9naSesion_TransformadaZ
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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA A PROFESIONAL DE INGENIERIA MECATRONICA PROFESOR: ING. JAVIER RIVAS LEÓN
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Transformada Z
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UNIVERSIDAD RICARDO PALMAFACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA A PROFESIONAL DE INGENIERIA MECATRONICA
PROFESOR: ING. JAVIER RIVAS LEÓN
LA TRANSFORMADA Z
La transformada Z para sistemas discretos desempeña un papel análogo a la transformada de Laplace para sistemas continuos. Nos va a permitir representar la relación entrada salida de un sistema LTI mediante un cociente de polinomios en lugar de mediante una ecuación en diferencias.
Esto facilitará el cálculo de operaciones como la convolución o el cálculo de la salida de un sistema ante una determinada entrada.
LA TRANSFORMADA Z
REGIÓN DE CONVERGENCIA
Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como:
donde z es una variable compleja.
Habitualmente se representa G(z) = Z{ g[n] } o G(z) = TZ{ g[n] }
La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:
LA TRANSFORMADA Z
REGIÓN DE CONVERGENCIA
Dado que la transformada Z es una serie de potencias infinita, sólo existe para aquellos valores de z para los que la serie converge. El conjunto de valores de Z para los que la suma es finita se denomina región de convergencia.
La TZ de una secuencia g[n] se especifica como G(z) y su ROC
LA TRANSFORMADA Z
EJEMPLOS:
LA TRANSFORMADA Z
Al ser z una variable compleja podemos hacer el cambio z = r e jω luego la transformada se puede expresar como:
Para que esta serie converja G(z) < ∞ , es necesario que se verifique
es decir que la secuencia { g[n]r−n } sea absolutamente sumable.
El cálculo de la ROC consiste en determinar para qué valores de r la suma converge.
LA TRANSFORMADA Z
En general, para una secuencia bilateral podemos expresar como 2 sumatorios uno para la parte causal y otro para la anticausal:
Para que ambas secuencias converjan, se debe cumplir:
Para que el primer sumatorio converja r debe ser lo suficientemente pequeño como para que la secuencia producto sea sumable, y en el segundo caso debe ocurrir lo contrario; es decir r debe ser lo suficientemente grande.
LA TRANSFORMADA Z
En general para una secuencia bilateral la ROC debe estar comprendida en una anillo del plano complejo de radios r2 < z < r1 siendo r2 el límite de la región de convergencia para la parte causal y r1 para la parte anticausal.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
PARES COMUNES DE TRANSFORMADA Z
FAMILIA DE SEÑALES CARACTERÍSTICAS Y SUS CORRESPONDIENTES ROC
FAMILIA DE SEÑALES CARACTERÍSTICAS Y SUS CORRESPONDIENTES ROC
LA TRANSFORMADA Z
EJEMPLO 01:
LA TRANSFORMADA Z
EJEMPLO 02:
La última igualdad se obtiene con la fórmula de la sumatoria para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si |0.5 Z-1| < 1, lo cual puede ser reescrito para definir z de modo |z| > 0.5.
Por lo tanto, la ROC es |z| > 0.5.
La ROC es el plano complejo exterior al circulo de radio 0.5 con origen en el centro.
LA TRANSFORMADA Z
EJEMPLO 03:
Usando la fórmula de la sumatoria para series geométricas, y la igualdad sólo se mantiene si |0.5 Z-1| < 1, de modo que se define z como |z| < 0.5.
Por lo tanto, la ROC es |z| < 0.5.
La ROC es el plano complejo interior al circulo de radio 0.5 con origen en el centro.
LA TRANSFORMADA Z
EJEMPLO 04:
LA TRANSFORMADA Z
EJEMPLO 05:
LA TRANSFORMADA Z
EJEMPLO 06:
PROPIEDADES DE LA ROC
PROPIEDADES DE LA ROC
Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un x[n] ambiguo), podemos determinar una única señal x[n] en función de que queramos o no las siguientes propiedades:
Estabilidad Causalidad
Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.
De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo x[n] que sea única.
EJEMPLOS RESUELTOS
Calcule la transformada z de:
EJERCICIOS PROPUESTOS
Aplicando las propiedades anteriores determina la transformada Z y la ROC de las siguientes secuencias.
TRANSFORMADA Z RACIONALES
Una familia muy importante de transformadas Z son aquellas en las que X(z) es un cociente de polinomios en la variable z (o z-1), son las transformadas Z racionales.
Para un sistema LTI sabemos que la relación entrada salida viene dada por:
Si aplicamos transformadas Z y aplicamos la propiedad de convolución.
H(z), que es la transformada Z de la respuesta impulsional, se denomina FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA.
TRANSFORMADA Z RACIONALES
Si nos centramos en los sistemas LTI caracterizados por ecuaciones endiferencias con coeficientes constantes, cuya expresión general es:
y calculamos transformadas Z en ambos miembros aplicando las propiedades de linealidad y desplazamiento temporal tenemos:
POLOS Y CEROS
Ceros: son los valores de z que hacen que H(z) = 0Polos: son los valores de z que hacen que H(z) = ∞
A partir de los ceros y polos de un sistema se puede obtener su función de transferencia salvo un posible factor de ganancia.
Si en la transformada Z racional anterior, expresada en potencias de z-1 b0 ≠ 0 y a0 ≠ 0, sacando factor común b0 z−M y a0 z−N podemos expresar:
POLOS Y CEROS
Si calculamos las raíces de los polinomios del numerador (ceros) y del denominador (polos) podemos expresar de forma factorizada como:
El sistema tiene N-M ceros en el origen si N>M, N-M polos en el origen si N<M.
EJEMPLO 01: POLOS Y CEROS
Determina el diagrama de polos y ceros de un sistema cuya TZ es
EJEMPLO 02: POLOS Y CEROS
Calcula la función de transferencia del sistema definido por la ecuación en diferencias
y(n) = 0.5y(n −1) − 0.3y(n − 2) + 2x(n −1) + x(n − 3) .
Si tomamos transformadas Z en ambos miembros y aplicamos las propiedades de linealidad y desplazamiento temporal tenemos
EJEMPLO 02: POLOS Y CEROS
