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Programa de Doctorado en Ingeniería Aeronáutica – Capítulo IV. Comportamiento elástico de los

materiales

Comportamiento Mecánico de Materiales – Dr. Alberto Monsalve González 4 - 1

Comportamiento elástico de los materiales

Bases Atómicas del Comportamiento Elástico

Energía y Fuerza de Enlace

La Energía Potencial V de un par de átomos puede expresarse como una función de la

distancia de separación entre ellos, r:

mn r

B

r

AV

A, B son constantes de proporcionalidad para atracción y repulsión.

m, n son exponentes que determinan la variación apropiada de V con r.

La fuerza de atracción y repulsión que existe entre dos átomos se obtiene de

r

VF

Por tanto: 11

mn r

mB

r

nAF

Redefiniendo constantes:

MN r

b

r

aF

MmNn

bmBanA

11


materiales


Fuerza

Repulsión

Atracción

Mínimo

r0

distancia

interatómica

MN r

b

r

aF

Energía Potencial

Repulsión

Atracción

r0

distancia

interatómica

Mr

bF

M

MN

r

AV

r

B

r

AV

Mr

BV

La separación de equilibrio entre dos átomos r0, está dada por el valor de r que

corresponde al mínimo de energía potencial.

La fuerza neta es cero para r = r0 y un desplazamiento en cualquier dirección provocará

la acción de fuerzas que restauran el equilibrio.

Por lo tanto los átomos en una red cristalina tienden a estar arreglados en un patrón

definido, con respecto a sus vecinos.

Las deformaciones macroscópicas elásticas son el resultado de un cambio en el

espaciado interatómico.

Por lo tanto, las deformaciones se pueden expresar como:

0

0

r

rr

Nr

aF

Figura 1. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.


materiales


00

2

2

rrrr r

VE

r

F

Figura 2. Diagrama de fuerza frente a distancia interatómica.

Ind. Recordar que EykrF

Fuerza

rr

0

MN r

b

r

aF

dr

dF


materiales


Figura 3. Diagramas de energía potencial y fuerza de interacción frente a la distancia interatómica.

Observaciones.

a) F es cero a la distancia de separación r0

b) Si los átomos son alejados o acercados una distancia 0rr , aparece una fuerza que

se opone a este cambio en la distancia.

c) La fuerza es aproximadamente proporcional a r - r0 si r - r0 es pequeño, tanto en

tensión como en compresión.

d) La rigidez (stiffness) del enlace es

V

r

F

r

Repulsión

Atracción

r0

0

r

V


materiales


2

2

r

V

r

FS

e) Cuando la perturbación es pequeña, S es constante e igual a

0

2

2

0

rrr

VS

De esto se deduce que el enlace se comporta de manera elástica – lineal.

Esto significa que la fuerza entre pares de átomos, separados una distancia r es

00 rrSF

F F

r0

r

Figura 4. Esquema de las fuerzas de interacción entre dos átomos.

Dado un sólido con un número muy grande de pares de átomos por plano la fuerza por

unidad de área será:

00 rrNS

N: Nº de enlaces/área = 2

0

1

r

2

0r : área promedio por átomo

Si r-r0 se divide por r0

0

0

r

rrn


materiales


0

0

0

0

r

SE

r

Sn

S0 se calcula a partir de 2

2

r

V

La curva de esfuerzo versus deformación en compresión es la extensión de la curva a

tracción.

Zona

Elástica

Zona

Elástica

Figura 5. Diagrama - para un material en general.

Propiedades que dependen del enlace

a) La fuerza del enlace (temperatura de fusión) es proporcional a la profundidad del

pozo de potencial.

b) El coeficiente de expansión térmica está relacionado con la asimetría de la curva de

energía potencial versus distancia interactiva.

c) El módulo de Young, es proporcional al radio de curvatura del mínimo de la curva

de energía potencial versus distancia interatómica.


materiales


Ejercicio: En los siguiente ejemplos ordenar los materiales por punto de fusión,

coeficiente de dilatación lineal y módulo de Young.

V V

r r

r

V V

r

Figura 6. Diversos casos de curva de energía potencial versus difracción interatómica.

Tabla 1. Propiedades de diversos materiales.

Elemento Coeficiente de

dilatación lineal

(1/° C)

Temperatura de

fusión(°C)

Módulo de Young

(GPa)

Pb 29,3X10-6 327,4 14

Zn 39,7X10-6 419,5 43

Mg 26,1X10-6 650 41

Al 23,6X10-6 660 69

Ag 19,6X10-6 960,8 76

Cu 16,4X10-6 1083 124

Fe 12,2X10-6 1536,5 196

Cr 6,2X10-6 1875 289

W 4,6X10-6 3410 406


materiales


Introducción a la teoría de la elasticidad

En la teoría elástica existen dos requerimientos:

i) La teoría debe predecir la conducta de los materiales bajo la acción de las fuerzas

aplicadas.

ii) La teoría debe ser simple de tal manera que la matemática pueda ser aplicada en un

amplio rango de problemas para permitir la solución de las ecuaciones planteadas.

Para cada tipo de esfuerzo existe una deformación correspondiente.

La propiedad que le permite a un cuerpo recuperar su forma inicial, al dejar de actuar la

carga, se denomina ELASTICIDAD.

Un cuerpo es perfectamente elástico si recupera completamente su forma inicial.

Supuestos de la teoría de la elasticidad

En la teoría de la elasticidad se asume que el material es:

i) Perfectamente elástico

ii) Continuo

iii) Homogéneo (las propiedades son las mismas en todos los puntos)

iv) Isotrópico (todas las propiedades son iguales en todas las direcciones alrededor

de un punto dado).

El material, desde el punto de vista atómico dista mucho de cumplir estas condiciones

Ej. Materiales Anisótropos Laminados Texturas

Formulación tensorial de la ley de Hooke

La ley de Hooke se puede generalizar como:

C

“La extensión es proporcional a la fuerza”

klijklij C


materiales


ijklC : Es un tensor de cuarto orden y representa una constante elástica (34 = 81

componentes)

Dado que

i) El tensor esfuerzo es simétrico.

jiklijkljiij CC

6·3·3 = 54 componentes.

ii) El tensor deformación es simétrico.

lkkl 36 componentes

iii) Aplicando el teorema de reciprocidad.

klijijkl

ij

kl

kl

ijCC

21 componentes.

Indicación: Un tensor de orden 2 y dimensión n posee n2 elementos. Al ser simétrico

el número de componentes es 2

)1( nn

iv) Planos de simetría.

xy

xz

yz

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

CC

CC

CCC

6616

2212

161211

....

.

.

.

...

Al existir un plano de simetría xy

C14 = C15 = C24 = C25 = C16 = C56 = 0

Al existir un plano de simetría yz

C46 = C26 = C34 = C35 = C36 = C45 = 0


materiales


Un tercer plano de simetría no agrega nada nuevo por tanto, con dos o tres simetrías, se

tiene

66

55

44

332313

232212

131211

00000

00000

00000

000

000

000

C

C

C

CCC

CCC

CCC

9 Ctes.

Esto quiere decir que para materiales ortótropos (3 planos de simetría), Cijkl se reduce a

nueve constantes.

v) Isotropía: Mismo comportamiento en todas las direcciones

Al rotar el sólido deben preservarse las propiedades

CASO I: Giro respecto del eje x

Matriz de Transformación

010

100

001

a

Nota: Cada elemento de a corresponde a

jiij xxa ,'cos

I II

III

x xx

yyy

zzz

z'

y'

x'

y' x'

y'

Figura 7. Giros para un material isótropo.


materiales


por ejemplo 1,'cos11 xxa

0,'cos13 zxa

1,'cos32 yza

zyzxz

yzyxy

xzxyx

ij

yyzxy

yzzxz

xyxzx

T

ijij aa

'

yyzxy

yzzxz

xyxzx

T

ijij aa

'

xy

xz

yz

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

C

C

C

CCC

CCC

CCC

66

55

44

332313

232212

131211

00000

00000

00000

000

000

000

(1)

xz

xy

yz

y

z

x

xz

xy

yz

y

z

x

C

C

C

CCC

CCC

CCC

66

55

44

332313

232212

131211

00000

00000

00000

000

000

000

(2)

de (1) de (2)

zyxx CCC 131211 (*) yzxx CCC 131211 (**)

de (*) y (**) se tiene C12 = C13


materiales


zyxy CCC 232212 (***) yzxz CCC 232212 (****)

zyxz CCC 332313 yzxy CCC 332313

(***) con 3322 CC

yzyz C 44 yzyz C 44

xzxz C 55 xyxy C 55

xyxy C 66 xzxz C 66

6655 CC

CASO II: Giro respecto del eje z

Matriz de transformación

100

001

010

a

5544

2313

2211

CC

CC

CC

La matriz de coeficientes queda

C

C

C

ABB

BAB

BBA

C

C

C

CCC

CCC

CCC

00000

00000

00000

000

000

000

00000

00000

00000

000

000

000

44

44

44

111212

121112

121211

CASO III. Giro con respecto al eje z en un ángulo cualquiera

cossen

sencosa


materiales


yxy

xyx

yxy

xyx

''

''

cossen

sencos

cossen

sencos

2cos2

2sen' xyxyxy

Además, al aplicar la matriz de coeficientes

zxyy

zyxx

xyxy

BA

BA

C

2cos2

2' xyyxxy C

senBAAB

Además

xyxy C ''

xyxy C ''

pero

2cos2

2' xyxyxy

sen

2cos2

2sen2cos

2

2senxyxyxyyx CCCAB

BAC


materiales


Constantes de Lamé ,

ijijkkij

yzyz

xzxz

xyxy

zyxz

zyxy

zyxx

A

B

C

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Relación entre los coeficientes elásticos y los valores obtenidos experimentalmente

Tracción

xz

xy

xx E

= coeficiente de Poisson

ijkk

ijij

kkkk

kkkkkk

ijkkijij

231222

1

2312

3·22

1

22

1


materiales


Finalmente :

ijkkijij

3222

1

Ensayo de tracción 0 zy

32

1

32

32

2

1

3222

1

E

E

xji

xxx

xxx

Dado que 0 zy (tracción uniaxial)

)(22

322

2

322

322

x

y

xx

xz

xy

Ensayo de cortadura simple

xyxyxy

xyxyxyxy GG

22

0


materiales


ya que ijkkijij

3222

1

entonces xyxyxyxy

xy

xy Gquedadoy

22

2

G

, en función de E y

211

E

12

E

EG

EG

12

ijkkijij

ijijkkij

ijijkkij

EE

EE

1

1211

2

Módulo de compresibilidad

vv

K m

Corresponde al cambio de volumen en un material al aplicársele una carga.

Si 0

0

Kv

Kv

3

32

32

312

m

mmm K


materiales


Finalmente ij en función de E y

GE

GE

GE

xy

xyyxzz

yz

yzzxyy

xzxzzyxx

1

1

1

Energía de deformación

Sea un sólido que en 0t está sin deformar. Consideremos el sólido en dtt

Si u

es el desplazamiento dtt

uu

es el desplazamiento final.

Considerar dW : Incremento de trabajo, dW puede deberse a fuerzas de superficie o

fuerzas de volumen.

dtuudtt

uu ii

ii

Fd

desplaztrabajo

dtudVxdtudAdW iiiiiju

.

0,

ijij

V

ii

A

ijij

iiijij

u

xdVuxdAudt

dW

udVxudAdt

dW

Teorema de Gauss

dV

x

FdVFdSdF

i

ii

S


materiales


V

ijij

V

ijij

V

jiij

ijij

V

jiij

dVdt

dW

dVdVu

dVudVudt

dW

,

,,

Densidad de energía de deformación

ijijijij ddUdt

dU 0

0

mmijij

ijijmijij

ijijmijijij

dd

dd

dddU

92

32

320

22

90

00

0

mijij

t

U

dU

ij

ijijmijij

mijU

2

1

2

9

322

3

2

2

0

ijijU 2

10


materiales


Ejercicios propuestos

1.- Se considera un prisma regular cuyo material tiene un módulo de elasticidad

E=2,8x105 kg/cm2 y coeficiente de Poisson =0,1. La longitud del lado de la sección

recta es a=20 cm. En ambas bases del prisma se colocan dos placas perfectamente lisas y

rígidas de peso despreciable, unidas entre sí mediante cuatro cables de sección 1 cm2 y

módulo de elasticidad E1 = 2x106 kg/cm2 de longitudes iguales a la altura del prisma l=1

m, simétricamente dispuestos como se indica en la figura.

Sobre las caras laterales opuestas del prisma se aplica una fuerza de compresión

uniforme p=750 kg/cm2. Se pide calcular:

a) Tensión en los cables

b) Tensiones principales en el prisma

c) Variación de volumen experimentada por el prisma

2.- Demostrar la siguiente ecuación de compatibilidad

zyxxzy

xyxzyzx2

2

a

a

p


materiales


3.- Un bloque de aluminio es comprimido entre paredes de acero perfectamente rígidas y

lisas (= 0.3; E=6000 Kg/mm2). Determinar:

a) Las dimensiones del agujero si las presiones laterales no deben exceder de 2 Kg/mm2

b) El cambio de volumen del bloque.

c) Las deformaciones normal y cizallante en un plano cuya normal es

kjin 223

1ˆ.

y

z

y

50

mm

P=12

Ton

50

mm 30 mm

x

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