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Matemticas II Ejercicios PAU Madrid - Anlisis

Dpto. Matemticas IES Juan Gris Pgina - 1

Ejercicios de Anlisis propuestos en Selectividad

1.- Dada la parbola2

4 y x , se considera el tringulo rectngulo T( r ) formado por los ejes

coordenados y la tangente a la parbola en el punto de abscisa 0x r .

a) Hallar r para que T( r ) tenga rea mnima

b)

Calcular el rea de la regin limitada por la parbola, su tangente en el punto de abscisa x=1, y

el eje vertical.

2.-

Se considera la funcin3( ) xf x xe .

a) Estudia y representar grficamente la funcin f.

b)

Sabiendo que el rea de la regin limitada por la grfica de f y el eje OX entre x=0 y x=p (p>0)

vale 19

, calcular el valor de p.

3.- Se considera la funcin2

3

2

2( )

x nx si x f x

x m si x

. Se pide:

a) Determina m y n para que se cumplan las hiptesis del Teorema del valor medio en el

intervalo 4 2,

b)

Halla los puntos del intervalo cuya existencia garantiza dicho teorema

4.- Se considera la funcin2 0

1 0( )

x

x x si xf x

e si x

Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:

a) Es continua en x=0?

b)

Es derivable en x=0?

c)

Alcanza algn extremo?

5.- Se considera el tringulo issceles cuya base (lado desigual) mide 10 cm y cuya altura mide 6 cm. En l

se inscribe un rectngulo, cuya base est situada sobre la base del tringulo.

a)

Expresa el rea A de dicho rectngulo en funcin de la longitud x de su base

b)

Escribe el dominio de la funcin A(x) y dibuja su grfica

c) Halla el valor mximo de dicha funcin

6.-

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea de 8 dm

3

. Averigua lasdimensiones de la caja para que la superficie exterior sea mnima.


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7.-

a)

Comprueba que 1 0lim ln( ) ln( )x

x x

b) Calcula 1lim ln( ) ln( )x

x x x

(Sol: 1)

8.- Sea la funcin2 0

0

sen

( )

xsi x

f x x

k si x

a) Hay algn valor de k para el cual f(x) sea continua en x=0?

b)

Hay algn valor de k para el cual f(x) sea derivable en x=0?

c) Determinar sus asntotas

9.- Se consideran las curvas2y x e y a , donde a es un nmero real comprendido entre 0 y 1

0 1( )a . Ambas curvas se cortan en el punto 0 0( , )x y con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el

rea encerrada entre ambas curvas desde 0x hasta 0x x es igual a la encerrada entre ellas

desde 0x x hasta 1x

10.-

De una funcin ( )f x derivable que pasa por el punto 1 4( , )A y que su derivada es

2 1

11

'( )

x si x

f xsi x

x

a) Halla la expresin de f(x)

b) Obtener la ecuacin de la recta tangente a f(x) en x=2

11.-

Sea la funcin 2( ) senf x x x

a)

Determinar si tiene asntotas de algn tipo

b) Estudiar su monotona y la existencia de extremos relativos

12.-

Dados tres nmeros reales cualesquiera 1 2 3, ,r r y r , halla el nmero real x que minimiza la

funcin 2 2 2

1 2 3( )D x r x r x r x

13.-Sea la funcin4 3 2

4 6( )f x x x x x

a)

Determina los puntos de corte de su grfica con los ejes y los intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

b)

Esboza la grfica de la funcin.

c)

Calcula el rea determinada por la grfica de f, el eje horizontal y las recta 1x y 2x


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14.-Se considera la funcin2

1

4( )f x

x

a) Indica el dominio de de definicin de la funcin f y halla sus asntotas

b)

Halla los extremos relativos de la funcin f y sus intervalos de concavidad y convexidad

c) Dibuja la grfica de f y halla su mximo y su mnimo absolutos en el intervalo 1 1,

15.-a) Halla el valor de la integral definida1

101

x

x

edx

e

b) Calcula la integral indefinida de la funcin1

1 xemediante un cambio de variable

16.-Se consideran las funciones2

2 3( )f x x x y 2( )g x ax b .

a)

Calcula a y b para que las grficas de f y g sean tangentes en el punto de abscisa x=2

b)

Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibuja las grficas de ambas

funciones y halla la ecuacin de la tangente comn

c)

Para los mismos valores de a y b, halla el rea limitada por las grficas de ambas funciones y el

eje vertical

17.-

Sea la funcin1

1( )

tf t

e

a) Calcular ( )f t dt

b)

Se define la funcin0

( ) ( )x

g x f t dt . Calcula 0( )

limx

g x

x

18.-

Sea P(x) un polinomio de grado 4 tal que:

i) P(x) es una funcin par

ii)

Dos de sus races son 1,x 5x .

iii)

0 5( )P

Se pide:

a)

Halla sus puntos de inflexin

b)

Dibuja su grfica


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19.-

Se considera la funcin real de variable real definida por2

2

1( )

xf x

x b

, b>0. Calcula el valor de la

constante b para el cual es mxima la pendiente de la recta tangente a la grfica de f en el punto x=1

20.-

Calcula la integral definida 40

2

1 2

sen( )

sen( )

xdx

x

Indicacin: Existen varias posibilidades para calcular esa integral. Una de ellas es efectuar el cambio de

variable u=tgx

21.-

Se considera la funcin f definida por2

0sen

( ) ,x x

f x xx

.

Calcula el valor que ha de asignarse a f(0) para que la funcin sea continua en el origen

22.-

Calcula el siguiente lmite: 2

1limx x x x

(Sol: )

23.-Calcula F(x) y simplifica el resultado, siendo2

0

arcsensen( )

xtF x e dt , 1 1x

24.-

Se considera el tringulo rectngulo en el primer cuadrante, determinado por los ejes coordenados y

una recta que pasa por el punto (1,1). Determina los vrtices del tringulo cuya hipotenusa tiene

longitud mnima

25.-Sea3 2( )f x ax bx cx d un polinomio que cumple f(1)=0, f(0)=2, y tiene dos extremos

relativos para x=1 y x=2.

a)

Determina a, b, c y d

b) Son mximos o mnimos los extremos relativos? (Junio 2000)

26.-Sean las funciones2( )f x x y 3( )g x x . Determina el rea encerrada por las grficas de ambas

funciones y la recta x = 2 (Junio 2000)

27.-Si es posible, dibuja de forma clara la grfica de la funcin continua en el intervalo 0 4, que tenga almenos un mximo relativo en el punto (2,3) y un mnimo relativo en el punto (3,4). Si la funcin

fuera polinmica, cul ha de ser como mnimo su grado? (Junio 2000)

28.-

Sea la funcin ( ) senf x x .

a) Calcula a > 0 tal que el rea encerrada por la grfica de f, el eje y=0 y la recta x=a sea1

2

b)

Calcula la ecuacin de la tangente a la grfica de f en el punto de abscisa4

x

c) Calcula el rea de la superficie encerrada por la tangente anterior, la grfica de la funcin f y

las rectas3

4 4,x x

(Junio 2001)


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29.-Sea la funcin real de variable real definida por3

2

2 1

1

( )( )

x si x f x

x si x

a) Razona si es una funcin continua en toda la recta real

b) Razona si f es derivable en toda la recta real

c) Determina el rea encerrada por la grfica de f y por las rectas y=8, x=0, x=2.

(Junio 2001)

30.-a) Determina los extremos relativos de la funcin2

4 2( )f x x x . Dibuja su grfica

b) Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la grfica de f que pasan por el punto

3 5( , )P

(junio 2001)

31.-Se considera la funcin real de variable real definida por2

1

3( )f x

x

a) Halla la ecuacin cartesiana de la recta tangente en el punto de inflexin de abscisa positiva

de la grfica de f

b) Calcula el rea del recinto plano acotado por la grfica de f, la recta anterior y el eje x=0

(Junio 2002)

32.-

Se considera la funcin:

23 1

1

21

1

( )

x xsi x

xf x x

si xx

. Se pide:

a) Estudiar el dominio y la continuidad de f

b)

Halla las asntotas de la grfica de f

c)

Calcula el rea del recinto plano acotado por la grfica de f y las rectas y=0, x=1, x=2

(Junio 2002)

33.-

Se considera la funcin real de variable real definida por: 2 1( ) x

f x x

a) Determina sus mximos y mnimos relativos

b) Calcula el valor de a>0 para el cual se verifica la igualdad0

1( )a

f x dx

(Septiembre 2002)


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34.-Se considera la funcin real de variable real definida por3 2 2

2 2( )

( )

x si xf x

x x si x

a) Estudia su continuidad y derivabilidad

b) Halla la ecuacin cartesiana de la recta tangente a la grfica de f en el punto (3,1)

(Septiembre 2002)

35.-

Sea f(x) una funcin real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos tal

que:

f(0)=1; f(1)=2; f(0)=3; f(1)=4

Se pide:

a)

Calcula g(0), siendo 0( ) ( )g x f x f

b)

Calcula 2

0

2 1

1

( ) ( )lim

xx

f x f x

e

(Septiembre 2002)

36.-

Determina los valores de las constantes A, B, C y D para los cuales la grfica de la funcin real de

variable real

2( ) senf x A x Bx Cx D

tiene tangente horizontal en el punto (0,4) y adems su derivada segunda es 3 10''( ) senf x x

(Modelo examen selectividad 2003)

37.-

Calcula la siguiente integral indefinida:2

2

4

5 6

xdx

x x


38.-Calcula los siguientes lmites (donde ln significa logaritmo neperiano).

a)

03

2

ln cos( )lim

ln cos( )x

x

x (Sol: 9/4) b)

0

4 4

4limx

x x

x

(Sol: 1/8)

(Junio 2003)

39.-

Dada la funcin5 8

61( )

x xf x

x

a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las

discontinuidades es evitable

b) Estudiar si f tiene alguna asntota vertical

(Junio 2003)


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40.-a) Dibujar la grfica de la funcin ( ) xg x e x

b) Calcula el dominio de definicin de1

( )x

f xe x

y su comportamiento para x y

x

c) Determinar (si existen) los mximos y mnimos absolutos de f(x) en su dominio de definicin

(Junio 2003)

41.-a) Calcular el lmite de la sucesin cuyo trmino general es

23 1

3

nn

n

b) Sean las funciones4

15( )

xtF x e dt ,

2( )g x x . Calcular ( ( ) 'F g x


42.-

Dada la funcin 21

0

0

( )

xesi x

f x x x

a si x

a) Determinar su dominio y calcular los lmites laterales cuando 1x

b) Estudiar su continuidad y hallar el valor de a para el que f es continua en x=0


43.-Se considera la funcin

2

1

1( )

senf x

x

. Se pide:

a)

Calcular sus puntos crticos en el intervalo ,

b)

Calcular los extremos relativos y/o absolutos de la funcin f(x) en el intervalo cerrado ,

c) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin f(x) en el punto4 4

,f


44.-Calcular la base y la altura del tringulo issceles de permetro 8 y rea mxima

(Junio 2004)

45.-Se considera la funcin

2

2

2 1

4 1( )

xf x

x

a)

Calcular las asntotas, el mximo y el mnimo absolutos de la funcin f(x)

b)

Calcular

1

0 ( )f x dx (Junio 2004)


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46.-

Dada la funcin21( )f x x , se pide:

a) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto P(a,f(a)), donde 0


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51.-Se considera la funcin 21( ) lnf x x

a)

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los intervalos de concavidad y

convexidad

b)

Dibujar la grfica de f

c)

Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la grfica de f en sus puntos de inflexin

(Modelo de examen 2005)

52.-

Sea f(x) una funcin derivable en (0,1) y continua en [0,1], tal que f(1)=0 y1

02 1'( )xf x dx . Utilizar la

frmula de integracin por partes para hallar1

0( )f x dx

(Junio 2005)

53.-

Calcular el polinomio de tercer grado

3 2

( )p x ax bx cx d

sabiendo que verifica:

a) Tiene un mximo relativo en x=1

b)

Tiene un punto de inflexin en el punto de coordenadas (0,1)

c) Se verifica:1

0

5

4( )p x dx (Junio 2005)

54.-Calcular los siguientes lmites:

a) 2 2lim

xx x x x

b)

2

lim x

x

x arctg e

(Junio 2005)

55.-

Dada la funcin1

( )f xx

, se pide:

a) Hallar la ecuacin de la recta tangente a su grfica en el punto , ( )a f a para a >0

b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado a) con los ejes coordenados

c) Hallar el valor de a>0 que hace que la distancia entre los puntos hallados en b) sea mnima

(Septiembre 2005)

56.-

Dada la funcin2

1( ) ln

xf x

x

, definida para x>1, hallar un punto , ( )a f a tal que la recta tangente

a la grfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX

(Septiembre 2005)

57.-

Se considera la funcin

2

1( )

x

x

ef x

e

a) Calcular los extremos locales y/o globales de la funcin f(x)

b)

Determinar el valor del parmetro a tal que:0

1

4( )

a

f x dx (Septiembre 2005)


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58.-Dada

2

2

4

1( )

xf x

x

a) Hallar sus mximos y mnimos locales y/o globales

b)

Determinar el valor del parmetro a > 0 para el cual es: 0 1( )

a

f x dx


59.- a) Hallar el punto en que se cortan las grficas de las funciones

2( )f x

x

2 3( )g x x

b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P a cada una de las curvas anteriores y

demostrar que son perpendiculares


60.-

Se considera la funcin:1

2( )

sen cosf x

x x

. Se pide:

a)

Calcular sus extremos locales y/o globales en el intervalo ,

b) Comprobar la existencia de, al menos, un punto ,c tal que 0''( )f c . (Sugerencia:utilizar el teorema de Rolle). Demostrar que en c hay un punto de inflexin.


61.-

a) Dibujar la grfica de la funcin2

1( )

xf x

x

, indicando su dominio, intervalos de

crecimiento y decrecimiento y asntotas

b) Demostrar que la sucesin2

1n

na

n

es montona creciente

c)

Calcular 2 1lim ( )n nn

n a a (Junio 2006)

62.-

a) Estudiar y representar grficamente la funcin2

1

2( )

( )f x

x

63.-

b)Hallar el rea de la regin acotada comprendida entre la grfica de la funcin anterior y las rectas

y = 1, x = 5/2

(Junio 2006)


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64.-Calcular

2

2

1 2

dx

x x (Septiembre 2006)

65.-

a) Calcular los valores de a y b para que la funcin2

2

3 2 0

( ) 2 cos 0

x si x

f x x a x si x

ax b si x

sea

continua para todo valor de x

b)Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior

(Septiembre 2006)

66.- Dada la funcin2

( ) xf x x e , se pide:

a) Dibujar su grfica indicando su dominio, asntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento,

mximos y mnimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexin

b) Calcular el rea comprendida entre el eje OX y la grfica de f(x) entre 1 1x

(Septiembre 2006)

67.-

Se considera la funcin2( )f x x m , donde m > 0 es una constante.

a) Para cada valor de m hallar el valor de a > 0 tal que la recta tangente a la grfica de f en el punto

, ( )a f a pase por el origen de coordenadas

b)

Hallar el valor de m para que la recta y x sea tangente a la grfica de f(x)

(Junio 2007)

68.-

Dada la funcin

2

2

12

4( )

xf x

x

calcular el rea de la regin acotada encerrada por su grfica y el eje

OX (Junio 2007)

69.-Dibujar la grfica de la funcin2

( )x

f xx

indicando su dominio, intervalos de crecimiento y

decrecimiento y asntotas. (Junio 2007)

70.-

a) Hallar los mximos y mnimos relativos y los puntos de inflexin de la funcin:2

2

3 3

1( )

x xf x

x

b)

Determinar una funcin F(x) tal que su derivada sea f(x) y adems F(0) = 4

(Septiembre 2007)


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71.-Sea g(x) una funcin continua y derivable para todo valor real de x, de la que se conoce la siguiente

informacin:

i) 0'( )g x para todo 0 2( , ) ( , )x , mientras que 0'( )g x para todo 0 2( , )x .

ii) 0''( )g x para todo 1 3( , )x y 0''( )g x para todo 1 3( , ) ( , )x

iii)

1 0( )g , 0 2( )g , 2 1( )g

iv) lim ( )x

g x

y 3lim ( )x

g x

Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide:

a)

Analizar razonadamente la posible existencia o no existencia de asntotas verticales, horizontales

u oblicuas

b)

Dibujar de manera esquemtica la grfica de la funcin g(x)

c) Si0

( ) ( )x

G x g t dt encontrar un valor 0x tal que su derivada 0 0'( )G x

(Septiembre 2007)

72.-

Se considera la funcin ( )x

xf x

e .

a) Hallar sus asntotas y sus extremos locales.

b)

Calcular los puntos de inflexin de f(x) y dibujar la grfica de f(x)


73.-Calcular:

a)

1 52

1lim

n

n

n

n

b)

4 3 42 3

5limn

n n n n

n


74.-

(Modelo de examen 2008) Se considera la funcin

2

2

2

1

2

( )

ax b si x

f x

si xx

. Se pide:

Calcular a y b para que f sea continua y derivable en todo

a) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, calcular el rea de la regin acotada

limitada por la grfica de f, el eje horizontal y las rectas x = 1, x = 3.

75.-(Junio 2008) Estudiar los siguientes lmites:

a)

2lim( )xx

e x

b)

4 5lim

3 6

x x

x xx


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76.-(Junio 2008) Obtener los mximos y mnimos relativos, y los puntos de inflexin de la funcin:

2

( ) lnf x x x , siendo lnx el logaritmo neperiano de x

77.-(Junio 2008)

a) Para cada valor de c>0, calcular el rea de la regin acotada comprendida entre la grfica de la

funcin4 21( ) 1f x cx x

c , el eje OX y las rectas x = 0, x = 1.

b) Hallar el valor de c para el cual el rea obtenida en el apartado a) es mnima

78.-(Septiembre 2008) Dada la funcin2( ) ( 1)xf x e x , se pide:

a)

Dibujar la grfica de f, estudiando crecimiento, decrecimiento, puntos de inflexin y asntotas

b)

Calcular1

0( )f x dx

79.-

(Septiembre 2008)

a) Calcular :

3 ln( )x x dx

b) Utilizar el cambio de variablet tx e e , para calcular

2

1

4dx

x

Indicacin: Para deshacer el cambio de variable utilizar:

2 4

ln 2

x x

t

80.-

(Modelo 2008-2009) Sea:

2

2

31

4 2( )7 3

1 ( 2)12 2

xsi x

f x

x si x

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x)

b)

Hallar los mximos y mnimos locales de f(x)

c) Dibujar la grfica de f(x)

81.-(Modelo 2008-2009) Sea2

( )1

xf x

x

a)

Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en x=0

b)

Estudiar cundo se verifica que '( ) 0f x . Puesto que (1) ( 1)f f , existe contradiccin con el

Teorema de Rolle en el intervalo 1,1 ?


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82.-(Modelo 2008-2009) Sea

2( 1) 1( )

ln( ) 1

x si xf x

x si x

. Hallar el rea de la regin acotada limitada por

la grfica de f(x), y por la recta y=1

83.-(Junio 2009) Calcular el siguiente lmite:

1

2

1

lim 1 4 8

x

x x x

segn los valores del parmetro

84.-(Junio 2009) Calcular la integral2

0( )

xtF x t e dt

85.-

(Junio 2009) Si la derivada de la funcin f(x) es:3'( ) ( 1) ( 5)f x x x , obtener

a)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f

b) Los valores de x en los cuales f tiene mximos relativos, mnimos relativos o puntos de inflexin

c) La funcin f sabiendo que f(0)=0

86.-(Septiembre 2009) Dada la funcin2

(1 )1 0 0

( )1

02

ln ax bxsi ax y x

xf x

si x

, se pide:

a) Hallar los valores de los parmetros a y b para los cuales la funcin f es continua en x=0

b) Para a = b = 1, estudiar si la funcin f es derivable en x = 0 aplicando la definicin de derivada

87.-

(Septiembre 2009)

a)

Dada la funcin2

( )1

xf x

x

, hallar el punto o los puntos de la grfica de f(x) en los que la

pendiente de la recta tangente sea 1.

b) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f(x) en el punto x = 0

c) Sea g una funcin derivable en derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g(2) = 2.

Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0,2) tal que g( c ) = 1

88.-

(Modelo 2009-2010) Dada la funcin

( ) x xf x e ae ,

Siendo a un nmero real, estudiar los siguientes apartados en funcin de a:

a) Hallar los extremos realtivos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f

b) Estudiar para qu valor, o valores, de a la funcin f tiene alguna asntota horizontal

c)

Para 0a , hallar el rea de la regin acotada comprendida entre la grfica de f, el eje OX y lasrectas x = 0, x = 2


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89.-(Modelo 2009-2010) Dada la funcin3( )f x x x , se pide:

a) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f en el punto 1, ( 1)f .

b) Determinar los puntos de interseccin de la recta hallada en el apartado anterior con la grfica de f

c)

Calcular el rea de la regin acotada que est comprendida entre la grfica de f y la recta obtenidaen el apartado a)

90.-

(J 10) (2) Hallar:

a)

253 33 5 8

lim1 2x

x x

x

b)

32/3

0lim 1 4

x

xx

91.-

(J 10) (2) Dada la funcin 2( ) ln 4 5f x x x , donde ln significa logaritmo neperiano, se pide:

a) (1 p.) Determinar el dominio de definicin de f(x) y las asntotas verticales de su grfica

b)

(1 p.) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)

92.-(J 10) (3) Dada la funcin

ln0

( ) 2

0

x

x xsi x

f x

x k si x

, se pide:

a) (1 p) Determinar el valor de k para que la funcin sea continua en

b) (1 p.) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas

c) (1 p.) Obtener la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin en el punto de abscisa

x = 1

93.-

(J 10) (3)Dada la funcin

2

22( )1

xf xx

a) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)

b) Hallar los puntos de inflexin de la grfica de f(x)

c) Hallar las asntotas y dibujar la grfica de f(x)

d)

Hallar el rea del recinto acotado que limitan la grfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 1,

y = x+2


16/20



94.-(J 10) (3) Dadas las funciones:29 , 2 1y x y x , se pide:

a)

Dibujar las grficas de las dos funciones identificando el recinto acotado por ellas

b) Calcular el rea de dicho recinto acotado

c)

Hallar el volumen del cuerpo de revolucin obtenido al hacer girar alrededor del eje OX el recintoacotado por la grfica de

29y x y el eje OX

95.-

(S 10) (2 p.) Calcular los lmites:

a)

/

0lim 1 arctan

a x

xx

b)3 2

lim7 5

x

xx

x e

x e

96.-

(S 10) (2 p.) Calcular:

a)1

20 4

xdx

x b) 0 cosx xdx

97.-

(S 10) (3 p.) Los puntos P(1,2,1), Q(2,1,1) y A(a,0,0), con a > 3, determinan un plano que corta a los

semiejes positivos de OY y OZ en los puntos B y C, respectivamente. Calcular el valor de a para que el

tetraedro determinado por los puntos A, B, C y el origen de coordenadas tenga volumen mnimo.

98.-

(S 10) (2 p.) Obtener el valor de a para que:

2

2

2 3lim 43

ax

xxx

99.-(S 10) (2 p.) Hallar:

a)

(0,5 p.)16

8

14( 15)x dx b) (1,5 p.)

1119

9( 10) ( 9)x x dx

100.-

(S 10) (3 p.) Dada la funcin:

23 5 20( )

5

x xf x

x

, se pide:

a)

(1,5 p.) Estudiar y obtener las asntotas

b) (1 p.) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad

c)

(0,5 p.) Representar grficamente la funcin


17/20



101.-

(M 11) (3 p.) Dada la funcin2

1( )

( 1)

xf x

x

, se pide:

a)

Obtener, si existen, los mximos y mnimos relativos, y las asntotas de f

b) Calcular el rea del recinto acotado comprendido entre la grfica de f, el eje OX y las rectas x = 0, x

= 3

102.- (M 11) (2 p.) Calcular los siguientes lmites:

a)

1/

0lim x

xxe

b)

0

1 tan 1 tanlimx

x x

x

103.- (M 11) (2 p.)Dada la funcin1

( )2

f x senx , calcular el rea del recinto acotado comprendido

entre la grfica de f, el eje OX y las rectas 0x ,2

x

104.- (J 11) (2 p.)

a) Calcula la integral3

2

14 5x x dx

b)

Hallar los valores mnimo y mximo absolutos de la funcin2( ) 12 3f x x

105.-

(J 11) (2 p.)

a) Calcular el siguiente lmite: limx

x

x x

b)

Demostrar que la ecuacin54 3 0x x m slo tiene una raz real, cualquiera que sea el

nmero m. Justificar la respuesta indicando qu teoremas se usan.

106.-

(J 11) (3 p.) Dada la funcin

4

3

1( )

axf x

x

, se pide:

a)

Determinar el valor de a para el que la funcin posee un mnimo relativo en x = 1. Para ese valorde a, obtener los otros puntos en los que f tiene un extremo relativo

b)

Obtener las asntotas de la grfica de y = f(x) para a = 1

c) Esbozar la grfica de la funcin para a = 1

107.- (S 11) (3 p.)

a) Calcular los lmites:( 1)

2lim

4 xx e y

( 1)

2lim

4 xx e

b)

Calcular la integral1

20 1 3x dx

x


18/20



c)

Hallar el dominio de definicin de la funcin2( ) 9 14f x x x

108.-

(S 11) (2 p.) Dada la funcin

1/ 0

( ) 0

cos 10

xe si x

f x k si x

xsi x

senx

, hallar el valor de k para que f sea

continua en x = 0. Justificar la respuesta

109.- (S 11) (2 p.)

d) Hallar el rea del recinto limitado por la grfica de ( )f x senx y el eje OX entre las abscisas

0x y 2x

e)

Hallar el volumen del slido de revolucin que se obtiene al hacer girar la grfica de

( )f x senx alrededor del eje OX entre las abscisas 0x y 2x

110.-

(M 12) (2) Halla el valor de para que la funcin

2

2

10

3( )2

0

xesi x

xf xsen x

si xx

sea continua.

Razonar la respuesta.

111.-

(M 12) (2) Dado el polinomio3 2( )P x x ax bx c , obtener los valores de a, b y c de modo

que se verifiquen las condiciones siguientes:

El polinomio P(x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas 1/ 3x y 1x .

La recta tangente a la grfica de P(x) en el punto 0, (0)P sea 3y x

112.- (M 12) (3) Sabiendo que la funcin ( )F x tiene derivada ( )f x continua en el intervalo cerrado

2,5 , y adems, que:

(2) 1, (3) 2, (4) 6, (5) 3, (3) 3 (4) 1F F F F f y f ;

Hallar:

a)

(05 p.) 52

( )f x dx

b)

(1 p.) 3

25 ( ) 7f x dx

c)

(15 p.)4

2( ) ( )F x f x dx

113.-

(J 12) (2 p.) Hallar a, b y c de modo que la funcin3 2( )f x x ax bx c alcance en 1x un

mximo relativo de valor 2, y tenga en 3x un punto de inflexin


19/20



114.- (J 12) (2 p.) Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas:

a)

2

0cosxe xdx

b)/2

20

2

1 cos 2

sen xdx

x

115.- (J 12) (2 p.) Dadas las funciones:

2

2

3 ln( 1)( ) , ( ) ln , ( ) ,

3

x xf x g x x h x sen x

x

se pide:

a)

Hallar el dominio de ( )f x y el lim ( )x

f x

b) Calcular '( )g e

c) Calcular en el intervalo 0,2 , las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas ylas coordenadas de los extremos relativos de ( )h x

116.-

(S 12) (3 p.) Dada la funcin2

3 3( )

4 10 3

x A si xf x

x x si x

, se pide:

a) Hallar el valor de A para que ( )f x sea continua. Es derivable para ese valor de A?

b) Hallar los puntos en los que '( ) 0f x

c) Hallar el mximo absoluto y el mnimo absoluto de ( )f x en el intervalo 4,8

117.- (S 13) (3 p.) Dada la funcin2( )f x x senx , se pide:

a) Determinar, justificando la respuesta, si la ecuacin ( ) 0f x tiene alguna solucin en el intervalo

abierto / 2,

b) Calcular la integral de f en el intervalo 0,

c)

Obtener la ecuacin de la recta normal a la grfica de ( )y f x en el punto , ( )f .Recurdese que la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto.

118.-

(M 13) (3 p.) Dada la funcin

2

1/

2 3

01

( ) 0

0x

x x

si xx

f x a si x

e si x

, se pide:

a) Determinar el valor de a para que f sea continua en 0x

b)

Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad de f en 0x

c)

Hallar, si las tiene, las asntotas de la grfica de ( )y f x


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119.- (M 13) (3 p.)

a)

Representar grficamente el recinto limitado por la grfica de la funcin ( ) lnf x x y el eje OX

entre las abscisas 1/x e , x e

b)

Calcular el rea de dicho recinto

c)

Calcular el volumen del slido de revolucin obtenido al girar dicho recinto alrededor del eje OX

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