GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (RECTAS Y PLANOS)

PUNTOS Y VECTORES EN EL ESPACIO

En el espacio, a cada punto P se le asignan tres

números P ( p1 , p2 , p3 ), que se llaman

coordenadas del punto y que expresan la posición exacta en la que se encuentra respecto de los tres ejes de referencia, el eje X , el eje Y y el Z.

Al vector que une el origen de coordenadas con el puntoP , se llama vector de posición del punto , identificándose las coordenadas del vector de

posición con las del punto O⃗P ( p1 , p2 , p3 ) . De esta

manera cada punto P del espacio queda determinado por su vector de posición O⃗P.

Las coordenadas del vector A⃗B , que tiene

por origen el punto A(a1 , a2, a3) y por

extremo el punto B(b1 , b2 , b3), se calculan restando a las coordenadas del extremo las del origen.

El la figura de la izquierda, se puede ver que:

O⃗B=O⃗A+ A⃗B⟹ A⃗B=O⃗B−O⃗A

A⃗B= (b1 , b2 ,b3 )−(a1 , a2 , a3)

A⃗B=(b1−a1 , b2−a2 , b3−a3)

1

Ejemplo. El vector A⃗B de origen el punto A(−2,3 ,−1) y extremo el punto B (4 ,2 ,6 ), tiene de coordenadas : A⃗B= (4−(−2 ) ,2−3 ,6−(−1 ) )⟹ A⃗ B=(6 ,−1,7)

ECUACIONES DE LA RECTA (VECTORIAL, PARAMÉTRICAS Y CONTINUA )

Una recta (r ) en el espacio queda

definida mediante un punto y un vector.

Un punto por el que pasa la recta y un vector que tiene su misma dirección y que se llama vector director.

La recta (r ) de la figura, pasa por el

punto A(a1 , a2 , a3) , y tiene la dirección

que le marca el vector v⃗ (v1 , v2 , v3).

A la expresión r ¿ se le llama

determinación lineal de la recta

La recta (r ) esta formada por infinitos

puntos. LlamamosX ( x , y , z ) a un punto genérico de dicha recta.

Si hacemos que el punto genérico X ( x , y , z ) se desplace a lo largo de la recta, todos los vectores A⃗X , de origen el punto A(a1 , a2 , a3) y de extremo los infinitos puntos X ( x , y , z ) , serán paralelos al vector v⃗ (v1 , v2, v3) y por lo tanto, proporcionales a él.

A⃗X paralelo al vector v⃗⟹ A⃗X y v⃗ son proporcionales⟹ A⃗X=t· v⃗ ; siendo t∈ R

Observando la figura, vemos que, O⃗X=O⃗A+ A⃗X y sustituyendo A⃗X por t· v⃗ , aparece la llamada ecuación vectorial de la recta:

O⃗X=O⃗A+ t· v⃗ ecuación vectorial

Si sustituimos los diferentes vectores por sus correspondientes coordenadas, aparece la ecuación vectorial de la recta en función de las coordenadas:

2

( x , y , z )=(a1 , a2 , a3 )+t (v1 , v2 , v3 )ecuación vectorial

Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial de la recta (r ) que pasa por el punto A (−2 ,5 ,3 ) y tiene como vector director a v⃗ (1,−3 ,4) .

(r )≡ ( x , y , z )=(−2,5,3 )+ t (1 ,−3,4 )

Si en la ecuación vectorial operamos las coordenadas de los vectores, tenemos:

( x , y , z )=(a1 , a2 , a3 )+t (v1 , v2 , v3 )

( x , y , z )=(a1 , a2 , a3 )+(t·v¿¿1 , t·v2 ,t·v 3)=(a1+t·v 1, a2+t·v 2 , a3+ t·v3)¿

Si igualamos coordenada a coordenada, aparecerán las ecuaciones paramétricas de la recta.

{x=a1+t·v1y=a2+ t·v2z=a3+t· v3

ecuaciones paramétricas

Ejemplo : Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta (r ) que pasa por el punto A (−2 ,5 ,3 ) y tiene como vector director a v⃗ (1,−3 ,4) y tres puntos cualesquiera de ella.

(r )≡{x=−2+ty=5−3 tz=3+4 t

A medida que vayamos danto valores reales al parámetro t, irán surgiendo los infinitos puntos de la recta. Por ejemplo, vamos a dar a t los valores, −2 ,3 y 5 .

Para t=−2⟹ { x=−2−2=−4y=5−3 · (−2 )=11z=3+4 · (−2 )=−5

⟹B (−4 ,11 ,−5)

Para t=3⟹ { x=−2+3=1y=5−3 ·3=−4z=3+4 ·3=15

⟹C (1 ,−4,15)

Para t=5⟹ { x=−2+5=3y=5−3 ·5=−10z=3+4 ·5=23

⟹D(3 ,−10,25)

3

Si en cada una de las tres ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro t y luego igualamos, aparecerá la ecuación continua de la recta.

{x=a1+t· v1y=a2+ t·v2z=a3+t· v3

⟹

t=x−a1v1

t=y−a2v2

t=z−a3v3

⟹x−a1v1

=y−a2v2

=z−a3v3

x−a1v1

=y−a2v2

=z−a3v3

ecuación continua

Ejemplo: Hallar la ecuación continua de la recta (r ) que pasa por el punto A (−2 ,5 ,3 ) y tiene como vector director a v⃗ (1,−3 ,4) y comprobar si los puntos P(−3 ,8 ,−1) y Q(0 ,−1 ,4) pertenecen a dicha recta.

(r )≡ x+21

= y−5−3

= z−34

Si un punto pertenece a una recta, tendrá que verificar la ecuación de dicha recta, es decir, si introducimos las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, tendrá que aparecer el mismo valor en los tres cocientes.

P (−3 ,8 ,−1 )⟹ (−3)+21

=(8)−5−3

=(−1)−34

⟹−11

= 3−3

=−44⟹−1=−1=−1

Q (0 ,−1,4 )⟹ (0)+21

=(−1)−5

−3=

(4)−34

⟹ 21=−6

−3= 14⟹2=2≠ 1

4

Mientras que el punto P si pertenece a la recta (r ), el punto Q no pertenece

Ejemplo: Calcular la ecuación continua de la recta (r ) , que pasa por el punto

A(3 ,−5 ,−1) y que es paralela a la recta (s) de ecuación: { x=1+4 ty=2+2 tz=−4−6 t

.

Si dos rectas son paralelas, tienen la misma dirección, luego comparten el mismo vector director . El vector director de la recta (s) es v⃗ (1 ,2,−4 ), que también vale para (r ).

4

r ( A , v⃗ )⟹ x−31

= y+52

= z+1−4

ECUACIONES DEL PLANO (VECTORIAL, PARAMÉTRICAS Y VECTORIAL)

Un plano (π ) en el espacio, quedadeterminado por un punto A y dos vectores no paralelos v⃗ y u⃗.

(Un punto por el que pasa el plano y dos vectores que tienen distintas direcciones y que se llaman vectores generadores.)

El plano (π ) de la figura pasa por el

punto A(a1 , a2 , a3) y tiene a v⃗ (v1 , v2, v3) y u⃗(u1, u2 ,u3) como

vectores generadores.

A la expresión π (A , v⃗ , u⃗) se llama

determinación lineal del plano.

El plano (π ) está formado por infinitos puntos. LlamamosX ( x , y , z ) a un punto genérico de dicho plano. Si hacemos que el punto genérico X ( x , y , z ) se desplace a lo largo y ancho de todo el plano, todos los vectores A⃗X , de origen el punto A(a1 , a2 , a3) y de extremo los infinitos puntos X ( x , y , z ), se

podrán expresar como una combinación lineal de los vectores generadores v⃗ (v1 , v2, v3) y u⃗(u1, u2 ,u3).

A⃗X combinación lineal de v⃗ y u⃗⟹ A⃗X=t· v⃗+s· u⃗ ;siendo t , s∈R

Observando la figura, vemos que O⃗X=O⃗A+ A⃗X y sustituyendo A⃗X por t· v⃗+s· u⃗, aparece la llamada ecuación vectorial del plano.

( x , y , z )=(a1 , a2 , a3 )+t (v1 , v2 , v3 )+s (u1 ,u2 , u3)ecuación vectorial

Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial del plano (π ) que pasa por el punto A (3 ,−1 ,4 ) y tiene como vectores generadores a v⃗ (−2 ,−5 ,1) y u⃗(4 ,−1,6).

5

(π )≡ ( x , y , z )=(3 ,−1,4 )+t (−2 ,−5,1 )+s (4 ,−1,6)

Si en la ecuación vectorial operamos las coordenadas de los vectores, tenemos:

( x , y , z )=(a1 , a2 , a3 )+t (v1 , v2 , v3 )+s (u1 ,u2, u3)

( x , y , z )=(a1, a2 , a3 )+(t·v¿¿1 , t·v2 ,t·v 3)+(s·u1+s·u2+s·u3)=(a1+t·v1+s·u1, a2+t·v 2+s·u2 , a3+t·v3+s·u3)¿

Si igualamos coordenada a coordenada, aparecerán las ecuaciones paramétricas de la recta.

{x=a1+t· v1+s·u1y=a2+ t·v2+s·u2z=a3+t· v3+s·u2

ecuaciones paramétricas

Ejemplo: Hallar las ecuaciones paramétricas del plano (π ) que pasa por el punto A (3 ,−1 ,4 ) y tiene como vectores generadores a v⃗ (−2 ,−5 ,1) y u⃗(4 ,−1,6).

(π )≡{ x=3−2 t+4 sy=−1−5 t−sz=4+t+6 s

Como el vector A⃗X es una combinación lineal de v⃗ y u⃗ , el determinante de la matriz que los contiene vale cero. (Recuerda, que si en una matriz una fila o columna es una combinación lineal de otras, su determinante vale cero). Como las coordenadas de los tres vectores son:

A⃗X= (x , y , z )−(a1 , a2 ,a3 )=(x−a1 , y−a2 , z−a3 ) ; v⃗ (v1 , v2 , v3 ) ; u⃗(u1 , u2 ,u3)

det ( A⃗X , v⃗ , u⃗ )=0⟹|x−a1 y−a2 z−a3v1 v2 v3u1 u2 u3 |=0

desarrollando el determinante aparecerá una expresión que tiene el aspecto que vemos a continuación y que es la llamada ecuación general del plano (la más empleada).

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|x−a1 y−a2 z−a3v1 v2 v3u1 u2 u3 |=0⟹ax+by+cz+d=0ecuacióngeneral

Ejemplo: Hallar la ecuación general del plano (π ) que pasa por el punto A (3 ,−1 ,4 ) y tiene como vectores generadores a v⃗ (−2 ,−5 ,1) y u⃗(4 ,−1,6).

(π )≡|x−3 y+1 z−4−2 −5 14 −1 6 |=0⟹−29 x+16 y+22 z+15=0

Si un plano (π ) pasa por tres puntos A (a1 , a2 , a3 ) ,B (b1 ,b2 , b3 ) y C(c1 , c2 ,c3) , su determinación

lineal es: (π )(A , A⃗B , A⃗C ) , es decir, elegimos uno cualquiera de los tres puntos y utilizamos como vectores generadores los que se obtienen al unir los puntos entre sí.

Ejemplo: Hallar la ecuación del plano (π ) que pasa por los puntos A(−3 ,−1 ,4) , B(4 ,0 ,−5) y C (2 ,−5 ,−1).

Como un plano queda definido por un punto y dos vectores generadores que tienen que ser paralelos al plano, cogemos por ejemplo el punto A y los vectores que se obtienen al unir el punto A con el B y el A con el C.

A⃗B=B−A=(4 ,0 ,−5)−(−3 ,−1 ,4 )=(7 ,1 ,−9)A⃗C=C−A=(2 ,−5 ,−1 )−(−3 ,−1 ,4 )=(5 ,−4 ,−5)

π (A , A⃗B , A⃗C )⟹|x+3 y+1 z−47 1 −95 −4 −5 |=0 ;operandoel determinante :

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−5 ( x+3 )−5 ( y+1 )−28 ( z−4 )−5 ( z−4 )−36 ( x+3 )+35 ( y+1 )=0

41 x+10 y+33 z+1=0ecuación general del plano(π )

ECUACIÓN DE LA RECTA COMO INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

Si de la ecuación continua de la recta despejamos la x y la y en función de la z obtenemos la llamada ecuación reducida de la recta.

x−a1v1

=y−a2v2

=z−a3v3

={ x−a1v1=z−a3v3

⟹ x−a1=v1v3z−

v1a3v3

y−a2v2

=z−a3v3

⟹ y−a2=v2v3z−

v2a3v3

⟹

⟹ {x= v1v3z+(a1− v1a3

v3 )y=

v2v3z+(a2− v2a3

v3 )⟹ {x=mz+ny=pz+q

ecuaciónr educida

Si en la ecuación reducida de la recta pasamos al primer miembro los distintos términos de las dos ecuaciones, aparecerá la ecuación de la recta como la intersección de dos planos.

8

Ejemplo. Pasar a la forma reducida de la recta la ecuación:

(r )≡ x−14

= y+31

= z+2−2

x−14

= y+33

= z+2−2

⟹ { x−14 = z+2−2

⟹ x−1=−42

( z+2 )⟹ x=−2 z−3

y+33

= z+2−2

⟹ y+3=−32

( z+2 )⟹ y=−32z−6

(r )≡{ x=−2 z−3

y=−32z−6

ecuaciónreducida de larecta (r )

Ejemplo. Hallar las coordenadas de un vector director de la recta (r )≡{ x=3 z+1y=2 z−5

Una de las maneras de hallar un vector director de la recta, es pasarla a la forma continua, y despejar la z de las dos ecuaciones, para igualar a continuación.

{ x=3 z+1y=2 z−5⟹

z= x−13

z= y+52

⟹ x−13

= y+52

= z1⟹ v⃗ (3 ,2 ,1)

Ejemplo. Pasar a las forma reducida la ecuación de la recta:

(r )≡{2x− y+ z−3=0x+ y+2 z+1=0

Al ser |2 −11 1 |≠0 el sistema es compatible indeterminado (r<n) , se trata de dos planos

no paralelos es decir, generan una recta.

Para pasar a la forma reducida despejamos la x y la y en función de la z.

{2x− y+z−3=0x+ y+2 z+1=0

⟹ {2 x− y=−z+3x+ y=−2 z−1

⟹2 x− y=−z+3x+ y=−2 z−1

¿¿

3 x=−3 z+2

x=−z+ 23⟹ y=−2 z−1−x=−2 z−1+ z−2

3=−z−5

3

9

(r )≡{ x=−z+ 23

y=−z−53

ecuaciónreducida de larecta(r)

Ejemplo. Pasar a las ecuaciones paramétricas la ecuación de la recta (r ) , indicando las coordenadas de un punto cualquiera de la misma y de un vector director:

(r )≡{2x− y+ z−3=0x+ y+2 z+1=0

Para pasar a la forma paramétrica se resuelve el sistema haciendo z=t

{2x− y+z−3=0x+ y+2 z+1=0

z=t⟶ {2 x− y=−t+3

x+ y=−2t−1⟹

2x− y=−t+3x+ y=−2 t−1

¿¿

3 x=−3 z+2

x=−t+ 23⟹ y=−2 t−1−x=−2t−1+t−2

3=−t−5

3

(r )≡{ x=23−t

y=−53

−t

z=t

⟹ {A( 23,−53,0)

v⃗ (−1 ,−1,1)

ecuacionesparamétricas

ECUACIONES DE LOS EJES DE COORDENADAS

El eje X es la recta que forman los planos y=0 y z=0 al cortarse.

El eje Y es la recta que forman los planos x=0 y z=0 al cortarse.

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El eje Z es la recta que forman los planos y=0 y x=0 al cortarse.

Eje

Vectordirector

Ecuacionesimplícitas

Ecuacionesparamétricas

X i⃗(1 ,0 ,0) X ≡{y=0z=0 X ≡{ x=ty=0z=0

Y j⃗(0 ,1 ,0) Y ≡{x=0z=0 Y ≡{x=0y=tz=0

Z k⃗ (0 ,0 ,1) Z≡{x=0y=0 Z≡{x=0y=0z=t

PLANOS BISECTORES

Los planos bisectores, son los que equidistan de los planos que forman un ángulo diedro.

La recta (r ) es la recta intersección del

plano bisector x= y y el plano z=0

(r )≡{x= yz=0

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La recta (r ) es la recta intersección del

plano bisector x=z y el plano y=0

(r )≡{x=zy=0

La recta (r ) es la recta intersección del

plano bisector y=z y el plano x=0

(r )≡{y=zx=0

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RECTAS CON ALGUNA COMPONENTE DEL VECTOR DIRECTOR CERO

La recta (r ) que pasa por el punto A(−2,0 ,−1) y tiene a v⃗ (0 ,1 ,−1) como vector director, se expresaría en forma continua de la forma siguiente:

(r )≡ x+20

= y1= z+1

−1

pero es evidente, que no se puede expresar de esta manera, ya que uno de los denominadores es cero. La forma adecuada de expresarse y su gráfica correspondiente son:

(r )≡{ y1= z+1−1

x=−2

De igual manera la recta que pasa el punto A(0 ,−1 ,−2) y tiene a v⃗ (1,0 ,−2) como vector director, se expresaría en forma continua de la forma siguiente:

(r )≡ x1= y+1

0= z+2

−2

pero como uno de los denominadores es cero, la expresión no es correcta, por lo que tendría que ser:

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(r )≡{x1= z+2−2

y=−1

Finalmente, la recta que pasa el punto A(0 , 13,3) y tiene a v⃗ (3 ,−2 ,0) como vector director, se

expresaría en la forma continua de la siguiente manera:

(r )≡ x3=y−13

−2= z−3

0

La forma correcta de expresarse es:

(r )≡{x3= y−13

−2z=3

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En ocasiones, el vector director de una recta tienen dos de sus coordenadas igual a cero. La recta se expresa entonces de la siguiente manera:

La recta (r ) que pasa por el punto A(1 ,3 ,4) y tiene a v⃗ (0 ,0 ,1) como vector director, se

expresaría en forma continua de la forma siguiente:

(r )≡ x−10

= y−30

= z−41

pero está claro, que la recta (r ) no se puede expresar de esta manera, ya que dos de los denominadores son ceros. La forma correcta de expresarse y su gráfica correspondiente son:

(r )≡{x=1y=3

recta paralela al eje Z

La recta (r ) que pasa por el punto A(2,−1 ,2) y tiene a v⃗ (1,0 ,0) como vector director, se expresaría en forma continua de la forma siguiente:

(r )≡ x−21

= y+10

= z−20

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como dos de los denominadores son ceros, la ecuación de la recta no se puede expresar de esa manera. La forma correcta de expresarse y su gráfica correspondiente es:

(r )≡{y=−1z=2

recta paralela al eje X

La recta (r ) que pasa por el punto A(−2,1 ,3) y tiene a v⃗ (0 ,1 ,0) como vector director, se expresaría en forma continua de la forma siguiente:

(r )≡ x+20

= y−11

= z−30

La forma correcta de expresarse y su gráfica correspondiente es:

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(r )≡{x=−2z=3

recta paralela al eje Y

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