TABLA DEL 7 7 x 7 =49 8 x 7 =56 9 x 7 =63 4 x 7 =28 5 x 7 =35 6 x 7 =42 2 x 7 =14 3 x 7 =21.
7.variablesaleatoriasdiscretas.distribuciónbinomial
-
Upload
german-mendez -
Category
Education
-
view
142 -
download
2
Transcript of 7.variablesaleatoriasdiscretas.distribuciónbinomial
MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASDISTRIBUCIÓN BINOMIAL
UNIDADE 7
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.2. Función de probabilidade dunha variable aleatoria
discreta.3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.4. Media, varianza e desviación típica dunha variable
aleatoria discreta.5. Distribución binomial ou de Bernouilli6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.7. Función de distribución dunha distribución binomial. 8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
Variable aleatoria:
Chámase variable aleatoria a toda lei (función) que asocia a cada elemento do espazo mostral E dun experimento aleatorio un número real.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
Exemplo 1:Consideramos o experimento aleatorio lanzar 3 moedas, e a cada posible resultado de dito experimento asignámoslle o número real que indica o número de caras que obtivemos.Esta función que
denotamos por X (X=nº de caras obtidas) é unha variable aleatoria e ten por percorrido {0, 1, 2, 3}
1ª moeda
C X
C X C X
C X C X C X C X
CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX
3 2 2 1 2 1 1 0
2ª moeda
3ª
moeda
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
Exemplo 2:Consideramos o experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, e a cada un dos puntos mostrais asociámoslle un número real que é a suma dos puntos obtidos entre os dous dados.
Esta función X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria e ten por percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
1º dado
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
(1,1)(1,2
)(1,3
)(1,4
)(1,5
)(1,6
)(2
,1)(2
,2)
(2,3
)(2
,4)
(2,5
)(2
,6)
(3,1)
(3,2
)(3
,3)
(3,4
)(3
,5)
(3,6
)
32 4 5 6 7 3 4 5 6 7 48 5 6 7 8 9
(4,1)
5
(4,2
)(4
,3)
(4,4
)(4
,5)
(4,6
)(5
,1)(5
,2)
(5,3
)(5
,4)
(5,6
)(5
,5)
(6,1)
(6,2
)(6
,3)
(6,4
)(6
,5)
(6,6
)
6 7 8 9 10 6 7 8 9 1011 7 8 9 101112
2º dado
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
Exemplo 3:Consideremos o experimento
aleatorio “elixir ao chou un alumno do noso instituto”; os puntos mostrais son os 700 alumnos do instituto.
A cada posible resultado asignámoslle un número real que será a estatura de dito alumno.X=estatura do alumno é unha
variable aleatoria; o percorrido desta variable aleatoria é máis complicado de establecer, aínda que podemos supor que se trata dun intervalo, por exemplo [1.40, 1.95] m, a variable podería tomar calquera valor entre os infinitos do intervalo.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
Exemplo 4:Consideramos o experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunha
certa marca etiquetado como 1Kg “.Os puntos mostrais do experimento son todos os paquetes de café de dita marca e
etiquetados con ese peso.Asignámoslle a cada resultado do experimento un número real que será o peso real
do paquete.X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria; o seu percorrido podemos
consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg, e pode tomar calquera valor dos infinitos de dito intervalo.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
Tipos de variables aleatorias
Discretas O percorrido da variable aleatoria é finito ou infinito numerable
Continuas O percorrido, ao menos teórico, está formado polos infinitos valores dun intervalo ou de varios.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
Exemplos:No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” a variable aleatoria X=nº de caras obtidas é unha variable aleatoria discreta, pois o seu percorrido {0,1,2,3} é finito.No experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, a variable aleatoria X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria discreta, pois o seu percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} é finito.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.
No experimento aleatorio “elixir ao chou un alumno do noso instituto”; X=estatura do alumno é unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido é un intervalo [1.40, 1.95] m
No experimento aleatorio “elixir ao chou un paquete de café dunha certa marca etiquetado como 1Kg”; X=peso real do paquete, é unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido podemos consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.
Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta
Chámase función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta X á aplicación que asocia a cada un dos valores que pode tomar dita variable, e que denotamos como xi, a súa probabilidade.
Dita función pódese expresar mediante unha táboa, e soe representarse mediante un diagrama de barras.
X pi=p(X=xi)
x1
x2
.
.
.
xn
p1
p2
.
.
.
pn
1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.
Exemplo 1No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas” con percorrido {0,1,2,3}.
Calculemos a súa función de probabilidade:
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.
X=nº de caras
obtidas
pi=p(X=xi)
x1=0
x2=1
x3=2
x4=3
P1=p(X=0)=p(“nºde caras obtidas sexa 0”)=
=p({XXX})=1/8=0.125
p2=p(X=1)=p(“nº de caras obtidas sexa 1”)=
=p({CXX, XCX, XXC})=3/8=0.375
p3=p(X=2)=p(“nº de caras obtidas sexa 2”)=
=p({CCX, CXC, XCC})=3/8=0.375
p4=p(X=3)=p(“nº de caras obtidas sexa 3”)=
=p({CCC})=1/8=0.125
p1+p2+p3+p4=1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 1 2 3
0.125
0.375 0.375
0.125
nº de caras
prob
abilid
ade
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.
Exemplo 2:No experimento aleatorio “lanzar dous dados de distinta cor”, a variable aleatoria X=“puntos obtidos entre os dous dados” é unha variable aleatoria discreta e o seu percorrido é {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Calculemos a súa función de probabilidade:
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.
X= suma dos puntos dos dous dados
pi=p(X=xi)
x1=2
x2=3
x3=4
x4=5
x5=6
x6=7
x7=8
x8=9
x9=10
x10=11
x11=12
p1=p(X=2)=p(“a suma de puntos sexa 2”)=p({(1,1)})=1/36=0.028
p2=p(X=3)=p(“a suma de puntos sexa 3”)=p({(1,2),(2,1)})=2/36=0.056
p3=p(X=4)=p(“a suma de puntos sexa 4”)=p({(1,3),(2,2),(3,1)})=3/36=0.083
p4=p(X=5)=p(“a suma de puntos sexa 5”)=p({(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)})=4/36=0.111
p5=p(X=6)=p(“a suma de puntos sexa 6”)=
=p({(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)})=5/36=0.139
p6=p(X=7)=p(“a suma de puntos sexa 7”)=
=p({(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)})=6/36=0.167
p7=p(X=8)=p(“a suma de puntos sexa 8”)=
=p({(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)})=5/36=0.139
p8=p(X=9)=p(“a suma de puntos sexa 9”)=p({(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)})=4/36=0.111
p9=p(X=10)=p(“a suma de puntos sexa 10”)=p({(4,6),(5,5),(6,4)})=3/36=0.083
p10=p(X=11)=p(“a suma de puntos sexa 11”)=p({(5,6),(6,5)})=2/36=0.056
p11=p(X=12)=p(“a suma de puntos sexa 12”)=p({(6,6)})=1/36=0.028
p1+p2+p3+p4+...+p11=1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Función de probabilidade dunha variable
aleatoria discreta.
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.028
0.056
0.083
0.111
0.139
0.167
0.139
0.111
0.083
0.056
0.028
suma de puntos
prob
abilid
ade
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
Función de distribución dunha variable aleatoria discreta X.
A función de distribución, F, dunha variable aleatoria discreta X é aquela que a cada valor x, nº real, lle asigna a probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores menores ou iguais que x.
F(x)=p(X≤x)
Como consecuencia desta definición:
0≤F(xi)=p(X≤xi)=p(X=x1)+p(X=x2)+...+p(X=xi)≤1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
Exemplo 1:
Calculemos a función de distribución F para a variable aleatoria X=“nº de caras” no experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”.
Lembremos a súa función de probabilidade:
X=nº de caras
obtidas
pi=p(X=xi)
0
1
2
3
p1=p(X=0)=1/8=0.125
p2=p(X=1)=3/8=0.375
p3=p(X=2)=3/8=0.375
p4=p(X=3)=1/8=0.125
p1+p2+p3+p4=1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha especie de probabilidade acumulada:
xseXpXpXpXpXpxXp
xseXpXpXpXpxXp
xseXpXpXpxXp
xseXpXpxXp
xsexXp
xF
318
1
8
3
8
3
8
1)3()2()1()0()3()(
328
7
8
3
8
3
8
1)2()1()0()2()(
212
1
8
4
8
3
8
1)1()0()1()(
108
1)0()0()(
00)(
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
f(x)=0
f(x)=1/8
f(x)=1/2
f(x)=7/8
f(x)=1
Serie 1
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x
y
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
E a súa gráfica é escalonada:
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
Exemplo 2:
Calculemos a función de distribución F para a variable aleatoria X=“suma dos puntos das caras superiores” no experimento aleatorio “lanzar 2 dados”.
Lembremos a súa función de probabilidade:
X= suma dos puntos dos dous dados
pi=p(X=xi)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p1=p(X=2)=1/36
p2=p(X=3)=2/36
p3=p(X=4)=3/36
p4=p(X=5)=4/36
p5=p(X=6)=5/36
p6=p(X=7)=6/36
p7=p(X=8)=5/36
p8=p(X=9)=4/36
p9=p(X=10)=3/36
p10=p(X=11)=2/36
p11=p(X=12)=1/36
p1+p2+p3+p4+...+p11=1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
A súa función de distribución ten como dominio todo R e, é unha especie de probabilidade acumulada:
xseXpXpXpXp
xseXpXpXpXp
xseXpXpXpXp
xseXpXpXpXp
xseXpXpXpXp
xseXpXpXpXp
xseXPXpXpXp
xseXpXpXpXpXp
xseXpXpXpXp
xseXpXpXp
xseXpXp
xse
xXpxF
12136
36
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1)12(...)3()2()12(
121136
35
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1)11(...)3()2()11(
111036
33
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1)10(...)3()2()10(
10936
30
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1)9(...)3()2()9(
9836
26
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1)8(...)3()2()8(
8736
21
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1)7(...)3()2()7(
7636
15
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1)6(...)3()2()6(
6536
10
36
4
36
3
36
2
36
1)5()4()3()2()5(
5436
6
36
3
36
2
36
1)4()3()2()4(
4336
3
36
2
36
1)3()2()3(
3236
1)2()2(
20
)(
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
f(x)=0
f(x)=1/36
f(x)=3/36
f(x)=6/36
f(x)=10/36
f(x)=15/36
f(x)=21/36
f(x)=26/36
f(x)=30/36
f(x)=33/36
f(x)=35/36
f(x)=1
Serie 1
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x
y
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
E a súa gráfica é escalonada:
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta.
Propiedades da función de distribución:
F(x) é constante en cada intervalo [xi,xi-1) e a súa gráfica é, polo tanto, escalonada.
F(x) é discontinua en xi
F(x) é crecente pois é unha suma acumulativa de probabilidades e estas son sempre positivas.
p(a<X≤b)=F(b)-F(a). A probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores no intervalo (a, b] é a diferenza entre os valores da función de distribución nos extremos do intervalo.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Media, esperanza e desviación típica dunha variable aleatoria discreta.
Retomemos agora o noso primeiro exemplo:Experimento aleatorio=“lanzar 3 moedas”Variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas”
E realicemos de xeito empírico 40 veces, por exemplo, dito experimento anotando de cada vez o nº de caras obtidas.
Supoñamos que o nº de caras obtidas en cada un dos 40 experimentos é:2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
X é entón unha variable estatística discreta, e os resultados obtidos pódense colocar nunha táboa de frecuencias. Tamén podemos calcular a súa media aritmética e a súa varianza.Á hora de calcular a media aritmética, empregaremos a fórmula:
Do mesmo xeito, á hora de calcular a varianza:
n
i
n
i
n
i
iii
iii
n
i
ii
hxN
fx
N
fx
N
fx
x1 1 1
1
n
i
n
i
n
i
iii
iii
n
i
ii
xhxxN
fxx
N
fxx
N
fx
s1 1
2
1
22222
21
2
2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
xi fi hi=fi/N xi.hi xi2 xi
2.hi
0
1
2
3
3
15
18
4
3/40
15/40
18/40
4/40
0
15/40
36/40
12/40
0
1
4
9
0
15/40
72/40
36/40
N=40 1 ∑ xi.hi
=63/40∑ xi
2.hi
=123/40
Obtemos:
594.0575.140
123
575.140
63
24
1
222
4
1
i
ii
i
ii
xhxs
hxx
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Pero se lembrades a lei dos grandes números, cando un experimento aleatorio se repite un nº de veces moi elevado, as frecuencias relativas dun suceso estabilízanse ao redor dun número ao que chamábamos probabilidade.
Traballemos coas probabilidades e pensemos nos resultados esperados á vista de ditas probabilidades.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Se pensamos teoricamente no que acontecería ao realizar o experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” 40 veces, de acordo coas probabilidades obteríamos:
xi fi hi=pi xi.hi=xi.pi xi2 xi
2.hi=xi2.pi
0
1
2
3
5
15
15
5
5/40=1/8
15/40=3/8
15/40=3/8
5/40=1/8
0
3/8
6/8
3/8
0
1
4
9
0
3/8
12/8
9/8
N=40 1 ∑ xi.hi=∑xi.pi
=12/8=1.5∑ xi
2.hi=∑xi2.pi
=24/8=3
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Calculando a media aritmética e a varianza desta situación absolutamente teórica obtemos:
A media aritmética desta situación teórica chámase media ou esperanza da variable aleatoria X e represéntase por μ, e a varianza desta situación teórica chámase varianza da variable aleatoria X e represéntase por σ2.
75.025.235.18
24
5.18
12
24
1
24
1
2222
4
1
4
1
i
i
i
iii
i i
iiii
xpxxhxs
pxhxx
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta X.Chámase media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta X, e represéntase por μ, á expresión :
Varianza dunha variable aleatoria discretaChámase varianza dunha variable aleatoria discreta X e represéntase por σ2, á expresión:
Ou ben :Desviación típica dunha variable aleatoria discretaÉ a raíz cadrada da súa varianza
n
i
iinn pxpxpxpx1
2211 ...
n
i
iinn pxpxpxpx1
2222
2
2
21
2
1
2 ...
n
i
iinn pxpxpxpx1
22
2
2
21
2
1
2 )()(...)()(
2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Exemplo 2:Calculemos agora a media ou esperanza matemática μ e a varianza
σ2 da variable aleatoria X=“suma dos puntos” asociada ao experimento aleatorio “lanzar dous dados”
xi pi xipi xi2 xi
2.pi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
2/36
6/36
12/36
20/36
30/36
42/36
40/36
36/36
30/36
22/36
12/36
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
4/36
18/36
48/36
100/36
180/36
294/36
320/36
324/36
300/36
242/36
144/36
1 Μ = ∑ xipi = 252/36 = 7 ∑xi2.pi = 1974/36
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Media, varianza e desviación típica dunha
variable aleatoria discreta.
Obtemos
38.54938.54736
1974 211
1
222
i
ii px
711
1i
ii px
41.238.52
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
Distribución binomial ou de Bernouilli (Ars coniectandi 1713)
Unha variable aleatoria discreta X dise que segue unha distribución binomial se se verifica:
O experimento aleatorio é un experimento composto de varios simples iguais ou probas.
Estes experimentos simples ou probas teñen só dous posibles resultados, A e B.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
O resultado obtido en cada un dos experimentos simples é independente dos obtidos nos exp. simples anteriores.
A probabilidade do resultado A, e polo tanto a de B, non varia ao longo do experimento.
Se chamamos p á probabilidade de que se verifique o resultado A e q á de que se verifique B, p+q=1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
Unha variable aleatoria binomial X queda perfectamente determinada coñecendo o nº de probas (n) e a probabilidade (p) de que se verifique o suceso que contabiliza e, polo tanto, exprésase B(n,p), n e p reciben o nome de parámetros de distribución.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
Exemplo 1:A variable aleatoria X=“nº de caras obtidas” asociada ao experimento aleatorio “lanzar 3 moedas”, segue unha distribución binomial.
O experimento aleatorio está composto por tres experimentos simples iguais “lanzar unha moeda”.
Cada experimento simple “lanzar unha moeda” ten dous posibles resultados A=“saír cara” e B=“saír cruz”.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
O resultado de cada lanzamento dunha moeda é independente do acontecido nos lanzamentos anteriores.
As probabilidades dos sucesos A e B non varían nos tres lanzamentos.
p=p(A)=p(“saír cara”)=1/2q=p(B)=p(“saír cruz”)=1/2
Vemos tamén que p+q=1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Distribución binomial ou de Bernouilli
O esquema do experimento, como podemos obter nesta aplicación obtida na páxina de recursos educativos do ITE, sería:
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta de tipo binomial.
Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, é dicir:
Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais.Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con
probabilidades p e q que se manteñen constantes en tódalas probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores.X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
O espazo mostral do experimento aleatorio está formado por 2.2.2...2=2n elementos.
Cada un destes elementos é do tipo ABBAAB...AB onde A repítese k veces e B n-k veces.
Tomemos un destes elementos onde as A estean agrupadas, e polo tanto as B tamén AAA...ABBB...B, repetíndose A k veces e B n-k veces.
Como os sucesos son independentes: p(AA...ABB...B)=p(A).p(A)...p(A).p(B).p(B)...p(B)==p.p...p.q.q...q=pk.qn-k
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Aínda que ocupen distintos postos, todos aqueles elementos do espazo mostral formados por k veces A e n-k veces B teñen a mesma probabilidade pk.qn-k.
E cantos elementos temos nesta situación?Dito número son as permutacións con repetición de n elementos onde A repítese k veces e B repítese k-n veces: PRn
k,n-k .
Como
k
n
knk
nPR knk
n!!
!,
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Concluímos que a función de probabilidade da variable aleatoria binomial X vén dada pola fórmula:
p(X=k)=
=p(“o nº de veces que aconteza A sexa k”)=
knk qpk
n
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Nota:
O termo obtido para a función de probabilidade deste tipo de variables aleatorias lembra o termo xeral do desenvolvemento do binomio de Newton.
De aí o nome de distribución binomial.
n
i
ininqp
i
nqp
0
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Función de probabilidade dunha distribución
binomial
Experimento de Galton.
Unha idea de distribución binomial pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construíu un enxeñoso trebello (chamado máquina Quincunx ou quincunce):Consistía nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos
distribuídos regularmente. Sobre dito taboleiro deslizábanse un grande número de bólas
procedentes dun depósito superior que ao chocar cos cravos afastábanse en maior ou menor medida da liña central de caída dependendo do azar.Unha bóla tiña a mesma probabilidade de chocar con cada un dos
cravos e seguir un camiño (1/2)As bólas recollíanse en compartimentos estreitos distribuídos no
borde inferior; as alturas alcanzadas polas bólas dan unha idea da función de probabilidade dunha binomial B(n,1/2).Vexamos unha aplicación onde se reproduce dito experimento.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Exemplo:
Nun cuestionario de 8 preguntas só hai que contestar SI ou NON.
Acha a probabilidade de, sen coñecer a resposta, acertar 5 preguntas.
Acha a probabilidade de acertar polo menos 6.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Ao non coñecer ningunha resposta, ante unha das cuestións temos a mesma probabilidade de acertala (A) que de errala (E).
Esta situación repítese ao longo das 8 preguntas do cuestionario.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
O experimento aleatorio consiste en responder ao chou as 8 cuestións, consta de 8 probas onde as probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das preguntas non inflúe nas posteriores.
A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de respostas acertadas” éunha variable aleatoria binomial B(8,½)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Acha a probabilidade de, sen coñecer a resposta, acertar 5 preguntas.
p(“acertar 5 preguntas”)=p(X=5)=
=32
7
256
56
2
56
2
1
!3!5
!8
2
1
2
1
5
8
5
88
8585
585 qp
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Acha a probabilidade de acertar polo menos 6.
p(“acertar polo menos 6 preguntas”)=
=p(“acertar 6,7 ou 8”)=
=p(X=6)+p(X=7)+p(x=8)=
256
37
256
11
256
18
256
128
2
1
!0!8
!8
2
1
!1!7
!8
2
1
!2!6
!8
2
1
2
1
8
8
2
1
2
1
7
8
2
1
2
1
6
8
888
081726
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade dunha distribución
binomial.
Nota:Cando nunha binomial o parámetro n aumenta, os cálculos empezan a ser complicados polo que se recorre ás táboas da binomial para poder traballar
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Función de probabilidade
dunha distribución binomial.
TÁBOA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Exemplo:Nunha binomial B(9,0.25),
calcula p(X=6).
Búscase n=9,k=6 en vertical e p=0.25 en horizontal.
P(X=6)=0.9987
Na páxina web http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm atopamos unha aplicación que dá os resultados directamente.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
Función de distribución dunha variable aleatoria discreta binomial.
Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, é dicir:
Está asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais.Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con
probabilidades p e q que se manteñen constantes en todas as probas, pois o acontecido nunha proba é independente do acontecido nas anteriores.X contabiliza o número de veces que acontece A (ou B)
• X toma valores enteiros (0, 1, 2,....)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
Atendendo á definición de función de distribución dunha variable aleatoria discreta, dado x un número real calquera:
F(x)=p(X≤x)=p(X≤t)=sendo t o nº enteiro maior non superior a x
=p(X=0)+p(X=1)+...+P(x=t)=
sendo k=0,1,2.....xk
knk
tntnn
qpk
n
qpt
nqp
nqp
n...
10
110
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
Exemplo:
Nunha urna hai 4 bólas brancas e 6 bólas negras. O experimento consiste en facer catro extraccións con devolución. Calcula a función de probabilidade e a función de distribución da variable “nº de bólas brancas”.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
O experimento aleatorio “extracción con devolución de 4 bólas dunha urna que contén catro bólas brancas e seis bólas negras”:
Consta de 4 probas con dous posibles resultados (bóla branca ou bóla negra).
As probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das probas non inflúe nas posteriores.p=p(“sacar bóla branca”)=4/10=0.4 q=p(“sacar bóla negra”)=6/10=0.6
A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=“nº de bólas brancas” é unha variable aleatoria binomial (B(4,0.4))
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
Por ser unha variable aleatoria binomial, a súa función de probabilidade é:
Como o número de extraccións é 4 entón:
knk qpk
nkXp )(
kk qpk
kXp 44
)(
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
Polo tanto:
p(X=0)=p(“non obter brancas”)=
P(X=1)=p(“obter 1 branca”)=
P(X=2)=p(“obter 2 brancas”)=
P(X=3)=p(“obter 3 brancas”)=
P(X=4)=p(“obter 4 brancas”)=
1296.01296.01!4!0
!4
10
6
10
4
0
440
3456.0216.04.0!3!1
!4
10
6
10
4
1
431
3456.036.016.0!2!2
!4
10
6
10
4
2
422
1536.06.0064.0!1!3
!4
10
6
10
4
3
413
1256.010256.0!0!4
!4
10
6
10
4
4
404
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
xi p(X=xi)
0
1
2
3
4
p(X=0)=0.1296
p(X=1)=0.3456
p(X=2)=0.3456
p(X=3)=0.1536
P(X=4)=0.0256
10
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
2 3 4 5 6
0.1296
0.3456 0.3456
0.1536
0.0256
nº de bolas brancas
prob
abilid
ade
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
A súa función de distribución será:
x
x
x
x
x
x
se
XpXpXpXpXp
XpXpXpXp
XpXpXp
XpXp
Xp
xF
kXpxFxk
4
43
32
21
10
0
10256.09744.0)4()3()2()1()0(
9744.01536.08208.0)3()2()1()0(
8208.03456.04752.0)2()1()0(
4752.03456.01296.0)1()0(
1296.0)0(
0
)(
)()(
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Función de distribución dunha variable aleatoria
discreta binomial.
f(x)=0
f(x)=0
f(x)=0.1296
f(x)=0.4752
f(x)=0.8208
f(x)=0.9744
f(x)=1
Serie 1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x
y
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Media ou esperanza matemática dunha distribución binomial.
A media μ dunha distribución binomial B(n,p) é:
μ=n.p
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza.
X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades:
px=p(X=x)=
Aplicamos a definición de media ou esperanza matemática dunha variable aleatoria discreta:
xnx qpx
n
n
x
xpx0
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Obtendo:
pnpn
qppnqpx
npn
qpxnx
npnqpp
xnx
nn
qpxnx
nqp
xnxx
nx
qpxnx
nxqp
x
nx
qpn
nnqp
nqp
npx
n
nxnxn
x
xnxn
x
xnxn
x
xnxn
x
xnxn
x
n
x
xnxn
x
xnx
n
x
nnn
x
1
11
1
1
1
1
1
11
11
0
010
1
1
1
!!1
!1
!!1
!1
!!1
!
!!1
!
!!
!
...1
10
0
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Varianza dunha distribución binomial:
A varianza dunha distribución binomial B(n,p) é:
σ2=n.p.q
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Sexa X unha distribución binomial B(n,p) sendo n o nº de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza.
X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades:
px=p(X=x)=
Aplicamos a definición de varianza dunha variable aleatoria discreta:
xnx qpx
n
n
x
xpx0
22 )(
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Obtemos
qpnppn
pnpnppnpnpnpnpnpn
pnpnpnpnnpnn
pnnpnnqppnnqpx
npnn
qpxnx
npnnqpp
xnx
nnn
qpxnx
nqp
xnxxx
nxx
qpxnx
nxxqp
x
nxxpxxpxx
Como
ppxpxxppxpxx
pxxxxpxxpx
nnn
x
xnx
n
x
xnxn
x
xnx
n
x
xnxn
x
xnx
n
x
xnxn
x
xnxn
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
xx
n
x
1
21211
2111211**
11112
21
!!2
!21
!!2
!21
!!2
!
!!21
!1
!!
!1111
**211211
212
22222
22222
2
22
2
22
2
22
22
2220
0
2
000
2
00
0
2
0
22
0
22
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Desviación típica dunha distribución binomial.
A desviación típica dunha distribución binomial B(n,p) é:
qpn2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Retomando o exemplo anterior:Nunha urna hai 4 bólas brancas e 6 bólas negras. O experimento consiste en facer catro extraccións con devolución. Calcula a media ou esperanza matemática, a varianza e a desviación típica da variable “nº de bólas brancas”.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Lembra que a variable aleatoria X=“nº de bólas brancas” correspondía a unha distribución binomial onde o número de probas n era 4, a probabilidade p de extraer unha bóla branca era 0.4 e a probabilidade q de extraer unha bóla negra era 0.6; é dicir, trátase dunha distribución binomial B(4, 0.4).
Polo tanto μ = n.p = 4·0.4 = 1.6σ2= n.p.q = 4·0.4·0.6=0.96σ = √0.96 =0.98
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Lembremos o primeiro exemplo co que traballamos:
No experimento aleatorio “lanzar 3 moedas” consideramos a variable aleatoria discreta X=“nº de caras obtidas”.
Xa observamos con anterioridade que se trata dunha distribución binomial; de feito é unha distribución binomial B(3, ½)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Media ou esperanza matemática, varianza e
desviación típica dunha distribución binomial.
Calcularamos a súa media e a súa varianza atendendo á definición xeral para unha variable aleatoria discreta.
Vexamos agora que se as calculamos de acordo co dito para unha binomial obtemos igual resultado.
μ=n.p=3.1/2=3/2=1,5σ2=n.p.q=3.1/2.1/2=3/4=0,75
87.075.02 qpn