Curvas cónicas9

1. Introducción a las curvas cónicas

2. El lugar geométrico

3. La circunferencia

4. La elipse

5. La parábola

6. La hipérbola

Índice del libro

Curvas cónicas1. Introducción a las curvas cónicas

Una superficie cónica de revolución se origina cuando una recta r giraalrededor de otra recta fija e, de manera oblicua a esta última, y la corta en unpunto.

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Curvas cónicas1. Introducción a las curvas cónicas

Las características que definen un cono serán las siguientes:

• Eje: recta fija sobre la cual se produce el giro.

• Generatriz: recta que gira alrededor del eje cortándolo. Existen infinitasrectas generatrices. El conjunto de estas rectas originará la superficie cónica.

• Vértice: punto en el cual se cortan todas las generatrices y en el cual estascortan al eje.

• Ángulo de conicidad: ángulo que forman la generatriz y el eje.

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Curvas cónicas1. Introducción a las curvas cónicas

Cuando se corta un cono con un plano π, se forma una curva cónica. La clasede curva obtenida de esta intersección dependerá de la inclinación del planode corte con respecto al eje del cono:• Cuando el plano π corta al cono infinito de manera perpendicular al eje degiro sin pasar por el eje, se origina una circunferencia.

• Si el plano π corta la superficie cónica de manera oblicua al eje, seccionandotodas sus generatrices y sin pasar por el eje, se forma una elipse.

• En caso de que el plano π sea paralelo al eje de giro y corte al cono en dospartes, se genera una hipérbola.

• Si el plano de corte π es oblicuo al eje de giro y paralelo a una generatriz, lacónica que resulta es una parábola.

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Curvas cónicas2. El lugar geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una mismapropiedad.

Son ejemplos de lugar geométrico:

• La bisectriz de un ángulo: es el lugar geométrico de los puntos queequidistan de los lados de dicho ángulo.

• La mediatriz de un segmento: es el lugar geométrico de los puntos queequidistan de los extremos del segmento.

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Curvas cónicas3. La circunferencia

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.

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Curvas cónicas3. La circunferencia3.2. Posición relativa de una recta y una circunferencia

Cuando se quiere analizar la posición relativa que tiene una recta respecto deuna circunferencia, se debe resolver el sistema que forman las ecuaciones deambas. Para conocer la posición relativa de recta y circunferencia,observaremos el signo del discriminante D = b2 – 4ac:

1. Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones, la recta será secante a lacircunferencia y la cortará en los dos puntos que son solución del sistema.

2. Si D = 0, la ecuación tiene una única solución, lo cual significa que la rectaes tangente a la circunferencia en el punto solución del sistema.

3. Si D < 0, la ecuación no tiene solución en el campo real, de manera que larecta es exterior a la circunferencia.

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Curvas cónicas4. La elipse

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano en los que la sumade las distancias a dos puntos fijos del plano denominados focos es constante:

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Curvas cónicas4. La elipse4.1. Características de la elipse

Cada elipse viene definida por una serie de elementos característicos que sepueden resumir de la siguiente manera:

• Eje mayor: segmento AA' del dibujo. La longitud de este eje es 2a. A lamitad de esta distancia, a, se le denomina semieje mayor.

• Eje menor: segmento BB' del dibujo. La longitud de este eje es 2b. A la mitadde esta distancia, b, se le llama semieje menor.• Ejes de simetría: rectas que contienen los ejes mayor y menor.

• Centro de simetría: punto de intersección de los ejes de simetría.

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Curvas cónicas4. La elipse4.1. Características de la elipse

• Focos: puntos F y F’. Son dos puntos fijos de una elipse desde los cuales seven todos los puntos que forman esta elipse a la misma distancia. La rectaque pasa por ellos es el eje focal.

• Distancia focal: distancia que separa los dos focos de la elipse. Del dibujose ve que la distancia focal es 2c, siendo c la semidistancia focal.

• Vértices: puntos de corte de la elipse con los ejes de simetría. Estos puntoscorresponden a los A, A’, B y B’ del esquema anterior.

• Radio vectores: segmentos que unen un punto cualquiera de la elipse P consus focos.

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Curvas cónicas5. La parábola

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan deotro punto fijo F llamado foco y de una recta d denominada directriz. Esto es,para cualquier punto P que pertenezca a la parábola se cumple la igualdad:

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Curvas cónicas5. La parábola5.1. Características de la parábola

Cada parábola está definida por los siguientes elementos característicos:

• Foco: es el punto fijo que hemos denominado F.

• Directriz: es la recta fija llamada d.

• Parámetro: es la distancia que separa al foco de la directriz. Se designarácomo p.

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Curvas cónicas5. La parábola5.1. Características de la parábola

• Eje de la parábola: es la recta perpendicular a la directriz que pasa por elfoco.

• Vértice: es el punto de intersección del eje y la curva parábola.

• Radio vector: es el segmento que une un punto cualquiera de la parábolacon su foco.

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Curvas cónicas6. La hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplenque la diferencia de las distancias a unos puntos fijos F y F' denominados focoses constante. Esto significa que para cualquier punto P que pertenezca a lahipérbola, se verifica que:

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Curvas cónicas6. La hipérbola6.1. Características de la hipérbola

Cada hipérbola viene definida por los siguientes elementos característicos:

• Focos: puntos F y F’. Son dos puntos fijos de una hipérbola.

• Distancia focal: distancia que separa los dos focos de la hipérbola. La distancia focal se expresa como 2c, siendo c la semidistancia focal.

• Eje focal: recta que pasa por los focos. El eje secundario será la mediatrizdel segmento FF'.

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Curvas cónicas6. La hipérbola6.1. Características de la hipérbola

• Radio vectores: segmentos que unen un punto cualquiera P de la hipérbolacon sus focos PF' y PF. La diferencia de los radio vectores en una hipérbola essiempre una constante llamada 2a: PF − PF' = 2a.

• Centro de la hipérbola: O, punto medio del segmento FF'.

• Vértices: A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el ejefocal.

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Curvas cónicas6. La hipérbola6.1. Características de la hipérbola

• Eje real: o eje mayor, es el segmento AA' y mide 2a.

• Eje imaginario: o eje menor, es el segmento BB' y mide 2b.• Asíntotas: rectas a las que tienden las ramas de la hipérbola en el infinito.Sus ecuaciones son:

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