3 novas arestas eficientes para a ∈ [0.0000L; 0.2467L[, as quais unem as soluções básicas eficientes F e I, F e J, e J e H, e 3 novas arestas eficientes para a ∈ [0.2467L; 0.4767L[, as quais unem as soluções básicas eficientes E e A, E e I, e E e H.


125

Para um valor do nível de satisfação a entre 0.2433L e 0.2467L (c=0.7500L), figuras IV.23(b)-(c), as soluções básicas eficientes F e J tornar-se-ão não admissíveis dando lugar às soluções básicas eficientes E e A (que anteriormente eram não admissíveis)10.

O mesmo sucederá às soluções básicas eficientes E, H e I, e B, C e D: para um valor do nível de satisfação a entre 0.4733L e 0.4767L (c=0.7500L), as soluções básicas eficientes E, H e I tornar-se-ão não admissíveis surgindo três novas soluções eficientes B, C e D. Nas tabelas IV.23 e IV.24 encontram-se apresentadas as características das soluções básicas eficientes presentes nos diagramas paramétricos das figuras IV.23(d) e IV.23(e), respectivamente.

Tabela IV.23 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→G perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) com c=0.7500L e a=0.4733L; novas soluções básicas eficientes.

Solução (c=0.7500 L e a=0.4733L) f1 f2 f3 Área (%) xB

A 61.471 49.689 41.019 6.8006 x1=8.066; x3=5.588; xnova=8.899

E 51.834 60.469 86.369 61.0276 x3=0.009; xnova=17.272; sl_c1=17.245

H 51.818 60.477 86.365 22.1375 x4=0.008; xnova=17.269; sl_c1=17.262

I 51.823 60.461 86.372 8.5623 sl_c3=0.019; xnova=17.275; sl_c1=12.275

Tabela IV.24 – Análise dinâmica à solução eficiente inicial 8→G perante a introdução da nova variável de decisão (xnova) com c=0.7500L e a=0.4767L; novas soluções básicas eficientes.

Solução (c=0.7500L e a=0.4767L) f1 f2 f3 Área (%) xB

A 61.471 49.537 40.654 6.8979 x1=8.126; x3=5.588; xnova=8.638

B 51.818 60.184 85.715 29.6372 x1=0.108; xnova=17.165; sl_c1=17.273

C 51.606 60.206 86.009 43.3223 sl_c2=0.194; xnova=17.202; sl_c1=17.397

D 51.477 59.793 86.198 18.6518 x2=0.121; xnova=17.119; sl_c1=17.482

Para a ∈ [0.4767L; 0.7033L[ (c=0.7500L), figura IV.23(e)-(g), apenas as regiões de indiferença associadas às soluções básicas eficientes B e C se sobrepõem à região de indiferença inicial da solução 8. Na figura IV.23(f), obtida com a=0.6367L (c=0.7500L), encontra-se representada a situação a partir da qual a solução básica inicial 7 se torna eficiente. Se considerarmos apenas as soluções básicas eficientes pesquisadas, surge uma nova face eficiente, a qual tem como vértices as soluções básicas eficientes B, C e D, assim como 4 novas arestas eficientes, as quais unem as soluções básicas eficientes A e B, B e C, B e D, e C e D.

Para a ∈ [0.7033L; 0.7433L] (c=0.7500L), figura IV.23(g), apenas a região de indiferença associada à nova solução básica eficiente B se sobrepõe à região de indiferença inicial da solução 8. A partir de a=0.7433L (c=0.7500L), figura IV.23(h), a 10 Refira-se que a região de indiferença associada à solução básica eficiente A no diagrama paramétrico (do problema aumentado) apenas se irá sobrepor à região de indiferença inicial da solução eficiente 8 para um valor do nível de satisfação a ∈ [0.7433L; 0.0000R[ (e com c=0.7500L), como pode ser concluído a partir da observação da figura IV.23.


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região de indiferença associadas à nova solução eficiente A irá também sobrepor-se à região de indiferença inicial da solução 8.

A partir de a=0.9767R (c=0.7500L), figura IV.23(i), as soluções básicas iniciais 6 e 8→G tornam-se também eficientes, assim como a aresta que une 6 a 8→G (e as arestas que unem 6 a D, e A a 8→G) e a face cujos vértice são A, B, D, 6 e 8→G.

Com os conjuntos de pesos que inicialmente nos conduziam à solução 8, conseguimos alcançar não só essa solução eficiente, mas também as novas soluções básicas eficientes A e B, considerando a ∈ [0.9767R; 0.6833R] (e com c=0.7500L), figura IV.23(i) a IV.23(k).

A partir de a=0.6833R (c=0.7500L), figura IV.23(l), a solução básica eficiente 8→G passa a pertencer a 2 faces eficientes: aquela cujos vértices são as soluções 8→G, 7 e A, e a face cujos vértices são as soluções 8→G, 7, 2, 4, 5 e 6 (uma das faces eficientes iniciais).

Repare-se que a situação estudada anteriormente em pormenor para c=0.7500L e a=0.2500R, e apresentada na figura IV.21(a), corresponde a uma instância da gama (xiii) da tabela IV.21, ou seja, corresponde a um estudo minucioso de uma situação específica intermédia entre os diagramas paramétricos das figuras IV.23(k) e IV.23(l). As soluções básicas eficientes I e J obtidas atrás (na tabela IV.16) são as novas soluções eficientes A e D (das tabelas IV.21 a IV.24), respectivamente.

Também neste caso podemos interpretar os resultados apresentados na tabela IV.21 a partir da noção de corte de nível α de um conjunto difuso (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996). No entanto, é preciso ter em atenção que na análise efectuada se estudou uma solução específica (ou um pequeno grupo de soluções) e se manteve constante um dos 2 níveis de pertença considerados, tal como acontecia anteriormente quando alterávamos continuamente o nível de satisfação c mantendo um valor de a constante.

Poderá ter interesse saber-se quais as soluções básicas eficientes, calculadas durante a análise difusa à solução eficiente inicial 8, que pertencem à fronteira eficiente do problema difuso, se o valor do nível de pertença associado às funções membro dos coeficientes nas funções objectivo da nova variável, c, tomar o valor constante 0.7500L e o valor do nível de pertença associado às funções membro dos coeficientes na matriz tecnológica da nova variável, a, for de pelo menos α.

Por exemplo, considerando um nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes nas restrições funcionais da nova variável de decisão, a, de pelo menos 0.7500 (e um nível de pertença associado às funções membro dos coeficientes nas funções objectivo da nova variável c=0.7500L), é possível alcançar todas as soluções básicas eficientes iniciais 1 a 8, assim como as novas soluções básicas eficientes A, B, C e D (gamas (vii) a (xi) da tabela IV.21). Com os conjuntos de pesos que inicialmente conduziam à solução eficiente 8, apenas é possível agora alcançara solução eficiente 8, assim como as novas soluções eficientes A e B. Para um valor do nível de pertença a de pelo menos 0.9800 apenas é possível alcançar as soluções eficientes iniciais 1, 2, 3, 4 e 7, assim como as novas soluções básicas eficientes A, B, C e D (gamas (vii) e (viii) da tabela IV.21). Com os conjuntos de pesos que inicialmente conduziam à solução eficiente 8, apenas é agora possível alcançar as novas soluções eficientes A e B.

IV.3 - Considerações finais

127

IV.3 Considerações finais

Neste capítulo apresentámos uma nova abordagem interactiva para tratamento da incerteza em problemas de PLMO, onde os parâmetros difusos do modelo são considerados números reais difusos triangulares.

Esta abordagem não é muito exigente em relação à informação requerida ao AD em cada interacção, nem os cálculos envolvidos se apresentaram geralmente pesados em termos práticos (ainda que tal dependa da dimensão do problema e da geometria da região eficiente).

Se bem que tanto a abordagem apresentada na secção 4 do capítulo anterior como a abordagem aqui exposta sejam baseadas na decomposição do diagrama paramétrico em regiões de indiferença (correspondentes às soluções básicas eficientes), é difícil efectuar uma comparação entre as duas análise realizadas ou entre as soluções eficientes obtidas (ainda que ambas tenham carácter difuso), pois os princípios metodológicos subjacentes são diferentes. No entanto, ambas as abordagens têm como objectivo ajudar o AD a apreender as características da região difusa eficiente, assim como conhecer melhor o seu sistema de preferências.

A representação gráfica da decomposição do diagrama paramétrico em regiões de indiferença constitui um meio integrado de apresentação e recolha de informação entre o AD e o método. Não sendo este o objecto central da nossa investigação, apresentámos uma proposta de protocolo interactivo bastante flexível que, na nossa opinião, permite um melhor apoio à aprendizagem do problema e da própria estrutura de preferências evolutiva do AD.

Atendendo a que as regiões de indiferença podem ser representadas graficamente para problemas com duas ou três funções objectivo, sendo o caso de três funções objectivo o mais elucidativo, as metodologias apresentadas encontram-se vocacionadas para este tipo de problemas.

De referir que, a partir da metodologia apresentada neste capítulo, é possível verificar alguns dos valores calculados pela abordagem interactiva de análise de sensibilidade em PLMO proposta por Antunes e Clímaco (1992). Os valores dos limites mínimos e máximos das gamas admissíveis para os parâmetros escalares, tal que para uma dada solução eficiente seleccionada pelo AD a intersecção das regiões de indiferença do problema perturbado e não perturbado é não vazia, podem ser directamente obtidos, desde que os correspondentes valores se situem dentro das gamas do nível de satisfação 0.0000L até 1.0000 e 1.0000 até 0.0000R.

Embora a ideia base da abordagem em ambiente difuso proposta seja a de efectuar uma análise comparativa, nos vários diagramas paramétricos estudados, da evolução de algumas soluções básicas eficientes que o AD vai progressivamente seleccionando, no exemplo apresentado foi efectuado um estudo exaustivo para todo o conjunto de soluções eficientes (com o correspondente preenchimento total dos vários diagramas paramétricos com regiões de indiferença).

Como foi referido ao longo do exemplo, o AD pode também só efectuar o estudo para alguns dos valores do nível de pertença das funções membro consideradas; por exemplo, pode estar apenas interessado em analisar que soluções eficientes é possível


128

alcançar (ou seja, se situam na fronteira eficiente em ambiente difuso) para valores do nível de pertença acima de um determinado nível α.

Na secção 2 do capítulo VII serão exploradas as potencialidades desta abordagem, através do estudo de um caso mais complexo. A metodologia apresentada neste capítulo será aí utilizada para analisar um modelo multiobjectivo para o estudo das interacções economia-energia-ambiente.

Todos os modelos estudados com as metodologias propostas possuíam solução admissível em ambiente rígido. Outra abordagem possível para tirar partido da incerteza associada aos modelos, seria considerar problemas sem solução admissível em ambiente rígido e considerar o problema difuso de modo a encontrar solução eficiente difusa, como acontece em Pires et al. (1996), onde é proposta uma metodologia utilizando o algoritmo “Simulated Annealing”. Esta técnica é atractiva para tratar todos os tipos de difusão em problemas de optimização complexos para os quais as funções objectivo e as restrições podem ser não lineares (Pires et al., 1996; Ribeiro e Pires, 1999; Ribeiro e Varela, 2003; Varela e Ribeiro, 2003).

Funções membro lineares, ou mais especificamente parâmetros caracterizados por números reais difusos triangulares, constituem apenas uma aproximação à situação real de imprecisão, uma vez que, na generalidade das situações práticas, a taxa de variação do nível de satisfação não é constante. Do ponto de vista técnico, afigura-se fácil a utilização desta abordagem mesmo para funções membro não lineares, desde que seja possível fazer uma transformação adequada da correspondente função membro, por exemplo, para uma função membro linear por partes.

Capítulo V

A abordagem de tolerância1

em problemas de programação linear

O estudo da robustez das soluções eficientes (ou das soluções de compromisso consideradas satisfatórias pelo AD), face à incerteza inerente ao processo de decisão, nomeadamente resultante da imprecisão e variações associadas aos dados de entrada, às inevitáveis imprecisões na fase de modelação, assim como ao carácter evolutivo da estrutura de preferências do AD durante o processo interactivo de decisão, é uma questão de primordial interesse. Este estudo deve ser considerado um componente indispensável de qualquer ferramenta computacional interactiva de apoio à tomada de decisões, de modo a possibilitar não apenas avaliar o impacto da variação de alguns parâmetros ou do próprio modelo, sem necessidade de reformular o problema desde o início, como também ajudar o AD a compreender o problema em estudo e a sua própria estrutura de preferências, a qual pode evoluir face à informação entretanto adquirida (Antunes, 1991).

Em programação linear monobjectivo, a análise de sensibilidade2, muitas vezes também designada por análise pós-optimal ou análise de estabilidade, possibilita determinar as gamas de variação de parâmetros específicos do modelo, tal que a solução (ou base) óptima do problema original permaneça óptima para o problema perturbado. Tendo em vista a implementação na prática da solução óptima do modelo, a análise de sensibilidade permite também conhecer melhor as características de estabilidade dessa 1 Como já referido anteriormente (Capítulo I), utilizaremos a expressão simplificada “abordagem de tolerância” (ou “abordagem tolerante”) em substituição de “abordagem de tolerância em análise de sensibilidade” (ou “abordagem tolerante em análise de sensibilidade”), a menos que tal se apresente conveniente. 2 Associada à noção da análise de sensibilidade surge normalmente a de análise paramétrica na qual se pretende identificar a sequência de soluções (ou bases) óptimas para um determinado intervalo de variação de um parâmetro do modelo.

Capítulo V – A abordagem de tolerância em problemas de programação linear

130

solução óptima face à variação de coeficientes do modelo, avaliar o interesse da introdução de uma nova actividade ou de uma nova restrição, ou mesmo aconselhar alterações tecnológicas ao sistema modelado.

No entanto, as gamas calculadas para os parâmetros de perturbação são geralmente válidas quando varia um único coeficiente. Por exemplo, os intervalos obtidos por intermédio da análise de sensibilidade para os coeficientes da função objectivo podem apenas ser considerados como correspondendo efectivamente a variações simultâneas e independentes nos vários coeficientes, caso os coeficientes de perturbação considerados estejam associados a variáveis não básicas; de modo análogo, os intervalos obtidos para os lados direitos das restrições podem apenas ser considerados como correspondendo efectivamente a variações simultâneas e independentes nos vários coeficientes, caso as restrições associadas correspondentes tenham a respectiva variável folga (“slack” ou “surplus”) como variável básica na solução óptima.

No contexto multiobjectivo, o problema de análise de sensibilidade não tem uma definição uniforme na literatura, sendo encarado de forma diversa consoante a aproximação utilizada, ainda que o objectivo seja normalmente o de permitir um conhecimento mais aprofundado das soluções em relação à variação de parâmetros.

Podemos referir, como exemplo, a abordagem interactiva de análise de sensibilidade para problemas PLMO proposta por Antunes (1991) e Antunes e Clímaco (1992), a qual possibilita estudar alterações da matriz dos coeficientes da função objectivo e dos lados direitos das restrições funcionais (parametrizações lineares de C e de b), assim como analisar o impacto da introdução de novas variáveis de decisão e de novas restrições lineares no modelo. Esta abordagem é baseada na exploração do diagrama paramétrico (dos pesos), o que possibilita analisar de forma interactiva as alterações ocorridas nas regiões de indiferença perante a introdução de diferentes modificações no modelo em estudo. Especificamente, determinam-se os limites do intervalo para um parâmetro de perturbação, de tal modo que, para uma solução eficiente considerada, a intersecção das regiões de indiferença perturbada e não perturbada é não vazia.

Também no contexto multiobjectivo, os resultados encontrados (com base no estudo de alterações nos parâmetros) pelas diferentes abordagens de análise de sensibilidade só são normalmente válidos quando existe uma variação isolada nos parâmetros (Gal e Leberling, 1981; Gal e Greenberg, 1997).

Uma das extensões da análise de sensibilidade (tradicional) em problemas monobjectivo, a regra dos 100% (Bradley et al., 1977), possibilita variações simultâneas em mais do que uma componente de um vector, mas não permite a variação independente das componentes. Esta abordagem mostra-se atractiva pois faz uso dos limites dos intervalos de variação para cada coeficiente obtidos por análise de sensibilidade (tradicional), os quais são hoje em dia fornecidos pela generalidade do “software” existente. No entanto, a sua utilização em termos práticos pode ser difícil, pois a compreensão dos conceitos base apresenta-se algo complexa para o AD. Por exemplo, esta regra requer que o AD especifique à partida o sentido de crescimento ou decréscimo de cada coeficiente, havendo nesse caso garantia que uma solução se mantém óptima desde que a soma das fracções, correspondentes a uma percentagem da variação máxima para cada dimensão (em relação aos valores obtidos por análise de sensibilidade), se mantenha menor ou igual à unidade (os 100%). Para além do elevado número de combinações possíveis de acréscimo ou decréscimo dos coeficientes, o AD tem


131

normalmente dificuldade em pensar em termos de (soma das) fracções aditivas de variações.

Contrariamente à análise de sensibilidade (tradicional) aplicada a problemas de programação linear, a abordagem de tolerância possibilita ao AD um modo de considerar simultânea e independentemente perturbações em mais do que um coeficiente. Esta abordagem permite calcular a maior percentagem, chamada percentagem máxima de tolerância, de tal modo que se alguns parâmetros seleccionados não variarem mais do que a referida percentagem, em relação aos valores estimados, a solução óptima calculada anteriormente mantém-se óptima. Esta percentagem possibilita caracterizar uma região de tolerância para a variação, simultânea e independente, dos parâmetros de perturbação seleccionados, dentro da sua região crítica, para a solução óptima.

Um primeiro estudo neste âmbito foi efectuado por Wendell (1985), onde mostra como determinar a percentagem máxima de tolerância considerando parâmetros de perturbação associados a alguns coeficientes dos termos independentes das restrições ou/e da função objectivo em problemas de programação linear monobjectivo.

Se o AD conseguir especificar “a priori” alguma informação que possibilite delimitar intervalos onde os valores dos parâmetros associados a alguns coeficientes dos termos independentes das restrições ou/e da função objectivo podem variar, Wendell (1984) mostra como é possível obter maiores valores para as percentagens máximas de tolerância calculadas anteriormente em (Wendell, 1985).

A teoria e metodologia para a situação em que alguns dos coeficientes de uma linha ou de uma coluna da matriz tecnológica podem variar, simultânea e independentemente, sem que haja alteração do conjunto de variáveis básicas associadas a uma solução óptima, encontra-se desenvolvida em (Ravi e Wendell, 1989). Dado que o cálculo exacto da percentagem máxima de tolerância quando se consideram perturbações em mais do que uma linha ou coluna da matriz tecnológica ao mesmo tempo se pode tornar demasiado complexo, os mesmos autores propõem o conceito de tolerância aproximada (Ravi e Wendell, 1985), resultando assim um problema mais fácil de resolver.

Uma das limitações da abordagem tolerante inicialmente proposta (Wendell, 1985) reside no facto da percentagem máxima de tolerância depender exclusivamente do parâmetro que apresenta maior susceptibilidade de variação em relação aos valores estimados, o que vulgarmente ocasiona a obtenção de valores pequenos (Wang e Huang, 1993), ou mesmo nulos (Wondolowski, 1991; Wendell, 1992), para a percentagem máxima de tolerância, ainda que considerando modelos de dimensão moderada. Deste modo, os intervalos obtidos para a variação dos parâmetros podem não ser tão amplos como, em termos práticos, de facto o são.

Com o desígnio de ultrapassar este problema, são apresentados em (Wondolowski, 1991; Wendell, 1992) e em (Wang e Huang, 1993) dois modos distintos de tentar expandir a região de tolerância para a variação dos parâmetros de perturbação seleccionados. Estas duas abordagens diferem no modo como se realiza o alargamento da região de tolerância: Wondolowski (1991) e Wendell (1992) tentam “fazer crescer” a região de tolerância de (Wendell, 1985) nas direcções em que a mesma não se apresenta limitada pela fronteira da região crítica dos parâmetros considerada, obtendo uma nova região (hiper-paralelepípedo) rectangular; Wang e Huang (1993) procuram determinar uma região, também (hiper-paralelepípedo) rectangular e com centróide nos valores


132

estimados para os parâmetros, a qual possui volume máximo dentro da região crítica considerada, através da resolução dum problema de programação dinâmica.

Em (Hansen et al., 1989) os autores propõem uma extensão da abordagem tolerante em análise de sensibilidade apresentada por Wendell (1985, 1984) aplicada a problemas de PLMO, onde o cálculo das soluções eficientes consiste na optimização da soma pesada das várias funções objectivo. Esta abordagem possibilita calcular a percentagem máxima de tolerância para os vários pesos das funções objectivo, de tal modo que estes podem variar simultânea e independentemente, em relação aos seus valores estimados, sem que uma solução eficiente anteriormente calculada para esses pesos se altere. É ainda considerada a possibilidade de conhecer “a priori” as gamas de variação para alguns pesos.

Partindo do pressuposto que, por vezes, o AD não consegue especificar de modo preciso o valor dos pesos ou mesmo estabelecer intervalos de variação para estes, mas tem mais facilidade em especificar algumas relações lineares que estes devem verificar, Marmol e Puerto (1997) apresentam um estudo de abordagem tolerante no contexto linear multiobjectivo, o qual inclui os intervalos estudados por Hansen et al. (1989) como caso particular.

Este capítulo está organizado da seguinte forma:

Na secção 1 é detalhadamente exposta a abordagem de tolerância em análise de sensibilidade proposta por Wendell (1985, 1984), no contexto da programação linear monobjectivo.

Através de uma análise essencialmente geométrica, são sumariamente apresentados na secção 2 os dois modos distintos de tentar expandir a região de tolerância de Wendell (1985), para a variação dos parâmetros seleccionados, como sugerido em (Wondolowski, 1991; Wendell, 1992) e em (Wang e Huang, 1993) em problemas de programação linear monobjectivo.

Na secção 3 é pormenorizadamente descrita a abordagem apresentada por Hansen et al. (1989) no domínio linear multiobjectivo, onde é usada a soma pesada das várias funções objectivo como função escalarizante para determinar as soluções eficientes.

Finalmente, são tecidas na secção 4 algumas considerações sobre a abordagem de tolerância em análise de sensibilidade.

V.1 A abordagem de tolerância de Wendell (1985, 1984)

A abordagem de tolerância em análise de sensibilidade proposta por Wendell (1985, 1984), para problemas de programação linear monobjectivo, possibilita ao AD um modo de considerar independentemente perturbações em mais do que um parâmetro ao mesmo tempo.

Esta abordagem apresenta-se bastante intuitiva em termos geométricos. Essencialmente, consiste em caracterizar uma região de tolerância para a variação, simultânea e independente, dos parâmetros seleccionados.

V.1 - A abordagem de tolerância de Wendell (1985, 1984)

133

V.1.1 Limites de tolerância para as perturbações dos lados direitos das restrições e para os coeficientes da função objectivo

Em (Wendell, 1985) é efectuado um estudo comparativo entre a análise de sensibilidade tradicional, a abordagem de tolerância e outras abordagens (como, por exemplo, a regra dos 100%) em problemas de programação linear monobjectivo.

O autor mostra como determinar:

• a percentagem máxima de tolerância para os coeficientes da função objectivo, de tal modo que estes podem variar simultânea e independentemente mantendo-se óptima a solução anteriormente calculada;

• a percentagem máxima de tolerância para os coeficientes dos termos independentes das restrições funcionais, de tal modo que estes podem variar simultânea e independentemente sem que uma base óptima anteriormente calculada se altere.

V.1.1.1 O problema

Se forem considerados parâmetros de perturbação associados aos coeficientes dos termos independentes das restrições e da função objectivo em problemas de programação linear, a abordagem tolerante apresentada por Wendell (1985) estuda o seguinte problema:

max j

n

jjjj xcc∑

=

′+1

) ˆ( γ (V.1)

s. a.

m1,2,..., para ;ˆ A1

=′+=∑=

ibbxn

jiiijij δ

n ..., 2, 1, para ;0 =≥ jx j ,

onde ib e jc representam valores estimados para ib e jc respectivamente, ib′ e jc′ têm valores especificados pelo AD e iδ e jγ são parâmetros multiplicativos de ib′ e jc′ , respectivamente.

Por uma questão de coerência de notação com Wendell (1985), consideremos ib , ib′

e iδ , e jc , jc′ e jγ como componentes dos vectores coluna b =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

m

i

b

b

b

ˆ...ˆ...

1

, b′=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′

′

m

i

b

b

b

...

...1

e δ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

m

i

δ

δ

δ

...

...1

,

e dos vectores linha c = [ ]nj ccc ˆ...ˆ...ˆ1 , c′ = [ ]nj ccc ′′′ ......1 e


134

γ= [ ]nj γγγ ......1 , respectivamente3. Consideremos também Bγ e Bc , respectivamente, os subvectores de γ e c relativos às variáveis básicas associados à base

B (variáveis ∈ K’4), isto é, Bγ = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mhh γγ ...1 e Bc = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

mhh cc ...1, onde hi é o índice da

i-ésima variável básica em relação à base considerada.

Embora façam um estudo teórico genérico para quaisquer valores de ib′ e jc′ , os

autores consideram ib′= ib e jc′ = jc dado que, neste caso, os factores iδ e jγ podem ser interpretados como percentagens de erro em relação aos respectivos valores estimados5. Se algum dos valores de ib e jc for conhecido com precisão6, então os correspondentes

ib′ e jc′ são considerados nulos, uma vez que não é necessário considerar perturbações nestes valores.

Se for possível encontrar um valor não negativo, ρ, de tal modo que uma base óptima de (V.1) se mantenha óptima se os valores absolutos de cada iδ não excederem ρ (isto é, –ρ≤ iδ ≤ρ; para i=1, 2, .., m), então ρ é um valor possível para a tolerância dos coeficientes dos termos independentes das restrições. 3 Esta nomenclatura matricial corresponde à utilizada por Wendell em (1985, 1984). No entanto, para ser matematicamente rigoroso, b′ e c′ devem ser representados por matrizes (diagonais) cujos elementos da diagonal são os respectivos valores nos vectores (como Wendell indirectamente refere em (2004)).

Nestas circunstâncias, γc′ = [ ]nj γγγ ......1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′

′

n

j

c

c

c

o...ooo...o...o...oo...o...o...ooo...o

1

é um vector linha (a ser

somado a c ) e b′δ =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′

′

m

i

b

b

b

o...ooo...o...o...oo...o...o...ooo...o

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

m

i

δ

δ

δ

...

...1

é um vector coluna (a ser somado a b ).

4 K encontra-se definido no Capítulo II, como o conjunto dos índices correspondentes às variáveis não básicas para a base considerada. Em (Wendell, 1985, 1984, 1992) e em (Hansen et al., 1989) os autores já consideram que nas n variáveis de decisão do problema estão incluídas as folgas (necessárias à transformação das restrições funcionais em igualdade, como acontece no problema (V.1)). Por analogia com estes autores, sempre que ao longo deste capítulo (e do seguinte) estiverem a ser descritas as metodologias propostas, será considerado o conjunto K’ = {k=1, 2, …, n: k≠hi; para i=1, 2, …, m}, onde hi é o índice da i-ésima variável básica. 5 Se, por exemplo, ib′ =1 e jc′ =1 então δi e γj poderiam ser interpretados como representando

variações aditivas para ib e jc , respectivamente. 6 Wang e Huang (1993) denominam estes parâmetros por “nonfocal parameters” pois, nesta situação, não há interesse em considerar estes coeficientes durante o estudo efectuado.


135

Pode então definir-se: • ρ* como tolerância máxima se e só se ρ<ρ*; • ρ*x100% como a percentagem máxima de tolerância; • Rρ* = {δ: –ρ*≤ iδ ≤ρ*; i=1, 2, …,m} como a região de tolerância7.

Assim sendo, uma base B manter-se-á óptima para todos os δ ∈ Rρ*.

Uma interpretação importante para ρ* surge quando ib′ = ib para cada i onde ib′≠0. Neste caso, uma dada base óptima de (V.1) manter-se-á óptima se os valores dos termos independentes das restrições não variarem mais do que ρ*x100% dos seus valores estimados ib , sendo ρ* o maior valor que verifica esta propriedade.

Dada uma base B, chama-se região crítica para os coeficientes dos termos independentes das restrições ao conjunto no qual os referidos coeficientes podem variar simultânea e independentemente, mantendo-se óptima a base B considerada. Ou seja, é a região caracterizada pelo conjunto Rb={b: B-1b ≥ 0} (ou, se for considerado o problema perturbado Rδ={δ: B-1b ≥ 0; m ..., 2, 1, ;ˆ =′+= ibbb iiii δ }). De referir que em problemas lineares esta região é sempre um polítopo, e a região de tolerância máxima está sempre contida nesta região crítica.

De modo análogo, se for possível determinar um valor não negativo, τ, de tal modo que uma solução óptima de (V.1) se mantenha óptima se os valores absolutos de cada coeficiente de perturbação jγ não excederem τ (isto é, –τ≤ jγ ≤τ; para j=1, 2, .., n), então τ é um valor possível para a tolerância das perturbações nos coeficientes da função objectivo.

Pode também definir-se: • τ* como tolerância máxima se e só se τ<τ*; • τ*x100% como a percentagem máxima de tolerância; • Rτ* = {γ: –τ*≤ jγ ≤τ*; j=1, 2, …,n} como a região de tolerância8.

Assim sendo, uma solução óptima manter-se-á óptima para todos os γ ∈ Rτ*.

Tal como anteriormente, quando jc′ = jc uma dada solução óptima de (V.1) manter-se-á óptima se os valores dos coeficientes da função objectivo, para os quais jc′ ≠0, não variarem mais do que τ*x100% dos seus valores estimados jc , sendo τ* o maior valor que verifica esta propriedade. 7 A região de tolerância para os coeficientes dos termos independentes das restrições pode também ser definida no espaço dos b (Wendell, 1992), ou seja: R∆b = {∆b: –ρ*| ib′ | ≤ ∆bi ≤ ρ*| ib′ |; i=1, 2, …,m}, onde ∆bi=0 quando ib′ =0.

Repare-se que, neste caso, ∆bi = iδ ib′ . 8 A região de tolerância para os coeficientes da função objectivo pode também ser definida no espaço dos c (Wendell, 1992), ou seja: R∆c = {∆c: –τ*| jc′ | ≤ ∆cj ≤ τ*| jc′ |; j=1, 2, …,n }, onde ∆cj=0 quando jc′ =0.

Tal como anteriormente, neste caso, ∆cj = jγ jc′ .


136

A região crítica para os coeficientes da função objectivo, a qual, tal como anteriormente, em problemas lineares é sempre um polítopo, pode ser definida como a região onde os referidos coeficientes podem variar simultânea e independentemente mantendo-se a solução óptima. Ou seja, é a região caracterizada pelo conjunto Rc={c: cBB-1N - cN ≥ 0} (ou, se for considerado o problema perturbado Rγ={γ: cBB-1N - cN ≥ 0;

jc = jjj cc ′+ ˆ γ ; j=1, 2, .., n}). A região de tolerância máxima está sempre contida nesta região crítica.

V.1.1.2 Formulação matemática e interpretação geométrica

Um valor não negativo, ρ, é uma possível tolerância para os coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais se e só se

–ρ≤ iδ ≤ρ; i=1, 2, …,m ⇒ B é uma base óptima de (V.1). (V.2)

De modo análogo, um valor não negativo, τ, é uma possível tolerância para os coeficientes da função objectivo se e só se

–τ≤ jγ ≤τ; j=1, 2, …,n ⇒ B é uma base óptima de (V.1). (V.3)

Sendo B-1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

'

'

'111

ˆ... ˆ... ˆ

mmm

iii

bb

bb

bb

δ

δ

δ

= b ˆB 1− + [ ]mm bb ′′ −− .B... .B 11

11 δ, a implicação (V.2)

pode ser rescrita como9:

–ρ≤ iδ ≤ρ; i=1, 2, …,m ⇒ b .B-1k + [ ]mkmk bb ′′ −− B... B 1

111 δ ≥ 0 (V.4.k)

; para cada k ∈ {1, …,m}.

A tolerância máxima, ρ*, é definida como sendo o maior de todos os valores possíveis para a tolerância ρ, ou seja, ρ*=sup{ρ: ρ satisfaz (V.4.k)}. Como ρ=0 é um valor admissível para a tolerância, então existe ρ não negativo (podendo ser infinito). Dado que o conjunto dos ρ que satisfazem (V.4.k) é fechado, o valor ρ* quando finito é um possível valor para a tolerância.

Como os valores dos custos reduzidos correspondentes às variáveis não básicas de uma dada solução óptima devem ser não negativos para manter a optimalidade da solução, a implicação (V.3) pode ser rescrita como:

–τ≤ jγ ≤τ; j=1, 2, …,n ⇒ 0γ ≥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′++′−−

−

−

−

kmh

kh

kkkk

mc

ccc

.A.B...

.A.B.ABˆ cˆ

1

11

B1

B

1

γ (V.5.k)

; para cada k ∈ K’.

9 .M i e j.M representam respectivamente a linha i e a coluna j da matriz M.


137

Tal como anteriormente, a tolerância máxima, τ*, é definida como sendo a maior de todas as tolerâncias possíveis τ, ou seja, τ*=sup{τ: τ satisfaz (V.5.k)} e é um valor não negativo (podendo ser infinito). Se τ* for finito é um possível valor para a tolerância.

Vejamos agora como o problema do cálculo da tolerância máxima ρ* pode ser interpretado geometricamente.

Sem perda de generalidade, consideremos m=2.

Na figura V.1 estão representados 2 semiplanos correspondentes a

)(bH k ′≥ ={δ= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2

1δδ : b .B-1

k + [ ]2121

11 B B bb kk ′′ −− δ≥0}, k=1, 2; assim como, as fronteiras dos

conjuntos Rρ={ 1δ , 2δ : ρρ ≤≤− iδ ; i=1, 2} para os valores de ρ=ρ’, ρ=ρ’’, ρ=ρ’’’ e ρ=ρ’’’’, onde ρ’<ρ’’<ρ’’’<ρ’’’’. Note-se que, para o caso de m=2, estes conjuntos, Rρ, correspondem a quadrados, para m=3 a cubos, e para m>3 são hipercubos10.

Determinar ρ* corresponde a encontrar o maior valor de ρ para o qual o correspondente quadrado é um subconjunto de todos os semiplanos existentes. Para isso, podemos considerar cada semiplano separadamente e determinar qual o maior valor de ρ para o qual o correspondente quadrado pertence ao semiplano em estudo. Seja esse valor ρk. ρ* será o menor destes valores, uma vez que nenhum dos outros quadrados é um subconjunto de todos os semiplanos existentes. Na situação da figura V.1 ρ1=ρ’’ e ρ2=ρ’’’ sendo ρ*=ρ’’.

Figura V.1 – A região de tolerância, Rρ* = {δ: –ρ*≤ iδ ≤ ρ*; i=1, 2, …,m} (∆= mℜ ).

Este raciocínio pode ser generalizado para o caso de m>2. Teremos então que determinar o maior valor de ρ para o qual o correspondente hipercubo é um subconjunto dos k semi-hiperespaços )(bH k ′≥ = {δ: b .B-1

k + [ ]mkmk bb ′′ −− B... B 11

11 δ ≥ 0} existentes;

k=1, …, m.

O problema do cálculo da tolerância ρk, pode também ser interpretado geometricamente como consistindo em encontrar a distância mínima, utilizando a norma

10 A regiões de tolerância para os coeficientes dos termos independentes das restrições no espaço dos b, R∆b, são rectângulos para m=2, paralelepípedos rectângulos para m=3, e hiper-paralelepípedos rectângulos para m>3.


138

de Tchebycheff (max{ 1δ , …, mδ }), desde a origem ( 1δ =0, …, mδ =0) até ao

hiperplano )(bH k ′= ={δ: b .B-1k + [ ]mkmk bb ′′ −− B... B 1

111 δ = 0}; k=1, …, m.

Na figura V.1 (m=2), esta distância mínima corresponde à menor das distâncias entre: a distância que vai desde a origem das coordenadas até ao ponto A (para k=1) e a distância que vai desde a origem das coordenadas até ao ponto B (para k=2).

Como tanto o ponto A como B são vértices dos quadrados representados na figura

V.1, podem ser caracterizados por ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−

k

kρsρs

2

1 , onde s1 e s2 podem tomar os valores 1 ou -1.

Além disso, tanto A como B pertencem respectivamente às rectas )(bH k ′= ={δ= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2

1δδ :

b .B-1k + [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−−′′ −−

k

kkk bb ρs

ρs B B2

12

121

11 = 0}, com k=1, 2.

Resolvendo cada equação em ordem a ρk temos:

ρk = 2

1221

111

1

B B

ˆ .Bbsbs

b

kk

k

′+′ −−

−

.

Sendo ρk a distância mínima até à recta respectiva, implica que s1=sgn ( )111 B bk ′− 11 e

s2=sgn ( )212 B bk ′− , ou seja:

ρk = 2

121

11

1

B B

ˆ .B

bb

b

kk

k

′+′ −−

−

.

Tal como anteriormente, este raciocínio pode ser facilmente generalizado para o caso em que m>2 (Teorema 3 em (Wendell, 1985) apresentado na secção seguinte).

Uma interpretação análoga pode ser obtida relativamente à tolerância máxima τ* para as perturbações nos coeficientes das funções objectivo.

V.1.1.3 Os resultados

Em (Wendell, 1985) o autor demostra como calcular as referidas tolerâncias máximas (Teorema 1). Seguidamente serão apresentados12 os teoremas e lemas usados na determinação de ρ* e τ*.

Lados direitos das restrições

Sejam os semi-hiperespaços )(bH k ′≥ ; k=1, …, m, definidos por:

)(bH k ′≥ ={δ: b .B-1k + [ ]mkmk bb ′′ −− B... B 1

111 δ≥0} (V.6.k)

11 Considerando α um escalar, define-se sgn(α) como tomando os valores +1, 0 e -1 para α>0, α=0 e α<0, respectivamente. 12 A demonstração pode ser encontrada em (Wendell, 1985).


139

e sejam )(bH k ′< os correspondentes semi-hiperespaços e )(bH k ′= os correspondentes hiperplanos (tendo a desigualdade ‘≥’ sido substituída pela desigualdade ‘<’ e pela igualdade, respectivamente).

Podemos definir ρk; k=1, …, m, do seguinte modo:

ρk ≡ sup ρ s.a. )(ρ bH k ′∈⇒≤ ≥∞ δδ , (V.7.k)

onde ∞. representa o valor da norma de Tchebycheff (ou seja, iδm ..., 1,iMax =∞ ≡δ ).

O valor ρ* (possivelmente infinito) é dado por (Teorema 2 em (Wendell, 1985)):

ρ* = m ..., 1,

Min=k

ρk. (V.8)

Vamos seguidamente ver como calcular o valor de ρk; k=1, …, m.

O valor ρk será finito se e só se m} ..., 2, {1, ∈∃ i para o qual 0 B 1 ≠′−iki b (Lema 1

em (Wendell, 1985)).

Se ρk for finito então existe pelo menos uma solução admissível (ρ’, δ′ ) para o problema (V.7.k) onde ρ’=ρk, ∞

′δ =ρk e )(bH k ′∈′ =δ (Lema 2 em (Wendell, 1985)).

Se ρk for finito então ρk= ∞*δ onde *δ é uma solução óptima de (Lema 3 em (Wendell, 1985)):

*δ ≡ Min ∞δ s.a. )(bH k ′∈ =δ . (V.9.k)

O valor ρk (finito ou infinito) é dado por (Teorema 3 em (Wendell, 1985)):

ρk = ∑ =

−

−

′mv vkv

k

b

b

11

1

B

ˆ .B, (V.10.k)

onde um denominador nulo para algum k significa que o correspondente valor é +∞. Se ρk for finito então uma solução óptima para (V.9.k) será:

*iδ = ( )

∑ =−

−−

′

′−mv vkv

ikik

b

bb

11

11

B

) Bsgn( ˆ .B. (V.11.k)

A tolerância máxima para as perturbações dos lados direitos das restrições em (V.1) é dada por (1ª parte do Teorema 1 em (Wendell, 1985)):

ρ* = m ..., 1,

Min=k ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′∑ =−

−

mv vkv

k

b

b

11

1

B

ˆ .B, (V.12)

onde um denominador nulo para algum k significa que o correspondente valor é +∞.


140

Coeficientes da função objectivo

Sejam os semi-hiperespaços )(cH k ′≤ ; k ∈ K’, definidos por:

)(cH k ′≤ ={γ: 0γ .A.B

....A.B

.ABˆ c ˆ 1

11

B1

B

1

≤⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′

−−′+−

−

−

kmh

kh

kkkk

mc

ccc γ } (V.13.k)

e sejam )(cH k ′> os correspondentes semi-hiperespaços, e )(cH k ′= os correspondentes hiperplanos (tendo a desigualdade ‘≤’ sido substituída pela desigualdade ‘>’ e pela igualdade, respectivamente).

Podemos definir τk; k ∈ K’, do seguinte modo: τk ≡ sup τ s.a. )(ρ cH k ′∈⇒≤ ≤

∞ γγ , (V.14.k)

onde ∞. representa o valor da norma de Tchebycheff (ou seja, jj γn ..., 1,Max =∞≡γ ).

O valor τ* (possivelmente infinito) é dado por (Teorema 4 em (Wendell, 1985)):

τ* = ⎩⎨⎧

=∞+

≠∈

ØK se,Ø K se, τMin

K ''

'k

k (V.15)

Vamos seguidamente ver como calcular o valor de τk, para cada k ∈ K’.

O valor τk será finito se e só se ou 0≠′kc ou m} ..., 2, {1, ∈∃ i para o qual

0.A.B 1 ≠′ −kihi

c ; para k ∈ K’ (Lema 4 em (Wendell, 1985)).

Se τk for finito então existe pelo menos uma solução admissível (τ’, γ′ ) para o problema (V.14.k) onde τ’=τk, ∞

′γ =τk e )(cH k ′∈′ =γ (Lema 5 em (Wendell, 1985)).

Se τk for finito então τk= ∞*γ onde *γ é uma solução óptima de (Lema 6 em (Wendell, 1985)):

*γ ≡ Min ∞γ s.a. )(cH k ′∈ =γ . (V.16.k)

O valor τk para k ∈ K’ (finito ou infinito) é dado por (Teorema 5 em (Wendell, 1985)):

τk = ∑ =

−

−

′+′ mi kihk

kk

icccc

11

1B

.A .B

ˆ - .A B ˆ, (V.17.k)

onde um denominador nulo para algum k significa que o correspondente valor é +∞. Se τk for finito então uma solução óptima para (V.16.k) será:

*jγ =

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==′+′

′

=′+′

′

∑

∑

=−

−−=

−

−

casos outros , 0

m1,..., onde ; para , .A .B

).A .B sgn( ).A B ˆ - ˆ(

para , .A .B

)sgn( )ˆ - .A B ˆ(

11

11B

11

1B

rhjcc

ccc

kjcc

ccc

rmi kihk

krhkk

mi kihk

kkk

i

r

i

(V.18.k)


141

Se K’≠Ø (K’≠Ø se n>m) a tolerância máxima para as perturbações nos coeficientes da função objectivo em (V.1) é dada por (2ª parte do Teorema 1 em (Wendell, 1985))13:

τ* = 'K

Min∈k ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′+′ ∑ =−

−

mi kihk

kk

icccc

11

1B

.A .B

ˆ - .A B ˆ, (V.19)

onde um denominador nulo para algum dos #K’ valores de (V.19) significa que o correspondente valor é +∞.

Se K’=Ø então a referida tolerância máxima é +∞.

Comentários

Toda a informação necessária ao cálculo de (V.12) e (V.19) pode ser obtida a partir dos quadros simplex inicial e óptimo. Por exemplo, o numerador de (V.12) é *

khx ; o

numerador de (V.19) é o custo reduzido associado a kx ; ki .A.B 1− é o elemento da linha i e coluna k do quadro óptimo.

A partir de (V.12) e (V.19), pode concluir-se que se algum dos valores de ib e jc forem conhecidos com precisão, os valores obtidos para ρ* e τ* serão consequentemente maiores, dado que os correspondentes ib′ e jc′ são considerados nulos.

Apesar de os autores terem estudado isoladamente as perturbações nos termos independentes das restrições e nos coeficientes das funções objectivo de (V.1), os resultados obtidos mostram que estas podem ser consideradas simultaneamente, uma vez que (V.12) e (V.19) não dependem de jγ e iδ , respectivamente. Assim, considerando simultaneamente parâmetros de perturbação associados aos coeficientes dos termos independentes das restrições e aos da função objectivo a mesma base manter-se-á óptima desde que δ ∈ Rρ* e γ ∈ Rτ*.

V.1.1.4 Exemplo ilustrativo

O seguinte problema linear monobjectivo com quatro variáveis de decisão e duas restrições, estudado por Wendell (1985, 1984, 1992), possibilita uma melhor compreensão da abordagem exposta.

max 12 x1 + 20 x2 + 18 x3 + 40 x4 s.a. 4 x1 + 9 x2 + 7 x3 + 10 x4 ≤ 6000 x1 + x2 + 3 x3 + 40 x4 ≤ 4000

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 13 A matriz B correspondente à base óptima do problema (V.1) pode ser escrita na forma de colunas como [

1. hA

2. hA …

mhA . ] onde ihA . representa a coluna hi da matriz A (associada à i-ésima variável

básica).


142

Se x5 e x6 forem as variáveis folga associadas a cada uma das restrições, o quadro simplex óptimo é o apresentado na tabela V.1: Tabela V.1 – Quadro simplex multiobjectivo óptimo (exemplo ilustrativo)

xB cB x c

x1 12

x2 20

x3 18

x4 40

x5 0

x6 0

b

x1 12 1 7/3 5/3 0 4/15 -1/15 4000/3

x4 40 0 -1/30 1/30 1 -1/150 2/75 200/3

cB B-1 N - cN 0 20/3 10/3 0 44/15 4/15 56000/3

Considerando isoladamente cada um dos coeficientes dos termos independentes das restrições funcionais, pode concluir-se, por intermédio de um estudo de análise de sensibilidade (tradicional), que:

• O termo independente da primeira restrição pode variar no intervalo [ min

1b , max1b ] = [1000, 16000] (-5000 ≤ ∆b1 ≤ 10000) sem que a base óptima

se altere;

• O termo independente da segunda restrição pode variar no intervalo [ min

2b , max2b ] = [1500, 24000] (-2500 ≤ ∆b2 ≤ 20000) sem que a base óptima se

altere.

A partir da figura V.2(a) pode observar-se que estes intervalos correspondem à intersecção de ambos os semiplanos 0b ≥ B-1 (definidores da região crítica para os

coeficientes dos termos independentes das restrições) com a recta horizontal 2b = 4000 e com a recta vertical 1b = 6000, respectivamente.

(a) Lados direitos das restrições

(b) Perturbações nos lados direitos das restrições

Figura V.2 – A região crítica e a região de tolerância para o exemplo ilustrativo (∆= mℜ ).


143

Utilizando a análise de tolerância, pode concluir-se que a base óptima obtida manter-se-á óptima desde que os coeficientes dos termos independentes das duas restrições não variem, simultânea e independentemente, mais do que 45.45% em relação aos seus valores estimados; ou seja, a base óptima não se altera desde que o termo independente da primeira restrição varie no intervalo [3272.(72), 8727.(27)]14 e, simultaneamente o termo independente da segunda restrição varie no intervalo [2181.(81), 5818.(18)] (-2727.(27) ≤ ∆b1 ≤ 2727,(27) e -1818.(18) ≤ ∆b2 ≤ 1818,(18)). O valor da percentagem máxima de tolerância é determinado por ρ*=min{5/7; 5/11}=5/11. Estes resultados podem ser facilmente obtidos a partir da análise das figuras V.2(a) e V.2(b).

Suponhamos agora que o AD conhece com precisão o lado direito da segunda

restrição. Neste caso 2b′ = 0, ou seja, ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=′

06000b e a percentagem máxima de tolerância

ρ* = min{5/6; 5/3} = 5/6. A base óptima manter-se-á óptima desde que o termo independente da primeira restrição não varie mais do que 83.33% do seu valor estimado; ou seja, se situe no intervalo [1000, 11000] (-5000 ≤ ∆b1 ≤ 5000 e b2 = 4000).

De modo análogo, se o AD conhecer com precisão o lado direito da primeira

restrição então ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=′4000

0b e ρ* = min{5; 5/8} = 5/8. A base óptima manter-se-á óptima

desde que o termo independente da segunda restrição não varie mais do que 62.5% em relação ao seu valor estimado; ou seja, se situe no intervalo [1500, 6500] (b1 = 6000 e -2500 ≤ ∆b2 ≤ 2500).

Comparando os intervalos obtidos para os coeficientes por intermédio de um estudo de análise de sensibilidade (tradicional) e através da análise de tolerância, pode concluir-se que os segundos estão sempre contidos nos primeiros, isto é, [ ] [ ]maxmin , *ρˆ, *ρˆ

iiiiii bbbbbb ⊆′+′− . Verifica-se também que, se todas as componentes

de b′ excepto a componente i forem nulas e 0≥′ib então ou min*ρˆiii bbb =′− ou

max*ρˆiii bbb =′+ .

Um estudo similar pode ser efectuado para os coeficientes da função objectivo.

Por exemplo, se não conhecermos informação adicional sobre os coeficientes da função objectivo temos c′ = (12, 20, 18, 40, 0, 0), K = {2, 3, 5, 6} e τ* = min{5/37; 5/59; 11/13; 1/7} = 5/59 ≈ 0.0847.

A análise de tolerância permite-nos concluir que a solução obtida se mantém óptima desde que todos os coeficientes da função objectivo não variem, simultânea e independentemente, mais do que 8.47% em relação aos seus valores estimados; ou seja, a solução óptima obtida permanecerá óptima desde que o coeficiente de x1 a x4 variem, respectivamente, nos intervalo [10.98, 13.02], [18.31, 21.69], [16.47, 19.53] e [36.61, 43.39], simultânea e independentemente.

Estes intervalos estão incluídos nos obtidos através de um estudo de análise de sensibilidade (tradicional) aplicado aos coeficientes das funções objectivo. Nesse caso 14 Foi utilizada a nomenclatura 3272.(72) para representar uma dízima infinita periódica, ou seja, o valor 3272.(72)=3272,727272727272....


144

sabemos que os coeficientes de x1 a x4 podem variar respectivamente nos intervalo [10, 16], [-∞, 26.67], [-∞, 21.33] e [30, 240], mantendo-se óptima a solução calculada.

Suponhamos agora que o AD conhece com precisão o coeficiente de x1 na função objectivo, 1c = 12. Neste caso temos c′ = (0, 20, 18, 40, 0, 0), K = {2, 3, 5, 6} e τ* = min{5/16; 5/29; 11; 1/4} = 5/29 ≈ 0.1724.

A solução óptima manter-se-á óptima desde que os coeficientes da função objectivo correspondentes às variáveis x2, x3, e x4 não variem, simultânea e independentemente, mais do que 17.24% em relação aos seus valores estimados.

Maiores valores podem ser obtidos para a tolerância máxima dos coeficientes da função objectivo se for possível conhecer com precisão outros coeficientes.

V.1.2 Existência “a priori” de informação relativa a gamas de variação para os coeficientes dos lados direitos das restrições e da função objectivo

Wendell (1984) mostra como integrar no estudo anterior a existência “a priori” de informação relativa a gamas de variação de alguns coeficientes de modo a obter maiores valores para as percentagens máximas de tolerância a determinar.

Dado que o raciocínio usado é idêntico ao anterior, muitos dos resultados (teoremas, corolários e lemas) apresentados nas próximas secções estão inter-relacionados com os apresentados anteriormente.

V.1.2.1 O problema

Wendell (1984) denomina ∆ e Γ como os conjuntos, definidos “a priori” pelo AD, nos quais os coeficientes δ e γ irão variar, respectivamente.

Definindo as regiões de tolerância Rρ* e Rτ* como anteriormente em V.1.1.1, pode afirmar-se que uma base óptima de (V.1) manter-se-á óptima para todos os δ ∈ Rρ* ∩ ∆ e uma solução óptima de (V.1) manter-se-á óptima para todos os γ ∈ Rτ* ∩ Γ.

Considerando o caso geral em que os conjuntos ∆ e Γ são polítopos, o autor mostra como se pode calcular o valor da tolerância máxima por intermédio dos resultados obtidos com o método simplex.

Wendell (1984) efectua um estudo mais aprofundado para o caso particular em que estes conjuntos têm a forma ∆(l, µ)={δ: li≤δi≤µi; i=1, …, m} e Γ(l, µ)={γ: lj≤γj≤µj; i=1, …, n}15, sendo (li e µi) e (lj e µj) os limites inferiores e superiores dos intervalos onde δi e γj podem variar, respectivamente; com -∞≤li≤0≤µi≤+∞ e -∞≤lj≤0≤µj≤+∞. Neste caso, os parâmetros δi e γj irão variar nos intervalos [li, µi] e [lj, µj], respectivamente.

15 l =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

vl

l...

1 e µ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

vµ

µ...

1, com v=m em ∆(l, µ) ou v=n (=#K’) em Γ(l, µ).


145

Se, para algum i (j), li (lj)=-∞ e µi (µj)=+∞, então significa que não existe “a priori” informação que possibilite delimitar o intervalo associado ao respectivo δi (γj).

Se, para algum i (j), li (lj)=0 e µi (µj)=0, temos um modo alternativo, mas menos conveniente, de especificar que o correspondente parâmetro é conhecido com precisão.

Para o caso particular em que estes conjuntos têm a forma ∆(l, µ) ou Γ(l, µ), é apresentada em (Wendell, 1984) uma abordagem iterativa para o cálculo da tolerância máxima (“relaxation procedure”) a qual consiste num tratamento mais “permissivo” da abordagem apresentada em (Wendell, 1985), uma vez que, para cada um dos k semi-hiperespaços ( )(bH k ′≥ ou )(cH k ′≤ ), o autor começa por estudar o problema ignorando todos os limites finitos para li e µi ou lj e µj (situação estudada em (Wendell, 1985); ∆= mℜ ou Γ= nℜ ), sendo estes considerados de forma gradual mais tarde, caso se mostre necessário, permitindo assim obter maiores valores para as tolerâncias calculadas.

V.1.2.2 Formulação matemática e interpretação geométrica

Um valor não negativo ρ é uma possível tolerância para os coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais se e só se

⎭⎬⎫

≤∆∈

∞ ρδδ ⇒ b .B-1

k + [ ]mkmk bb ′′ −− B... B 11

11 δ ≥ 0 (V.20.k)

; para cada k ∈ {1, …,m}, onde ∞. representa o valor da norma de Tchebycheff16.

A tolerância máxima ρ* é definida como sendo o maior de todos os valores possíveis para a tolerância ρ, ou seja, ρ*=sup{ρ: ρ satisfaz (V.20.k)}. Como em V.1.1.2, sendo ρ=0 um valor admissível para a tolerância, então existe ρ não negativo (podendo ser infinito). Dado que o conjunto dos ρ que satisfazem (V.20.k) é fechado, o valor ρ* quando finito é um possível valor para a tolerância.

De modo análogo, um valor não negativo τ é uma possível tolerância para os coeficientes da função objectivo se e só se17:

⎭⎬⎫

≤Γ∈

∞ τγγ ⇒ 0γ

.A.B...

.A.B .ABˆ c ˆ

1

11

B1

B

1

≥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′++′−−

−

−

−

kmh

kh

kkkk

mc

ccc γ (V.21.k)

; para cada k ∈ K’.

Tal como anteriormente, a tolerância máxima τ* é definida como sendo a maior de todas as tolerâncias possíveis τ, ou seja, τ*=sup{τ: τ satisfaz (V.21.k)} e é um valor não negativo (podendo ser infinito). Se τ* for finito é um possível valor para a tolerância.

16 A expressão de baixo no lado esquerdo da implicação (V.20.k) corresponde a –ρ ≤ iδ ≤ ρ; i=1, …, m. 17 A expressão de baixo no lado esquerdo da implicação (V.21.k) corresponde a –τ ≤ jγ ≤ τ; j=1, …, n.


146

Vejamos agora como o problema do cálculo da tolerância máxima ρ* pode ser interpretado geometricamente. Sem perda de generalidade, consideremos m=2. Na figura V.3 estão representados 2 semiplanos correspondentes a

)(bH k ′≥ ={δ= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2

1δδ : b .B-1

k + [ ]2121

11 B B bb kk ′′ −− δ≥0}, k=1, 2; o conjunto ∆(l, µ)={δ= ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

2

1δδ :

l1≤δ1≤µ1}18; assim como, as fronteiras dos conjuntos { 1δ , 2δ : -ρ≤ iδ ≤ρ; i=1, 2}, para os valores de ρ=ρa, ρ=ρc, ρ=ρb e ρ=ρd onde ρa<ρc<ρb<ρd.

Determinar ρ* corresponde a encontrar o maior valor de ρ para o qual a intersecção de ∆ com o correspondente quadrado (figura V.3) é um subconjunto de todos os semiplanos existentes. Para isso, podemos considerar cada semiplano separadamente e determinar qual o maior valor de ρ para o qual a intersecção de ∆ com o correspondente quadrado pertence ao semiplano em estudo. Seja esse valor ρk. ρ* será o menor destes valores. Na situação da figura V.3, ρ1=ρc e ρ2=ρd sendo ρ*= ρc.

Figura V.3 – A região de tolerância, Rρ* = {δ: –ρ*≤ iδ ≤ ρ*; i=1, 2, …,m} (∆≠ mℜ ).

Este raciocínio pode ser generalizado para o caso de m>2.

Teremos então que determinar o maior valor de ρ para o qual a intersecção de ∆ com o correspondente hipercubo é um subconjunto dos k semi-hiperespaços )(bH k ′≥ = {δ:

b .B-1k + [ ]mkmk bb ′′ −− B... B 1

111 δ≥0} existentes; k=1, …,m.

Uma interpretação análoga pode ser obtida no tocante à tolerância máxima τ*.

V.1.2.3 Os resultados Seguidamente serão apresentados19 alguns teoremas, lemas e corolários usados na determinação dos valores das tolerância máximas ρ* e τ*. 18 O parâmetro δ1 irá variar no intervalo [l1, µ1]. 19 A demonstração pode ser encontrada em (Wendell, 1984).


147

Lados direitos das restrições

Sejam )(bH k ′≥ , )(bH k ′< e )(bH k ′= ; k=1, …, m, definidos como em V.1.1.3.

Podemos definir ρk; k=1, …, m do seguinte modo:

ρk ≡ sup ρ s.a. )(ρ bH k ′∈⇒⎭⎬⎫

≤∆∈ ≥

∞δδ

δ . (V.22.k)

O valor ρ* (possivelmente infinito) é dado por (Teorema 1 em (Wendell, 1984))20:

ρ* = m ..., 1,

Min=k

ρk. (V.23)

Vamos seguidamente ver como calcular o valor de ρk; k=1, …, m.

O valor ρk será infinito se e só se

inf ∑=

− ′m

iiiki b

1

1 B δ s.a. ∆∈δ (V.24.k)

for maior ou igual a bkˆ .B 1−− (Teorema 2 em (Wendell, 1984)).

Sendo o problema (V.24.k) um problema linear, a sua solução pode ser facilmente determinada.

Se ∆=∆(l, µ) então ρk será finito se e só se )(ˆ bH k ′∈ <δ onde (Corolário 2.1 em (Wendell, 1984))

0 B se ,)(0 B se ,0 B se ,

ˆ1

1

1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′<′>′

=−

−

−

iki

ikii

ikii

i

barbitráriobbl

µδ

A partir deste corolário pode-se obter o seguinte resultado que é equivalente ao Lema 1 em (Wendell, 1985):

Se ∆= mℜ então ρk será finito se e só se m} ..., 2, {1, ∈∃ i para o qual 0 B 1 ≠′−iki b

(Corolário 2.2 em (Wendell, 1984)).

Se ρk for finito então existe pelo menos uma solução admissível (ρ’, δ′ ) para o problema (V.22.k) onde ρ’=ρk, ∞

′δ =ρk e )(bH k ′∩∆∈′ =δ (Lema 1 em (Wendell, 1984))21.

Se ρk for finito então ρk= ∞*δ onde *δ é uma solução óptima de (Teorema 3 em (Wendell, 1984))22:

*δ ≡ Min ∞δ s.a. )(bH k ′∩∆∈ =δ . (V.25.k)

20 Equivalente ao Teorema 2 em (Wendell, 1985). 21 Correspondente ao Lema 2 em (Wendell, 1985). 22 Correspondente ao Lema 3 em (Wendell, 1985).


148

Antes de aplicar o teorema anterior (Teorema 3 em (Wendell, 1984)) é necessário garantir que ρk é finito. Assim sendo, determinar ρk envolve (na pior das situações) a resolução de dois problemas de programação linear, (V.24.k) e (V.25.k). Na prática, é aconselhável resolver inicialmente (V.25.k) pois, dependendo da solução deste, podemos não precisar de resolver (V.24.k): se a solução de (V.25.k) for não admissível então ρk=+∞ (e não é necessário resolver (V.24.k)). No entanto, quando a solução de (V.25.k) é admissível ρk=+∞ se e só se qualquer solução óptima de (V.25.k) é também óptima de (V.24.k).

O problema (V.25.k) pode ser reformulado como um problema de programação linear.

Quando ∆= mℜ , obtém-se o teorema 3 em (Wendell, 1985): O valor ρk (finito ou infinito) é dado por (Corolário 3.1 em (Wendell, 1984)):

ρk = ∑ =

−

−

′mv vkv

k

b

b

11

1

B

ˆ .B , (V.26.k)

onde um denominador nulo para algum k significa que o correspondente valor é +∞. Se ρk for finito então uma solução óptima para (V.25.k) será:

*iδ = ( )∑ =

−

−−

′

′−mv vkv

ikik

b

bb

11

11

B

) Bsgn( ˆ .B . (V.27.k)

Se ∆≠ mℜ , mas ∆=∆(l, µ), é proposta a abordagem iterativa (Wendell, 1984) para o cálculo do valor ρk, que consiste no seguinte: depois de verificar que ρk é finito, começa-se por resolver o problema considerando ∆= mℜ (denominado “completely relaxed problem” em (Wendell, 1984))

• se os valores obtidos para 0iδ satisfizerem os limites impostos “a priori” pelo

AD (ou seja, se 0δ ∈ ∆(l, µ)) então a solução obtida é óptima;

• se não, repetir o seguinte raciocínio até que, para uma iteração t, tδ ∈ ∆(l, µ):

atribuir às componentes de tδ ( tiδ ) que não respeitam os limites impostos

pelo AD (li ou µi) os valores dos respectivos limites violados, mantendo-os constantes a partir desta iteração; recalcular as restantes componentes, a partir da equação do hiperplano )(bH k ′= correspondente.

Procedimento iterativo – (“relaxation procedure” em (Wendell, 1984)) (V.28.k)

Passo 1: Verificar se ρk é finito ou não por intermédio do Corolário 2.1 (Wendell, 1984). Se for finito continuar para o passo 2.

Passo 2: Considerar I0={i: 0 B 1 ≠′−iki b }, t=0 e

0iδ =

( )∑ =

−

−−

′

′−mv vkv

ikik

b

bb

11

11

B

) Bsgn( ˆ .B; para i=1, …, m.

Passo 3: Seja It+1={i: li≤ tiδ ≤µi; para i ∈ It}. Se It+1=It então a solução óptima de

(V.25.k) quando ∆=∆(l, µ) é tδ tal que ρk= ∞tδ . Caso contrário continuar no passo 4.


149

Passo 4: Para cada i, considerar

1+tiδ =

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′

′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′+−

<∈>∈

∉

∑

∑

+

+

∈

−

−

∉

+−−

casos outros , B

)Bsgn( Bˆ .B

com I para , com I para ,

I para ,

1

1

I

1

1

I

111

t

t

t

vvkv

ikiv

tivkvk

itii

iti

ti

tti

b

bbb

lilii

δ

δµδµ

δ

Incrementar t e voltar ao passo 3.

O seguinte corolário garante que o algoritmo anterior tem convergência finita.

Se ∆=∆(l, µ) e se no passo 1 do procedimento iterativo (V.28.k) se verificar ser ρk finito, então o algoritmo calcula uma solução óptima para o problema (V.25.k) no máximo em m iterações (Corolário 3.2 em (Wendell, 1984))23.

Coeficientes da função objectivo

Sejam )(cH k ′≤ , )(cH k ′> , e )(cH k ′= (para cada k ∈ K’) definidos como em V.1.1.3.

Podemos definir τk, para k ∈ K’, do seguinte modo:

τk ≡ sup τ s.a. )(τ cH k ′∈⇒⎭⎬⎫

≤Γ∈ ≤

∞γγ

γ . (V.29.k)

Se K’≠Ø então τ*=+∞. Caso contrário, o valor τ* (possivelmente infinito) é dado por (Teorema 4 em (Wendell, 1984))24:

τ* = 'K

Min∈k

τk. (V.30)

Vamos seguidamente ver como calcular o valor de τk, para cada k ∈ K’.

O valor τ k será infinito se e só se

sup ∑=

−′−′m

ihkihkk ii

γ.ccγ1

1 A.B s.a. Γ∈γ (V.31.k)

for menor ou igual a kk cc ˆ .ABˆ 1B −− (Teorema 5 em (Wendell, 1984)).

O problema (V.31.k) é um problema linear cuja solução pode ser facilmente determinada.

Se Γ=Γ(l, µ) então τk é finito se e só se )(ˆ cH k ′∈ >γ onde (Corolário 5.1 em (Wendell, 1984)):

0 se ,)(0 se ,0 se ,

ˆ⎪⎩

⎪⎨⎧

=′>′<′

=k

kk

kk

kcarbitrárioccl

µγ

23 A demonstração pode ser encontrada em (Wendell, 1984). 24 Equivalente ao Teorema 4 em (Wendell, 1985).


150

e

0 .A.B se ,)(0 .A.B se ,0 .A.B se ,

ˆ1

1

1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′>′<′

=−

−

−

kih

kihh

kihh

h

i

ii

ii

i

carbitrárioccl

µγ .

A partir deste corolário pode-se obter o seguinte resultado que é equivalente ao Lema 4 em (Wendell, 1985):

Se Γ= nℜ então τk será finito se e só se 0≠′kc ou m} ..., 2, {1, i ∈∃ para o qual

0.A.B 1 ≠′ −kihi

c , para k ∈ K’ (Corolário 5.2 em (Wendell, 1984)).

Se τk for finito, então existe pelo menos uma solução admissível (τ’, γ′ ) para o problema (V.29.k) onde τ’=τk, ∞

′γ =τk e )(cH k ′∩Γ∈′ =γ (Lema 2 em (Wendell, 1984))25.

Se τk for finito então τk= ∞*γ onde *γ é uma solução óptima de (Teorema 6 em (Wendell, 1984))26:

*γ ≡ Min ∞γ s.a. )(cH k ′∩Γ∈ =γ . (V.32.k)

Tal como para ρk, antes de aplicar o teorema anterior (Teorema 6 em (Wendell, 1984)) é necessário garantir que τk é finito. Na prática, é aconselhável resolver inicialmente (V.32.k) e só se a solução deste for admissível é que é necessário verificar se τk é finito ou não.


Quando Γ= nℜ obtém-se o teorema 5 em (Wendell, 1985) - (Corolário 6.1 em (Wendell, 1984)) O valor τk para k ∈ K’ (finito ou infinito) é dado por:

τk = ∑ =

−

−

′+′ mi kihk

kk

icc

cc

11

1B

.A .B

ˆ - .A B ˆ, (V.33.k)

onde um denominador nulo para algum k significa que o correspondente valor é +∞. Se τk for finito então uma solução óptima para (V.32.k) será:

*jγ =

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==′+′

′

=′+′

′

∑

∑

=−

−−=

−

−

casos outros ,0

m1,..., onde ; para ,.A .B

).A .B sgn( ).A B ˆ - ˆ(

para ,.A .B

)sgn( )ˆ - .A B ˆ(

11

11B

11

1B

rhjcc

ccc

kjcc

ccc

rmi kihk

krhkk

mi kihk

kkk

i

r

i

(V.34.k)

25 Correspondente ao Lema 5 em (Wendell, 1985). 26 Correspondente ao Lema 6 em (Wendell, 1985).


151

Se Γ≠ nℜ , mas Γ=Γ(l, µ), Wendell (1984) propõe uma abordagem iterativa para o cálculo do valor τk, semelhante à apresentada anteriormente para o cálculo de ρk: depois de verificar que τk é finito resolve-se o problema considerando Γ= nℜ , e só então se têm em atenção os limites que são violados pelos valores t

jγ obtidos na iteração t.

Procedimento iterativo – (“relaxation procedure” em (Wendell, 1984)) (V.35.k)

Passo 1: Verificar se τk é finito ou não por intermédio do Corolário 5.1 (Wendell, 1984). Se for finito continuar para o passo 2.

Passo 2: Considerar J0={k, hi; para i=1, ..., m: 0≠′kc , 0.A.B 1 ≠′ −kihi

c }, t=0 e

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==′+′

′

=′+′

′

=∑

∑

=−

−−=

−

−

casos outros ,0

m1,..., onde ; para ,.A .B

).A .B sgn( ).A B ˆ - ˆ(

para ,.A .B

)sgn( )ˆ - .A B ˆ(

1

1

11B

1

1

1B

0 rhjcc

ccc

kjcc

ccc

rmi kihk

krhkk

mi kihk

kkk

j

i

r

i

γ

Passo 3: Seja Jt+1={j: lj≤ tjδ ≤µj; para j ∈ Jt}. Se Jt+1=Jt então a solução óptima de

(V.32.k) quando Γ=Γ(l, µ) é tγ tal que τk= ∞tγ . Caso contrário continuar no passo 4.

Passo 4: Para cada j, • caso k ∈ Jt+1 considerar:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==∈

′+′

′⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛′−

=

′+′

′⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛′+

<∈

>∈

∉

=

+∈=

−

−

∉=

−+−

∈=

−

∉=

−+−

+

∑

∑

∑

∑

+

+

+

+

m ..., 1, algum para com J para ,

.A .B

).A.Bsgn( ).A .B (.ABˆ-ˆ

para ,

.A .B

)sgn( ).A .B (ˆ-.ABˆ

com J para ,

com J para ,

J para ,

1J1,

1

1

J1,

111B

J1,

1

J1,

11th

1B

1

1

1

1

1

i

rhjj

cc

cccc

kj

cc

cccc

ljl

j

j

rt

m

hi

kihk

krh

m

hi

kihthkk

m

hi

kihk

k

m

hi

kihkk

jtj

tj

jtj

tj

t

tj

tj

ti

i

r

ti

ii

ti

i

ti

i

γ

γ

γ

µγµ

γ

γ


152

• caso k ∉ Jt+1 considerar:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==∈

′

′⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛′−′+

<∈

>∈

∉

=

+∈=

−

−

∉=

−++−

+

∑

∑

+

+

m ..., 1, algum para com J para ,

.A .B

).A.Bsgn( ).A .B (.ABˆ-ˆ

com J para ,

com J para ,

J para ,

1J1,

1

1

J1,

11th

1tk

1Bk

1

1

1

i

rhjj

c

ccccc

ljl

j

j

rt

m

hi

kih

krh

m

hi

kihkk

jtj

tj

jtj

tj

t

tj

tj

ti

i

r

ti

iγγ

γ

µγµ

γ

γ


O algoritmo anterior tem convergência finita a qual é garantida pelo seguinte corolário.

Se Γ=Γ(l, µ) e se no passo 1 do procedimento iterativo (V.35.k) se verificar ser τk finito, então o algoritmo calcula uma solução óptima para o problema (V.32.k) no máximo em m+1 iterações (Corolário 6.2 em (Wendell, 1984))27.

Comentários Toda a informação usada neste algoritmo pode ser obtida a partir dos quadros simplex inicial e óptimo.

Pode ser feito um estudo simultâneo considerando perturbações nos termos independentes das restrições e nos coeficientes das funções objectivo de (V.1), mantendo- -se a mesma base óptima desde que δ ∈ Rρ*∩ ∆ e γ ∈ Rτ*∩ Γ.

Uma vez que o valor de ρk (assim como o de τk) não pode diminuir quando é introduzida informação adicional relativa a gamas de variação para os coeficientes em ∆ (assim como em Γ), o algoritmo proposto por Wendell (1984) para o cálculo do valor de ρ* (e de τ*) como o menor dos valores de ρk (e de τk) finitos, determinados por intermédio do procedimento iterativo (V.28.k) (e por (V.35.k)) para os diferentes k, não nos parece o mais eficiente.

Assim sendo, sugerimos28 que, por exemplo, no cálculo do valor de ρ* se determinem inicialmente todos os valores finitos de ρk considerando ∆= mℜ (e eventualmente os coeficientes conhecidos com precisão). Posteriormente, deve determinar-se o índice h(=k), onde o menor valor de ρk foi obtido, ρh. Entrar-se-ia depois numa fase iterativa onde se testa se os correspondentes valores dos parâmetros estão incluídos em ∆. 27 A demonstração pode ser encontrada em (Wendell, 1984). 28 Um algoritmo similar a este será utilizado na abordagem interactiva proposta no capítulo VI para determinar a percentagem máxima de tolerância para os pesos das diferentes funções objectivo.


153

Se sim, então o valor da tolerância máxima ρ*=ρh; se não, o procedimento iterativo (V.28.k) deve ser utilizado para recalcular o valor de ρh.

Considerem-se todos os índices onde os valores actuais de ρk são estritamente inferiores ao valor ρh. Se não existir qualquer índice, então foi encontrado o valor da tolerância máxima ρ* = ρh; caso existam índices, repete-se esta fase iterativa considerando apenas esses novos índices h(=k).

Um estudo análogo deve ser efectuado para obter o valor de τ* quando Γ≠ pℜ .


Para ilustrar a abordagem exposta, consideremos o mesmo problema linear monobjectivo que anteriormente em V.1.1.4.

Suponhamos que o AD consegue especificar o intervalo [3600, 4400] para a variação do coeficiente correspondente ao lado direito da segunda restrição, ou seja,

∆(l,µ)={δ= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

2

1δδ : 101− ≤δ2≤ 101 }.


(b) perturbações nos lados direitos das restrições

Figura V.4 – A região crítica e a região de tolerância para o exemplo ilustrativo (∆≠ mℜ ).

Aplicando o procedimento iterativo (V.28.k) temos:

• k=1 Passo 1: Por intermédio do corolário 2.1 (Wendell, 1984) podemos verificar

que ρ1 é finito, uma vez que 1δ =-∞, 2δ =1/10, e

221

12111

11ˆ Bˆ B δδ bb ′+′ −− =-∞.

Passo 2: I0={1, 2}, t=0, 01δ =-5/7, e 0

2δ =5/7.


154

Passo 3: I1={1}.

Passo 4: 12δ =1/10, 1

1δ =-49/60, e t=1.

Passo 3: I2={1}; sendo I1= I2, temos ρ1=∞

1δ =49/60.

Este valor para a tolerância corresponde aos pontos A e Aδ, representados nas figuras V.4(a) e V.4(b), respectivamente.

• k=2 Passo 1: Por intermédio do corolário 2.1 (Wendell, 1984) podemos verificar

que ρ2 é finito, uma vez que 1δ =+∞, 2δ =-1/10, e

221

22111

21ˆ Bˆ B δδ bb ′+′ −− =-∞.

Passo 2: I0={1, 2}, t=0, 01δ =10/22, e 0

2δ =-10/22.

Passo 3: I1={1}.

Passo 4: 12δ =-1/10, 1

1δ =7/5, e t=1.

Passo 3: I2={1}; sendo I1= I2, temos ρ2=∞

1δ =7/5.

Este valor para a tolerância corresponde aos pontos B e Bδ, representados nas figuras V.4(a) e V.4(b), respectivamente.

Logo, ρ*=min{49/60; 7/5}=49/60 (ver figuras V.4(a) e V.4(b)).

Nesta situação, a base óptima obtida manter-se-á óptima desde que os coeficientes dos termos independentes das duas restrições não variem simultânea e independentemente mais do que 81.67% em relação aos seus valores estimados.

Se compararmos este valor com o anteriormente obtido quando não possuíamos qualquer informação “a priori”, verificamos que a tolerância máxima para os coeficientes dos termos independentes das restrições aumentou de 45.45% para 81.67%. Podemos também comparar este valor com o obtido anteriormente quando o coeficiente do lado direito da segunda restrição era conhecido com precisão. Neste caso, a tolerância máxima diminuiu de 5/6≈83.33% para 81.67%. Se considerarmos que conhecer com precisão um coeficiente corresponde a especificar para o mesmo um intervalo de amplitude nula, e não possuir qualquer informação corresponde a especificar um intervalo com limites infinitos, os valores obtidos são coerentes.

Consideremos que o AD especifica o intervalo [11.5, 12.5] para a gama de variação do coeficiente de x1 na função objectivo.

Efectuando um estudo análogo ao anterior, agora para os coeficientes da função objectivo, através do procedimento iterativo (V.35.k), chegamos a um valor de 12.93% para a tolerância máxima. Esta análise permite-nos concluir que a solução obtida se mantém óptima desde que os coeficientes da função objectivo não variem simultânea e independentemente mais do que 12.93% em relação aos seus valores estimados. Como era de esperar, verificamos que a tolerância máxima para os coeficientes da função objectivo aumentou de 8.47% (quando não possuíamos qualquer informação “a priori”) para 12.93%, assim como diminuiu de 17.24% (quando esse coeficiente era preciso) para 12.93%.


155

Se o AD, além de especificar o intervalo [11.5, 12.5] para a gama de variação do coeficiente de x1 na função objectivo, especificar também o intervalo [17, 19] para a gama de variação do coeficiente de x3 na função objectivo obtém-se um valor maior do que o anterior para a tolerância máxima, 21.88%.

V.2 Generalização da abordagem de tolerância de Wendell

Com o intuito de ultrapassar o problema encontrado na prática para a abordagem tolerante inicialmente proposta (Wendell, 1985), de obtenção de valores pequenos ou mesmo nulos para a percentagem máxima de tolerância, bem como para o facto dos intervalos determinados para a variação dos parâmetros não serem tão amplos como poderiam ser, alguns autores propuseram generalizações para problemas lineares monobjectivo (Wondolowski, 1991; Wendell, 1992; Wang e Huang, 1993).

Geometricamente, o que estes autores fazem consiste em substituir a região de tolerância de Wendell (1985), a qual é um hipercubo no espaço das perturbações para os parâmetros, por uma nova região de tolerância hiper-paralelepípedo rectangular (que eventualmente poderá ser igual à de Wendell (1985)), pertencente à região crítica considerada.

Nas subsecções seguintes desta secção vamos explicar resumidamente as ideias essenciais destes autores, servindo-nos da correspondente interpretação gráfica devidamente ilustrada com exemplos, usadas na determinação da região de tolerância expandida.

Serão omitidos os formalismos teóricos do problema e da estrutura da solução, assim como a exposição dos teoremas, lemas e corolários respectivos, que podem ser encontrados em (Wondolowski, 1991; Wendell, 1992; Wang e Huang, 1993).

V.2.1 A abordagem expandida de Wondolowski (1991) e Wendell (1992)

Considerando o facto de na abordagem anterior (Wendell, 1985, 1984), os valores obtidos para as percentagens máximas de tolerância poderem ser nulos caso haja soluções degeneradas ou óptimos alternativos (o que é vulgar acontecer em problemas reais, mesmo com dimensão média), Wondolowski (1991) propõe a abordagem ITR (“Individual Tolerance Range method”), a qual pretende ser uma generalização da abordagem de Wendell (1985), possibilitando obter maiores regiões de tolerância (ou pelo menos regiões iguais) com um pequeno aumento da complexidade.

Não apresentando qualquer referência a (Wondolowski, 1991), Wendell publica na mesma revista no ano seguinte, o artigo (Wendell, 1992), onde expõe ideias que na essência são similares às de Wondolowski, embora difiram nalgumas considerações, nomeadamente no que se refere ao valor da percentagem máxima de tolerância para o caso em que esta não é possível ser determinada (onde Wendell considera como sendo infinita e Wondolowski como sendo nula). De referir que em (Wendell, 1985) e (Wendell, 1984), o autor já alude que se encontra em preparação um trabalho onde irá alargar os intervalos de tolerância, e no qual a abordagem tolerante pode ser vista como uma generalização da análise de sensibilidade (tradicional).


156

V.2.1.1 Interpretação geométrica

Em termos geométricos, a ideia essencial desta abordagem consiste em considerar a região de tolerância inicial de Wendell (1985) e de seguida aumentar essa região, nas várias direcções (e sentidos) possíveis, até que os vértices dessa região atinjam os hiperplanos que limitam a região crítica correspondente à solução óptima considerada.

Sem perda de generalidade, consideremos m=2.

Na figura V.5, semelhante à figura V.1 já anteriormente analisada geometricamente, estão representadas, no espaço das perturbações para os parâmetros (lados direitos das restrições, neste caso), a região de tolerância inicial (quadrado com vértice A, (Wendell, 1985)), a região de tolerância expandida (rectângulo que tem como vértices opostos A e B), assim como as fronteiras dos conjuntos Rρ={ 1δ , 2δ :

ρρ ≤≤− iδ ; i=1, 2}, para k=1, 2 (quadrados com vértices A e B, respectivamente).

Figura V.5 – A região de tolerância expandida (∆= mℜ ).

Podemos determinar a região de tolerância expandida partindo da região de tolerância de Wendell (1985), a qual está associada ao menor valor de ρk (k=1), do seguinte modo: seleccionar o vértice oposto a A, ou seja, aquele que na região tolerância em estudo (quadrado de vértice A) tem um lugar equivalente ao que pertence à recta definidora do semi-plano para o quadrado relacionado com o valor seguinte em termos de (ordem crescente de) grandeza para ρk (k=2, vértice B); fazer alargar a região de tolerância em estudo até que o vértice seleccionado encontre a recta definidora do semi-plano para esse k.

Se a dimensão do espaço das perturbações para os parâmetros for superior a 2 (m>2), este procedimento pode ser repetido até termos alargado a região inicial (no máximo) nas m-1 outras dimensões.

Este raciocínio pode ser generalizado para o caso de m>2 (ou #K’>2). A região de tolerância de Wendell (1985), a qual é um hipercubo no espaço das perturbações para os parâmetros, pode ir sendo sucessivamente alargada, nas direcções e sentidos em que a mesma não se encontra limitada pela fronteira da região crítica dos parâmetros considerada, de tal modo que os vários vértices do hiper-paralelepípedo rectangular correspondente à nova região de tolerância passem a pertencer a diferentes hiperplanos definidores dos

V.2 - Generalização da abordagem de tolerância de Wendell

157

semi-hiperespaços )(bH k ′≥ ={δ: b .B-1k + [ ]mkmk bb ′′ −− B... B 1

111 δ≥0}; k=1, …,m (ou

)(cH k ′≤ ={γ: 0γ ≤⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

′

′−−′+

−

−

−

kmh

kh

Bkkk

mc

ccc

.A.B...

.A.B .ABˆ c ˆ

1

11

1Bk

1

γ }; k ∈ K’).

Neste estudo não é tido apenas em consideração o valor da tolerância máxima, ou seja, o menor dos valores de ρk ou de τk determinados, mas são sucessivamente considerados vários valores. Daí que Wondolowski (1991) tenha apelidado esta abordagem de “Individual Tolerance Range method”.

Se considerarmos a região crítica (Rb ou Rc) e as duas regiões de tolerância mencionadas (R∆b ou R∆c, e E∆b ou E∆c), as condições:

E∆b ⊆ R∆b ⊆ Rb (V.36) e E∆c ⊆ R∆c ⊆ Rc (V.37) verificam-se sempre.

De referir que Wendell (1992) mostra, com um contra-exemplo, a não possibilidade de integrar neste estudo o conhecimento “a priori” de informação no tocante às gamas de variação para alguns dos parâmetros.


Wondolowski (1991) efectua um estudo comparativo entre os resultados obtidos pela análise de sensibilidade (tradicional), pela metodologia de abordagem tolerante em análise de sensibilidade inicialmente proposta por Wendell (1985) e pela abordagem expandida proposta (ITR – “Individual Tolerance Range method”), utilizando para o efeito o mesmo problema linear monobjectivo estudado por Wendell (1985, 1984, 1992), que também temos vindo a estudar ao longo dos exemplos deste capítulo.

Dado que o estudo efectuado por Wondolowski (1991) nos pareceu interessante, apresentamos seguidamente nas tabelas V.2 e V.3 os resultados correspondentes.

Os resultados sumariados na tabela V.2 podem ser facilmente obtidos a partir da análise gráfica das figuras V.2 e V.6. Na tabela V.3 são apresentados resultados similares no que se refere às gamas de variação dos coeficientes da função objectivo. Tabela V.2 – Gamas de variação para os lados direitos das restrições funcionais (exemplo ilustrativo).

Limites inferiores Limites superiores

Análise de Sensibilidade Wondolowski Wendell bi Wendell Wondolowski Análise de

Sensibilidade

b1 1000 1714.29 3272.73 6000 8727.27 8727.27 16000

b2 1500 2181.82 2181.82 4000 5818.18 6857.14 24000

Os valores apresentados nas colunas das tabelas V.2 e V.3, correspondentes aos limites (inferiores e superiores) dos intervalos de variação dos coeficientes calculados por


158

um estudo de análise de sensibilidade (tradicional) e através da análise de tolerância inicialmente proposta por Wendell (1985), coincidem com os já anteriormente determinados em V.1.1.4.


(b) Perturbações nos lados direitos das restrições

Figura V.6 – A região crítica e a região de tolerância expandida para o exemplo ilustrativo (∆= mℜ ).

Tabela V.3 – Gamas de variação para os coeficientes de função objectivo (exemplo ilustrativo).

Limites inferiores Limites superiores

Análise de Sensibilidade Wondolowski Wendell cj Wendell Wondolowski Análise de

Sensibilidade

c1 10 10.98 10.98 12 13.02 13.71 16.00

c2 -∞ -∞ 18.31 20 21.69 22.70 26.67

c3 -∞ -∞ 16.47 18 19.53 19.53 21.33

c4 30 36.61 36.61 40 43.39 45.41 240

Comparando os intervalos obtidos para os coeficientes por intermédio de um estudo de análise de sensibilidade (tradicional), através da abordagem expandida proposta por Wondolowski (1991) e Wendell (1992), e da análise de tolerância inicialmente proposta por Wendell (1985), pode concluir-se que os últimos estão sempre contidos nos segundos estando estes também sempre contidos nos primeiros.

V.2.2 A abordagem baseada na região de volume máximo de Wang e Huang (1993)

Na abordagem tolerante proposta por Wendell (1985), os intervalos obtidos para a variação (nas perturbações) dos parâmetros estimados podem não ser tão largos como na prática o são (podendo mesmo ser originados intervalos com amplitude nula). Isto decorre

V.2 - Generalização da abordagem de tolerância de Wendell

159

do facto da percentagem máxima de tolerância depender exclusivamente do parâmetro que se manifesta mais severo nas variações em relação aos valores estimados, não havendo, portanto, nenhuma compensação no que diz respeito aos outros parâmetros menos sensíveis a variações.

Wang e Huang (1993) propõem a abordagem MVR (“Maximum Volume Region”), na qual determinam a região de tolerância para a variação nas perturbações dos parâmetros estimados, através da resolução de um problema de programação dinâmica, como aquela que possui volume máximo dentro da região crítica considerada.

Estes autores consideram perturbações nos valores estimados para os parâmetros mais genéricas que as anteriormente analisadas. Em vez de estudarem apenas os casos particulares em que bi= ib +∆bi, com ∆bi= iδ ib′ , e cj= jc +∆cj, com ∆cj= jγ jc′ , consideram

variações paramétricas do tipo ∆bi=mx1

H1 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∑ =h hihtb e ∆cj=

nx1

H1 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∑ =h hjhtc onde bih e cjh

possuem valores especificados pelo AD e t=[t1, ..., th, ..., tH]T é um vector com H parâmetros.

V.2.2.1 Interpretação geométrica Tal como anteriormente (Wondolowski, 1991, Wendell, 1992), a região de tolerância de volume máximo, determinada pela abordagem MVR (Wang e Huang, 1993), encontra-se limitada por uma fronteira hiper-paralelepípeda rectangular simétrica em relação aos valores estimados para os parâmetros.

(a) A região crítica (S)

(b) As regiões de tolerância (B)

Figura V.7 – As regiões de tolerância de Wendell (1985), B’w , da abordagem MVR (Wang e Huang, 1993), Bs , e a respectiva região expandida, B~ s , para a região crítica S considerada.

(em (Wang e Huang, 1993))

Por exemplo, se a região crítica para os parâmetros de perturbação considerada for a região S apresentada na figura V.7(a), então a região de tolerância originada pela abordagem de Wendell (1985) corresponde à região B’w representada na figura V.7(b). Para essa região, B’w, a variação na perturbação do parâmetro t1 apresenta um intervalo relativamente estreito quando comparado com o intervalo para a variação na perturbação do parâmetro t2. Aliás, o parâmetro t1 nem se apresentava limitado superiormente na região crítica S. Neste caso, Wang e Huang (1993) afirmam que o parâmetro t2 é mais sensível a variações do que t1.


160

Dentro da região crítica S existem outras regiões hiper-paralelepípedas rectangulares (rectângulos neste caso) simétricas em relação aos valores estimados para os parâmetros, e que possuem um maior volume (neste caso será apenas uma área) associado às variações nas perturbações dos parâmetros. A região de volume máximo calculada pela abordagem MVR corresponde à região Bs representada na figura V.7(b).

Nalgumas situações, a região crítica para a variação nas perturbações dos parâmetros estimados determinada pela abordagem MVR corresponde à região de tolerância da abordagem de Wendell (1985), como no exemplo da figura V.8. Dado que nenhum outro rectângulo pertencente à região crítica tem área superior a B’w, então B’w =Bs .

Figura V.8 – A região de tolerância de volume máximo, Bs, e a respectiva região expandida.

(em (Wang e Huang, 1993))

Segundo os autores, se a região crítica do problema (S) for não limitada (superior ou inferiormente), como acontece nos exemplos das figuras V.7 e V.8, então a região de tolerância determinada pela abordagem MVR não permite caracterizar completamente a região crítica considerada. Wang e Huang (1993) apresentam, assim, uma extensão à própria abordagem, a abordagem EMVR (“Extended Maximum Volume Region”), na qual têm em atenção se a região crítica considerada é ou não limitada nalguma(s) das direcções possíveis, sendo neste último caso considerada uma nova região de tolerância também ilimitada.

Embora possamos ser levados a pensar que, nesta situação, a região de tolerância não é única, dado que para todas elas o volume é não finito, os autores garantem essa unicidade pois apenas “relaxam” a região Bs inicial de modo a obter B~ s , ou seja: Bs ⊆ B~ s ⊆ S. (V.38)

Mais, se não forem considerados valores precisos para nenhum dos coeficientes, Wang e Huang (1993) provam que: Volume(B’w) ⊆ Volume(Bs) ⊆ Volume( B~ s). (V.39)

Se bem que exista algum carácter intuitivo na maximização do volume associado às variações nos parâmetros de perturbação para os valores estimados, não existe qualquer justificação racional para a preferência, por parte do AD, desta abordagem em detrimento das outras. Na prática, o uso da abordagem de volume máximo na determinação da região de tolerância pode apresentar ao AD gamas de variação para alguns parâmetros bastante mais estreitas ou dilatadas que o necessário.

V.3 - A abordagem de tolerância em problemas de PLMO de Hansen et al. (1989)

161

V.3 A abordagem de tolerância em problemas de PLMO de Hansen et al. (1989)

Quando há mais do que uma função objectivo, um dos processos de cálculo de soluções eficientes consiste na resolução de um problema escalar cuja função objectivo é uma soma ponderada das p funções objectivo, como definido em (II.28). A análise de sensibilidade das soluções eficientes do problema (II.28) em relação à variação dos pesos é um assunto de grande importância. No entanto, torna-se difícil para o AD lidar com parâmetros de perturbação em mais do que um coeficiente ao mesmo tempo.

A abordagem tolerante proposta por Wendell (1985, 1984) pode ser alargada de modo a permitir estudar quanto os vários pesos podem variar, simultânea e independentemente, em relação aos seus valores estimados mantendo-se eficiente uma solução básica anteriormente calculada para esses pesos (Hansen et al., 1989). Neste trabalho, é também integrada a possibilidade de o AD conhecer “a priori” informação adicional sobre a gama de variação de alguns pesos, obtendo-se deste modo maiores valores para a tolerância máxima calculada.

V.3.1 O problema

Considerando parâmetros de perturbação associados aos pesos das p funções objectivo, a extensão da abordagem tolerante apresentada por Hansen et al. (1989) estuda o seguinte problema perturbado29:

max )(C)ˆ(1

.∑=

′+p

rrrrr xλφλ (V.40)

s. a. A x = b x = (x1, ..., xj, ..., xn)T ≥ 0,

onde 0≥′rλ e rλ representa o valor estimado para rλ , r=1, …, p.

Se bem que façam um estudo teórico genérico para quaisquer valores de rλ′ , os autores consideram mais detalhadamente a situação em que os parâmetros φr representam percentagens de variação (ou erro) em relação ao valores estimados rλ , ou seja, rr λλ ˆ=′ 30.

29 Com a finalidade de evitar o uso do mesmo símbolo com significados diferentes, a nomenclatura aqui utilizada não corresponde exactamente àquela que os autores utilizaram em (Hansen et al., 1989). Por exemplo, γr que é usado em (Hansen et al., 1989) para representar o parâmetro multiplicativo de rλ′ surge aqui como φr, dado que, γj corresponde em (Wendell, 1985, 1984) ao parâmetro multiplicativo

de jc′ ; o mesmo acontecendo a Γ e τ que foram substituídos por Φ e ν respectivamente. 30 Tal com anteriormente, se rλ′ =1 então os valores φr podem ser interpretados como representando variações aditivas para rλ ; r=1, …, p.


162

Se algum dos valores de rλ for conhecido com precisão, então o correspondente

rλ′ é considerado nulo.

Muitas vezes o AD pode não ser capaz de especificar com precisão os valores dos pesos associados aos objectivos, mas apenas conseguir definir uma região na qual se supõe que irão variar.

Genericamente, podemos considerar Φ como a região onde o vector φ = (φ1, …, φp) irá variar.

No caso particular em o AD especifica para cada peso um intervalo [ ]rr λλ , , ou

seja, quando rrrrr λλ λφλ ˆ ≤′+≤ , cada valor de perturbação φr irá também variar num

intervalo [ ]rrφφ , e Φ( φφ , )31 será um hiper-paralelepípedo rectângulo. Para cada rλ′ >0

temos:

r

rrr

r

rrr λ

λλφ

λλλ

φ′

−=

′−

=ˆ

e ˆ

.

Para garantir que os valores rrr λλ ′+ φˆ são não negativos, podemos escolher

rλ =032, ou seja, r

rr λ

λφ ′−=

ˆ .

V.3.2 Formulação matemática

Se xk (k ∈ K’) é uma variável não básica para uma dada base eficiente de (V.40),

então o seu custo reduzido é dado por ∑=

′+p

rk - rkrrr Zλλ1r

)C()ˆ( φ , sendo )C( rk - rkZ =Wrk o

custo reduzido de xk (correspondente à função objectivo r) e k-

rrk )AB( CZ 1B .= . Nestas

condições verifica-se sempre a relação:

∈≥′+ ∑∑==

cada para ;0 )C( )C(ˆ11

kZZp

rrk - rkrr

p

rrk - rkr λφλ K’. (V.41.k)

31 φ =l=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

pφ

φ

...1

e φ =µ=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

pφ

φ...

1.

Usando um argumento similar ao de Wendell (1985, 1984), se para algum r=1, …, p, r

φ = -∞ e

rφ = +∞, significa que não existe informação “a priori” que possibilite delimitar um intervalo onde os

valores de λr irão variar; se r

φ = rφ = 0, temos um modo alternativo de expressar que λr é conhecido com

precisão. 32 Para eliminar a possibilidade de obter soluções fracamente não dominadas, rλ deve ser positivo.


163

Um valor não negativo ν é um valor possível para a tolerância nos pesos das funções objectivo, se e só se uma solução óptima de (V.40) se mantiver óptima desde que

Φ∈φ e ν≤∞φ , onde { }p ..., 1,,max ==∞ rrφφ representa a norma de Tchebycheff de φ (o valor absoluto de cada coeficiente de perturbação rφ não excede ν).

Seja C(ν) = {φ ∈ pℜ : ≤∞φ ν} o hipercubo de centro no valor dos pesos estimados e raio ν.

Sejam os semi-hiperespaços )(λ′≤kH , k ∈ K’, definidos por:

)(λ′≤kH = {φ: 0)Z(Cˆ )Z(C

11≤+′ ∑∑

==

p

rrk - rkr

p

rrk - rkrr λλφ }, (V.42.k)

e sejam )(λ′>kH os correspondentes semi-hiperespaços e )(λ′=

kH os correspondentes hiperplanos (tendo a desigualdade ‘≤’ sido substituída por ‘>’ e pela igualdade, respectivamente).

Então, a região crítica para os pesos das funções objectivo (por analogia com as definições propostas por Wendell (1985, 1984) e apresentadas anteriormente), associada com uma dada solução eficiente do problema perturbado (V.40), pode ser definida por

I K' )(

∈≤ ′=

k kHH λ e é o hiper-poliedro constituído pelos pontos φ que satisfazem (V.41.k),

para todos os k ∈ K’.

O número não negativo ν é um valor possível para a tolerância dos pesos das funções objectivo se e só se, para cada k ∈ K’,

)( )(C λ′⊆Φν ≤kHI , (V.43.k)

ou seja,

H )(C ⊆Φν I . (V.44)

A tolerância máxima ν* é definida como sendo a maior de todas as tolerâncias possíveis ν, ou seja, ν*=sup{ν: ν satisfaz (V.44)} e é um valor não negativo (podendo ser infinito). Se ν* for finito é um possível valor para a tolerância.

V.3.3 Os resultados

Seguidamente será apresentado um resumo dos teoremas e corolários usados na determinação do valor da tolerância máxima ν* quando Φ é um poliedro genérico: com Φ= pℜ , e com Φ=Φ( φφ , ). Note-se que estes casos constituem uma extensão dos anteriormente apresentados por Wendell (1985, 1984).

Para cada k ∈ K’, podemos definir a tolerância νk por:

νk = sup{ν: ν satisfaz (V.43.k)}.


164

Sendo o conjunto dos ν que satisfazem (V.43.k) fechado, então νk é finito, podendo o mesmo ser calculado.

O valor ν* (possivelmente infinito) é dado por (Teorema 1 em (Hansen et al., 1989)):

ν* = 'K

Min∈k

νk. (V.45)

Vamos seguidamente ver como calcular o valor de νk, para cada k ∈ K’. Comecemos por ver se o valor de νk é finito ou não.

O valor νk será infinito se e só se

sup ∑=

′p

rrkrkrr -

1)Z(Cλφ s.a. Φ∈φ (V.46.k)

for menor ou igual a ∑=

p

rrk rkr -

1)C(Zλ (Teorema 2 em (Hansen et al., 1989)).

O problema (V.46.k) é um problema linear cuja solução pode ser facilmente determinada.

Se Φ=Φ( φφ , ) então νk=+∞ se e só se )(ˆ λ′∈ ≤kHφ onde (Corolário 2.1 em

(Hansen et al., 1989))

casos outros ,)(

0)Z(C se , 0)Z(C se ,

ˆ⎪⎩

⎪⎨⎧

<′>′

=arbitrário

- -

rkrkrr

rkrkrr

r λφλφ

φ

A partir deste corolário pode obter-se o seguinte resultado.

Se Φ= pℜ então νk=+∞ se e só se p ..., 1, cada para ,0)Z(C ==′ r - rkrkrλ (Corolário 2.2 em (Hansen et al., 1989)).

Se νk for finito então νk = ∞*φ onde *φ é uma solução óptima de (Teorema 3 em (Hansen et al., 1989)):

*φ ≡ Min ∞φ s.a. )(λ′∩Φ∈ =kHφ . (V.47.k)


Quando Φ= pℜ obtém-se o corolário 3.1 em (Hansen et al., 1989):

O valor νk para k ∈ K’ (finito ou infinito) é dado por:

νk = ∑∑

=

=

′pr rk rkr

pr rk rkr

-

-

1

1

ZC

)C(Zˆ

λ

λ, (V.48.k)

onde um denominador nulo para algum k significa que o correspondente valor é +∞. Se νk for finito, então uma solução óptima para (V.47.k) será:

*rφ = νk [ ])Z(Csgn rk rkr - λ′ . (V.49.k)


165

Se Φ=Φ( φφ , ), o valor de νk pode ser obtido por intermédio de um procedimento iterativo, muito semelhante ao apresentado em (Wendell, 1984) que, por uma razão similar à já referida em relação aos procedimentos (V.28.k) e (V.35.k), não nos parece o mais eficiente33. Depois de verificar que νk é finito resolve-se inicialmente o problema com Φ= pℜ , e só então se consideram gradualmente os vários limites que são violados pelos valores t

rφ obtidos na iteração t.

Procedimento iterativo – (“relaxation procedure” em (Hansen et al., 1989)) (V.50.k)

Passo 1: Verificar se νk é finito ou não, por intermédio do Corolário 2.1 (Hansen et al., 1989). Se for finito continuar para o passo 2.

Passo 2: Considerar J0={r=1, ..., p: 0)Z(C ≠′ rkrkr - λ }, t=0 e

[ ]∑∑

=

=

′′=

pr rk rkr

pr rk rkr

rk rkrr-

- -

1

10

ZC

)C(Zˆ )Z(Csgn

λ

λλφ .

Passo 3: Seja Jt+1={r: rtrr

φφφ ≤≤ ; para r ∈ Jt}.

Se Jt+1=Jt então a solução óptima de (V.47.k) quando Φ( φφ , ) é tφ tal que νk=∞

tφ .

Caso contrário continuar no passo 4;

Passo 4: Para cada r=1, … p fazer:

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

′

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛′+′

>∈

<∈

∉

=

∑

∑∑

+

+

∈=

∉=

+

=

+

p

rr

rk rkr

p

rr

rk rkrtr

p

rrk rkrrk rkr

rtr

t

r

rtr

tr

t

tr

tr

t

t

-

- - -

r

r

r

1

1

J1,

J1,

1

1

1

ZC

)C(Z)C(Zˆ )Z(Csgn

com J para ,

com J para ,

J para ,

λ

λφλλ

φφ

φφφ

φ

φ

φ


Em (Hansen et al., 1989), embora a fórmula correspondente ao cálculo de 1+trφ

presente no passo 4 do procedimento iterativo (V.50.k) esteja correcta, todos os cálculos 33 Em VI.1.2 será detalhadamente explicada uma proposta de modificação ao procedimento proposto por Hansen et al. (1989) para determinar o valor de tolerância máxima ν*, o qual corresponde a um procedimento muito análogo ao já sugerido resumidamente para o cálculo do valor de ρ* (e de τ*), em V.1.2.3.


166

obtidos a partir dela, para r ∈ Jt com rtr φφ > , apresentam um erro. A soma existente no

numerador da fracção foi substituída por uma subtracção durante os cálculos. Este erro foi detectado quando obtivemos os primeiros resultados a partir da implementação computacional efectuada, e confirmado posteriormente por inspecção gráfica das regiões de tolerância e de indiferença obtidas nos diagramas paramétricos para a metodologia proposta na secção 3 do capítulo VI.

Este algoritmo também tem convergência finita a qual é garantida pelo seguinte corolário.

Se Φ=Φ( φφ , ) e se no passo 1 do procedimento iterativo (V.50.k) se verificar ser νk finito, então o algoritmo calcula uma solução óptima para o problema (V.47.k) no máximo em p+1 iterações (Corolário 3.2 em (Hansen et al., 1989)).

Durante a análise geométrica das regiões críticas e de tolerância para os pesos das funções objectivo (que será apresentada na secção 1 do capítulo seguinte), verificámos que a convergência é garantida não ao fim de p+1 iterações, como referido no corolário anterior presente em (Hansen et al., 1989), mas sim ao fim de p-1 iterações (Borges e Antunes, 2002a)34.

V.3.4 Exemplo ilustrativo

Para ilustrar a aplicação da abordagem anteriormente exposta a problemas lineares multiobjectivo, consideremos o seguinte problema35, com quatro variáveis de decisão, três funções objectivo a maximizar e duas restrições:

Max 10 x2 + 80 x4 Max 10 x2 + 10 x3 + 20 x4 Max 10 x1 + 10 x2 + 10 x3 + 10 x4

s.a. 4 x1 + 9 x2 + 7 x3 + 10 x4 ≤ 6000 x1 + x2 + 3 x3 + 40 x4 ≤ 4000

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 Tabela V.4 – Quadro simplex multiobjectivo óptimo (exemplo multiobjectivo ilustrativo).

xB CB x C

x1 (0, 0, 10)

x2 (10, 10, 10)

x3 (0, 10, 10)

x4 (80, 20, 10)

x5 (0, 0, 0)

x6 (0, 0, 0)

b

x1 (0, 0, 10) 1 7/3 5/3 0 4/15 -1/15 4000/3

x4 (80, 20, 10) 0 -1/30 1/30 1 -1/150 2/75 200/3

Z1k-C1k 0 -38/3 8/3 0 -8/15 32/15 16000/3

Z2k-C2k 0 -32/3 -28/3 0 -2/15 8/15 4000/3

Z3k-C3k 0 13 7 0 39/15 -2/5 14000

34 Ou, se considerarmos t=0 como 1 iteração (a qual se limita essencialmente ao passo 2 e corresponde a estudar o problema (V.47.k) ignorando todos os limites finitos, Φ= pℜ ), ao fim de p iterações. 35 Este exemplo é o estudado por Hansen et al. (1989) e possui as mesmas restrições que o problema estudado anteriormente em V.1.1.4.


167

Sejam x5 e x6 as variáveis folga associadas a cada restrição respectivamente. O quadro simplex multiobjectivo óptimo, considerando λ =(0.1; 0.3; 0.6), encontra-se na tabela V.4.

Se o AD não conseguir especificar “a priori” qualquer informação adicional para a variação dos valores dos pesos estimados para os objectivos (Φ= 3ℜ ), podemos calcular a tolerância máxima ν* do seguinte modo:

K= {2, 3, 5, 6};

ν2=25/92; ν3=25/109; ν5=55/62; ν6=5/23

Sendo ν*=min{νk; k ∈ K}=5/23≈0.2174.

A abordagem tolerante permite-nos concluir que esta solução manter-se-á eficiente desde que cada uma das componentes de λ não varie simultânea e independentemente mais do que 21.74% em relação aos seus valores estimados, ou seja, desde que simultaneamente se verifique 1217.0ˆ07826.0 1 ≤≤ λ ,

3652.0ˆ2348.0 2 ≤≤ λ e 7304.0ˆ4696.0 3 ≤≤ λ .

Consideremos que o valor do peso .101 =λ é conhecido com precisão. Fazendo 01 =′λ temos:

ν2=10/33; ν3=5/21; ν5=11/12; ν6=1/3 e ν*= 5/21≈0.2381.

Esta solução manter-se-á eficiente desde que os valores de 2λ e 3λ não variem simultânea e independentemente mais do que 23.81% em relação aos seus valores estimados (tendo 1λ o valor 0.1), ou seja, desde que simultaneamente se verifique

3714.0ˆ2286.0 2 ≤≤λ e 7429.0ˆ4571.0 3 ≤≤λ . O facto de 1λ ser preciso possibilita obter maiores valores para ν*.

Consideremos que o AD, além de conhecer com precisão o valor do peso .101 =λ , especifica que o peso 3λ irá variar no intervalo [0.5; 0.7].

Neste caso Φ( φφ , )={ φ : 0≤φ1≤0; -∞≤φ2≤+∞; -1/6≤φ3≤1/6}

Para calcular ν* é necessário aplicar o algoritmo (V.50.k) exposto com k=2, 3, 5 e 6.

• Com k=2 obtemos: Passo 1: Vamos verificar se ν2 é finito:

1φ =0; 2φ =+∞; 3φ =-1/6 e ∑∑==

′+3

122

3

122 )Z(Cˆ )Z(Cˆ

rr - rrr

rr - rr λφλ =+∞

)(ˆ2 λ′∉ ≤Hφ sendo ν2 finito.

Passo 2: J0={2, 3}, t=0, 01φ =0, 0

2φ =10/33, e 03φ =-10/33.

Passo 3: J1={2}. Passo 4: 1

1φ =0, 12φ =61/96, 1

3φ =-1/6, e t=1.


168

Passo 3: J2={2}; sendo J1= J2 temos ν2=∞

1φ =61/9636.

• Com k=3 obtemos: Passo 1: Tal como anteriormente verifica-se que ν3 é finito:

1φ =0; 2φ =+∞; 3φ =-1/6 e ∑∑==

′+3

133

3

133 )Z(Cˆ )Z(Cˆ

rr - rrr


)(ˆ3 λ′∉ ≤Hφ .

Passo 2: J0={2, 3}, t=0, 01φ =0, 0

2φ =5/21, e 03φ =-5/21.


1φ =0, 12φ =29/84, 1

3φ =-1/6, e t=1.


1φ =29/8437.


1φ =0; 2φ =+∞; 3φ =-1/6 e ∑∑==

′+3

155

3

155 )Z(Cˆˆ )Z(Cˆ

rr - rrr


)(ˆ5 λ′∉ ≤Hφ .

Passo 2: J0={2, 3}, t=0, 01φ =0, 0

2φ =11/12, e 03φ =-11/12.


1φ =0, 12φ =181/6, 1

3φ =-1/6, e t=1.


1φ =181/638.


1φ =0; 2φ =-∞; 3φ =1/6 e ∑∑==

′+3

166

3

166 )Z(Cˆ )Z(Cˆ

rr - rrr


)(ˆ6 λ′∉ ≤Hφ .

Passo 2: J0={2, 3}, t=0, 01φ =0, 0

2φ =-1/3, e 03φ =+1/3.


1φ =0, 12φ =-7/12, 1

3φ =1/6, e t=1.


1φ =7/1239.

Sendo ν*=min{νk; k ∈ K}=29/84≈0.345240. 36 Em (Hansen et al., 1989) ν2=139/92, em vez do valor correcto de 61/96. 37 Em (Hansen et al., 1989) ν3=71/84, em vez do valor correcto de 29/84. 38 Em (Hansen et al., 1989) ν5=252/6, em vez do valor correcto de 181/6. 39 Em (Hansen et al., 1989) ν6=13/12, em vez do valor correcto de 7/12. 40 Em (Hansen et al., 1989) ν*=71/84, em vez do valor correcto de 29/84. Por acaso, este valor mínimo foi obtido para o mesmo k ∈ K (k =3).

V.4 - Considerações finais

169

Esta solução manter-se-á eficiente desde que os valores de 2λ e 3λ não variem simultânea e independentemente mais do que 34.52% em relação aos seus valores estimados (tendo 1λ o valor 0.1). Dado que a gama de variação especificada “a priori” pelo AD para 3λ é mais estreita que [0.6(1-29/84), 0.6(1+29/84)] = [0.3929, 0.8071], esta

solução manter-se-á eficiente desde que 4036.0ˆ1964.0 2 ≤≤λ e 7.0ˆ5.0 3 ≤≤λ , possuindo

1λ o valor 0.1.

V.4 Considerações finais

A metodologia de abordagem tolerante em análise de sensibilidade foi inicialmente proposta por Wendell (1985) com o intuito de possibilitar ao AD um modo simples de estudar os efeitos da variação, simultânea e independente, de alguns parâmetros seleccionados em modelos de optimização lineares com uma única função objectivo. Neste estudo, é integrada a possibilidade de o AD conhecer “a priori” informação adicional sobre a gama de variação de alguns parâmetros do modelo (Wendell, 1984).

Essencialmente, esta abordagem consiste na determinação duma percentagem máxima de tolerância, tal que se alguns parâmetros seleccionados não variarem, simultânea e independentemente, mais do que a referida percentagem, então a solução óptima calculada anteriormente mantém-se óptima.

Geometricamente, esta abordagem pode ser interpretada como a determinação duma região de tolerância (maior hipercubo no espaço das perturbações nos parâmetros ou maior hiper-paralelepípedo rectângulo no espaço dos parâmetros) para a variação, simultânea e independente, dos parâmetros seleccionados, dentro da região crítica associada à solução óptima para o problema.

Além de possibilitar variações simultâneas e independentes nos parâmetros, a abordagem de tolerância apresenta também como grandes vantagens o facto de ser geometricamente apelativa, os resultados apresentarem-se fáceis de entender pelo AD, e os cálculos necessários à determinação da percentagem máxima de tolerância serem mínimos (a partir dos valores obtidos do quadro simplex óptimo).

As grandes desvantagens encontram-se na possibilidade de obtenção de valores pequenos, ou mesmo nulos, para a percentagem máxima de tolerância, o que ocorre com frequência em modelos de optimização reais com dimensão moderada, e no facto da percentagem máxima de tolerância depender exclusivamente do parâmetro que apresenta maior sensibilidade perante a variação dos valores estimados.

No entanto, as propostas de generalização da abordagem tolerante inicialmente apresentada (Wendell, 1985) em problemas lineares monojectivo, abordadas na secção 2 deste capítulo, também não resolvem estes inconvenientes. Os resultados obtidos pela abordagem expandida de Wondolowski (1991) e Wendell (1992) não se apresentam válidos quando existe informação “a priori” para as gamas de variação de alguns dos parâmetros, como o mostra Wendell (1992) através de um contra-exemplo. O uso da abordagem baseada na região de volume máximo (Wang e Huang, 1993) na determinação


170

da região de tolerância pode, na prática, apresentar ao AD gamas de variação para alguns parâmetros bastante mais amplas ou apertadas que o desejável (Wendell, 2004).

No contexto multiobjectivo, Hansen et al. (1989) propõem uma extensão à abordagem tolerante em análise de sensibilidade apresentada por Wendell (1985, 1984), calculando as soluções eficientes através da optimização da soma pesada das funções objectivo, considerando a possibilidade de conhecer “a priori” as gamas de variação para alguns pesos.

Nos exemplos ilustrativos apresentados nas secções anteriores, o AD foi sucessivamente acrescentando informação adicional, quer para os coeficientes precisos, quer relativamente às gamas de variação dos diferentes parâmetros no modelo.

Quanto mais estreitas forem as gamas de variação dos parâmetros especificados pelo AD e maior for a quantidade de informação conhecida “a priori”, maiores serão os valores encontrados para a percentagem máxima de tolerância (havendo, no entanto, a garantia de que serão pelo menos iguais aos encontrados na situação em que não é especificada nenhuma informação adicional pelo AD).

A partir dos exemplos apresentados podemos concluir que, na prática, é aconselhável que a especificação de informação adicional, relativamente aos coeficientes imprecisos, seja feita interactivamente e com possibilidade de a informação não corresponder a uma estrutura de preferências estável, de modo a ser possível avaliar o impacto resultante das correspondentes variações nos valores da tolerância máxima.

Muitas vezes o AD pode estar interessado em estudar o impacto numa solução óptima/eficiente, anteriormente calculada, de diferentes conjuntos de informação disponíveis “a priori” para um determinado conjunto de parâmetros estimados ou estudar como uma solução óptima/eficiente se comporta para diferentes conjuntos de parâmetros estimados, considerando o mesmo conjunto de informação disponível “a priori” (dado que esta mesma solução óptima/eficiente pode ser obtida a partir de diferentes conjuntos de parâmetros estimados) ou diferentes conjuntos de informação.

Ou seja, estes algoritmos poderão ter uma aplicação prática bastante útil se puderem ser utilizados iterativamente, integrados, por exemplo, num SAD interactivo, de modo a possibilitar explorar como uma solução óptima/eficiente se comporta perante diferentes situações alternativas (quer em relação aos parâmetros estimados, quer à informação disponível “a priori”).

No capítulo seguinte (capítulo VI) será proposta uma metodologia interactiva de abordagem tolerante para problemas de PLMO, onde o cálculo das soluções eficientes consiste na resolução de um problema escalar soma ponderada das funções objectivo iniciais, considerando o vector dos pesos normalizado. As ideias essenciais desta metodologia fundamentam-se num estudo de geometria analítica, no diagrama paramétrico, das regiões de indiferença e de tolerância para os valores dos pesos.

Capítulo VI

Uma metodologia interactiva

de abordagem de tolerância

em problemas de PLMO

No estudo apresentado em (Hansen et al., 1989), descrito na secção 3 do capítulo anterior, é proposta uma extensão da abordagem de tolerância em análise de sensibilidade para problemas de PLMO, onde o cálculo das soluções eficientes consiste na resolução de um problema escalar cuja função objectivo é uma soma ponderada das múltiplas funções objectivo. Os autores mostram como determinar quanto os vários pesos podem variar simultânea e independentemente em relação aos valores estimados mantendo-se eficiente uma solução básica anteriormente calculada com esses pesos.

Os resultados apresentados em (Hansen et al., 1989) podem ser interpretados por intermédio da análise geométrica das regiões críticas e de tolerância para os pesos das funções objectivo no espaço dos pesos, como descrito na secção 1 deste capítulo (Borges e Antunes, 2002a). Neste estudo será também integrada a possibilidade de o AD conhecer “a priori” informação adicional sobre a gama de variação de alguns pesos.

Seguindo uma óptica similar, mas considerando o vector dos p pesos normalizado (ou seja, considerando o vector dos pesos definido num simplex com dimensão (p-1) de um espaço Euclidiano de dimensão p), é proposta na secção 2 uma metodologia interactiva de abordagem tolerante aos pesos das funções objectivo de um problema de PLMO, baseada na decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) e apropriada ao estudo de problemas com três funções objectivo (Borges e Antunes, 2002a).

O exemplo estudado na secção 3 do capítulo anterior é também usado na secção 3 deste capítulo para ilustrar a metodologia exposta na secção 2. A sobreposição da região de indiferença, correspondente a uma determinada solução básica eficiente, com as regiões de tolerância obtidas para diferentes conjuntos de pesos estimados constitui um modo apelativo e dinâmico de o AD analisar as consequências de uma escolha por

Capítulo VI - Uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância em problemas de PLMO

172

simples inspecção visual. Neste exemplo, o AD pode também especificar interactivamente informação adicional relativa a alterações permitidas nos valores dos vários parâmetros de ponderação (pesos) estimados das funções objectivo (indicando gamas de variação para os diferentes pesos ou quais os valores dos pesos devem ser considerados precisos), de modo a examinar como as percentagens máximas de tolerância se alteram perante as modificações impostas. De referir que na metodologia apresentada não é necessário haver consistência na informação fornecida pelo AD ao longo das várias interacções; ou seja, a estrutura de preferências do AD pode evoluir durante o estudo. Em relação a uma solução eficiente, é possível a qualquer momento escolher um conjunto de pesos estimados distinto, assim como estreitar ou alargar os intervalos das gamas de variação para os diferentes pesos (ou mesmo escolher outra solução eficiente e efectuar um estudo análogo).

Na secção 4 são expressas algumas considerações sobre a metodologia interactiva proposta.

VI.1 A geometria da abordagem de Hansen et al. (1989)

Na abordagem apresentada por Hansen et al. (1989) pretende-se calcular o valor para a tolerância máxima nos pesos das funções objectivo, ν*, para o qual o correspondente hiper-paralelepípedo (“hiper-box”), C(ν*), seja um subconjunto da região crítica I K'

)(∈

≤ ′=k kHH λ (definida pela intersecção das k restrições (V.42.k), como

explicado no capítulo V) obtida com um determinado conjunto de pesos estimados )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(ˆ

1 pr λλλ=λ . Ou, caso haja restrições adicionais impostas pelo AD que definam uma região para a variação dos valores dos pesos estimados (Φ), para o qual a intersecção de Φ com o correspondente hiper-paralelepípedo, C(ν*), seja um subconjunto da respectiva região crítica H (isto é, H )(C ⊆Φν I como definido por (V.44)).

Se Φ= pℜ , o hiper-paralelepípedo C(ν*), correspondente à região de tolerância máxima para os pesos, terá como centróide o ponto correspondente aos pesos estimados

)ˆ,...,ˆ,...,ˆ(ˆ1 pr λλλ=λ e um dos seus vértices pertencerá a um dos k hiperplanos (k∈K’)

que se obtém a partir das restrições definidas por (V.42.k), substituindo a desigualdade ‘≤’ pela igualdade. Esta situação corresponde ao vértice A no rectângulo das figuras VI.1(a) e VI.1(b) para p=2 e #K’=1 (se p=2 os hiper-paralelepípedos são rectângulos).

Caso o AD consiga especificar “a priori” restrições adicionais em relação à gama de variação dos valores estimados para alguns dos pesos, Φ≠ pℜ , o vértice que se situa sobre um dos hiperplanos (que se obtém a partir da respectiva restrição k) corresponde a um dos vértices da figura obtida a partir da intersecção destas restrições adicionais com o hiper-paralelepípedo, C(ν*)∩Φ . Esta situação corresponde ao vértice B no rectângulo da figura VI.1(a) para p=2 e #K’=1.

Na figura VI.1(b) temos a situação em que a existência “a priori” de informação adicional sobre a gama de variação dos valores estimados para os pesos não afecta o resultados obtido com Φ= pℜ (a gama de variação estabelecida “a priori” é maior que a obtida considerando a percentagem máxima de tolerância).

VI.1 - A geometria da abordagem de Hansen et al. (1989)

173

(a) )(C ∗ν⊄Φ e C(ν*)∩Φ⊂Η

(b) Φ⊆∗ν )(C

(c) H ⊂Φ

Figura VI.1 – Análise geométrica das regiões críticas e de tolerância para os pesos das funções objectivo.

Na figura VI.1(c) temos a situação em que o valor da percentagem máxima de tolerância nos pesos das funções objectivo não é finito, ν*=+∞, pois qualquer alteração aos pesos estimados dentro de Φ verifica sempre todas as condições que definem a região crítica H correspondente àquele conjunto de pesos estimados.

VI.1.1 Inexistência de informação adicional “a priori”

Comecemos por estudar a situação em que não existem restrições adicionais impostas pelo AD em relação às gamas de variação dos valores estimados para os pesos, Φ= pℜ .

Neste caso, há que determinar para cada uma das #K’ restrições de (V.42.k) o maior hiper-paralelepípedo com centróide no ponto )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(ˆ

1 pr λλλ=λ e que se situa no semi−hiperespaço correspondente. Na figura VI.2 estão representadas 2 restrições resultantes da matriz dos custos reduzidos (sejam k=1, 2) para p=2; com k=1 o maior hiper-paralelepípedo obtido corresponde ao rectângulo com o vértice A; com k=2 corresponde ao rectângulo com o vértice B.

Figura VI.2 – A percentagem máxima de tolerância está relacionada com o menor rectângulo pertencente à região crítica.

Os vértices de cada um dos #K’ hiper-paralelepípedos assim obtidos terão como coordenadas os pontos ))(ˆ,...,)(ˆ,...,)(ˆ( 111 ppprrr λλλλλλ ′±′±′± φφφ , onde φr representa o

coeficiente de perturbação para o peso estimado rλ ; r=1, …, p. O vértice que em cada hiper-paralelepípedo (k=1, …, #K’) pertence ao hiperplano1 que se obtém da restrição de (V.42.k) que se está a considerar, substituindo a desigualdade ‘≤’ por ‘=’, corresponde ao 1 Estes hiperplanos contêm a origem.


174

ponto Q= )ˆ,...,ˆ,...,ˆ( 1111 pppprrrr λsλλsλλsλ ′−′−′− φφφ , sendo sr=sgn[ )C(Z rkrkr - λ′ ]; r=1, …, p (ver vértices A e B na figura VI.2).

O hiper-paralelepípedo a escolher será aquele que verifica todas as condições que definem a região crítica H correspondente àquele conjunto de pesos estimados no espaço dos pesos, ou seja, será o menor dos #K’ hiper-paralelepípedo obtidos anteriormente. Na figura VI.2, o menor hiper-paralelepípedo corresponde ao rectângulo com o vértice A.

Vamos começar por verificar geometricamente quando é que um hiper-paralelepípedo não existe, ou seja, quando Hansen et al. (1989) consideram que o valor νk (k=1, 2, …, #K’) não é finito. O hiper-paralelepípedo não existirá se não for possível encontrar um vértice que pertença ao hiperplano que se obtém da restrição que se está a considerar (substituindo a desigualdade ‘≤’ por ‘=’). Esta situação acontece se a referida restrição não permitir definir um hiperplano, ou seja, quando os coeficientes forem todos nulos. Saliente-se que isto é válido para qualquer dimensão do espaço, p. Wondolowski (1991) refere que estas situações correspondem a degenerescência do dual e, por conseguinte, o valor de νk deve ser considerado nulo em vez de infinito. Se algum(ns) dos valores dos pesos estimados for(em) preciso(s), pode também acontecer que mesmo existindo hiperplano não seja possível definir um hiper-paralelepípedo (valor de νk não finito). Isto sucede se os coeficientes da restrição considerada que forem não nulos corresponderem aos pesos estimados rλ que o AD conhece com precisão (neste caso rλ′ =0), ou seja, se o hiperplano que se obtém considerando os valores dos pesos precisos for paralelo ao hiperplano que se obtém da restrição que se está a considerar.

Repare-se que estas situações encontram-se em conformidade com o corolário 2.2 apresentado em (Hansen et al., 1989): se Φ= pℜ então νk=+∞ se e só se

p ..., 1, cada para ;0)Z(C ==′ r - rkrkrλ .

Uma vez que, para cada uma das #K’ restrições resultantes da matriz dos custos reduzidos, se conhecem os pesos estimados λ e o vértice do hiper-paralelepípedo que pertence ao hiperplano em estudo, é fácil calcular as distâncias entre estes 2 pontos. Ou seja, para cada uma das #K’ restrições resultantes da matriz dos custos reduzidos podem- -se calcular as distâncias do ponto )ˆ,...,ˆ,...,ˆ(ˆ

1 pr λλλ=λ ao hiperplano correspondente,

segundo a direcção do vector ),...,,...,(V 111 ppprrr λsλsλs ′−′−′−= φφφ . Os valores de νk (k=1, …, #K’) podem ser obtidos a partir destas distâncias (e variam proporcionalmente com elas).

Dado que um valor não negativo ν é um valor possível para a tolerância dos pesos das funções objectivo se e só se uma solução óptima de (V.40) se mantiver óptima desde que Φ∈φ (Φ= pℜ , neste caso) e ν≤∞φ , onde { }p ..., 1,,max ==∞ rrφφ representa a norma de Tchebycheff de φ (o valor absoluto de cada coeficiente de perturbação rφ não excede ν) podemos definir νk; k=1, …, #K’, como2

νk ≡ sup ν s.a. ν≤∞φ ⇒ φ ∈ )(λ′≤kH (VI.1.k)

2 O semi-hiperespaço )(λ′≤

kH ; k ∈ K’, encontra-se anteriormente definido por (V.42.k) em V.3.2.


175

O hiper-paralelepípedo a escolher é o menor dos #K’ hiper-paralelepípedos obtidos. Assim, o valor de ν* (tolerância máxima dos pesos das funções objectivo) corresponderá ao menor dos valores νk calculados; k=1, …, #K’.

Seguidamente, vamos mostrar como calcular as distâncias referidas, e os correspondentes valores de νk, quando o número de funções objectivo p=3, sendo a generalização para qualquer dimensão imediata.

No espaço dos pesos da figura VI.3 consideremos o ponto P= )ˆ,ˆ,ˆ(ˆ321 λλλ=λ

correspondente aos valores estimados para os pesos. Πk é um dos planos obtidos a partir da matriz dos custos reduzidos do quadro simplex multiobjectivo óptimo correspondente à solução básica eficiente obtida com os pesos estimados P e é definido por

0)C(Zˆ3

1=∑

=rrkrkr - λ (este plano contém a origem). PX corresponde à distância de P ao

plano Πk segundo uma perpendicular a Πk, podendo ser calculada por:

PX =

∑

∑

=

=

p

rrkrk

rrkrkr

-

- λ

1

2

3

1

)C(Z

)C(Zˆ

. (VI.2.k)

Figura VI.3 – Espaço dos pesos das funções objectivo para p=3.

3PQ corresponde à distância de P ao plano Πk segundo a direcção de

) , ,(V 3322113 λsλsλs kkk ′−′−′−= ννν , ou seja, é a distância que nos interessa considerar,

onde )ˆ ,ˆ ,ˆ(Q 3332221113 λsλλsλλsλ kkk ′−′−′−= ννν .

Repare−se que 3PQ = 3V = ∑ =′3

12 r rk λν .

Se ω é o ângulo entre [P, X] e [P, Q3], então 3PQ = PX /cos(ω).


176

Sendo [P, X] perpendicular a Πk, será paralelo a qualquer vector perpendicular a Πk, nomeadamente a ( ))Z(C ),Z(C ),Z(CN 332211 kkkkkk - - - = , e cos(ω) pode ser obtido

a partir do produto escalar de 3V por N , ou seja:

cos(ω) = NVNV

3

3. =

∑

∑

=

=

′−

3

1

23

3

1

)Z(C PQ

)Z)(C(

rrkrk

rrkrkrrk

-

- λsν. (VI.3.k)

Sendo 3PQ = PX /cos(ω) podemos obter o valor de νk correspondente a partir de

3PQ =

∑

∑

=

=

3

1

2

3

1

)C(Z

)C(Zˆ

rrkrk

rrkrkr

-

- λ

∑

∑

=

=

′−3

1

3

1

23

)Z)(C(

)Z(C PQ

rrkrkrrk

rrkrk

- λs

-

ν (VI.4.k)

νk =

∑

∑

=

=

′−3

1

3

1

)Z)(C(

)C(Zˆ

rrkrkrr

rrkrkr

- λs

- λ; k=1, …, #K’. (VI.5.k)

Uma vez que se deseja calcular a menor das distâncias do ponto ao plano, e correspondentemente o menor νk, temos )Csgn(Z rkrkr - s = ; r=1, 2, 3, ou seja,

νk =

∑

∑

=

=

′3

1

3

1

ZC

)C(Zˆ

rrkrkr

rrkrkr

- λ

- λ; k=1, …, #K’, (VI.6.k)

onde um denominador nulo para algum k corresponde a νk =+∞.

Se νk for finito então, para cada k=1, …, #K’, os valores de *rφ podem ser obtidos por:

*rφ = νk (-sgn[ )C(Z rkrkr - λ′ ]) = νk sgn[ )Z(C rkrkr - λ′ ]; r=1, …, p. (VI.7.k)

Se o número de funções objectivo for p>3, o raciocínio anterior pode ser generalizado obtendo-se um resultado igual ao corolário 3.1 proposto em (Hansen et al., 1989).

Se Φ= pℜ , então o valor νk; para k=1, …, #K’, (finito ou infinito) é dado por:

νk =

∑

∑

=

=

′p

rrkrkr

p

rrkrkr

- λ

- λ

1

1

ZC

)C(Zˆ

, (VI.8.k)

onde um denominador nulo para algum k significa que o correspondente valor de νk é +∞.


177

Se νk for finito, então uma solução óptima para (V.47.k) será:

*rφ = νk [ ])Z(Csgn rk rkr - λ′ ; r=1, 2, …, p. (VI.9.k)

Se algum(ns) dos valores dos pesos das funções objectivo for(em) conhecido(s) com precisão todo o raciocínio se mantém. No entanto, como rλ′ =0, a(s) componente(s)

correspondente(s) em V torna(m)−se nula(s) e em Q ficam com o valor rλ , ou seja:

PQ = ∑≠

=

′p

rr

rk λ

precisos1

2 ν =

∑

∑

=

=

p

rrkrk

p

rrkrkr

-

-λ

1

2

1

)C(Z

)C(Zˆ

∑

∑∑

≠=

=≠

=

′−

′

p

r r

rkrkrrk

p

rrkrk

p

rr

rk

- λs

-λ

precisos1

1

2

precisos1

2

)Z)(C(

)Z(C

ν

ν

(VI.10.k)

e

νk =

∑

∑

≠=

=

′−p

rr

rkrkrr

p

rrkrkr

- λs

- λ

precisos1

1

)Z)(C(

)C(Zˆ

; k=1, …, #K’. (VI.11.k)

Como rλ′ =0 quando o correspondente peso for conhecido com exactidão, obtemos para o calculo de νk o corolário 3.1 (Hansen et al., 1989).

VI.1.2 Existência de informação “a priori” relativa às gamas de variação para os pesos das funções objectivo

Geralmente, o AD não conhece com exactidão os valores dos pesos das funções objectivo mas pode ser capaz de especificar intervalos [ ]rr λλ , de variação para

algum(ns) (ou todos) dos valores dos pesos ( rrrrr λλ λφλ ˆ ≤′+≤ ; r=1, …, p), sendo neste

caso Φ=Φ( φφ , ).

A partir destes intervalos de variação para os valores dos pesos estimados, é possível saber os intervalos de variação para os coeficientes de perturbação φr [ ]rr

φφ , .

Considerando rλ′ >03 temos:

r

rrr

r

rrr λ

λλφ

λλλ

φ′

−=

′−

=ˆ

e ˆ

.

3 Para garantir que os valores rrr λλ ′+φˆ são não negativos podemos escolher rλ =0, ou seja,

rr

r λλφ ′

−=ˆ

(ou rλ = um valor positivo pequeno, de modo a eliminar a possibilidade de obtenção de

soluções fracamente não dominadas).


178

Se Φ≠ pℜ , mas Φ=Φ( φφ , ), Hansen et al. (1989) propõem uma abordagem iterativa para o cálculo do valor νk.

Depois de verificar que νk é finito, resolve-se inicialmente o problema considerando Φ= pℜ (iteração t=0), ou seja, calculam-se os coeficientes de perturbação

para t=0 por intermédio de: [ ]∑∑

=

=

′′= p

r rk rkr

pr rk rkr

rk rkrr-

- -

1

10

ZC

)C(Zˆ )Z(Csgn

λ

λλφ ; r=1, …, p.

Seguidamente entra-se num processo iterativo onde, se todos valores obtidos na iteração t para t

rφ satisfizerem os limites impostos “a priori” pelo AD (ou seja, se tφ ∈ Φ( φφ , )), a solução obtida é óptima e o processo termina; se não, fixam-se as

componentes de trφ que falham com os valores dos limites que são violados e recalculam-

-se as restantes componentes, depois de substituir na equação do hiperplano em estudo (obtida a partir de (V.42.k)) os valores de todas as componentes de t

rφ que foram fixos até à iteração t.

Em cada iteração t>0, aquilo que Hansen et al. (1989) fazem não é mais do que determinar o maior hiper−paralelepípedo que intersectado com os semi−hiperespaços

rr λλ ˆ ≥ e rrλ λ ˆ ≤ , para alguns r=1, …, p, em relação aos quais as respectivas

componentes em tφ ( trφ ) já violaram um dos limites estabelecidos (

rφ ou rφ ) numa

iteração anterior, dá origem a uma figura (que também é um hiper−paralelepípedo) que se situa no semi−hiperespaço correspondente à restrição k que se está a analisar.

Seja Φt definida pela intersecção dos semi−hiperespaços rr λλ ˆ ≥ e rrλ λ ˆ ≤ ,

definidos em Φ, para os quais as respectivas componentes em tφ ( trφ ) não satisfazem

rrtrrr λλλ λφ ˆ ≤′+≤ até à iteração t, para alguns r=1, …, p. A partir de agora,

denominaremos por Ξt a figura do espaço definida pela intersecção de Φt com o hiper−paralelepípedo obtido na iteração t, para o qual os vértices são caracterizados por

)ˆ, ,...ˆ( 111 pptpp

t λλλλ ′±′± φφφ .

Nas figuras VI.4(a) e VI.4(b) estão representadas 2 restrições resultantes da matriz dos custos reduzidos (sejam k=1, 2) para p=2. Dois conjuntos diferentes de restrições adicionais, Φ, (impostas pelo AD em relação à gama de variação dos valores estimados para os pesos) são também considerados em VI.4(a) e VI.4(b).

Em ambas as figuras, com k=1 o maior hiper−paralelepípedo corresponde ao rectângulo (de fronteira a tracejado) que passa no ponto C e o rectângulo de padrão quadriculado com o vértice C corresponde ao Ξt (t=1). C é o vértice que se situa sobre a recta correspondente (hiperplano que se obtém a partir da restrição de (V.42.k) para k=1). Com k=2, Ξt (t=1) corresponde ao rectângulo de padrão vertical com vértice em D (no qual o rectângulo de padrão quadriculado se sobrepõe), sendo este o vértice que se situa sobre a recta correspondente. Repare-se que Ξt é sempre a figura obtida pela intersecção do rectângulo correspondente com 11 ˆ λλ ≥ e 11 ˆ λ≤λ . No caso da figura VI.4(b) não se

consideram as restrições 22 ˆ λλ ≥ e 22 ˆ λ≤λ uma vez que t2φ nunca viola os limites

2φ e 2φ .


179

Como o maior Ξt que satisfaz ambas as restrições é o menor dos rectângulos, a percentagem máxima de tolerância para os pesos das funções objectivo está associada ao rectângulo a quadriculado com o vértice C, obtido para k=1 e com t=1.

(a) Os limites 1

φ e 1φ são violados.

(b) Os limites 2

φ e 2φ nunca são violados.

Figura VI.4 – Ξ1 para k=1, 2; 1111ˆ - - ˆ λλλ λ= .

Se as amplitudes rr λλ - ˆ e rr λ - λ não forem iguais, Ξt poderá não ter o ponto

)ˆ,...,ˆ,...,ˆ(ˆ1 pr λλλ=λ como centróde, como acontece nos exemplos das figuras VI.5(a) e

VI.5(b).

(a) Os limites 1

φ e 1φ são violados.

(b) Apenas o limite

1φ é violado.

Figura VI.5 – Ξ1 para k=1, 2; 1111ˆ - - ˆ λλλ λ≠ .

Nas figuras VI.5(a) e VI.5(b) estão representadas as mesmas restrições resultantes da matriz dos custos reduzidos mas considerando uma região Φ diferente. Com k=1 o maior hiper−paralelepípedo corresponde ao mesmo rectângulo (de fronteira a tracejado) que passa no ponto C e o rectângulo de padrão quadriculado com o vértice C corresponde ao Ξt (t=1). C é o vértice que se situa sobre a recta correspondente (hiperplano que se obtém a partir da restrição de (V.42.k) para k=1) em ambas as figuras. No entanto, com k=2 temos resultados diferentes. No exemplo da figura VI.5(a), Ξt (t=1) corresponde ao rectângulo de padrão vertical com vértice em E (no qual o rectângulo de padrão quadriculado se sobrepõe), sendo este o vértice que se situa sobre a recta correspondente. No exemplo da figura VI.5(b), Ξt (t=1) corresponde ao rectângulo de padrão vertical com vértice em B (no qual o rectângulo de padrão quadriculado se sobrepõe), sendo este o vértice que se situa sobre a recta correspondente.


180

Tal como anteriormente, sendo o maior Ξt que satisfaz ambas as restrições o menor dos rectângulos, a percentagem máxima de tolerância para os pesos das funções objectivo está associada ao rectângulo a quadriculado com o vértice C das figuras VI.5(a) e VI.5(b), obtido para k=1 e com t=1.

No exemplo apresentado na figura VI.5(b), apenas a restrição 11 λλ ≥ foi violada para k=2. Com k=2, o valor do limite

1φ é superior a 0

1φ nos quatro exemplos (das figuras VI.4(a),

VI.4(b), VI.5(a) e VI.5(b)), mas apenas em VI.5(b) o valor do limite 1φ é superior a 01φ .

Em cada iteração t>0, o vértice de Ξt que pertence ao hiperplano que se obtém da restrição de (V.42.k) que se está a considerar terá como coordenadas os valores constantes

rtrr λλ ′+ φˆ , nas componentes para as quais t

rφ já violou pelo menos um dos limites estabelecidos “a priori” (

rφ ou rφ ) numa iteração anterior. Por exemplo, se as

componentes v e d de tφ já violaram os limites estabelecidos “a priori” numa iteração anterior, o vértice pertencente ao hiperplano pode ser caracterizado por:

)ˆ,... ,ˆ ,,...ˆ..., ,ˆ ,...,ˆ(Q 1111 ppppdtddrrrrv

tvv λsλλλλsλλλλsλ ′−′+′−′+′−=′ φφφφφ ,

onde φr representa o coeficiente de perturbação para o peso estimado rλ e sr=sgn[ )C(Z rkrkr - λ′ ]; r=1, …, p, r≠v e r≠d.

Quando se verificar que nenhum dos 1+trφ , r=1, 2, …, p, calculados na iteração t

viola os limites estabelecidos (r

φ ou rφ ), o processo iterativo termina e o correspondente

valor de νk, k=1, …, #K’, pode ser obtido (maior valor absoluto de 1+trφ ; r=1, …, p).

O hiper−paralelepípedo a escolher será aquele para o qual o Ξt verifica todas as condições que definem a região crítica correspondente ao conjunto de pesos estimados; ou seja, será o menor dos #K’ obtidos anteriormente para cada k=1, …, #K’. O valor de ν* (tolerância máxima para os valores dos pesos das funções objectivo) corresponderá ao menor dos νk calculados, k=1, …, #K’.

Dado que o valor de νk não pode diminuir quando informação adicional é introduzida, o valor de ν* pode ser determinado por intermédio do seguinte algoritmo, mais eficiente que o proposto em (Hansen et al., 1989) e anteriormente apresentado em V.3.3: (VI.12)

1) Para os índices k onde o valor de νk é finito, determinar inicialmente este valor considerando Φ= pℜ (iteração t=0) (tal como proposto em (Hansen et al., 1989)).

2) Para o índice h, no qual o valor mínimo (νh) é obtido, testar se as perturbações nos pesos dos objectivos estão incluídas em Φ, ou seja, se os valores dos pesos satisfazem as restrições adicionais (os semi-hiperespaços rr λλ ˆ ≥ e rrλ λ ˆ ≤ , para r=1, 2, ..., p). Se são satisfeitas, então o valor da tolerância máxima ν* = νh. Se não, o procedimento iterativo explicado em V.3.3 (“relaxation procedure” em (Hansen et al., 1989)) deve ser utilizado para recalcular o valor de νh.


181

3) Considerem-se todos os índices onde os valores actuais de νk são estritamente inferiores ao valor νh. Se não existir nenhum índice, então foi encontrado o valor da tolerância máxima ν* = νh; caso existam índices, repetem-se as fases 2) e 3) considerando apenas esses índices.

Vamos começar por verificar geometricamente quando é que o valor νk; k=1, …, #K’ não é finito.

Se observarmos a figura VI.6 (p=2) verificamos que se a região definida por Φ4 estiver completamente contida no semiplano que se está a estudar, incluindo a recta que se obtém substituindo a desigualdade pela igualdade, podemos considerar qualquer valor para o coeficiente de perturbação φr do peso estimado rλ , r=1, 2, nomeadamente +∞, ou seja, neste caso νk=+∞. A generalização para qualquer dimensão p>2 é imediata; se a região definida por Φ estiver completamente contida no semi−hiperespaço k que se está a estudar, podemos considerar qualquer valor para o coeficiente de perturbação φr do peso estimado rλ , r=1, …, p, ou seja, νk=+∞.

Precisamos agora ver quando é que a região definida por Φ está completamente contida no semi−hiperespaço k que se está a considerar.

Figura VI.6 – ν1=+∞; ν2=+∞.

A partir da figura VI.6 (p=2) podemos concluir que, se o vértice da região Φ que se situa mais próximo da recta que se obtém do semiplano que se está a estudar (substituindo a desigualdade pela igualdade) pertencer ao semiplano, então toda a região Φ também pertencerá. Este vértice tem como coordenadas os valores rrr λλ ′+φˆ se

0)Z(C >rkrk - e rrr λλ ′+φˆ se 0)Z(C <rkrk - , para r=1, 2. Se 0)Z(C =rkrk - a coordenada correspondente é arbitrária. A generalização para qualquer dimensão p>2 é imediata; se o vértice da região definida por Φ que tem como coordenadas rrr λλ ′+φˆ se

0)Z(C >rkrk - e rrr λλ ′+φˆ se 0)Z(C <rkrk - , para r=1, …, p, estiver situado no

semi−hiperespaço k que se está a estudar, toda a região definida por Φ estará nele contida sendo, portanto, νk=+∞. 4 Se para algum r=1, …, p não existir informação “a priori” que permita delimitar o intervalo onde

os valores de rλ irão variar, considera-se r

φ =-∞ e rφ =+∞; se rλ é conhecido com precisão considera-se

rφ = rφ =0 (Wendell, 1984).


182

Este resultado é equivalente ao corolário 2.1 apresentado em (Hansen et al., 1989):

Se Φ=Φ( φφ , ) então νk=+∞ se e só se )(ˆ λ′∈ ≤kHφ onde

casos outros ,)(

0)Z(C se , 0)Z(C se ,

ˆ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<′>′

=arbitrário

- -

rkrkrr

rkrkrr

r λφλφ

φ

Suponhamos que o AD especifica “a priori” restrições adicionais em relação à gama de variação dos valores estimados para todos os pesos, rr λλ ˆ ≥ e rrλ λ ˆ ≤ , para r=1, 2, ..., p. Geometricamente podemos observar que se o valor de νk for finito, então existe pelo menos uma dimensão (r=1, 2, ..., p) em relação à qual estas restrições não são violadas. Se todas as restrições adicionais são violadas, então nenhum dos hiperplanos que se obtêm das restrições de (V.42.k) intersectará Ξt, e o correspondente valor de νk não pode ser finito.

Assim sendo, o valor de νk, quando finito, pode ser determinado pelo algoritmo proposto em (Hansen et al., 1989) ao fim de no máximo p-1 iterações (em lugar das p+1 iterações referidas pelos autores), como mencionado no capítulo anterior.

Em cada iteração t>0, conhecemos os pesos estimados λ e o vértice de Ξt que pertence ao hiperplano em estudo. Tal como anteriormente, a distância entre estes 2 pontos pode ser facilmente calculada como a distância do ponto λ até ao hiperplano em estudo segundo a direcção de um vector V′ que aponta de λ para o vértice de Ξt que pertence a esse hiperplano. Os correspondentes valores de 1+t

rφ , r=1, …, p (calculados na iteração t), podem ser obtidos a partir destas distâncias.

Seguidamente, vamos mostrar como calcular as distâncias referidas, e os correspondentes valores de 1+t

rφ , r=1, …, p (calculados na iteração t), quando o número de funções objectivo p=3, sendo imediata a generalização para qualquer dimensão.

Como referido atrás, em cada iteração t>0, o vértice de Ξt que pertence ao hiperplano que se obtém da restrição que se está a considerar terá como coordenadas os valores constantes r

trr λλ ′+ φˆ , nas componentes para as quais t

rφ já violou pelo menos um dos limites estabelecidos “a priori” (

rφ e/ou rφ ) numa iteração anterior.

Consideremos t=0 e que a segunda componente de tφ violou os limites

estabelecidos “a priori”. Então Jt+1 ={1, 3} e 12

+tφ ={2

φ ou 2φ , consoante o limite violado}; o vértice pertencente ao hiperplano considerado será o ponto

)ˆ,ˆ ,ˆ(Q 33321

221113 λsλλλλsλ t ′−′+′−=′ + υφυ , onde υ representa um possível valor para as tolerâncias dos pesos das funções objectivo, e sr=sgn[ )C(Z rkrkr - λ′ ], r=1, 3.

3QP ′ corresponde à distância de P ao plano Πk segundo a direcção de

) , ,(V 3321

2113 λsλλs t ′−′′−=′ + υφυ , ou seja, é a distância que nos interessa considerar sendo

3QP ′ = 3V′ (= ( ) 21

2

3

21

23

J 1

213

J 1

2 1t1t

λλλλ t

rr

r

rr

rtr

rr

r ′+′=′+′ +

≠=

∉=

+

∈=

∑∑∑++

φυφυ ).


183

Se ω é o ângulo entre [P, X] e [P, 3Q′ ], então 3QP ′ = PX /cos(ω) e

cos(ω) = NV

NV

3

3

′

′ . =

∑

∑∑

=

∉=

+

∈=

′

′+′−

++

3

1

23

3

J 1

13

J 1

)Z(C QP

)Z)(C()Z)(C(1t1t

rrkrk

rr

rkrkrtr

rr

rkrkrr

-

- λ - λs φυ

, (VI.13.k)

onde ( ))Z(C ),Z(C ),Z(CN 332211 kkkkkk - - - = .

Sendo 3QP ′ = PX /cos(ω) temos 3QP ′ =

∑

∑

=

=

3

1

2

3

1

)C(Z

)C(Zˆ

rrkrk

rrkrkr

-

- λ

∑∑

∑

+∉=

+

+∈=

=

′+′−

′

3

1tJ 1

13

1tJ 1

3

1

23

)Z)(C()Z)(C(

)Z(C QP

rr

rkrkrtr

rr

rkrkrr

rrkrk

- λ - λs

-

φυ, (VI.14.k)

υ =

∑

∑ ∑

+∈=

=+∉

=

+

′−

′+

3

1tJ 1

3

1

3

1tJ 1

1

)Z)(C(

)C)(Z()C(Zˆ

rr

rkrkrr

rrr

rkrkrtrrkrkr

- λs

- λ - λ φ

. (VI.15.k)

Uma vez que se deseja calcular a menor das distâncias do ponto ao plano, e correspondentemente o menor υ , temos )Csgn(Z rkrkr - s = , r=1, 3, ou seja,

υ =

∑

∑ ∑

+∈=

=+∉

=

+

′

′+

3

1tJ 1

3

1

3

1tJ 1

1

ZC

)C)(Z()C(Zˆ

rr

rkrkr

rrr

rkrkrtrrkrkr

- λ

- λ - λ φ

. (VI.16.k)

Como υ é finito, então os valores de 1+trφ podem ser obtidos por:

1+trφ = (-sgn[ )C(Z rkrkr - λ′ ])υ = sgn[ )Z(C rkrkr - λ′ ]υ , ou seja,

1+trφ = sgn[ )Z(C rkrkr - λ′ ]

∑

∑ ∑

+

+

∈=

=∉

=

+

′

′+

3

J 1

3

1

3

J 1

1

1t

1t

ZC

)C)(Z()C(Zˆ

rr

rkrkr

rrr

rkrkrtrrkrkr

- λ

- λ - λ φ

. (VI.17.k)


184

Se o número de funções objectivo for p, o raciocínio anterior pode ser generalizado obtendo−se agora um resultado idêntico ao apresentado no passo 4 do procedimento iterativo proposto em (Hansen et al., 1989) quando r ∈ Jt+1.

1+trφ = sgn[ )Z(C rkrkr - λ′ ]

∑

∑ ∑

+

+

∈=

=∉

=

+

′

′+

p

rr

rkrkr

p

r

p

rr

rkrkrtrrkrkr

- λ

- λ - λ

1t

1t

J 1

1J 1

1

ZC

)C)(Z()C(Zˆ φ

. (VI.18.k)

Se algum(ns) dos valores dos pesos das funções objectivo for(em) conhecido(s) com precisão todo o raciocínio se mantém, considerando−se rλ′ =0 quando o correspondente peso for preciso.

VI.2 O funcionamento da abordagem interactiva proposta (baseado na análise geométrica do diagrama paramétrico)

Efectuando um estudo geométrico no diagrama paramétrico, Λ, similar ao apresentado anteriormente em VI.1 relativo à abordagem apresentada por Hansen et al. (1989), mas tendo em atenção que as regiões de indiferença estão situadas sobre o plano λ1+λ2+λ3=1 e os pesos respeitam as condições de não negatividade λr≥0 (r=1, 2, 3), podemos calcular o valor da percentagem máxima de tolerância para os pesos das funções objectivo, de tal modo que estes podem variar simultânea e independentemente em relação aos seus valores estimados, mantendo-se eficiente uma solução básica anteriormente calculada com esse conjunto de pesos estimados.

No cálculo das distâncias é necessário ter em conta as distorções originadas pela presença da condição de normalização dos pesos (e resultantes do facto do vector dos pesos se situar sobre o plano λ1+λ2+λ3=1). Detalhes mais pormenorizados sobre este assunto podem ser encontrados em (Evans, 1984) e (Schneller e Sphicas, 1985).

Analisando as figuras VI.7 ((a) a (d)) verificamos que as regiões de tolerância para os valores dos pesos são polígonos convexos no plano λ1+λ2+λ3=1, C(ν) ∩ Λ.

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0 ,1)

(0 ,1 ,0)

(1 ,0 ,0)

(a)

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0 ,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

(b)

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0 ,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

(c)

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0 ,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

(d)

Figura VI.7 – As regiões C(ν) ∩ Λ são polígonos convexos.

Se Φ≠ 3ℜ , então C(ν) ∩ Λ ∩ Φ terão um aspecto semelhante aos polígonos apresentados nas figuras VI.8(a) e (b).

VI.2 - O funcionamento da abordagem interactiva proposta (baseado na análise geométrica do diagrama paramétrico)

185

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

2 > cons tant λ

(a)

λ 1

λ 2

λ 3

P

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

> constant

λ 2

(b)

Figura VI.8 – As regiões C(ν) ∩ Λ ∩ Φ são polígonos convexos.

Na nossa abordagem desejamos determinar a tolerância máxima para os valores dos pesos das funções objectivo, ν*, para a qual o intersecção de Λ com o correspondente C(ν*) é um subconjunto da região crítica I K

)(∈

≤ ′=k kHH λ 5 obtida com um

determinado conjunto de pesos estimados P= λ = )ˆ,ˆ,ˆ( 321 λλλ . Ou, caso existam restrições adicionais impostas pelo AD que definam uma região para a variação nos valores dos pesos (Φ≠ 3ℜ ), ν* para a qual a intersecção de Φ com o correspondente C(ν*) ∩ Λ é um subconjunto da respectiva região crítica H, ou seja, C(ν∗) ∩ Λ Φ∩ ⊆ H (em conformidade com (V.44)).

Seja πk, k ∈ K, a recta obtida a partir da intersecção do plano λ1+λ2+λ3=1 com o plano Πk que se obtém a partir da correspondente restrição k definidora do semi-plano em (V.42.k), substituindo a desigualdade ‘≤’ pela igualdade, associada a uma determinada solução eficiente (veja diagrama paramétrico apresentado na figura VI.14).

Quando Φ= 3ℜ , um dos vértices do polígono convexo definido por C(ν) ∩ Λ pertencerá a uma das rectas πk, (como acontece nos exemplos apresentados nas figuras VI.9 e VI.10(b) - vértice F) ou será um dos pontos resultantes da intersecção da correspondente recta πk com uma das condições de não negatividade para os pesos λr≥0, r=1, 2, 3 (como acontece com o vértice B no exemplo apresentado na figuras VI.10(a)).

λ 1

λ 2

λ 3

P

k=2

k=3

k=4

k=1

Figura VI.9 – Regiões de tolerância para os pesos em Λ.

5 As regiões críticas para os pesos dos objectivos, associadas a uma solução eficiente do problema perturbado (V.40) (definidas pela intersecção das k restrições (V.42.k), como descrito no capítulo V), estão relacionadas com as regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ.


186

Como Marmol e Puerto (1997) salientam, mesmo não existindo informação sobre as gamas de variação para os valores dos pesos, estes devem sempre ser considerados não negativos no cálculo das soluções eficientes. Concordamos com eles, mas também concordamos conceptualmente com Schneller e Sphicas (1985) os quais afirmam que o AD apenas se encontra interessado na possibilidade de para uma dada solução eficiente esta não vir a tornar-se não eficiente, e que isso nunca se verifica se o vector dos pesos tomar apenas valores em Λ. Segundo a nossa opinião, as ideias destes autores não são totalmente contraditórias; de facto, ambos os autores prestam atenção à circunstância de os valores negativos para os pesos não possuírem significado.

No contexto operacional da nossa abordagem interactiva, é apenas dada ao AD a possibilidade de seleccionar valores para λ em Λ. As considerações referidas foram tidas em conta, no sentido em que podem ocorrer situações para as quais C(ν*) não esteja completamente incluído em Λ. No entanto, C(ν∗) ∩ Λ pertencerá obrigatoriamente à região crítica H obtida com um determinado conjunto de pesos estimados.

(a) [πk ∩ λ3=0] ∈ Λ (k=1)

(b) [πk ∩ λ1=0] ∉ Λ; [πk ∩ λ3=0] ∉ Λ (k=1)

Figura VI.10 – (O primeiro C(ν1) obtido [ ∩ Φ]) ∉ Λ.

Tendo apenas em atenção valores positivos para os pesos, é garantida pela metodologia proposta a possibilidade de obtenção de maiores valores para as percentagens máximas de tolerância dos vários pesos das p funções objectivo, ν*(x100%), nestas situações.

Se o vértice do polígono convexo C(ν) (pertencente à recta πk em estudo) não pertencer a C(ν) ∩ Λ (algumas componentes do vértice são negativas), deve ser determinado um novo C(ν), para o qual um dos vértices de C(ν) ∩ Λ seja um ponto que resulte da intersecção da recta πk em estudo com um dos planos λy=0, y=1, 2, 3 (y associado aos índices das componentes com valor negativo no vértice do primeiro C(ν) obtido), como o ponto B no exemplo apresentado na figura VI.10(a). Se não for possível encontrar nenhum ponto (de intersecção da recta πk em estudo com um dos planos λy=0 a analisar) dentro de Λ, então o correspondente νk não deve ser tido em conta no cálculo de ν*, como é o caso dos pontos D e E no exemplo apresentado na figura VI.10(b).


187

Analisemos mais detalhadamente os exemplos ilustrativos apresentados nas figuras VI.10(a) e VI.10(b), para os quais #K=2 (k=1, 2). Para estes exemplos, C(ν) são losangos definidos pela intersecção dos planos 111

ˆ λλλ k ′−≥ ν , 111ˆ λλλ k ′+≤ ν ,

333ˆ λλλ k ′−≥ ν e 333

ˆ λλλ k ′+≤ ν .

Para o exemplo da figura VI.10(a), o maior valor para a percentagem de tolerância para os pesos dos objectivos, ν*x100%, obtém-se para k=1 (com k=2 o respectivo C(ν) ∩ Λ não pertence à região crítica H). Na figura encontram-se representados:

(i) o losango para o qual o vértice A (pertencente a π1) não pertence a C(ν) ∩ Λ (pois λ3<0);

(ii) o losango para o qual C(τ) ∩ Λ tem como vértice o ponto B, que resulta da intersecção de π1 com o plano λ3=0, assim como a correspondente fronteira de C(ν) ∩ Λ.

Na figura VI.10(b) ilustramos a situação onde o valor de ν1 não deve ser considerado no cálculo de ν*, porque com k=1 os pontos resultantes da intersecção de π1 com o plano λ1=0 (D) e com o plano λ3=0 (E) encontram-se fora do diagrama paramétrico Λ. O maior valor para a percentagem de tolerância dos pesos nos objectivos, ν*x100%, obtém-se para k=2. Na figura encontram-se representados:

(iii) o losango para o qual o vértice C (pertencente a π1) não pertence a C(ν) ∩ Λ (λ3<0);

(iv) o losango para o qual C(ν) ∩ Λ tem como vértice o ponto F, que pertence a π2 e está dentro da região crítica H.

Se Φ≠ 3ℜ , então o vértice pertencente a πk, será vértice do polígono convexo C(ν) ∩ Φ. Se este ponto não pertencer a C(ν) ∩ Φ ∩ Λ então, por analogia com o raciocínio anterior, um dos vértices de C(ν) ∩ Φ ∩ Λ será um ponto que resulta da intersecção da recta πk em estudo com um dos planos a analisar λy=0 (y=1, 2, 3 e y associado aos índices das componentes de valor negativo no vértice do primeiro C(ν) ∩ Φ obtido). Tal como anteriormente, se este ponto não pertencer a Λ, então o correspondente νk não deve ser considerado no cálculo de ν*.

VI.2.1 Inexistência de informação adicional “a priori”

Comecemos por estudar a situação em que não existem restrições adicionais impostas “a priori” pelo AD que possibilitem definir uma região onde os valores estimados para os pesos irão variar, ou seja, Φ= 3ℜ . Sejam as regiões de indiferença para os pesos dos objectivos apenas definidas a partir das restrições da região crítica H (obtida com um determinado conjunto de pesos estimados), ou seja, a região definida pela intersecção de H com o plano λ1+λ2+λ3=1 está


188

completamente incluída em Λ (podendo eventualmente haver restrições de H que não definam a região crítica por serem redundantes)6.

Figura VI.11 – Regiões de tolerância para os pesos em Λ.

Qualquer um dos 12 “pontos extremos” representados na figura VI.11 é candidato a vértice dum polígono convexo C(τ) em Λ, ainda que não possam ser todos simultaneamente vértices “efectivos” da fronteira no mesmo polígono. Os vértices representados têm como coordenadas os pontos ))(ˆ ,)(ˆ ,)(ˆ( 333222111 λλλλλλ ′±′±′± φφφ , onde

φr representa o coeficiente de perturbação para o peso estimado rλ , r=1, 2, 3, e verificam a condição 1)(ˆ)(ˆ)(ˆ

333222111 =′±+′±+′± λλλλλλ φφφ .

O vértice que em cada C(ν) pertence à recta πk poderá ser caracterizado por:

a) T3a)= ( )2222111122221111ˆˆ1,ˆ,ˆ λsλλsλλsλλsλ ′+−′+−′−′− φφφφ ⇒ pontos A, B, C e D

na figura VI.11;

b) T3b)= ( )3333333311111111ˆ,ˆˆ1,ˆ λsλλsλλsλλsλ ′−′+−′+−′− φφφφ ⇒ pontos E, F, G e H

na figura VI.11;

c) T3c)= ( )3333222233332222ˆ,ˆ,ˆˆ1 λsλλsλλsλλsλ ′−′−′+−′+− φφφφ ⇒ pontos I, J, L e M

na figura VI.11.

O valor de sr dependerá do vértice em estudo e da inclinação da recta πk que se está a considerar.

Vamos estudar separadamente as situações em que o vértice dos polígonos convexos, C(ν), pertencente à recta πk considerada é um dos pontos referidos em a), em b) ou em c).

Em cada uma das situações referidas, pretende-se obter o maior polígono convexo, C(νke) (e=a), e=b) e e=c)), que possua um dos vértices sobre uma das rectas πk obtidas (em Λ). O menor dos três polígonos convexos C(νke) encontrados corresponde àquele que

6 Se bem que as condições de não negatividade para o valor dos pesos pudessem ser tratadas como as restrições definidoras da região crítica, tal não foi feito. Na abordagem proposta, elas serão consideradas quando o vértice do polígono convexo C(ν) (pertencente à recta πk em estudo) não pertencer a C(ν) ∩ Λ, e serão integradas durante o estudo apenas se necessário (como explicado mais à frente).


189

intersectado com Λ é um subconjunto da região de indiferença para os pesos (obtida com um determinado vector de pesos estimados). O valor da tolerância máxima para os pesos das funções objectivo, ν*, é o menor dos três valores νke encontrados.

Para obter o maior polígono convexo, C(νke), (nas situações e=a), e=b) ou e=c)) temos de analisar cada uma das #K restrições definidoras da região crítica. Ou seja, para cada uma das #K restrições definidoras da região crítica deve ser determinado o maior polígono convexo com centróide no ponto λ e que intersectado com Λ se situa no semiplano correspondente, e escolher entre estes o menor dos obtidos. O menor polígono convexo dos C(νke) obtidos (para k=1, ..., #K) será o maior que respeita todas as restrições que definem a região de indiferença para um determinado vector de pesos estimados na situação e, e terá associado o menor dos valores νke obtidos.

Pode haver casos (e=a), e=b) ou e=c)) em que não “exista” o polígono convexo C(νke). Por exemplo, se o ponto extremo que é candidato a vértice de C(νke) não for efectivamente um ponto extremo na fronteira de C(νke), então o correspondente valor de νke (determinado na situação e para a restrição k) não deve ser considerado (como acontece com o ponto A na figura VI.12(c)).

Se em relação a algumas das #K restrições, o vértice em πk do polígono convexo C(νke) encontrado na situação e não pertencer a C(νke) ∩ Λ, significa que algumas das componentes deste vértice são negativas.

Para cada um dos índices (y=1, 2, 3) associado a uma componente negativa poderá ser necessário procurar um novo polígono convexo C(νkey) para o qual o vértice em estudo respeite as condições de não negatividade dos pesos λy≥0. Ou seja, para cada y (apenas os correspondentes aos y que falham), poderemos ter então que procurar o maior polígono convexo C(νkey) tal que o vértice de C(νkey) ∩ Λ em estudo seja o ponto que resulta da intersecção de πk com a condição de não negatividade λy≥0 respectiva. O menor dos C(νkey) assim obtidos será o escolhido, e o correspondente valor de ν será o valor a atribuir a νke. Se não existir nenhum polígono nestas condições, este valor de νke deve ser desprezado no cálculo de ν*.

λ 1

λ 2

λ 3

P

k=2 k=1

k=3

k=4

(a) k=1 e e=a)

k=2

k=3

k=4

λ 1

λ 2

λ 3

P

k=1

(b) k=3 e e=a)

k=2

k=1

k=3

k=4

λ 1

λ 2

λ 3

P

A

(c) k=2 e e=a)

λ 1

λ 2

λ 3

P

k=2

k=3

k=4

k=1

(d) k=2 e e=b)

Figura VI.12 – Determinação do maior polígono convexo C(νke) em Λ.

Uma vez que, para estes novos polígonos convexos, os valores de νkey serão seguramente pelo menos iguais ao valor νke determinado para o primeiro polígono convexo (cujo vértice não respeitava as condições de não negatividade dos pesos), este


190

procedimento só precisará de ser efectuado se o valor νke correspondente ao primeiro polígono convexo for o menor dos calculados até então7.

Por questões de eficiência sugerimos que se determinem inicialmente todos os valores de νke, e apenas se verifique se o vértice do primeiro polígono convexo respeita as condições de não negatividade dos pesos para o índice h’(=k), onde o menor valor de νke foi obtido, νh’e, tal como é proposto no seguinte algoritmo:

(VI.19) 1) Se o menor valor dos νke obtidos, νh’e, corresponder à circunstância em que o

vértice em πh’ do polígono convexo C(νh’e) encontrado está incluído em Λ, então ν*=νh’e.

2) Caso contrário, necessitaremos de efectuar o procedimento explicado previamente para esse h’(=k) de modo a recalcular o novo valor de νh’e, com base nos valores de νh’ey, e analisar de seguida todos os índice k para os quais os valores correntes de νke sejam estritamente menores que o novo valor de νh’e.

3) Se não existirem índices nestas condições, temos νke=νh’e. 4) No caso de existirem, estes índices devem ser estudados por intermédio dum

algoritmo similar ao (VI.12) anteriormente sugerido em VI.1.2.

Parece-nos que se tornará mais racional e coerente considerar a integração das restrições de não negatividade da forma descrita, a tratá-las de forma idêntica às restantes restrições definidoras de H, muito embora a questão da eficiência vá depender grandemente do problema (e das correspondentes restrições da região crítica H).

Nas figuras VI.12 ((a) a (d)) está representada uma região de indiferença no diagrama paramétrico associada a um conjunto pesos estimado P.

Se considerarmos a situação em que o vértice do polígono convexo, C(νke) pertencente à recta πk considerada, é um dos vértices referidos em a) encontramos, para k=1, C(ν1a)) na figura VI.12(a) e, para k=3, C(ν3a)) na figura VI.12(b) sendo o menor (e consequentemente o escolhido) o representado em VI.12(b). Para k=2, figura VI.12(c), e k=4, os vértices que foram encontrados não são efectivamente vértices da fronteira dos C(ν) obtidos sendo, portanto, desprezados. Resultados semelhantes poderiam ser obtidos para os vértices referidos em b) e em c). O maior C(ν), tal que a intersecção de Λ com o correspondente C(ν) é um subconjunto da região de indiferença calculada para o conjunto de pesos P, será C(ν*)=C(ν2b)) (figura VI.12(d)).

Geometricamente, pode concluir−se que o C(νke) correspondente a cada uma das #K restrições definidoras da região crítica H existe, sendo o correspondente νke finito, desde que seja possível encontrar um vértice que pertença à recta πk em estudo, mesmo que o vértice do C(νke) encontrado não pertença a Λ. Ou seja, para Φ= 3ℜ o valor de νke

7 Será “menor dos calculados até então” e não “menor dos calculados até então na situação e, para e=a), e=b) e e=c)”, pois estamos sucessivamente a escolher o menor (isso tornar-se-á evidente mais à frente quando coligirmos os resultados). Embora, por questões elucidativas, estejamos a considerar separadamente as várias situações (e=a), e=b) e e=c)), em termos computacionais isso não se torna obrigatório, procura-se o menor dos valores νke calculados até ao momento naquela interacção, considerando-se em termos de cálculo a fórmula adequada para a situação e.


191

não será finito se 2 dos pesos estimados forem precisos (o terceiro depende deles, uma vez que λ1+λ2+λ3=1), ou se a referida restrição não permitir definir um semiplano (todos os coeficientes )Z(C rkrk - são nulos, para r=1, 2, 3).

Em (Hansen et al., 1989) os hiperplanos que se obtinham a partir de cada uma das #K’ restrições definidoras da região crítica H (substituindo a desigualdade ‘≤’ pela igualdade) passavam na origem. Contudo, nada se pode afirmar relativamente às rectas obtidas pela intersecção do plano λ1+λ2+λ3=1 com cada um dos #K planos que se obtêm a partir dos semiespaços definidores da região crítica H.

Sabemos, no entanto, que qualquer ponto pertencente a uma recta continuará a pertencer à projecção da recta sobre um plano, nomeadamente sobre os planos λr=0, r=1, 2, 3.

Estudemos a situação em que o vértice de C(νke) que pertence à recta πk em estudo é um dos vértices referidos em a) (vértice A, B, C ou D).

B

A

D

C

(a) Projecção λ1-λ2-λ3

B

A

D

C

λ 1

λ 2

(a) Projecção λ1-λ2

Figura VI.13 – e=a).

A partir das figuras VI.13(a) e (b) podemos concluir que:

• Se o vértice for A ou B, apenas interessará estudar as rectas para as quais sgn )( )( )CZ()C(Z 33111 kkkk - - λ −′ =-sgn )( )( )CZ()C(Z 33222 kkkk - - λ −′ , sendo os respectivos coeficientes de perturbação para os pesos estimados φ1=-φ2;

• Se o vértice for C ou D, apenas interessará estudar as rectas para as quais sgn )( )( )CZ()C(Z 33111 kkkk - - λ −′ =sgn )( )( )CZ()C(Z 33222 kkkk - - λ −′ , sendo os respectivos coeficientes de perturbação para os pesos estimados φ1=φ2.

Para estes vértices, o valor de sr=sgn )( )( )CZ()C(Z 33 kkrkrkr - - λ −′ ; r=1, 2 e k ∈ K.

Neste momento, em relação a cada uma das #K condições que definem a região crítica H, correspondente a um conjunto de pesos estimados, conhecemos os pesos estimados λ e o vértice de C(νke) pertencente à recta πk em estudo (para o caso deste ser um dos vértices referidos em a)), sendo fácil calcular as distâncias entre estes 2 pontos e os valores correspondentes para νka); k=1, …, #K (os quais variam proporcionalmente com estas distâncias).

As distâncias referidas podem ser calculadas como em VI.1.1 (o facto de estarmos a trabalhar sobre o plano λ1+λ2+λ3=1 não afecta o raciocínio).

No diagrama paramétrico da figura VI.14, o ponto P= )ˆ,ˆ,ˆ(ˆ321 λλλ=λ corresponde

aos valores estimados para os pesos. Πk é um dos planos obtidos a partir da matriz dos


192

custos reduzidos do quadro simplex multiobjectivo óptimo correspondente a P (ou seja, uma das restrições definidoras da região crítica H) e πk representa a recta de intersecção deste plano com o plano λ1+λ2+λ3=1. PX corresponde à distância de P ao plano Πk segundo uma perpendicular a Πk podendo ser calculada por (VI.2.k).

3a)PT corresponde à distância de P ao plano Πk segundo a direcção de

) , ,(K 2)21)12)21)13a) λsλsλsλs kakakaka ′+′′−′−= νννν , ou seja, é a distância que nos interessa

considerar, onde )ˆˆ-1 ,ˆ ,ˆ(T 2)221)112)221)113a) λsλλsλλsλλsλ kakakaka ′+−′+′−′−= νννν e

3a)PT = 3a)K .

Figura VI.14 – Diagrama paramétrico (dos pesos das funções objectivo) Λ, para p=3.

Sendo 3a)PT = PX /cos(ϕ) podemos obter o valor de νka) correspondente:

νka) = ( )∑

∑

≠=

=

−′−3

31

33

3

1

)Z(C)Z(C)(

)C(Zˆ

rr

kkrkrkrr

rrkrkr

- - λs

- λ; k=1, …, #K. (VI.20.k)

Uma vez que se deseja calcular a menor das distâncias do ponto ao plano, e correspondentemente o menor νka), temos )( )CZ()C(Zsgn 33 kkrkrkr - - s −= ; r=1, 2, ou seja,

νka) =

∑

∑

≠=

=

−′3

31

33

3

1

)Z(C)Z(C

)C(Zˆ

rr

kkrkrkr

rrkrkr

- - λ

- λ; k=1, …, #K. (VI.21.k)


193

Se νka) for finito então, para cada k=1, …, #K, os valores de *rφ a) podem ser obtidos por:

*rφ a) = νka) sgn[ )( )ZC()Z(C 33 kkrkrkr - - λ −′ ]; r=1, 2. (VI.22.k)

Um estudo análogo pode ser feito se o vértice de C(νke) pertencente à recta πk considerada for um dos vértices referidos em b) ou c), obtendo-se, nestes casos, os resultados abaixo descritos.

Quando o vértice de C(νke) que pertence à recta πk é um dos vértices referidos em b)8, o maior valor para a percentagem de tolerância dos vários pesos dos objectivo pode ser calculado por:

νkb) =

∑

∑

≠=

=

−′3

21

22

3

1

)Z(C)Z(C

)C(Zˆ

rr

kkrkrkr

rrkrkr

- - λ

- λ; k=1, …, #K. (VI.23.k)

Se νkb) for finito então, para cada k=1, …, #K, os valores de *rφ b) podem ser obtidos por:

*rφ b) = νkb) sgn[ )( )ZC()Z(C 22 kkrkrkr - - λ −′ ]; r=1, 3. (VI.24.k)

Quando o vértice de C(νke) que pertence à recta πk é um dos vértices referidos em c)9, o maior valor para a percentagem de tolerância dos vários pesos dos objectivo pode ser calculado por:

νkc) =

∑

∑

≠=

=

−′3

11

11

3

1

)Z(C)Z(C

)C(Zˆ

rr

kkrkrkr

rrkrkr

- - λ

- λ; k=1, …, #K. (VI.25.k)

Se νkc) for finito então, para cada k=1, …, #K, os valores de *rφ c) podem ser obtidos por:

*rφ c) = νkc) sgn[ )( )ZC()Z(C 11 kkrkrkr - - λ −′ ]; r=2, 3. (VI.26.k)

8 Se o vértice for E ou F na figura VI.11, apenas interessará estudar as rectas para as quais: sgn )( )( )CZ()C(Z 22111 kkkk - - λ −′ =-sgn )( )( )CZ()C(Z 22333 kkkk - - λ −′ ; se for G ou H, apenas interessará estudar as rectas para as quais:

sgn )( )( )CZ()C(Z 22111 kkkk - - λ −′ =sgn )( )( )CZ()C(Z 22333 kkkk - - λ −′ . 9 Se o vértice for I ou J da figura VI.11, apenas interessará estudar as rectas para as quais: sgn )( )( )CZ()C(Z 11222 kkkk - - λ −′ =-sgn )( )( )CZ()C(Z 11333 kkkk - - λ −′ ; se for L ou M, apenas interessará estudar as rectas para as quais: sgn )( )( )CZ()C(Z 11222 kkkk - - λ −′ =sgn )( )( )CZ()C(Z 11333 kkkk - - λ −′ .


194

Se considerarmos um índice, q, que toma o valor 3 quando o vértice de C(νke) é um dos referidos em a), o valor 2 para os referidos em b) e 1 para os referidos em c), podemos sintetizar as equações (VI.21.k) a (VI.26.k) anteriores:

O valor da tolerância para pesos das funções objectivo, νke, k=1, …, #K, e=a) ⇔ q=3, e=b) ⇔ q=2, e=c) ⇔ q=1, pode ser calculado por:

νke =

∑

∑

≠=

=

−′3

1

3

1

)Z(C)Z(C

)C(Zˆ

qrr

qkqkrkrkr

rrkrkr

- - λ

- λ. (VI.27.k)

Se νke (e=a) ⇔ q=3, e=b) ⇔ q=2 e e=c) ⇔ q=1) for finito então, para cada k=1, …, #K, os valores de *rφ e podem ser obtidos por:

*rφ e = νke sgn[ )( )ZC()Z(C qkqkrkrkr - - λ −′ ]; r=1, 2, 3; r ≠ q (VI.28.k)

O valor da percentagem máxima de tolerância para os pesos das funções objectivo, ν* (possivelmente infinito), é dado por:

ν* = c)b)a)e , ,

Min=

[K

Min∈k

νke ] (VI.29)

Como referido atrás, se o vértice do polígono convexo C(νke) pertencente à recta πk não pertencer a Λ, então algumas das suas componentes têm valores negativos (não respeitam algumas das condições λr≥0; r=1, 2, 3).

Para cada índice y (y=1, 2, 3), associado a uma componente negativa no vértice do primeiro C(νke) determinado, pode ser necessário determinar um novo polígono convexo C(νkey) tal que C(νkey) ∩ Λ possua como um dos seus vértices o ponto resultante da intersecção da recta πk em estudo com a correspondente condição de não negatividade dos pesos λy≥0, se ele existir. Se não for possível encontrar qualquer ponto de intersecção da recta πk em estudo com o plano λy=0 a analisar em Λ, então o correspondente νkey não deve ser tido em conta no cálculo de νke.

Os respectivos valores de νkey e *rφ ey, k=1, …, #K, e=a) ⇔ q=3, e=b) ⇔ q=2, e=c) ⇔ q=1, y=1, 2, 3 e y≠q, podem ser facilmente calculados por:

νkey = [ ]{ }

∑

∑

≠≠=

=

−′

−−′+

3

; 1

3

1

)C(Z)C(Z

)C(Z)C(Z)C(Zˆ

yrqrr

qkqkrkrkr

qkqkykykr

yyrkrkr

- - λ

- - λ - λ φ, (VI.30.k)

onde yφ =-100%.

Se tiver sido estudada mais do que uma equação de não negatividade dos pesos para a recta πk em estudo, atribui-se a νke o menor dos valores entre os considerados νkey.

Se νke (e=a), b), c)) for finito então os valores de *rφ e, para k=1, …, #K, são calculados (como anteriormente) por (VI.28.k).


195

Se algum(ns) dos valores dos pesos das funções objectivo for(em) conhecido(s) com precisão todo o raciocínio anteriormente apresentado se mantém, mas as correspondentes componentes em 3eK tornam-se nulas e em T3e igualam o valor do peso

estimado rλ ( rλ′ =0 para os pesos precisos).

VI.2.2 Existência de informação “a priori” relativa a gamas de variação para os pesos das funções objectivo

Se Φ≠ 3ℜ e Φ=Φ( φφ , ), podemos efectuar uma adequação do estudo geométrico exposto na secção anterior, à análise geométrica anteriormente proposta em VI.1.2 em relação ao procedimento iterativo de (Hansen et al., 1989).

O objectivo consiste em determinar o maior valor para a percentagem de tolerância para os valores dos pesos das funções objectivo, em relação ao qual a intersecção de Φ com o correspondente C(ν*) ∩ Λ é um subconjunto da região crítica H obtida com um determinado conjunto de pesos estimados P= λ = )ˆ,ˆ,ˆ( 321 λλλ .

Tal como na secção anterior, o valor da tolerância máxima para os pesos das funções objectivo, ν*, é o menor dos três valores νke encontrados (e=a), e=b) e e=c)), sendo cada um destes também o menor dos valores obtidos ao analisar cada uma das #K restrições definidoras da região crítica.

Geometricamente, podemos inferir que se a região Φ estiver totalmente incluída na região de indiferença correspondente a um determinado conjunto de pesos estimados, então o valor de ν* não é finito. O mesmo pode ser concluído em relação aos valores de νke obtidos a partir do estudo de cada recta πk (k ∈ K), associada a uma determinada solução eficiente: se a região Φ estiver totalmente incluída no semiplano resultante da intersecção do plano λ1+λ2+λ3=1 com o semiespaço definido pela restrição k em (V.42.k), então o valor de νke não é finito.

Como a condição λ1+λ2+λ3=1 se verifica, o procedimento seguidamente descrito pode ser utilizado para determinar os diferentes valores de νke.

Procedimento iterativo (VI.31.k)

Passo 1: Para os índices em relação aos quais νke é finito (νke≠∞), determinar inicialmente o seu valor considerando Φ= 3ℜ por intermédio de (VI.27.k) (repetida abaixo):

νke =

∑

∑

≠=

=

−′3

1

3

1

)Z(C)Z(C

)C(Zˆ

qrr

qkqkrkrkr

rrkrkr

- - λ

- λ,

k=1, …, #K, e=a) ⇔ q=3, e=b) ⇔ q=2, e=c) ⇔ q=1.


196

Passo 2: Para o índice h onde o menor valor (νkeh) foi calculado, determinar os valores 0

rφ eh por:

0rφ eh = )ZC()Z(Csgn )( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −′ qkqkrkrkr - - λ νkeh,

r=1, 2, 3, e=a) ⇔ q=3, e=b) ⇔ q=2, e=c) ⇔ q=1, r≠q.

Passo 3: Seja t=0. Examinar se os valores de trφ eh satisfazem as restrições

rtrr

φφφ ≤≤ , para r=1, 2, 3.

Se sim, o procedimento termina sendo o valor da tolerância máxima νke=νkeh.

Caso contrário, se um dos limites não foi satisfeito (para a restrição r=y), os valores de 1+t

rφ eh correspondentes devem ser recalculados por:

1+trφ eh= [ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−′

−′+

−′

>

<

=′

∑

∑

≠≠=

= casos outros nos ,

)Z(C)Z(C

)CZ()C(Z )C(Zˆ

)ZC()Z(Csgn

se ,

se ,

0)C(Z se , 0

3

; 1

3

1)(

)(

x

yrqrr

qkqkrkrkr

rqkqkykyky

tyrkrkr

qkqkrkrkr

rtrr

rtrr

rkrkr

- - λ

- - λ - λ

- - λ

-λ

ehφ

φφφ

φφφ

O valor de νkeh corresponde ao menor dos | 1+trφ eh|.

Passo 4: Os índices para os quais os valores correntes de νke são estritamente menores do que o valor obtido para νkeh devem ser posteriormente analisados.

Se não existirem índices nestas condições, obteve-se o valor da tolerância máxima νke=νkeh e o procedimento termina.

No caso de existirem, apenas estes índices devem ser considerados e retorna-se ao passo 2.

Considerando que valores negativos para os pesos não possuem significado, se o vértice do polígono convexo associado a νke não pertencer a C(ν) ∩ Φ ∩ Λ, pode ser necessário realizar uma análise análoga à explicada anteriormente em VI.2.1 (algoritmo (VI.19)).

O procedimento iterativo apresentado funciona do seguinte modo. Para os diferentes k, se νk for finito, resolve-se o problema considerando que as novas restrições adicionais impostas pelo AD não existem (Φ= 3ℜ , iteração t=0). Pode então ser necessário entrar num processo iterativo onde, em relação a cada um dos menores valores de νkeh calculados, se vão “ajustando” (ou deslocando) as posições dos sucessivos vértices


197

(situados sobre a restrição k) dos polígonos convexos C(νkeh) ∩ Λ ∩ Φt obtidos, enquanto os valores de t

rφ (obtidos na iteração t) violarem os limites do intervalo [ ]rrφφ , ; r=1, 2, …, p.

Na situação da nossa abordagem temos p=3, e o valor do novo νkeh determinado no passo 3 de (VI.31.k) irá ser obtido ao fim de, no máximo, (p-2)=1 iteração. Na iteração t=2 poder-se-ia chegar à conclusão que naquela situação a intersecção do C(νke) ∩ Λ obtido com Φ não intersecta a restrição k, ou seja, que νke é não finito o que garantimos à partida no passo 1.

Os valores de 1+trφ calculados no passo 3 de (VI.31.k) foram determinados para a

iteração t=1 (reunindo os raciocínios utilizados em VI.1.2 e em VI.2.1), a partir do cálculo das distâncias do ponto correspondente aos pesos estimados a um ponto pertencente à recta que se obtém da restrição k que se está a estudar, segundo a direcção de um vector t

e3K cujas componentes se vão iterativamente alterando do seguinte modo.

Se algum(ns) dos valores de 1+trφ obtido(s) na iteração t falha(m) as condições

rtrr

φφφ 1 ≤≤ + , r=1, 2, …, p, as novas distâncias calculadas efectuam-se segundo a

direcção de um vector 13K +t

e cujas componentes correspondentes aos valores que falham

tomam agora o valor de rrλ′φ ou rr λ′φ conforme o limite do intervalo que não foi

satisfeito, mantendo-se os valores das restantes componentes de te3K .

O algoritmo (VI.31.k) apresentado pode, no entanto, ser facilmente estendido para o caso geral de existirem mais do que 3 funções objectivo. Contudo, as facilidades gráficas apresentadas pelas ferramentas interactivas visuais implementadas, as quais serão ilustradas na secção seguinte deste capítulo, deixarão de poder ser utilizadas, tornando-se a tarefa do AD mais exigente e o diálogo entre o AD e o sistema computacional mais complicado.

VI.3 Exemplo ilustrativo

Com a finalidade de ilustrar a metodologia proposta, consideremos o problema linear com três funções objectivo estudado por Hansen et al. (1989) e já anteriormente considerado em V.3.4:

max z1 = 10 x2 + 80 x4 max z2 = 10 x2 + 10 x3 + 20 x4 max z3 = 10 x1 + 10 x2 + 10 x3 + 10 x4

s.a. 4 x1 + 9 x2 + 7 x3 + 10 x4 ≤ 6000 (c1) x1 + x2 + 3 x3 + 40 x4 ≤ 4000 (c2)

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Sejam x5 e x6 as variáveis folga associadas a cada restrição c1 e c2, respectivamente.

No caso de todas as soluções básicas eficientes serem conhecidas, obtemos os gráficos apresentados nas figuras VI.15(a) e VI.15(b). Em VI.15(a) encontra-se


198

representada a decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) Λ em regiões de indiferença e em VI.15(b) a projecção z1-z2 no espaço dos objectivos. As características destas soluções básicas eficientes encontram-se descritas na tabela VI.1.

(a) Diagrama paramétrico dos pesos

(b) Projecção z1-z2 no espaço dos objectivos

Figura VI.15 – Soluções básicas eficientes correspondentes ao exemplo ilustrativo.

Tabela VI.1 – Soluções básicas eficientes correspondentes ao exemplo ilustrativo.

Solução z1 z2 z3 Area (%) xB

1 12571.40 7428.57 6571.43 59.62 x2=571.43; x4=85.71

2 3200.00 8800.00 8400.00 14.33 x3=800.0; x4=40.0

3 0.00 0.00 15000.00 6.77 x1=1500.0; x6=2500.0

4 5333.33 1333.33 14000.00 19.28 x1=1333.33; x4=66.67

A solução eficiente 4 corresponde à solução estudada em (Hansen et al., 1989) e pode ser determinada considerando o vector de pesos estimados λ =(0.1; 0.3; 0.6)10.

Comecemos por considerar os pesos estimados λ =(0.1; 0.3; 0.6) (que conduzem à solução 4).

Não existindo informação “a priori” sobre a gama de variação para os pesos estimados (Φ= 3ℜ ) obtemos ν*=0.25, estando o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ, que deu origem a este valor sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 3 e 4. Este resultado pode ser confirmado pela inspecção gráfica do diagrama paramétrico apresentado na figura VI.16.

10 Recordemos que, para estes pesos estimados, foram obtidas as seguintes tolerâncias máximas em (Hansen et al., 1989):

• Considerando Φ= 3ℜ , ν*=0.2174. • Se o valor de .101 =λ for considerado preciso, este valor aumenta para ν*=0.2381.

• Considerando .101 =λ preciso e 3λ ∈ [0.5; 0.7], este valor aumenta para ν*=0.3452.

A interpretação destes resultados no diagrama paramétrico dos pesos não tem interesse uma vez que estamos a efectuar a análise no plano λ1+λ2+λ3=1 e não em 3ℜ .


199

Isto significa que a solução básica eficiente 4 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos não variem simultânea e independentemente mais do que 25% em relação aos seus valores estimados; ou seja, desde que 1λ varie no intervalo [0.075, 0.125], 2λ varie no intervalo [0.225, 0.375], e simultaneamente 3λ varie no intervalo [0.45, 0.75].

Figura VI.16 – λ =(0.1; 0.3; 0.6).

Figura VI.17 – λ =(0.1; 0.3; 0.6) e 1λ =0.1.

O valor obtido para ν* é superior ao encontrado por Hansen et al. (1989) (ν*=0.2174) como era de esperar. Esta diferença deriva da condição de normalização dos pesos ∑ =

31r rλ =1, a qual, no entanto, não tem influência no cálculo das soluções

eficientes.

Se o peso do primeiro objectivo for conhecido com precisão ( 1λ =0.1) os resultados obtidos encontram-se na figura VI.17, sendo a percentagem máxima de tolerância 34.0136%. Neste caso, o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ ∩ Φ, que deu origem a este valor encontra-se sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 2 e 4. A solução básica eficiente 4 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos 2λ e 3λ não variem simultânea e independentemente mais do

que 34.0136% em relação aos seus valores estimados com 1λ =0.1.

Como era de esperar, este valor é superior aos 25% determinados previamente (sem 1λ preciso), assim como é também superior ao valor de 23.8095% obtido numa situação equivalente por Hansen et al. (1989).

Se, adicionalmente, o AD especificar para o peso 3λ o intervalo [0.5; 0.7] o valor de ν* torna-se infinito. Este resultado pode ser comprovado no diagrama paramétrico da figura VI.18, onde se verifica que a intersecção de Φ com 1λ =0.1 está totalmente dentro da região de indiferença correspondente à solução 4. Para 1λ =0.1 e 3λ a variar em [0.5; 0.7],

2λ pode tomar qualquer valor em Λ mantendo-se sempre eficiente a solução 4.

Similarmente, este valor é superior aos 25% e aos 34.0136% determinados previamente (sem 1λ preciso e com 1λ =0.1), assim como é também superior ao valor de 34.5223% obtido numa situação equivalente por Hansen et al. (1989). Estes resultados confirmam as conclusões de Wendell (1985,1984): a existência “a priori” de informação relativa a gamas de variação de alguns coeficientes permite obter maiores valores para as


200

percentagens máximas de tolerância. Além disso, quanto maior for a quantidade de informação (distinta) fornecida pelo AD (e mais estreitas forem as gamas de variação correspondentes) maiores valores podem também ser obtidos para essas percentagens máximas de tolerância.

Figura VI.18 – λ =(0.1; 0.3; 0.6), 1λ =0.1 e ∈3λ [0.5; 0.7].

Figura VI.19 – λ =(0.1; 0.3; 0.6) e ∈3λ [0.5; 0.65].

Suponhamos agora que o AD decide retirar a condição de conhecer com precisão o valor estimados de 1λ , ainda que continue a especificar o intervalo de variação [0.5; 0.7] para 3λ .

Quando se retira informação adicional (ou se alargam os intervalos de variação para o valor dos pesos), o correspondente valor da percentagem máxima de tolerância diminui, sem nunca tornar-se inferior ao valor determinado se não for conhecida qualquer informação adicional.

O valor obtido para a percentagem máxima de tolerância nesta situação iguala o inicialmente encontrado de 25%. Se, para o polígono convexo C(ν*) ∩ Λ representado na figura VI.16, calcularmos as coordenadas do vértice assinalado e do seu oposto, verificamos ser este o valor aguardado. Nestes pontos ((0.075, 0.225, 0.7) e (0.125, 0.375, 0.5)), assim como em todo o interior do polígono C(ν*) ∩ Λ, 3λ ≥0.5 e 3λ ≤0.7.

Embora conheçamos mais informação que inicialmente (Φ= 3ℜ ) relativa aos intervalos de variação para o valor dos pesos ( 3λ ∈ [0.5; 0.7]), o valor da percentagem máxima de tolerância obtido igualou o inicial, dado que os limites inferiores e superiores do conjunto Φ não foram violados, ou seja, C(ν*) ∩ Λ⊆Φ.

No diagrama paramétrico da figura VI.19 temos a situação em que se estreita superiormente o intervalo de variação para o peso 3λ , ou seja, o AD especifica um novo

intervalo para a variação de 3λ , [0.5; 0.65], aumentando assim o valor da percentagem máxima de tolerância para 34.2593%. Como pode ser observado no diagrama paramétrico, o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ ∩ Φ, que deu origem a este valor encontra-se sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 2 e 4. A solução básica eficiente 4 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos 1λ e 2λ não variem simultânea e independentemente mais do que 34.2593% em relação aos seus valores estimados com 3λ ∈ [0.5; 0.65].

VI.3 - Exemplo ilustrativo

201

A figura VI.20 corresponde à situação em que se conhece com precisão o valor de

1λ =0.1 e 55.0ˆ3 ≥λ , sendo 47.619% o valor da percentagem máxima.

Se 095.01 ≥λ e 55.0ˆ3 ≥λ , obtemos um menor valor, 43.0952%, para a tolerância

máxima, dado que o valor de 1λ deixou de ser preciso (figura VI.21).

Figura VI.20 – λ =(0.1; 0.3; 0.6), 1λ =0.1 e ≥3λ 0.55.

Figura VI.21 – λ =(0.1; 0.3; 0.6), ≥1λ 0.095 e ≥3λ 0.55.

Um estudo análogo pode ser realizado considerando distintos conjuntos de pesos.

Consideremos como valores para os pesos estimados o conjunto de pesos correspondente ao centróide da região de indiferença da solução 4, λ =(0.2207; 0.1720; 0.6073).

Com Φ= 3ℜ obtemos o diagrama paramétrico da figura VI.22, onde a percentagem máxima de tolerância é 33.5252%. Com ∈3λ [0.5; 0.7] obtemos o da figura VI.23 com um maior valor para a percentagem máxima de tolerância 66.0131%. Ambos os valores são superiores aos 25% encontrados anteriormente sob condições similares com λ =(0.1; 0.3; 0.6).

Figura VI.22 – λ =(0.2207; 0.1720; 0.6073).

Figura VI.23 – λ =(0.2207; 0.1720; 0.6073) e ∈3λ [0.5; 0.7].

Na figura VI.24 temos o problema inicial (Φ= 3ℜ ) considerando para pesos estimados o vector λ =(0.2607; 0.0920; 0.6473), os quais também conduzem à solução básica eficiente 4. Repare-se que o valor obtido para a percentagem máxima de tolerância, ν*=46.4018%, é superior relativamente aos valores obtidos em idênticas condições nas


202

figuras VI.16 (ν*=25%) e VI.22 (ν*=33.5252%). Isto significa que o último conjunto de pesos analisado se apresenta menos sensível, em relação à variação simultânea e independente dos pesos11, que os estudados atrás.

Figura VI.24 – λ =(0.2607; 0.0920; 0.6473).

11 Embora vulgarmente se associe ao conjunto de pesos correspondente ao centróide da região de indiferença a ideia de estes corresponderem aos valores mais robustos em relação à variação dos valores dos pesos, depois de realizadas algumas experiências computacionais verificámos que este raciocínio resulta de uma falácia. Mesmo considerando parâmetros de perturbação de tipo diferente dos anteriormente estudados (bi= ib + ib′ iδ , com ib′= ib e cj= jc + jγ jc′ , com jc′ = jc ) essa conclusão afigura-se-nos não válida.

As figuras seguintes (obtidas por cópias directas de écrans) resultam de um estudo preliminar, que constitui uma das pistas de desenvolvimento desta dissertação, sobre a utilização da métrica L2 para avaliação da robustez do vector dos pesos no quadro da abordagem de tolerância. Na figura (a) representa-se o maior círculo (no plano λ1+λ2+λ3=1) com centro no valor dos pesos correspondentes ao centróide da região de indiferença, em (b) o maior círculo (no plano λ1+λ2+λ3=1) dentro da região de indiferença, e na figura (c) o maior círculo (no plano λ1+λ2+λ3=1) de centro em Λ e que intersectado com Λ pertence à região de indiferença.

(a) (b)

(c)

VI.3 - Exemplo ilustrativo

203

Suponhamos que o AD está agora interessado em analisar como a solução eficiente 2 se comporta em relação a variações nos valores dos pesos. Comecemos por considerar para pesos estimados o vector correspondente ao centróide da região de indiferença, λ =(0.0667; 0.6670; 0.2663).

Não existindo informação “a priori” sobre a gama de variação para os pesos estimados (Φ= 3ℜ ), obtemos os resultados apresentados na figura VI.25, os quais correspondem a uma tolerância máxima de 81.1464%. O vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ, que deu origem a esta tolerância máxima está sobre a aresta comum às regiões de indiferença associadas às soluções eficientes 2 e 4 no diagrama paramétrico apresentado.

Isto significa que a solução básica eficiente 2 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos não variem simultânea e independentemente mais do que 81.1464% em relação aos valores do centróide da região de indiferença.

Figura VI.25 – λ =(0.0667; 0.6670; 0.2663).

Figura VI.26 – λ =(0.055; 0.84; 0.105).

Se o AD especificar que ∈1λ [0; 0.075], obtemos um maior valor para a tolerância máxima, 93.8958% (figura VI.27). Tal como no diagrama paramétrico apresentado na figura VI.25, o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ ∩ Φ, que deu origem a esta tolerância máxima está sobre a aresta comum às regiões de indiferença associadas às soluções eficientes 2 e 4.

Figura VI.27 – λ =(0.0667; 0.6670; 0.2663) e ∈1λ [0; 0.075].

Figura VI.28 – λ =(0.055; 0.84; 0.105) e ∈1λ [0; 0.075].


204

Suponhamos que o AD está agora interessado em estudar estas duas situações, Φ= 3ℜ e ∈1λ [0; 0.075], mas para o vector de pesos estimados λ =(0.055; 0.84; 0.105).

Não existindo informação “a priori” sobre a gama de variação para os pesos estimados (Φ= 3ℜ ), obtemos os resultados apresentados na figura VI.26, os quais correspondem a uma percentagem máxima de tolerância de 132.108%.

Tendo em atenção que valores negativos para os pesos não possuem significado, a metodologia usada garante, nesta situação, a obtenção de maiores regiões de tolerância para os valores dos pesos, assim como maiores valores para a tolerância máxima, do que seria, à partida, de esperar se não fosse tomado em conta esse facto.

O vértice do polígono convexo C(ν) ∩ Λ apresentado no diagrama paramétrico da figura VI.26 corresponde ao ponto que resulta da intersecção duma das rectas πk com o plano λ3=0. Saliente-se que C(ν) ∩ Λ está contido na região de indiferença e corresponde à maior região de tolerância, para os pesos estimados considerados, dentro dessa região de indiferença.

Se, para estes pesos estimados, considerarmos a informação adicional ∈1λ [0; 0.075], obtemos o valor de 391.74% para a percentagem máxima de tolerância (figura VI.28). Nesta situação beneficiamos grandemente do intervalo de variação imposto para o valor do primeiro peso, assim como do correspondente valor estimado.

Tal como nos diagramas paramétricos apresentados nas figuras VI.25 e VI.27, o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ ∩ Φ, que deu origem a esta tolerância máxima está sobre a aresta comum às regiões de indiferença associadas às soluções eficientes 2 e 4.

Figura VI.29 – λ =(0.055; 0.84; 0.105) e ∈2λ [0; 0.85].

Figura VI.30 – λ =(0.055; 0.84; 0.105), ∈2λ [0; 0.85] e ≥3λ 0.01.

O diagrama paramétrico da figura VI.29 corresponde à situação em que se consideram os pesos estimados λ =(0.055; 0.84; 0.105) e em que o AD especifica que

∈2λ [0; 0.85].

Em relação à figura VI.26, podemos constatar que a região de tolerância para os pesos aí apresentada aparece agora sensivelmente alargada (embora o polígono convexo C(ν) ∩ Λ ∩ Φ apareça restrito pela nova condição 2λ ≤0.85). A percentagem máxima de tolerância obtida é agora de 133.766%, contra o valor de 132.108% obtido na situação em que Φ= 3ℜ .

VI.4 - Considerações finais

205

Se, adicionalmente, o AD especificar que 01.0ˆ3 ≥λ (figura VI.30), então a região

de tolerância para os pesos pode ser novamente alargada devido à presença desta nova restrição sobre a qual se situará o vértice de C(ν) ∩ Λ ∩ Φ, que deu origem ao valor de 139.845% para a percentagem máxima de tolerância.

Se o intervalo de variação para o segundo peso estimado se tornar mais estreito, por exemplo se ∈2λ [0.8; 0.85], então a intersecção de Φ com Λ ficará completamente contida na região de indiferença em análise (figura VI.31) e o correspondente valor da tolerância máxima tornar-se-á infinita.

Figura VI.31 - λ =(0.055; 0.84; 0.105), ∈2λ [0.8; 0.85] e ≥3λ 0.01.

Dada a dimensão do exemplo ilustrativo analisado, a pesquisa exaustiva de todas as soluções básicas eficientes do problema no diagrama paramétrico não implicou um esforço computacional elevado. Como referido em capítulos anteriores, na generalidade das situações reais não se pretende calcular todas as soluções eficientes (com o correspondente preenchimento de Λ na sua totalidade com regiões de indiferença), mas apenas aquelas que o AD se mostre interessado em pesquisar por constituírem boas soluções de compromisso. Será sobre algumas destas soluções básicas eficientes que o AD terá possibilidade de estudar a correspondente estabilidade a variações nos valores dos pesos dos vários objectivos de acordo com as metodologias descritas neste capítulo.

VI.4 Considerações finais

Neste capítulo foi proposta uma metodologia interactiva de abordagem tolerante em análise sensibilidade que, fazendo apelo às capacidades de inspecção visual do AD, permite analisar os efeitos da incerteza nos valores dos coeficientes de ponderação dos objectivos, em modelos de PLMO em que o cálculo das soluções eficientes consiste na optimização de somas pesadas das funções objectivo.

A finalidade principal do sistema interactivo implementado consiste em oferecer ao AD uma ferramenta computacional prática, intuitiva e flexível, por intermédio da qual seja possível analisar, de um modo progressivo e dinâmico, a estabilidade de uma determinada solução eficiente face a variações no valor dos pesos das funções objectivo. O AD deve assumir um papel activo durante o estudo, dado que, para uma determinada solução eficiente, é possível escolher interactivamente um conjuntos de pesos estimados


206

distinto (que conduzam a essa solução eficiente), bem como estreitar ou alargar os intervalos especificados (“a priori”) para a variação dos diferentes pesos (ou mesmo indicar quais os valores dos pesos devem ser considerados precisos), sem necessidade de coerência na informação fornecida pelo AD ao longo das várias interacções.

Na secção 1 deste capítulo explicámos como é possível demonstrar os resultados apresentados em (Hansen et al., 1989) de modo geométrico, por intermédio do cálculo de distâncias do ponto correspondente aos pesos estimados até pontos pertencentes a cada um dos #K' hiperplanos obtidos a partir de (V.42.k), correspondentes à solução básica eficiente calculada com os pesos estimados. Tal como em (Hansen et al., 1989), foi utilizada a norma de Tchebycheff de φ e foram consideradas perturbações multiplicativas para os pesos. No entanto, esta análise pode ser efectuada usando diferentes normas e considerando outras escolhas para os valores de rλ′ especificados pelo AD.

Esta análise geométrica foi depois adaptada na secção 2, considerando o vector dos parâmetros de ponderação (pesos) normalizado em problemas com três funções objectivo. O estudo é baseado na decomposição do diagrama paramétrico dos pesos, o qual permite o uso de utensílios gráficos interactivos bastante úteis no diálogo com o AD. A sobreposição da região de indiferença, correspondente a uma determinada solução básica eficiente, com as regiões de tolerância obtidas para diferentes conjuntos de pesos estimados, e com diversa informação adicional para a variação do valor dos pesos das funções objectivo providenciada pelo AD, faculta um modo apelativo de o AD estudar dinamicamente como uma solução eficiente se comporta face à incerteza inerente ao processo interactivo de tomada de decisão (na especificação dos valores dos pesos das funções objectivo).

A metodologia interactiva de abordagem tolerante para problemas de PLMO proposta foi usada na secção 3 para analisar um exemplo ilustrativo (o anteriormente usado por Hansen et al. (1989) para facilitar a comparação de resultados).

Na secção 3 do capítulo seguinte, utilizaremos esta metodologia para explorar de forma interactiva e dinâmica como uma determinada solução eficiente de um modelo multiobjectivo para planeamento energético se comporta perante alterações nos pesos das funções objectivo (quer em relação aos valores estimados, quer à informação disponível “a priori”).

Capítulo VII

Estudo de um modelo multiobjectivo

para planeamento energético com

implicações económicas e ambientais

Neste capítulo pretendemos explorar as potencialidades das abordagens interactivas de PLMO propostas nos capítulos IV e VI, no estudo de um modelo de planeamento energético com implicações económicas e ambientais.

Este modelo permite considerar as interacções existentes entre o sistema energético e toda a economia nacional através da construção de uma tabela “input−output”, onde as componentes energéticas são desagregadas (possibilitando a distinção entre formas de energia primária e secundária), e analisar os impactes ambientais resultantes do uso dos recursos energéticos.

As questões relativas ao tratamento da incerteza são muito importantes no estudo das interacções entre o sistema energético, a economia e os impactes ambientais. Mesmo que se considere um elevado nível de desagregação das actividades económicas, nunca será possível eliminar a imprecisão e a incerteza relativas aos dados, bem como as associadas às hipóteses simplificadoras admitidas na construção dos modelos matemáticos.

Fazendo uso das abordagens interactivas de PLMO propostas, pretende-se neste capítulo mostrar como o AD pode avaliar os impactes macro-económicos e ambientais resultantes da adopção de políticas alternativas (que se traduzem na variação do nível de “output” dos diferentes sectores de actividade).

Este capítulo está organizado da seguinte forma:

Na secção 1 apresentamos um modelo multiobjectivo para planeamento energético com implicações económicas e ambientais baseado nos trabalhos de Oliveira e Antunes (2002, 2004) e de Antunes et al. (2002). As preocupações ambientais, económicas

Capítulo VII - Estudo de um modelo multiobjectivo para planeamento energético com implicações económicas e ambientais

208

e sociais são consideradas de forma explícita no modelo, uma vez que não se encontram agregadas num único indicador. A instância do problema que seguidamente iremos analisar usa dados relativos a Portugal, os quais se encontram afectados por diferentes fontes de imprecisão e incerteza.

A secção 2 é baseada em (Borges e Antunes, 2003b), e nela pretendemos ilustrar a aplicação, ao modelo apresentado na secção anterior, da metodologia interactiva de PLMO difusa descrita no capítulo IV (Borges e Antunes, 2000).

A metodologia proposta no capítulo VI é usada na secção 3 para explorar, de forma interactiva e dinâmica, o comportamento de uma determinada solução eficiente deste modelo multiobjectivo, face a alterações nos diferentes parâmetros de ponderação dos objectivos, quer em relação aos valores estimados, quer no que diz respeito à informação disponível “a priori”.

De referir que as análises possibilitadas pelas duas ferramentas computacionais implementadas são distintas, mas complementares: na primeira situação estudamos como se comporta uma solução básica eficiente perante a presença de incerteza nos valores de alguns dos parâmetros do modelo (coeficientes das funções objectivo, dos lados direitos das restrições funcionais ou a consideração de uma nova variável no modelo); na segunda, investigamos como se comporta uma solução básica eficiente face à presença de incerteza nos valores de alguns dos coeficientes de ponderação das funções objectivo. De referir que, nesta última situação, os pesos são encarados como um meio operacional de cálculo de soluções eficientes e não como um modo de revelar as preferências (evolutivas) do AD.

Por fim, apresentamos na secção 4 alguns comentários sobre as metodologias interactivas implementadas, com especial destaque para algumas considerações retiradas do estudo efectuado ao modelo multiobjectivo para planeamento energético com implicações económicas e ambientais.

VII.1 O modelo de PLMO para planeamento energético baseado na análise “input-output”

Na análise de uma economia a nível nacional, o sector energético assume uma importância proeminente, devido às consequências directas e indirectas em determinados indicadores de bem-estar, os quais podem abranger aspectos económicos, ambientais e sociais.

Os países industrializados apresentam, em geral, uma elevada dependência energética, devido ao nível de importações de energia primária, nomeadamente de combustíveis fósseis, requerido para satisfação dos padrões de produção e de consumo.

O desenvolvimento de modelos para o planeamento energético no contexto de todo o sistema económico, permitindo o estudo das interacções entre estes dois sistemas, é fundamental para a definição de políticas e de estratégias orientadoras no processo de tomada de decisão.

A análise “input-output” é uma ferramenta analítica que permite explorar as inter−relações entre as diferentes actividades económicas, permitindo no quadro deste

VII.1 - O modelo de PLMO para planeamento energético baseado na análise “input-output”

209

modelo avaliar as implicações ambientais directas e indirectas resultantes dos diferentes padrões de procura final. A estrutura básica dos modelos “input-output” permite representar o processo de produção de cada sector através de um vector de coeficientes estruturais que descreve o relacionamento entre os “inputs” intermédios consumidos no processo de produção e o “output” total (coeficientes directos de “input”). Na análise “input-output” assume-se que cada sector produz um único bem ou serviço homogéneo e que os “inputs” são combinados em proporções fixas na produção, ou seja, todas as indústrias utilizam rendimentos de escala constantes (Leontieff, 1966). Apesar das hipóteses redutoras e simplistas assumidas nos modelos “input-output”, este tipo de análise permite a caracterização do sistema produtivo, facilita a comparação entre economias e é utilizado como técnica de projecção.

O modelo de PLMO estudado neste capítulo, baseado nos trabalhos de Oliveira e Antunes (2002, 2004) e de Antunes et al. (2002), permite o cálculo da quantidade de energia requerida para produzir um bem ou serviço numa economia, quer para consumo intermédio (ou seja, para sectores que produzem outros bens ou serviços), quer para a procura final. Além disso, associando o consumo de combustível fóssil e o correspondente conteúdo de carbono com o nível de actividade de cada sector é possível determinar a quantidade resultante de poluentes atmosféricos emitidos (por exemplo, de dióxido de carbono, CO2) nos diferentes sectores ou em toda a economia.

Na tabela “input-output”, a qual foi alimentada com dados estatísticos disponibilizados por várias fontes nacionais e internacionais (tais como, INE – Instituto Português de Estatística, DGE – Direcção Geral de Energia e IPCC – “Intergovernmental Panel for Climate Change”), foram considerados 21 sectores económicos. As componentes do sector energético foram desagregadas, possibilitando a distinção entre fontes de energia primárias e secundárias, através de 23 sectores artificiais, que são utilizados para distribuir a produção (os diversos hidrocarbonetos) do sector de refinação de petróleo e os subprodutos pelos sectores consumidores.

A estrutura “input-output” do modelo é a seguinte: uma matriz (44x44) que representa os fluxos inter/intra-sectoriais, 6 vectores coluna com os valores referentes à procura final (consumo privado, consumo colectivo, investimento em formação bruta de capital fixo, variação positiva e negativa de existências e exportações), 1 vector coluna para os valores das importações competitivas e 3 vectores linha para os “inputs” primários (remunerações, impostos indirectos líquidos de subsídios e excedente bruto de exploração).

A utilização de combustíveis fósseis é associada ao nível de actividade de cada sector, possibilitando avaliar a energia requerida para a produção de um bem ou serviço. Depois de obtida a energia requerida para cada sector de actividade, é possível contabilizar a emissão de poluentes atmosféricos resultante da combustão de combustíveis fósseis. As emissões totais de cada sector e de toda a economia são então calculadas através da utilização de coeficientes que relacionam a quantidade de dióxido de carbono produzido por unidade consumida de combustível.

O modelo de PLMO baseia-se em dados reais relativamente a Portugal. Este modelo foi construído a partir dos coeficientes de uma matriz “input-output” e contempla três funções objectivo, duzentas e uma restrições e cento e quarenta variáveis de decisão. Mais detalhes sobre este tipo de modelos para estudo das interacções economia−energia−ambiente podem ser encontrados em (Oliveira e Antunes, 2002, 2004) e em (Antunes et al., 2002).


210

VII.1.1 Funções objectivo do modelo

No modelo são consideradas três funções objectivo:

• A importação de energia, a ser minimizada, dada a grande dependência energética de Portugal em relação ao exterior.

• A autoprodução de electricidade, a ser maximizada, de modo a encorajar o uso de formas de energia alternativas na autoprodução, e a consequente valorização e reciclagem dos resíduos (permitindo economias de energia e minimizando as quantidades a eliminar de resíduos).

• As emissões de CO2, a ser minimizada, devidas ao impacto da utilização dos recursos energéticos no ambiente, especialmente a poluição atmosférica. De modo a obter dados mais representativos da realidade foi seguida a metodologia “top-down” do “Intergovernmental Panel for Climate Change” para modelar as emissões de dióxido de carbono (CO2), a qual é baseada nos princípios de combustão e composição dos combustíveis (ver detalhes em (Oliveira e Antunes, 2002, 2004) e em (Antunes et al., 2002)).

Os valores da importação de energia e da autoprodução de electricidade são expressos em unidades físicas de energia, teps (toneladas equivalentes de petróleo), e os valores das emissões de CO2 em Kton (Kilo toneladas de dióxido de carbono).

VII.1.2 Restrições do modelo

No modelo de PLMO para estudo das interacções economia−energia−ambiente são consideradas diferentes categorias de restrições:

• Balança de pagamentos: Para garantir um certo nível de equilíbrio externo.

• Défice público (ou saldo global do sector público administrativo de sinal negativo): Para atender aos critérios da União Europeia.

• Restrições de capacidade produtiva de cada sector de actividade: A produção total de cada sector deverá ser limitada superiormente (pela correspondente capacidade produtiva) e inferiormente (por um determinado nível mínimo).

• Restrições impostas às importações e exportações: De modo a evitar fenómenos de sobre-especialização, muito frequentes em modelos onde as importações e as exportações são endógenas e desligadas dos coeficientes técnicos do modelo. A imposição de limites para as importações e para as exportações competitivas de alguns sectores de actividade torna o modelo mais realista.

VII.1 - O modelo de PLMO para planeamento energético baseado na análise “input-output”

211

• Restrições de capacidade de armazenagem e existências de segurança (“stock estratégico”) de produtos petrolíferos: Para garantir que variações positivas das existências nunca excedam a capacidade de armazenagem, bem como que as reduções de existências nunca abranjam as existências de segurança.

• Restrições de coerência: A utilização de determinada actividade para consumo intermédio e procura final de bens (ou serviços) não pode exceder o total disponível resultante da produção nacional e das importações competitivas desse mesmo bem (ou serviço).

Mais informação relativa ao modelo matemático e à estrutura “input-output” podem ser encontrados em (Oliveira e Antunes, 2001, 2002, 2004), em (Oliveira, 2000) e em (Antunes et al., 2002) onde são descritos detalhadamente as questões de cariz mais técnico respeitantes a modelos similares ao aqui apresentado. Ainda que a arquitectura seja análoga, o modelo aqui apresentado possui algumas características distintas, não só no diz respeito às função objectivo e às restrições, como também na actualização dos dados que alimentam o modelo.

Num modelo deste tipo, possuindo uma grande diversidade e complexidade de informação de entrada, a qual é utilizada para obter os coeficientes do problema de PLMO, diversas fontes de incerteza estão intrinsecamente presentes, quer relativas aos dados, quer às necessárias simplificações inerentes ao modelo.

VII.2 Análise das soluções difusas eficientes do modelo usando a abordagem interactiva de PLMO com parâmetros difusos

Os coeficientes das funções objectivo e do lado direito das restrições funcionais do modelo são definidos por números reais difusos triangulares, podendo ser diferente a largura à esquerda e à direita do valor modal.

Inicialmente foi efectuada uma pesquisa progressiva e selectiva, considerando para coeficientes iniciais do modelo os valores associados ao nível de pertença máximo dos números reais difusos triangulares (valores modais cM), de modo a proporcionar ao AD uma visão genérica das características de diferentes soluções não dominadas, em ambiente rígido, para o modelo considerado.

Foram calculadas as oito soluções básicas não dominadas representadas nas figuras VII.1 e VII.2. Os valores das funções objectivo associados a essas soluções1, assim como as áreas das correspondentes regiões de indiferença, encontram-se descritas na tabela VII.1.

1 Note-se que os valores obtidos para as funções objectivo, em particular a autoprodução de electricidade e a poluição, são pouco realistas. Tal deve-se a terem sido considerados limites superiores muito elevados para algumas restrições do modelo, com o intuito de alargar a gama de variação dos valores das funções objectivo na região eficiente, de modo a ilustrar a análise efectuada.


212

Surpreendentemente, o cálculo destas oito soluções extremas eficientes conduziu ao preenchimento total do diagrama paramétrico (dos pesos) com regiões de indiferença, significando que, em ambiente rígido, todas as soluções básicas eficientes foram calculadas. Em modelos de alguma dimensão, o preenchimento total do diagrama paramétrico com regiões de indiferença é pouco frequente. A intenção desta pesquisa inicial consiste no cálculo de um conjunto de soluções de características diferentes e suficientemente dispersas, nas quais uma pesquisa selectiva posterior se possa fundamentar.

Figura VII.1 – Regiões de indiferença em Λ associadas às soluções básicas eficientes calculadas inicialmente (em ambiente rígido).

A solução 1, a qual minimiza a importação de energia, possui um valor pequeno (relativamente às 8 soluções calculadas) para a autoprodução de electricidade, valor este que se aproxima do pior valor determinado que está associado à solução 3 (adjacente à solução 1). O valor das emissões de CO2 encontra-se perto do óptimo (solução 3). Tabela VII.1 – Soluções básicas eficientes calculadas inicialmente (em ambiente rígido).

Solução Importação de

energia (min)

Autoprodução deelectricidade

(max)

Poluição (Emissões de CO2)

(min) Área (%)

1 12 271 100 179 513 15 916 12.8149

2 87 769 700 22 622 700 306 063 35.5831 3 12 727 600 164 322 12 462 8.7248 4 13 222 500 1 334 770 27 764 3.6413 5 14 844 100 2 187 230 38 908 6.2979 6 12 395 100 986 354 27 992 19.4846 7 14 592 700 2 182 660 45 896 6.3779 8 85 810 100 22 499 000 349 964 7.0706

Para a solução 2, a qual maximiza a autoprodução de electricidade, os níveis de emissão de CO2 e de importação de energia são muito elevados (relativamente às 8 soluções calculadas), correspondendo este último ao pior valor determinado. Repare-se

VII.2 - Análise das soluções difusas eficientes do modelo usando a abordagem interactiva de PLMO com parâmetros difusos

213

que esta solução é a que corresponde à maior área para a região de indiferença no diagrama paramétrico obtido, ou seja, é a que, de algum modo, é mais robusta relativamente às variações nos valores dos pesos.

A solução 3, a qual minimiza os níveis de poluição, alcança o pior valor (relativamente às 8 soluções calculadas) para a autoprodução de electricidade (como já referido) e um valor relativamente bom para as importações de energia.

As restantes soluções, soluções 4 a 8, correspondem a um compromisso entre os vários objectivos.

Figura VII.2 – Projecção f2-f3 no espaço dos objectivos das soluções básicas eficientes calculadas inicialmente (em ambiente rígido).

Saliente-se que a solução 8, à qual corresponde o pior valor para as emissões de CO2, exibe características afins às da solução 2. As soluções 5 e 7 apresentam também características similares, embora esta última alcance um valor pior para a função poluição.

Analisemos agora como estas soluções básicas eficientes seriam afectadas na presença de imprecisão e incerteza, considerando alguns dos coeficientes presentes no modelo definidos por números reais difusos triangulares.

VII.2.1 Coeficientes difusos nas funções objectivo

Suponhamos que o AD se mostrou particularmente interessado nas características da solução 5 inicialmente determinada, e deseja estudar o que acontece às soluções não dominadas inicialmente calculadas se os coeficientes das funções objectivo presentes no modelo forem difusos.

Genericamente todos os coeficientes das funções objectivo foram considerados definidos por números reais difusos triangulares.


214

Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas a esses coeficientes, y, for contínua e interactivamente alterado2 é possível visualizar dinamicamente as alterações, em forma e tamanho, das várias regiões de indiferença no diagrama paramétrico Λ. Algumas das soluções podem deixar de ser eficientes, e novas soluções básicas eficientes podem ser pesquisadas, considerando conjuntos de pesos em zonas de Λ não preenchidas com regiões de indiferença para o valor do nível de pertença considerado. Tabela VII.2 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.0500R).

Solução (y = 0.0500R)

Importação de energia

Autoprodução de electricidade


Área (%) Número de iterações

Rígido 87 769 700 22 622 700 306 063 35.5831 - 2 Difuso 59 014 100 25 846 400 277 515 56.0235 -

Rígido 12 727 600 164 322 12 462 8.7248 - 3 Difuso 10 477 700 187 738 11 489 8.1414 -

Rígido 13 222 500 1 334 770 27 764 3.6413 - 4 Difuso 10 668 100 1 524 980 24 968 4.8045 -

Rígido 14 844 100 2 187 230 38 908 6.2979 - 5 Difuso 11 888 100 2 498 910 34 785 5.6871 -

Rígido 12 272 100 179 509 15 928 Dominada L Difuso 10 438 400 205 203 14 766 1.4773 11

Rígido 12 396 200 985 552 27 993 Dominada M Difuso 10 550 100 1 125 990 25 499 0.7168 8

Rígido 13 223 400 1 333 860 27 766 Dominada N Difuso 10 666 600 1 523 940 24 971 13.0926 8

Rígido 12 728 400 164 196 12 471 Dominada O Difuso 10 476 900 187 822 11 497 6.9128 7

Rígido 14 846 700 2 187 210 38 922 Dominada P Difuso 11 887 900 2 498 890 34 798 2.9264 2

Rígido 87 785 700 22 620 800 308 052 Dominada Q Difuso 59 009 500 25 844 300 277 506 0.1531 2

Por exemplo, para y=0.0500R as soluções eficientes 1, 6, 7 e 8 inicialmente calculadas tornaram-se dominadas (as regiões de indiferença associadas a essas soluções desapareceram) e foi possível determinar 6 novas soluções básicas eficientes (L a Q), como pode ser observado na figura VII.3(a) (tabela VII.2). Surgem 4 novas faces eficientes, as quais possuem como vértices as soluções básicas eficientes {2, 5, P e Q}, {5, 4, N e P}, {4, 3, O e N} e {N, O, L e M}, assim como 10 novas arestas eficientes, as quais unem 2 a Q, Q a P, P a 5, P a N, N a 4, N a M, N a O, O a 3, O a L e L a M, respectivamente. 2 Na implementação computacional utilizada, foi usado um incremento de 1/300=0.0033 para a variação dos valores numéricos dos níveis de pertença das funções membro.


215

Com o conjunto de pesos que inicialmente conduziam à solução não dominada 5 apenas é possível alcançar a solução não dominada inicial 2, para y=0.0500R.

Como referido no Capítulo IV, a ideia essencial da abordagem proposta não é a de efectuar um estudo exaustivo, para todo o conjunto de soluções básicas eficientes (com o correspondente preenchimento total dos vários diagramas paramétricos com regiões de indiferença) e para todos os valores dos níveis de pertença, mas sim uma análise comparativa, nos vários diagramas paramétricos estudados, da evolução das soluções básicas eficientes que o AD tenha interesse em analisar, de modo a ter em conta os efeitos da incerteza inerente aos coeficientes do modelo.

De salientar que, mesmo para este modelo, o número de iterações necessárias para determinar as novas soluções básicas eficientes é relativamente pequeno, quando comparado com o número de iterações necessárias para calcular as soluções básicas iniciais, tornando o estudo comparativo pouco exigente computacionalmente. Uma das dificuldades encontradas prende-se com a presença de soluções básicas degeneradas, típico neste tipo de modelos, o que poderá ocasionar a necessidade de efectuar algumas pivotações degeneradas.

(a)

(b)

Figura VII.3 – Coeficientes difusos nas funções objectivo (y=0.0500R).

Dada as características do modelo em estudo, uma análise exaustiva será aqui efectuada ao longo de (praticamente) todo o exemplo por questões ilustrativas, dado a abordagem não se mostrar computacionalmente onerosa. No entanto, se por algum motivo o AD não estiver interessado nas características de algumas das soluções estas podem não ser pesquisadas, ou seja, podem ser deixadas zonas do diagrama paramétrico por pesquisar ou podem ser estudados apenas alguns dos valores dos níveis de pertença (por exemplo, valores acima de um determinado nível α).

Através do estudo de algumas soluções extremas relevantes, nomeadamente pela análise dos valores atingidos pelas funções objectivo correspondentes a essas soluções não dominadas, o AD pode concluir sobre o interesse (ou não) em pesquisar determinadas zonas de Λ. Por exemplo, na figura VII.3(b) as soluções L, O e Q foram eliminadas devido ao facto de o AD ter considerado que a última apresentava um valor demasiado elevado para a importação de energia e as emissões de CO2, e as outras tinham valores demasiado baixos para a autoprodução de electricidade.


216

Se alterarmos continuamente o nível de satisfação y desde 0.0000L até 0.0000R, obtêm-se os resultados apresentados na tabela VII.3 e na figura VII.4 ((a) a (r)), nas quais se encontram representadas as várias decomposições do diagrama paramétrico para diferentes valores de y. Tabela VII.3 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos.

y ∈ Soluções eficientes iniciais Novas soluções eficientes

(i) [ 0.0000L; 0.0300L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 A, B, C, D, E, F, G, H, I

(ii) [ 0.0300L; 0.0367L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, F, G, H, I

(iii) [ 0.0367L; 0.1733L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, F, G, I, J

(iv) [ 0.1733L; 0.1767L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, F, G, J

(v) [ 0.1767L; 0.1867L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, E, J

(vi) [ 0.1867L; 0.5133L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, D, J

(vii) [ 0.5133L; 0.5867L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, B, J

(viii) [ 0.5867L; 0.6100L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A, J

(ix) [ 0.6100L; 0.6500L [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 A

(x) [ 0.6500L; 0.7200R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

(xi) [ 0.7200R; 0.7133R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

(xii) [ 0.7133R; 0.5400R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6

(xiii) [ 0.5400R; 0.3167R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 L, M

(xiv) [ 0.3167R; 0.3100R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 L, M, N

(xv) [ 0.3100R; 0.3067R [ 1, 2, 3, 4, 5 L, M, N

(xvi) [ 0.3067R; 0.2967R [ 1, 2, 3, 4, 5 L, M, N, O

(xvii) [ 0.2967R; 0.1200R [ 2, 3, 4, 5 L, M, N, O

(xviii) [ 0.1200R; 0.1133R [ 2, 3, 4, 5 L, M, N, O, P

(xix) [ 0.1133R; 0.0000R ] 2, 3, 4, 5 L, M, N, O, P, Q

Com y=0.0000L, figura VII.4(a), a solução eficiente 7 inicialmente determinada é dominada e as novas soluções básicas eficientes A a I podem ser pesquisadas. Surgem também novas faces e arestas eficientes. Com o conjunto de pesos que inicialmente conduziam à solução eficiente 5, é possível alcançar as soluções eficientes iniciais 3, 4, 5 e 6, as novas soluções básicas eficientes E, H e I, assim como as 2 novas faces eficientes, as quais possuem como vértices as soluções básicas eficientes 5, 4 e H e H, 4, 6, I e E, respectivamente.

Com y=0.0000R, figura VII.4(r), as soluções eficientes 1, 6, 7 e 8 inicialmente determinadas são dominadas e as novas soluções básicas eficientes L a Q podem ser calculadas. Com os valores y=0.0000R e y=0.0500R (ou melhor, para um valor de y entre 0.1133R e 0.0000R) podem ser alcançadas as mesmas soluções básicas eficientes, assim como as mesmas faces e arestas eficientes, já referidas atrás. No entanto, as regiões de indiferença correspondentes às soluções básicas eficientes nos diagramas paramétricos em análise sofrem alterações em forma e tamanho.


217

(a) (y=0.0000L)

(c) (y=0.0367L)

(e) (y=0.1833L)

(b) (y=0.0300L)

(d) (y=0.1733L)

(f) (y=0.5133L)

Figura VII.4 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos ((ccoonnttiinnuuaa)).


218

(g) (y=0.5867L)

(i) (y=0.7233R)

(k) (y=0.5400R)

(h) (y=0.6467L)

(j) (y=0.7167R)

(l) (y=0.3200R)

Figura VII.4 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos ((ccoonnttiinnuuaa)).


219

(m) (y=0.3133R)

(o) (y=0.3000R)

(q) (y=0.1167R)

(n) (y=0.3067R)

(p) (y=0.1200R)

(r) (y=0.0000R)

Figura VII.4 – Análise com coeficientes das funções objectivo difusos.


220

A análise pormenorizada dos resultados apresentados na tabela VII.3, conjuntamente com o estudo das diferentes decomposições do diagrama paramétrico Λ obtidas para valores relevantes de y, figura VII.4 ((a) a (r)), permite estudar o conjunto de soluções difusas não dominadas do modelo em estudo.

Se observarmos a tabela VII.3 e a figura VII.4 ((a) a (r)) constatamos que a solução 5 inicialmente calculada mantém-se sempre não dominada para todos os valores do nível de satisfação (associado às funções membro consideradas). Mais ainda, para uma gama de variação do nível de satisfação y de 0.0000L até 1.0000, as correspondentes regiões de indiferença em Λ nunca deixam de intersectar a região de indiferença inicial associada à solução 5 em análise. Contudo, para um valor de y inferior a 0.1133R e superior a 0.0000R (dentro da gama (xix) da tabela VII.3) as correspondentes regiões de indiferença em Λ passam a não intersectar a região de indiferença inicial associada à solução em análise. Este valor pode ser facilmente determinado por intermédio de um cálculo similar ao explicado em (Antunes e Clímaco, 1992).

Os resultados apresentados na figura VII.4 e na tabela VII.3 podem ser interpretados de modo diferente se tivermos em atenção a noção de corte de nível α de um conjunto difuso (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996). Por vezes, poderá ser interessante saber quais as soluções básicas não dominadas calculadas que pertencem à fronteira eficiente do problema difuso, se o valor do nível de pertença das funções membro consideradas (associadas aos coeficientes das funções objectivo), y, for de pelo menos α. Por exemplo, considerando um nível de pertença das funções membro y de pelo menos 0.4000 é possível alcançar todas as soluções básicas eficientes iniciais 1 a 8 (gamas (vi) a (xiii) da tabela VII.3), bem como as novas soluções básicas A, B, D, J, L e M. Para um nível de pertença de pelo menos 0.6500 apenas é possível alcançar as soluções básicas eficientes iniciais 1 a 8 (gamas (x) a (xii) da tabela VII.3).

Uma análise equivalente pode ser efectuada se algumas das funções membro associadas aos coeficientes das funções objectivo forem alteradas, através da modificação de alguns dos valores de cL e/ou cR correspondentes.

VII.2.2 Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais

Consideremos agora que o AD deseja analisar o comportamento das soluções básicas eficientes obtidas inicialmente em ambiente rígido para o problema em estudo, se alguns dos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais forem definidos por números reais difusos triangulares.

Foi incorporada difusão apenas em alguns dos lados direitos destas restrições:

• Alguns dos limites superiores da capacidade de produção foram considerados difusos; porém, foram considerados precisos todos os limites superiores correspondentes à produção de subprodutos. Relativamente aos limites inferiores, apenas foram considerados difusos os coeficientes dos lados direitos das restrições correspondentes aos sectores considerados “menos importantes”.


221

• Alguns dos limites superiores impostos às importações e exportações foram definidos como difusos. Nestas restrições, os intervalos especificados para os números difusos possuíam genericamente uma largura considerável.

• Nos lados direitos das restrições de capacidade de armazenagem e existências de segurança foi genericamente incorporada difusão.

Se o valor do nível de pertença das funções membro associadas aos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais, t, for contínua e interactivamente alterado, as várias regiões de indiferença (associadas às soluções básicas eficientes) no diagrama paramétrico irão aparecer e desaparecer bruscamente, significando com isso que as soluções básicas que lhe estão associadas se tornam, respectivamente, admissíveis e não admissíveis para as funções membro consideradas. Escolhendo conjuntos de pesos em zonas de Λ não preenchidas com regiões de indiferença para o valor do nível de pertença t considerado, novas soluções básicas eficientes podem ser pesquisadas em ambiente difuso.

Se para as funções membro consideradas, alterarmos continuamente o nível de pertença t desde 0.0000L até 0.0000R obtemos os resultados apresentados na tabela VII.4 e na figura VII.5 ((a) a (r)).

Na figura VII.5 ((a) a (r)) encontram-se representados os diagramas paramétricos dos pesos Λ correspondentes aos diferentes intervalos de t sucessivamente descritos nas várias gamas da tabela VII.4: as gamas (ii)-(vii) na tabela VII.4 correspondem aos diagramas na figura VII.5 (a) a (f), respectivamente. O diagrama paramétrico obtido inicialmente (em ambiente rígido), figura VII.1, corresponde à gama (i) na tabela VII.4. Tabela VII.4 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos.


(i) [ 0.0000L; 0.9300R [ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

(ii) [ 0.9300R; 0.9100R [ 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 E, J, M

(iii) [ 0.9100R; 0.5333R [ 2, 4, 5, 6, 7, 8 E, F, J, L

(iv) [ 0.5333R; 0.4933R [ 2, 4, 5, 6, 8 E, F, H, J, L

(v) [ 0.4933R; 0.4867R [ 2, 4, 5, 8 D, E, F, G, H, I, J

(vi) [ 0.4867R; 0.3333R [ 2, 4, 8 A, D, E, F, G, H, I, J

(vii) [ 0.3333R; 0.0000R ] 2, 8 A, B, C, D, E, F, G, H

Considerando estas funções membro, nenhuma alteração ocorreu em Λ para t ∈ [0.0L; 1.0[.

Como era de esperar, os valores numéricos associados às soluções extremas eficientes representadas (correspondentes às soluções básicas eficientes iniciais e às novas soluções básicas eficientes apresentadas na tabela VII.4 e figura VII.5), irão variar continuamente com a variação de t (excepto o valor da área das regiões de indiferença). Comparem-se, por exemplo, os valores (correspondentes às mesmas soluções básicas eficientes) apresentados nas tabelas VII.5 e VII.6 ou VII.7 e VII.8.


222

(a) bases eficientes para t ∈ [ 0.9300R; 0.9100R [.

(c) bases eficientes para t ∈ [ 0.5333R; 0.4933R [.

(e) bases eficientes para t ∈ [ 0.4867R; 0.3333R [.

(b) bases eficientes para t ∈ [ 0.9100R; 0.5333R [.

(d) bases eficientes para t ∈ [ 0.4933R; 0.4867R [.

(f) bases eficientes para t ∈ [ 0.3333R; 0.0000R ].

Figura VII.5 – Análise com coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais difusos.


223

Tabela VII.5 – Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais (t=0.9333R).

Base (t = 0.9333R)




Área (%)

1 12 247 400 179 739 15 959 12.8149 2 90 868 600 23 530 400 317 962 35.5831 3 12 705 100 164 509 12 497 8.7248 4 13 214 100 1 368 290 28 234 3.6413 5 14 850 300 2 228 480 39 479 6.2979 6 12 375 700 1 015 300 284 646 19.4846 7 14 595 900 2 223 850 46 553 6.3779 8 88 835 000 23 402 000 363 519 7.0706

Tabela VII.6 – Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais (t=0.9300R).

Base (t = 0.9300R)




Área (%) Base de partida

Número de iterações

1 12 246 200 179 750 15 961 12.8149 - - 2 91 023 500 23 575 800 318 556 35.5831 - - 4 13 213 700 1 369 970 28 257 3.6413 - - 5 14 850 700 2 230 540 39 508 6.2979 - - 6 12 374 800 1 016 740 28 488 19.4846 - - 7 14 596 000 2 225 910 46 585 6.3779 - - 8 88 986 300 23 447 200 364 197 7.0706 - - E 12 704 300 164 518 12 498 8.4277 3 2 J 12 705 100 167 225 12 534 0.2028 3 6 M 12 680 000 165 314 12 679 0.0943 3 5

Para t=0.3367R (figura VII.5(e), dentro da gama (vi) da tabela VII.4 e tabela VII.7) as soluções básicas eficientes (associadas às bases) 1, 3, 5, 6 e 7 tornam-se não admissíveis sendo possível determinar 8 novas soluções básicas eficientes (associadas às bases) A, D, E, F, G, H, I e J. Tabela VII.7 – Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais (t=0.3367R).

Base (t = 0.3367R)






2 118 603 000 31 654 500 424 454 35.5831 - - 4 13 138 500 1 668 290 32 439 3.6413 - - 8 115 908 000 31 484 400 484 841 7.0706 - -

A 14 906 300 2 597 670 44 589 6.2980 5 1 D 12 252 700 1 274 350 32 697 21.1289 1 ou 6 5 ou 3 E 12 728 800 166 182 12 802 8.4277 3 2 F 12 252 700 181 764 16 345 9.9112 1 5 G 12 798 400 1 598 550 37 549 0.8651 6 4 H 14 624 400 2 592 540 52 426 6.3779 7 2 I 13 132 000 1 665 570 32 441 0.4887 1 ou 6 5 ou 4 J 13 137 500 1 665 990 32 409 0.2028 3 6


224

Tabela VII.8– Coeficientes difusos nos lados direitos das restrições funcionais (t=0.3333R).

Base (t = 0.3333R)






2 118 758 000 31 699 900 425 049 35.5831 - - 8 116 059 000 31 529 500 485 519 7.0706 - -

A 14 906 700 2 599 730 44 618 6.2980 5 1 B 13 138 700 1 669 960 32 463 3.6547 4 4 C 13 146 500 1 674 410 32 521 0.6781 4 2 D 12 252 700 1 275 790 32 721 21.1289 1 ou 6 5 ou 3 E 12 729 000 166 192 12 804 8.4277 3 2 F 12 252 700 181 775 16 347 9.9112 1 5 G 12 809 900 1 606 790 37 675 0.8651 6 4 H 14 624 600 2 594 600 52 459 6.3779 7 2

Relativamente a t=0.3367R, com t=0.3333R (figura VII.5(f), dentro da gama (vii) da tabela VII.4 e tabela VII.8) as soluções básicas eficientes (associadas às bases) 4, I e J tornam-se não admissíveis sendo possível alcançar as novas soluções básicas eficientes (associadas às bases) B e C.

Tal como no estudo anterior, mesmo para este modelo de planeamento energético, o número de iterações necessárias para determinar as novas soluções básicas eficientes é relativamente pequeno.

Embora neste estudo em ambiente difuso aos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais, o AD não tenha seleccionado uma solução eficiente particular, de entre as inicialmente calculadas, vamos considerar que, tal como anteriormente, ele se mostrou interessado nas características da solução 5.

Se o AD estiver interessado em conhecer os limites inferior e superior do parâmetro t, para os quais a região de indiferença associada à solução básica eficiente 5 passa a ter área nula, ou seja, para os quais a correspondente solução básica eficiente se torna não admissível, pode sabê-lo de imediato a partir da tabela IV.4 ou pela observação dos diagramas paramétricos da figura VII.5. Estes limites não são mais do que o valor do limite inferior e superior da gama admissível para o parâmetro escalar, obtido por intermédio de análise de sensibilidade em programação linear multiobjectivo (Antunes e Clímaco, 1992), tal que para uma dada base eficiente seleccionada pelo AD as regiões de indiferença do problema perturbado e não perturbado são idênticas. O valor do limite superior é y=0.4867R. Quanto ao limite inferior da gama admissível para o parâmetro escalar, apenas se pode dizer que, se ele for finito, não se encontra na gama [0.0000L, 1.0000], dado que, no estudo efectuado considerando a parte esquerda para os valores das funções membro, as regiões de indiferença em Λ associadas à solução inicial 5 sob análise nunca se alteram.

O AD pode também desejar saber quais as soluções básicas eficientes calculadas se mantêm admissíveis, se o valor do nível de pertença das funções membro consideradas, t, associadas aos coeficientes dos lados direitos das restrições funcionais, for de pelo menos α, ou seja, interpretar os resultados apresentados na tabela VII.4 e na figura VII.5 ((a) a (f)), a partir da noção de corte de nível α de um conjunto difuso (Zadeh, 1965; Zimmermann, 1987, 1996).

VII.3 - Análise das soluções eficientes do modelo usando a metodologia interactiva de abordagem tolerante em problemas de PLMO

225

Por exemplo, considerando um nível de pertença das funções membro t de pelo menos 0.6, são admissíveis e eficientes as soluções básicas E, F, J e L, assim como, as soluções básicas iniciais 1 a 8 (gama (i) a (iii) da tabela VII.4). Para um nível de pertença de pelo menos 0.9333, apenas é possível alcançar as bases associadas às soluções eficientes iniciais 1 a 8 (gamas (i) da tabela VII.4).

O AD poderia então alterar as funções membro associadas aos números reais difusos triangulares correspondentes aos lados direitos das restrições funcionais (modificando os valores correspondentes cL e/ou cR) e prosseguir a análise.

VII.3 Análise das soluções eficientes do modelo usando a metodologia interactiva de abordagem tolerante em problemas de PLMO

Consideremos que o AD começou por efectuar uma pesquisa progressiva e selectiva do conjunto de soluções eficientes no diagrama paramétrico para modelo de planeamento energético considerado anteriormente (usando como parâmetros os valores modais cM). Perante estas condições, obtivemos as oitos soluções básicas representadas no diagrama paramétrico da figura VII.1 e na projecção f2-f3 no espaço dos objectivos da figura VII.2.

Admitamos que o AD escolhe para valores dos pesos estimados o conjunto de pesos correspondente ao centróide da região de indiferença da solução 5, λ =(0.2760; 0.2853; 0.4387). Não existindo informação “a priori” sobre a gama de variação para os pesos estimados (Φ= 3ℜ ), obtemos para a percentagem máxima de tolerância nos pesos das funções objectivo, ν*(x100%), o valor de 12.1349%.

Figura VII.6 – λ =(0.2760; 0.2853; 0.4387),

ν*=0.121349.

Figura VII.7 – λ =(0.2760; 0.2853; 0.4387) e 2λ =0.2853,

ν*=0.322196.

Este resultado pode ser confirmado pela inspecção visual do diagrama paramétrico apresentado na figura VII.6. A sobreposição da região de indiferença, correspondente à solução básica eficiente 5, com a região de tolerância obtida para o conjunto de pesos estimado (o centróide da respectiva região de indiferença) permite determinar a tolerância


226

máxima nos coeficientes de ponderação dos objectivos ν*, a partir do vértice assinalado no polígono convexo, C(ν) ∩ Λ( ∩ Φ), o qual se situa sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 2 e 5.

Isto significa que a solução básica eficiente 5 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos não variem simultânea e independentemente mais do que 12.1349% em relação aos seus valores estimados; ou seja, desde que 1λ varie no intervalo [0.2425, 0.3095],

2λ varie no intervalo [0.2507, 0.3199] e, simultaneamente, 3λ varie no intervalo [0.3855, 0.4919].

Se o AD considerar o peso do segundo objectivo conhecido com precisão ( 2λ =0.2853) a percentagem máxima de tolerância aumenta (relativamente ao valor 12.1349%, previamente calculado com Φ= 3ℜ ) para 32.2196% (figura VII.7). O vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ( ∩ Φ), que deu origem a este valor também se encontra sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 2 e 5. A solução eficiente 5 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos 1λ e 3λ não variem simultânea e independentemente mais do que 32.2196% em relação aos valores estimados com 2λ =0.2853.

Se, adicionalmente, o AD especificar que o valor estimado do peso 1λ poderá sofrer uma variação inferior de 5% e superior de 10% em relação ao seu valor estimado (ou seja, 1λ irá variar no intervalo [0.2622; 0.3036]) a intersecção de Φ com 2λ =0.2853 está totalmente dentro da região de indiferença correspondente à solução 5, o que significa ser o valor de ν* infinito (figura VII.8). Para 2λ =0.2853 e 1λ a variar em [0.2622; 0.3036], 3λ pode tomar qualquer valor em Λ mantendo-se sempre eficiente a solução 5.

Figura VII.8 – λ =(0.2760; 0.2853; 0.4387),

95% 1λ ≤ 1λ ≤ 110% 1λ e 2λ =0.2853, ν*=∞.

Figura VII.9 – λ =(0.2760; 0.2853; 0.4387), 95% 1λ ≤ 1λ ≤110% 1λ

e 90% 2λ ≤ 2λ ≤ 125% 2λ , ν*=0.164456.

Com a finalidade de obter um valor finito para ν*, consideremos que é especificado pelo AD um intervalo de variação para 2λ . Por exemplo, consideremos que


227

o valor estimado do peso 2λ poderá sofrer uma variação inferior de 10% e superior de 25% em relação ao valor estimado (ou seja, 2λ irá variar no intervalo [0.2568; 0.3566]). Como era de esperar, o valor da percentagem máxima de tolerância diminuiu para 16.45% (figura VII.9), valor este que é superior a 12.1349%, determinado com Φ= 3ℜ .

Figura VII.10 – λ =(0.2760; 0.2853; 0.4387), 95% 1λ ≤ 1λ ≤ 110% 1λ , ν*=0.138949.

Se o AD decidir não especificar qualquer informação adicional em relação ao valor estimado 2λ , mantendo, no entanto, o intervalo anteriormente especificado para a variação do parâmetro 1λ , [0.2622; 0.3036], obtemos um valor de 13.8949% para a percentagem máxima de tolerância (figura VII.10). Este valor é superior a 12.1349%, valor anteriormente calculado com Φ= 3ℜ , e inferior ao valor de 16.45% que se obteve para 95% 1λ ≤ 1λ ≤ 110% 1λ e 90% 2λ ≤ 2λ ≤ 125% 2λ . Pela inspecção da figura VII.10, constata-se que o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ( ∩ Φ), que deu origem a este valor se situa agora sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 4 e 5.

Figura VII.11 – λ =(0.2760; 0.2853; 0.4387), ( 3λ -0.2) ≤ 3λ ≤ ( 3λ +0.05) e 2λ =0.2853, ν*=0.625119.


228

Se o AD voltar a considerar que o peso do segundo objectivo é conhecido com precisão ( 2λ =0.2853), mas adicionalmente que o peso do terceiro objectivo poderá sofrer uma variação superior de 0.05 e inferior de 0.2 em relação ao valor do peso estimado (ou seja, 3λ irá variar no intervalo [0.2387; 0.4887]), a intersecção de Φ com 2λ =0.2853 irá resultar numa percentagem máxima de tolerância dos pesos das funções objectivo de 62.5119% (figura VII.11).

Na figura VII.12 temos o problema inicial (Φ= 3ℜ ) considerando para pesos estimados o vector λ =(0.374; 0.323; 0.303), os quais também conduzem à solução básica eficiente 5. O valor determinado para a percentagem máxima de tolerância, ν*(x100%)=14.2047%, é superior relativamente ao valor obtido em idênticas condições na figura VII.6 (12.1349%). Isto significa que o último conjunto de pesos analisado se apresenta menos sensível, em relação à variação simultânea e independente dos pesos, que os estudados atrás.

A solução 5 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos não variem simultânea e independentemente mais do que 14.2047% em relação aos valores estimados; ou seja, desde que 1λ varie no intervalo [0.3209, 0.4271], 2λ varie no intervalo [0.2771, 0.3689] e, simultaneamente, 3λ varie no intervalo [0.26, 0.346].

Figura VII.12 – λ =(0.374; 0.323; 0.303) ,

ν*=0.142047.

Figura VII.13 – λ =(0.374; 0.323; 0.303) e 2λ =0.323,

ν*=0.172299.

Através da análise visual do diagrama paramétrico apresentado na figura VII.12 verifica-se que o valor da tolerância máxima nos coeficientes de ponderação dos objectivos, ν*, é determinado pelos dois vértices assinalados (vértices do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ( ∩ Φ), situados sobre as arestas comuns às regiões de indiferença correspondentes às soluções 2 e 5 e às soluções 4 e 5), não dependendo, portanto, a tolerância máxima exclusivamente do parâmetro que apresenta maior sensibilidade perante a variação dos valores estimados.

De facto, estes coeficientes de ponderação estão associados ao maior valor admissível para a percentagem máxima de tolerância nos valores dos pesos que nos conduzem à solução 5, como se pode inferir a partir da análise da figura VII.12.


229

Se o AD considerar também o peso do segundo objectivo conhecido com precisão ( 2λ =0.323), a percentagem máxima de tolerância aumenta (relativamente ao valor 14.2047%, previamente calculado com Φ= 3ℜ ) para 17.2299% (figura VII.13). O vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ( ∩ Φ), que deu origem a este valor também se encontra sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 5 e 7. A solução 5 permanecerá eficiente desde que os valores dos pesos 1λ e 3λ não variem simultânea e independentemente mais do que 17.2299% em relação aos seus valores estimados com 2λ =0.323.

Se o AD seleccionar para valor dos pesos estimados o vector λ =(0.1; 0.21; 0.69), os quais também pertencem à região de indiferença associada à solução básica eficiente 5 (figura VII.14), obtemos um valor relativamente pequeno para a percentagem máxima de tolerância, ν*(x100%)=6.8419%, quando comparado com os valores obtidos em idênticas condições nas figuras VII.6 e VII.12.

Figura VII.14 – λ =(0.1; 0.21; 0.69), ν*=0.068419 .

Contrariamente à situação apresentada na figura VII.12, onde o valor da tolerância máxima nos coeficientes de ponderação dos objectivos não resulta exclusivamente do parâmetro que apresenta maior sensibilidade à variação dos valores estimados, na figura VII.14 os intervalos obtidos para a variação dos pesos resultam bastante mais estreitos do que de na realidade são.

Como já foi referido nos capítulos V e VI, a obtenção de valores pequenos (ou mesmo nulos) para a percentagem máxima de tolerância é uma das grandes desvantagens que ocorre em modelos de optimização reais (mesmo de dimensão moderada).

Voltemos ao conjunto de pesos estimados, anteriormente usado nos exemplos das figuras VII.12 e VII.13, o vector λ =(0.374; 0.323; 0.303). Se o AD considerar que o peso do terceiro objectivo poderá sofrer uma variação superior de 0.05 e inferior de 0.2 em relação ao valor do peso estimado, a inspecção da figura VII.12 (também representada na figura VII.15) possibilitaria concluir que a percentagem máxima de tolerância nos pesos das funções objectivo não iria sofrer alteração (dado que o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ( ∩ Φ), situado sobre a aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 2 e 5 se mantém).


230

Figura VII.15 – λ =(0.374; 0.323; 0.303) e

( 3λ -0.2) ≤ 3λ ≤ ( 3λ +0.2), ν*=0.142047.

Figura VII.16 – λ =(0.374; 0.323; 0.303),

( 3λ -0.2) ≤ 3λ ≤ ( 3λ +0.2) e 2λ ≤ 110% 2λ , ν*=0.142152.

Se, adicionalmente, for imposta uma limitação ao valor superior permitido para 2λ de modo a “cortar” o vértice do polígono convexo, C(ν) ∩ Λ( ∩ Φ), que na figura

VII.15 deu origem ao valor da percentagem máxima de tolerância nos pesos das funções objectivo (aresta comum às regiões de indiferença correspondentes às soluções 2 e 5), como no exemplo apresentado na figura VII.16, é possível obter maiores valores para as percentagens máximas de tolerância. No que diz respeito ao valor inferior permitido para

2λ não foi imposta qualquer restrição, mantendo-se consequentemente activa a restrição de não negatividade correspondente 2λ ≥0.

Note-se que, se o valor de 2λ tivesse sido considerado preciso, em vez de considerada a restrição 2λ ≤ 110% 2λ , a correspondente percentagem máxima de tolerância ter-se-ia tornado não finita.

Figura VII.17 – λ =(0.374; 0.323; 0.303), 1λ ≤ 110% 1λ ,

( 3λ -0.2) ≤ 3λ ≤ ( 3λ +0.2) e 2λ ≤ 110% 2λ , ν*=0.154563.

Figura VII.18 – λ =(0.374; 0.323; 0.303), 1λ ≤ 110% 1λ ,

( 3λ -0.2) ≤ 3λ ≤ ( 3λ +0.2) e 2λ = 0.323, ν*=∞.


231

Um raciocínio similar em relação ao valor superior permitido para 1λ é utilizado de seguida ( 1λ ≤ 110% 1λ ), de modo a determinar maiores valores para a percentagem máxima de tolerância nos pesos das funções objectivo (figura VII.17).

Como previamente, se o valor de 2λ for considerado preciso, em vez de considerada a restrição 2λ ≤ 110% 2λ , a correspondente percentagem máxima de tolerância é não finita (figura VII.18).

Os resultados encontrados validam as conclusões de Wendell (1985, 1984, 1997), já confirmadas nos exemplos ilustrativos apresentados nos capítulos V e VI: a existência “a priori” de informação relativa a gamas de variação de alguns coeficientes permite obter maiores valores para as percentagens máximas de tolerância; além disso, quanto maior for a quantidade de informação (distinta) fornecida pelo AD (e mais estreitas forem as gamas de variação correspondentes) maiores podem ser os valores obtidos para essas percentagens máximas de tolerância (havendo sempre a garantia de que serão pelo menos iguais aos encontrados na situação em que não é especificada qualquer informação adicional pelo AD).

Nos exemplos apresentados nesta secção, o AD foi interactivamente acrescentando informação adicional, quer no que se refere aos coeficientes precisos, quer relativamente às gamas de variação dos diferentes parâmetros no modelo. Esta informação pode não corresponder a uma estrutura de preferências pré-definida e estável, permitindo a aprendizagem quer do problema, quer das próprias preferências, ao longo do processo interactivo.

Muito embora o modelo que estamos a estudar possua apenas oito soluções básicas eficientes, a geometria das diferentes regiões de indiferença associadas às bases eficientes, designadamente a correspondente à solução 5 que estamos a analisar, pode conduzir-nos a situações em que os intervalos obtidos para a variação dos pesos estimados não são tão amplos como, em termos práticos, de facto o são. A percentagem máxima de tolerância depende dos pesos que apresentam maior sensibilidade à variação dos valores estimados.

Através da inspecção visual destes diagramas podemos ainda ter indicações sobre a ordem de grandeza dos possíveis valores a obter para as percentagens máximas de tolerância, conforme vão sendo interactivamente considerados diferentes conjuntos de pesos, bem como especificada distinta informação adicional para as alterações permitidas nos valores dos vários parâmetros de ponderação estimados (indicando gamas de variação para os diferentes pesos ou quais os valores dos pesos que devem ser considerados precisos). Em suma, os diagramas apresentados oferecem ao AD um meio de troca de informação apelativo e dinâmico para analisar interactivamente, por simples inspecção visual, a sensibilidade das soluções face à variação dos parâmetros.

VII.4 Considerações finais

Neste capítulo investigámos os efeitos da incerteza inerente a problemas de decisão (usando dados reais) através da análise de um modelo multiobjectivo de


232

planeamento, baseado na formulação “input-output”, que possibilita o estudo das interacções energia−ambiente−economia.

Nas secções anteriores mostrámos, fazendo uso das técnicas interactivas visuais baseadas na análise das regiões de indiferença associadas a um conjunto de pesos (em problemas de PLMO), propostas nos capítulos IV e VI, como o AD pode interactivamente analisar as consequências para uma determinada solução da variação de parâmetros do modelo.

Os estudos efectuados não se mostram computacionalmente onerosos e as metodologias utilizadas possibilitam uma interpretação simples da informação e parâmetros intervenientes. O protocolo de interacção com o AD apresenta-se simples e intuitivo, e possibilita uma análise dinâmica das consequências decorrentes da variação de parâmetros.

Os métodos de articulação progressiva de preferências evitam o recurso à informação prévia das preferências do AD, permitindo a aprendizagem e a evolução da estrutura das mesmas à medida que vai sendo obtida informação ao longo do processo interactivo de apoio à decisão. Neste contexto, as técnicas apresentadas são particularmente adequadas para serem integradas como componentes deste processo.

Durante a análise efectuada na secção 2, o cálculo das novas soluções eficientes em ambiente difuso (a partir de uma solução anteriormente determinada) envolve um pequeno esforço computacional, sendo o protocolo de interacção com o AD simples e intuitivo.

É possível visualizar dinamicamente as alterações ocorridas nas várias soluções básicas eficientes pesquisadas durante o estudo interactivo, com a variação contínua dos níveis de pertença associados às funções membro dos parâmetros difusos. O AD pode também saber quais as soluções básicas eficientes calculadas é possível alcançar (ou seja, se situam na fronteira eficiente em ambiente difuso), se o nível de pertença das funções membro consideradas for de pelo menos α.

Usando a abordagem proposta, é possível gerar soluções básicas eficientes em ambiente difuso que inicialmente não se encontravam na fronteira eficiente para o problema em ambiente rígido, ou mesmo não eram soluções admissíveis do problema inicial.

No estudo efectuado em VII.2 não é considerado o caso em que se adiciona uma nova variável de decisão ao modelo de planeamento energético. No entanto, dado o modelo estudado ser suficientemente flexível para poder ser facilmente alterado, de modo a possibilitar a inclusão de novos combustíveis que entretanto seja necessário considerar no sistema energético nacional, seria também interessante analisar como a introdução no modelo inicial duma nova variável de decisão, com coeficientes difusos, iria afectar o conjunto de soluções básicas eficientes, através duma análise comparativa similar às realizadas.

Durante o estudo efectuado na secção 3, a sobreposição da região de indiferença, correspondente a uma determinada solução básica eficiente, com as regiões de tolerância obtidas para diferentes conjuntos de pesos estimados, possibilita um modo apelativo e dinâmico para o AD analisar as consequências da variação dos parâmetros de ponderação (pesos) das funções objectivo por simples inspecção visual. O AD vai também interactivamente especificando informação adicional relativa a alterações permitidas nos valores dos vários parâmetros de ponderação estimados (indicando gamas de variação

VII.4 - Considerações finais

233

para os diferentes pesos ou quais os valores dos pesos a considerar precisos), de modo a examinar como as percentagens máximas de tolerância se alteram perante as modificações impostas.

Nas abordagens propostas, a representação gráfica da decomposição do diagrama paramétrico em regiões de indiferença constitui um meio integrado de troca de informação entre o AD e o método interactivo. Deste modo, as metodologias utilizadas encontram-se vocacionadas sobretudo para tratar de problemas com três funções objectivo (de modo a tirar partido da representação gráfica).

Capítulo X

Conclusões







Capítulo VIII

Abordagens baseadas em pontos de

referência versus análise difusa no

apoio à decisão em problemas de PLMO

Nas metodologias baseadas em projecções dos pontos de referência sobre o conjunto de soluções não dominadas, sendo estas projecções definidas à custa de funções escalarizantes de realização (“scalarizing achievement function”) (Wierzbicki, 1980, 1982, 1989, 2000; Wierzbicki et al., 2000), é possível alcançar qualquer solução não dominada do problema multiobjectivo.

Estas metodologias surgem normalmente integradas em sistemas interactivos de apoio à decisão. Para cada uma das funções objectivo consideradas, os níveis de aspiração correspondem a valores que o AD deseja alcançar ou ultrapassar e os níveis de reserva aos piores valores que o AD está disposto a aceitar (e pretende que sejam ultrapassados sempre que possível) numa solução final. Tanto os níveis de aspiração como os de reserva devem ser encarados como restrições flexíveis ("soft constraints"), no sentido em que estes não são definitivamente incorporados na formulação do problema e podem ser revistos em interacções subsequentes com o AD (ou seja, não são rígidos).

Neste capítulo é feito um estudo comparativo das metodologias de optimização baseadas em pontos de referência (Wierzbicki, 1982, 2000; Wierzbicki et al., 2000) com a abordagem difusa apresentada por Zimmermann no domínio da PLMO (Zimmermann, 1978, 1983a; Wiedey e Zimmermann, 1978).

O procedimento utilizado (Antunes e Borges, 2002) assenta na utilização de funções membro lineares modificadas (associadas aos conjuntos difusos envolvidos) e pode ser interpretado de modo similar ao apresentado por Wierzbicki et al. (2000), no quadro das metodologias de pontos de referência.

Com base nos estudos efectuados, podemos constatar que o uso dos níveis de aspiração e de reserva no domínio da análise multiobjectivo difusa pode ser um

Capítulo VIII - Abordagens baseadas em pontos de referência versus análise difusa no apoio à decisão em problemas de PLMO

236

instrumento útil ao AD não só no apoio à escolha da melhor solução de compromisso, como também para facilitar a aprendizagem do conjunto de soluções não dominadas e dos compromissos que é necessário fazer entre os vários objectivos em modelos de PLMO. A interpretação da informação fornecida ao e/ou requerida do AD é simples, dado que o diálogo é realizado no espaço das funções objectivo, com que, em princípio, o AD está mais familiarizado.

Este capítulo está organizado da seguinte forma.

Na secção 1 é apresentada a formulação do problema obtido a partir da abordagem simétrica difusa de PLMO apresentada por Zimmermann (1978, 1983a), quando são consideradas funções membro lineares simples.

Na secção 2 é utilizado um exemplo ilustrativo com a finalidade de efectuar a análise das analogias existentes entre as metodologias de optimização baseadas em pontos de referência e a apresentada na secção anterior.

Na secção 3 são apresentados alguns resultados ilustrativos, obtidos a partir do estudo efectuado pela abordagem metodológica proposta na secção anterior, a um modelo de planeamento energético baseado na análise “input-output” similar ao analisado no capítulo anterior.

Por fim, na secção 4 são tecidas algumas considerações sobre a utilização de níveis de aspiração e de reserva em modelos de PLMO.

VIII.1 Abordagem simétrica difusa de Zimmermann considerando funções membro lineares

Como referido no Capítulo III, para identificar a melhor decisão difusa Zimmermann (1978, 1983a) e Wiedey e Zimmermann (1978) transformam o problema (III.35) no de programação monobjectivo (III.37), com mais uma variável de decisão (λ, a qual corresponde à medida de satisfação do conjunto de funções objectivo e restrições difusas) e p restrições funcionais (uma por cada função objectivo).

O problema (III.37) consiste em determinar o maior valor para λ, de modo a que essa medida de satisfação seja menor ou igual do que os valores dos vários graus de pertença em relação aos conjuntos difusos envolvidos e satisfaça as restrições rígidas iniciais.

A resolução do problema (III.37) conduz sempre a uma solução não dominada do problema multiobjectivo original (Zimmermann, 1978); quando existem soluções óptimas alternativas, pelo menos uma delas é solução não dominada do problema inicial (Leberling, 1981).

A complexidade e a estrutura do problema (III.37) está fortemente condicionada pelas funções membro µi(x) escolhidas. Funções membro lineares no intervalo de tolerância pi são normalmente as mais encontradas na literatura para a resolução do problema (III.37), uma vez que são fáceis de manipular.

VIII.1 - Abordagem simétrica difusa de Zimmermann considerando funções membro lineares

237

Se a relação matemática for do tipo ‘ ~≤ ‘, a função membro linear a considerar

será:

µi(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤

+≤<

+>

ii

iiiii

ii

iii

b' x)(A' se ,1

pb' x)(A' b' se , p

b'- x)(A'-1

pb' x)(A' se , 0

(VIII.1)

, para todo o x em X e i=1, ..., m+p;

como representada na figura VIII.1.

Figura VIII 1 – Função membro utilizada para representar uma restrição do tipo ‘

~≤ ‘.

Zimmermann (1978, 1983a) mostrou que, para este caso particular, o problema (III.35) era equivalente a:

max λ (VIII.2) s. a.

λpi + (A'x)i ≤ pi + b'i x ∈ X, λ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.

Se o sistema for constituído por restrições difusas do tipo ‘ ~≥ ‘, podemos

considerar para função membro linear:

µi(x) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<≤+

<

ii

iiiii

ii

iii

b' x)(A' se ,1

b' x)(A' p- b' se , p

b'-x)(A'1

p -b' x)(A' se , 0

(VIII.3)


que se encontra representada na figura VIII.2.

Figura VIII.2 – Função membro utilizada para representar uma restrição do tipo ‘

~≥ ‘.


238

Para este caso, Zimmermann (1978, 1983a) considera o problema:


λpi - (A'x)i ≤ pi - b'i x ∈ X, λ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.

Se as restrições difusas forem agora do tipo ‘ ~= ‘, tomamos como função membro:

µi(x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+≥

+≤<

≤<+

≤

iii

iiiii

ii

iiiii

ii

iii

pb' x)(A' se ,0

p b' x)(A' b' se , p

b'-x)(A'-1

b' x)(A' p- b' se , p

b'-x)(A'1

p -b' x)(A' se ,0

(VIII.5)


que se encontra representada na figura VIII.3.

Figura VIII.3 – Função membro utilizada para representar uma restrição do tipo ‘

~= ‘.

Uma vez que o caso ‘ ~= ‘ engloba os outros dois, pois X ~

= Y se e só se X ~≥ Y e

X ~≤ Y, somos conduzidos ao seguinte problema:


λpi + (A'x)i ≤ pi + b'i λpi - (A'x)i ≤ pi - b'i x ∈ X, λ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p;

Em (III.31) considerámos que, para cada função objectivo, se pretendia atingir um determinado nível de aspiração difuso e as restrições eram todas difusas. Se, para determinadas funções objectivo, os níveis de aspiração forem conhecidos com precisão, então essas funções são transformadas em restrições rígidas.

As restrições rígidas, quer as do problema original, quer as que resultam de funções objectivo, são agrupadas em X.

VIII.2 - Metodologias baseadas em pontos de referência versus abordagem simétrica difusa de Zimmermann

239

VIII.2 Metodologias baseadas em pontos de referência versus abordagem simétrica difusa de Zimmermann

Alguns autores preferem considerar não uma medida de satisfação do sistema de restrições difusas, λ, mas uma medida de insatisfação ∂ = 1 - λ. Fazendo as necessárias substituições, os problemas (VIII.2), (VIII.4) e (VIII.6) são transformados em:

min ∂ (VIII.7) s. a.

∂pi - (A'x)i ≥ - b'i x ∈ X, ∂ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.


∂pi + (A'x)i ≥ b'i x ∈ X, ∂ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.


∂pi - (A'x)i ≥ - b'i ∂pi + (A'x)i ≥ b'i

x ∈ X, ∂ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.

Enquanto que nos modelos (VIII.2), (VIII.4) e (VIII.6) se deseja maximizar a proximidade da solução obtida em relação a uma solução ideal definida pelo AD, através dos níveis de aspiração e dos intervalos de tolerância respectivos, em (VIII.7), (VIII.8) e (VIII.9) pretende-se minimizar a distância da solução obtida em relação à solução que o AD aspira.

Werners (1987b) refere que estes modelos são similares à programação por metas usando uma norma especial1: 1 Seguindo a mesma linha de raciocínio, podemos também encontrar algumas semelhanças entre a abordagem de Zimmermann e o problema escalar resolvido em cada fase de cálculo do método STEM. Estas semelhanças são mais visíveis, se rescrevermos os programas anteriores de outra forma. Por exemplo, em relação a (VIII.9) obtemos:


[(A'x)i - b'i]/pi ≤ ∂ [b'i - (A'x)i]/pi ≤ ∂ x ∈ X, ∂ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.

Tal como no método STEM, resolve-se um problema “min-max”, ou seja, minimiza-se a maior das distâncias, |(A'x)i - b'i|, em relação à solução ideal. Uma vez que os níveis de aspiração, b'i, são difusos com níveis máximos de tolerância pi, as divisões por pi garantem a não violação dos limites b'i - pi e b'i + pi.


240

( x , λ ) é a solução óptima do modelo rígido equivalente (III.37) se e só se ( x , ∂ ) é a solução óptima de:

GC - b' minX ∞∈

xx i

com ∂ = 1- λ medindo a distância entre os valores de cada objectivo e o seu óptimo individual, e G

∞ y =

∞ y .G com y ∈ pℜ .

∞ denota a métrica de Tchebycheff e a

matriz dos pesos G=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

)p(b'b'1

... 0

... ... ...

0 ... )p(b'b'

1

kkk

111.

Se considerarmos b'i- ip e b'i+ ip , com ip ≠ ip , os extremos do intervalo que

caracteriza µi(x) (i=1, ..., m+p) o raciocínio mantém-se válido e esta generalização conduz a programas lineares semelhantes aos anteriores. Por exemplo, para (VIII.6) e (VIII.9) obtemos:


λ ip + (A'x)i ≤ ip + b'i λ ip - (A'x)i ≤ ip - b'i

x ∈ X, λ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p;


∂ ip - (A'x)i ≥ - b'i ∂ ip + (A'x)i ≥ b'i

x ∈ X, ∂ ∈ [0, 1] e i = 1, 2, ..., m+p.

Em ambas as situações, a respectiva medida de satisfação/insatisfação a maximizar/minimizar aparece limitada superior e inferiormente pelos limites “1” e “0”, respectivamente, ou seja, 0 ≤ λ ≤ 1 e 0 ≤ ∂ ≤ 1.

No entanto, estas restrições podem ser flexibilizadas para efeito de cálculo, possuindo os valores da medida de satisfação/insatisfação obtidos fora da gama [0, 1] significados específicos. Assim, podem ser encontradas algumas similaridades entre estas funções membro modificadas e as funções escalarizantes de realização utilizadas nas metodologias de pontos de referência.


241

Com a finalidade de ilustrar algumas das ideias expostas, consideremos o exemplo bi-objectivo apresentado na figura VIII.42. Nele foram consideradas restrições rígidas e funções objectivo difusas (com níveis de aspiração definidos pelo AD).

xa~m Z(x) = xa~m ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−

21

21x2x2xx

s.a. -x1 + 3x2 ≤ 21 x1 + 3x2 ≤ 27 4x1 + 3x2 ≤ 45 3x1 + x2 ≤ 30 x1, x2 ≥ 0.

Como podemos verificar, o conjunto de soluções não dominadas em ambiente rígido é constituído pelas soluções nas arestas [PA, PB], [PB, PC] e [PC, PD].

PA=(14, 7) corresponde ao óptimo da primeira função objectivo e PD=(-3, 21) ao óptimo da segunda função objectivo. P'=(-3, 7) é a solução correspondente aos valores mais baixos de Z dentro do conjunto das soluções não dominadas (componentes do ponto Nadir). PI=(14, 21) corresponde à solução ideal, ou seja, cujas componentes são os valores que optimizam cada objectivo individualmente.

Se resolvermos este problema usando a abordagem apresentada por Zimmermann (o modelo simétrico com solução rígida), considerando para níveis de aspiração (Z0) os óptimos individuais de cada uma das funções objectivo, Z0=[f1(x)Asp.; f2(x)Asp.]=[14; 21], e para níveis máximos de tolerância (p) as diferenças entre esses valores e os correspondentes valores atingidos em P', p=[f1(x)Asp.-f1(x)Res.; f2(x)Asp.-f2(x)Res.]=[17; 14], como sugerido em (Zimmermann, 1983a), podemos representar as funções membro associadas aos objectivos difusos por:

µ1(x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≤<+

+

≤

)x(z 14 se ,1

14)x(z 3- se , 17

3)x(z1

-3)x(z se ,0

1

11

1

µ

2(x) =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≤<+

≤

)x(z 21 se , 1

12)x(z 7 se , 14

7-)x(z1

7)x(z se ,0

2

22

2

Foram, assim, construídos dois conjuntos difusos: "soluções aceitáveis com respeito à primeira função objectivo" e "soluções aceitáveis com respeito à segunda função objectivo".

2 Retirado de (Zimmermann, 1983a) e já usado anteriormente em III.2.3, III.3.1.1 e III.4.1.


242

De acordo com o que foi exposto, e definindo X por {(x1, x2) ∈ 2ℜ : -x1+3x2≤21, x1+3x2≤27, 4x1+3x2≤45, 3x1+x2≤30, x1≥0, x2≥0}, o problema difuso é transformado no programa linear (em conformidade com (III.37)):

max λ (VIII.13) s.a.

λ ≤ -0.05882x1+0.117x2+0.1764 λ ≤ 0.1429x1+0.0714x2-0.5

x ∈ X, λ ∈ [0, 1]. Tabela VIII.1 – Soluções não dominadas obtidas para o exemplo ilustrativo estudado.

PF solução de Zimmermann

(Figura VIII.4)

PG níveis de aspiração não alcançáveis

(Figura VIII.5)

PH AD aceita piorar f2(x)

(Figura VIII.7)

f1(x)Asp. 14.000 7.000 14.000 f2(x)Asp. 21.000 13.000 13.000 f1(x)Res. -3.000 -3.000 -3.000 f2(x)Res. 7.000 7.000 7.000

λ 0.742 1.000 (+0.438) 0.821 f1(x) 9.613 11.375 13.184 f2(x) 17.387 15.625 12.712 slack µ1(x) 0.000 0.000 0.000 slack µ2(x) 0.000 0.000 0.000

Figura VIII.4 – Exemplo ilustrativo: níveis de aspiração não alcançáveis, Z0=[f1(x)Asp.; f2(x)Asp.]=[14; 21].

A solução obtida corresponde ao ponto PF na figura VIII.4 e encontra-se caracterizada na segunda coluna da tabela VIII.1. λ = 0.742 é o valor do nível máximo de


243

satisfação do conjunto de funções objectivos difusas3 (ou seja, o grau de pertença em relação aos conjuntos difusos definidos) e corresponde à solução x=(5.03; 7.32)T com Z(x)=(9.61; 17.38)T.

Se o AD considerar os valores que optimizam cada objectivo individualmente como níveis de aspiração, e os correspondentes piores valores atingidos por cada função objectivo na região eficiente como níveis de reserva, e usar a metodologia de pontos de referência previamente exposta, será também conduzido à solução PF. De facto, se

projectamos um vector com a direcção de IPP' sobre a fronteira eficiente encontramos o ponto PF.

Esta solução corresponde àquela que minimiza a distância entre os valores dos objectivos e o ponto PI. Além disso, se considerarmos que a distância entre P’ e PI corresponde à unidade, então a distância de P’ a PF é λ = 0.742 e entre PF e PI é (1-λ) = (1-0.742) = 0.258.

Para problemas com apenas duas funções membro as variáveis folga (“slacks”) correspondentes às restrições λ ≤ µi(x) (i=1, 2) de (III.37) são sempre nulas, ou seja, estas são sempre activas. Na solução PF ambas as funções membro (µ1(x) e µ2(x)) assumem o valor λ = 0.742.

Se o número de funções membro fosse superior a duas, então algumas das variáveis folga (“slacks”) correspondentes às restrições λ ≤ µi(x) (i=1, 2, 3, …) de (III.37) poderiam tomar valor não nulo, significando que o nível de satisfação em relação a essa função membro é superior ao nível de satisfação do conjunto de objectivos difusos, ou mais especificamente, superior ao nível de satisfação das restrições λ ≤ µi(x) (i=1, 2, …) de (III.37) para as quais a correspondente variável folga tem valor nulo.

Na figura VIII.5 supomos que o AD considerou diferentes valores para os níveis de aspiração de cada uma das funções objectivo, Z0=PAsp.=[f1(x)Asp., f2(x)Asp.]=[7; 13], níveis estes que são alcançáveis. Consequentemente, os correspondentes valores dos níveis máximos de tolerância (p) sofreram também alteração.

Se projectamos um vector com a direcção de Asp.PP' sobre a fronteira eficiente encontramos o ponto PG.

Se tentarmos resolver um problema similar a (VIII.13), a solução obtida corresponde aos níveis PAsp., com λ = 1.0. No entanto, se retirarmos a condição λ ≤ 1, de modo a alcançarmos uma solução na fronteira da região eficiente do problema multiobjectivo inicial, obtemos o ponto PG=(11.38; 15.63)T (x=(3.98; 7.68)T) com um valor de λ = 1.438. Perante este valor para o nível máximo de satisfação do conjunto de funções objectivo difusas, podemos afirmar que, em relação aos níveis (alcançáveis) especificados pelo AD, a solução encontrada ficou a uma “distância” de (1-λ) = (1-1.438) = -0.438 (se considerarmos que a “distância” entre P’ e PAsp. corresponde à unidade). Ou seja, a solução encontrada satisfaz completamente os níveis de aspiração do AD, sendo 3 Recordemos que na abordagem difusa as soluções eficientes são distinguidas não só pelos valores das funções objectivo, como também pelos diferentes valores do nível de satisfação. Neste caso, por exemplo, xA e xD têm um valor de λ=0 e xB tem um valor de λ=0.5.


244

estes superados em 0.438. Por esta razão, o valor de λ apresentado na terceira coluna da tabela VIII.1 corresponde à unidade, sendo-lhe adicionada a informação (+0.438).

Figura VIII.5 - Exemplo ilustrativo: níveis de aspiração alcançáveis, Z0=[f1(x)Asp.; f2(x)Asp.]=[7; 13].

O procedimento explicado previamente, o qual se baseia na utilização de funções membro modificadas (associadas a cada um dos objectivos/restrições difusos), figura VIII.6(b), pode ser interpretado de modo similar ao apresentado por Wierzbicki (2000), no quadro das metodologias de pontos de referência, considerando funções de realização lineares por partes σi (monótonas e côncavas), figura VIII.6(c), onde o declive será sempre o mesmo.

(a) Função membro

(b) Função membro modificada

(c) Função de realização

Figura VIII 6 - Semelhanças existentes entre as funções membro modificadas e as funções de realização lineares por partes (funções objectivo a maximizar).

Se, por exemplo, o AD aceitar piorar o valor da função objectivo f2(x) (17.387 e 15.625 nas soluções PF e PG, respectivamente), pode consegui-lo aumentando o nível de aspiração de f1(x) (ou diminuindo o nível de aspiração de f2(x)). A terceira solução calculada (valores da quarta coluna na tabela VIII.1) foi obtida considerando que o nível de aspiração associado a f1(x) aumentou novamente para 14, figura VIII.7.

VIII.3 - Exemplo Ilustrativo

245

Figura VIII.7 - Exemplo ilustrativo: níveis de aspiração não alcançáveis, Z0=[f1(x)Asp.; f2(x)Asp.]=[14; 13].

O procedimento interactivo deve prosseguir (considerando diferentes níveis de aspiração e/ou reserva para as funções difusas presentes no modelo) até o AD considerar que já reuniu informação suficiente de modo a tomar uma decisão bem fundamentada.

VIII.3 Exemplo Ilustrativo

Seguidamente, iremos utilizar um modelo de PLMO para planeamento energético similar ao estudado no capítulo anterior, o qual permite analisar as interacções energia−ambiente−economia, com a finalidade de ilustrar algumas das potencialidades da abordagem metodológica exposta.

VIII.3.1 O modelo de PLMO para planeamento energético

No modelo que agora vamos estudar são consideradas quatro funções objectivo:

• O nível de emprego, a ser maximizado, como medida de bem estar social. • O produto interno bruto, PIB, a maximizar, de modo a melhorar o

desempenho da economia nacional. • A importação de energia, a ser minimizada, dada a dependência energética do

país. • As emissões de CO2, a serem minimizadas, devidas ao impacto da utilização

dos recursos energéticos na poluição atmosférica.

Os valores do PIB são quantificados em milhões de Euros (106 Euros), os do emprego são dados em número de pessoas, os da importação de energia são expressos em unidades físicas de energia, teps (toneladas equivalentes de petróleo), e os valores das emissões de CO2 em Kton (Kilo toneladas) de dióxido de carbono.


246

VIII.3.2 Alguns resultados

Na tabela VIII.2 encontram-se apresentadas as características das soluções básicas eficientes que optimizam individualmente cada um dos objectivos. Esta tabela possibilita ao AD conhecer um conjunto de soluções eficientes com características distintas, de modo a obter uma primeira ideia sobre as gamas de variação dos valores dos objectivos na região eficiente.

Tabela VIII.2 - Soluções básicas eficientes que optimizam cada função objectivo individualmente.

Emprego ( nº de pessoas)

Importação de energia(teps)

PIB (M€)

emissões de CO2(Kton)

Max Emprego 5 735 829 22 150 792 99 741 63 260

Min Importação de Energia 5 285 951 19 315 123 92 161 58 433

Max PIB 5 727 488 22 241 143 99 876 63 220

Min Emissões de CO2 5 277 375 21 039 177 92 128 58 402

piInicial = melhori-piori 458 454 2 926 020 7 748 4 858

Se o AD aceitar para os valores iniciais dos níveis de aspiração e de reserva das diferentes funções objectivo, respectivamente os óptimos individuais e os piores valores de cada uma das colunas da tabela VIII.24, os valores das tolerâncias iniciais, pi, são os apresentados na última linha da tabela VIII.2 (estes valores das tolerâncias correspondem à diferença entre os valores destacados nas colunas, ou seja, para a i-ésima função objectivo pi = |Asp.i-Res.i|). A solução de Zimmermann corresponde aos valores apresentados na segunda coluna da tabela VIII.3. Devido ao facto de todas as variáveis folga (“slacks”) associadas a µi(x) serem nulas, os respectivos valores das funções membro igualam o nível de satisfação global, 0.768.

Se o AD desejar melhorar e/ou aceitar piorar alguns dos valores das funções objectivo, pode então alterar os valores dos níveis de aspiração/reserva.

Por exemplo, se o AD estiver disposto a relaxar o valor do objectivo emprego (=5 629 579 na solução de Zimmermann), pode consegui-lo diminuindo o correspondente nível de reserva ou de aspiração (e melhorando o nível de satisfação global). A segunda solução calculada (valores da terceira coluna na tabela VIII.3) foi obtida considerando que o nível de aspiração associado à função objectivo emprego diminuiu 1% em relação ao valor (inicial) de pi. Mais uma vez, todos os valores das funções membro igualam o nível de satisfação global de 0.770, significando que o nível de aspiração associado à função objectivo emprego pode ainda ser diminuído, se o AD aceitar, sendo consequentemente determinadas diferentes soluções eficientes possuindo níveis de satisfação global maiores.

4 Estes valores podem não corresponder necessariamente aos piores valores atingidos pelas diferentes funções objectivo na região eficiente.

VIII.3 - Exemplo Ilustrativo

247

Tabela VIII.3 – Análise interactiva ao modelo de planeamento energético.

Solução

ZimmermannAceita piorar Emprego (1)

Aceita piorar Emprego (2)

Aceita piorar Emissões de CO2

Melhorar PIB

EmpregoAsp. 5 735 829 5 731 244 5 712 906 5 712 906 5 712 906 Importação de EnergiaAsp. 19 315 123 19 315 123 19 315 123 19 315 123 19 315 123 PIBAsp. 99 876 99 876 99 876 99 876 100 651 Emissões de CO2Asp. 58 402 58 402 58 402 59 374 59 374 EmpregoRes. 5 277 375 5 277 375 5 277 375 5 277 375 5 277 375 Importação de EnergiaRes. 22 150 792 22 150 792 22 150 792 22 150 792 22 150 792 PIBRes. 92 128 92 128 92 128 92 128 92 128 Emissões de CO2Res. 63 260 63 260 63 260 63 260 63 260

λ 0.768 0.770 0.771 0.851 0.790 Emprego 5 629 579 5 627 061 5 626 674 5 662 485 5 670 759 Importação de Energia 19 993 245 19 986 775 19 985 781 19 752 654 19 928 485 PIB 98 080 98 097 98 100 98 717 98 864 Emissões de CO2 59 528 59 518 59 516 59 723 60 189 Slack µEmprego 0 0 135 938 147 044 491 509 slack µImportação de Energia 0 0 0 0 0 Slack µPIB 0 0 0 0 0 Slack µEmissões de CO2 0 0 0 232 447 0

A solução apresentada na quarta coluna da tabela VIII.3 foi determinada considerando que o nível de aspiração inicial associado à função objectivo emprego sofreu uma diminuição de 5% do valor (inicial) de pi. Como a variável folga (“slack”) associada com µEmprego possui um valor não nulo para esta solução, o correspondente valor da função membro é superior ao nível de satisfação global de 0.771. Se continuarmos a diminuir o valor do nível de aspiração associado ao objectivo emprego a solução obtida não sofrerá alteração.

Suponhamos agora que o AD também está disposto a aceitar um valor maior (pior) para as emissões de CO2. Isto pode ser conseguido aumentando o correspondente nível de reserva ou de aspiração. Se o nível de aspiração inicial associado à função objectivo emissões de CO2 sofrer um aumento de 10% do valor (inicial) de pi, obtemos a solução apresentada na quinta coluna da tabela VIII.3. As variáveis folga (“slacks”) associadas com µEmprego e com µEmissões CO2 possuem um valor não nulo nesta solução, significando que as correspondentes funções membro apresentam maiores valores para o nível de satisfação em relação ao nível de satisfação global de 0.851.

Se o AD desejar então melhorar a função objectivo PIB, pode aumentar (por exemplo) o correspondente nível de aspiração, PIBAsp.. Na solução apresentada na sexta coluna da tabela VIII.3 o nível de aspiração inicial associado à função objectivo PIB sofreu um aumento de 20% em relação ao valor (inicial) de pi. Repare-se que, nesta solução o valor do emprego também foi melhorado.


248

Nos exemplos apresentados apenas modificámos os valores dos níveis de aspiração associados às funções difusas. No entanto, pode ser efectuado um estudo semelhante alterando os correspondentes níveis de reserva.

VIII.4 Considerações finais

Neste capítulo foram mostradas algumas semelhanças existentes entre as metodologias de optimização multiobjectivo baseadas em pontos de referência e a abordagem difusa apresentada por Zimmermann no domínio da PLMO (modelo simétrico com solução rígida).

A análise interactiva possibilitada pela abordagem exposta facilita o processo de aprendizagem, quer do problema, quer da estrutura de preferências do AD.

As preferências do AD são manifestadas através da especificação dos níveis de aspiração e de reserva associados aos conjuntos difusos envolvidos (funções objectivo e restrições difusas), os quais podem inicialmente tomar os valores da solução Ideal e Nadir, respectivamente.

Com base nas funções membro especificadas pelo AD, é definida uma direcção de incremento para o valor do nível de satisfação do conjunto de objectivos e restrições difusos, λ, utilizando um raciocínio análogo ao usado nas abordagens de pontos de referência e permitindo uma flexibilização ao limite superior imposto a λ. Se a solução determinada estiver associada a um valor do nível de satisfação superior à unidade (λ>1), como acontecia na situação apresentada na figura VIII.5, então todas as funções objectivo e restrições difusas são completamente satisfeitas e λ=1.

Neste caso, seria proposta ao AD uma solução com características melhores do que o ponto de referência, dado que os níveis de aspiração são alcançáveis e a solução determinada pela abordagem proposta se situará na região eficiente do problema multiobjectivo inicial.

O AD pode também escolher que valores das funções difusas envolvidas deseja melhorar ou aceita piorar, sendo-lhe assim possível analisar diferentes situações. Tal como nas abordagens apresentadas em capítulos anteriores, não é requerida que a estrutura de preferências do AD seja consistente ao longo do estudo.

Capítulo IX

Abordagem de tolerância

aos pontos de referência em

problemas de PLMO

Alguns autores (Hansen et al., 1989; Mármol e Puerto, 1997) têm apresentado extensões da abordagem tolerante proposta por Wendell (1985, 1984) para problemas de PLMO, onde o cálculo das soluções eficientes consiste na optimização da soma pesada das várias funções objectivo. Pretende-se, neste caso, calcular a percentagem máxima de tolerância para os vários coeficientes de ponderação das funções objectivo, de tal modo que estes possam variar, simultânea e independentemente, em relação aos seus valores estimados, sem que uma solução eficiente anteriormente determinada com esses pesos deixe de ser óptima para o respectivo problema escalar soma pesada (considerando a possibilidade de, eventualmente, se conhecer “a priori” alguma informação relativa à variação de alguns pesos).

Sendo as metodologias de pontos de referência (Wierzbicki, 1983, 2000) uma ferramenta também usada no cálculo do conjunto de soluções eficientes em problemas de programação multiobjectivo, de acordo com o conceito de decisão “quase-satisfatória” proposto por Wierzbicki (ver capítulo II), revela-se interessante a integração destas metodologias com os conceitos fundamentais da abordagem tolerante inicialmente propostos por Wendell (1985) (Borges e Antunes, 2002b).

Neste capítulo, apresentamos uma metodologia interactiva que permite estudar o conjunto de soluções eficientes de problemas de PLMO, a qual combina a abordagem de tolerância em análise de sensibilidade com as metodologias de pontos de referência. A abordagem proposta tem como objectivo dotar o AD de uma ferramenta flexível e computacionalmente pouco onerosa que, face à incerteza inerente à especificação dos valores dos pontos de referência dos vários objectivos, permite realizar uma análise das características do conjunto de soluções eficientes, independentemente destas soluções serem ou não vértices da região admissível do problema. A abordagem proposta permite

Capítulo IX - Abordagem de tolerância aos pontos de referência em problemas de PLMO

250

reunir, de modo interactivo, informações sobre o problema e os compromissos a fazer entre os objectivos, com vista à obtenção de uma solução de compromisso na qual se possa basear uma decisão final.

Nesta abordagem é determinado o valor da percentagem máxima de tolerância para os valores dos pontos de referência das funções objectivo, ω*(x100%), para o qual o correspondente hiper−cubo no espaço dos objectivos (e com centro nos valores dos pontos de referência estimados) é um subconjunto da região crítica obtida considerando um determinado ponto de referência estimado q (ver capítulo V), alcançável ou não.

O estudo apresentado é parcialmente baseado em (Borges e Antunes, 2002b) e pretende ser uma primeira abordagem de técnicas que se nos afiguram simples e eficazes.

Este capítulo está organizado da seguinte forma.

Na secção 1 é descrita a maneira como os conceitos essenciais das abordagens de pontos de referência e de tolerância em análise de sensibilidade podem ser integrados, de modo a ser possível analisar as soluções eficientes de problemas lineares multiobjectivo.

Seguidamente, é proposta na secção 2 uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância em análise de sensibilidade aos pontos de referência para problemas de PLMO, constituída por 5 etapas, a qual permite não só estudar o conjunto de soluções eficientes do problema multiobjectivo, como também analisar a estabilidade das soluções básicas eficientes perante variações nos valores dos pontos de referência estimados pelo AD.

Os conceitos principais da metodologia são ilustrados, de forma geométrica através de um exemplo, na secção 3.

Na secção 4, são referidas direcções possíveis de desenvolvimento futuro de investigação nesta área, e na secção 5 são tecidas algumas conclusões.

IX.1 Conceitos introdutórios

A existência de mais que uma função objectivo leva à necessidade da caracterização do conjunto das soluções eficientes, podendo esta ser efectuada por meio de diferentes metodologias, as quais usam técnicas distintas e/ou requerem diversos tipos de envolvimento do AD.

Em geral, são usados dois tipos principais de programas escalarizantes que possibilitam calcular soluções eficientes em problemas de programação linear: a optimização de uma soma ponderada das funções objectivo e a minimização de uma distância a pontos de referência.

As componentes do ponto de referência (não necessariamente alcançáveis) representam níveis que o AD deseja atingir ou ultrapassar para os valores das várias funções objectivo.

IX.1 - Conceitos introdutórios

251

Consideremos a versão simplificada da função escalarizante (de realização), usada para projectar o ponto de referência, pTp1 )q ..., ,q ..., ,(q ℜ∈= rq , na região eficiente, referida no capítulo II1:

) ,( z qσ =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∑=≤≤

−+−p

1p 1)zq( ε )zq(max

rrrrrr

, (IX.1)

onde ε toma um valor positivo relativamente pequeno.

A solução óptima do seguinte problema:

max ∑ = ε+ p z 1 α r r (IX.2) s. a. p ..., 1, ;q α - z =≥ rrr X ∈x , ℜ∈ α para um determinado vector q, é uma solução eficiente do problema de PLMO (II.1) (Wierzbicki, 1982; Lewandowski e Wierzbicki, 1989; Wierzbicki et al., 2000).

IX.1.1 O problema

Se forem considerados parâmetros de perturbação associados aos valores dos pontos de referência para as funções objectivo, p ℜ∈q , a extensão da abordagem tolerante ao problema (IX.2) estuda o seguinte problema perturbado (Borges e Antunes, 2002b):

max ∑ = ε+ p z 1 α r r (IX.3) s. a. p1,..., ; q q α - z =′+≥ rrrrr δ X ∈x , ℜ∈ α ,

onde cada rq′ tem um valor especificado pelo AD e rδ representa um parâmetro

multiplicativo de rq′ . Mais especificamente, se rq′ = rq então rδ representa uma

percentagem de desvio em relação ao valor estimado rq .

IX.1.2 Interpretação geométrica

Consideremos o exemplo biobjectivo apresentado na figura IX.1 e sejam os valores estimados para o ponto de referência as componentes do ponto q .

1 Repare-se que esta função corresponde à anteriormente apresentada na equação (II.33), para qq = , e o problema definido por (IX.2) corresponde ao problema (II.35), a menos da parcela constante.


252

Pela análise geométrica da figura IX.1 podemos facilmente concluir que todos os pontos do interior (incluindo a fronteira) do rectângulo com vértice em P (representado a sombreado), quando projectados na fronteira da região eficiente conduzem a uma solução que pode ser obtida pela combinação convexa das soluções básicas PB e PC (como acontece com a solução eficiente PF). Este conjunto de pontos constitui a região de tolerância para a variação, simultânea e independente, dos valores das componentes do ponto de referência, q , obtida por intermédio da abordagem tolerante em análise de sensibilidade, de modo análogo ao efectuado por Wendell (1985) (em relação aos coeficientes dos termos independentes das restrições ou/e da função objectivo dum modelo linear monobjectivo).

Figura IX.1 – Região de tolerância para os pontos de referência, considerando ==

0ˆ qq [14.0, 17.5] T .

Em termos geométricos, procura-se o maior dos rectângulos (hiper−paralelepípedos rectangulares, se o número de funções objectivo for superior a 2) centrado nos valores estimados para o ponto de referência, q , de tal modo que se projectarmos todos os pontos do interior do rectângulo na fronteira eficiente alcançamos uma solução que pode ser obtida pela combinação convexa das mesmas soluções básicas eficiente do problema multiobjectivo. Este rectângulo representa a região de tolerância para os valores dos pontos de referência.

Com base nesta região podemos calcular a percentagem máxima de tolerância, ω*(x100%), de tal modo que se algumas componentes seleccionadas não variarem mais do que a referida percentagem, em relação aos valores estimados, q , somos conduzidos a soluções pertencentes a uma aresta eficiente (ou hiper−face eficiente, se o número de funções objectivo for superior a 2 ) do problema multiobjectivo. Os comprimentos dos lados dos rectângulos estão relacionados com os valores das tolerâncias respectivas. O valor da tolerância máxima, ω*, encontra-se associado ao menor dos rectângulos entre os determinados.

Note-se que esta região de tolerância deverá estar dentro da região crítica das componentes do ponto de referência das funções objectivo, obtida por um estudo de análise

IX.1 - Conceitos introdutórios

253

de sensibilidade tradicional, para uma determinada base óptima do problema (IX.2) em estudo (usando q ).

A partir da análise geométrica da figura IX.2 podemos também concluir que todos os pontos do segmento de recta [T, U] (com T=(14.0, 15,0) e U=(14.0, 25,0)), assim como todos os pontos do segmento de recta [X, Y] (com X=(6.5, 17,5) e Y=(16.5, 17,5)), quando projectados na fronteira da região eficiente resultam numa solução que pode ser obtida pela combinação convexa das soluções básicas PB e PC (por exemplo, na solução eficiente PF). Estes intervalos são os determinados por intermédio de análise sensibilidade tradicional, [ min

1q , max1q ] = [6.5, 16.5] e [ min

2q , max2q ] = [15.0, 25,0], e com base neles é

possível definir a região crítica para as componentes do ponto de referência.

Figura IX.2 – Intervalos obtidos para os pontos de referência por intermédio de análise sensibilidade, ==

0ˆ qq [14.0, 17.5]T .

Para o exemplo ilustrativo das figuras IX.1 e IX.2, esta região crítica pode ser definida por intermédio dos vectores que são projectados nos pontos PC e PB,

respectivamente Ou seja, todos os pontos sobre rectas paralelas ao vector XU (ou TY ) e que intersectem pontos do segmento de recta [X, Y] (ou [T, U]) pertencem à região crítica correspondente.

As equações correspondentes aos dois semiplanos assinalados na figura IX.3 podem ser definidas por:

( 2q - max2q ) ( min

1q - 1q ) ≥ ( 2q - max2q ) ( 1q - 1q ) (IX.4.(1))

( 2q - min2q ) ( max

1q - 1q ) ≥ ( 1q - 1q ) ( 2q - min2q ) (IX.4.(2))

Dada uma base óptima B do problema (IX.2), esta região crítica para as componentes do ponto de referência das funções objectivo pode também ser caracterizada por intermédio do seguinte conjunto:

Rq={q: B-1[q b] ≥ 0}, (IX.5)


254

onde b representa o vector dos m termos independentes das restrições funcionais do modelo inicial.

Figura IX.3 – Região crítica para os pontos de referência, considerando ==0ˆ qq [14.0, 17.5] T .

Em problemas lineares esta região crítica é sempre um polítopo e a região de tolerância máxima estará sempre contida nesta região crítica.

IX.2 Uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância aos pontos de referência em problemas de PLMO

A metodologia interactiva de abordagem de tolerância proposta, a qual permite analisar o conjunto de soluções eficientes face à variação do ponto de referência, consiste nas seguintes etapas:

1. Calcular as soluções que optimizam individualmente cada uma das funções objectivo de modo a proporcionar ao AD uma primeira visão das características da região eficiente (determinação da tabela de “pay-off”). Se o AD se mostrar interessado em conhecer mais soluções básicas eficientes com características distintas, estas podem ser calculadas, nesta fase inicial, pela resolução de um problema escalar que optimize uma soma ponderada das funções objectivo, como definido em (II.28).

2. O AD deve indicar os valores estimados para os níveis de referência dos vários objectivos: 0q (iteração t=0). Se o AD não se sentir capaz de especificar esses valores devem ser considerados aqueles que correspondem ao óptimo de cada função objectivo na região admissível.

3. Resolver o problema (IX.2) com vista a determinar uma solução eficiente para o problema multiobjectivo.

IX.2 - Uma metodologia interactiva de abordagem de tolerância aos pontos de referência em problemas de PLMO

255

4. Apresentar ao AD os resultados obtidos, incluindo os intervalos de variação independente de cada componente do ponto de referência, [ minqr , maxqr ], r=1, ..., p, obtidos por intermédio de um estudo de análise de sensibilidade tradicional, assim como o valor da tolerância máxima, ω* (ver capítulo V) Este valor de ω* representa quanto os valores do ponto de referência podem variar, simultânea e independentemente, em relação aos seus valores estimados mantendo-se a base óptima do problema (IX.2) em estudo, determinada para tq .

5. Se o AD se mostrar satisfeito com os resultados já determinados, o processo interactivo pode ser concluído. Caso contrário, o AD deve especificar valores diferentes para os níveis estimados do ponto de referência 1+tq (iteração t+1). Se relativamente aos diferentes tq (já analisados até à iteração t), conseguirmos encontrar um, hq , relativamente ao qual apenas um dos valores dos níveis estimados foi alterado mas ainda se situa dentro da correspondente gama determinada por análise de sensibilidade, ou tendo sido modificados mais que um dos níveis estimados estes respeitam a percentagem máxima de tolerância calculada previamente, então a nova solução eficiente pode ser facilmente determinada pelo cálculo de xB

t+1 = B-1 [b hq ]T e zt+1 = CB B-1[b hq ]T, considerando as matrizes B-1 e CB apropriadas. O processo interactivo continua, com t=t+1, na etapa 4. Caso contrário, torna-se necessário retornar à etapa 3 e resolver o correspondente problema (IX.2) desde início, para a iteração t=t+1.

IX.3 Exemplo ilustrativo

Para ilustrar a metodologia proposta consideremos o seguinte problema com duas funções objectivo e quatro restrições funcionais (Zimmermann, 1983) já usado em capítulos anteriores (em particular, nos capítulos III e VIII):

“max”

⎠⎞

⎜ ⎝

⎛

⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ + +

= = 2112 2211 -

2 f 1 f

xxxx

z

(IX.6)

s. a.

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

≥ ℜ ∈

≤ + ≤ + ≤ + ≤ +

=

0 , 2

(c4) 30 2 1 1 3 (c3) 5 4 2 3 1 4 (c2) 27 2 3 1 1

(c1) 21 2 3 1 1 -

X

x x

x x x x x x x x

Inicialmente são apresentadas ao AD as soluções básicas eficientes que optimizam individualmente cada uma das funções objectivo, as soluções básicas eficientes PA e PD, já anteriormente apresentadas no espaço dos objectivos das figuras IX.1 a IX.3. As características destas soluções encontram-se descritas na tabela IX.1.


256

Tabela IX.1 – Soluções básicas eficientes iniciais (do problema inicial (IX.6)).

Solução f1 f2 xB

AP (max f1) 14.00 7.00 ( 2x , s_c2, s_c3, s_c4) = (7.0, 6.0, 24.0 ,23.0)

DP (max f2) -3.00 21.00 ( 1x , 2x , s_c1, s_c2) = (9.0, 3.0, 21.0 ,9.0)

O AD pode mostrar-se interessado em conhecer outras soluções básicas eficientes do problema inicial com características diferentes.

Por exemplo, utilizando uma metodologia baseada na soma pesada das funções objectivo é possível calcular as soluções básicas eficientes PB e PC da tabela IX.2 (e apresentadas no espaço dos objectivos das figura IX.1 a IX.3). Tabela IX.2 – Outras soluções básicas eficientes (do problema inicial (IX.6)).

Solução f1 f2 xB

BP 13.00 14.00 ( 1x , 2x , s_c3, s_c4) = (3.0, 8.0, 9.0 ,13.0)

CP 8.00 19.00 ( 1x , 2x , s_c1, s_c4) = (6.0, 7.0, 6.0 ,5.0)

Consideremos que o AD especifica como valores estimados para os níveis de referência 0q =[14.0, 17.5] T . Na etapa 3 é resolvido o seguinte problema:

max −+ − α α + ε )3 ( 21 xx + (IX.7) s. a.

(c6) 17.5 α α-21 12

(c5) 14.0 α α-22 11-

≥++

≥++−+

−+

xx

xx

X ∈x , 0,0 α α ≥−≥+ .

Os valores óptimos para o problema (IX.7) são apresentados na tabela IX.3. As variáveis s_c1 a s_c6 representam as variáveis folga (“slacks” ou “surplus”) associadas às

restrições (c1) a (c6), respectivamente, e −+ −= α α α . Tabela IX.3 – Quadro inicial e óptimo para o problema (IX.7).

Bx 1x 2x +α −α s_c1 s_c2 s_c3 s_c4 s_c5 s_c6

Quadro inicial s_c1 -1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 21.00 s_c2 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 27.00

s_c3 4 3 0 0 0 0 1 0 0 0 45.00

s_c4 5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 30.00

s_c5 -1 2 -1 1 0 0 0 0 -1 0 14.00

s_c6 2 1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 17.50

IX.3 - Exemplo illustrativo

257

Quadro óptimo

1x 1 0 0 0 0 1/10 0 0 3/10 -3/10 3.75

−α 0 0 -1 1 0 -1/2 0 0 -1/2 -1/2 2.25

s_c3 0 0 0 0 0 -13/10 1 0 -9/10 9/10 6.75

s_c4 0 0 0 0 0 -3/5 0 1 -8/10 8/10 11

2x 0 1 0 0 0 3/10 0 0 -1/10 1/10 7.75

s_c1 0 0 0 0 1 -4/5 0 0 3/5 -3/5 1.50

0

Bx = [ 1x , −α , s_c3, s_c4, 2x , s_c1] T = [3.75, 2.25, 6.75, 11, 7.75, 1.5] T , os

valores dos objectivos são 0z =[11.75, 15.25] T (solução eficiente PF) e a matriz -1B

associada a esta solução do problema (IX.7) é -1B = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−−

3/53/5004/511/101/10003/1008/108/10103/509/109/100113/1001/21/2003/603/103/10001/100

.

Juntamente com esta informação, são também fornecidos ao AD os seguintes resultados:

1. As gamas obtidas para variação independente do valor de cada componente do ponto de referência, determinadas por um estudo de análise de sensibilidade (tradicional)2, as quais podem ser confirmadas pela observação da figura IX.2: 1q ∈ [6.5; 16.5] e 2q ∈ [15; 25], respectivamente. Pode também ser concluído que para 1q ∈ [6.5; 9.5[3 o

valor de α é negativo e torna-se positivo para 1q ∈ ]9.5; 16.5]. Estas conclusões podem também ser obtidas a partir da análise da figura IX.2.

2. Usando a abordagem tolerante sabemos que a base óptima do problema (IX.7) (associada à solução PF) se manterá óptima desde que os valores de cada componente do ponto de referência das funções objectivo não variem,

2

min1q = 1q + max{-6.75/(9/10), -11/(8/10), -7.75/(1/10)} = 6.5;

max

1q = 1q + min{-3.75/(-3/10), -1.5/(-3/5)} = 16.5;

min

2q = 2q + max{-3.75/(3/10), -1.5/(3/5)} = 15;

max

2q = 2q + min{-6.75/(-9/10)}, -11/(-8/10), -7.75/(-1/10)} = 25. 3 Se os valores associados a −α (segunda variável básica no quadro óptimo apresentado na tabela

IX.3) fossem também considerados no cálculo de min

1q e min

2q (devido aos seus valores positivos em 1B− ) seriam obtidos os valores

min1q = 1q +(-2.25/(1/2))=9.5;

min2q = 2q +(-2.25/(1/2)=13.


258

simultânea e independentemente, mais do que ω*(x100%)=7.9365%4 em relação aos valores estimados 0q =[14.0, 17.5] T . Assim sendo, a base eficiente do problema multiobjectivo (IX.6) associada à solução PF manter−se−á eficiente desde que o valor do ponto de referência correspondente a f1 ( 1q ) varie no intervalo [12.8889; 15.1111] e,

simultaneamente, o valor do ponto de referência correspondente a f2 ( 2q ) varie no intervalo [16.1111; 18.8875]. A região de tolerância para este problema é mostrada na figura IX.1 (rectângulo mais pequeno, de vértice em P e representado a sombreado).

Note-se que a região crítica para os valores estimados dos níveis de referência 0q , apresentada na figura IX.3, pode ser definida, em conformidade com (IX.5), por:

Rq={q: B-1[q b] ≥ 0} ={q:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−−

5/35/3005/4110/110/10010/3010/810/8105/3010/910/90110/1302/12/1002/1010/310/30010/10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1qq30452721

≥ 0,

ou seja, pode ser caracterizada pela intersecção das restrições:

27/10 - 3/10q1 +3/10q2 ≥ 0 q1 - q2 ≤ 9 (r1)

(-27/2 +1/2q1 +1/2q2 ≥ 0, variável básica −α , deve ser desprezada) (r2)

-13*27/10 +45 +9/10q1 -9/10q2 ≥ 0 q1 - q2 ≥ -11 (r3)

-3*27/5 +30 +8/10q1 -8/10q2 ≥ 0 q1 - q2 ≥ -69/4 (r4)

3*27/10 +1/10q1 -1/10q2 ≥ 0 q1- q2 ≥ -81 (r5)

21 -4*27/5 -3/5q1 +3/5q2 ≥ 0 q1- q2 ≤ -1 (r6)

Como as restrições (r1), (r4) e (r5) são redundantes e a (r2) não deve ser

considerada (pois encontra-se associada à variável básica −α ), ficam apenas (r3) e (r6), as quais correspondem, respectivamente, às restrições que se obtêm por intermédio de (IX.4.(1)) e de (IX.4.(2)):

q1 - q2 ≥ -11 (r3) q1- q2 ≤ -1 (r6)

Suponhamos que, com base na informação já conhecida, o AD decide especificar novos valores estimados para as componentes do ponto de referência, 1q =[14.0, 21] T .

Uma vez que, relativamente aos níveis de referência 0q , apenas 2q sofreu alteração mas a variação encontra-se dentro da gama respectiva, obtida na iteração 4 min { 3.75/(|-3/10|*14+|3/10|*17.5), 6.75/(|9/10|*14+|-9/10|*17.5), 11/(|8/10|*14+|-8/10|*17.5), 7.75/(|1/10|*14+|-1/10|*17.5), 1.5/(|-3/5|*14+|3/5|*17.5) } = 1.5/(|-3/5|*14+|3/5|*17.5) = 7.9365%.

Repare-se que o valor de α é sempre negativo, uma vez que 2.25 / (|1/2|*14 + |1/2|*17.5) = 14.2857% é maior do que o valor da percentagem de tolerância máxima, 7.9365%.

IX.3 - Exemplo illustrativo

259

anterior para a variação independente deste componente do ponto de referência por um estudo de análise de sensibilidade (tradicional), a última base eficiente mantém-se eficiente e as características da nova solução eficiente podem ser calculadas directamente

por [ ]T11 1BB q bx −= = [4.8, 4, 3.6, 8.2, 7.4, 3.6] T e [ ]T11 1BBC q bz −= =[10, 17] T .

Figura IX.4 – Intervalos obtidos para os pontos de referência por intermédio de análise sensibilidade, ==1ˆ qq [14, 21]T .

O processo interactivo prossegue na etapa 4.

1. As gamas obtidas para a variação independente do valor de cada componente do ponto de referência, obtidas pela análise de sensibilidade, são agora respectivamente: 1q ∈ [10; 20] e 2q ∈ [15; 25], figura IX.4. A partir desta figura (bem como dos resultados analíticos) pode também ser

concluído que o valor de α é sempre negativo ( −α é uma variável básica).

2. A abordagem tolerante possibilita-nos saber que a base óptima do problema (IX.7) (anteriormente determinada e associada à solução PF, e também a

1z ) continuará óptima desde que os valores de cada componente do ponto de referência das funções objectivo não variem, simultânea e independentemente, mais do que ω*(x100%)=11.4286% relativamente aos seus valores estimados 1q =[14.0, 21] T . Ou seja, a base eficiente do problema multiobjectivo (IX.6) manter-se-á eficiente desde que os valores do ponto de referência correspondentes a f1 ( 1q ) variem no intervalo [12.40; 15.5999] e, simultaneamente, os valores do ponto de referência correspondentes a f2 ( 2q ) variem no intervalo [18.60; 23.3999]. Como anteriormente, o valor de α é sempre negativo. A região de tolerância para este problema é mostrada na figura IX.5 (rectângulo mais pequeno representado a sombreado).


260

Figura IX.5 – Região de tolerância para os pontos de referência, considerando ==1ˆ qq [14, 21] T .

Suponhamos que, neste momento, o AD especifica novos valores estimados para

as componentes do ponto de referência, 2

q =[16.67, 11] T .

Relativamente aos níveis de referência já analisados ( 0q e 1q ), ambas as componentes sofreram alteração não tendo sido respeitados os intervalos de tolerância para a variação, simultânea e independente, dos valores de 1q e 2q .

Figura IX.6 – Região de tolerância e intervalos obtidos por intermédio de análise sensibilidade para os pontos de

referência, considerando ==2ˆ qq [16.67, 11] T .

IX.4 - Outros desenvolvimentos

261

O processo iterativo retorna à etapa 3 onde é necessário resolver um problema similar a (IX.7):

max −+ − α α + ε )3 ( 21 xx + (IX.8) s. a.

(c8) 11 α α-

21

12

(c7) 16.67 α α-2

2 1

1-

≥++

≥++−+

−+

xx

xx

X ∈x , 0,0 α α ≥−≥+ .

Os resultados correspondentes encontram-se resumidos no gráfico apresentado na figura IX.6. Como era de esperar, a base eficiente para o problema (IX.6) anteriormente calculada resolvendo o problema (IX.7) (associada às soluções PF e 1z ), e que conduzia a soluções eficientes que podem ser determinadas por combinação convexa das soluções básicas PB e PC (ou seja, situadas sobre a aresta eficiente que une os pontos PB e PC), sofreu alteração.

A resolução do problema (IX.8) resulta na solução da fronteira eficiente, 2z , que se localiza sobre a aresta que une as soluções básicas PA e PB. Ou seja, as soluções eficientes do problema multiobjectivo (IX.6) calculadas através da nova base (associada à solução 2z ) correspondem agora àquelas que se obtêm pela combinação convexa das soluções básicas eficientes PA e PB.

IX.4 Outros desenvolvimentos

A metodologia apresentada na secção 2 e ilustrada na secção anterior sintetiza um primeiro esforço de investigação nesta área, onde se tenta integrar a abordagem tolerante aos pontos de referência associados aos objectivos de um modelo de PLMO com as metodologias de pontos de referência. Este tópico de investigação prosseguirá no futuro, em particular tendo em conta as pistas de desenvolvimento seguidamente mencionadas.

Por exemplo, parece-nos viável integrar no estudo anterior a existência “a priori” de informação relativa a gamas de variação de algumas componentes dos pontos de referência das funções objectivo, de modo a obterem-se maiores valores para as percentagens máximas de tolerância.

Caso não seja especificada pelo AD informação adicional, podemos expandir a região de tolerância obtida anteriormente, nas várias direcções (e sentidos) possíveis, até que os vértices dessa região atinjam os hiperplanos que limitam a região crítica correspondente aos pontos de referência estimados, utilizando um raciocínio similar ao da abordagem expandida explicada no capítulo V (Wondolowski, 1991; Wendell, 1992). Neste caso, deixaríamos de considerar apenas um valor de tolerância máximo e passaríamos a determinar um valor para cada componente individualmente.

Para o nosso exemplo biobjectivo, a região de tolerância apenas aparecerá alargada numa dimensão dado que temos duas componentes no vector correspondente aos


262

pontos de referência. Por exemplo, com os valores estimados para os níveis de referência 0q =[14.0, 17.5] T , passaríamos a considerar não apenas o menor valor de 7.9365%, mas

também o valor 23.8095% (o qual corresponde a 6.75/(|9/10|*14+|-9/10|*17.5)). As soluções básicas eficientes, a partir das quais podemos determinar a solução eficiente PF por combinação convexa (de PB e PC), permitirão também calcular todas as soluções eficientes para as quais os valores do ponto de referência correspondentes a f1 ( 1q ) variem no intervalo [10.6667; 15.1111] e, simultaneamente, os valores do ponto de referência correspondentes a f2 ( 2q ) variem no intervalo [16.1111; 21.6667]. A correspondente região de tolerância para este problema é mostrada na figura IX.7 (rectângulo de vértices opostos P e P’).

Figura IX.7 – A região de tolerância expandida para os pontos de referência, considerando, ==

0ˆ qq [14.0, 17.5] T .

Um dos objectivos pretendidos com este trabalho consistia na investigação de algoritmos pouco pesados computacionalmente, que possibilitassem construir ferramentas de natureza interactiva para apoio ao AD no estudo da região eficiente, e na análise da estabilidade das soluções básicas eficientes, face a alterações nos níveis de referência das funções objectivo do modelo. Na metodologia proposta, o cálculo de soluções eficientes efectua-se sempre que possível a partir das determinadas previamente. Existem, no entanto, situações que, embora tenham sido investigadas e possam ser ilustradas com este exemplo simples (ou com outros possuindo apenas 2 objectivos), necessitam de um estudo teórico mais aprofundado, nomeadamente para modelos com mais de dois objectivos.

Por exemplo, se após a primeira interacção, o AD tivesse especificado como

novos valores estimados para as componentes do ponto de referência 1'

q =[7.0, 11] T , com a metodologia proposta anteriormente seríamos conduzidos à etapa 3, onde é necessário resolver um problema similar a (IX.7), resultando uma solução eficiente que pode ser obtida a partir das mesmas soluções básicas que a solução PF (soluções básicas eficientes PB e PC).

IX.4 - Outros desenvolvimentos

263

Analisando as figuras IX.8 e IX.3 verificamos que a região crítica associada a

estes 2 pontos de referência ( 0q e 1'

q ) é a mesma, embora as regiões de tolerância e os intervalos obtidos por um estudo de análise de sensibilidade (tradicional) para a variação independente do valor de cada componente do ponto de referência não se encontrem relacionados.

Figura IX.8 – Região crítica para os pontos de referência, considerando =='

qq1ˆ [7, 11] T .

Se conseguíssemos definir analiticamente a região crítica, e pudéssemos (de algum modo) usar essa caracterização nas etapas 4 e 5 da metodologia apresentada em IX.2, o algoritmo proposto tornar-se-ia mais eficiente (computacionalmente menos pesado).

Consideremos novamente a figura IX.3, onde X = ( min1q , 2q ), U = ( 1q , max

2q ),

Y = ( max1q , 2q ) e T = ( 1q , min

2q ). Comecemos por analisar o semiplano (1) assinalado.

Qualquer vector (do espaço) que tenha início no ponto U e termine num ponto q=( 1q , 2q , 0 ), do semiplano correspondente, Uq =( 1q - 1q , 2q - max

2q , 0 ), fará sempre

um ângulo entre 0º e 180º com o vector XU = ( 1q - min1q , max

2q - 2q , 0).

Consideremos 3e f =(0, 0, 1) um vector unitário perpendicular ao plano ao qual

pertencem XU e Uq , e tal que ( 3e f , Uq , XU ) é uma base directa em 3ℜ . Então o

produto triplo5 3e f .( Uq x XU )≥0.

5 O valor absoluto do produto triplo de três vectores representa o volume da figura geométrica definida por esses três vectores. Quando os três vectores considerados forem complanares, este produto triplo será nulo. Quando os três vectores formam uma base directa no espaço, então o produto triplo é ≥ 0, e definem uma figura que se situa completamente no semiespaço ao qual pertencem os vectores. Quando formam uma base inversa no espaço, então o produto triplo é ≤ 0, e a figura por eles definida irá situar-se completamente no outro semiespaço.


264

Ou seja:

3e f .( Uq xXU ) = (0, 0, 1) . (0, 0, ( 1q - 1q )( max2q - 2q )-( 2q - max

2q )( 1q - min1q )) ≥ 0

( 1q - 1q )( max2q - 2q )-( 2q - max

2q )( 1q - min1q )≥0

( 1q - 1q )( max2q - 2q ) ≥ ( 2q - max

2q )( 1q - min1q )

( 1q - 1q )( 2q - max2q ) ≤ ( 2q - max

2q )( min1q - 1q ).

A última inequação corresponde a (IX.4.(1)). Um raciocínio análogo pode ser efectuado para o semiplano (2), obtendo-se como resultado a condição (IX.4.(2)).

Qualquer vector que tenha início no ponto T e termine num ponto q=( 1q , 2q , 0),

do semiplano correspondente, Tq =( 1q - 1q , 2q - min2q , 0), fará sempre um ângulo entre 0º

e 180º com o vector TY = ( max1q - 1q , 2q - min

2q , 0).

Consideremos agora o vector unitário perpendicular ao plano onde se situam Tq e

TY , e tal que ( 3e f′ , Tq , TY ) é uma base directa em 3ℜ , 3e f′ =(0, 0, -1). Então o

produto triplo 3e f′ .( Tq x TY )≥0, ou seja:

3e f′ .(Tq xTY ) = (0, 0, -1) . (0, 0, ( 1q - 1q )( 2q - min2q )-( 2q - min

2q )( max1q - 1q )) ≥ 0

-( 1q - 1q )( 2q - min2q )+( 2q - min

2q )( max1q - 1q )≥0

( 1q - 1q )( 2q - min2q ) ≤ ( 2q - min

2q )( max1q - 1q ).

Um estudo análogo, com a correspondente confirmação dos resultados em termos experimentais, necessitará ser efectuado com mais detalhe no caso de existirem mais do que duas funções objectivo.

IX.5 Considerações finais

Neste capítulo foi apresentada uma primeira proposta de metodologia interactiva que possibilita efectuar uma análise progressiva do conjunto de soluções eficientes em problemas de PLMO, bem como estudar a estabilidade das soluções básicas eficientes, tirando partido dum estudo de abordagem de tolerância em análise de sensibilidade aos valores dos pontos de referência das várias funções objectivo. Os aspectos metodológicos mereceram particular atenção, tendo os mesmos sido ilustrados com um problema biobjectivo.

A metodologia descrita consiste numa fase interactiva inicial (etapa 1), onde é efectuado o cálculo dum conjunto de soluções básicas eficientes (do problema original) com características diferentes e suficientemente dispersas. Nesta etapa podem usar-se metodologias já existentes que possibilitem pesquisar progressiva e selectivamente o

IX.5 - Considerações finais

265

conjunto de soluções extremas eficientes. No exemplo ilustrativo apresentado utilizámos o método TRIMAP (Clímaco e Antunes, 1987, 1989) com esse intuito, muito embora não tenhamos apresentado a decomposição do diagrama paramétrico correspondente.

É, assim, possível ter uma visão global da gama de variação dos valores das funções objectivo na região eficiente. Com base nesta informação, o AD deve indicar valores estimados para todas as componentes do ponto de referência. Caso o AD não pretenda especificar alguns desses níveis de referência, podem ser aceites as sugestões fornecidas pela abordagem (etapa 2).

Seguidamente, entra-se noutra fase interactiva (etapas 3 a 5).

São calculadas soluções eficientes, pela resolução de um problema escalarizante que projecta o ponto de referência estimado na região eficiente (etapa 3).

As características destas soluções eficientes são apresentadas ao AD. São adicionalmente fornecidas ao AD outras informações complementares: os intervalos de variação independente de cada componente do ponto de referência que conduzem à mesma solução básica eficiente do problema considerado; o valor da percentagem máxima de tolerância para os valores dos pontos de referência das funções objectivo, o qual representa quanto os valores dos pontos de referência podem variar, simultânea e independentemente, em relação aos seus valores estimados mantendo-se eficiente a solução obtida (etapa 4).

Na etapa 5, estando o AD satisfeito com os resultados obtidos na análise entretanto efectuada o processo interactivo pode ser concluído. Caso contrário, o AD deve especificar novos valores para os níveis estimados do ponto de referência. Se, com base na informação anterior, for possível obter directamente a nova solução eficiente, então a correspondente solução eficiente deve ser calculada e retorna-se à etapa 4. De outro modo, terão de repetir-se na íntegra as etapas 3 a 5.

Refira-se que esta metodologia será tanto mais eficaz quanto menos vezes houver necessidade de realizar a etapa 3, durante esta última fase interactiva constituída pelas etapas 3 a 5, ou seja, quanto mais coerentes forem as preferências manifestadas pelo AD nas várias interacções, e mais satisfatórias do ponto de vista do AD forem as soluções de compromisso calculadas durante a etapa 4.

Capítulo X

Conclusões







Capítulo X

Conclusões





♦ Nos capítulos III e IV são estudadas as questões relativas ao tratamento da incerteza em modelos de PLMO fazendo uso da aplicação dos conceitos fundamentais da teoria de conjuntos difusos no domínio dos métodos de decisão. Nestes capítulos são propostos dois métodos interactivos onde as soluções eficientes obtidas possuem natureza difusa. A abordagem exposta no capítulo III permite incorporar a difusão na operação de optimização e nas relações matemáticas existentes nas restrições funcionais do modelo, enquanto que a abordagem apresentada no capítulo IV considera os parâmetros do modelo difusos e caracterizados por números reais difusos triangulares. As duas abordagens de tratamento da incerteza estudadas nos capítulos III e IV possibilitam efectuar análises diferentes, mas complementares.

Capítulo X – Conclusões e pistas de desenvolvimento

268

♦ Na secção VI.1 é apresentada uma via geométrica para a obtenção dos resultados propostos em (Hansen et al., 1989), com base num estudo de geometria analítica no espaço dos pesos das funções objectivo. Estes resultados, de abordagem tolerante em análise de sensibilidade no contexto multiobjectivo, possibilitam determinar quanto os vários pesos podem variar, simultânea e independentemente, em relação aos seus valores estimados mantendo-se óptima a solução básica do problema escalar soma ponderada anteriormente calculada com esses pesos.

♦ Nas secções VI.2 e VI.3 é proposta e ilustrada uma metodologia interactiva de abordagem tolerante para problemas de PLMO, sendo o cálculo das soluções eficientes efectuado a partir da resolução de um problema escalar soma ponderada das funções objectivo, considerando o vector dos pesos normalizado. As ideias essenciais desta metodologia fundamentam-se na adaptação da análise geométrica anteriormente efectuada ao diagrama paramétrico. A análise proporcionada pelas aproximações interactivas apresentadas nos capítulos III, IV e VI é baseada na representação gráfica da decomposição do diagrama paramétrico (dos pesos) em regiões de indiferença associadas às soluções básicas eficientes, a qual possibilita um meio interactivo apelativo de apresentação e recolha de informação entre o AD e o método (sendo o uso de utensílios gráficos interactivos muito útil no diálogo com o AD) 1. Torna-se, assim, possível ao AD visualizar dinamicamente as alterações ocorridas nas várias soluções básicas eficientes pesquisadas durante o estudo interactivo (capítulos III e IV), com a alteração de alguns parâmetros. Para além disso, estas técnicas permitem observar interactivamente as alterações verificadas na sobreposição da região de indiferença, correspondente a uma determinada solução básica eficiente, com as regiões de tolerância obtidas para diferentes conjuntos de pesos estimados (secções VI.2 e VI.3). O AD pode, deste modo, analisar dinamicamente as consequências de uma escolha por simples inspecção visual.

♦ Os desenvolvimentos metodológicos alcançados com as técnicas interactivas de PLMO propostas e implementadas foram usados no quadro de um modelo multiobjectivo destinado a estudar as interacções existentes entre o sistema energético, o sistema económico e o ambiente. Este é um problema muito actual e de grande importância nos países que, tal como Portugal, apresentam uma elevada dependência energética do exterior, e onde diversas fontes de incerteza estão intrinsecamente presentes. Este modelo de planeamento energético é utilizado no capítulo VII para estudar as potencialidades da abordagem interactiva de PLMO difusa na qual os parâmetros são definidos por números reais difusos (proposta no capítulo IV) e da metodologia interactiva de abordagem tolerante em problemas de PLMO (proposta no capítulo VI).

1 Não sendo este o objectivo central da nossa investigação, apresentámos uma proposta de um protocolo interactivo bastante flexível que, na nossa opinião, possibilita ao AD um melhor apoio à aprendizagem do problema e da sua própria estrutura evolutiva de preferências e, consequentemente, à tomada de decisões mais fundamentadas.


269

♦ No capítulo VIII é realizado um estudo das analogias existentes entre a abordagem simétrica de programação linear em ambiente difuso apresentada por Zimmerman (1978, 1983a) e as metodologias baseadas em pontos de referência usadas no cálculo de soluções eficientes (Wierzbicki, 1982; Lewandowsky e Wierzbicki, 1988, 1989), considerando modelos de PLMO. O procedimento utilizado assenta no uso de funções membro lineares modificadas (associadas a cada um dos objectivos/restrições difusos), e pode ser interpretado de modo similar ao apresentado por Wierzbicki (2000), no quadro das metodologias de pontos de referência, considerando funções de realização lineares por partes (monótonas e côncavas) onde o declive é sempre o mesmo. O modelo de planeamento energético referido anteriormente é também usado no capítulo VIII para ilustrar a análise comparativa.

♦ Os trabalhos de investigação culminaram com um primeiro estudo (de natureza essencialmente teórica) apresentado no capítulo IX, onde se tenta integrar os conceitos base da abordagem de tolerância em análise de sensibilidade apresentada inicialmente por Wendell (1985) com as metodologias baseadas em pontos de referência. A metodologia interactiva apresentada no capítulo IX tira partido da incerteza subjacente à especificação dos níveis que o AD deseja alcançar (ou ultrapassar) para as diferentes funções objectivo, e possibilita quer analisar a estabilidade das soluções básicas eficientes face a variações, simultâneas e independentes, nos níveis de referência em problemas de PLMO, quer efectuar um estudo interactivo da região eficiente e das preferências do AD.

Dos pontos de vista teórico e metodológico pensamos que este trabalho abre vias inovadoras para as questões do tratamento da incerteza em SADs baseados em modelos multiobjectivo.

Nas metodologias propostas ao longo deste trabalho não é requerida a consistência na informação fornecida pelo AD durante as várias interacções; ou seja, a estrutura de preferências do AD pode ser parcialmente revista durante o estudo. O AD é estimulado a reflectir sobre o problema e sobre as suas convicções, a analisar e criticar os resultados obtidos e a considerar novas pistas de pesquisa de soluções. O estudo pode ser tão exaustivo quanto o AD deseje, e termina quando achar que conhece o suficiente sobre o conjunto de soluções eficientes do problema, tendo durante o processo interactivo reforçado ou enfraquecido as suas convicções e preferências iniciais, de modo a poder tomar uma decisão bem fundamentada.

As abordagens implementadas apresentam-se bastante intuitivas, não se mostrando muito exigentes no que diz respeito à informação requerida e/ou fornecida ao AD nas diferentes interacções, nem obrigando a uma sobrecarga do esforço cognitivo por parte do AD. Os cálculos envolvidos apresentaram-se geralmente pouco pesados em termos práticos, ainda que tal dependa normalmente da geometria da região eficiente e da dimensão do problema.


270

Ao longo do trabalho foram surgindo diferentes vias de investigação, algumas das quais foram deixadas em aberto dada a dimensão que o mesmo já apresentava. Entre as possíveis pistas de investigação futura podemos referir as seguintes:

♦ Na generalidade das situações práticas, a taxa de variação do nível de satisfação das funções membro não se apresenta constante. Assim sendo, funções membro lineares, ou mais especificamente parâmetros caracterizados por números reais difusos triangulares, como considerámos na metodologia proposta no capítulo IV, constituem apenas uma aproximação a situações reais. A utilização da abordagem proposta considerando funções membro não lineares parece-nos possível de implementar, caso haja algum modo de fazer a transformação adequada das correspondentes funções membro, por exemplo, para funções membro lineares por partes.

♦ Na secção 1 do capítulo VI mostrámos como é possível demonstrar os resultados apresentados em (Hansen et al., 1989), e anteriormente expostos de modo detalhado na secção 3 do capítulo V, por intermédio do cálculo de distâncias desde o ponto correspondente aos pesos estimados até pontos pertencentes a cada um dos hiperplanos obtidos a partir das restrições que definem a região crítica, associada a uma solução básica eficiente calculada com os pesos estimados. No estudo foi utilizada a norma de Tchebycheff e foram consideradas perturbações multiplicativas nos valores dos pesos, à semelhança de Hansen et al. (1989). No entanto, esta análise pode ser efectuada usando diferentes normas e considerando outras escolhas para os parâmetros multiplicativos dos valores dos pesos especificados pelo AD. Por exemplo, se na metodologia proposta na secção 2 do capítulo VI forem consideradas variações aditivas para os valores dos pesos estimados, do estudo resultariam os diagramas paramétricos similares aos apresentados na nota de rodapé 11 do capítulo VI (página 202), os quais necessitam ser mais cuidadosamente explorados.

♦ Muito embora no capítulo IX só tenham sido analisados exemplos simples, foram realizados alguns estudos geométricos interessantes, os quais conduziram a conclusões que se afiguraram metodologicamente promissoras. Algumas das conclusões experimentais apenas foram provadas formalmente para problemas com dois objectivos. Consequentemente, a respectiva generalização para qualquer dimensão é uma direcção de investigação futura.

♦ Muitos problemas reais de decisão e optimização são difíceis, quer devido ao seu carácter combinatório, quer porque a sua formulação ou a construção do modelo são tarefas complexas. Nestas situações, o recurso a meta-heurísticas é fundamental para agilizar a pesquisa e obter soluções em tempos computacionais aceitáveis. Em particular, o facto de os algoritmos genéticos/evolucionários trabalharem com um conjunto de representações de potenciais soluções para o problema, associado à possibilidade de evolução, torna estas abordagens muito atractivas em problemas com múltiplos objectivos considerando variações, simultâneas e independentes, em todas as componentes dos respectivos modelos matemáticos.

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