Una perpendicular a una recta se puede trazar de tal modo que pase por un punto contenido en la recta o también desde un punto exterior a la recta dada.Según sea el caso, es fundamental entender el concepto de MEDIATRIZ, la mediatriz m de un segmento es una recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio. En el caso de un arco de circunferencia, esta recta, pasa por su punto medio y por el centro del arco.

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LÁMINA A-3: FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS Y ARCOS TANGENTES

1. OBJETIVO.

Enseñar a los alumnos la enseñanza teórico práctico del Dibujo Geométrico que les permita ampliar sus conocimientos para la “solución euclidiana” utilizando solo regla y compás de ejercicios geométricos.

Consolidar en el estudiante su destreza en el uso de la regla y compás para poder ejecutar o interpretar un dibujo técnico cualquiera.

2. INTRODUCCION

2.1 SOLUCION EUCLIDIANA:

Es la solución geométrica de un problema con el uso exclusivo de la regla y el compás, un problema es denominado "euclidiano" cuando solamente se puede resolver con la regla y el compás idealizados.La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones geométricas, la regla idealizada se supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y con un solo borde; el compás idealizado se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Cualquier punto que sea construible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás; lo que evidentemente no se puede hacer es trazar el segmento de recta entre dos puntos previamente construidos. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de "sólo compás". La regla y el compás de las construcciones geométricas en la Geometría Clásica, son idealizaciones de las reglas y compases del mundo real. Son en realidad conceptos matemáticos abstractos, como pueda serlo la raíz cuadrada, y no instrumentos físicos.Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de crear con regla y compás. Algunas construcciones geométricas elementales para su ejecución requieren un poco más que la regla y el compás clásicos, al menos para la traslación de distancias se puede utilizar el compás físico antes que una regla graduada, sin embargo a medida que vayamos familiarizándonos con las construcciones geométricas, y mientras mas complejos sean los problemas, se llegará a utilizar también una regla física con graduaciones, por lo que nuestra solución euclidiana en particular consistirá en el uso de una regla y compás modernos.

2.2 CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS SIMPLES:

2.2.1 RECTAS PERPENDICULARES:Dos rectas p y q son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos iguales, que se llaman ángulos rectos.

Todo punto P perteneciente a la mediatriz (m) equidista de los extremos A y B del segmento: PA=PB, lo que indica que el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos A y B es la recta m, mediatriz del segmento AB definido por tales puntos.

Para hallar la mediatriz de un segmento AB, dibujamos dos puntos P y Q que equidisten de los extremos A y B del segmento. Para ello trazamos dos arcos con igual radio y centros en A y B. Su intersección son los puntos P y Q. La mediatriz m es la recta PQ.

Otra forma sería considerando un punto arbitrario Q (fuera de la recta) y, con centro en él, trazamos una circunferencia de radio QP que corta a la recta en otro punto, M. La recta MQ corta a la circunferencia en el punto N. La recta perpendicular p buscada es la definida por P y N, ya que el ángulo MPN es recto porque abarca un arco de 180º.

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Si queremos trazar una perpendicular p a una recta r por un punto P (en cualquier posición) perteneciente a r, trazamos una circunferencia de centro en P y radio arbitrario, que corta a la recta en los puntos M y N, la recta p es la mediatriz de MN.

Ahora para trazar una perpendicular p que pase por el extremo de un segmento PS, trazamos un arco de radio arbitrario con centro en P. Este arco corta a la recta en el punto 1. Con centro en 1 y con el mismo radio obtenemos el punto 2 sobre el arco anterior y con centro en 2, siempre con el mismo radio, obtenemos 3 sobre el mismo arco. Con centro en 3 y con el mismo radio obtenemos el punto Q. PQ es la recta perpendicular buscada.

Ahora bien, para determinar el punto medio de un arco de circunferencia, limitado por el segmento AB, hallamos su mediatriz que intercepta al arco en su punto medio y además pasará por su centro de generación.

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Hasta el momento hemos visto el trazo de una perpendicular por un punto contenido en la recta, pero si el punto es exterior a la recta dada, como es el caso del punto P exterior a la recta s, se traza un arco de radio arbitrario y centro en P que corte a la recta r en dos puntos M y N. La mediatriz de MN es la recta p buscada.

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2.2.2 RECTAS PARALELAS:Los problemas al respecto se refieren al trazo de una recta paralela a una recta dada desde un punto exterior, por ejemplo si tenemos como dato un punto P distante de una recta que contiene los puntos A y B, para trazar una paralela que pase por P, se puede hacer “euclidianamente” de diferentes formas, la forma mas conocida es la siguiente: Desde P y con un radio suficiente se traza el arco BE, desde B y con el mismo radio se traza el arco AP, con el compas se toma la distancia AP que se lleva desde B hasta E. La recta EP será la paralela pedida (Figura 1). Otra forma es haciendo centro en un punto cualquiera O de la recta dada, se traza una semicircunferencia que pase por P dando los puntos A y B, se lleva con el compás la distancia BP desde A hasta Q, la recta QP será la paralela solicitada (Figura 2).

Figura 1 Figura 2

Se puede presentar el caso del trazo de una recta paralela a cierta distancia L de una recta dada, para ese caso lo primero que se tiene que trazar es un arco de radio L con centro en uno de los extremos de la recta dada, luego a partir de ese extremo se construye una recta perpendicular, que al interceptar al arco trazado determinará el punto exterior por donde pasará la recta paralela buscada, ésta recta se construye de acuerdo a lo ya estudiado en la figura 1 o 2.

2.2.3 BISCETRIZ DE UN ANGULO:

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La Bisectriz es una recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales, la forma más sencilla para su construcción es trazando, desde el vértice del ángulo dado, un arco de radio arbitrario que intercepta a los lados del ángulo en dos puntos, desde los cuales con un mismo radio se trazan arcos que al interceptarse determinan un punto por donde pasará la bisectriz trazada desde el vértice del ángulo dado.

3. PROCEDIMIENTO PARA EL DESARROLLO DE LA LAMINA:

1) BISECCIÓN DE UN ANGULO DE VÉRTICE INACCESIBLE.

DATOS: Dado las rectas L1 y L2, (Concurrentes en un vértice inaccesible).

PROCEDIMIENTO:a. Se traza una recta cualquiera que corte a las rectas dadas L1 y L2, obteniendo los puntos

M y N.b. Haciendo centro en M y N con radio cualquiera, se trazan dos semicircunferencias y se

obtienen los puntos A, R, B, y C, S, D respectivamente.c. Se bisecan los ángulos AMR, BMR, CSN y SND, dichas bisectrices se cortan

obteniendo los puntos P y Q.d. La recta que pasa por los puntos P y Q es bisectriz del ángulo, formado por las rectas

dadas.

2) DESDE UN PUNTO EXTERIOR TRAZAR UNA PERPENDICULAR Y PARALELA A UNA RECTA DADA.

DATOS: Dada la recta AB y el punto exterior P

PROCEDIMIENTO:a. Por el punto P se traza una recta inclinada que corte a la recta AB, obteniéndose C.b. Se determina O, punto medio de PC.c. Con centro en O y radio OP = OC se traza un arco, que corta a AB, y se obtiene R.d. La recta que pasa por P y R es perpendicular a AB.e. Con radio PC, se traza un arco por encima de AB.f. Desde C se traza un arco del mismo radio que corta a AB en D.g. Desde D y con radio PC se traza un arco que corta al arco que pasa por C en el punto E.h. La recta que une P con E es la paralela a AB, luego la recta PC es paralela a ED.

3) DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE TRES PUNTOS.

DATOS: Dados los tres puntos A, B y C.

PROCEDIMIENTO:

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a. Se unen mediante rectas los puntos A, B y C.b. Se trazan las mediatrices de las rectas (AB y BC), las que se intersectan entre sí

obteniendo el punto O (centro de la circunferencia a trazar).c. Haciendo centro en O y radio OA = OB = OC se traza la circunferencia.

NOTA: Para determinar el centro de una circunferencia ya trazada, se toman tres puntos de la misma y se efectúa el procedimiento descrito anteriormente.

4) RECTAS TANGENTES DESDE UN PUNTO EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA

DATOS: Dada la circunferencia de centro O y el punto P.

PROCEDIMIENTO:a) Se unen mediante una recta los puntos P y O.b) Con la mediatriz se determina el punto medio (A) de la recta PO.c) Haciendo centro en A y radio igual a AP = AO se traza un arco que corta a la

circunferencia en los puntos de tangencia T1 y T2. d) Uniendo p con T1 y T2 se habrán obtenido las rectas tangentes.

NOTA: Al unir los puntos T y O mediante una recta, ésta forma con la recta tangente un ángulo recto (90°).

5) CONSTRUCCIÓN DE UN PERFIL DE GOLA, A PARTIR DE DOS RECTAS NO PARALELAS Y LOS ARCOS DE RADIOS DIFERENTES.

DATOS: Dadas las rectas AB, CD y el radio R de uno de los arcos por trazar.

PROCEDIMIENTO:a) Considerando A y D puntos de tangencia.b) Por A y D se trazan perpendiculares a las rectas dadas.c) A partir de uno de los puntos de tangencia (A) y sobre la perpendicular se toma una

distancia igual a R obteniendo O1.d) A partir de D y sobre la perpendicular se toma una distancia igual a R obteniendo E.e) La mediatriz de O1E corta a la perpendicular trazada por D, obteniendo el punto O2.f) Con centro en O1 y radio R se traza un arco hasta cortar la recta O1O2 obteniendo el

punto de tangencia T.g) Con centro en O2 y radio O2D (radio R1) se traza el otro arco tangente, determinando

los arcos tangentes de curvatura invertida. (PERFIL DE GOLA).

6) TRAZAR UN ARCO TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES. DATOS: Dadas las circunferencias de centro A y B y radios R1 y R2 respectivamente y el radio R del arco por trazar.

PROCEDIMIENTO:a) Haciendo centro en A y radio = R + R1, se traza un arco.b) Haciendo centro en B y radio = R + R2 se traza otro arco, que corta al arco trazado y se

obtiene el punto O.c) Se une el punto O con los centros A y B determinando los puntos de tangencia T1 y T2. d) Haciendo centro en O y radio R se traza el arco tangente a las dos circunferencias que

resultan exteriores.

7) TRAZAR UN ARCO TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.

DATOS: Dadas las circunferencias de centro A y B y radios R1 y R2 respectivamente y el radio R del arco por trazar.

PROCEDIMIENTO:a) Haciendo centro en A y radio R - R1 (R3 = R - R1) se traza un arco.

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b) Haciendo centro en B y radio R - R2 (R4 = R – R2) se traza otro arco, que corta al arco trazado en el punto O.

c) Se une el punto O con los centros A y B, y prolongando se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2.

d) Haciendo centro en O y radio R se traza el arco tangente a las dos circunferencias que resultan interiores.

8) TRAZAR UN ARCO TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS: UNA EXTERIOR Y LA OTRA INTERIOR.

DATOS: Dadas las circunferencias de centro A y B y radios R1 y R2 respectivamente y el radio R del arco por trazar.

PROCEDIMIENTO:a) Haciendo centro en A y radio R - R1 (R3 = R - R1) se traza un arco.b) Haciendo centro en B y radio R + R2 (R4 = R + R2) se traza otro arco, que corta al arco

trazado en el punto O.c) Se unen los puntos O y A prolongando se obtiene el punto de tangencia T1, luego se

unen los puntos O y B, obteniendo el punto de tangencia T2. d) Con radio igual a R y haciendo centro en O se traza el arco tangente a las dos

circunferencias resultando una interior y la otra exterior.

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