Ecuación diferencial de la catenaria

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos,

sometida a un campo gravitatorio uniforme.

Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una

cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida

uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a

la acción de un campo gravitatorio uniforme.

Historia de la ecuación diferencial de la catenaria

Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria.

La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.

Ecuación de la catenaria

La condición de equilibrio de un cable sometido a su propio peso vertical lleva a un

problema de equilibrio en el plano (la catenaria es siempre una curva plana si se

puede despreciar la rigidez flexional del cable). De la condición de equilibrio local

de cada punto se desprende la siguiente ecuación diferencial para la pendiente de

la catenaria, que relaciona las tensiones en los extremos de un tramo y el peso del

mismo:

……………………………………(1)

Donde:

Es el peso por unidad de longitud.

La tensión horizontal que aparecerá en los extremos del cable.

La solución general viene dada por:

……(2)

La solución para de la ecuación anterior para un cable suspendido de dos puntos a la misma altura y cuyo punto mínimo es, tomando su mínimo en el punto (0,a) resulta ser:

es la componente horizontal de la tensión, que es constante, es el peso por

unidad de longitud del hilo y es la función coseno hiperbólico. Si se desarrolla en series de Taylor la ecuación de la catenaria (2) se obtiene una curva cercana a una parábola:

Esto corresponde a la ecuación de una parábola más un término de cuarto orden. Es por este motivo que las gráficas son tan parecidas en el entorno de cero.

Relaciones importantes de la ecuación

La longitud del arco, con el origen de arco en el mínimo es:

La tensión total del hilo es

Deducción de la ecuación de la catenaria

La ecuación diferencial (1) puede deducirse aplicando el equilibrio de fuerzas a una porción infinitesimal de catenaria. Aplicando el equilibrio de fuerzas a las fuerzas horizontales y verticales se tiene que:

Donde:

Es el ángulo formado por la catenaria y la horizontal.

Es la tensión total del cable para cada punto. Es el peso por unidad de longitud.

La primera de las ecuaciones implica que mientras que la segunda de ellas puede escribirse escogiendo adecuadamente el origen de la longitud de arco como:

Introduciendo la relación entre la tangente del ángulo de la pendiente y la longitud de arco:

Derivando la última relación se obtiene precisamente la primera ecuación.

Johann Bernoulli resolvió el problema de la siguiente manera:

Consideró el trozo de cadena OA. Las fuerzas que actúan sobre ese trozo son el peso P, la fuerza F (que depende del lado izquierdo de la cadena y por lo tanto es constante) y G.

Siendo α el ángulo que forma G con la horizontal, tenemos que, como el trozo OA está en equilibrio:

P = G sen a

F = G cos a

Dividiendo ambas ecuaciones tenemos: tg α = P/F pero tg α también es igual a dy/dx.

Pero como la cadena es homogénea, el peso P = k.l (siendo k el peso de la cadena por unidad de longitud y l, la longitud del arco OA)

dy/dx = P/F = kl / F

Como k y F son constantes, podemos hacer F/k = b y nos queda:

dy/dx = l / b

Derivando esta ecuación respecto a x, nos queda:

d2y/dx2 = 1/b dl /dx

Pero dl = raíz (dx2 + dy2) = raíz (1 + (dy/dx)2)

Haciendo dy/dx = z, nos queda:

dz/dx = 1/b raíz (1 + z2)

Integrando queda: z = senh x/b + C

Para calcular la constante C, aplicamos la ecuación en el origen y vemos que C= 0

Deshaciendo en cambio z = dy/dx nos queda:

y = cosh x/b - b

La ecuación genérica de la catenaria en coordenadas cartesianas es: y = a/2(ex/a + e-x/a) = a.cosh(x/a). Siendo a la distancia desde el origen hasta la curva.

En paramétricas: x = a ln t, y = a/2 (t + 1/t)