A1- Cálculo de la Viga Postensada 30 m: Pretensado ... · PDF filela Viga Principal que...

ANEXO1 130

A1- Cálculo de la Viga Postensada 30 m: Pretensado limitadoPara las combinaciones frecuentes de acciones, es respetado

1- Predimensionamiento de la altura de la Viga: el estado limite de formación de fisuras (NBR 7197/89)

H = ( L / 18 )L = longitud de la viga.hp = altura predimensionado de la viga.

L (m) hp (m) hpadop (m)30,00 1,67 1,60

hpadop = 1,60Eficiencia de la sección (Pfeil)

Eficiencia de la sección 0,13Varía de 0 a 0.25 siendo optimo 0.13

bw = 0,204 mbi = 0,712 m

Área del Concreto ( Ac ):

Ac = 0,6553 m2

Momento de Inercia del Concreto ( Ic ):

Ic = 0,2173 m4

Módulo de Resistencia del Concreto ( W ):

Ic/y1 = W1 = 0,268 m3 y1= 0,81 mIc/y2 = W2 = 0,276 m3 y2= 0,79 m

long. bloques en la extremidad de la viga 1,2 m

2- Viga Transversal (25 x 119 cm.):ht = 1,19 m

Área del Concreto ( At ):

At = 0,30 m2

Momento de Inercia del Concreto en viga transversal ( It ):

It = 0,035 m4

3- Análisis de Cargas: 1 t ≈ 10 KN

3.1- Cálculo de Carga de Peso propio ( g1 ):

Peso Propio de la Viga Pretensada ( g1 ):

gH° (t/m3) Ac (m2) g1 (t/m)2,5 0,6553 1,64

g1 = 1,64 t/m

==²hA

I

c

ρ

Area = 0.6553 m²Inercia = 0.2173 m4

=≥ adoph43

Ing. Hermann Pankow VIGA30

ANEXO1 131

3.2- Cálculo de Cargas Permanentes ( g ):

Losa = 0.19 m x 2.5 t/m³ = 0.48 t/mAsfalto = 0.06 m x 2.45 t/m³ = 0.147 t/mGuarda rueda = 0.30 m² x 2.5 t/m³ = 0.75 t/mCarga de pasamano = 0.16 t/mCarga Horizontal en pasamano = 0.08 t/m

En el programa Amses 2d al lado izquierdo (simétrico) del puente

Reacciones en KN en Viga 1 y 2

Reacción ( gr ), en la viga externa:

gr = 1,54 t/m

Carga Total Permanente sobre la viga ( g ):

g1 (t/m) gr (t/m) g (t/m)1,638 1,540 3,178

g = 3,18 t/m

3.2.1- Esquema para la Carga permanente en la Viga Principal:

g = 3,18 t/m

L = 30,00

GR= 0.75 Tn/m

CARGA PERMANENTE LONGITUDINALMENTE EN TODO EL PUENTE

Losa = 0.48 Tn/m

Asfalto = 0.147 Tn/mGR= 0.75 Tn/m

GC = 0.16TnGC = 0.16Tn

0.08 Tn/m 0.08 Tn/m

1 261 27

7.5 kN/m

1.6 kN

6.27 kN/m7.5 kN/m-0.8

kN

0.96 kNmAll l d

0.001

-0.0001054

-0.0002781

-0.0001079

Fz:-15.36

-7.19E-5

Fz:-14.95


ANEXO1 132

3.3- Cálculo de la Carga de Tráfico:

3.3.1- Cálculo del Coeficiente de Impacto ( ffff ):

Según la Norma Brasilera, NBR 7187 (1987), la consideración del Impacto Vertical se debe tener en cuenta dela siguiente manera:La Carga Móvil debe ser multiplicada por el Coeficiente de Impacto ( f ).

Para Puentes Carreteros la NBR 7187, calcula el Coeficiente de impacto de la siguiente manera;

f = 1,4 - 0,007xL

f debe ser mayor o igual a 1,00L = Longitud de la Viga Principal

L (m) f 30,00 1,19

f = 1,19

3.3.2- Carga Móvil de Tráfico ( Tren de Cargas ):

El Tren de Cargas a ser adoptado es el de la Norma Brasilera NBR 7188, Clase 45 ( de 45 toneladas - 3 ejes de 15 toneladas cada uno ) que se detalla a continuación:

PesVeh. p(t/m²) p'(t/m²) CargxRueda45 0,5 0,3 7,5

Carga por Rueda = Peso Vehículo / 6 = 7.5 t.

3.3.3 - Conclusión:

De los diferentes Tren - Tipos hallados para cada una de las Vigas Longitudinales Principales, en diferentesposiciones transversales de la carga móvil, llegamos a la conclusión que las vigas más solicitadas son las laterales o de borde, es decir las Vigas 1 y 4.Luego, para estas vigas se debe hallar la posición más desfavorable longitudinalmente haciendo pasar sobreellas el Tren de Carga Tipo calculado transversalmente, hallando de esta manera el Máximo Momento parala Viga Principal que para vigas simplemente apoyadas está en el medio del vano.

4 - Cálculo de los Momentos para la Viga Principal:

4.1 - Cálculo de los Momentos debido al Peso Propio de la Viga:

El Momento Máximo debido al Peso Propio se encuentra en el punto medio de la viga y su valor se calculapor la siguiente fórmula; Mg1 = g1 x L² / 8

L(m) g1(t.m) Mg1(t.m)30,00 1,6383 184,30

Mg1 = 184,30 t.m


ANEXO1 133

4.2 - Cálculo de los Momentos debido a la Carga Permanente para la Viga Principal

El Momento Máximo para la Carga Permanente se encuentra en el punto medio de la viga, es decir parax = L/2 = 15 metros y su valor es; Mg = g x L² / 8+Mgtraviesa

Mg traviesa = Momento producido por el peso propio de la traviesa peso gtrav = 0,30m² x 2,5 t/m³ = 0,74 t/m

L(m) g(t/m) Mgtraviesa(t.m) Mg(t.m)30,00 3,1783 9,90 367,45

Mg = 367,45 t.m

4.3- Cálculo de los Momentos provocados por la Carga Móvil:

El Momento Máximo para la Carga de Tráfico se encuentra en el punto medio de la viga y su valor sacamos de Ram Advanse

M(q+Q) sin impacto = 245,50con impacto M(q+Q) = 292,15 t.m

4.4 - Cálculo del Momento debido a la Carga Permanente más la Carga Móvil de Tráfico:

Mg(t.m) M(q+Q) (t.m) Mtotal(t.m)367,45 292,15 659,60

Mtotal = 659,60 t.m

La alternancia máxima de tensiones se sitúa por debajo de la resistencia a fatiga con seguridad suficiente cuandoM (q+Q) < 0.67 Mg 0.67 Mg = 246,19

Debemos verificar a la fatiga


ANEXO1 134

4.5- Calculo del Momento Mayorado ( Md ):

La fórmula que permite calcular el Momento Mayorado es la siguiente:

Md = gg x Mg + gq x M(q+Q)

Según la C.E.B./ 78, los valores de los Coeficientes de Seguridad gg y gq son iguales a:

gg = 1,35

gq = 1,50

Luego el valor del Momento Mayorado ( Md ) será igual a:

gg gq Mg(t.m) M(q+Q) (t.m) Md(t.m)1,35 1,50 367,45 292,15 934,29

Md = 934,29 t.m

5 - Cálculo de la Fuerza de Pretensado necesario ( P∞ ):

5.1- Determinación de la Excentricidad de la Fuerza de Pretensado referida al C.G.C.:

ep = Excentricidad de la Fuerza de Pretensado referida al Centro de Gravedad del Concreto.

y1(m) d'(m) ep(m)0,81 0,10 0,71

ep = 0,71 m5.2 -Grado de pretensado (k)

Se considera económico un valor de k = 0.5 (Leonhardt)Tomamos 0,6

donde:

P∞ = 353,33 tMDo: momento de descompresión debido a P∞MDo: 395,76 t m

5.3 - Cálculo de la Fuerza de Pretensado requerido durante la Transferencia ( Po ):

5.3.1 - Pérdida debido al Pretensado:

Consideramos una pérdida de Pretensado del 25%.

5.3.2 - Cálculo de Po:

Considerando la pérdida de Pretensado del 25%, la fuerza de Pretensado durante la Transferencia esta dada por la siguiente expresión:

Po = ( P∞ / 0,75 )

P∞(t) Po(t)353,33 471,11

Po tentativo = 471,11 t

==TotalMMDk =

+∞

TotalM

epAcWP )1(

60.060.659

)71.0655.02678.0(

=+∞P


ANEXO1 135

5.4 - Cálculo de los Cables del Pretensado:

5.4.1 - Resistencia del cabo:De la NBR

fptk = 19.000 kg/cm²spmax = 0.82 fptk = 15.580 kg/cm² tensión admisible antes del anclaje

De la Tabla N° 3 ( Tensiones Admisibles en Aceros de Pretensado ), que se encuentra en la página 233de la bibliografía "Concreto Protendido 3, Dimensionamiento a la Flexión" por Walter Pfeil, obtenemospara cabos del tipo CP-190-RB la Tensión Inicial Admisible Instalada;

fp = spo = 0.75 fptk = 14.250 kg/cm² tensión admisible al inicio del pretensadosp∞ = 0.66 fptk = 12.540 kg/cm² tensión admisible después de las perdidas

Probaremos con Armaduras de Pretensado formadas por 36 cabos de F ½" cada uno compuesto de 7 alambres,del tipo CP-190-RBDe la Tabla N° 3.5 del W. Pfeil "Concreto Protendido" pág 366, obtenemos para CP-190-RB el área de cada cabo:

Ap(cm²) nº de cabos Pmax(t) p/1 cabo Poinst.(t) p/1 cabo P∞(t) p/1cabo0,99 33,39 15,42 14,11 12,41

N° vainas N° Cabos/vaina3,00 12,00

Luego, para nuestro Predimensionamiento, probamos con 3 vainas de 12 cabos, el cual nos proporciona una Fuerzade Pretensado inicial igual a (3 x 14.11 x 12 = 507,87 t )

Po = 507,87 t5.4.2 - Cálculo de la posición posible de los cabos

La envolvente muestra la ubicación posible de los cabos para que; amin (no se produzca tensiones de tracción arriba de la viga) y amáx (nose produzca tensiones de tracción abajo de la misma), NAWY (2003)ks y ki son las distancias superiores e inferiores respectivamente, de la línea baricéntrica al borde del núcleo central

epmax = amin + kiepmin = amx - ks

d' = y1 - epmax

ks (m) ki (m) Mg1(t.m) Mtotal(t.m) Po (Ton) P∞ (Ton) fctj (t/m²)0,41 0,42 184,30 659,60 507,870 380,9 170,70

amin (m) amax (m) epmáx (m) epmin (m) y1 (m)0,36 1,73 0,78 1,32 0,81

En este caso se utilizó d' = 0,10 m, para permitir la ubicación de las armaduras pasivas con un recubrimiento de por lo menos 5 cmEn el extremo la posición del cable inferior debe estar como mínimo 0,39 m del borde inferiorEn el extremo la posición del cable superior debe estar máximo a 1,22 m del borde inferiorEn el extremoSe permite una variación de la posición inferior hasta menos,∆i = 0,16 m ∆i = fctj.Ac.ki / PoSe permite una variación de la posición superior hasta más,∆s = 0,20 m ∆s = fctj.Ac.ks / P∞fctj es la resistencia a la tracción del hormigón y sacamos de la sección 5.6

5.4.3 - Cálculo de la Sección de Acero al limite ( Ap ):

Ap total = ( Po / σpo ) cm²

Ap total = 35,64 cm² no puede ser menor a esta área

5.4.4 - Tipos de cabos adoptados:

Basándonos en la Norma Brasilera, NBR 7483(1991), utilizaremos cabos de Acero del tipo CP-190-RB de F½'' (12,7 mm, Acerode Relajación Baja).

d' debe ser > en (m)0,028

1yAcIk c

s ×=

2yAcIk c

i ×=

o

g

PM

a 1min =∞

=PM

a Tmax


ANEXO1 136

5.4.5 - Cálculo del Área de cada cable ( A ):

Ap(cm²) n A(cm²)0,99 12,00 11,88

A = 11,88 cm²5.4.6 - Número de cables requeridos ( N ):

N = (Ap/A)

Ap total(cm²) A(cm²) N35,64 11,88 3,000

N = 3 cablesAp total real 35,64 cm²

Otra fórmula para dimensionamiento según Nawy (2003)

38,15 cm² hv = altura total de la viga con la losa

5.4.7 - Cables de Pretensado:

Adoptamos, 3 cables de 12 cabos de 12,7mm., de diámetro cada uno del tipo CP-190-RB.compuestos a su vez de 7 alambres

5.4.8 - Área de vaina

para vainas,su diámetro no debe ser menor a 2.5 del área de cabos 6,15 cm. W. PfeilÁrea de cabos/área de vaina entre 0.37 y 0.4 6,15 cm. Leonhardt

Tomamos 6.7 cm. 67 mm

5.5 - Cálculo de las Tensiones Normales iniciales en el hormigón durante el pretensado

En la etapa de Pretensado, sólo actúa el Peso Propio de la Viga ( g1 ), y con esta consideración deestado de carga se procede a la obtención de las Tensiones de borde:

Propiedades de la sección liquida de la viga

A' = 0,645 m²I' = 0,212 m4

ys = 0,773 myi = 0,827 m

ep' = 0,73 m

5.5.1 - Ubicación de la línea neutra con relación al C.G.

yLN 0,90 mEs decir se encuentra fuera de la sección por lo tanto las tensiones serán todas de compresión

''

''0 1

IyepP

APy

IM LNoo

LNg ××+−×−=

=××

=vptk

dp hf

MA72.0


ANEXO1 137

5.5.2 - Hallamos las tensiones en los bordes

ys = 0,773 myi = -0,827 m

ep'(m) A'(m2) I'(m4) Po(t) Mg1(t.m)0,73 0,645 0,212 507,87 184,3031

tensión superior en ys Compresión scs = -704,60 t/m²

tensión inferior Compresión sci = -1509,12 t/m²

5.6 - Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante el Pretensado ( sssscadm.):

Las Tensiones del Hormigón Pretensado adoptadas para el proyecto son:

fck = 300 kg/cm²

fckj = 232 kg/cm²

fck = Resistencia característica del Hormigón a la Compresión a los 28 días de edad.

fckj = Resistencia característica del Hormigón a la Compresión en la época de Pretensado según ACI a 9 días

Según la Norma Brasilera NB116 (1962), la Tensión Admisible del Hormigón durante el Pretensado es:

scoAdm. = 0,66 x fckj ( Compresión )

scoAdm. = -152,96 kg/cm²

Según NBR 7187/1987 stoAdm. = ( Tracción )

stoAdm. = 17,07 kg/cm²El postensado se podrá efectuar al adquirir el Hº la resistencia de : 77 %

5.6.1 - Verificación de las Tensiones normales iniciales con la Admisible:

5.6.1.1- Para la Compresión:

tensión inferior sci = -150,91 kg/cm²

scoAdm. = -152,96 kg/cm²

scoAdm. > sci ( Verifica )

5.6.1.2- Para la Tracción:

tensión superior scs = -70,46 kg/cm² compresión

stoAdm. = 17,07 kg/cm²

stoAdm. > scs ( Verifica )

)485.0(dias

ckck j

j

ff+

=

)(21.0 3/2 MPaff ckjctkj =

''

''1

IyepP

APy

IM soo

sg

s××+−×−=σ

''

''1

IyepP

APy

IM ioo

ig

i××+−×−=σ


ANEXO1 138 5.6.11- Cálculo de las Tensiones normales, antes de la Pérdidas Retardadas de Pretensado:

Ancho efectivo de la viga externa, considerando la losa

bw = ancho del alma

Según DIN 1075 b1+b2 1,77 m(b1+b2)/L 0,06b 0,98 cuadro 3.6.1 Walter Pfeil (Concreto Protendido 3)

bw+b(b1+b2) = be = 1,94 mbe debe ser < a 2.45 (sep de vigas)

be adoptado 1,94 m

como la losa tiene un fck diferente a la vigafck = 240 kg/cm²

Según la NBR 6118:2000 fck está en MPa

fck está en MPa

Eclosa = 274.342,85 kg/cm² a 28 díasEcviga = 306.724,63 kg/cm² a 28 días

al = Eclosa/Ecviga al = 0,89

be real = be adoptado x Eclosa/Ecvigabe real = 1,74 m

Modulo de elasticidad de los cabosEp 1.950.000,00 kg/cm²

ap = Ep/Ecviga ap = 6,36Apt = 0.000099 x 12 x 3 Área eq. de hº = Apt . (ap-1) = 0,019 m²

ancho eq. Hº 0,191 m c/lado espesor 5 cm.En la etapa posterior al postensado, actúa la carga permanente ( g ), y con esta consideración deestado de carga se procede a la obtención de las Tensiones de borde:

Propiedades de la sección homogeneizada de la viga

A'' = 1,01 m²I'' = 0,4089 m4

ys'' = 0,702 myi'' = 1,09 m

ep'' = 0,99 md' = 0,10 mhf = 0,19 m

hv = 1,79 m

hv: altura total de la viga y losa

2/15600 fckEcviga ×=

2/15600 fckEclosa ×=


ANEXO1 139

Ubicación de la línea neutra con relación al C.G.

yLN 1,54 mEs decir se encuentra fuera del a sección por lo tanto las tensiones serán todas de compresión

Hallamos las tensiones en los bordes

ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m

ep''(m) A''(m2) I''(m4) Po(t) Mg(t.m)0,99 1,005 0,409 507,87 367,45

tensión superior en ys" Compresión al x scs' = -245,73 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scs2' = -337,15 t/m²

tensión inferior Compresión sci' = -862,75 t/m²

Como las Tensiones son de Compresión, entonces se verifica que para las Cargas Permanentes hay un pretensado Total

5.6.12- Cálculo de las Pérdidas de Pretensado:k coeficiente de fricción por serpenteo 0,0066 rad/m p/vainas mayores a 60 mm.m coeficiente de fricción en curva 0,3 (W. Pfeil, Concreto protendido)

Pedidas debidas al rozamiento en el gato hidráulico y los anclajes

p es la presión manométrica en el cilindro del gato de postensadoAcil es el área del cilindro del gato Po/3 es la fuerza aplicada a un cable de 12 cabosN es el numero de cables

Para el cable 1 (el postensado se hace en ambas extremidades de la viga para los 3 cables

a) Perdidas instantáneassi las perdidas por rozamiento y anclajes son grandes, se puede tomar Pmax envés de Po1-Perdidas por rozamiento a lo largo del cableformula para hallar a sacada del W. Pfeil Vol. 2 Pág.. 156 Px es la fuerza en uno de los cables en el medio de la viga

e = 2,718282ángulo de salida del cable con la horizontal a = 0,13286 radflecha de la parábola f = 0,93 m

Dx= 14 mlargo del cable en la parábola x 14,041 m

Px 158,21 Ton

DDDDPx 11,08 Ton

cil

o

ANPp×

= 05.1

)( kxox e

Npp +−×= αµ

''''''0

IyepP

APy

IM LNoo

LNg ××+−×−=

CABLE 1CABLE 2CABLE 3

X =

xf

∆≅

24α

xfxx

∆××+∆=

3²2

"""

""

"'

IyepP

AP

yIM ioo

ig

ci××

+−×−=σ

''""

""

"'

IyepP

AP

yIM soo

sg

cs××

+−×−=σ

xo

x PNP

p −=∆


ANEXO1 140

Alargamiento total del cabo durante el pretensadoLc = 2x+ 2m.

Pmed = 1/2(Po/3+Px) = 163,75 tLc = longitud total del cable 30,082 m

A = Área del cable 11,88 cm²Modulo de elasticidad 1.950.000,00 kg/cm²

21,26 cm.

2- Perdidas en los anclajesSe tienen 2 casos posibles según la perdida sea absorbida antes o después de la mitad del vano

Caso 1 La perdida es absorbida en un tramo parabólico antes de llegar a la mitad de la viga x<l/2A (cm²) Ep (t/cm²) N Po/N (t) Px (t) Dp (t/m)11,88 1.950 3,00 169,29 158,21 0,74

4 mm0,004 m

L 30,00 m

xr 11,20 mverifica, la perdida es absorbida antes de la mitad de la viga < 15 m.en el primer tramo de la parábola

DDDDPanc 16,54 tPanc 152,75 t

DDDDP1 0 t no llega la perdida al medio

Caso 2 Sería utilizado si la perdida es absorbida en un tramo parabólico después de llegar a la mitad de la viga x > 15 m.

xr2 x<L/2 m

otra formula

DDDDPanc x<L/2 tPanc x<L/2 t

DDDDP1 x<L/2 t

p

cmed

EALP

L××

=∆

=∆ L

δδ

anco

anc PNPP ∆−=

pEA

xrAExrP

AEadaareasombre p

p

anc

p ∆××

=⇒

×××∆

=×

=δ

δ2

L

PNP

px

o 2)( ×−=∆

xrpPanc ..2 ∆=∆

)2

(.21LpPP anc ∆−∆=∆

2..2 xrpPanc ∆=∆L

PNP

px

o 2)( ×−=∆

22

4)2(

4)( 1 Lp

LEA

PAE

LpLPAELPP

AEadaareasombre p

ancp

anc

p

anc

p

×∆+××

=∆⇒

×××∆−∆

=××

×∆+∆=

×=

δδ


ANEXO1 141

Tensiones Normales al nivel del Cabo:

d'(m) yi (m)-d'(m) yi" (m)-d'(m) sci (Ton/m²) sci' (Ton/m²)0,10 -0,73 -0,99 -1509,12 -862,75

Tensión al nivel del cabo debido al peso propio sc,(g1+po) = -1421,89 t/m²

Tensión al nivel del cabo debido a la carga total permane sc,(g+po) = -829,90 t/m²

3- Perdidas por el acortamiento elástico del hormigón

Como se hace el pretensado en dos operaciones para cada cable (12 cabos), tendremos 2 tensados por cable

Para el caso que se hiciese primeramente el cable 1n = 1 numero de cable considerado

Dsel 301,32 kg/cm² para el cable 1

sc,(g1+po) = es la tensión producida por la fuerza Po y el peso propio g1 en el nivel del cabo

b) Perdidas diferidas1- Perdidas de pretensado causadas por la retracción y la fluencia del Hº Debido a la retracción (Ver Walter Pfeil Concreto protendido 2)

Ep = 1.950.000,00 kg/cm²Ac'' = 1,005 Área de la sección homogénea (m²)l = 1,5 coeficiente que depende del medio ambiente (para 70 % de humedad relativa)u = 8,74 perímetro (m) en contacto con la atmósfera

ho = 34,50 espesor ficticio de la pieza en cm.p/ho = 34,50 cm. se tiene Del cuadro de la pág. 207, valores finales

de retracción, W. Pfeil (Concreto protendido)

0,0002656 retracción del Hº en el tiempo t, contado a partir del pretensado

Dsre 517,92 kg/cm²

Debido a la fluencia

deformación unitaria retardada provocada por la fluencia del Hº

deformación elástica del Hº

2,85 coeficiente de fluencia medio para ho = 34.50 Del cuadro de la pág. 216, valores medios decoeficiente de fluencia, W. Pfeil (Concreto protendido)

sc,(g+po) = tensión debida a la carga permanente g y el postensado en el nivel del cabo

Dsfl 1503,68 kg/cm²

Tensión Inicial en la Armadura de Pretensado ( sssspo ):

Según la NBR 2000 no > 14.250 kg/cm²spo 14.250 kg/cm² tensión inicial instalada

spo/fptk = 0,75

)1()(2)(

pogcpel NnN

+××−=∆ σασ

=csε

2" ××=uAcho λ

)( pogccel

ccpfl +××=∆ σ

εεασ

ccε

celε

=celcc

εε

=∞ϕ

5103283.0 −××=csε

csre Ep εσ ×=∆


ANEXO1 142

2- Perdidas debidas a la relajación relativa del acero de pretensado

Para acero de RB a 20ºC la perdida es 4,7 % de spo, para σpo/fptk=0,75so 14.250,00 kg/cm² tensión inicial luego del anclajeDsrel 669,75 kg/cm²

Perdidas totales (la perdida por anclaje no llega al centro de la viga)

ap σc,(g+po) (kg/cm²) km φ∞6,36 82,99 0,85 2,85

ksc = 1,13 coeficiente de interaccion entreretracción y fluencia

3.697,55 kg/cm² DP1 solo se usa si xr>l/2

10.552,45 kg/cm²

Para el cable 1 0,741 spo

Probamos con la formula simplificada excluyendo las perdidas por rozamiento y anclaje

5.6.12.3- Pérdida de Tensión en la Armadura de Pretensado ( DsT2DsT2DsT2DsT2 ):

Aplicando la Fórmula del Cuadro 3.11.2 del Walter Pfeil "Concreto Protendido 2, Procesos ConstructivosPérdidas de Pretensado" para el valor de ho entre 20 cm. y 40 cm., tenemos;

Dsp = 3 x sc,(g1+po) + 400 + 15 x sc,(g+po) + 4,5% x spo

sc,(g1+po) kg/cm² sc,(g+po) kgcm² spo kg/cm² Dsp 142,19 82,99 14250 2712,67

Incluyendo rozamiento y no anclaje Dsp = 2.712,67 kg/cm²


10.605,09 kg/cm²


5.6.12.4- Verificación de las Pérdidas de Pretensado con la Admisible:

spd = ( spo / 1,15 )

Con la formula 2 que dio menor perdida sp∞1 = (spo - DsT2)

spo DsT2 sp∞1 spd 14.250,00 3.644,91 10.605,09 12.391,30

sp∞1 = 10605,09 kg/cm²

spd = 12391,30 kg/cm²

La tensión admisible de calculo debe ser mayor spd > sp∞ 1 ( Verifica )

=∆+∆+∆+∆+∆

+∆=∆AP

AP

kx

relsc

flreelT

1σσσ

σσ

=∆+∆

+∆=∆AP

APx

pT1

2 σσ

=∞1pσ

=∞1pσ

=∞ 0pσ

=∞ 0pσ

⇒−=∆ ∞12 σσσ poT

⇒−=∆ ∞ 0σσσ poT

po

mPgpsc

kk o

σϕσα )1(

1 )( ∞+ ++=


ANEXO1 143

Para el cable 2a) Perdidas instantáneas1- Perdidas por rozamiento a lo largo del cable

Px es la fuerza en uno de los cables en el medio de la vigae = 2,718282

ángulo de salida del cable con la horizontal a = 0,08286 radflecha de la parábola f = 0,58 m


Px 160,61 TonDDDDPx 8,68 Ton


Pmed = 1/2(Po/N+Px) = 164,95 tLc = longitud total del cable 30,032 m


21,38 cm.2- Perdidas en los anclajes

Caso 1 La perdida es absorbida en un tramo parabólico antes de llegar a la mitad de la viga x<l/2A (cm²) Ep (kg/cm²) N Po/N (t) Px (t) Dp (t/m)11,88 1.950.000,00 3,00 169,29 160,61 0,58

4 mm0,004 m

L 30,00 m


DDDDPanc 14,64 tPanc 154,65 t

DDDDP1 0 t no llega la perdida al medio


xr2 x<L/2 m

otra formula

DDDDPanc x<L/2 tPanc x<L/2 t

DDDDP1 x<L/2 t

=∆ L

p

cmed

EALP

L××

=∆

)( kxox e

Npp +−×= αµ

xf

∆≅

24α

δδ

anco

anc PNPP ∆−=

xrpPanc ..2 ∆=∆

)2

(.21lpPP anc ∆−∆=∆

2..2 xrpPanc ∆=∆

xfxx

∆××+∆=

3²2

xo

x PNP

p −=∆

pEA

xrAExrP

AEadaareasombre p

p

anc

p ∆××

=⇒

×××∆

=×

=δ

δ2

22

4)2(

4)( 1 Lp

LEA

PAE

LpLPAELPP

AEadaareasombre p

ancp

anc

p

anc

p

×∆+××

=∆⇒

×××∆−∆

=××

×∆+∆=

×=

δδ

L

PNP

px

o 2)( ×−=∆

L

PNP

px

o 2)( ×−=∆


ANEXO1 144

Con la formula simplificada excluyendo las perdidas por rozamiento y anclaje


sc,(g1+po) kg/cm² sc,(g+po) kgcm² spo kg/cm² Dsp 142,19 82,99 14.250,00 2.712,67

Dsp = 2.712,67 kg/cm²Incluyendo rozamiento y no el anclaje


10.807,04 kg/cm²


5.6.13- Verificación de las Pérdidas de Pretensado con la Admisible:spd = ( spo / 1,15 )

Acá ya se uso nada mas que la formula simplificada sp∞2 = (spo - DsT2)

spo DsT2 sp∞2 spd 14.250,00 3.442,96 10.807,04 12.391,30

sp∞2 = 10807,04 kg/cm²

spd = 12391,30 kg/cm²

La tensión admisible de calculo debe ser mayor spd > sp∞ 2 ( Verifica )Para el cable 3a) Perdidas instantáneas1- Perdidas por rozamiento a lo largo del cable

Px es la fuerza en uno de los cables en el medio de la vigae = 2,718282

ángulo de salida del cable con la horizontal a = 0,03000 radflecha de la parábola f = 0,21 m


Px 163,19 tDDDDPx 6,10 t


Pmed = 1/2(Po/N+Px) = 166,24 tLc = longitud total del cable 30,004 m


21,53 cm.

=∞ 2pσ

=∆ L

�−=∆ ∞ 22 σσσ poT =∞ 2pσ

p

cmed

EALP

L××

=∆

)( kxox e

Npp +−×= αµ

xf

∆≅

24α

=∆+∆+∆=∆AP

APx

pT1

2 σσ

xfxx

∆××+∆=

3²2

xo

x PNP

p −=∆


ANEXO1 145

2- Perdidas en los anclajes

Caso 1 La perdida es absorbida en un tramo parabólico antes de llegar a la mitad de la viga x<l/2A (cm²) Ep (kg/cm²) N Po/N (t) Px (t) Dp (t/m)11,88 1.950.000,00 3,00 169,29 163,19 0,41

4 mm0,004 m

L 30,00 m


DDDDPanc x>L/2 tPanc x>L/2 t

DDDDP1 x>L/2 t no llega la perdida al medio


xr2 15,09 m

otra formula

DDDDPanc 12,28 TonPanc 157,01 Ton

DDDDP1 0,07 Ton

Con la formula simplificada excluyendo las perdidas por rozamiento y anclaje


sc,(g1+po) kg/cm² sc,(g+po) kgcm² spo kg/cm² Dsp 142,19 82,99 14.250,00 2.712,67

Dsp = 2.712,67 kg/cm²Incluyendo rozamiento y anclaje


11.017,35 kg/cm²


=∞3pσ

=∞3pσ

⇒−=∆ ∞ 32 σσσ poT

δδ

anco

anc PNPP ∆−=

xrpPanc ..2 ∆=∆

)2

(.21lpPP anc ∆−∆=∆

pEA

xrAExrP

AEadaareasombre p

p

anc

p ∆××

=⇒

×××∆

=×

=δ

δ2

22

4)2(

4)( 1 Lp

LEA

PAE

LpLPAELPP

AEadaareasombre p

ancp

anc

p

anc

p

×∆+××

=∆⇒

×××∆−∆

=××

×∆+∆=

×=

δδ

L

PNP

px

o 2)( ×−=∆

2..2 xrpPanc ∆=∆

L

PNP

px

o 2)( ×−=∆

=∆+∆

+∆=∆AP

APx

pT1

2 σσ


ANEXO1 146 5.6.14- Verificación de las Pérdidas de Pretensado con la Admisible:

spd = ( spo / 1,15 )

Acá ya se uso nada mas que la formula simplificada sp∞3 = (spo - DsT2)

spo DsT2 sp∞3 spd 14.250,00 3.232,65 11.017,35 12.391,30

sp∞3 = 11.017,35 kg/cm²

spd = 12.391,30 kg/cm²

La tensión admisible de calculo debe ser mayor spd > sp∞ 3 ( Verifica )

Promediamos los coeficientes de perdidas del cable 1, del cable 2 y el del cable 3 hallados estos últimos por el método simplificado

Tenemos pues 0,757 spo como promedio para los 3 cables

5.6.15- Cálculo de las Tensiones Normales después de las Perdidas Retardadas:

P∞ = 0.757 x Po

P∞ = 384,64 t

Md real = momento de descompresión = 523,86 t.m

5.6.16- Cálculo de las Tensiones Normales para la Carga Permanente:


yLN 12,45 mHallamos las tensiones en los bordes

ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m

ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (t) Mg(t.m)0,99 1,01 0,409 384,64 367,45

tensión superior en ys" Compresión al x scspe = -323,02 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scspe = -366,99 t/m²

tensión inferior Compresión scipe = -416,16 t/m²

''''''0

IyepP

APy

IM LN

LNg ××+−×−= ∞∞

'''''' IyepP

APy

IM i

ig

cipe××

+−×−= ∞∞σ

'''''' IyepP

APy

IM s

sg

cspe××+−×−= ∞∞σ

=+×∞ )''

''''''( epAyi

IP

=∞pσ


ANEXO1 147

5.6.17- Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante la Carga frecuente.

Mg(t.m) + 0,8 M(q+Q) (t.m) = Mfrecuente = 601,17 t.m


yLN -0,71 mHallamos las tensiones en los bordes

ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m

ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (t) Mfrecuente(t.m)0,99 1,01 0,409 384,64 601,1731

tensión superior en ys" Compresión al x scsf = -681,91 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scsf = -659,64 t/m²

tensión inferior Tracción scif = 205,72 t/m²

5.6.18- Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante la Carga de Servicio.


yLN -0,56 mHallamos las tensiones en los bordes

ys'' = 0,702 myi'' = -1,088 m

ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (t) MTotal(t.m)0,99 1,01 0,41 384,64 659,60

tensión superior en ys" Compresión al x scss = -771,63 t/m²tensión superior en (ys"-hf) Compresión scss = -732,80 t/m²

tensión inferior Tracción scis = 361,19 t/m²

5.6.19- Verificación de las Tensiones normales con la Admisible:

5.6.19.1- Para la Compresión:Según la Norma CEB, la Tensión Admisible del Hormigón durante la carga de servicio es:

scAdm. = 0,60 x fck ( Compresión )

scAdm. = -1800 t/m²

( Verifica )cssadm σσ ⟩

"""

"" IyepP

APy

IM i

ifrecuente

cif××+−×−= ∞∞σ

""

""0

IyepP

APy

IM LN

LNfrecuente ××+−×−= ∞∞

"""

"" IyepP

APy

IM s

sfrecuente

csf××+−×−= ∞∞σ

"""

"" IyepP

APy

IM i

iTotal

cis××+−×−= ∞∞σ

""

""0

IyepP

AP

yIM LN

LNTotal ××

+−×−= ∞∞

"""

"" IyepP

APy

IM s

sTotal

css××

+−×−= ∞∞σ


ANEXO1 148

5.6.19.2- Para la Tracción:resistencia a la tracción media dada por NBR 2000 = 0.3xfck^(2/3), fck en Mpa

sssstoAdm.28 = 28,96 kg/cm²

( no Verifica para cargas de servicio)Tensión inferior en servicio

scis = 36,12 kg/cm²

(Verifica para cargas frecuentes)Tensión inferior en combinación frecuente

scif = 20,57 kg/cm²Por lo tanto se cumple que para cargas frecuentes la viga está en el estado I, es decir sin fisuración.Para cargas de servicio la viga está en el estado II, es decir se fisura.

El momento de fisuración será:ep''(m) A''(m2) I''(m4) P∞ (Ton) yi'' (m)0,99 1,01 0,41 384,64 1,09

Mcr = 632,72 t m

5.7- Cálculo de la Tensión Admisible del Concreto durante la Carga Ultima:

5.7.1- Análisis de la Seguridad a la Ruptura ( Estado Límite de Proyecto ):

En vigas subarmadas la ruptura se da con la deformación excesiva de las armaduras provocando la elevación de la línea neutra,reducción del área comprimida para que luego el Hº en esta zona se rompa. La viga tendría así un comportamiento dúctil.

En vigas superarmadas se da el rompimiento del Hº, antes que la armadura empiece a deformarse.En este caso el comportamiento sería de un material frágil.Utilizamos acero de dureza natural CA-50

Para evitar fisuracion debidas a temperatura, As mínimo 2% del Acmin y Ap mínimo 1,5% del Acmin (Walter PfeilAsmin = 20,90 cm² Acmin = 1045 cm²Apmin = 15,68 cm²

5.7.2- Predimensionamiento de la armadura suplementaria a la ruptura

fyk = 5000 kg/cm²

bereal(m) 0.85 fcd(t/m²) fyd(t/cm²) fp(t/cm²) Ap(cm²) bw(m)1,74 1700 4,35 14,25 35,64 0,204

fp utilizado 15,74 Ton/cm² esto se obtiene de la mayor tensión entre fp y la nominalσpnom obtenida con las ecuacionesde compatibilidad de deformaciones en 5.7.6

Acmin = 0.1045 m²

cisadm σσ <28

cifadm σσ >28

)""

""("

"28

ii

tadmcr yA

IepPy

IM×

++×

= ∞σ


ANEXO1 149

Ecuaciones de equilibrioPara hallar la profundidad de la línea neutra x se arbitra AsSumatoria de fuerzas horizontales = 0 considerando que la LN esta en el alma de la viga de una viga T equivalente

nº 9 F 20x = 0,68 debe cumplirse el Asmin < Asnec1 28,28 cm²

x > 1.25hf separación F 20 5,4 cm.1.25 hf = 0,24

armadura longitudinal de la losa F 8 c/17 As' 5,64 cm² verificar con As'cant 12,00 mínimo

Vemos que Asnec1 es admisible, es mayor a Asmin, y la armadura puede situarse bien espaciada, es decir la línea neutra puede situarseen la zona del alma pero antes probamos cuando la LN está en la losa (lleva menos armadura) y usamos, si verifica As/Act > 0,5%

Sumatoria de fuerzas horizontales = 0 considerando que la LN esta en el la zona de la losa

nº 8 F 20x = 0,27 debe cumplirse el Asmin < Asnec2 25,14 cm²

x < 1.25hf = 0,24 separación F 20 6,5 cm.

armadura longitudinal de la losa F 8 c/20 As' 5,64 cm²cant 12,00

no verifica x no es menor a 1,25 hf, por lo tanto usamos x > a 1.25hf

A1= 0,331 m²AeqT = 0,430 m²

A1+A2>AeqT > A1 por tantoLa LN esta en A2

∆A = 0,100 m²x = ∆A/1,068+hfx = 0,283 m²

5.7.3- Profundidad de la Zona Comprimida (Diagrama Rectangular de Tensiones):

Usamos x = 0,283 m( 0,8 x X ) = 0,230 m

As' mínimoPara As' mínimo 0.15% del Acc

As' = 5,60 cm² Acc = 0,3730 m² verificar si x utilizado es mayor a hf, entonces se saca del grafico

12 F 8 si es menor la fla. Acc es (be.0,8x)

cdw

yds

w

fwereal

cdw

pp

fbfA

bhbb

fbfA

x85.08.08.0

)(85.08.0 ×

+−

−××

=

cdereal

ydsyds

cdereal

pp

fbfAfA

fbfA

x85.08.085.08.0'

×−

+××

=


ANEXO1 150

Diagrama en el estado limite ultimo

5.7.4- Brazo de Palanca interno en el Estado Límite ( z ):

d1 = 0,108 m zp = 1,58 md = 1,73 m zs = 1,62 mc = 0,05 m

5.7.5- Pre-alargamiento del Cabo de Pretensado calculado en el tiempo t∞:

sp∞ (kg/cm²) Ep (kg/cm²) sp∞/Ep 10.792 1.950.000 0,0055

εp1 = sp∞/Ep = 0,55 % 5.7.6- Pre-alargamiento del Cabo de Pretensado debido al momento de descompresión:

ep2 =

Tensión al nivel del cabo

A''(cm²) Ecviga (kg/cm²) P∞ (kg) I''(cm4) ep''(cm.) ep210050 306.725 384.636,81 40890000 98,80 0,00042

ep2 = 0,042 %

5.7.7- Pre-alargamiento del Cabo de Pretensado al llegar a la carga ultima:

El incremento debido a la carga ultima sin superar la deformación de 1 % en el As, será:

ec no puede ser mas que 0,35 % según NBRes no puede ser mas que 1 % según NBR

ep3 = 0,97 %ec = 0,20 % ok< 0,35%

)""

"²1(" I

Aep

EAP

cviga

×+∞

)()( 1

3 ×−×−+

=ddz p

sp εε)(

%1×−

×=dcε


ANEXO1 151 5.7.8- Alargamiento Total del Cabo de Pretensado en el Estado Límite de Proyecto:

eptotal = ( 0.55% + 0.042% + 0,97% )

eptotal = 1,57 %De la tabla 4.3.3 del Walter Pfeil - Concreto Protendido 1 σpnom (Ton/cm²)Para el valor de 1,57% tenemos el valor de σpnom = 15.75 Ton/cm², para el Acero CP-190-RB. 15,74

Por lo tanto el área mayor es 28,28 cm² cuando x = 28,3 cm.

5.7.9- Porcentaje Geométrico de la Armadura Suplementaria:

El cálculo del porcentaje geométrico de la armadura suplementaria esta referida con relación a la sección traccionada del Hormigón y se puede obtener según la Norma CEB / 72 de la siguiente manera;

rs = ( Asnec / Act )

Asnec(cm²) Act(cm²) rs rs (%) 28,28 5706 0,00496 0,496

Según la Norma CEB / 72, el porcentaje geométrico mínimo de las Armaduras convencionalesadherentes referidos al área de la sección traccionada de la viga es de 0,50%, luego;

rs = 0.496 % ≈ 0,50 % ( Verifica )Para la zona extrema de la viga 0.50%Act 28,53 cm² armadura principal mínima

5.7.10- Condición de ductibilidad:condición para que sea subarmada

Ap (cm²) fcd (kg/cm²) fyd (kg/cm²) σpnom (kg/cm²) As (cm²) As' (cm²) bereal(cm)35,64 200 4347,83 15740 28,28 5,64 173,52

dp(cm) d (cm.)169,00 173

ρp = 0,001ρs = 0,001ρs' = 0,000

ωp ωs ωs' ωT0,10 0,02 0,00 0,11

ωT < 0,33 por lo tanto la viga es subarmadaSi la linea neutra está en el alma, los valores de cuantía son tomados con:

5.7.11- Momento resistente de proyecto disponible

Se debe verificar que el Momento Resistente del Proyecto ( Mdres ) debe ser mayor al Momento Actuante de Proyecto ( Md ), es decir se debe cumplir; Mdres > Md.

si 0,8x < hf o si 0,8x = hf ........1

si 0,8x > hf ......2

Si es superarmada p/ 0,8x < hf p/ 0,8x > hf

Ap real(m²) σpnom (Ton/cm²) zp(m) As nec(m²) zs(m) fyd(Ton/m²) As' (m²)0,00356 157.400 1,58 0,00283 1,62 43.478,26 0,00056

hf(m) bereal(m) bw(m) 0.85 fcd(Ton/m²)0,19 1,74 0,20 1700

p/ 0,8x > hf Mdres = 1.086,88 Ton m1.086,88 Ton m > 934,29 Ton.m ( Verifica ) 1,16 Mdres/Md

)03.0( 1' −++= dfAzfAzAM ydssydspnompdres σ

sydspnompdres zfAzAM += σ

33.0' <−+= sspT ωωωω

cd

nompp fσρω =

cd

ydss ff

'' ρω =cd

ydss ff

ρω =

sereal

ss db

A×

=ρdb

A

ereal

sp ×

='ρ

pereal

pp db

A×

=ρ

228.0 perealcddres dbfM ××= )5.0()(85.028.0 2fpfwerealcdpwcddres hdhbbfdbfM −×−×+××=

pw

pp db

A×

=ρsw

ss db

A×

=ρdb

A

w

sp ×

='ρ


ANEXO1 152

6- Verificación de la abertura de fisuras en servicio para combinaciones frecuentes

Por ser postensado limitado para combinaciones frecuentes las tensiones de tracción del hormigónestán por debajo de las tensiones admisibles por norma, es decir el hormigón no se fisura

7- Porcentaje Geométrico de la Armadura Pretensada:

El cálculo del porcentaje geométrico de la armadura pretensada esta referida con relación a la sección bruta del Hormigón y se puede obtener según la Norma CEB / 78 de la siguiente manera;

rp = ( Ap / A'' )

Ap(cm²) A''(cm²) rp rp (%) 35,64 10050 0,004 0,4

Según la Norma CEB / 72, el porcentaje geométrico mínimo de las Armaduras convencionales o pretensadas adherentes referidos al área total de la sección transversal de la viga es de 0,15%, luego;

rp = 0,4% > 0,15 % ( Verifica )

8- Verificación de la fatiga en el Hormigón:para dos millones de ciclos

Dsc = (scif - scipe)

scif(Ton/m²) scipe(Ton/m²) Dsc(kg/cm²) Dscad(kg/cm²) NBR 7187-1987205,72 -416,16 62,19 150 ( Verifica )

8.1 - Verificación de la fatiga en el Acero Pretensado:para dos millones de ciclos

Dsp = (scif - scipe) x ap ap = 6,36

scif(Ton/m²) scipe(Ton/m²) Dsp(kg/cm²) Dspad(kg/cm²) NBR 7187-1987205,72 -416,16 395,36 2.000 ( Verifica )

8.2 Verificación de la fatiga en el Acero CA-50:para dos millones de ciclos Es (Kg/cm²)= 2.000.000

Dss = (scif - scipe) x as as = 6,52

scif(Ton/m²) scipe(Ton/m²) Dss(kg/cm²) Dssad(kg/cm²) NBR 7187-1987205,72 -416,16 405,50 1.000 ( Verifica )

9- En el Alma de la Viga ( Armadura longitudinal de piel ):

Aslpiel = 0,10% x bw x 100

bw(cm) Aslp(cm²)20,4 2,04

Aslpiel = 2,04 cm² c/cara Pos3


ANEXO1 153

10- Resumen de armaduras suplementarias

Parte Inferior de la Viga ( base ) :

Hierros = 10 F 20 Asnec = 28,53 cm² Pos1Usamos solo 9 armaduras ya que estas nos dan28,28 cm²

Parte Superior de la Viga :

Hierros = 12 F 8 en la zona de la losa

Parte Lateral de la Viga ( base ):

Por Cara: Hierros = 1 F 12 Pos2 por diseño AASHTO

Total: Hierros = 2 F 12

Parte Lateral Inclinada de la Viga ( base ) :

Por Cara: Hierros = 1 F 12 Pos2

Total: Hierros = 2 F 12

Parte Lateral del Alma de la Viga: Pos3

Por cara: Hierros = 6 F 8 Aslpiel = 2,04 cm²/m c/cara

Total: Hierros = 12 F 8 mm. s = 16,74 cm 20 cm máx.

Parte Superior de la Viga ( Parte Rectángular ):

En la parte superior de la viga, más específicamente en las cuatro esquinas de la zona Rectángular, secolocan 4 varillas de 16 mm como refuerzo para evitar que la misma se rompa durante el proceso de izado y colocación en obra, es decir se refuerza con;

Hierros = 4 F 16 Pos4


ANEXO1 154

11- Análisis de los Esfuerzos Cortantes:

11.1- Estudios de las Cargas Permanentes y Móviles:

11.1.1- Cargas Permanentes:

a) Esquema para la Carga permanente en la Viga Principal:

g = 3,178 Ton/m

L = 30,00 m

Cortante debido a peso de traviesa

b) Cálculo de los Esfuerzos Cortantes Máximos para la Carga Permanente:

La reacción en el apoyo esta dada por la expresión, Vo = (g x L / 2), y para el cálculo de las Reaccionesen los distintos puntos de la viga entre los apoyos se procede de la siguiente manera, siguiendo la Bibliografia del Walter Pfeil "Pontes em Concreto Armado", Tomo 1, Item 4.4.1.Página 142, V = k x Vo

g(t/m) L(m) Vg(t)3,178 30,00 47,67

Punto k Vg (t) Vdebidotrav.(t) V (t)extremo 0 -1,00 -47,67 -0,66 -48,33

1 -0,92 -43,86 -0,66 -44,522 -0,82 -39,09 -0,66 -39,753 -0,72 -34,33 -0,66 -34,994 -0,62 -29,56 -0,66 -30,22

centro de viga 5 0,52 24,79 0,66 25,456 0,62 29,56 0,66 30,227 0,72 34,33 0,66 34,998 0,82 39,09 0,66 39,759 0,92 43,86 0,66 44,52

extremo 10 1,00 47,67 0,66 48,33

11.1.2- Cargas de Tráfico:En el extremo A una distancia d = 1.73 m del extremo A la mitad de la distancia L/2Cortante Cortante

fV(q+Q) 36,21 t fV(q+Q) 30,29 fV(q+Q) 8,97


ANEXO1 155

11.2- Cálculo de los Esfuerzos Cortantes Mayorados ( Vd ):

Vdmax = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)

Vdmáx = 119,57 t

a) En la sección del Apoyo:

Según el codigo modelo CEB-78, para las bielas comprimidas de Hº se halla el Vd en el extremo de la vigapara hallar las armaduras se toma el Vd a una distancia d del extremo.Luego, el valor del Esfuerzo Cortante será:

Vd = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)

Vd en el extremo Vd = 119,566 t

b) En una sección a una distancia d = 1,73 m del apoyo

fV(q+Q) = 30,29 t

Vd' = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)

Vd' = 108,11 t

c) En una sección a la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga

fV(q+Q) = 8,97 t

Vd'' = 1,35 x Vg + 1,50 x fV(q+Q)8

Vd'' = 63,90 t

11.3- Trazado Geométrico de las Armaduras de Pretensado:

El trazado de las Armaduras de Pretensado que adoptaremos será el tipo parabolico determinado pordos tramos. Esto realizaremos para poder resistir mejor los esfuerzos cortantes en los extremos.El angulo a varía de 20 a 30º siendo usual 20º, tomando 24º14' como a máximo para hallar Dx p/ r minValor recomendado de r min de parabola para 12 cabos de 1/2" es 8m (Pfeil vol. 2, pag 281)

p/ taga = 0,45 y d = 0,9 h

3,86 m r min = 8 mh= 1,03 m

El tramo recto para este cabo es 1.00 mEs decir que nosotros al tener 14 m. de longitud tendremos mayor radio

B A

Tramo Geométria

A-B Parábola

CABLE 1CABLE 2CABLE 3

X =

=+=∆ hrx 2225.0 min

=+=∆ )(cot2min αα angdtgrx


ANEXO1 156

11.3.1- Determinación de la Ecuación de la Parábola:

Para el cable 1Ecuación de la Parábola:

Y = aX²Pendiente de la Parábola:

dy/dx = 2aX

Los Puntos que cumplen la Ecuación de la Parábola son los siguientes;

Puntos X (m) Y (m)A 0,000 0,000B 14,000 0,930

Además, sabemos que en el Punto A, la Pendiente es nula, o sea;

dy/dx = 0

Verificando los puntos en la ecuación de la Parábola, obtenemos un sistema formado por tres ecuacionescon Tres incognitas que son las siguientes;

p/x=14 0,93 = 196 x a……………1

Resolviendo el sistema de Ecuación, obtenemos los valores de a, b y c que son;

a = 0,00474Luego la Ecuación de la Parábola para el Tramos A-B será;

Y = 0,00474 X²

11.3.2- Determinación de los valores del angulo aaaa1 para cada situación

a) En el Apoyo (en realidad es 1 m antes del apoyo donde termina la parábola):

Para el cálculo del ángulo a1 se procede a determinar primeramente la Pendiente de la ecuación de la Parábola de la siguiente manera;

dy/dx = 2aX = Tg a1

a X Tg a10,00474 14,000 0,1329

Luego, el ángulo a1 se puede obtener rápidamente y su valor para el apoyo será;

a1 = Arc.( Tg a1 )

a1 = 7,57 ºa1 = 0,132 rad

b) A una distancia d = 1,73 m del apoyo


a X Tg a10,00474 13,270 0,1259

Luego, el ángulo a1 se puede obtener rápidamente y su valor será;

a1 = Arc.( Tg a1 )a1 = 7,2 º

c) A la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga

a X Tg a10,00474 7,500 0,0712

a1 = Arc.( Tg a1 )a1 = 4,1 º


ANEXO1 157

Para el cable 2Ecuación de la Parábola:

Y = aX²Pendiente de la Parábola:

dy/dx = 2aX

Los Puntos que cumplen la Ecuación de la Parábola son los siguientes;

Puntos X (m) Y (m)A 0,000 0,000B 14,000 0,580

Además, sabemos que en el Punto A, la Pendiente es nula, o sea;dy/dx = 0

Verificando los puntos en la ecuación de la Parábola, obtenemos un sistema formado por la ecuacion

p/x=14 0,58 = 196 a……………1

Resolviendo el sistema de Ecuación, obtenemos los valores de a, b y c que son;

a = 0,00296

Luego la Ecuación de la Parábola para el Tramos A-B será;

Y = 0,00296 X²

11.3.3- Determinación de los valores del angulo aaaa2 para cada situación

a) En el Apoyo (en realidad es 1 m antes del apoyo donde termina la parábola):


dy/dx = 2aX = Tg a2

a X Tg a20,00296 14,000 0,0829

Luego, el ángulo a2 se puede obtener rápidamente y su valor para el apoyo será;

a2 = Arc.( Tg a2 )

a2 = 4,7 ºa2 = 0,083 rad

b) a una distancia d = 1,73 m del apoyo


a X Tg a20,00296 13,270 0,0785

a2 = Arc.( Tg a2 )a2 = 4,5 º

c) A la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga

a X Tg a20,00296 7,500 0,044387755

a2 = Arc.( Tg a2 )a2 = 2,5 º


ANEXO1 158

11.4- Esfuerzos Cortantes de Proyecto:

11.5- Cálculo de los Esfuerzos Cortantes Reducidos de Proyecto:

Los Esfuerzos Cotantes Reducidos se determinan por la Fórmula siguiente:

0,9 por el efecto favorable Vdred = Vd - 0,9 x P∞ x sen a

Tomaremos nada mas que el cable 1 y 2 ya que el tres es casi horizontal, y su componente vertical es minima

Cortante residual debido a la accion del cable 1a) En la sección del Apoyo:

Panc1 = Panc - perdidas acortamiento del hº - perdidas retardadasPanc1 = 120,521 t en el extremo de la viga

sen a1 Panc1 Vd(t) Vdred(t)0,13170 120,52 119,57 105,28

Vdred = 105,28 tb) En una sección a una distancia d = 1,73 m del apoyo

sen a1 Panc1 Vd'(t) Vdred(t)0,12494 120,52 108,11 94,56

Vdred' = 94,56 tc) En una sección a la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga

Tomamos P∞ en el medio de la viga, en realidad su valor es mayor pero queda por el lado de la seguridadsen a1 P∞1 Vd''(t) Vdred(t)0,07099 125,36 63,90 55,89

Vdred'' = 55,89 tCortante residual debido a la accion del cable 2a) En la sección del Apoyo:

Panc2 = 122,42 t en el extremo de la viga

sen a2 Panc2 Vdred(t) Vdredfinal(t)0,0826 122,42 105,28 96,18

Vdredfinal = 96,18 tb) En una sección a una distancia d = 1,73 m del apoyo

sen a2 Panc2 Vdred(t) Vdredfinal'(t)0,0783 122,42 94,56 85,93

Vdredfinal' = 85,93 tc) En una sección a la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga

Tomamos P∞ en el medio de la viga, en realidad su valor es mayor pero queda por el lado de la seguridadsen a P∞2 Vd''(t) Vdredfinal"(t)

0,04434 128,39 55,89 50,77

Vdredfinal'' = 50,77 tObservación:Como podemos apreciar, los esfuerzos cortantes son disminuidos por el esfuerzo de los cabos y la inclinación que estos tienen

11.6- Verificación de la Resistencia del Hormigón:

Se debe verificar que; td < tdlim.

APP pancanc ×∆−= σ1


ANEXO1 159

En el apoyo

Según las Normas, la sección en la cual se calcula el Esfuerzo Cortante solicitante de cálculo ( Vd ) seencuentra situada a una distancia d, para la capacidad resistente del hormigón tomamos en el extremo

bw 20,4 cm tdnom = ( Vdredfinal / ( bwnom x dp ) )vaina = Ø 6,7 cmbwnom 17,05 cm se usa tdnom cuando Ø > a bw/8

d' prom(m) hv(m) dpapoyo(cm) Vdredfinal(kg) tdnom(kg/cm²)0,67 1,79 111,67 96.182,29 50,52

El valor del Cortante Admisible o Límite esta dada por la siguiente expresión:

tdlim. = 0,3 x ( fck/gc ) < 4,5 MPa NBR 7197/89

fck(kg/cm²) gc tdlim(kg/cm²)300 1,5 60

tdlim. = 60 kg/cm²

tdnom = 50,52 kg/cm²

tdlim. = 45 kg/cm²

60 kg/cm² > 50,05 kg/cm² > 45 kg/cm²

(no verifica por norma pero considerando que en la sección hay un ensanchamiento en el extremo debido a los bloques de anclajes,y además está por debajo de tdlim, podemos aceptar)

11.7- Cálculo de la Armadura Transversal Necesaria:

La Armadura transversal necesaria es determinada para la solicitación actuando a una distancia d = 1,73 m del apoyo td= ( Vdredfinal' / ( bw x dp ) )

td = 37,72 kg/cm²

El Momento de Descompresión de la sección en el apoyo está dado por Mop =

yi'' (m) epapoyo(m) A''(m2) I''(m4) P∞apoyo(t) Mop(t.m)1,09 0,41 1,01 0,41 371,15 263,43

Mop = 263,43 Ton.m

El Momento de Proyecto ( Md ), a d = 1.73 m del extremo tomamos como un tercio del momento ultimo máximo:Md/3 = 311,43 Ton.m

Para fck = 300 kg/cm², tenemos de la tabla del Cuadro 5.3.1 pág. 169 del W. Pfeil "Concreto Protendido 1"el valor de tc = 8.5 kg/cm², para gc = 1,5tc(kg/cm²)= 0.02xfck+2.5kg/cm² = 8,50

Calculando por el método estándar del Codigo Modelo C.E.B., determinamos a continuación las armaduras transversales constituidos por Estribos Normales:

Asw/s = 1,1 x bw x ( td - tcp ) / fyd

tcp = bp x tc

bp = ( 1 + Mop/(Md en la seccion)) (bp no debe ser mayor que 2)

bw (cm) fyk(kg/cm²) bp tc(kg/cm²) tcp(kg/cm²) td (kg/cm²) Asw/s(cm²/cm)20,4 5.000 1,85 8,5 15,69 37,72 0,0989

Luego, el Area necesaria por metro será:Asw/s = 9,89 cm² / m. ambas caras

Asestribo/s = 4,94 cm² / m. c/caraLa Armadura mínima establecida por las Normas estan determinadas de la siguiente manera;

Aswmin/s= 0,15% x bw x100bw(cm) Aswmin/s(cm²)

20,4 3,06

Aswmin/s = 3,06 cm² / m. ambas caras

)""

"(9.0

AyIepPi

apoyoapoyo ×+× ∞


ANEXO1 160

11.8- Armaduras Transversales Adoptadas:

Adoptaremos para toda la sección de la viga las armaduras que obtenemos del cálculo para el áreAsw/s = 9.89 cm²/m, considerando lo especificado por el CEB dichas armaduras son;

Hierros = F 12 mm. c/ 22 cm. Pos8

Según lo establecido por el CEB, está armadura adoptada para Estribo nos proporciona la siguiente áreaque verifica el área necesaria;

Asw'/s = 2 x ( p x F² / 4 )*(100/22)

Asw'/s = 10,28 cm² / m ambas carasEn la mitad de la distancia del apoyo al centro de la viga

bw = 20,4 cm tdnom = ( Vdred / ( bwnom x dpeq ) )bwnom = 17,05 cm

Vdredfinal" (kg) tdnom(kg/cm²)50.768,95 21,22

El valor del Cortante Admisible o Límite esta dada por la siguiente expresión;

tdlim. = 0,3 x ( fck/gc ) < 4,5 MPa NBR 7197/89

fck(kg/cm²) gc tdlim(kg/cm²)300 1,5 60

tdlim. = 60 kg/cm²Luego, hacemos la verificación final:

tdnom = 21,22 kg/cm²

tdlim. = 45 kg/cm²

21.22 kg/cm² < 45 kg/cm² ( Verifica )

11.9- Cálculo de la Armadura Transversal Necesaria:td= ( Vdredfinal"/ ( bw x dp ) )

td = 17,7 kg/cm²

El Momento de Descompresión de la sección en el apoyo está dado por Mop =

ep"(m) A''(m2) I''(m4) P∞(Ton) Mop(Ton.m)0,99 1,01 0,41 384,64 484,58

Mop = 484,58 t.m

El Momento de Proyecto ( Md ), en el centro es lo mas desfavorable ya que es máximo:

Md = 934,29 t.m

Para fck = 300 kg/cm², tenemos de la tabla del Cuadro 5.3.1 pág. 169 del W. Pfeil "Concreto Protendido 1"el valor de tc = 8.5 kg/cm², para gc = 1,5Calculando por el método estándar del Codigo Modelo C.E.B., determinamos a continuación las armaduras transversales constituidos por Estribos Normales;

Asw/s = 1,1 x bw x ( td - tcp ) / fydtcp = bp x tc

bp = ( 1 + Mop/(Md en la seccion)) (bp no debe ser mayor que 2)

bw(cm) fyk(kg/cm²) bp tc(kg/cm²) tcp(kg/cm²) td(kg/cm²) Asw/s(cm²/cm)20,4 5000,00 1,52 8,50 12,91 17,7 0,0217

Luego, el Area necesaria por metro será;Asw/s = 2,17 cm² / m. ambas caras

A la mitad de la mitad del vano Asestribo/s = 1,08 cm² / m. c/caraLa Armadura mínima establecida por las Normas estan determinadas de la siguiente manera;

Aswmin/s= 0,15% x bw x 100bw(cm) Aswmin/s(cm²/m)

20,4 3,06

Aswmin/s. = 3,06 cm² / m. ambas caras

(dpapoyo+dp)/2 (cm)140,33

)""

""(9.0Ay

IepPi ×

+× ∞


ANEXO1 161

11.10- Armaduras Transversales Adoptadas:

Adoptaremos para toda la sección de la viga las armaduras que obtenemos del cálculo para el áreAsw = 3,06 cm²/m, considerando lo especificado por el CEB dichas armaduras son;

Hierros = F 12 mm. c/ 30 cm. Pos8'

Según lo establecido por el CEB, está armadura adoptada para Estribo nos proporciona la siguiente áreaque verifica el área necesaria;

Asw'/s = 2 x ( p x F² / 4 )*(100/30)

Asw'/s = 7,54 cm² / m ambas caras

12- Cálculo de las Armaduras de Distribución de Tensiones:

a) Armaduras de Regularización de Tensiones:

El Esfuerzo de Postensado para 3 cabos formado por 12 F ½", es de 169,29 t, por cabo; las placas de losanclajes son de 25 cm x 25 cm.Luego, la armadura de regularización de tensiones de 1 cabo son calculadas en un prisma ideal con una longitud a1= 44 cm y un alto de a1= 44 cm, de la siguiente manera;

At = ( 0,3 x gp x gs x Po / (N x fyk) ) x ( ( a1 - ao ) / a1 )Donde:

gp = 1,2

gs = 1,15

Po/N = 169,29 Ton

a1 = 44 cm

ao = 25 cm

fyk = 5 Ton/cm²

At = ( 0,3 x 1,2 x 169,29 x 1,15 / 5.0 ) x ( ( 44 - 25 ) / 44 )

At = 6,05 cm²2 As 10 mm 1,571 cm²

sep 11 cmPara esta Area, At = 6,05 cm², adoptamos la siguiente armadura;

6,28 cm² Hierros: 4 F 10 mm. 1 cada 11 cm Pos12

Usamos 4 estribos F 10 mm, ( A = 6,28 cm² ), colocando el primer estribo a 0.2xa1 del extremo de la Viga.Colocamos a 9 cm del extremo de la viga, el primer estribo


ANEXO1 162

b) Armaduras Superficiales ( At1 y At2 ):

Cálculo de At1:At1 = ( 1,5% x gp x Po/N x gs / fyk )

At1 = ( 0,015 x 1,2 x 169,29 x 1,15 / 5 )

At1 = 0,70 cm²Cálculo de At2:

Admitiendo, el valor de la Tga ≅ 1/10:At2 = ( Tga x gp x Po/N x gs / fyk )

At2 = ( 0,10 x 1,2 x 169,29 x 1,15 / 5 )

At2 = 4,67 cm²

Luego, la Armadura Superficial es determinada por el mayor valor de las expresiones de At1 y At2;en este caso At2 = 4,67 cm²Adoptamos, grampas de F 12

5 grampas de F 12 mm. Pos13

13- Determinación de las Deformaciones y Flechas:

Para el cálculo de la flecha se deben considerar las etapas iniciales y finales, durante laetapa inicial de carga o de transferencia la viga pretensada todavia no ha sido colocadaen su sitio, luego la viga es colocada en obra sobre la viga de portico e inicia su función de trabajo.En ese momento las clases de flechas a considerar son; las flechas instántaneas o inmediatas, y lasflechas diferidas o retardadas.Para el cálculo de las flechas, segiremos las recomendaciones dadas por la ACI ( 318 / 89 ), quese puede encontrar en la bibliográfia Nawy, E (2003) "Prestressed concrete, a fundamental approach"Cuarta edición, Cap. 7Para la flecha total se considera el estado de carga de servicio frecuente, para este caso, la viga está sin fisura (pretensado limitado)

13.1- Cálculo de la Flecha en etapa inicial, en to13.1.1- Cálculo de la Flecha instantanea debida al Peso Propio de la Viga ( δg1 ):

to = 9 dias, en el momento del postensado

fckj en MPa

L (m) g1 (t/m) fckj (Mpa) Ecto (t/m²) I' (m4) δg1 (m)30,00 1,64 23,18 2.695.920 0,212 0,0302

δg1 = 3,02 cm

13.1.2- Cálculo de la Flecha instantanea debida al Pretensado ( δpo ) antes de las perdidas:

La etapa del Pretensado a considerar para el cálculo de la flecha es la inicial, es decir cuando Po = 507,87 Ton y su cálculo se hace de la siguiente manera.

2/15600 ck jto fEc ×= '38415 4

1 IEcLg

tog ××

××=δ

'48'5 2

IEcLepP

to

opo ××

×××−=δ


ANEXO1 163

Para los tres cables, en el medio del vano:

Po(Ton) ep'(m) L(m) Ecto (t/m²) I' (m4)507,87 0,73 30,000 2.695.920 0,212

Cálculo de la Flecha:δpo = -0,061 m

δpo = -6,06 cm hacia arribaObservación:El signo negativo nos indica que la deflexión de la viga es hacia arriba.flecha instantanea inicial al tiempo to : δio = δpo+δg1La flecha instantanea inicial fpo, debida al postensado será δpo = -6,06 cm

δg1 = 3,02 cmAASHTO permite L/800 (cm)

Vemos que esté dentro de lo admisible, δio = -3,03 cm hacia arriba ≈ 3,75

13.2- Cálculo de la Flecha en etapa final, en t ∞

13.2.1 Cálculo de la Flecha instantanea ( δq ), debida a la Carga Movil:

0,8 M(q+Q): Carga movil frecuente con impacto

0,8 M(q+Q) t.m L (m) Ecviga (t/m²) I'' (m4) δq (m)233,72 30,00 3.067.246 0,4089 0,0175

δq = 1,75 cm13.2.2- Cálculo de la Flecha instantanea ( fsg ), debida a la Carga Superimpuesta (Mg-Mg1):

∆g = g-g1

g (Ton/m) g1 (Ton/m) ∆g (t.m) L (m) Ecviga (t/m²) I'' (m4) δsg (m)3,18 1,64 1,54 30,00 3.067.246 0,4089 0,0130

δsg = 1,30 cm

Cu: Coeficiente de fluencia de larga duración del hº, igual a 2,35 con curado normal con agua.Ct: Coeficiente de fluencia en tiempo t, con curado normal con agua.

Po(Ton) P∞(Ton) Ap real(m²) Cu t∞(años) Ct (5 años)507,87 384,64 0,004 2,35 5,00 2,12

∆P(Ton) λ kr Ka factor en la edad de aplicacion de la carga123,23 0,88 0,56 0,52 permanente supeimpuesta

13.2.3- La flecha final δ, ser á:

δ = -0,45 cm hacia arriba

13.2.4- Flecha Admisible según las Normas ( δadm.):

Según las normas AASHTO, para el caso específico de Puentes, el valor de la Flecha Total admisible se dápor la siguiente expresión para L = 30 m:

para transito vehicular y de personas δadm. = ( L / 1000 )

δadm. = ( 3000 / 1000 )

δadm. = 3 cm

13.2.5- Verificación de la Flecha Total con la Admisible:

δ= 0,45 cm < 3 = δadm ( Verifica )

Esta verificación de flecha fue realizada con la combinación de cargas de servicio frecuentes

ut Ct

tC 6.0

6.0

10 +=

oPP

21 ∆−=λ

AprealAskr /1

1+

=

"488.05 2

)(

IEcLM

t

Qqq ××

×××=

∞

+δ

"3845 4

IEcLg

tsg ××

×∆×=

∞

δ

[ ] [ ] qCkKCkCkPoP

trasgtrgtrpo δδδλδδ +++++

+∆−−= 11)(1 1

118.025.1 −×= tK a


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