88.Evolución Temporal de Las Ondas de Materia I
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MARTES, 11 DE AGOSTO DE 2009 Evolución temporal de las ondas de materia I En buena parte de los materiales previos que hemos estado estudiando, por razones de simplicidad hemos estado trabajando con la ecuación de onda de Schrödinger independiente del tiempo, la cual se obtuvo de la ecuación de Schrödinger separando la parte espacial de la parte temporal mediante el método matemático de la separación de variables. De este modo, la función de onda que hemos estado considerando en una dimensión espacial ha sido: Esto es en realidad una simplificación que se justifica al tomar la función general de onda que incluye tanto la parte temporal como la parte espacial: asignándole a dicha función de onda un tiempo igual a cero. En pocas palabras, con lo que realmente hemos estado trabajando es con lo siguiente: De este modo, con lo que hemos estado trabajando es con funciones de onda sobre las cuales tomamos una “instantánea fotográfica” en un tiempo igual a cero, lo cual es aceptable y suficiente cuando se trata de funciones de onda que corresponden a estados ligados en SEGUIDORES ARCHIVO DEL BLOG ▼ 2009 (136) ▼ agosto (136) Indice Prólogo El modelo atómico planetario de Bohr I El modelo atómico planetario de Bohr II La espectroscopía de rayos-X La extraña ecuación de Max Born Vectores y matrices I 0 More Next Blog» Create Blog Sign In La Mecánica Cuántica Guarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
Evolución temporal de las ondas de materia I
En buena parte de los materiales prev ios que hemos estado estudiando, por razones de
simplicidad hemos estado trabajando con la ecuación de onda de Schrödinger
independiente del tiempo, la cual se obtuv o de la ecuación de Schrödinger separando la
parte espacial de la parte temporal mediante el método matemático de la separación de
v ariables. De este modo, la función de onda que hemos estado considerando en una
dimensión espacial ha sido:
Esto es en realidad una simplificación que se justifica al tomar la función general de onda
que incluy e tanto la parte temporal como la parte espacial:
asignándole a dicha función de onda un tiempo igual a cero. En pocas palabras, con lo que
realmente hemos estado trabajando es con lo siguiente:
De este modo, con lo que hemos estado trabajando es con funciones de onda sobre las
cuales tomamos una “instantánea fotográfica” en un tiempo igual a cero, lo cual es aceptable
y suficiente cuando se trata de funciones de onda que corresponden a estados ligados en
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)
▼ agosto (136)
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de ray os-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
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La Mecánica Cuántica
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y suficiente cuando se trata de funciones de onda que corresponden a estados ligados en
donde lo que tenemos son ondas estacionarias. Sin embargo, hay muchos problemas de
interés en los cuales nos interesa obtener una idea sobre cómo ev oluciona el
comportamiento de una función de onda que representa a una partícula de materia de
dimensiones sub-microscópicas. Para el análisis de muchos problemas de este tipo, un buen
punto de partida para empezar a tomar en consideración el av ance del tiempo lo es la
ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo que dada en notación bra-ket de Dirac
tiene el siguiente aspecto:
tomando a Ψ como Ψ = Ψ(t), la parte temporal de la función de onda.
PROBLEMA : Supóngase que se tiene un sistema de dos estados para el cual el operador
matricial Hamiltoniano de energía es el siguiente:
Tras obtener los eigenvalores y las eigenfunciones que corresponden a este operador
Hamiltoniano, obténgase la función de onda dependiente del tiempo para este sistema.
Supondremos que el sistema tiene los siguientes dos estados linealmente independientes:
El estado más general para la función de onda dependiente del tiempo estará dada entonces
por la siguiente combinación lineal normalizada:
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observ ables compatibles e
incompatibles
Oscilador armónico simple: solución
matricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricial
I
Momento angular: tratamiento matricial
II
Momento angular: tratamiento matricial
III
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo de
hidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánica
matricial
La matriz momentum como generadora
de traslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
El aspecto estadístico de la Mecánica
Matricial
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siendo la condición de normalización:
Para obtener los eigen-v alores λ del sistema y las eigen-funciones, montamos la eigen-
ecuación:
Para un sistema de dos estados, el eigenv ector será un v ector columna de dos renglones:
Entonces la eigen-ecuación matricial v iene siendo:
Ev olución temporal de los sistemas
físicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación de
onda
Solución numérica de la ecuacion de
Schrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: solución
ondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflex ión de partículas I
Transmisión y reflex ión de partículas II
Transmisión y reflex ión de partículas III
Transmisión y reflex ión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre, rev isitado
El acto de medición
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Llev ando a cabo la multiplicación matricial:
lo cual nos produce un sistema de ecuaciones simultáneas:
o lo que es lo mismo:
Despejando x 1 de la segunda ecuación:
Substituy endo este x 1 en la primera ecuación y resolv iendo para λ :
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio I
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio II
Momento angular orbital: funciones de
onda I
Momento angular orbital: funciones de
onda II
Polinomios de Legendre: aspectos
matemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angular
del spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular II
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La solución de la ecuación cuadrática nos dá las raíces λ que son a su v ez los eigenv alores
del sistema:
Entonces los dos eigenv alores λ 1 y λ 2 del sistema son:
Los eigenv alores que acabamos de obtener nos conducen a dos eigenv ectores:
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
El espacio-posición y el espacio-
momentum I
El espacio-posición y el espacio-
momentum II
El espacio-posición y el espacio-
momentum III
El espacio-posición y el espacio-
momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de mov imiento de
Heisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:
equiv alencia
Ev olución temporal de las ondas de
materia I
Ev olución temporal de las ondas de
materia II
El operador de traslación
El operador de ev olución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg y
Schrödinger
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Tenemos entonces los siguientes eigenv ectores columna:
Estos eigenv ectores no están normalizados. La normalización de los mismos nos conduce a
los siguientes v ectores columna normalizados:
Schrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan II
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
El teorema v irial
Espectroscopías de resonancia
magnética I
Espectroscopías de resonancia
magnética II
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Las combinaciones más sencillas se obtienen haciendo x 1 = 1 :
Haremos ahora uso de la parte temporal de la ecuación de Schrödinger:
Substituy endo la matriz H y el primer eigenv ector columna normalizado, se tiene entonces
la siguiente ecuación matricial (la ħ reducida de Planck se ha destacado de color magenta
para ev itar que pueda ser confundida con el elemento h de la matriz H):
Igualando ambos miembros del primer renglón, se tiene:
Espectroscopías de resonancia
magnética III
Espectroscopías de resonancia
magnética IV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondas
esféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativ ista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores de
conv ersión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
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Integrando:
Con esto, la primera función de onda debe ser:
o bien:
A RMA NDO MA RTÍ NEZ
TÉLLEZ
V E R TODO MI P E R FIL
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El segundo eigenv ector nos dá una segunda ecuación matricial que es la siguiente:
Llev ando a cabo la multiplicación matricial e igualando ambos miembros del mismo
renglón, se tiene:
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Integrando:
Con esto, la segunda función de onda debe ser:
o bien:
La función general de onda para el sistema será igual a la suma de las dos funciones de onda
que han sido obtenidas, o sea:
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que v iene dando:
o bien, expresando el resultado en notación bra-ket para may or elegancia:
Y a hemos v isto prev iamente que la función general de onda Ψ(x,t), que incluy e tanto la
componente espacial como la componente temporal, cuando se recurre al método de
separación de v ariables aplicado en la ecuación de Schrödinger para separar la parte
espacial ψ (x) de la parte temporal, quedará expresada como el producto de ψ (x) por un
factor e-iHt/ħ siendo H el Hamiltoniano de energía, que para un estado fijo de energía E
podemos escribir como:
Esto es v álido cuando se tiene un solo estado energético. Sin embargo, el caso general
considera no un solo estado aislado sino una cantidad infinitamente grande de estados
discretos, montados sobre la estructura matemática del espacio v ectorial de Hilbert, y si a
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cada uno de dichos estados le corresponde su propio factor e-iEt/ħ , entonces la fórmula más
general que toma esto en cuenta debe ser la siguiente:
Sin embargo, esta relación como está dada está incompleta, y a que falta agregarle a cada
término de la sumatoria su propia constante de amplitud cn , con lo cual la expresión para la
función general de onda v iene quedando como:
Si Ψ(x ,t) está normalizada, las constantes de amplitud cn deben tener v alores tales que la
suma de los cuadrados de todas ellas será igual a la unidad, lo cual no es difícil de demostrar.
Visto de otro modo, la expansión de una función de onda Ψ(x,0) como una sumatoria de
funciones de base ortogonales:
es un caso especial de la expansión para Ψ(x,0) en la cual a la v ariable del tiempo se le ha
dado un v alor igual a cero, siendo cada término realmente:
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Entonces si queremos obtener Ψ(x ,t) a partir de Ψ(x,0) debemos restablecer el exponencial
que v a adjunto a cada término:
Puesto que ωn .=.En /ħ, una forma alterna aceptable de lo anterior es la siguiente:
Lo anterior nos indica el procedimiento general para obtener Ψ(x ,t) a partir de Ψ(x,0) para
aquellos sistemas físicos discretos que corresponden a estados ligados en los cuales se ha
resuelto la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Simplemente le anexamos a
cada función de base su exponencial e-iEt/ħ , tras lo cual se puede intentar una simplificación
o una ev aluación de la expresión resultante.
PROBLEMA : Dada la función general de onda:
y suponiendo que dicha función de onda está normalizada, demuéstrese que:
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Demuéstrese asimismo la validez de la siguiente expresión para el valor esperado del
operador Hamiltoniano de energía para esta función general de onda:
Partiendo del hecho de que, por hipótesis, la función de onda Ψ(x,t) se encuentra y a
normalizada a la unidad, podemos escribir entonces lo siguiente:
Reacomodando:
En v irtud de que, debido a la ortonormalidad, los “términos cruzados” en la sumatoria para
m.≠.n se cancelan, lo anterior se reduce a:
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o lo que es lo mismo:
Puesto que cada una de las funciones ψ n (x) se supone que está normalizada dentro del
rango aplicable de la integración, entonces se obtiene:
Echando recurso de la definición aceptada para el valor esperado o esperanza matemática
de un operador, para el caso del operador Hamiltoniano de energía se tiene:
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Substituy endo en lo anterior la expresión para la función general de onda Ψ(x,t) así como su
conjugado complejo Ψ*(x ,t):
Reacomodando:
De nuev a cuenta, y en v irtud de la ortonormalidad, lo anterior se reduce a:
Sabemos y a que una de las eigen-ecuacines fundamentales de la Mecánica Cuántica es la
siguiente:
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Usando esta eigen-ecuación, obtenemos de este modo el resultado deseado:
Es muy importante tener presente el hecho de que para que se pueda utilizar la relación:
para obtener Ψ(x ,t) a partir de Ψ(x,0), es necesario que las funciones ψ n (x) formen parte de
un conjunto de funciones ortogonales. De no ser así, la función que se esté utilizando para
Ψ(x,0) tiene que ser “desintegrada” en una suma de términos ψ n (x) que sean linealmente
independientes (ortogonales) para poder aplicar la relación que nos dá Ψ(x,t).
PROBLEMA : Supóngase que se tiene una partícula atrapada en un pozo infinito de
potencial cuya función de onda inicial es la siguiente:
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Encuéntrese una expresión para Ψ(x ,t) para dicha partícula.
Lo primero a notar es que la función de onda Ψ(x,0) es impar o antisimétrica, esto es:
Ψ(-x ,0) = +Ψ(x,0)
Esto implica que las funciones de onda base ortogonales que sean utilizadas para construír
la función Ψ(x,0) tendrán que ser también antisimétricas todas ellas.
Aunque se puede llev ar a cabo la expansión de la función cúbica senoidal mediante series de
Fourier, podemos recurrir a una identidad como la siguiente:
Elev ando al cubo:
Simplificando:
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Obtendremos primero el v alor de la constante A mediante la condición de normalización:
Esta es una integral de la sexta potencia de un término senoidal. Para poder llev ar a cabo la
integración, tenemos que recurrir a una tabla de integrales para encontrar alguna forma
conv encional que nos permita abatir el orden cúbico del exponente. Una manera de hacerlo
es la siguiente:
De esto se obtiene, para n.=.6:
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A continuación recurrimos a la siguiente integral conv encional también sacada de las
tablas:
Con esto podemos llev ar a cabo la integración del término cúbico senoidal tomando límites:
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Por lo tanto, la constante de normalización A se obtiene como:
Para una partícula atrapada en un pozo de potencial con paredes infinitamente altas, los
eigenv alores de energía están dados por la relación:
Obv iamente, los eigenv alores que requerimos son los primeros dos eigenv alores impares, o
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sea:
Con esto, podemos escribir la función de onda generalizada Ψ(x,t) de la siguiente manera:
En el caso de un estado estacionario único para el cual la energía E está prefijada de modo
unív oco, todas las esperanzas matemáticas son constantes, esto es, no v arían con el tiempo.
Para hacer que algo ocurra conforme v a transcurriendo el tiempo, se debe tomar una
combinación lineal de por lo menos dos estados estacionarios, y de hecho esta es la
combinación más susceptible de un análisis simplificado; es lo que en la Mecánica Cuántica
se conoce como el problema de los estados m ezclados para el cual, cuando tenemos dos
estados “puros” mezclados (designando a cada estado estacionario como un estado “puro”),
la función general de onda v iene siendo:
En esta expresión, se supone que las funciones ψ 1 (x) y ψ 2 (x) y a están normalizadas; las
constantes a y b fijan la contribución indiv idual de cada función de onda al total de la
función de onda compuesta Ψ(x ,t), la cual a su v ez tendrá que ser normalizada en función de
las magnitudes de a y b con la finalidad de que se le pueda dar también una interpretación
probabilista a ||Ψ(x,t)||2 . Puesto que las funciones espaciales de onda ψ 1 (x) y ψ 2 (x) son
ortogonales, esto es, de frecuencias distintas, podemos imaginar una “instantáneaGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
ortogonales, esto es, de frecuencias distintas, podemos imaginar una “instantánea
fotográfica” en la cual ambos términos “puros” de Ψ(x,t) se suman dando algo como lo que
se muestra en las siguientes figuras:
Para el caso en el cual se tienen dos estados estacionarios que se encuentran mezclados:
Suponiendo que tanto a y b como ψ 1 (x) y ψ 2 (x) son reales, desarrollando y simplificando lo
anterior se obtiene:
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Siendo ||Ψ(x,t)||2 Δx la probabilidad de encontrar a la partícula dentro de un interv alo Δx
en un cierto tiempo, la expresión anterior que inv olucra el tiempo explícitamente nos dá
una imagen dinámica del mov imiento de la partícula, o mejor dicho, de la onda de materia.
Siendo el argumento cosenoidal ωt igual a (E2 -E1 )t/ħ, entonces con:
obtenemos en forma aproximada para el período de oscilación τ del sistema:
Como un chequeo sobre el principio de incertidumbre, tomando ΔE.=.E2 -E1 y Δt.=.τ, se
tiene entonces que:
y puesto que el producto es may or que ħ/2, el principio de incertidumbre se cumple en este
caso.
Analizaremos ahora el comportamiento dinámico de ||Ψ(x,t)||2 para dos estados
mezclados, habido el hecho de que esta es una función de onda que v a ev olucionando con el
tiempo. Supondremos que los dos estados mezclados son los que corresponden a los
primeros dos estados energéticos E0 y E1 de un oscilador armónico simple (el estado
fundamental y el primer estado excitado), cuy as eigenfunciones ψ 0(ξ) y ψ 1 (ξ) de acuerdo a
lo que se v ió prev iamente en la entrada titulada “Oscilador armónico simple: soluciónGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
lo que se v ió prev iamente en la entrada titulada “Oscilador armónico simple: solución
ondulatoria” son las siguientes en función de la v ariable adimensional ξ que podemos tomar
como la posición de la partícula (se dejarán pendientes para la siguiente entrada los cálculos
más detallados requeridos en el análisis de este problema de dos mezclados del oscilador
armónico simple, esto con la finalidad de enfocarnos aquí sobre un aspecto importante de lo
que sucede):
La gráfica (estática) que junta cada una de estas dos eigenfunciones (usando x en lugar de ξ
para may or claridad en la especificación de la posición) es la siguiente:
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En contraste con las gráficas de estas dos eigenfunciones “puras” para el oscilador armónico
simple, la gráfica de la densidad de probabilidad ||Ψ(x,t)||2 será diferente conforme v ay a
av anzando el tiempo. La función de onda compuesta que estaremos utilizando para el
graficado será la siguiente:
Los factores 1/√2 que aparecen multiplicando cada término no tienen nada que v er con
normalización alguna sobre ψ 0 y ψ 1 y a que se supone que ambas funciones de onda están
normalizadas. Son los factores de normalización de Ψ(x,t) para darle una contribución en
partes iguales a cada estado “puro” dentro de Ψ(x,t) manteniendo a esta última
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normalizada. Para analizar el efecto del tiempo, podemos prescindir en los graficados de los
cuadrados de las eigenfunciones, o sea de |ψ 1 (x)|2 y |ψ 2 (x)|2 , en v irtud de que ambas
cantidades son inv ariantes con el tiempo, concentrando nuestra atención sobre la parte que
v aría con el tiempo. Sin entrar en los detalles específicos de los cálculos numéricos,
encontramos que la gráfica de para un tiempo t.=.0 tiene el siguiente aspecto:
mientras que para un tiempo tal que ωt.=.π/4 la gráfica correspondiente será la siguiente:
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Para un tiempo tal que ωt.=.π/2, la gráfica correspondiente será la siguiente:
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Para un tiempo tal que ωt.=.3π/4, la gráfica correspondiente será la siguiente:
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Para un tiempo tal que ωt.=.π, la gráfica correspondiente será la siguiente:
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Para un tiempo tal que ωt.=.5π/4, la gráfica correspondiente será la siguiente:
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Y para un tiempo tal que ωt.=.3π/2, la gráfica correspondiente será la siguiente:
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No es necesario obtener más graficados para darnos cuenta del comportamiento oscilatorio
del cuadrado de la función de onda ||Ψ(x,t)||2 para este sistema físico con dos estados
mezclados. Suponiendo que las dos funciones de base corresponden a los primeros dos
estados (el estado fundamental y el primer estado excitado) de un oscilador armónico
simple unidimensional, esto nos permite darnos una idea sobre cómo el comportamiento
del oscilador armónico simple cuántico se puede asemejar al de una partícula clásica. Y a
hemos v isto prev iamente cómo el comportamiento del oscilador armónico simple cuántico
puede ser muy diferente del comportamiento que predice la mecánica clásica. Desde el
punto de v ista cuántico y para un estado definido de energía, la probabilidad de encontrar
una partícula en un punto dado es independiente del tiempo. Clásicamente, sin embargo, la
partícula del oscilador armónico simple oscila de tal manera que la probabilidad de que una
partícula se encuentre dentro de cierto elemento pequeño de v olumen en cierto lugar del
espacio es diferente de un instante de tiempo a otro. De hecho, la probabilidad es igual a
cero o a la unidad, y a que clásicamente hablando la partícula está allí o no lo está. Del
mismo modo, clásicamente, el momentum del oscilador armónico simple está cambiando
continuamente con el tiempo. La descripción del momentum de acuerdo con formalismo
mecánico-cuántico es tal que para un estado de energía definida hay una distribución
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estadística de los momentums que corresponden a v arias ondas planas en las cuales la
función de onda puede ser expandida. Cada onda plana corresponde a un estado definido de
momentum, con el carácter estacionario de cada estado implicando que la probabilidad de
que cierto momentum será obtenido es constante y permanece inv ariable con el tiempo. La
pregunta que nos hacemos entonces es: ¿cómo puede ser el formalismo clásico equiv alente
al formalismo mecánico-cuántico, o bien un caso especial de este último? La conexión entre
el formalismo clásico y el formalismo cuántico aparece cuando se considera el mov imiento
de un paquete de onda de materia. En el comportamiento que hemos obtenido arriba para
el caso de dos estados mezclados, puede v erse en las figuras que la función de onda tiene un
comportamiento que se parece mucho al de una partícula oscilando con un mov imiento
armónico simple clásico. La frecuencia de la oscilación es la que corresponde a la frecuencia
observ ada en el caso de la oscilación clásica. Parece razonable suponer entonces que si se
llev ara a cabo la superposición de un gran número de estados de energía, nos acercaríamos
más y más a lo que v endría siendo un paquete de onda Gaussiano que oscilaría de una
manera muy parecida a la manera en la que se muev e una partícula clásica. Desde esta
perspectiv a, la descripción clásica del mov imiento de una partícula es aquella para la cual
se pueden especificar simultáneamente tanto la posición como el momentum de la partícula
con cierto grado de precisión (más no con precisión ilimitada). El estado del sistema es
descrito por un paquete de ondas de materia cuy a posición más o menos especifica la
posición de la partícula y obedece las reglas clásicas dentro de los límites del error de
medición. Es importante que la energía no esté completamente especificada, porque si el
sistema está en un estado de energía definida la función de onda no puede describir un
mov imiento oscilatorio.
El siguiente gráfico animado nos muestra, dinámicamente, el comportamiento oscilatorio
de ||Ψ(x,t)||2 para los dos estados mezclados del oscilador armónico simple:
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PROBLEMA : Usualmente, el agregar un factor global de fase eiφ (en donde φ es una
constante) a una función de onda no tiene significado físico alguno ya que se cancela al
momento de efectuar los cálculos de los valores esperados de las observables físicas. Sin
embargo, si se le agrega un factor de fase local a uno de los coeficientes de expansión en un
sistema de dos estados de la manera que se muestra a continuación:
se encuentra que eventualmente dicho factor de fase sí se hace presente en los cálculos
finales de las esperanzas matemáticas de las observables físicas. Obténganse la constante
de normalización A y la función de onda general Ψ(x,t) así como el cuadrado de la función
de onda ||Ψ(x ,t)||2 para el caso de una partícula atrapada en un pozo de potencial con
paredes infinitamente altas. Usando esto, obténgase la esperanza matemática de la
posición de la partícula, esto es:
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Empezaremos con la condición de normalización:
El producto de la función Ψ(x,t) por su conjugado complejo Ψ(x ,t)* v iene siendo:
Llev ando a cabo los productos:
La integración de lo anterior v iene quedando entonces como:
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Puesto que las funciones de base ψ 1 (x) y ψ 2 (x) son ortogonales, se tiene entonces que:
Por lo tanto:
Usando para la expansión el estado fundamental E1 y el primer estado excitado E2 , para una
partícula atrapada en un pozo de potencial infinito, se tiene entonces la siguiente función de
onda generalizada:
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Substituy endo en esta expresión la constante de normalización A así como las
eigenfunciones que corresponden a las de los primeros dos estados cuánticos de una
partícula atrapada en un pozo de potencial infinito, se tiene entonces:
Simplificando:
Factorizando para simplificar aún más llegamos a la siguiente expresión aceptable para
cálculos posteriores:
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Usando lo anterior, ahora calcularemos ||Ψ(x,t)||2 usando la definición:
con lo cual:
Efectuando los productos y utilizando:
así como:
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se tiene entonces:
Usando la definición de la esperanza matemática de la posición de la partícula, se tiene
ahora:
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Tenemos tres integrales a resolv er. Para llev ar a cabo la primera integración, recurrimos a
las tablas de integrales que nos proporcionan la siguiente forma conv encional:
Por lo tanto:
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Usando la misma forma conv encional, se obtiene:
Nos falta la ev aluación de la integral que corresponde al tercer término, de la cual podemos
sacar fuera del signo integral el factor cos(3ωt-φ):
Para la ev aluación de esta integral, haremos recurso de la siguiente identidad
trigonométrica:
Haciendo α = πx/a y β = 2πx/a, se tiene entonces:
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A continuación, procedemos a integrar ambos miembros de esta igualdad:
Tenemos ahora del lado derecho de la igualdad dos integrales que llamaremos integral # 1 e
integral # 2. Para poder continuar adelante, echando mano de una tabla de integrales
obteniendo la siguiente forma conv encional:
De este modo la integral # 1 termina siendo ev aluada como:
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Por otro lado, la integral # 2 resulta ser:
De este modo, juntando las integrales # 1 y # 2, se tiene lo siguiente:
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Entonces, juntando los resultados de las tres integrales, se tiene lo siguiente:
que podemos simplificar un poco más como:
Este es un resultado interesante y extraordinario, porque nos dice que la esperanza
matemática de la posición de la partícula, lejos de estar especificada todo el tiempo justo a
la mitad de la distancia que hay entre ambas paredes, está v ariando con el tiempo. Una
gráfica de esta expresión para un pozo de potencial de anchura a.=.5 usando un ángulo de
fase igual a φ.=.π/4 presenta el siguiente aspecto (la gráfica está dada de modo tal que en el
eje v ertical se está representando el av ance del tiempo a partir de un tiempo igual a cero,
mientras que el eje horizontal muestra cómo la esperanza matemática de la posición oscila
de un lado al otro con respecto a la línea central imaginaria de color v erde que div ide al
pozo de potencial en dos partes iguales):
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En general, la obtención de la función de onda Ψ(x,t) a partir de Ψ(x,0) para el caso
discreto en el cual se tienen estados ligados es un asunto relativ amente fácil,
conceptualmente hablando, que se llev a a cabo de manera casi mecánica. Sin embargo, en lo
que compete al caso continuo , como el que corresponde a las partículas libres, la
prescripción que se ha dado no se suficiente, y es necesario recurrir a artillería más potente
para poder manejar el caso continuo.
P U B LICA DO P OR A R MA N DO MA R TÍN E Z TÉ LLE Z E N 1 7 :3 0
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