7561 Pm Integralb
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Primera Prueba Parcial Lapso 2015 1 756 – 1/2 Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática Universidad Nacional Abierta Cálculo Integral (Cód. 756) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126 Área de Matemática Fecha: 30 05 – 2015 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1, 2 y 4. OBJ 1 PTA 1 Calcula dx x 1 Ln x 2 . Solución: Se aplica el método de integración por partes: x 1 Ln u ; dx ) x 1 ( 2 1 dx x 1 2 1 x 1 1 du dx x dv 2 ; 3 x v 3 Entonces, dx 1 x x 6 1 x 1 Ln 3 x dx x 1 x 6 1 x 1 Ln 3 x dx x 1 Ln x 3 3 3 3 2 dx 1 x 1 1 x x 6 1 x 1 Ln 3 x 2 3 C 6 1 x Ln 6 x 12 x 18 x x 1 Ln 3 x 2 3 3 donde C es una constante cualquiera. OBJ 2 PTA 2 Calcula la integral 2 2 2 1 x dx . Solución: b 2 2 2 b b 2 2 2 b 2 2 2 ) 1 x ( 1 x dx lím 1 x dx lím 1 x dx 2 2 2 2 1 x D 1 x C 1 x B 1 x A ) 1 x ( 1 x 1 1 = A(x 1)(x+1) 2 +B(x+1) 2 +C(x 1) 2 (x+1)+D(x 1) 2 [*] Para x = 1 se obtiene 4 1 B y para x = 1 se obtiene 4 1 D ¡Verifícalo! Al sustituir los valores encontrados en [*] y haciendo x = 0 se obtiene la ecuación: 2A+2C =1
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Primera Prueba Parcial Lapso 20151 756 –1/2
Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática
Universidad Nacional Abierta Cálculo Integral (Cód. 756)
Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 126
Área de Matemática Fecha: 30 05 – 2015
MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1, 2 y 4.
OBJ 1 PTA 1 Calcula dxx1Lnx2
.
Solución: Se aplica el método de integración por partes:
x1Lnu ; dx)x1(2
1dxx12
1
x1
1du
dxxdv2
; 3
xv3
Entonces,
dx1x
x61x1Ln
3xdx
x1x
61x1Ln
3xdxx1Lnx
33332
dx1x
11xx61x1Ln
3x 2
3
C6
1xLn
6
x
12
x
18
xx1Ln3
x233
donde C es una constante
cualquiera.
OBJ 2 PTA 2 Calcula la integral
222
1x
dx .
Solución:
b
222b
b
222b
222 )1x(1x
dxlím1x
dxlím1x
dx
22221x
D
1x
C
1x
B
1x
A
)1x(1x
1
1 = A(x1)(x+1)2+B(x+1)2+C(x1)2(x+1)+D(x1)2 [*]
Para x = 1 se obtiene 4
1B y para x = 1 se obtiene 4
1D ¡Verifícalo!
Al sustituir los valores encontrados en [*] y haciendo x = 0 se obtiene la ecuación:
2A+2C =1
Primera Prueba Parcial Lapso 20151 756 –2/2
Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles
Área de Matemática
Al hacer x = 2 en [*] con 4
1B y 4
1D se obtiene otra ecuación:
6A+2C=1 Se resuelve el sistema de ecuaciones:
12C6A
1 2C2A- y se obtienen los valores
41C;
41A ¡Verifícalo!
Entonces,
dx
1x
11x
1
)1x(
11x
1lím41
)1x(1x
dxlím
b
222b
b
222b
b
2b
b
2b 1x
11x
11x1xLnlím
41
1x1)1x(Ln
1x1)1x(Lnlím
41
31
4
3Ln
343Ln
1b1
1b1
1b1bLnlím
41
b
.
OBJ 4 PTA 3 Si a
y b
son vectores arbitrarios, demuestra que a
es paralelo a b
sí y
solo sí el producto cruz a
Xb
= 0
.
Solución:
() Si a
es paralelo a b
entonces, existe un escalar k tal que b
=ka
. Así que
a
Xb
= a
X )ak(
= k(a
Xa
)=k0
=0
.
() Si a
no es paralelo a b
, entonces a
0
y b
0
y 0 < < . Así que 0b,0a
.
Luego, se tiene: a
Xb
= 0usenba
donde u
es un vector unitario perpendicular a a
y
a b
y es el ángulo entre a
y b
.
Por lo tanto, a
es paralelo a b
si y solo si el producto cruz a
Xb
= 0
.
FIN DEL MODELO.
