A Plica c i Ones Integral Es

8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es

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Aplicaciones de las integrales dobles

Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en fsica y en geometra. A con-tinuacion damos una relacion de alguna de ellas.

1. El area de una region plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.

area(R) =

Rdxdy

2. El volumen Vencerrado entre una superficie z=f(x, y)(>0) y una region Ren el

plano xy esV =

R

f(x, y)dxdy

3. Sea f(x, y) la funcion de densidad (=masa por unidad de area) de una distribucionde masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es

M=

Rf(x, y)dxdy

4. El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y

donde:x=

1

M

R

xf(x, y)dxdy, y = 1

M

R

yf(x, y)dxdy

5. Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e yrespectivamente son:

Ix =

Ry2f(x, y)dxdy; Iy =

R

x2f(x, y)dxdy


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Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MLTIPLES

En este captulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto fsicas como

geomtricas de las integrales mltiples, especficamente para las integrales dobles y

para las integrales triples.

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las

aplicaciones geomtricas y las fsicas. En el primer grupo se

encuentran: el clculo del rea de una figura plana y el clculo de

volmenes de slidos en el espacio; entre las aplicaciones fsicas

estn el clculo de: masa, momentos estticos de figuras planas,

centros de masa y momentos de inercia para una regin

bidimensional.

REA DE UNA FIGURA PLANA

En el captulo 1 de este trabajo, se explic el significado intrnseco

de la integral doble de una funcin f positiva en una regin

bidimensional D, ( )D

f x, y dA , como el volumen del slido S

definido sobre la reginDy bajo la grfica de la funcin f . Ahora,

si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda

como:

( )D D

f x, y dA dA= (III.1)

Por lo tanto, empleando la definicin de la integral doble, se tiene

que:

01 1

n m

ijD P

i j

dA Lim A

= =

= (III.2)

Recuerde que la integral

doble ( )D

f x, y dA ,tambin puede escribirsecomo

( )0

1 1

n m* *

i j ijP

i j

Lim f x , y A

= =


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donde ijA es el rea del rectngulo genrico denotado ijD , el

cual puede observarse en la figura 3.1

D

a = x0

y

xxi xn= bxi-1

c = y0

d = ym

yj-1

yjyj

xi (xi*,yj

*)

Dij

Figura 3.1

Regin D dividida en subrectngulos ijD

En otras palabras, la integralD

dA representa el volumen de un

slido de seccin transversal constante, cuya base es la regin D

y cuya altura es igual a la unidad. Para un slido con estas

caractersticas, el volumen se obtiene como el producto del rea

de la base y la altura del mismo.

A partir de todo lo anterior, se define el clculo del rea de una

regin plana.

REA DE UNA FIGURA PLANA

Sea D una regin bidimensional D , tal que 2D . Sea A el

rea de la regin D , entonces:

DA dxdy= (III.3)


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Observe que si la regin D es de tipo 1, la ecuacin anterior

queda como:

( )

( )[ ]

( )

( )b g x b g x

f xa f x aA dydx y dx= = (III.3)

( ) ( )b

aA g x f x dx= (III.4)

Donde la ltima integral, representa el rea comprendida entre las

grficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta

integral se estudia en la asignatura Anlisis Matemtico II, dentro

de las aplicaciones de la integral definida.

Dibuje la regin D y calcule su rea, empleando las integrales

dobles:D

dxdy y D dydx , ( ){ }2 22 4D x, y x y y x y=

Figura 1

E ercicio 1

Recuerde que la grfica

de la ecuacin:

2

ay by c= + +

Es una parbolahorizontal

Recuerde que una reginD es de tipo 1 si se

cumple:

( )

( ) ( )

x, y a x bD

x y g x

=

24x y=

2 2x y y=

D


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Para calcular el rea de la regin por medio de la integral doble

D dxdy , es necesario definir los lmites de integracin, que seilustran en la figura 3.3

Observe que la regin Des una regin tipo 2, por

lo cual el rea se obtieneempleando una sola

integral doble de laforma

Ddxdy .

Valor dexala salida deD

24x y=

D

Valor dexala entrada deD

2 2x y y=


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Dada la regin D , determine las ecuaciones de las curvas que la

limitan y calcule su rea empleando las integrales dobles: D dxdy

yD

dydx .

Figura 3.5

Regin D del ejemplo 3.2

Las ecuaciones de las curvas que limitan a la regin Dson:

1 16 20C : y x= +

2 2 20C : y x= + y

2

3

4C : y x=

a) Para el clculo del rea de la regin Dpor medio de la integral

dobleD

dxdy , se necesita saber que valor toma la variablexa la

entrada y salida de la regin. En la figura 3.6 se pueden observar

estos valores.

E ercicio 2

Las ecuaciones de lascurvas en funcin de lavariableyson:

1

20

16

yC : x

=

2

20

2

yC : x

=

12yC : x=

C1

D

C3

C2


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Figura 3.6

Regin D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2

Como 1 2 3D D D D= , entonces:1 2 3D D D

A dxdy dxdy dxdy= + +

donde:

( )

( )

( )

1

2

3

0 42 2

204 16

16 2

20 2016 20

16 2

y yD x, y x y

yyD x, y x y

y yD x, y x y

=

=

=

La regin D no es unaregin tipo 2, sin

embargo se puede dividiren tres regiones: D1, D2yD3., que s lo son. Por

esta razn, para resolverla integral doble

Ddxdy se debe

emplear la propiedadaditiva respecto a la

regin de integracin.

Valor dexa

la salida deD3

20

2

yx

= D3

Valor dexa

la entrada deD3

20

16

yx

=

Valor dexa

la salida deD2

2

yx=

D2

Valor dexala entrada deD2

20

16

yx

=

Valor dexa

la salida deD1

2

yx=

D1

Valor dexa

la entrada deD1

2

yx=

4y=

16y=


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Calcule, empleando integrales dobles, el rea comprendida entre

dos crculos concntricos de radios 2 y 4.

Considere una corona circular con centro en el origen del sistema

de coordenadas tal como se observa a continuacin.

Figura 3.8


ComoD

A dydx= y la regin D es simtrica respecto al origen,

entonces para simplificar el clculo de rea, slo se evaluar

11

DA dydx= , donde 1A es el rea de la reginDque se encuentra

en el primer cuadrante, denotada como1

D

14A A=

La regin denotada comoD1, se muestra en la figura 3.9.

La reginDplanteada en

el ejemplo 3.3 recibe elnombre de corona

circular, y su rea es:

( )2 2R r= dondeR: Radio externo

r: radio interno

E ercicio 3

D2 2 16x y+ =

2 2 4x y+ =


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Figura 3.9

Regin 1D del ejemplo 3.3

Luego:1. 1.

1A BD D

A dydx dydx= + , donde:

( ){ }( ){ }

2 2

1

2

1

0 2 4 16

2 4 0 16

.A

.B

D x, y x x y x

D x, y x y x

=

=

Valor deya

la salida deD1.A

216y x=

Valor deya

la entrada deD1.A24y x=

D1.A

2x=

D1.B

Valor deya

la salida deD1.B

216y x=

Valor deyala entrada deD1.B

0y=

Para calcular el rea de laregin D1, se puededividirla en dos regionestipo 1:

1 1 1.A .BD D D=


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VOLUMEN DE UN SLIDO EN EL ESPACIO

En el captulo 1 de este trabajo, se determin que la integral

( )D

f x, y dA representa el volumen del slido Sdefinido sobre la

regin Dy bajo la grfica de la funcin f ; sin embargo, la integral

doble tambin puede emplearse para determinar el volumen de un

slido ms general.

Dibuje el slido S acotado por las superficies: 2 22z x y= + y

2 220z x y= y plantear su volumen empleando integrales

dobles.

En la figura 3.10 se muestra el slido Sde este ejemplo, donde la

superficie superior es 2 220z x y= y la superficie inferior viene

dada por la ecuacin 2 22z x y= + .

VOLUMEN DE UN SLIDO EN EL ESPACIO

Sean 2:f y 2:g dos funciones reales, continuas

en una regin bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y

( ),x y D . Sea V el volumen del slido acotado

superiormente por la grfica de la funcin g y acotado

inferiormente por la grfica de la funcinf, entonces:

( ) ( ), ,D

V g x y f x y dA=

(III.5)

E ercicio 4


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Figura 3.10

Slido S del ejemplo 3.4

El volumen del slido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene

mediante la integral doble:

2 2 2 220 2D

V x y x y dA = +

donde D es la proyeccin del slido S en el plano xy. Esta

proyeccin, para este ejemplo, resulta ser un crculo con centro en

el origen, al que se obtiene en la interseccin de las dos

superficies:

2 2

2 2 2 2

2 2

22 20

20

z x yy x y

z x y

= + + =

=

( )2 2 2 2 2 24 20 4x y x y x y+ = + =

Entonces:

( ){ }2 2, 4D x y x y= +

La superficie definida porla ecuacin:

2 220z x y= Es una semiesfera (partesuperior).

La superficie definida porla ecuacin:

2 22z x y= + Es un cono .

S

Valor dezala salida de S

2 220z x y=

Valor dezala entrada de S

2 22z x y= +


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Figura 3.11


Es decir, ( ){ }2 2, 2 2 4 4D x y x x y x=

Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:

2

2

2 42 2 2 2

2 420 2

x

xV x y x y dydx

= +

Valor deyala salida deD

24y x=

Valor deyala entrada deD

24y x=

D

Donde D es una regintipo 1 y tambin tipo 2,

pero en este ejemplo setrabaja como una regin

tipo 1.

En el siguiente captulo,se mostrar como

resolver una integral deeste tipo, empleando uncambio de variable

apropiado.


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Dibuje el slido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z= y

dentro del cilindro 2 2 1x y+ , calcule su volumen empleando

integrales dobles.

En la figura siguiente se aprecia el slido S, acotado por las

superficies 4z xy= + y 1z= y dentro del cilindro 2 2 1x y+ .

Figura 3.12

Slido S del ejemplo 3.5

El volumen del slido S, se obtiene mediante la integral doble:

[ ] [ ]4 1 3D D

V xy dA xy dA= + = +

donde D es la proyeccin del slido S en el plano xy. Esta

proyeccin, se observa en la figura 3.13

EJERCICIO 5

S2 2 1x y+ =

Valor deza

la salida de S4z xy= +


1z=


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Figura 3.13


En este caso, la reginDse define como:

( ){ }2 2, 1 1 1 1D x y y x y y=

Dibuje el slido S acotado por 3 31z x y xy= + + , 0z= , 3y x x= y

2

y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles.

En la figura 3.14 se observa el slido S,acotado superiormente por

3 31z x y xy= + + e inferiormente por 0z= ; mientras que las

superficies 3y x x= y 2y x x= + definen las paredes de dicho

cuerpo tridimensional.

EJERCICIO 6


21x y=


21x y=

DEn este ejemplo, laregin D es de tipo 1 y

tambin tipo 2, pero setrabaja como una regin


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Figura 3.14

Slido Sdel ejemplo 3.6

Donde, el volumen del slido S, se obtiene como:

3 3 3 31 0 1D D

V x y xy dA x y xy dA = + + = + +

Al proyectar el slido anterior en el plano xy, se obtiene la regin

bidimensionalD,la cual se aprecia en la figura 3.15

Figura 3.15


Valor deyala salida deD

3y x x=

Valor deyala entrada deD

2y x x= +

D

En la figura 3.15, se

observa que la regin Ddel ejemplo 3.6 es unaregin de tipo 1.

S

Valor dezala salida de S

3 3

1z x y xy= + +


0z=


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Por lo tanto, la reginDse define como:

( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= +

La integral de volumen queda como:

3

2

03 3

11

x x

x xV x y xy dydx

+ = + +

13 90

11 8 7 6 3 2

1

7 5174 2 2

4 4 1260

x xV x x x x x x x dx

= + + =

MASA DE UNA FIGURA PLANA

A continuacin, se explica como determinar la masa de una figura

plana no homognea, de rea D , como la regin mostrada en la

figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad vara en

cada punto ( )x, y D .

Figura 3.16

Regin D no homognea

La densidad tieneunidades de masa por

rea unitaria.Para esta aplicacin,

considere que la funcin

densidad es continua

en la regin D .

En la figura 3.16 laregin D es nohomognea, por lo cual

su sombreado no esuniforme.

Adicionalmente:

( ) ( )0x, y x, y D =


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Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ij, y D , entonces la masa

de este subrectngulo, denotada como ijm , se obtiene como:

( )* *,ij i j ijm x y A= (III.6)

Por lo tanto la masa de la placa plana de rea A , se puede

estimar mediante la doble suma de Riemann:

( )* *

1 1

,n m

i j iji j

m x y A= =

(III.7)

Si se aumenta el nmero de subintervalos, de manera que la

norma de la particin Ptienda a cero, se tiene:

( )* *0

1 1

,n m

i j ijP

i j

m Lim x y A

= =

= (III.8)

( ) ( )* *01 1

, ,

n m

i j ijDP

i j

m Lim x y A x y dA

= == = (III.9)

Entonces, el clculo de la masa de una figura plana se obtiene

mediante:

MASA DE UNA FIGURA PLANA

Considere una lmina plana de densidad variable

( ), y ,

que ocupa una regin D en el plano xy, entonces su masa,

denotada m , se obtiene como:

( ),D

m x y dA= (III.10)

El clculo de masa deuna regin D , tambin

puede emplearse para

calcular la cargaelctrica, Q, distribuida

sobre una regin D .

( ),D

Q x y dA=

Donde es la funcin

densidad de carga.


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Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas

2

1x y= y2

2 2x y= , cuya densidad es igual a la unidad.

Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D

m x y dA= , por

lo tanto para esta placa se tiene:

Dm dA=

Ahora, se debe identificar la regin D para definir los lmites deintegracin.

Figura 3.17


Entonces la reginDest definida como:

( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y=

EJERICIO 7


2 1x y=


22 2x y=

D


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Tomando el lmite cuando el nmero de subrectngulos aumenta

en la expresin anterior:

( )* * *0

1 1

,n m

x j i j ijP

i j

Lim y x y A

= =

= (III.14)

( ) ( )* * *0

1 1

, ,n m

x j i j ijDP

i j

Lim y x y A y x y dA

= =

= = (III.15)

Anlogamente, el momento esttico alrededor del eje y, que se

denotay

, se obtiene como:

( ) ( )* * *0

1 1

, ,n m

y i i j ijDP

i j

Lim x x y A x x y dA

= =

= = (III.16)

MOMENTOS ESTTICOS DE FIGURAS PLANAS

Sea D una regin del plano xy, tal que su densidad viene

dada por la funcin 2: , la cual es continua

( )x, y D , entonces el momento esttico alrededor del eje x,

denotado x , se obtiene como:

( ),xD

y x y dA= (III.17)

Mientras que el momento esttico alrededor del eje y,

denotadoy

, se calcula como:

( ),yD

x x y dA= (III.18)


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Determine los momentos estticos de la placa plana descrita en el

ejercicio 7

Solucin:

Los momentos estticos se calculan de la siguiente manera:

( ),xD

y x y dA= y ( ),y Dx x y dA= .

Entonces:

( )2

2

1 1 12

1 2 2 11 0

y

xy

M ydxdy y y dy

= = =

2

2

1 1 14 2

1 2 2 1

3 3 83

2 2 5

y

yy

M xdxdy y y dy

= = + =

EJERCICIO 8

La regin del ejemplo 3.7se muestra a continuacin

Y se encuentra acotada

por las curvas

2

1x y= y 22 2x y= .La densidad es :

( ) 1x, y =

( ) 2 22 2 1

1 1

x, y y x yD

y

=


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CENTRO DE MASA

El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de

coordenadas ( )x , y D , en el cual la regin se equilibra

horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de

las ecuaciones:

yx

m= (III.19)

xym

= (III.20)

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos

estticos se calculan por medio de integrales dobles.

El centro de gravedad

tambin es llamado

centro de masa.El significado fsico delcentro de gravedad, es

que la lmina secomporta como si sumasa estuviera

concentrada en ese punto.

El centro de gravedad

recibe el nombre de

centroide cuando ladensidad es constante.


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Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el

ejercicio 7

El centro de masa es un punto ( )P x , y D , tal que sus

coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y

III.22. Como ya se calcul la masa y los momentos estticos para

esta regin, entonces slo queda sustituir en las ecuaciones III.19

y III.20

865

4 5

3

yMx

m= = =

00

4

3

xMym

= = =

CENTRO DE MASA

Sea D una regin del plano xy, tal que su densidad viene

dada por la funcin 2: , la cual es continua

( )x, y D , entonces el centro de gravedad viene dado por:

( )1

,D

x x y dAm

= (III.21)

( )1

,D

y y x y dAm

= (III.22)

Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como

( ),D

x y dA .

La regin del ejemplo 3.7est acotada por las

curvas 2 1x y= y22 2x y= .

Su densidad es :

( ) 1x, y =

Y adicionalmente seobtuvo:

2

2

1 1

1 2 2

4

3

y

ym dxdy

= =

0

8

5

xD

yD

M ydA

M xdA

= =

= =

EJERCICIO 10

A Plica c i Ones Integral Es

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