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CENTRO DE MASAEl centro de masasde un sistema discreto o continuo es el punto geomtricoque dinmicamente se comporta como si en l estuviera aplicada la resultante

de las fuerzas externas al sistema. De manera anloga, se puede decir que elsistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un

sistema equivalente al original.

En la Fsica, el centro geomtrico, el centro de gravedad y el centro de masaspueden, bajo ciertas circunstancias, o coincidir entre s. En estos casos se

suele utilizar los trminos de manera intercambiable, aunque designan

conceptos diferentes. El centro geomtrico un concepto puramente geomtrico

que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la

distribucin de materia, mientras que el centro de gravedad depende tambin

del campo gravitatorio.

El centro de masas coincide con el centro geomtrico cuando la densidad esuniforme o cuando la distribucin de materia en el sistema de tiene ciertaspropiedades, tales como simetra.

El centro de masas coincide con el centro de gravedad, cuando el sistema se

encuentra en un campo gravitatorio uniforme (el mdulo y la direccin de lafuerza de gravedad son constantes).

Cuando se estudio en cinemtica el movimiento bidimensional se vio que todo

cuerpo lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describira una

trayectoria parablica y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc.

Pero todos ellos fueron tratados como partculas puntuales sin dimensiones,

pero la realidad es que todos estos cuerpos estn conformados por muchas

partculas. Por ejemplo si lanzamos una mancuerna al aire.

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El centro de masa de la mancuerna lanzada al aire describe una trayectoriaparablica

Un observador que se encuentra lejos ver que sta efectivamente describe

una trayectoria parablica, pero qu ver el observador si se acerca ms y ve

detalladamente lo que sucede

El observador dir que cada masa en forma individual no describe una

trayectoria parablica, sino que estn girando y movindose caprichosamente,

pero sin embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parbola,

este punto particular del sistema recibe el nombre de Centro de masa (CM)yse comporta como una partcula puntual de masa M+ m.

El centro de masa de la mancuerna se comporta como una

partcula puntual de masa M+m

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CM

nm

m m ...... m i i1 1 2 2 n n i 1

nm m ........ m1 2 n mi

i 1

+ + +

== =

+ + +

=

rr r r

R

nmi i

i 1CM M

==

r

R

POSICIN DEL CENTRO DE MASA

Si se tiene un sistema de partculas la ubicacin de su centro de masa esta

dado por:

Sistema de varias partculas, su centro de masa se denota por RCM

como =

n

1i

mi es la masa total Mdel sistema esta ecuacin se convierte:

donde r es el vector posicin de la masa im

La cantidad de movimiento del sistema de partculas es la misma de la cantidad

de movimiento de su centro de masa

C

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CM

nmi i

i 1

M

==

v

v

M=

p

VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA

El movimiento de cada una de las partculas del sistema nos advierte que el

centro de masa de la misma deber estar movindose tambin, si analizamos

una de ellas, digamos la j-esima partcula, en un tiempo t sta deber

haberse desplazado rj, entonces el desplazamiento del CM en ese mismointervalo de tiempo ser:

m i

n

1i

i

CM

r

R

==

si dividimos esta expresin por ty hacemos que este intervalo de tiempo sea

lo mas pequeo posible ( 0t ) obtendremos:

tm

t

==

n

1i

ilimi

t

lim

0CM

0t

r

R

esta es justamente la velocidad instantnea, entonces la velocidad del centro

de masa vCM queda determinada por:

vi es la velocidad instantnea de la i-esima partcula.

La sumatoria que aparece en esta ultima expresin, es la cantidad de

movimiento pdel sistema de partculas

=

=

=

=

n

1ii

n

1iii pvp m

por lo tanto vCM.

Es decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento

del sistema de partculas entre la masa total del sistema

Esto nos permite expresar la cantidad de movimiento del sistema de partculas

como:

p= MvCM

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CMExt

M=

Fa

CM

mi i

M

=

aa

El centro de masas de un sistema de partculas se mueve como si fuera unapartcula de masa igual a la masa total del sistema bajo la accin de la fuerzaexterna aplicada al sistema.

Por el principio de conservacin de la cantidad de movimiento, si la fuerza

resultante externa es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema semantiene constante por lo tanto vCM deber tambin permanecer constante,como si se tratase de una partcula de masa M, esto confirma una vez mas que

el centro de masa se comporta como una partcula puntual de masa M y

velocidad vCM.

Si en un sistema aislado de partculas no actan fuerzas externas la velocidad

del centro de masa es constante

Si la velocidad del centro de masa es cero la posicin del centro de masa es

constante

ACELERACIN DEL CENTRO DE MASA

Si sobre el sistema de partculas actan varias fuerzas externas, hemos

demostrado antes que:t

Ext

pF = donde =

jjExt FF es la suma de

todas las fuerzas externas al sistema y p= =

n

1i

pi= MvCM

Combinando estas ecuaciones

tM

t

M

t

)(

ExtCMCM vvpF ===

finalmente obtenemos:

FExt. = M aCM .

es decir la aceleracin del centro de masa es igual a la fuerza resultante

externa que acta sobre el sistema entre la masa Mdel sistema de partculas

o equivalentemente: