AB c cm AD m cm = = = = 8 3,5 DC n AC a BC b y BD...

Colegio-Claret SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

Geometría _2ºESO 1 J.L.Cano

1.-

30m10m

7m

D

E

A

C

B

El dibujo presenta un método aproximado paramedir la anchura de un río sin necesidad más que de tomar medidas en una orilla.Situándonos en el punto A hemos realizado undesplazamiento de 30 m hasta situarnos en elpunto B y, desde el mismo punto A pero ensentido contrario, otro de 10 m hasta el punto D. Acontinuación, nos desplazamosperpendicularmente a la orilla del río desde elpunto D hasta el punto E una distancia de 7 m.Demostrar que los triángulos ABC y ADE sonsemejantes.Utilizando el concepto de semejanza, obtener lamedida del lado BC, la anchura del río.

2.- Dado el triángulo equilátero ABC de la figura, de 6cm de lado, calcula el área de la parte sombreada AMNE, sabiendo que M y N son los puntos medios de los lados AB y CB respectivamente.

3.- Las áreas de dos polígonos semejantes son 121 cm2 y 324 cm2. Si el perímetro del primero es 44 cm, ¿cuál es el perímetro del segundo?

4.-.Del triángulo rectángulo, se sabe: 8 3,5AB c cm AD m cm= = = = .

Calcula: , ,DC n AC a BC b y BD h= = = =

5.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 24 cm y la hipotenusa mide 18 cm más que el otro cateto. Halla el perímetro y el área de dicho triángulo.



6.- En un triángulo rectángulo un cateto mide 5/13 de la longitud de la hipotenusa y el otro cateto mide 48 cm. Halla el perímetro y el área de dicho triángulo. 7.- Los radios de dos circunferencias concéntricas difieren en 24 cm y uno mide 5/7 de la longitud del otro. Calcula el área de la corona circular limitada por las dos circunferencias. 8.- El perímetro de un trapecio isósceles mide 196 m y cada lado oblicuo mide 34 m. Halla las bases y el área del trapecio, sabiendo que una base mide 3/5 de la longitud de la otra. 10.- La proyección de un cateto de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa mide 54 cm y la suma de la altura con la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 60 cm. Calcula dicha proyección 12.- La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6cm y las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa difieren entre sí en 9cm, Calcula las medidas de dichas proyecciones, el perímetro y el área del triángulo. 13.- Si un ∆ rectángulo tiene un ángulo de 30º, ¿cómo es, en magnitud, el cateto opuesto con respecto a la hipotenusa? Razona la respuesta. 14.- En un triángulo rectángulo isósceles, la mediana relativa a uno de los lados iguales mide 10 cm. Calcular la hipotenusa y el área del triángulo. 15.- En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide 4cm, el ángulo B =30º. Calcular el área del triángulo. 16.- Los Triángulos ABC y ADE ¿son semejantes? ¿Por qué? Calcula:

� Los lados x, y, z � La razón de semejanza � El área del triángulo ABC � El área del triángulo ADE en función de la razón de semejanza

5,09 cm

3,73 cm

6,82 cmA

B

C

D

E

6,07 cm

x

y

z

17.-



A B

o'

o

C

D E

CO'=h= 6,5cmEO'=r= 3cmBO=R= 5cmCalcula la altura del cono CO. El volumen y su área total

18.- El perímetro y el área de un rectángulo es de 40 cm y de 100 cm2. Calcula el área de otro semejante a él que tiene un perímetro de 80 cm. 19.-

E

F

G

AB C

D5,80 cmAD =

2,03 cm

1,43 cm

1,63 cm

3,58 cm Hallar los segmentos:AB,BC,CD,BE,CF

20.-

A

C B

D F4,71 cm

1,66 cm

4,29 cm

5,11 cm

Sabiendo que:AC = 4,71 cm AB = 5,11 cmAD = 1,66 cm BC = 4,29 cmCalcula:AF ; FB ; DF

21.- La figura representa una finca de forma de trapecio isósceles, con las medidas que se indican. Calcular el área de la finca dada en ha (hectáreas)



A D

B C4km

8km60º

22.-

AE

B

C

2,37 cm3,82 cm

1,27 cm

4,33 cm

Calcular:a) el segmento ABb) El segmento CDc) El área total de la figura dadad) El perímetro de la figura dada

23.-

1,37 cm

1,25 cm

1,01 cm 0,86 cm

1,88 cmx

y

z

24.-

P Q

OM NDadas dos circunferencias secantes, sabiendo que PQ = 3 cm, segmento que une los puntos centrales. Si trazamos una recta paralela a PQ, por el punto O, obtenemos un segmento MN con los puntos de corte con los círculos.¿Cuánto mide el segmento MN?

25.-



C

B

A

Calcular el radio del círculosabiendo:AB = 8cmBC = 3cm

26.-

D

CB E

A

En una plaza circular de r = 9 m, se quiere construir un estanque de forma

rómbica, según la figura.¿Cuánto mide el lado del rombo?

27.- Calcular la superficie de una habitación rectangular que dibujada en un plano a escala 1: 200 tiene de medidas 2 y 5 cm de ancho y largo, respectivamente. No se necesita calcular las medidas reales de la habitación.



28.- En un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto miden 30 y 24 m respectivamente. Hallar el área y el perímetro de dicho triángulo. Para un nuevo triángulo rectángulo, semejante al anterior, obtener su perímetro y su área sabiendo que las medidas de sus lados son tres veces mayor que las correspondientes a sus lados homólogos, en el primer triángulo. No es necesario calcular las medidas de los lados del nuevo triángulo rectángulo. 29.- Calcular x, y, z, sabiendo que las figuras A y B son semejantes

EF

G

H H'

D'

E'

G'

F'

AB

C C'D

5m

6m

9m

3m

5m

6m

6m

x

yz

30.- Los ángulos de un pentágono son proporcionales a los números 7, 8, 9, 10 y 11. Hallarlos. (Recuerda: ladosdenúmeroalndonden =→−=Σ "")2.(180ˆ ) 31.- Descompón la figura dad en otras más elementales y obtén el área y perímetro

6cm

30 m24m



32.- Halla la superficie de círculo que resta de inscribir un hexágono y un cuadrado, según la figura

4cm

15m

33.- Hallar el área y el perímetro de las siguientes figuras

45º

10 cm

A

B

C

60º

A

B

C

8cm

30º

12cm AB

C

20 cm

60º 60º

16cm

45º

12cm

24 cm A

B C

D A

B C

D

34.- La razón de semejanza es 2/3. Calcula x, y, z.

36

48

y

90

x

y

60

54

35.- ¿Puede existir un triángulo de lados 2, 4 y 7 cm? ¿Y uno de lados 2, 4 y 5 cm?: En los casos afirmativos, dibújalo.



36.- En un triángulo de lados a = 10 cm, b = 11 cm y c = 14 cm. ¿Cuál de los tres ángulos es el mayor?, ¿Y el menor? 37.- Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5cm y 8 cm. Calcula su área aplicando la fórmula de Herón:

( ( )( )( ) )2

PA p p a p b p c siendo p semiperímetro= − − − → = =

38.- Calcula el área del triángulo del ejercicio nº 36. 39.-

Sea ABCDEF un hexágono que tiene todos sus ángulos de 120° y AB = 1, BC = 4, CD = 2 y EF = 3. Hallar las medidas de AF y ED.

40.- Dos figuras geométricas se llaman equivalente si tienen la misma área. Justifica si la siguiente afirmación es cierta o no: “El círculo es equivalente a un triángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia y cuya altura es igual al radio de la misma”

rr

L

A

B C



41.- El siguiente problema fue hallado en el capítulo IX del libro chino: "Chu Chang Suan Shu" o "Arte Matemático en Nueve Secciones" Crece en medio de una laguna circular de 3m (300cm) de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm del agua cuando se inclina hasta que lo cubre de agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué profundidad tiene el agua?

42.- El área de dos polígonos semejantes son 144 cm2 y 441 cm2. Sabiendo que el perímetro es 48 cm, calcular el del segundo. 43.- Un sector circular tienen 8cm2 de área y el ángulo central correspondiente mide 40º. Calcula el área del círculo a que pertenece el sector y la longitud del arco que le sirve de base. 44.- Junto a la torre del Oro, la ciudad ha levantado una estatua en homenaje al compositor W. A. Mozart que, conjuntamente con su pedestal, mide 2’10 m y que a las 10 de la mañana tiene una sombra de 1’20 m. A la misma hora hemos realizado la medición de las sombras que tienen todas las torres obteniendo los resultados de la tabla: Torre de... Oro Schlinder San Marcos Perdigones Don Fadrique Sombra ( m ) 24 52 12’6 17 19 45.- En un triángulo isósceles de 6 m de base se traza la altura correspondiente a uno de los lados iguales, y su longitud es 4’8 m. Hallar el área del triángulo. 46.- En un triángulo rectángulo un ángulo mide 60º, y su hipotenusa 6 m. Calcúlese la longitud de los dos catetos. 47.- La razón entre los radios de dos círculos es igual a 2/3; la suma de las áreas de ellos es 367’38 m. Hallar sus áreas. 48.- Recortando en cada vértice de un triángulo equilatero de 9 cm de lado, un cierto triángulo equilatero, se obtiene un hexágono regular. Calcular la superficie del hexágono. 49.-En un trapecio rectángulo ,ABCD, los ángulos A y D miden 90º y el ángulo B = 45º.La diagonal AC ⊥ CB y mide 8 cm. Calcular la superficie del trapecio. 50.- Desde un punto M de una circunferencia se traza la perpendicular a un diámetro, la cual divide a éste en dos segmentos que miden 9,6 y 5’4 cm. Calcula las longitudes de las cuerdas que unen el punto M con los extremos de dicho diámetro. 51.- En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa mide 4 cm, el ángulo B =30º . Calcular el área del triángulo.



52.- Halla la distancia que hay desde un vértice a la diagonal opuesta de un rectángulo cuyos lados miden 192 y 144 cm, respectivamente. 53.- En el triángulo rectángulo ABC, de catetos 5 y 12, dibujamos dos arcos, uno con centro C y radio 12 y otro con centro B y radio 5, que cortan a la hipotenusa en los puntos M y N. Calcula la longitud de MN

54.- En un juego de ordenador, el” monstruo ” es el sector sombreado de un círculo de radio 1, como se muestra en la figura. La parte no sombreada (la boca) tiene un ángulo central de 60º. ¿Cuál es el perímetro del monstruo?

55.- El lado AB de un triángulo equilátero ABC es un diámetro de una circunferencia de radio 1. Los punto E y G son las intersecciones de la circunferencia con los lados AC y BC respectivamente. Calcula la longitud del segmento BE.

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