TEMA 6 - OSCILACIONES1. Movimiento vibratorio armonico

El estudio del movimiento oscilatorio constituye un captulo importante en la fsica, ya que a pe-sar de partir de un modelo mecanico muy sencillo (partcula que vibra en el extremo de un resorte),responde a ecuaciones identicas a las de fenomenos tales como: movimiento de un pendulo, vibra-ciones de los atomos de un solido, ondas sonoras en instrumentos musicales, descarga oscilante deun condensador generando ondas electromagneticas (television, telefono...). Al movimiento oscila-torio se le llama armonico porque puede expresarse mediante funciones seno y coseno (armonicas)de una sola variable. Estudiaremos el movimiento unidimensional.

Una partcula oscila cuando se mueve alrededor de una posicion de equilibrio. Las oscilacionespueden ser:

Libres: Sobre la partcula solo actuan fuerzas conservativas. Dan lugar al movimiento armonicosimple (m.a.s.)Amortiguadas: Existe rozamiento.

Forzadas: Una fuerza externa armonica actua sobre la partcula.

Usaremos como modelo el movimiento de una partcula en el extremo de un resorte, es decir, someti-da a una fuerza elastica:

F = kx Ley de Hooke (1)Este modelo solo es valido para pequenas deformaciones del muelle, (dentro del lmite de elastici-dad) que es cuando se cumple la ley de Hooke.

La fuerza elastica es una fuerza central y conservativa. La constante k se denomina constanterecuperadora, y siempre es positiva.

Cuestion 1 Razonar por que la fuerza elastica es central y conservativa.

2. Movimiento vibratorio armonico simple (M.A.S.)Es el que se producira en condiciones ideales, sin rozamiento, con lo cual su energa mecanica

permanece constante. Sobre la partcula solo actua la fuerza elastica:

F = kx

Suponiendo que el muelle se extiende en la direccion del eje x, como el de la figura 1, y apli-cando la 2a Ley de Newton, para obtener la ecuacion del movimiento:

~F = m~a kx = md2x

dt2 d

2x

dt2+

k

m2

x = 0

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O

A

x

O-A A

t0

t1

t2

t3

t4

Figura 1: Partcula en el extremo de un muelle horizontal oscilando con movimiento armonicosimple. En to se encuentra en O, posicion de equilibrio. En t1 el muelle se alarga una longitud A.Se suelta, y en t2 vemos como se mueve hacia la posicion de equilibrio, oscilando luego entre Ay A.

La ecuacion del movimiento del m.a.s. sera:

d2x

dt2+ 2x = 0 (2)

Donde es la frecuencia angular, y se mide en rad s1. La solucion de la ecuacion del movimien-to (es decir, la ecuacion de la trayectoria del m.a.s.) es:

x(t) = Asen(t+ 0) (3)

donde:

x es la elongacion o desplazamiento de la posicion de equilibrio en cada instante: x = l l0 (conl0 longitud del muelle en equilibrio y l longitud en un instante cualquiera),

A es la amplitud del movimiento, o maximo desplazamiento de la posicion de equilibrio,

0 es la fase (o angulo) inicial (en t=0).La frecuencia angular es una caracterstica del oscilador (depende de su constante recuper-

adora y de la masa de la partcula), mientras que A y 0 solo dependen de las condiciones inicialesdel movimiento.

Se definen otras dos magnitudes relacionadas con el M.A.S:

periodo, T : tiempo que tarda la partcula en realizar una oscilacion completa.

frecuencia, : numero de oscilaciones por unidad de tiempo.

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T =1

; =

2piCaractersticas del M.A.S:

Es un movimiento oscilatorio.

Es un movimiento periodico (se repite exactamente igual con periodo T ).Su amplitud es constante en el tiempo.

Cuestion 2 Demostrar (por sustitucion) que la trayectoria descrita por la ecuacion (3) satisface laecuacion del movimiento armonico simple.

Cuestion 3 Demostrar que la ecuacion (3) tambien puede escribirse como una funcion coseno:x(t) = Acos(wt+ 0)

con 0 = 0 pi2 .Cuestion 4 Que dimensiones y que unidades tiene la amplitud?Cuestion 5 Escribir la ecuacion de la trayectoria del m.a.s., x(t), en funcion del periodo TCuestion 6 Demostrar que el m.a.s. descrito por la ecuacion (3) es periodico con periodo T , esdecir, que x(t+ T ) = x(t)

Relacion entre el movimiento armonico simple y el movimiento circular uniforme

t=0

t

xO A-A

wt

t=0

t

xO A-A

wt

jo

jo = 0 jo = 0

x = A sen(wt) x = A sen(wt+jo)

Figura 2: Relacion entre m.a.s y movimiento circular uniforme

El m.a.s coincide con la proyeccion sobre un diametro del movimiento de una partcula que giraalrededor de una circunferencia con velocidad angular uniforme, como puede verse en la figura 2.

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Representacion grafica del movimiento armonico simple

Cuestion 7 Representar la elongacion frente al tiempo (x frente a t) en un movimiento armonicosimple con desfase inicial 0 = 0.

-A

A

t

x

T/4 T/2 3T/4 T

Figura 3: Elongacion frente al tiempo x(t) en un movimiento armonico simple x = Asent, condesfase inicial = 0

Solucion: La figura 3 muestra la grafica pedida.

Velocidad y aceleracion en el movimiento armonico simple

Cuestion 8 A partir de la ecuacion de la trayectoria del movimiento armonico simple, x(t), hallarsu velocidad y su aceleracion

Solucion:

v =dx

dt= Acos(t+ 0) = A

1 sen2(t+ 0) =

A2 x2

a =dv

dt= A2sen(t+ 0) = 2x

Cuestion 9 Para que valores de desplazamiento de la posicion de equilibrio x sera maxima lavelocidad? Y mnima? Y la aceleracion? Dar valores numericos para las tres magnitudes, x, v ya, y hacer dibujos esquematicos para los distintos casos.

Cuestion 10 Cuando tienen el mismo signo x y a? Y v y a? Y v y x?

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A

tT/4 T/2 3T/4 T

-A

-Aw

Aw

-Aw2

Aw2

Figura 4: Elongacion, velocidad y aceleracion frente al tiempo en un movimiento armonico simplecon desfase inicial = 0

Cuestion 11 Representar en la misma grafica la elongacion, velocidad y aceleracion de una partcu-la con movimiento armonico simple frente al tiempo, suponiendo que en t = 0 la fase es 0 = 0.Cual es el desfase entre x y v? y entre x y a? y entre v y a?

Solucion: La grafica puede verse en la figura 4.

Energa del movimiento armonico simple

En el movimiento armonico simple existen:

energa cinetica, porque hay movimiento,

energa potencial, porque esta producido por una fuerza conservativa(fuerza elastica)

Cuestion 12 A partir de la velocidad para el m.a.s., hallar la energa cinetica del movimien-to armonico simple en funcion de su amplitud A, la constante recuperadora k y la elongacionx.Cuando es maxima? Cuando se anula?

Solucion:Ec =

12k(A2 x2) (4)

Cuestion 13 Hallar la energa potencial del m.a.s a partir de la expresion que relaciona la fuerzacon la energa potencial.

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Solucion:F =

dEpdt

Ep0

dEp = x0kx dx

Ep =12kx2 (5)

Cuestion 14 Cuando es maxima la energa potencial? Cuanto vale?

La Ep coincide con el trabajo necesario para trasladar la partcula desde la posicion de equilibriox = 0 hasta una posicion cualquiera x.

Como solo actuan fuerzas conservativas, en cualquier punto de la trayectoria, la energa mecanicase conserva.

Cuestion 15 Demostrar que la afirmacion anterior es cierta, hallando cuanto vale EmSolucion:

Em = Ec + Ep =12k(A2 x2) + 1

2kx2 =

12kA2 = cte

0

E

-A A

Em

Ep

x

Figura 5: Energa potencial de un movimiento armonico simple frente a la elongacion, x

Cuestion 16 Representar graficamente la curva de energa potencial (frente a la elongacion) paraun m.a.s, la energa mecanica e interpretar la grafica.

Solucion:La representacion puede verse en la figura 5.

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T

mg

ql

B B

q

O

Figura 6: Pendulo simple

Pendulo matematico o simple

Un ejemplo de m.a.s. es el movimiento de un pendulo simple, que consiste en una partcula demasa m suspendida de un punto O por un hilo inextensible de longitud l y masa despreciable (verfigura 6). Si se suelta la partcula desde la posicion B, en la que el hilo forma un angulo 0 con lavertical, oscilara indefinidamente entre B y B (suponemos que no hay rozamiento con el aire).

Vamos a hallar su ecuacion de movimiento para pequenas oscilaciones. Las fuerzas que actuansobre la partcula son su peso m~g y la tension de la cuerda ~T .

1. Direccion perpendicular al movimiento:

T mg cos = man = mv2

l

2. Direccion del movimiento (tangente a la trayectoria):F = mg sen

a =dv

dt= l

d

dt= l

d2

dt2

El signo menos de la fuerza se debe a que se opone al desplazamiento (igual que en unmuelle). Aplicando la 2a Ley de Newton en la direccion del movimiento, F = ma , ysimplificando queda:

d2

dt2+g

lsen = 0

Para pequenas oscilaciones, sen , con lo cual:d2

dt2+g

l = 0

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Esta expresion es identica a la ecuacion del m.a.s. si reemplazamos x por , ya que se tratade un movimiento circular y no lineal. Conviene recordar que estas ecuaciones no son validaspara grandes oscilaciones.La solucion a esta ecuacion es:

= 0 sen(t+ 0)

donde 2 = gl .

Cuestion 17 Cuanto vale el periodo de oscilacion del pendulo simple?

Solucion:

T = 2pi

l

g

Vemos de su expresion matematica que el periodo del pendulo simple es independiente de lamasa del mismo, con lo que puede proporcionarnos un metodo para medir la gravedad experimen-talmente.

Cuestion 18 Calcular la tension en la cuerda de un pendulo en funcion del angulo que forma conla vertical. Usar las leyes de la dinamica y la conservacion de la energa.

2.1. Movimiento oscilatorio amortiguado

En el movimiento armonico simple vimos que las oscilaciones tienen amplitud constante. Sinembargo, por experiencia, sabemos que la amplitud de las oscilaciones de un cuerpo vibrante, co-mo un muelle o un pendulo, decrece gradualmente hasta que el cuerpo se detiene. Es decir, elmovimiento oscilatorio esta amortiguado.

Para hallar las ecuaciones del movimiento oscilatorio amortiguado consideraremos que, ademasde la fuerza elastica, F = kx, sobre el cuerpo actua una fuerza de rozamiento viscoso, del tipo:

Frv = v

con lo cual, si aplicamos la 2a ley de Newton queda:

~Fi = m~a kx v = md

2x

dt2

La ecuacion del movimiento oscilatorio amortiguado es:

d2x

dt2+

m2

dx

dt+

k

m20

x = 0 (6)

donde:

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=

2mes el coeficiente de amortiguamiento, y

0 =

k

mes la frecuencia natural o propia, es decir, la que tendra sin amortiguamiento

Podemos observar que tiene dimensiones de T1. Efectivamente, el inverso del coeficiente deamortiguamiento es , el tiempo de relajacion, relacionado con el tiempo que tarda el sistema endejar de oscilar. La solucion a la ecuacion de movimiento puede ser de la forma:

x(t) = Aoetsen(t+ 0) (7)

donde:Ao es la amplitud inicial, en t = 0,Aoe

t es la amplitud del movimiento, que decrece con t, y2 = 20 2 siendo w la frecuencia del movimiento

Ao

t

-Ao

A0e-g t

x

Figura 7: Representacion grafica del movimiento oscilatorio amortiguado, x frente a t

De estas expresiones podemos deducir los dos efectos del amortiguamiento ():1. Hacer que la amplitud de las oscilaciones disminuya exponencialmente con el tiempo, con lo

cual la amplitud ya no es constante (ver figura 7).2. Disminuir la frecuencia de las oscilaciones. Esto puede verse de la relacion entre frecuencia

angular real, , y natural (ideal, en m.a.s.), 0.

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Cuestion 19 Comprobar por sustitucion que, efectivamente, la solucion propuesta (ecuacion 7)satisface la ecuacion del movimiento oscilatorio amortiguado (ecuacion 6).

En terminos de energa podemos ver que, al existir una fuerza de rozamiento, la energa mecanicade la partcula va disminuyendo hasta que se detiene. Esta energa que pierde la partcula es absorbi-da por el medio que la rodea.

t

Ao

-Ao

x

amortiguamiento crticosobreamortiguamiento

Figura 8: Representacion grafica de los distintos tipos de movimiento oscilatorio amortiguado, xfrente a t, segun sea el amortiguamiento

Podemos distinguir tres tipos de movimiento oscilatorio amortiguado (ver figura 8), segun teng-amos:

2

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Podemos hallar la ecuacion del movimiento a partir de las fuerzas que actuan sobre la partcula:

F = kxFrv = vFext = F0 coset

~Fi = m~a kx v + F0 coset = md

2x

dt2

Con lo cual la ecuacion del movimiento oscilatorio forzado queda:

d2x

dt2+

m2

dx

dt+

k

m20

x =F0m

coset (8)

La solucion a la ecuacion anterior es del tipo:

x(t) = A sen(et ) (9)

Cuestion 20 (Nivel avanzado). Sustituir la solucion anterior en la ecuacion del movimiento oscila-torio forzado y comprobar que la satisface. Nota: hay que desarrollar el coseno y el seno de unadiferencia.

De la sustitucion de la solucion propuesta en la ecuacion del movimiento (8), se obtienen lasexpresiones para el desfase inicial y la amplitud en el movimiento oscilatorio forzado:

= arc tg[2e 202e

]

A =F0m

(2e 20)2 + 422e(10)

Es decir, que tanto el desfase inicial como la amplitud de las oscilaciones forzadas van a depen-der de multitud de factores, como son la frecuencia natural, el coeficiente de amortiguamiento y lafrecuencia de la fuerza externa aplicada:

= (0, , e)

A = A(0, , m, e) (11)

Resonancia en amplitud

La dependencia de la amplitud con estas magnitudes es especialmente importante, y da lugara fenomenos tales como la resonancia en amplitud. Este fenomeno consiste en que existe unafrecuencia de la fuerza externa aplicada, er, para la cual la amplitud se hace muy grande (el sistemaentra en resonancia). Es decir, pueden conseguirse oscilaciones de gran amplitud con pequenas

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O

F0/k

A

wewo

g2g1

g = 0

g2 > g1

Figura 9: Amplitud, A, frente a la frecuencia de la fuerza externa aplicada, e, para distintos valoresdel amortiguamiento,

perturbaciones externas . Para hallar dicha frecuencia externa de resonancia er, buscamos el valorde e que haga maxima la funcion A:

A

e

e=er

= 0

Cuestion 21 Calcular er a partir de la expresion anterior.

La frecuencia de resonancia es:

er =20 22 (12)

Este valor depende del amortiguamiento, es decir, para distintos valores de , existiran distintasfrecuencias que hagan maxima la amplitud. Esto podemos verlo en la figura 9.

Cuestion 22 Que valor tomara la amplitud de resonancia si el coeficiente de amortiguamiento seanula = 0? NOTA: Usar la expresion de la amplitud hallada en (10) y la de la frecuencia deresonancia de (12).

Si la frecuencia de la fuerza externa es e = 0, la amplitude vale: A = F0k .

Resonancia en la energa

Al igual que existe un valor de e que hace maxima la amplitud de las oscilaciones, tambienhay un valor que hace maxima la energa cinetica, o, lo que es lo mismo, la velocidad.

Cuestion 23 Hallar el valor de la frecuencia externa para que haya resonancia en la energa.

M.C. Lemos - A. Gallardo, Tema 6 - Oscilaciones 13

Solucion: Debemos hallar el valor de e que hace maxima la amplitud de la veloci-dad. A partir de la ecuacion (9) podemos hallar la expresion de la velocidad:

v =dx

dt= Aecos(et )

La amplitud de la velocidad es Av = Ae. Sustituyendo la expresion de A de laecuacion (10) y haciendo:

Ave

= 0

se llega a que la frecuencia de resonancia en la energa es:

e = 0

Cuando el sistema esta en resonancia en la energa (e = 0), la transferencia de energa de lafuerza externa al oscilador es maxima. Podemos ver tambien que ese valor de la frecuencia externahace = 0, con lo cual la velocidad y la fuerza aplicada estan en fase.

Cuando el amortiguamiento es pequeno no hay gran diferencia entre las frecuencias correspon-dientes a la resonancia en la amplitud y en la energa.

Hay casos en los que hay que evitar entrar en resonancia. Por ejemplo, en cuerpos elasticos talescomo puentes, chasis de motores, cascos de embarcaciones..., que son sistemas oscilantes con susfrecuencias naturales 0 correspondientes. Un conjunto de soldados marchando al unsono sobreun puente constituyen una fuerza externa con frecuencia e, y pueden hacer que este vibre con unaamplitud muy grande cuando la frecuencia de sus pasos coincide con la natural de la estructura delpuente. Un viento racheado puede tener el mismo efecto.

Sin embargo, en otros casos se busca la resonancia: las ondas de radio procedentes de las emiso-ras producen oscilaciones forzadas en el circuito receptor (aparato de radio). La frecuencia naturaldel receptor puede cambiarse con el sintonizador. Cuando el sintonizador escoge una frecuencia nat-ural que coincide con la de la emisora, la transmision de la energa es optima y podemos escuchardicha emisora.