El examen consta de dos tipos de preguntas. De la 1 a la 5 son de completar en los espacios y de la 6 a la 7

de seleccionar la respuesta correcta e indicarla en la tabla adjunta.

Tabla de respuestas de las preguntas 6 a 22

6 a b c d 12 a b c d 18 a b c d

7 a b c d 13 a b c d 19 a b c d

8 a b c d 14 a b c d 20 a b c d

9 a b c d 15 a b c d 21 a b c d

10 a b c d 16 a b c d 22 a b c d

11 a b c d 17 a b c d

Complete en los espacios.

(16 puntos)

1) Sea f la función dada por la ecuación

4,148

42,2

22,2log

2 xxx

xx

xx

xf

a) 2f _______

b)

__________lim2

xf

x

c) ________lim

4

xfx

d) 4f

__________

e) La función f es discontinua en el(los) punto(s)

_____________

f) El (los) puntos en los que f no es derivable son:

_____________

2) Se está extrayendo agua de un depósito y el volumen

de agua extraída V (en litros) después de t minutos

es 2801600)( tttV

a) La razón media de cambio de la salida del agua

del depósito, durante los 5 primeros minutos

es: _________________________

b) La velocidad con la que sale el agua 5 minutos

después de iniciada la extracción es:

_______________________

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Cálculo Diferencial

Examen final Diciembre de 2012

NOMBRE: _____________________________________________________________________________________

GRUPO: ________________ CALIFICACIÓN: __________

CONSIDERACIONES PARA EL EXAMEN

- No se permite el uso de calculadora. - Tiempo máximo una hora y cincuenta minutos.

- No se pueden consultar apuntes, libros, tablas o - Los celulares deben estar apagados. compañeros.

Puntaje: 50 puntos

3) La gráfica muestra la función de posición de un

automóvil, donde s es la posición en metros y t el

tiempo en segundos. De acuerdo con la forma de la

gráfica se puede afirmar que:

a) Al comparar la rapidez del automóvil en los

puntos B y C , es mayor en el punto ____

b) La velocidad media del automóvil entre B y D

fue (menor, mayor ó igual)______ que la

velocidad que llevaba en C

4) Un punto se está moviendo sobre la gráfica de la

función 12 2 xy , de modo que la abscisa

cambia a una razón dt

dxde 2 scm/ . La razón de

cambio de la ordenada dt

dy cuando el punto tiene

abscisa 1x es igual a _______

5) De la gráfica de la función f con ecuación

3/23/1 3)( xxxf

y derivadas

3/13/2 3

1)(

xx

xxf y

3/43/5 3

2)(

xxxf

se puede afirmar que:

a) El dominio de la función es _________________

b) El(los) intervalo(s) de decrecimiento son

_________________,

c) Tiene extremo(s) relativo(s) en ____________,

d) El(los) intervalo(s) en donde es cóncava hacia

abajo es(son) _______________,

e) Tiene punto(s) de inflexión en ____________

Para las preguntas 6 a 21 seleccione la respuesta correcta e indíquela en la tabla que está dispuesta al final del cuestionario (Cada punto vale 2 para un total de 34 puntos)

6) Si 7lim3

xfx

de las siguientes afirmaciones

I. f es continua en 3x

II. f es diferenciable en 3x

III. 73 f

Se puede concluir que son verdaderas:

a) Ninguna

b) Solamente III

c) Solamente II

d) Solamente I y II

7) De la función f con ecuación 1

123 2

x

xxxf , se

puede afirmar que:

a) La gráfica tiene asíntota horizontal en 1y

b) La gráfica tiene asíntota vertical 1x

c) La función tiene discontinuidad removible en

1x

d) La función tiene discontinuidad no removible ó

esencial en 1x

8) Sea la función f tal que

02

2lim

2

x

fxf

x. Se

puede afirmar que:

a) Cuando x se aproxima a 2, el límite de xf no

existe

b) La función no está definida en 2x

c) La función es discontinua en 2x

d) La derivada de f en 2x es 0

9) A continuación se presenta la gráfica de la función f

La mejor aproximación de la gráfica de la derivada

f es:

a)

b)

c)

d)

10) La pendiente de la recta tangente a la curva

2

1

1y

x

en el punto 11,

2

es:

a) 1

2 2

b) 1

2

c) 1

d) 1

2 2

11) Elxsen

x

x 20 2

cos1lim

es:

a) 0

b) 8

1

c) 4

1

d) No existe

12) La derivada yde la función xxy ln , es:

a) 2

ln ln

x

xx x

b) xx x ln/1

c) x

xx x ln2 ln

d) x

xx x lnln

13) La pendiente de la recta tangente a la curva

0132 xyy en el punto 1,2 es:

a) 0

b) 4

3

c) 2

3

d) 1

14) La función 23 xxg , tiene rectas tangentes con

pendiente 3 en:

a) Un punto

b) Dos puntos

c) Tres puntos

d) Ningún punto

15) La aproximación lineal por la recta tangente de la

función 2( ) xf x e en 0x es:

a) 1y x

b) 2 1y x

c) 2 1y x

d) 2 1y x

12

6

16) El valor de c que satisface la conclusión del

teorema del valor medio para la

función 23 2xxxf en el intervalo 2,0 es:

a) 1

b) 21

c) 2

d) 34

17) La gráfica de )(xgy que satisface

simultáneamente las siguientes tres condiciones

0,0)( xparaxg

20,0)( xparaxg

2,0)( xparaxg es:

a)

x

y

c)

x

y

b)

x

y

d)

x

y

18) Si la base de un triángulo aumenta a una tasa de

3 pulgadas por minuto y la altura correspondiente

disminuye a una tasa de 3 pulgadas por minuto,

entonces la tasa a la que cambia el área:

a) Es constante b) Aumenta todo el tiempo c) Disminuye solamente cuando la base es

mayor que la altura d) Disminuye solamente cuando la base es

menor que la altura

19) El área máxima del rectángulo inscrito en un triángulo escaleno de base 12 cm y altura 6 cm, es:

a) 18 2cm

b) 24 2cm

c) 16 2cm

d) 20 2cm

20) Halle una función f tal que 3)( xxf y la recta

0 yx sea tangente a la gráfica de f

a) 4

4xxf

b) 4

3

4

4

x

xf

c) 14

4

x

xf

d) 14

4

x

xf

21) Para calcular la integral b

a

dxx2 , por medio del límite

de las sumas de Riemann, con subintervalos de igual longitud y escogencia del extremo derecho, se debe usar la expresión:

a) n

abk

n

aba

n

kn

2

1lim

b) n

ab

n

kaba

n

kn

1

2

lim

c) n

abk

n

abab

n

kn

2

1lim

d) n

abk

n

abb

n

kn

2

1lim

22) Si f es integrable, 3

3

0

dzzf y 7

4

0

dzzf ,

entonces de la integral dzzf4

3

se puede afirmar

que:

a) No es posible determinarla

b) Es igual a 4

c) Es igual a 4

d) Es igual a 10