Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 10, p. 31-43. Diciembre 2008Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia)

* IngenierodeProducciónycandidatoaMagísterenMatemáticasAplicadas,UniversidadEAFIT.ProfesorAsistente,EscueladeIngenieríadeAntioquia.jucava@eia.edu.co

** LicenciadoenMatemáticasyFísica,UniversidaddeAntioquia.CandidatoaMaestríaenMatemáticasAplicadas,UniversidadEAFIT.rigelbach@hotmail.com

Artículorecibido28-IV-2008.Aprobado9-XII-2008Discusiónabiertahastajuniode2009

CURVAS PARALELAS EXPLÍCITAS DE LAS CURVAS CÓNICAS NO DEGENERADAS PARA EL TORNEADO CNC DE LENTES

Y ESPEJOS ASFÉRICO-CÓNICOS

Juan Camilo ValenCia* ÁlVaro HernÁn Bedoya**

RESUMEN

Esteartículopresentaelmétodoparaobtener,encoordenadascartesianas,laslíneascurvasparalelasdelascurvascónicasnodegeneradas,pormétodosanalíticosynuméricos.Sedefineeloffsetcomounafunciónparalelaalafunciónoriginalaunadistanciar.Eloffsetdeunacónicaesimportanteparalosprocesosdefabricacióndemecanismos,lentes,espejosymoldes;especialmenteeneltorneadoconcontrolnuméricocomputarizado(CNC)desuperficiesderevoluciónconseccionescónicas,usandoburilesdediamanteconpuntaderadior.Tambiénsepresentaunatécnicarefinadausandointerpolacióncircularsegmentariaparaconstruirnuméricamenteeloffset deunaparábola,quetambiénpuedeusarsecomomodeloparadeterminareloffsetdelaelipseydelahipérbola.

PALABRASCLAVE: CNC;elipse;hipérbola;lente;offset;parábola.

EXPLICIT PARALLEL CURVES OF NON-DEGENERATE CONIC CURVES FOR ThE TURNED CNC OF ASPhERIC-CONIC LENSES AND MIRRORS

ABSTRACT

Thispaperpresentsthemethodtoobtain,inCartesiancoordinates,theparallelcurvelinesofnon-degenerateconicalcurves,byanalyticalandnumericalmethods.Offsetisdefinedasparallelfunctiontotheoriginalfunctiontoadistancer.Offsetofaconicisimportantforthemanufacturingprocessesofmechanisms,lenses,mirrors,andmolds;especiallyintheturningwithcomputerizednumericalcontrol(CNC)ofsurfacesofrevolutionwithconi-calsections,usingdiamondtoolsofradior.Alsoarefinedtiptechniqueusingsegmentalcircularinterpolationtonumericallyconstructtheparabolaoffsetispresented,thatalsocanbeusedasmodeltodetermineoffsetsofellipseandhyperbola.

KEYWORDS:CNC;ellipse;hyperbola;lens;offset;parabola.

32 Revista EIA

Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...

1. INTRODUCCION

Elconceptodeloffset delascurvasplanashasidoestudiadodesdeLeibniz en1692,enGeneralia de natura linearum, anguloque contactus et osculi provocationibus allisque cog-natis et eorum usibus nonnullis.Numerososmétodosmatemáticosycomputacionalessehandesarrolladocontécnicasdeanálisisnumérico(AbłamowiczyLiu,2006).Graciasalnotableavanceeneldesarrollodesoftware,hoyesposibleobtenersolucionesanalíticasexplícitasparaencontrarlasraícesdelospolinomioscaracterísticosdegradosuperior.Lassolucionesexplícitasreducenconsiderablementeeltiempodecómputoydanunadescripciónmatemáti-camuchomássimplequelamayoríadelastécnicasconanálisisnumérico(Aigner,1997).

Eloffset delíneasrectasocurvasserequiereenlasmodernasmáquinasconcontrolnuméricocomputarizado(CNC)yseespecificacomúnmentecomola“correccióndehe-rramienta”.Latrayectoriadelaherramientadecorteseefectúasiguiendolageometríadeloffset paraobtenerlageometríaesperada,conunadistanciadeparalelismocorrespondientealradio r delapuntadelaherramienta.

Esteartículopresentalassolucionesanalíticasparaeloffsetdelascurvascónicasnodegeneradas,restringidasaunadistanciadeparalelismormenorqueelmínimoradiodecurvatura,yaquesuusosecumplegeneralmenteconestacondición.Adicionalmentesepresentaunmétodonuméricoparaobtenereloffset deunaparábola.

2. OFFSET ANALÍTICO DE UNA PARÁBOLA

Seconsiderandosparábolassuplementariasconvérticesenelorigenqueseexpresancomo

0con 4

2

>±= ff

xz (1)

dondef esladistanciafocal,yelsignoestádefinidosegúnelsentidodelmaquinado,yaseacóncavooconvexo.

EnlospuntosP(x0, ± z0),lasecuacionesdelasrectasnormalesalasparábolasrespec-tivassondelaforma:

(2)

con 0x ≠ 0yf

xz

4

20

0 ±= .Construyendounascircunferenciasconradior yconcentroen

lospuntosP:

20

20 )( xxrzz −−±=

(3)

fzxxfz 22

00

±+=

33Escuela de Ingeniería de Antioquia

donde las normales intersecan las respectivas circunferencias en dos puntos, cada una, si r > 0 y r menor que el mínimo radio de curvatura, que pertenecen al offset cóncavo y convexo. Igualando (2) con (3) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 se obtienen las funciones del offset explícitas y reales, de manera recurrente:

−++−−−±+=d

axfxcacaxdxx )8(646

31

21 222

20 (4)

con 2224 rxfa −+= ,222216 rxfb = , )2( 33 babbac +++= y c

caxd3

)( 22 −+=

Reemplazando (4) en (3) se obtiene el offset de las parábolas, si y solo si, r < 2f, que corresponde al mínimo radio de curvatura en los vértices,

−++−−−−+−−+

−++−−−−+

±=d

a)xfx (cacaxdxx r

f

da)xfx ( ca

caxdx

z222

22

2222

86463

121

4

86463

121

(5)

donde el signo positivo corresponde al offset cóncavo y el signo negativo corresponde al offset convexo, según el sentido del maquinado, por lo general se conoce en la industria como “corrección a derecha” o “corrección a izquierda” según el sentido del avance, es decir, a la derecha de la trayectoria o la izquierda de la trayectoria.

En la figura 1 se presentan dos parábolas normalizadas, es decir, con vértice en el origen y sus respectivos offsets requeridos para el torneado CNC usando buriles con radio de la punta r. Según las normas para la denominación de los ejes de las máquinas computarizadas se corresponden con la notación que usa en este documento, así, la ordenada z corresponde eje lineal en la dirección del husillo de la maquina.

Figura 1. Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10, considerando el sentido del maquinado.

(5)

donde las normales intersecan las respectivas circunferencias en dos puntos, cada una, si r > 0 y r menor que el mínimo radio de curvatura, que pertenecen al offset cóncavo y convexo. Igualando (2) con (3) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 se obtienen las funciones del offset explícitas y reales, de manera recurrente:

−++−−−±+=d

axfxcacaxdxx )8(646

31

21 222

20 (4)

con 2224 rxfa −+= ,222216 rxfb = , )2( 33 babbac +++= y c

caxd3

)( 22 −+=

Reemplazando (4) en (3) se obtiene el offset de las parábolas, si y solo si, r < 2f, que corresponde al mínimo radio de curvatura en los vértices,

−++−−−−+−−+

−++−−−−+

±=d

a)xfx (cacaxdxx r

f

da)xfx ( ca

caxdx

z222

22

2222

86463

121

4

86463

121

(5)

donde el signo positivo corresponde al offset cóncavo y el signo negativo corresponde al offset convexo, según el sentido del maquinado, por lo general se conoce en la industria como “corrección a derecha” o “corrección a izquierda” según el sentido del avance, es decir, a la derecha de la trayectoria o la izquierda de la trayectoria.

En la figura 1 se presentan dos parábolas normalizadas, es decir, con vértice en el origen y sus respectivos offsets requeridos para el torneado CNC usando buriles con radio de la punta r. Según las normas para la denominación de los ejes de las máquinas computarizadas se corresponden con la notación que usa en este documento, así, la ordenada z corresponde eje lineal en la dirección del husillo de la maquina.

Figura 1. Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10, considerando el sentido del maquinado.

dondelasnormalesintersecanlasrespectivascircunferenciasendospuntos,cadauna,sir > 0yrmenorqueelmínimoradiodecurvatura,quepertenecenaloffsetcóncavoycon-vexo.Igualando(2)con(3)yelevandoalcuadradoaamboslados,yresolviendoparax0seobtienenlasfuncionesdeloffsetexplícitasyreales,demanerarecurrente:

−++−−−±+=d

axfxca

ca

xdxx)8(6

463

121 222

20

con 2224 rxfa −+= , 222216 rxfb = , )2( 33 babbac +++= ycca

xd3

)( 22 −+=

Reemplazando(4)en(3)seobtieneeloffset delaparábola,siysolosir ≤ 2f,quecorrespondealmínimoradiodecurvaturaenlosvértices,

dondeelsignopositivocorrespondealoffsetcóncavoyelsignonegativocorrespondealoffsetconvexo,segúnelsentidodelmaquinado,queporlogeneralseconocenenlaindustriacomo“correcciónaderecha”o“correcciónaizquierda”segúnelsentidodelavance,esdecir,aladerechadelatrayectoriaolaizquierdadelatrayectoria.

Enlafigura1 sepresentandosparábolasnormalizadas,esdecir,convérticeenelorigenysusrespectivosoffsetsrequeridosparaeltorneadoCNC,usandoburilesconradiodelapuntar.Segúnlasnormasparaladenominacióndelosejesdelasmáquinascompu-tarizadassecorrespondenconlanotaciónqueusaenestedocumento,así,laordenadazcorrespondeejelinealenladireccióndelhusillodelamáquina.

Figura 1. Offset cóncavo y convexo de z = ± x2/200 con distancia de paralelismo r = 10, considerando el sentido del maquinado

(4)

34 Revista EIA

Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...

Tambiénexplícitamente,seobtienemedianteelmismoalgoritmo, lasoluciónparax = 2 f z deloffset convexo:

Sea

También explícitamente, se obtiene mediante el mismo algoritmo, la solución para zfx 2= del offset convexo:

Sea 23 27)(2 frzfa −+= y 3 2 )272(33 ffrarab −−+−= , el offset convexo se

expresa como:

++++−= 323

0 4)(224261 b

bzfzfz (6)

2

02

0 )( zzrzx −−+= (7)

y el offset cóncavo:

( ) ( ) ( )+−++−++−= 314312284121 3

23

0 i b b

zfizfz (8)

2

02

0 )( zzrzx −−−= (9)

3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE

Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como

2

2

1BxAAz −±= (10)

donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo método analítico utilizado para determinar el offset de la parábola se obtiene el offset de una elipse.

En los puntos P(x0, z0) la ecuación de las rectas normales a las elipses respectivas son de la forma:

2

20

0000

2

20

2

1011BxAAzyxcon,z

xx

Bx

ABz −±=≠+−−= (11)

, eloffsetconvexoseexpresacomo:

(6)

yeloffsetcóncavo:

3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE

Seconsiderandossemielipsesconvérticesenelorigen,queseexpresancomo

2

2

1Bx

AAz −±=

dondeAyB semiejes,yA>B,dondeelsignoestádefinidosegúnelsentidodemaquinado,yaseacóncavooconvexo.

Usandoelmismométodoanalíticoutilizadoparadeterminareloffsetdelaparábolaseobtieneeloffsetdeunaelipse.

EnlospuntosP(x0, z0)laecuacióndelasrectasnormalesalaselipsesrespectivassondelaforma:

2

20

0000

2

20

2

1011B

x AAzy x con ,z

x

x

B

x

A

B z −±=≠+

−−=

Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntosP(x0, z0):

20

20 )( xxrzz −−±=

(11)

También explícitamente, se obtiene mediante el mismo algoritmo, la solución para zfx 2= del offset convexo:

Sea 23 27)(2 frzfa −+= y 3 2 )272(33 ffrarab −−+−= , el offset convexo se

expresa como:

++++−= 323

0 4)(224261 b

bzfzfz (6)

2

02

0 )( zzrzx −−+= (7)

y el offset cóncavo:

( ) ( ) ( )+−++−++−= 314312284121 3

23

0 i b b

zfizfz (8)

2

02

0 )( zzrzx −−−= (9)

3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE

Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como

2

2

1BxAAz −±= (10)

donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo método analítico utilizado para determinar el offset de la parábola se obtiene el offset de una elipse.

En los puntos P(x0, z0) la ecuación de las rectas normales a las elipses respectivas son de la forma:

2

20

0000

2

20

2

1011BxAAzyxcon,z

xx

Bx

ABz −±=≠+−−= (11)

(7)

También explícitamente, se obtiene mediante el mismo algoritmo, la solución para zfx 2= del offset convexo:

Sea 23 27)(2 frzfa −+= y 3 2 )272(33 ffrarab −−+−= , el offset convexo se

expresa como:

++++−= 323

0 4)(224261 b

bzfzfz (6)

2

02

0 )( zzrzx −−+= (7)

y el offset cóncavo:

( ) ( ) ( )+−++−++−= 314312284121 3

23

0 i b b

zfizfz (8)

2

02

0 )( zzrzx −−−= (9)

3. OFFSET ANALÍTICO DE UNA ELIPSE

Se consideran dos semielipses con vértices en el origen, que se expresan como

2

2

1BxAAz −±= (10)

donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo método analítico utilizado para determinar el offset de la parábola se obtiene el offset de una elipse.

En los puntos P(x0, z0) la ecuación de las rectas normales a las elipses respectivas son de la forma:

2

20

0000

2

20

2

1011BxAAzyxcon,z

xx

Bx

ABz −±=≠+−−= (11)

(8)

(9)

(10)

(12)

35Escuela de Ingeniería de Antioquia

Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, sir>0,quepertenecenaloffsetcóncavoyconvexo,segúnelsentidodelmaquinado.Igualando(11)con(12)yelevandoalcuadradoaamboslados,yresolviendoparax0paraobtenerlafuncióndeloffsetexplícitayreal

Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):2

02

0 )( xxrzz −−±= (12)

Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, si r > 0, que pertenecen al offset cóncavo y convexo, según el sentido del maquinado. Igualando (11) con (12) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 para obtener la función del offset explícita y real

−−−−+−+−−

+= ccaa

dxBAaBxxBA

BAdxx

22224222

220 4))((26)(6)(3

121 (13)

Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=

ycBA

caxd)(3

)(22

22

−−+= .

Reemplazando (13) en (12) se obtiene el offset de las elipses suplementarias, si y solo si, el radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el origen, es decir,

AB

dxzd

dxdz

r

x

x2

23

02

2

2

0

1=

+=<

=

=ρ (14)

2

222224

222

224))(2(6)(6

)(31

21

1B

cc

aad

xBAaBxxBABA

dx

AAz

−−−−+−+−−

+

−±=

2

22224222

22

2 4))(2(6)(6)(3

121 −−−−+−+−

−+−−+ c

caa

dxBAaBxxBA

BAdxxr

(15)

La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del maquinado en el eje z.

Las interfases elípticas e hiperbólicas de revolución son importantes en la industria óptica para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso del offset es necesario para garantizar la calidad geométrica.

Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=

ycBA

caxd)(3

)(22

22

−−+= .

Reemplazando(13)en(12)seobtieneeloffsetdelaselipsessuplementarias,siysolosielradiodecorrecciónesmenorqueelradiodecurvaturadelcírculoosculadorenelorigen,esdecir,

Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):2

02

0 )( xxrzz −−±= (12)

Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, si r > 0, que pertenecen al offset cóncavo y convexo, según el sentido del maquinado. Igualando (11) con (12) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 para obtener la función del offset explícita y real

−−−−+−+−−

+= ccaa

dxBAaBxxBA

BAdxx

22224222

220 4))((26)(6)(3

121 (13)

Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=

ycBA

caxd)(3

)(22

22

−−+= .

Reemplazando (13) en (12) se obtiene el offset de las elipses suplementarias, si y solo si, el radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el origen, es decir,

AB

dxzd

dxdz

r

x

x2

23

02

2

2

0

1=

+=<

=

=ρ (14)

2

222224

222

224))(2(6)(6

)(31

21

1B

cc

aad

xBAaBxxBABA

dx

AAz

−−−−+−+−−

+

−±=

2

22224222

22

2 4))(2(6)(6)(3

121 −−−−+−+−

−+−−+ c

caa

dxBAaBxxBA

BAdxxr

(15)

La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del maquinado en el eje z.

Las interfases elípticas e hiperbólicas de revolución son importantes en la industria óptica para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso del offset es necesario para garantizar la calidad geométrica.

Construyendo circunferencias respectivas con radio r, con centros en los puntos P(x0, z0):2

02

0 )( xxrzz −−±= (12)

Donde las normales intersecan las circunferencias respectivas en dos puntos, si r > 0, que pertenecen al offset cóncavo y convexo, según el sentido del maquinado. Igualando (11) con (12) y elevando al cuadrado a ambos lados, y resolviendo para x0 para obtener la función del offset explícita y real

−−−−+−+−−

+= ccaa

dxBAaBxxBA

BAdxx

22224222

220 4))((26)(6)(3

121 (13)

Con 222224 )( xBArABa −+−= , 222222 )(54 xrBABAb −= , 3 3 )2(3 babbac +++=

ycBA

caxd)(3

)(22

22

−−+= .

Reemplazando (13) en (12) se obtiene el offset de las elipses suplementarias, si y solo si, el radio de corrección es menor que el radio de curvatura del círculo osculador en el origen, es decir,

AB

dxzd

dxdz

r

x

x2

23

02

2

2

0

1=

+=<

=

=ρ (14)

2

222224

222

224))(2(6)(6

)(31

21

1B

cc

aad

xBAaBxxBABA

dx

AAz

−−−−+−+−−

+

−±=

2

22224222

22

2 4))(2(6)(6)(3

121 −−−−+−+−

−+−−+ c

caa

dxBAaBxxBA

BAdxxr

(15)

La figura 2 muestra el offset para una semielipse normalizada sin considerar el sentido del maquinado en el eje z.

Las interfases elípticas e hiperbólicas de revolución son importantes en la industria óptica para la fabricación de lentes especiales de alta precisión, por lo tanto, el uso del offset es necesario para garantizar la calidad geométrica.

Lafigura2muestraeloffsetparaunasemielipsenormalizadasinconsiderarelsentidodelmaquinadoenelejez.

Lasinterfaseselípticasehiperbólicasderevoluciónsonimportantesenlaindustriaópticaparalafabricacióndelentesespecialesdealtaprecisión,porlotanto,elusodeloffsetesnecesarioparagarantizarlacalidadgeométrica.

(14)

(13)

(15)

36 Revista EIA

Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...

Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado

4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA hIPÉRBOLA

Seconsideranlassemihipérbolasconvérticesenelorigen,queseexpresancomo

2

2

1Bx

AAz +±=

conAyB semiejes,yA>B,dondeelsignoestádefinidosegúnelsentidodemaquinado,yaseacóncavooconvexo.

Usandoelmismoalgoritmodelassecciones2y3,seobtieneeloffsetanalíticodelahipérbola:

Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.

4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA HIPÉRBOLA

Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen, que se expresan como

2

2

1BxAAz +±= (16)

donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo algoritmo que en las cónicas anteriores se obtiene el offset analítico de la hipérbola:

−−−++−+++

+= cc

aad

)xBAaB(xx)BA)BA(

dxx22224

222220 4)(26(6

31

21

(17)

con 222224 )( xBArABa ++−= , 222222 )(54 xrBABAb += , 3 3 )2(3 babbac +++=

ycBA

caxd)(3

)(22

22

+−+= .

Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.

4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA HIPÉRBOLA

Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen, que se expresan como

2

2

1BxAAz +±= (16)

donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo algoritmo que en las cónicas anteriores se obtiene el offset analítico de la hipérbola:

−−−++−+++

+= cc

aad

)xBAaB(xx)BA)BA(

dxx22224

222220 4)(26(6

31

21

(17)

con 222224 )( xBArABa ++−= , 222222 )(54 xrBABAb += , 3 3 )2(3 babbac +++=

ycBA

caxd)(3

)(22

22

+−+= .

(17)

(16)

Figura 2. Offset de una semielipse, cóncavo y convexo, para 22 /1 BxAAz −−= con A = 200, B =100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.

4. OFFSET ANALÍTICO DE UNA HIPÉRBOLA

Se consideran las semihipérbolas con vértices en el origen, que se expresan como

2

2

1BxAAz +±= (16)

donde A y B semiejes, y A > B, donde el signo está definido según el sentido de maquinado, ya sea cóncavo o convexo.

Usando el mismo algoritmo que en las cónicas anteriores se obtiene el offset analítico de la hipérbola:

−−−++−+++

+= cc

aad

)xBAaB(xx)BA)BA(

dxx22224

222220 4)(26(6

31

21

(17)

con 222224 )( xBArABa ++−= , 222222 )(54 xrBABAb += , 3 3 )2(3 babbac +++=

ycBA

caxd)(3

)(22

22

+−+= .

37Escuela de Ingeniería de Antioquia

Seobtieneeloffsetdelashipérbolassuplementarias,siysolosielradiodecorrecciónresmenorqueelradiodecurvaturadelmínimocírculoosculador,esdecir,

AB

r2 <

Se obtiene el offset de las hipérbolas suplementarias, si y solo si, el radio de corrección res menor que el radio de curvatura del mínimo círculo osculador, es decir,

ABr

2

< (18)

2

222224

222

224))(2(6)(6

)(31

21

1B

ccaa

dxBAaBxxBA

BAdx

AAz

−−−++−+++

+

+±=

222224

22222

2 4))(2(6)(6)(3

121 −−−++−++

++−− c

caa

dxBAaBxxBA

BAdxxr

(19)

En la figura 3 se muestra un ejemplo del offset de una hipérbola realizado con ayuda de software para verificar la validez de la expresión (19) de la misma manera que se efectuó para la parábola y la elipse.

Figura 3. Offset cóncavo y convexo de la hipérbola para 22 /1 BxAAz +−= con A = 200, B = 100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.

Enlafigura3semuestraunejemplodeloffsetdeunahipérbolarealizadoconayudadesoftwareparaverificarlavalidezdelaexpresión(19),delamismamaneraqueseefectuóparalaparábolaylaelipse.

(19)

Figura 3. Offset cóncavo y convexo de la hipérbola para 22 /1 BxAAz +−= con A = 200, B = 100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado

Se obtiene el offset de las hipérbolas suplementarias, si y solo si, el radio de corrección res menor que el radio de curvatura del mínimo círculo osculador, es decir,

ABr

2

< (18)

2

222224

222

224))(2(6)(6

)(31

21

1B

ccaa

dxBAaBxxBA

BAdx

AAz

−−−++−+++

+

+±=

222224

22222

2 4))(2(6)(6)(3

121 −−−++−++

++−− c

caa

dxBAaBxxBA

BAdxxr

(19)

En la figura 3 se muestra un ejemplo del offset de una hipérbola realizado con ayuda de software para verificar la validez de la expresión (19) de la misma manera que se efectuó para la parábola y la elipse.

Figura 3. Offset cóncavo y convexo de la hipérbola para 22 /1 BxAAz +−= con A = 200, B = 100, r = 5, sin considerar el sentido del maquinado.

(18)

38 Revista EIA

Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...

5. SOLUCIONES NUMÉRICAS

Lasoluciónrecurrenteexpuestaparaeloffsetexplícitodelascurvascónicasesmuchomássimplequecualquiermétodoconanálisisnumérico,yaquesereduceconsiderablementeeltiempodecómputoymaximizaelacabadosuperficialusandointerpolaciónfinadeunaetapa,en lugarde técnicasusualescomo interpolación lineal segmentaria, interpolacióncircularsegmentariaeinterpolacióncircularusandoelementosfinitos(Aigner,1997).

LassolucionespresentadaspermitendesarrollarsoftwaredealtacalidadgeométricaynuméricaparaefectuarlacorreccióndeherramientaeneltorneadoCNCdesuperficiesderevolución,consecciónlongitudinalcorrespondienteaunacónicanodegenerada,parasuusoenlafabricacióndelentesyespejosasféricos.Losmétodosdeinterpolaciónpermitenproducirlageometríaespecificandounerrormáximoeipredeterminado,quegeneralmenteesinferiora0,1µm,magnitudinferioralalongituddeondadelaluzvioleta.

Existencircuitosintegradosespecializadospararealizarinterpolacionesdeordensupe-rior,comolosfabricadosporTokoenJapón,enespecialparalaparábola,usandotécnicasdeinterpolaciónlinealsegmentariasincorreccióndeherramienta.Comolosprocesosdeanálisisnuméricosonporlogeneralextensos,sepresentaacontinuaciónunrefinamientodelainterpolacióncircularsegmentariaparaeloffsetdeunaparábola.Procesossimilarespuededesarrollarellectorparacualquiergeometríadeordensuperior.

5.1 Aplicación: Fundamentos matemáticos para la fabricación de moldes cóncavos con sección longitudinal parabólica

Paralafabricacióndeunmoldeounespejocorrespondienteaunparaboloidederevoluciónconresoluciónyrugosidadtotalinferiorauncuartodelongituddeondadelaluzultravioleta(λ/4 ≈ 50 nm)serequiereelsiguientemodeloquesegmentaunaparábolaentramoscircularesparacompensarlageometríadecorte,segúnelradiodelaherramientarh,utilizandousualmenteunburildediamanteconradio(0,5±0,001)mm,conlíneasdeFourierclaramentecontinuas1,paratornearlasuperficieconcontrolnuméricocomputarizadoCNC,coninterpolacióncompiladadeunasolaetapa,yaquelosprocesosdeinterpolaciónmultietapainterpretadosgeneranpausasentreinstruccionesdesegmentación,sielcontroldelamáquinanotienefeed-forwardenclavadoentreejes,usandounhusilloaerodinámicodemandodirecto,sinrodamientosycarroscartesianosconlubricaciónaerodinámicaconsuperficiesdeapoyodebroncesinterizado,paraminimizar lavibracióndelamáquinayaumentarlaeficienciadelproceso.Dichomodelosebasaenunrefinamientodelainterpo-laciónsegmentaria(spline)linealquesedescribeenlasección5.1.1.

1 LaslíneasdeFouriersoncausadasporladifraccióndelaluzenelfilo,queindicansuestado.SilaslíneasdeFourierobservadasbajoelmicroscopioconunaumentotípicode400xtienencambiosabruptos,esporqueelfilodelaherramientaestádeterioradoensusvecindades.

39Escuela de Ingeniería de Antioquia

5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola

Parainterpolarlasecciónlongitudinalparabólicadadaporlaecuación(1),tomandoelsignopositivo,seprocedeadeterminarelerrordelainterpolaciónsegmentarialinealenelintervalo[a,b],elcualesmáximocuandoladerivadaesigualalapendientedelsegmento,así,elpuntodondeelerroresmáximoeselpuntomedio:

)(2

1bax +=

Elversor2delsegmentoes:

5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola

Para interpolar la sección longitudinal parabólica dada por la ecuación (1), tomando el signo positivo, se procede a determinar el error de la interpolación segmentaria lineal en el intervalo [a, b], el cual es máximo cuando la derivada es igual a la pendiente del segmento, así, el punto donde el error es máximo es el punto medio:

)(21 bax += (20)

El versor2 del segmento es:

++++

+++=

222222 162)(,

1624

fbaabba

fbaabfv (21)

El vector del punto medio, es decir, el vector sagital es:

+−−= )3()(161),(

21 baababmv (22)

El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:

[ ] [ ]222

2

1624)(0,0,

fbaabab

m+++

−=× vv (23)

La sagita s de un círculo, o sea, la distancia máxima de una cuerda al arco, define el radio sagital ρs como:

sslsds 2

)4/(),(22 +=ρ (24)

donde l es la magnitud de la cuerda 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−

Construyendo una función para la cuerda:

222 1624

)(),,( fbabafabfbac +++−= (25)

Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b

2 Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.

(21)

Elvectordelpuntomedio,esdecir,elvectorsagitales:

(22)

Elerrorsedefinecomolanormadelproductovectorialdelosvectores:

5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola

Para interpolar la sección longitudinal parabólica dada por la ecuación (1), tomando el signo positivo, se procede a determinar el error de la interpolación segmentaria lineal en el intervalo [a, b], el cual es máximo cuando la derivada es igual a la pendiente del segmento, así, el punto donde el error es máximo es el punto medio:

)(21 bax += (20)

El versor2 del segmento es:

++++

+++=

222222 162)(,

1624

fbaabba

fbaabfv (21)

El vector del punto medio, es decir, el vector sagital es:

+−−= )3()(161),(

21 baababmv (22)

El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:

[ ] [ ]222

2

1624)(0,0,

fbaabab

m+++

−=× vv (23)

La sagita s de un círculo, o sea, la distancia máxima de una cuerda al arco, define el radio sagital ρs como:

sslsds 2

)4/(),(22 +=ρ (24)

donde l es la magnitud de la cuerda 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−

Construyendo una función para la cuerda:

222 1624

)(),,( fbabafabfbac +++−= (25)

Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b

2 Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.

(23)

Lasagitasdeuncírculo,osea,ladistanciamáximadeunacuerdaalarco,defineelradiosagitalrscomo:

(24)

dondelamagnituddelacuerdaesl = 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−

Construyendounafunciónparalacuerda:

5.1.1 Interpolación segmentaria lineal de una parábola

Para interpolar la sección longitudinal parabólica dada por la ecuación (1), tomando el signo positivo, se procede a determinar el error de la interpolación segmentaria lineal en el intervalo [a, b], el cual es máximo cuando la derivada es igual a la pendiente del segmento, así, el punto donde el error es máximo es el punto medio:

)(21 bax += (20)

El versor2 del segmento es:

++++

+++=

222222 162)(,

1624

fbaabba

fbaabfv (21)

El vector del punto medio, es decir, el vector sagital es:

+−−= )3()(161),(

21 baababmv (22)

El error se define como la norma del producto vectorial de los vectores:

[ ] [ ]222

2

1624)(0,0,

fbaabab

m+++

−=× vv (23)

La sagita s de un círculo, o sea, la distancia máxima de una cuerda al arco, define el radio sagital ρs como:

sslsds 2

)4/(),(22 +=ρ (24)

donde l es la magnitud de la cuerda 22 ))()(()( a,fzb,fzab −+−

Construyendo una función para la cuerda:

222 1624

)(),,( fbabafabfbac +++−= (25)

Así se puede obtener el radio de interpolación sagital entre dos puntos a y b

2 Denominación usada a principios del siglo XX para definir un vector unitario.

2 DenominaciónusadaaprincipiosdelsigloXXparadefinirunvectorunitario,cuyoempleodeberíarescatarse.

(20)

+−−= )3( )(161 ),(

21 baababmv

[ ]v, 0 × [v m , 0] 222

2

1624)(

fbaabab

+++−=

ssls

2)4/(),(

22 +=ρs l

+−−= )3( )(161 ),(

21 baababmv

[ ]v, 0 × [v m , 0] 222

2

1624)(

fbaabab

+++−=

ssls

2)4/(),(

22 +=ρs l

(25)

40 Revista EIA

Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...

Asísepuedeobtenerelradiodeinterpolaciónsagitalentredospuntosa yb

(26)222

42242222234

1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((

fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs

+++++++++++= (26)

con lo anterior se define el radio total:

222

22222

16)(32)16(16)36)(()(),,(

fbaffabffbabafba

++−−+++=ρ (27)

en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:

22

22222

20 164

)364(4)16(1632

1,fa

faaafff

f)x(a,aLímx +

++−=Δ+→Δ

(28)

se obtiene al simplificar el radio de curvatura

3222 )4(

41 faf

+=ρ (29)

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del

centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2

(,2

( fbazba ++:

222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)

222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y

222 )),2

(()2

( kfbazhba −++−+=ρ (32)

simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)

y

conloanteriorsedefineelradiototal:

222

42242222234

1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((

fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs

+++++++++++= (26)

con lo anterior se define el radio total:

222

22222

16)(32)16(16)36)(()(),,(

fbaffabffbabafba

++−−+++=ρ (27)

en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:

22

22222

20 164

)364(4)16(1632

1,fa

faaafff

f)x(a,aLímx +

++−=Δ+→Δ

(28)

se obtiene al simplificar el radio de curvatura

3222 )4(

41 faf

+=ρ (29)

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del

centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2

(,2

( fbazba ++:

222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)

222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y

222 )),2

(()2

( kfbazhba −++−+=ρ (32)

simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)

y

(27)

Comopruebadelaciertodelaexpresión(27),enellímite,cuandob = a + DxyhallandoellímitecuandoDx tiendea0:

222

42242222234

1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((

fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs

+++++++++++= (26)

con lo anterior se define el radio total:

222

22222

16)(32)16(16)36)(()(),,(

fbaffabffbabafba

++−−+++=ρ (27)

en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:

22

22222

20 164

)364(4)16(1632

1,fa

faaafff

f)x(a,aLímx +

++−=Δ+→Δ

(28)

se obtiene al simplificar el radio de curvatura

3222 )4(

41 faf

+=ρ (29)

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del

centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2

(,2

( fbazba ++:

222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)

222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y

222 )),2

(()2

( kfbazhba −++−+=ρ (32)

simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)

y

(28)

Seobtienealsimplificarelradiodecurvatura:

3222 )4(

41

faf

+=ρ

(29)

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

Acontinuaciónsedescribeelprocedimientoparacalcularlascoordenadasdelcentro

delacircunferenciaquepasaporlospuntos(a, z(a, f)),(b, z(b, f))y

222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)

222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ

(31)

y

222 )),2

(()2

( kfba

zhba −++−+=ρ

(32)

evaluandoelsistemadelasecuaciones(30),(31)y(32),setieneque:

222

42242222234

1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((

fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs

+++++++++++= (26)

con lo anterior se define el radio total:

222

22222

16)(32)16(16)36)(()(),,(

fbaffabffbabafba

++−−+++=ρ (27)

en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:

22

22222

20 164

)364(4)16(1632

1,fa

faaafff

f)x(a,aLímx +

++−=Δ+→Δ

(28)

se obtiene al simplificar el radio de curvatura

3222 )4(

41 faf

+=ρ (29)

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del

centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2

(,2

( fbazba ++:

222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)

222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y

222 )),2

(()2

( kfbazhba −++−+=ρ (32)

simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)

y

(33)

222

42242222234

1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((

fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs

+++++++++++= (26)

con lo anterior se define el radio total:

222

22222

16)(32)16(16)36)(()(),,(

fbaffabffbabafba

++−−+++=ρ (27)

en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:

22

22222

20 164

)364(4)16(1632

1,fa

faaafff

f)x(a,aLímx +

++−=Δ+→Δ

(28)

se obtiene al simplificar el radio de curvatura

3222 )4(

41 faf

+=ρ (29)

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del

centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2

(,2

( fbazba ++:

222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)

222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y

222 )),2

(()2

( kfbazhba −++−+=ρ (32)

simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)

y

41Escuela de Ingeniería de Antioquia

222

42242222234

1623225636)14(4)6(64)),,(),,,((

fbabafffbbfbabfbabaafbaefbacs

+++++++++++= (26)

con lo anterior se define el radio total:

222

22222

16)(32)16(16)36)(()(),,(

fbaffabffbabafba

++−−+++=ρ (27)

en el límite cuando xab Δ+= y hallando el límite cuando xΔ tiende a 0:

22

22222

20 164

)364(4)16(1632

1,fa

faaafff

f)x(a,aLímx +

++−=Δ+→Δ

(28)

se obtiene al simplificar el radio de curvatura

3222 )4(

41 faf

+=ρ (29)

5.1.2 Interpolación segmentaria circular de una parábola

A continuación se describe el procedimiento para calcular las coordenadas del

centro del círculo que pasa por los puntos (a, z(a, f)), (b, z(b, f)) y )),2

(,2

( fbazba ++:

222 )),(()( kfazha −+−=ρ (30)

222 )),(()( kfbzhb −+−=ρ (31)y

222 )),2

(()2

( kfbazhba −++−+=ρ (32)

simplificando las ecuaciones (30), (31) y (32) se tiene que:

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhafkffaa ++−−+=ρ (33)

2

2222242

16)(1632)2(8

fkhfhbfkffbb ++−−+=ρ (34)

y

(34)

y

2

222224

23222342

256)(256256)2(32...

)...64)2(16(4)16323(24

fkhfhbfkffbb

hfkfbfbafkfbabaa

++−−++

−−++−+++=ρ(35)

Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:

La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es

ff

abbak

fbaabbah

232

4)(7128

)(4)(3

2

2

2

3

+−+=

+++= (36)

de lo cual el radio del segmento circular será igual a:

222

4)( −+−= k

faha (37)

y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene

2

2

32232

2

2222

128313133

32647107

41 +++−++++−=

fbabbaaa

ffbaba

fa (38)

para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por

2

2

32232

2

2

32232

2

2222

2

2

128313133

128313133

32647107

41

232

4)(7

+++−−±+++−++++−−

+−+=

fbabbaaxr

fbabbaaa

ffbaba

fa

ff

abbaz

(39)que de manera recurrente

22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)

variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.

(35)

Resolviendoelsistemadelastresúltimasecuacionesparahykseobtiene:

Lacoordenadarelativadelcentrodelsegmentodelainterpolacióncircularenxconrespectoalpunto(a,z(a,f))es

2

222224

23222342

256)(256256)2(32...

)...64)2(16(4)16323(24

fkhfhbfkffbb

hfkfbfbafkfbabaa

++−−++

−−++−+++=ρ(35)

Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:

La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es

ff

abbak

fbaabbah

232

4)(7128

)(4)(3

2

2

2

3

+−+=

+++= (36)

de lo cual el radio del segmento circular será igual a:

222

4)( −+−= k

faha (37)

y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene

2

2

32232

2

2222

128313133

32647107

41 +++−++++−=

fbabbaaa

ffbaba

fa (38)

para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por

2

2

32232

2

2

32232

2

2222

2

2

128313133

128313133

32647107

41

232

4)(7

+++−−±+++−++++−−

+−+=

fbabbaaxr

fbabbaaa

ffbaba

fa

ff

abbaz

(39)que de manera recurrente

22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)

variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.

(36)

dondeelradiodelsegmentocircularseráiguala:

2

222224

23222342

256)(256256)2(32...

)...64)2(16(4)16323(24

fkhfhbfkffbb

hfkfbfbafkfbabaa

++−−++

−−++−+++=ρ(35)

Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:

La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es

ff

abbak

fbaabbah

232

4)(7128

)(4)(3

2

2

2

3

+−+=

+++= (36)

de lo cual el radio del segmento circular será igual a:

222

4)( −+−= k

faha (37)

y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene

2

2

32232

2

2222

128313133

32647107

41 +++−++++−=

fbabbaaa

ffbaba

fa (38)

para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por

2

2

32232

2

2

32232

2

2222

2

2

128313133

128313133

32647107

41

232

4)(7

+++−−±+++−++++−−

+−+=

fbabbaaxr

fbabbaaa

ffbaba

fa

ff

abbaz

(39)que de manera recurrente

22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)

variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.

(37)

ysustituyendolasecuaciones(36)en(37)seobtiene

2

222224

23222342

256)(256256)2(32...

)...64)2(16(4)16323(24

fkhfhbfkffbb

hfkfbfbafkfbabaa

++−−++

−−++−+++=ρ(35)

Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:

La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es

ff

abbak

fbaabbah

232

4)(7128

)(4)(3

2

2

2

3

+−+=

+++= (36)

de lo cual el radio del segmento circular será igual a:

222

4)( −+−= k

faha (37)

y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene

2

2

32232

2

2222

128313133

32647107

41 +++−++++−=

fbabbaaa

ffbaba

fa (38)

para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por

2

2

32232

2

2

32232

2

2222

2

2

128313133

128313133

32647107

41

232

4)(7

+++−−±+++−++++−−

+−+=

fbabbaaxr

fbabbaaa

ffbaba

fa

ff

abbaz

(39)que de manera recurrente

22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)

variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.

(38)

parallegaralpuntofinal(b,z(b,f))yrepetirelproceso.Así,elsegmentocircularexplícitodeloffsetestádeterminadopor

2

222224

23222342

256)(256256)2(32...

)...64)2(16(4)16323(24

fkhfhbfkffbb

hfkfbfbafkfbabaa

++−−++

−−++−+++=ρ(35)

Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:

La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es

ff

abbak

fbaabbah

232

4)(7128

)(4)(3

2

2

2

3

+−+=

+++= (36)

de lo cual el radio del segmento circular será igual a:

222

4)( −+−= k

faha (37)

y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene

2

2

32232

2

2222

128313133

32647107

41 +++−++++−=

fbabbaaa

ffbaba

fa (38)

para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por

2

2

32232

2

2

32232

2

2222

2

2

128313133

128313133

32647107

41

232

4)(7

+++−−±+++−++++−−

+−+=

fbabbaaxr

fbabbaaa

ffbaba

fa

ff

abbaz

(39)que de manera recurrente

22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)

variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.

(39)

2

222224

23222342

256)(256256)2(32...

)...64)2(16(4)16323(24

fkhfhbfkffbb

hfkfbfbafkfbabaa

++−−++

−−++−+++=ρ(35)

Resolviendo el sistema de las tres últimas ecuaciones para h y k se obtiene:

La coordenada relativa del centro del segmento de la interpolación circular en x con respecto al punto (a, z(a, f)) es

ff

abbak

fbaabbah

232

4)(7128

)(4)(3

2

2

2

3

+−+=

+++= (36)

de lo cual el radio del segmento circular será igual a:

222

4)( −+−= k

faha (37)

y sustituyendo las ecuaciones (36) en (37) se obtiene

2

2

32232

2

2222

128313133

32647107

41 +++−++++−=

fbabbaaa

ffbaba

fa (38)

para llegar al punto final (b, z(b, f)) y repetir el proceso. Así, el segmento circular explícito del offset está determinado por

2

2

32232

2

2

32232

2

2222

2

2

128313133

128313133

32647107

41

232

4)(7

+++−−±+++−++++−−

+−+=

fbabbaaxr

fbabbaaa

ffbaba

fa

ff

abbaz

(39)que de manera recurrente

22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)

variando a y b hasta completar la trayectoria desde x = a0 hasta x = 0.

42 Revista EIA

Curvas paralelas explíCitas de las Curvas CóniCas no degeneradas...

quedemanerarecurrente

22 )()( hxrkz −−±ρ−= (40)

variandoayb hastacompletarlatrayectoriadesdex = a0hastax = 0.

xaa ii ∆+= −1 (41)xab ii ∆+=

6. RECOMENDACIONES TÉCNICAS

Sedebeconsiderartambiénqueenelprocesodetorneadodesuperficiescónicasderevolución,conburildediamante,elmaquinadodebeefectuarseenelcuadranteapropiado,paraquelostornillosdebolasrecirculantesdeltornoCNCesténsometidosaesfuerzosdetracción,yasíobtenermayorrigidez,cuandoseefectúaelavancedelburil,desdelaperiferiahastaelcentro.Además,laalturadelfilodecortedelaherramienta,sinángulodeataque,debetenerunaciertoconrelaciónalejederevolucióndehusillo,inferiora0,001mm,posi-cionandolaherramienta,siesposible,medianteelusodeunacámaradevideoconaumentode100x.Siempredebeusarse,siserequiereacabadoespejo,unhusilloaerodinámico.Estádemostradoexperimentalmentequecualquiervelocidaddelhusillosuperiora6000r.p.m.notieneincidenciasobreelbuenomalacabadosuperficial.Elavanceeselparámetroconmásinfluenciaenelbuenacabado.Espreferibleusarvelocidaddeavanceradialconstante,paramaximizarlaestabilidaddimensionaldelsistemadecontrol.

Paramaximizarelacabadoserecomiendaunapasadadecorteconprofundidaddepreacabado0,1mmyunapasadaconprofundidaddecortedeacabado0,05mm,yasími-nimizarlasvibracionesinducidasporelcorteregenerativo.Enmoldesserecomiendausaraleacionesdeníquel-titanioporsualtamaquinabilidadoaceroinoxidablepremaquinadoytempladoAISI420-54Rcpuroomodificado,siseusanherramientasdecermet.Tambiénexistenenelmercadolocalotrosacerosdefáciladquisiciónespecialesparalafabricacióndemoldesparalentes.Enlentesplásticasconmecanizadodirecto,sepuedeusarPMMA(polimetilmetacrilato)ysuscopolímeros,comoN-hidroxietilmetacrilatoyflurocarbonacri-lato;tambiénsepuedeusarpolicarbonato.EnelmecanizadodirectodeespejossepuedeusaraluminiopRodAx dealtaresistenciaypureza,alfinal,seendurecelasuperficieparamaximizarlavidaútil,darresistenciaalrayadoyalacorrosiónatmosféricaoparafabricarespejosfríos(cold mirrors).

7. CONCLUSIÓN

Esválidoconcluirqueesmuchomásfácilusareloffsetexplícitodeunacurvacónicanodegeneradaqueunmétododeinterpolaciónconanálisisnumérico,paralosprocesosdemanufacturadelentesyespejos,yaqueloscálculossonmássimplesymásrápidos;ysiparalaparábolaesmáscomplejoeloffsetnuméricoseráaunmáscomplejoparalaelipseylahipérbola,yaqueseinvolucranmuchosradicalesenclavados.

43Escuela de Ingeniería de Antioquia

Notación

A Semiejemayordeunaelipseounahipérbolaa AbscisadepartidaB Semiejemenordeunaelipseounahipérbolab Abscisadellegadaf Distanciafocaldeunaparábolah Abscisadelcentrodecurvaturak Ordenadadelcentrodecurvatural Longituddeunacuerdar Radiodecurvaturar Radiodecorrecciónodistanciadeparalelismors Radiosagitals Sagitax Abscisacartesianaz Ordenadacartesiana

BIBLIOGRAFÍA

Abłamowicz, R. and Liu, J. (2006). on theparallel lines fornondegenerateconics.http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0602/0602248v1.pdf.

Kincaid,D.yCheney,W.(1994).Análisisnumérico.Addison-WesleyIberoamericana.

Aigner,K.(1997).Symboliccomputationofandwithoffsetcurves.http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/2577/ftp:zSzzSzftp.risc.unilinz.ac.atzSzpubzSztechreportszSz1997zSz97-21.pdf/aigner-97symbolic.pdf.