7.2. Ejercicios de aplicacion

7.2.1. Viga aperaltada con carga distribuida

En la ingenieria estructural es frecuente el uso de muros estructurasles, apoyadosen diferentes condiciones y ante diferentes solicitaciones. Se pretende investigar elefecto de una carga uniformemente distribuida actuando sobre diferentes fibras ycon diferentes condiciones de apoyo.

Como dominio se establecio un rectangulo de dimensiones L x H Figura (7.25)donde L = 3H. El modelo presenta dos condiciones de apoyo: apoyo continuo en labase Figura (7.25) (a) y (b) y doblemente apoyado con restriccion lateral a la alturamedia de los dos costados laterales Figura (7.25) (c).

Figura 7.25: Esquema de modelos para vigas aperaltadas solicitadas por cargas uni-formemente distribuida: a.) Apoyo continuo y carga distribuida sobre la fibra supe-rior, b.) Apoyo continuo y carga distribuida a la altura media y c. Apoyos dobles enlos extremos de la base y restriccion lateral a la altura media solicitada por cargadistribuida a la altura media.

El dominio se discretizo mediante una malla estructurada de 1.200 elementosrectangulares Figura (7.26).

Como solicitacion se consideran dos situaciones de carga, una carga uniforme-mente distribuida actuando sobre las fibras superiores Figura (7.26) (a) y una cargauniformemente distribuida actuando sobre la fibra media Figura (7.25) (b) y (c).

Ademas de los parametros de optimizacion indicados al principio del Capıtulo,se considero una fraccion de volumen de 50% para los tres casos.

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Figura 7.26: Discretizacion del modelo para vigas altas solicitadas por carga unifor-memente distribuida,y bajo diferentes condiciones de apoyo mediante una malla de60 x 20 elementos.

Se observa en la Figura (7.27) y Figura (7.28) que la ubicacion de la carga distri-buida, no cambia la topologıa de la estructura otpimizada. En los dos casos la formade arco se conseva, pero en diferente dimension. Igualmente se observa que en elcaso de la carga actuando sobre la fibra media la solucion optimizada elimina, des-de el incio, todo el material que se encuentra por encima de la carga Figura (7.28) (a)

En los dos casos con apoyo continuo, se puede decir que las cargas ”viajan” di-rectamente hacia el apoyo generando en su recorrido formas de arcos. No todo elapoyo continuo es utilizado en su longitud.

En el caso del apoyo doble con restricciones laterales Figura (7.29) estas sirvencomo base para la generacion de un arco, el cual abarca toda la altura. Se apreciaen la Figura (7.29) (l) que la solucion optimizada corresponde a un arco que sirvede apoyo a un elemento horizontal. Forma utilizada en el diseno de puentes, dondeel arco sirve de apoyo al tablero; en los extremos el apoyo se realiza mediante ele-mentos a compresion mientras que en el tramo central el apoyo se realiza medianteelementos a tension.

La identificacion de la figura optimizada para los dos primeros casos se lograentre la 6.a y la 8.a iteracion. Para el caso de los apoyos dobles con restriccion lateralse logra a partir de la 3.a iteracion y se mantiene hasta el final.

La energıa U de la estructura mostrada en la Figura (7.29) (a) parte de un valorinicial de 1.601.900J el cual se reduce drasticamente a un valor de 48.000 J luego de29 iteraciones, comprobandose una vez mas que la distribucion de material debidaa la optimizacion topologica genera estructuras mas rıgidas y por ello con menorenergıa interna de deformacion.

Respecto a la forma de la optimizacion, esta coincide con los principios estruc-

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turales, puesto que el arco es una de las estructuras mas eficiente, que existe. Sueficiencia radica en combinar la flexion y la compresion para transmitir las cargas.

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(a) i= 1 , U= 9.635J (b) i= 2, U= 9.468J

(c) i= 3, U= 9.376J (d) i= 4, U= 9.261J

(e) i= 5, U= 9.094J (f) i= 6, U= 8.792J

(g) i= 7, U= 8.275J (h) i= 8, U= 7.529J

(i) i= 9, U= 6.705J (j) i= 10, U= 5.957J

(k) i= 28, U= 3.239J (l) i= 29, U= 3.227J.

Figura 7.27: Optimizacion topologica de una viga aperaltada sobre un apoyo conti-nuo solicitada por una carga uniformemente distribuida en la fibra superior. Malla60 x 20. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 63.309J (b) i= 2, U= 12.290J

(c) i= 3, U= 9.959J (d) i= 5, U= 9.028J

(e) i= 7, U= 8.365J (f) i= 9, U= 7.680J

(g) i= 11, U= 6.917J (h) i= 13, U= 5.925J

(i) i= 15, U= 5.187J (j) i= 17, U= 4.646J

(k) i= 19, U= 3.973J (l) i= 29, U= 2.588J

Figura 7.28: Optimizacion topologica de una viga aperaltada sobre un apoyo con-tinuo y restriccion lateral a la altura media de los dos costados solicitada por unacarga distribuida en la fibra media. Malla 60 x 20. = 50%.

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(a) i= 1 , U= 1.601.900J (b) i= 2, U= 636.170J

(c) i= 3, U= 359.550J (d) i= 5, U= 144.600J

(e) i= 7, U= 95.230J (f) i= 9, U= 72.661J

(g) i= 11, U= 62.000J (h) i= 13, U= 57.551J

(i) i= 15, U= 54.932J (j) i= 17, U= 52.631J

(k) i= 19, U= 51.150J (l) i= 29, U= 48.001J

Figura 7.29: Optimizacion topologica de una viga aperaltada doblemente apoyadacon restriccion lateral a la altura media de los dos costados solicitada por una cargadistribuida en la fibra media. Malla 60 x 20. = 50%.

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7.2.2. Mensula de seccion constante

Un ejemplo tıpico de aplicacion de la teorıa de la elasticidad bidimensional, loconstituyen el diseno de las ”zonas D” en estructuras de concreto reforzado. estaszonas se denominan ası, debido a la distorsıon en el flujo de esfuerzos. Su disenoes bastante laborioso y no se conoce solucion exacta. Jorg Schlaich formalizo en1987 el metodo denominado “Strut - Tie - Model” [54] mediante el cual se iden-tifican en un elemento bidimensional, zonas o diagonales equivalentes, solicitadasa compresion y tension. A pesar de ser un metodo empırico, goza de gran acepta-cion y ha sido incluido por el ACI y la ASSHTO LRFD como provision de diseno [62].

El objetivo de este ejercicio, consite en determinar el flujo de esfuerzos y optimi-zar topologicamente la mensula mostrada en la Figura (7.30)

Figura 7.30: Esquemas del modelo de una mensula de seccion constante. a) Mode-lo original, b.) Modelo considerando infinitamente rıgida la columna y c.) Modeloreemplazando el efecto de la carga y su excentricidad por fuerzas equivalentes.

El dominio adoptado para este modelo se ilustra en la Figura (7.30) consiste endos rectangulos adheridos. El primer rectangulo modela la columna y tiene dimensio-nes H x b, el segundo rectangulo modela el voladizo de la mensula con dimensiones1.2b x 1.4b. La altura H equivale a 5.40 b. El modelo estructural se encuentra em-potrado en los extremos superior e inferior de la columna y sobre el voladizo actuauna carga puntual a 1.9b del costado izquierdo de la columna.

Los modelos presentados se discretizaron mediante dos mallas de 708 elementosmostrada en la Figura (7.31) (a) y 2.832 elementos mostrada en la Figura (7.31)

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(b). El tipo de elemento finito seleccionado es rectangular.

Figura 7.31: Discretizacion de los modelos para la mensula de seccion rectangular. a.)Malla de 708 elementos rectangulares y b.) Malla de 2832 elementos rectangulares.

Ademas de los parametros de optimizacion citados al inıcio del Capıtulo se con-sidero, luego de varias pruebas, una fraccion de volumen de 98%. Debido a que laoptimizacion obtenida con valores bajos de la fraccion de volumen arrojo sistemascon poca distribucion de material, la fraccion de volumen se fue incrementando hasta98%, valor para el cual se obtuvo una mejor distribucion del material. Para el casode la malla mas fina, se trabajo con una fraccion de volumen de 50%, obteniendosebuenos resultados.

La estructura de la Figura (7.30) (a) se modelo con la malla (a) de la Figura(7.31). El resultado de este ejercicio se muestra en la Figura (7.33), donde se evi-dencio la presencia de material de densidad intermedia en el costado izquierdo de lacolumna, tanto en la parte superior como inferior, tal como se observa en la Figura(7.33) (c) a (g). A partir de la 8.a iteracion la concentracion de material de la fibraizquierda en la parte superior de la columna desaparece.

Basados en la teorıa de diseno de este tipo de elementos estructurales [54] losesfuerzos de tension y compresion debidos a la excentricidad de la carga, generanen los tramos superior e inferior de la columna un par de fuerzas. Por lo tanto seespera que en la fibras izquierda y derecha, tanto en la parte superior como inferiorde la columna, aparezca concentracion de material para absorver los esfuerzos decompresion y tension.

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Con este criterio se procedio a analizar en forma separada las dos componentesde la mensuala: el voladizo y la columna. Para ello se concibieron los modelos quese describen a continuacion.

La optimizacion para el voladizo se realizo sobre el modelo indicado en la Fi-gura (7.30) (b) y la malla de la Figura (7.31) (a). El resultado se presenta en laFigura (7.34), donde se aprecia que la trayectoria de concentracion de material esconsistente con la analogia de la cercha. Ademas se aprecia que la concentracion demamterial se ubica en el extremo superior e inferior de la union entre el voladizoy columna, como era de esperarse. Esta configuracion permitio definir el siguientemodelo.

Por otra parte, se realizo la optimizacion de la columna con el modelo de laFigura (7.30) (c) y la misma malla anterior. Como solicitacion se aplicaron cargasen los nudos superior e inferior donde la columna y el voladizo se conectan. La eva-luacion de las cargas equivalentes se obtuvo a partir de la distribucion del momentoque produce la carga vertical por su excentricidad. Se aprecia en la Figura (7.35)(l), que efectivamente el efecto de las cargas equivalentes al momento producido porla carga sobre el voladizo, genera una concentracion de material tanto en la fibraizquierda y derecha en la parte superior e inferior de la columna.

El resultado del analisis en forma independiente de la columna y el voladizo sir-vio como argumento para generar un cuarto modelo de la mensula, esta vez con unamalla mas densa.

Se realizo el proceso de optimizacion sobre la estructura original mostrada enla Figura (7.30) (a) con la malla de la Figura (7.31) (b) de 2.832 elementos y unafraccion de volumen de 50%. El resultado de la optimizacion se muestra en la Figura(7.36) (l), se aprecia que la figura optimizada se ajusta mejor al comportamientoesperado. En todas las iteraciones se aprecia que tanto en el tramo superior, comoinferior de la columna aparecen concentraciones de material, que garantizan el flujode esfuerzos. De esta forma se cumplen los criterios del analisis expuestos en [54] y[50] para este tipo de estructuras.

Con respecto a la energıa U, en este caso se obtuvo de la Figura (7.36) (a) unvalor para U de 689 J mucho mayor que el obtenido para la malla menos densa de263 J segun la Figura (7.33). Ası se ratifica el concepto de que a mayor densidad demalla los desplazamientos generan mayor energıa interna de deformacion.

En la Figura (7.32) se presenta en forma conceptual la posible solucion a estetipo de estructuras mediante el metodo ”Strut-Tie-Model”. Se aprecia que la topo-logıa obtenida por los dos metodos es identica.

Con respecto a la fraccion de volumen del 98% del primer modelo, la explica-

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Figura 7.32: Solulcion conceptual a partir del metodo de las dovelas o ”Strut-Tie-Model”

cion radica en que con elementos de mayor tamano es mas dificil la distribucion delmaterial. Otra explicacion para esta situacion, radica en el hecho de que la mensulade por sı ya es un elemento optimizado y si se trabaja con elementos grandes laposibilidad de optimizarlo con bajas fracciones de volumnen es muy difıcil.

Con este argumento se concluye que el tamano de la malla y una aproximaciongradual de la fraccion de volumen, estan intimamente relacionadas en el proceso deoptimizacion topologica.

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(a) i= 1, U= 263J (b) i= 2, U= 127J (c) i= 3, U= 83J (d) i= 4, U= 58J

(e) i= 5, U= 42J (f) i= 6, U= 33J (g) i= 7, U= 26J (h) i= 8, U= 22J

(i) i= 9, U= 19J (j) i= 10, U= 16J (k) i= 28, U= 8J (l) i= 29, U= 8J

Figura 7.33: Optimizacion topologica de una mensula de seccion constante. Mallade 708 elementos. = 98%

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(a) i= 1, U= 183J (b) i= 2, U= 180J (c) i= 3, U= 115J (d) i= 4, U= 85J

(e) i= 5, U= 65J (f) i= 6, U= 50J (g) i= 7, U= 38J (h) i= 8, U= 28J

(i) i= 9, U= 19J (j) i= 10, U= 13J (k) i= 28, U= 8J (l) i= 29, U= 8J

Figura 7.34: Optimizacion topologica del voladizo de una mensula de seccion cons-tante, considerando la columna infinitamente rıgida. Malla de 708 elementos. =98%

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(a) i= 1, U= 104J (b) i= 2, U= 37J (c) i= 3, U= 26J (d) i= 4, U= 20J

(e) i= 5, U= 16J (f) i= 6, U= 12J (g) i= 7, U= 9J (h) i= 8, U= 7J

(i) i= 9, U= 6J (j) i= 10, U= 5J (k) i= 11, U= 5J (l) i= 29, U= 4J

Figura 7.35: Optimizacion topologica de la columna de una mensula de seccionconstante, reemplazando el efecto de la carga por las fuerzas equivalentes sobre lacara de la columna. Malla de 708 elementos. = 98%

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(a) i= 1, U= 689J (b) i= 2, U= 432J (c) i= 3, U= 389J (d) i= 4, U= 246J

(e) i= 5, U= 198J (f) i= 6, U= 156J (g) i= 7, U= 123J (h) i= 8, U= 98J

(i) i= 9, U= 67J (j) i= 10, U= 45J (k) i= 28, U= 32J (l) i= 29, U=28 J

Figura 7.36: Optimizacion topologica de una mensula de seccion constante. Mallade 2.832 elementos. = 50%

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