CONTROL INDUSTRIAL 2IDENTIFICACION DEL MODELO

INTRODUCCIONCuando se interactua con un sistema, se necesitan conocer algunos conceptos para entender como se interrelacionan las variables entre s.El modelo es la relacin entre una cantidad de variables observadas.

INTRODUCCIONLos modelos son de tres clases:Modelo mental, intuitivo o verbal: No se requiere un formulacin matemtica como la manera en que se maneja un carroModelo de grficas y tablas: Cuando se utilizan mtodos como la respuesta paso, impulso o de frecuencias.Modelo matemtico analtico: Relacin entre el mundo real y las matemticas. Describe el mundo real mediante ecuaciones diferenciales o de diferencia. Estos modelos son usados para el anlisis, prediccin y diseo de sistemas dinmicos y de sus controladores y filtros.

MODELOS MATEMATICOSLa modelizacin matemtica se basa en las leyes fsicas para describir el comportamiento dinmico de un fenmeno o proceso.Los sistemas de identificacin son una aproximacin experimental, mediante los cuales se desarrollan algunos experimentos en el proceso y se determina un modelo, cuyos parmetros pueden no tener un significado fsico.

CONSTRUCCION DEL MODELOEl modelo matemtico puede construirse analizando la totalidad del proceso o si se dificulta dividiendo el proceso en subprocesos que son modelados y luego unidos matemticamente para obtener el modelo del proceso en general.Los modelos matemticos son llamados Modelos blancos o de Caja Blanca.

CONSTRUCCION DEL MODELOLos modelos pueden obtenerse directamente de la experimentacin, donde las seales de entrada y salida son grabadas y sujetas a un anlisis para obtener el modelo.Los modelos as obtenidos son llamados Modelos negros o de Caja Negra, ya que los parmetros pueden no tener un significado fsico y lo que interesa es que se guarde buena relacin entre la entrada y la salida del sistema.

PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIONEl primer paso es el diseo del experimento definiendo: cuales son los lmites del sistema con respecto al entorno, determinando cuales variables son afectadas por el entorno y cuales afectan al entorno.En cuales variables existe algn tipo de inters.Cuales variables se van a medir, cuales son las entradas y las salidas del sistema.

PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIONComo se van a hacer las mediciones.Cual tiempo de muestreo voy a utilizar, determinado por las constantes de tiempo del sistema. En la prctica se utiliza una frecuencia de muestreo entre 4 y 10 veces la frecuencia mxima en la que est interesado.Que seales de entrada se van a aplicar, las entradas de mayor inters son la seal impulso, paso, ruido blanco, ruido digital, y seno con diferentes frecuencias. En general las seales de entrada deben ser bastante ricas en frecuencias para que todos los modos dinmicos del sistema sean excitados.

PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIONSe debe realizar un convencimiento de la necesidad del experimento, debido a que este puede causar prdidas de produccin y mayores gastos por la recoleccin y anlisis de datos.Los operadores del proceso deben estar lo suficientemente preparados para aprovechar al mximo la informacin que ellos poseen.

PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIONSegundo Paso: Los datos tomados del experimento deben ser preprocesados eliminando las perturbaciones y las no linealidades.Tercer Paso: Se debe elegir el modelo apropiado entre un sistema SISO o uno MIMO, mediante conocimiento a priori e intuicin.

PROCEDIMIENTO DE IDENTIFICACIONCuarto Paso: Se debe averiguar si el modelo calculado tiene uso prctico, validndolo. La construccin del proceso es un proceso iterativo donde se revisan las elecciones tomadas durante el proceso de identificacin.

MODELOS PARA SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPOEl modelo general es el siguiente:Donde G y H son funciones racionales, donde numerador y denominador son polinomios y los coeficientes de estos polinomios son los parmetros. Estos parmetros son un vector Theta que define la descripcin as:

MODELO ARXEste modelo se define como autoregresivo (AR) por la parte A*y y X por la parte B*u:Son la primera eleccin en un procedimiento de identificacin, el mtodo de optimizacin tendr un conjunto de ecuaciones lineales, que mediante regresin lineal se puede resolver inmediatamente.Este mtodo describe defectuosamente la influencia de las perturbaciones.

MODELO ARMAXEste modelo es mas flexible que el anterior y se adiciona la parte de un promedio mvil del error (MA: moving average)

MODELO OUTPUT ERROR (OE)En los modelos anteriores A es comun para G y H, lo mas razonable es parametrizarlos diferente:En este caso la relacin entre entrada y salida sin perturbacin puede ser dada por una ecuacin de diferencia lineal y la perturbacin tiene un efecto aditivo en la salida.

MODELO BOX JENKINS (BJ)Generalizando el modelo anterior, modelando el error se obtiene:

MODELO GENERALTodos los modelos anteriores son un caso especial de uno general con la siguiente estructura:La tarea es elegir el modelo dentro de los presentados de manera iterativa, en donde el conocimiento del sistema anterior puede ser aplicado para elegir uno nuevo.Una vez determinado el conjunto de modelos posibles, se debe buscar el modelo ptimo que tienda a aproximarse al conjunto de datos dado.

PREPROCESAMIENTO DE SEALESLa calidad de los modelos est influenciado por las perturbaciones existentes en las seales.Las perturbaciones son picos, tendencias (trends), desviaciones o errores (offsets) y otros como el tiempo muerto.El preprocesamiento trata de reducir este ruido.

RECORTE DE PICOS

ELIMINACION DE LA TENDENCIA

FILTRADOLo mas importante es eliminar los efectos de aliasing y reducir la influencia de las perturbaciones en las seales medidas.Por otro lado el filtrado puede causar prdida indeseable de datos, por lo que debe ser una etapa importante.La frecuencia de corte debe ser tan alta que no deje pasar cualquier frecuencia que no sea parte de la dinmica del proceso.El filtro se disea con base en la figura anterior.

DOBLE FILTRADO

TIEMPO MUERTOEl tiempo muerto es debido a la inercia del sistema para producir una salida en el mismo instante de producida la entrada, este tiempo debe ser previsto para lograr una representacin mas real del sistema.El tiempo muerto tiene una funcin en MATLAB que la representa que se denomina PADE.

METODOS EYE BALLSi se desea una representacin mas sencilla del sistema, se puede realizar esta a travs de la grfica de la respuesta del sistema.Generalmente, se envia una seal de entrada al proceso y se obtiene una respuesta paso, observando la grfica se puede obtener la funcin de transferencia.

ENTRADA

SALIDA DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN

SALIDA DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

CALCULOS PRIMER ORDENLa funcin de transferencia de un sistema de primer orden sobreamortiguado est dado segn el Mtodo de Smith por:La ganancia se obtiene de la razn entre la entrada y el valor de la salida en estado estacionario.El tiempo muerto se puede leer fcilmente de la curva.

CALCULOS PRIMER ORDENLa constante de tiempo se estima del tiempo que toma la salida en alcanzar el 63.2% del valor final del estado estacionario.

PROGRAMA EN MATLAB%PROGRAMA: EXAM2c.M%METODOS EYE BALL%METODO DE SMITH PARA PROCESO 2

close all %Cierra todas la figuras abiertasclear all %Cierra todas las variables del Workspace

load exam5b.mat %Lee archivo de datos who %Muestra las variables cargadas con la instruccion anterior

t=[0:Ts2:80];%Crea vector de tiempo de acuerdo al periodo de%muestreo (Ts2) y al tamao del vector ypaso2.figure(1)plot(t,ypaso2)%Grafica el vector ypaso2 contra el vector de tiempogrid

PROGRAMA EN MATLABtitle('Respuesta ypaso2')% Calculo de parametros a partir de la grafica (Kp, Td, Wn, Zita)%Ganancia (Segn figura, el valor de estado estacionario, se supone entrada=1)Kp=25;%Encontramos el mayor valor del vector ypaso2Kov=max(ypaso2);%Se encuentra el tiempo muerto(segn figura)Td=11.5;%Diferencia entre el tiempo donde se encuentra el 63.3% de la ganancia y el tiempo muertoT=23.28-Td;%Oscilacin alrededor de la ganancia Kp%n es el nmero de pasos alrededor de ceron=5;%Se calcula el numerador de un sistema de primer orden

PROGRAMA EN MATLABnum2=Kp;%Se calcula el denominador de un sistema de primer ordenden2=[T 1];%Se calcula el sistema para el tiempo muerto, teniendo en cuenta los pasos por cero[num1,den1]=pade(Td,n);%Se hace la convolucion de los numeradoresnumm=conv(num1,num2);%Se hace la convolucion de los denominadoresdenm=conv(den1,den2);

% Verificacion del modelofigure(2)plot(t,ypaso2)%Grafica el vector ypaso2 contra el vector de tiempotitle('Respuesta ypaso2')y1=step(numm,denm,t);%Funcion calculadaholdplot(t,y1,'r')%Compara el valor dado (azul) con el valor calculado (rojo)grid%El modelo se acerca mucho al valor real, por lo tanto la identificacin es buena.

CALCULO SEGUNDO ORDENLa ganancia de estado estacionario Kp y el tiempo muerto son obtenidos de la misma forma que en el de primer orden.Los dems parmetros se obtienen as:

PROGRAMA EN MATLAB%PROGRAMA: EXAM2a.M%METODOS EYE BALL%METODO DE SMITH PARA PROCESO 1

close all %Cierra todas la figuras abiertasclear all %Cierra todas las variables del Workspace

load exam5b.mat %Lee archivo de datos who %Muestra las variables cargadas con la instruccion anterior

t=[0:Ts1:10];%Crea vector de tiempo de acuerdo al periodo de%muestreo (Ts1) y al tamao del vector ypaso1.figure(1)plot(t,ypaso1)%Grafica el vector ypaso1 contra el vector de tiempotitle('Respuesta ypaso1')grid

PROGRAMA EN MATLAB% Clculo de parametros a partir de la grafica (Kp, Td, Wn, Zita)%Ganancia (Segn figura, el valor de estado estacionario, se supone entrada=1)Kp=15;%Valor del SobreimpulsoKov=max(ypaso1);%Encontramos el mayor valor del vector ypaso1%Se encuentra el tiempo muerto(segn figura)Td=1.2;%Tiempo de oscilacion (entre el primer paso por el valor en estado estacionario% y el tiempo de asentamiento) tambien llamdo "Tao"T=3.9-1.9;%Calculo de sobreimpulso en porcentajeM=(Kov-Kp)/Kp;%Calculo del valor del factor de amortiguacion (zita)

zita=(-log(M))/(sqrt(pi^2+log(M)^2));%Calculo de la frecuencia naturalWn=(2*pi)/(T*(sqrt(1-zita^2)));%nmero de pasos alrededor de cero, antes de iniciar el transitorion=5;%Calculo de los factores del numerador del modelonum2=Kp*Wn^2;%Calculo de los factores del denominador del modeloden2=[1 2*zita*Wn Wn^2];%Calculo del tiempo muerto de acuerdo con los cruces por cero[num1,den1]=pade(Td,n);%Convolucion de los numeradoresnumm=conv(num1,num2);%Convolucion de los denominadores

PROGRAMA EN MATLABdenm=conv(den1,den2);% Verificacion del modeloy1=step(numm,denm,t);%Salida a una entrada paso del modelofigure(2)plot(t,ypaso1)%Grafica el vector ypaso1 contra el vector de tiempotitle('Respuesta ypaso1')holdplot(t,y1,'r')%Compara el valor dado (azul) con el valor calculado (rojo)grid%El modelo se acerca mucho al valor real, por lo tanto la identificacin es buena.

METODO DE VAN DER GRINTENEl orden de los sistemas sobreamortiguados pueden no ser determinados a primera vista.Por lo anterior se define un valor de a que es igual a 1/e (e=2.7183), entonces el modelo es de primer orden si a es igual a este valor, de lo contrario es de segundo orden.

METODO DE VAN DER GRINTEN

METODO DE VAN DER GRINTENEn el modelo de primer orden:En el modelo de segundo orden:

METODO DE VAN DER GRINTENDonde:

PROGRAMA EN MATLAB%PROGRAMA: EXAM2b.M%METODOS EYE BALL%METODO DE VAN DER GRINTEN PARA PROCESO 2

close all %Cierra todas la figuras abiertasclear all %Cierra todas las variables del Workspace

load exam5b.mat %Lee archivo de datos who %Muestra las variables cargadas con la instruccion anterior

t=[0:Ts2:80];%Crea vector de tiempo de acuerdo al periodo de%muestreo (Ts2) y al tamao del vector ypaso2.figure(1)plot(t,ypaso2)%Grafica el vector ypaso2 contra el vector de tiempo%En esta figura se traza la tangente del transitorio y el valor de estabilizacion,%se encuentra el cruce de las dos lineas y se encuentran el tiempo de cruce con la

PROGRAMA EN MATLAB%seal y su valor en el cruce.gridtitle('Respuesta ypaso2')% Calculo de parametros a partir de la grafica (Kp, Td, Wn, Zita)%Ganancia (Segn figura, el valor de estado estacionario, se supone entrada=1)Kp=25;%Encontramos el mayor valor del vector ypaso2Kov=max(ypaso2);%Se encuentra el tiempo muerto(segn figura)Td1=11.5;%Tiempo en el que se encuentra el cruce de la tangente con el valor de esta-%bilizacion, restando el tiempo muerto.Tao=26.5-Td1;% Calculo de parametros a partir de la grafica (Kp, Td, tao)e=2.7183; % Si (1/e=0.3679) diferente de a el Sistema es % de segundo orden

PROGRAMA EN MATLABa=0.24; %a = Kp-19/Kp (Se define como la diferencia en porcentaje entre el valor%de estabilizacion y el Tao.%Como a es diferente a 1/e, el sistema es de segundo orden y se buscan los polos%del sistema.Tao1=Tao*(((3*a*e)-1)/(1+(a*e)));%Clculo del Polo 1 del sistema (1/Tao1)Tao2=Tao*((1-(a*e))/(1+(a*e)));%Clculo del Polo 2 del sistema (1/Tao2)Td=Td1-((Tao1*Tao2)/(Tao1+(3*Tao2)));%Tiempo muerto calculadon=5;%Numero de cruces por cero en el tiempo muerto[num1,den1]=pade(Td,n);%Calculo de la funcion de transferencia del tiempo muerto, de%acuerdo a los cruces por cero.numm=conv(num1,Kp);%Convolucion de los numeradores de las funciones de transferenciadenm=conv(conv(den1,[Tao1 1]),[Tao2 1]);%Convolucion de los denominadores de las fun-%ciones de transferencia.

% Verificacion del modelo

PROGRAMA EN MATLABfigure(2)plot(t,ypaso2)%Grafica el vector ypaso2 contra el vector de tiempotitle('Respuesta ypaso2')y1=step(numm,denm,t);%Funcion calculadaholdplot(t,y1,'r')%Compara el valor dado (azul) con el valor calculado (rojo)grid%El modelo se acerca mucho al valor real, por lo tanto la identificacin es buena.