Ing. Rimachi Fernndez ManuelLa HiprbolaMatemtica Bsica ILA HIPERBOLAUna forma de generar la cnica es tomar 2 puntos del espacio que sern estticos y los llamamos Focos y luego tomar un punto aleatorio del espacio como Q;si se cumple con la condicin:La distancia de este punto a un Foco menos la distancia de este mismo punto al otro Foco en valor absoluto es considerado como una constante; cualquier otro punto que cumpla con esta condicin y sea igual a la constante, es un punto de la Hiprbola.

En funcin de los focos, todos los puntos que cumplan con la condicin se aceptan el resto se rechaza.Q

F2F1

F1Por la definicin, como el lugar geomtrico generado por su excentricidad en cuanto la distancia de un punto a un foco entre la distancia de este punto a la recta directriz es una constante de valor mayor a 1.

QPor la definicin todos los puntos que cumplan con el valor de la excentricidad son considerados para el trazo de la Hiprbola.

F2

Q

Rectas directrices (L)Los puntos encontrados por cualquiera de las formas se presentan como dos curvas que no guardan relacin entre sus puntos, pero existe una caracterstica que permite apreciar una relacin entre estos puntos.Al trazar una circunferencia con centro en el punto medio del segmento que une los focos (eje Focal) y que pasa por estos focos, luego se inscribe un cuadrado en la circunferencia.

F1F2V2V1

La intercepcin de los lados del cuadrado con el segmento que une los focos son puntos conocidos como los Vrtices de la Hiprbola, luego al trazar las diagonales del cuadrado estos pasan por el centro de la Hiprbola, finalmente todos los puntos que se van formando tienen una caracterstica, caen dentro de la concavidad entre las rectas.Las diagonales del cuadrado se llaman asntotas de la Hiprbola y marcan los lmites de la abertura de la concavidad.La Hiprbola as formada cumple con las caractersticas de la excentricidad

AsntotaLa Hiprbola formada tiene puntos caractersticos que no necesitan buscar la circunferencia ni el cuadrado para poder graficarlo

Asntotabca(h,k)

Ecuacin GeneralV1V2F1F2

y

x

AsntotaAsntotaF1

b

Ecuacin GeneralacV1

(h,k)

yV2

xF2

La Ecuacin le ayudar mostrando el centro (h,k), las distancias a y b; as como hacia adonde se encuentra el eje focal que indicar la abertura de la Hiprbola.Luego Ud. Calcular la distancia c y las ecuaciones de las asntotas que le indicarn cual es la abertura de la concavidad.RECONOCER UNA HIPRBOLA Nuevamente debe saber que cuando en la ecuacin se encuentran las 2 variables al cuadrado es posible que sea una circunferencia, pero s; son de diferente signo, ya no puede ser una circunferencia, este es el indicador que se trata de una Hiprbola.Ejemplo: reconozca que cnica representa la ecuacin:a.- b.- c.- d.- e.- f.- Solucin:1.- Observe siempre en toda ecuacin quien tiene las variables al cuadrado?En este caso a, b, c , d y e ; por lo tanto f es una recta.2.- De las que quedan quien tiene solo una variable al cuadrado?Solamente e, por lo tanto es una Parbola.3.- Se supone que estn quedando todas las que tienen las 2 variables al cuadrado; de estas quien tiene las 2 variables del mismo signo?Solamente a, c y d luego de estas Quin tiene los mismos coeficientes?Solamente c y d; estas podran ser Circunferencias.La nica que quedo de todas fue a, por lo cual esta podra ser una Elipse.4.- Finalmente en el punto (3) cuando eligi solamente quienes tenan el mismo signo, quedo b como la nica que tiene los signos diferentes, esta es una Hiprbola.Trabajemos la hiprbola Agrupando:

Tenga cuidado con los signos!;

Finalmente: recuerde como opera una fraccin

La hiprbola:

En este caso, la letra a se refiere a la parte positiva, por lo tanto a2 = 3 y b2 = 1, en cuanto al valor de c se cumple que a2 + b2 = c2. Por lo tanto c2 = 4.Como la parte positiva se refiere al eje x, el eje focal es paralelo al eje x

Y

C=(h,k)=(2,1)a = ; b =1 ; c=2V1= (2 ; V1= (2 F!= (0,1) ; F2 = (4,1)Rectas Asntotas;(2,1)+(,1) ; (2,1)+(,1

b

F1F2V2V1

X

Ejercicio: Identifique la hiprbola y halle su grafico y todos sus puntos caractersticos as como las asntotas.a.- b.- c.- 4x-2y+9=0 d.- e.- f.- Intente Ud. Solo y trate de reconocer todas las cnicas como ejercicio, luego tambin grafique todas y encuentre todos sus puntos caractersticos.SolucinPor las caractersticas identifique siempre observando que ecuacin tiene ambas variables al cuadrado, luego fjese en los signos de estas variables y luego en los coeficientes si son iguales o diferentes.Para este caso la hiprbola es d.Agrupando:

Tenga cuidado con los signos; 4

Finalmente: recuerde como opera una fraccin

La hiprbola:

En este caso, la letra a se refiere a la parte positiva, por lo tanto a2 = 5 y b2 = 4, en cuanto al valor de c se cumple que a2 + b2 = c2. Por lo tanto c2 = 9.Como la parte positiva se refiere al eje y, el eje focal es paralelo al eje yNuevamente tenga cuidado al momento de indicar el centro; recuerde que h se encuentre en x y k se encuentra en y, Y

a = ; b =1 ; c=2

AsntotaAsntota

C=(h,k)=(2,1)F1

V1= (2 V1bQ2Q1

F1= (2,3) V2= (2 Punto que permite junto al centro de la hiprbola formar la ecuacin vectorial de la asntotaX

F2= (2,-1) (h,k)

V2Q2 = (1 Q1 = (3

F2

Asntotas, tomando V1 ; (2,1)+(,0) ; (2,1)+(

yAhora como toda cnica el centro (h,k) puede ser el centro de coordenadas (0,0); luego las ecuaciones generales se modifican:

x

y

x

Se llaman ecuaciones cannicas.Tenga en cuenta:1.- Cada vez que en algn problema se refiera a alguna cnica y mencione la palabra cannica significa que el centro de dicha figura es el centro de coordenadas (0,0). El centro de la circunferencia, el vrtice de la parbola, el centro de la Elipse, el centro de la hiprbola.2.- La excentricidad es el punto ms importante de cualquier cnica es este valor por el cual se le reconoce como tal.Si e= 1 entonces es una Parbola.Si e > 1; siempre es una Hiprbola no importa si esta sea e= 4, e=6 e = 1.003Si e