Problema:Una barra de cobre de sección uniforme esta rígidamente unida por sus extremos a 2 muros como se muestra en la figura. La longitud es de 150 cm y la sección es de 12 cm² . la temperatura es de 18°C. sobre la varilla no se ejerce tensión alguna. Determinar el valor de la tensión que ejerce la varilla cuando la temperatura es de 10°C. si el modulo de elasticidad del cobre es

Ecu= 1.1 x 10 kg/cm² y su coeficiente de dilatación lineal es ∞= 16 x 10 /°C.

6 -6

150 cm

Datos:L = 150 cm ; To = 18°C y T1 = 10°C

∞= 16 x 10 /°C ; Ecu = 1.1 x 10 Kg/cm²-6 6

∆L = ∞ x L x ( T1 – To ) = 16 x 10 /°C x 150 cm x ( 10 – 18 )°C-6

∆L = 0.0192 cm Esto significa que la varilla tiende a reducir su longitud pero los muros no lo permiten, por lo que esta soportando una tensión.

∆L = como P x L

A x Ecu P A

= σ :. σ = ∆L x EcuL

σ =0.0192 cm x 1.1 x 10 kg/cm²

150 cm= 140.8 kg/cm²

Si no fuera x los muros seria un esfuerzo de compresión por eso es de tensión.

Problema: Una barra de acero cuadrado tiene 5 cm por lado y 25 cm de longitud, se cargo con una fuerza de compresión axial de 20,000 kg la relación de poisson es de 0.3. determinar la variación unitaria de volumen.Datos:A = 5 x 5 = 25 cm²; L = 25 cm ; P = 20000 kg ; E = 2.1 x 10 kg /cm² ; µ = 0.3 ∆V V

6

= ?

20,000 kg

25 cm

5 cm

5 cm

∆L =P x L

A x E

∆L =25 cm² x 2.1 x 10 kg/cm²

6 20000 x 25 cm

∆L = 0.0095 cm

∆VV

= ϵ ( 1-2µ ) como ϵ =∆L L

Se tiene∆VV

∆LL

( 1- 2µ )=

∆VV

=0.0095

251- ( 2 x 0.3) = 0.000152

Calculo de la variación de volumen

∆V∆LL

= ( 1- 2µ ) X V

∆V =∆L

L( 1- 2µ ) X A x L

∆V = 0.095 cm³

Problema:Durante un ensayo de tracción de una varilla de acero en frio de 13 mm de diámetro, se obtuvieron los siguientes datos:No. Carga axial

en kgAlargamiento cm

1 0 0

2 570 0.0010

3 830 0.0015

4 1020 0.0020

5 1380 0.0025

6 1650 0.0030

7 1920 0.0035

8 2200 0.0040

9 2460 0.0045

10 2750 0.0050

11 3040 0.0055

12 3300 0.0060

13 3110 0.0100

No. Carga axial en kg

Alargamiento cm

14 3140 0.0200

15 3140 0.0300

16 3140 0.0400

17 3120 0.0500

18 3140 0.0600

19 3160 0.1250

20 3500 0.2500

21 4230 0.5000

22 4460 0.7500

23 4560 1.0000

24 4560 1.2500

25 4460 1.5000

26 4300 1.7500

27 4020 1.8750

A la rotura el diámetro final de la barra en la sección que se produce, este fue de 0.75 cm. La longitud patrón es de 5 cm. Aumento a 6.875 cm.Con los datos Calcular:a)El limite de proporcionalidad del materialb) El modulo de elasticidadc) El porciento de alargamiento y el de reducción de area. d) La resistencia a la rotura

Datos: diámetro = 13 mm ; L = 5 cm ;

A = π x D² = 0.785 ( 1.3 cm )² = 1.327 cm² 4

σ = P = de tabla = 570 kg = 429.54 kg/cm² A 1.327 cm² 1.327 cm²

ϵ = ∆L L

= =0.0010 cm

5 cm0.0002

σ =830 kg

1.327 cm²= 625.47 kg/cm²

ϵ =De tablas

L=

0.0015 cm5 cm = 0.0003

No. σ ϵ1 0.0 0.0

2 429.54 2 x 10

3 625.47 3 x 10

4 768.65 4 x 10

5 1039.94 5 x 10

6 1243.40 6 x 10

7 1446.872

7 x10

8 1657.875

8 x10

9 1853.805

9 x 10

10 2072.34 0.001

11 2290.88 0.0011

12 2486.81

0.0012

13 2343.63 0.002

14 2366.24 0.004

No.

σ ϵ

15 2366.24 0.006

16 2366.24 0.008

17 2351.16 0.010

18 2366.24 0. 012

19 2381.31 0.025

20 2637.53 0.050

21 3187.64 0.100

22 3360.96 0.150

23 34.32 0.200

24 3436.32 0.250

25 3360.96 0.300

26 3240.39 0.350

27 3029.39 0.375

-4

-4

-4

-4

-4

-4

-4

-4

a) Limite de proporcionalidad del material = P = 2486.812 kg/cm² Es la máxima Tensión b) Calculo del modulo de elasticidad = E =

σϵ =

2290.882 kg/cm²0.0011

E = 2,086,620 kg/cm² Aprox. E = 2.1 x 10 kg/cm² 6

E =σ

ϵ =2290.882 – 1657.875

0.0011 – 8 x 10-4 = 2.11 x 10 kg/cm²

6

c) Calculo del porcentaje de alargamiento , Si L = 5 cm y LF = 6.875 cm Diámetro inic. = 13 mm , diámetro final = 0.75 cm

% Alargamiento

LF – Lo Lo

= = 6.875 cm – 5 cm 5 cm

=X 100 37.5

% Reducción de área

Ao – AF Ao

= =X 1001.327 – 0.4417 1.327

X 100 = 66.7

x

x x

x

xx

Punto de rotura real

Punto de rotura aparente

Tensión de rotura

Tensión

σ = PA

Limite elástico

Limite de proporcionalidad

Punto de Fluencia

Deformación 0

Diagrama – tensión - deformación

ϵ =

₰

L

(∆L)

L=

Esfuerzo ultimo o´ limite de resiliencia

2726

2524

2322212019181716151413

12 P = 2486.811110987654321

0 0.0020.0012 0.004 0.006 0.008

2366.24 Kg/cm²

Zona plástica

Zon

a

elá

sti

caσ = 3436.22 kg/cm²

Resistencia a la rotura del material = B= 3029.39 kg/cm²

2343.632 = Limite elástico

ProblemaSe tiene una placa de acero rectangular de 3 x 1.2 m y 8 mm espesor sobre la que se coloca un cilindro macizo de acero de 10 cm de diámetro mismo que soporta una carga de 1450 kg y tiene una longitud de 30 cm. Calcular la tensión de corte o el esfuerzo cortante que se induce en la placa de acero.

1450 kg10 cm

30 cm

1.2 m

3m

Esta es el área de trabajo de corte A = π x D x e

8 mmDatos .e = 8 mm = 0.8 cmCilindro macizoDiam= 10 cm ; L = 30 cmCarga= P= 1450 kgA = πDe = 3.14 x 10 x 0.8A = 25.1328 cm²

Ƭ = PA

=1450 kg

25.1328 cm²= 57.6935 kg/cm²

Ƭ =Tensión cortante o esfuerzo cortante en kg/cm²

Problema.Calcular la tensión de cortante o el esfuerzo que se ejerce sobre una placa de acero rectangular de 30 x 1.20 cm y de 8 mm de espesor, por un cilindro hueco de 10 cm de diámetro exterior y 8 cm de diámetro interior y 30 cm de longitud.Datos:Cilindro huecoDiam int.= 8 cm; diam ext.= 10 cm ; L = 30 cmP = 1450 kgƬ = ?A Trab. = A ext. + A int

A ext. = π x diam ext. X e = 3.14 x 10 x 0.8 cm²= 25.133 cm²A int = π x diam int x e = 3.14 x 8 x 0.8 cm² = 20.106 cm²A trab. = 25.133 + 20.106 = 45.23904 cm²

Ƭ = PA

= 1450 kg45.239 cm²

= 32.0519 kg/cm²

ProblemaSe desea saber la capacidad adherente de una adhesivo, pegamento o cola, para lo cual se utilizan unos trozos de madera encolados como se muestra en la figura.Calcular cual es la tensión cortante a la que será expuesto el material, si requiere una resistencia de adherencia de 30 kg/cm². ¿ pasara o no la prueba de adherencia la cola?

Datos:P = 120 kg ; A = 10 x 8 = 80 cm²P = 120 cos 30° = 103.923 kg

Ƭ =10 cm

8 cm

30°

P= 120 kg

PA

==103.923 kg

80 cm²1.299 kg/cm²

P = Ƭx A = 30 kg/cm² x 80 cm² = 2400 kg Esta fuerza es cuando se aplica al eje de la x.

2 cm

2 cm

P = 2400 kgCos 30°

= 2771.281 kg

Esta fuerza es cuando se tiene un > 30°

30°

P = 120 kg

Esta carga como se puede observar es muy pequeña comparada con la carga máxima que puede resistir el adhesivo que puede ser hasta 2771 kg. Por lo que la prueba si pasa.

ProblemaDeterminar el esfuerzo en cortante que una polea con una carga de 5000 kg cm, ejerce sobre la cuña de sección rectangular de 3 x 12 cm, que esta insertada en una flecha de 5 cm de diámetro.

Datos:M = 5000 kg cmD = 2.5 cmA = 3 x 12 cm = 36 cm²

M = F x d = P x d :. P =Md

P =5000 kg cm 2.5 cm

= 2000 kg

Ƭ =PA

=2000 kg cm 36 cm²

= 55.556 k/cm²

cuña

polea

flecha15 cm5 cm

5000

kg

cm

= M

polea

cuña

flecha

3 cm 12 cm

3 cm

ProblemaDiseñar una flecha maciza de acero para transmitir 40 kw de potencia con una rapidez de 25 hz. El esfuerzo cortante permisible de la flecha es de 60 MPa.

Datos:1 j = N x m = ( kg m/s² ) x m = kg m² / s² ; 1 Pa= 1 N/m² = 1 kg m sPotencia = 40 Kw = 40 x 10³ w = 40 x 10³ J/s Flechaƒ = frecuencia = 25 Hz = 25 1/sƬ = 60 MPa = 60 x 10 Pa

Ƭ =

6

PA

; A = π(d/2)² :. Ƭ= P

π ( d/2 )²:. P = Ƭ x π (d/2 )²

M =Pƒ

=40 x 10³ j/s25 1/s = 1600 j

Trabajo = T = P x d; si T = M ; M = P x r como r = d/2 , entonces M = P x d/2:. P = M

d/2Igualando M

d/2= Ƭ x π (d/2)² ; M

Ƭx π=

d2

d²4 =

d³ 8

d = 1600 kg m²/ s² x 8

60 x 10 kg /m s² x π

-1 -2

6

1/3

= 0.04079 m = 4.08 cm diámetro de la flecha

ProblemaEn el sistema mostrado en la figura con los datos que se adjuntanCalculara)La deformación de cada barrab) El alargamiento total del sistemac)La deformación unitaria de cada barra y el esfuerzo unitario de cada barra

Datos:E latón = 1.1 x 10 kg/cm²E acero = 2.1 x 10 kg/cm²A latón = 6 cm² ; L latón = 80 cmA acero = 2 cm² ; L acero = 50 cmP = 18 KN = 18000 /9.80665 kgf = 1835.489 Kgf∆L latón = ?∆L acero = ?

6

680 cm

50 cm

A latón = 6 cm²

A acero = 2 cm²

P = 18 KNSolución

a) ∆L latón = P LAE

=1835.489 x 806 x 1.1 x 10 6 = 0.022 cm

∆L acero =

== P LAE

1835.489 x 502 x 2.1 x 10 6

0.022 cm

b) Calculo del alargamiento total del sistema = ∆L T = ∆L lat. + ∆L Ac = 0.022 + 0.022 ∆L T = 0.044 cm

c) ϵ = ∆L latón

L latón ==

=

0.022 80

0.000275

ϵ ==∆L acero

L acero 0.000440.022

50

Calculo de la tensión unitaria de cada barra:

σlatón =

σ =PA

1835.489 kg 6 cm²

aceroσ = 1835.489 kg 2 cm²

=

=

305.91 kg cm²

917.7445 kg cm²

ProblemaUn cilindro hueco de acero rodea a otro macizo de cobre y el conjunto esta sometido a una carga axial de 25,000 kg. La sección de acero es de 18 cm², mientras que la del cobre es de 60 cm², ambos cilindros tienen la misma longitud antes de aplicar la carga.Determinar el aumento de temperatura del sistema necesario para colocar toda la carga en el cilindro de cobre y la placa de la cubierta de la parte superior del conjunto. Considerar para el cobre E = 1.1 x 10 kg/cm² y ∞ = 17 x 10 1/ °C y para el acero E = 2.1 x 10 kg/cm² y ∞ = 11 x 10 1/ °C.

- 66

6 - 6

25,000 kg

cobre

acero

25,000 kg

t1 =?

toCu

acero

∆L = ∞ x L x ∆T Aumento de longitud por temperatura

∆L = PLAE Deformación x carga

L Cu = L Ac ; ∆L Cu = ∆L Ac y ∆T Ac = ∆TCu

∞Cu x L Cu x ∆T Cu - PCu x Lcu

Acu x E Cu= ∞AC x L AC x ∆T AC La dif. De la long. Por

temperatura menos la deformación por carga del Cu es igual al aumento de long. Por temperatura del acero

L Cu ∞Cu x ∆T Cu -

Pcu

Acu ECu= LAC ( ∞ AC x ∆TAC )

∞Cu x ∆T Cu -

Pcu

Acu ECu= ∞ AC x ∆TAC

∞Cu x ∆T Cu -

∞ AC x ∆TAC =

Pcu

Acu ECu

∆T ( ∞Cu - ∞ AC )

= Pcu

Acu ECu

∆T= Pcu

Acu ECu ( ∞Cu - ∞ AC )

1x =

=

x25000 kg

60 cm²x 1.1 x 10 kg/cm²6 17 x 10 -11 x10-61

∆T

- 6

=25000 kg

66 x 10 kg ( 6 x 10 1/°C)-625000

396 x 1/°C= 63.13°C

Problema.-Una columna de concreto reforzado con cuatro varillas de 2.4 cm de diámetro colocadas como se muestra en la figura, es sometida a una carga de 6 ton. Determinar el esfuerzo en el concreto y el acero así como la longitud final del sistema. E acero = 30 x 10 lbs./ plg²6

30 cm

40 cm

Vista de planta

250 cm

6 tonE concreto = 3.8 x 10 lbs/plg²

6

SoluciónDiámetro de la varilla = 2.4 cm2.4 cm = 0.945 pulg.Avarilla = π/4 x D²Avarilla = 0.785 ( 0.945 )² = 0.701 plg²ATOT Ac = 4 ( 0.701 ) = 2.804 plg²

Carga de la columna = P= 6 ton = 6000 kg x 2.2 lb 1 kg

Calculo del esfuerzo acero = σ =

= 13,200 lb

AC

PAAC

= 13,200 lb2.804 plg²

= 4707.56 lb plg²

A TOT concreto = Área de la columna – Área total del acero

= - 2.804 = 183.2 plg² 302.54

402.54

x

Calculo del esfuerzo en el concreto = σ concreto = 13,200 lbs. 183.2 plg²

= 72.05 lb/plg²

El esfuerzo total es : σ TOT = σacero + σ concreto = 4707.56 + 72.05 = 4779.61 lb/plg² L = 250 cm/2.54 = 98.425 plg.

Calculo del alargamiento o contracción en este caso el que origina la carga sobre la columna:

∆LAC = σAC L EAC

=4707.56 lb/plg² x 98.425 plg 30 x 10 lb/plg²6 = 0.01544 plg

∆L conc ===σconc L Econc

72.05 lb/plg² x 98.425 plg 3.8 x 10 lb/plg²6

0.0019 plg

∆L T = ∆LAC + ∆L conc = 0.01544 + 0.0019 = 0.01734 plg

LF = Lo - ∆LT = 98.425 - 0.01734 = 98.408 plg x 2.54 cm= 249.95 cmLa contracción de la columna fue de : 0.050 cm

Problema.-Tres barras cilíndricas con un diámetro de 2 plg. unidas rígidamente como lo muestraLa figura. Determinar la deformación total del sistema de acuerdo a los datos que se indican: P1=1700 lb ; P2 = 1300 lb y P3 = 2300 lb

36 cm14.173 plg

26 cm10.236 plg

16 cm6. 3 plg

P1 = 1700 lb E1 = 30 x 10 lb/plg²

P2 = 1300 lb

P3 = 2300 lb

E2 = 17 x 10 lb/plg²

E3 = 10 x 10 lb/plg²

acero

bronce

aluminio

6

6

6

2 plg.

Área transversal de las barras = AT = π/4 x D² = 0.785 x (2)² = 3.14 plg²Volumen = A x L :. VAC = 3.14 ( 14.173 ) = 44.5 plg²Vbronce = 3.14 ( 10.236 ) = 32.14 plg²Valuminio = 3.14 ( 6.3 ) = 19.782 plg²

Como no tenemos datos de los pesos específicos de los materiales de las barras, los esfuerzos unitarios se van a calcular con las cargas que soportan.

σAC = PAC

AAC==

= ==

=

1700 lb3.14 plg²

541.4 lb/plg²

σBRONCEPAC + PBronce

ABRONCE

1700 lb + 1300 lb

3.14 plg²

3.14 plg²955.414 lb/plg²

σaluminio = =PAC + Pbronce + Paluminio

A aluminio

1700 lb + 1300 lb + 2300 lb 1687.898 lb/plg²

Cálculos de las deformaciones longitudinales de cada barra:

∆L=

=

=

=

==

∆L Aluminio

∆L Bronce

∆L∆L

σL E

∆LAC541.4 lb/plg² x 14.173 plg

30 x 10 lb/plg²0.0002558 plg

6

6

6

17 x 10 lb/plg²

955.414 lb/plg² x 10.236 plg

=1687.898 lb/plg² x 6.3 plg

10 x 10 lb/plg²

0.0005752 plg

0.00106 plg

La deformación total del sistema es : TOT = AC + ∆Lbronce + ∆L aluminio

∆L TOT = 0.0002558 + 0.0005752 + 0.00106=0.00189 plg=

Problema.-Una varilla de acero de 150 mm² de sección, esta sujeta de sus extremos a dos puntos fijos, estirada por una fuerza total de 8570 kg a 20°C.Calcular el esfuerzo de la varilla a – 20°C e indicar a que temperatura se anulara el esfuerzo. Datos:E = 2.1 x 10 kg/cm²∞ = 11 x 10 1/°CL = 30 cm

6

-630 cm

P = 8570 kg

σ = ?T1 = ?To = 20°C

A = 150 mm² = 1.5 cm²

σinic. PA

= == 8570 kg

1.5 cm²5713.33 kg/cm²

σ = ∆L x E L

; ∆L = ∞ x L x ∆T = 11 x 10 1/°C x 30 cm x ( - 20 – 20 )°C-6

∆L=- 0.0132 cm

σa - 20°C =∆L x E L

=- 0.0132 cm x 2.1 x 10 kg/cm²

6

30 cm= 924 kg/cm²

Calculo de la deformación inicial ∆Linic.

∆L =Inic.a 20°C

σL E

== 5713,33 kg/cm² x 30 cm2.1 x 10 kg/cm²6

0.08162 cm

∆L = L x ∞ x ∆T :. ∆T = ==∆LL x ∞

0.08162 cm30 cm x 11 x 10 1/°C-6 247.33°C

∆T = 247.33°C = ( TF – To ) = ( TF – 20)°C:. TF = 247.33 + 20°C = 267.33 °C A esta temperatura el esfuerzo unitario es igual al inicial, por lo tanto este se anula o neutraliza.

ProblemaSe desea perforar una placa de acero con un esfuerzo cortante ultimo de 300 MpaSi el esfuerzo de compresión admisible de la barra de punción es 400 Mpa, determine el máximo espesor de la placa, para perforar un orificio de 100 mm de diámetro.

σ =400 MPa

e Ƭ =400 MPa10 cm

σ = PA

:. P = σA = 400 x 10 x 0.00785 = 3.14 x 10 N6 6

A = 0.785 (0.1)² = 0.00785 m²

Ƭ =PA

= 300 x 106

:. A = 3.14 x 10300 x 10

66 = 0.01047 m²

A = π x d x e =0.01047 m² = 104.7 cm²

e = 104.7π x 10

= 3.33 cm