7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion

7/18/2019 7 - Guia Fund. Matematicos 2005 Susecion Sumatoria Progresion

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ÀREA CIENCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

GUÍA N º 7 SUCESIONES , SUMATORIAS , PROGRESIONES ,INDUCCIÓN MATEMÁTICA Y POLINOMIOS

I . SUCESIONES

1 ) Dada la sucesión { n2 + 2 } .

a ) Escribir los primeros 5 términos b ) Encontrar a 15

2 ) Dada la sucesión⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

+=

4 n2

3 na n . Encontrar :

a ) a 10 b ) a 2 0 c ) a 45

3 ) Escribir los ocho primeros términos de las siguientes sucesiones cuyo

término general es :

a ) a n =n

n 2 + b ) a n =

2 n

1 n

+

+ c ) a n = ( – 1 )

n

5 n

n2

+

d ) a n =⎪⎩

⎪⎨

⎧

+imparesnsi

1 n

1

par esnsi 2

e ) a n =2 n

5 n2

+

−

4 ) Hallar una expresión general para el término enésimo de las siguientessucesiones :

a ) 4 , 8 , 12 , 16 , . . . a n =

b ) 1 ,4

1 ,

3

1 ,

2

1 , . . . a n =

c ) 1 ,4

3 ,

3

2 ,

2

1 , . . . a n =



5 ) Escribir los ocho primeros términos de las siguientes sucesiones recurrentes :

a ) a 1 = 3 ; a n + 1 =3

a n

b ) a 1 = – 1 ; a n + 1 = 3 a n – 5

c ) a 1 = 2 ; a 2 = – 3 ; a n + 2 = 2 a n + 1 – a n

6 ) Sean a n =1 n2

1 n3

−

− ; b n =

n

1 . Determinar :

a ) a n + b n b ) a n – b n c ) a n · b n d )n

n

b

a

II . SUMATORIAS

1 ) Calcular las siguientes sumas :

a ) ( k∑=

100

1 k

2 + 1 ) b ) ( i – 3 )∑

=

55

10 i

c ) j ( 2 j∑=

45

1 j

2

– 4 ) d ) ( k – 1 )∑=

60

10 k

2

e ) [ ( i∑=

30

7 i

2 – 1 ) + 2 i ] f ) [ 3 ( k + 1 ) – 3 k ]∑

=

40

10 k

g ) ( j – 3 )∑=

24

4 j

3 h ) i ( i + 2 )∑

=

60

15 i

2 ) Expresar usando símbolo de sumatoria y calcular :

a ) 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + . . . + 3 · 25

b ) 25 + 36 + 49 + . . . + 100

c ) 13 + 3

3 + 5

3 + . . . + 35

3



III . PROGRESIONES

1 ) Encuentre la suma de:

a ) 17 términos de la P.A. : 49 ; 44 ; 39 ; …

b ) 19 términos de la P.A. : 3 / 4 ; 2 / 3 ; 7 / 12 ; …

c ) 24 términos de la P.A. : –15 / 2 ; –7 ; –13 / 2 ; …

d ) 50 términos de la P.A. : 6 / 3 ; 3 3 ; 12 / 3 ; …

e ) 40 términos de la P.A. : a – 3 b ; 2 a – 5 b ; 3 a – 7 b ; …

2 ) Resolver los siguientes problemas:

a ) El tercer término de una P.A. es 18 y el séptimo es 30. Encuentre la suma de

los 17 primeros términos.

b ) En una P.A. el 4 º término es 0 ; el 42 º término es – 95 y el último es

–195 . Encuentre el 1er. término y el número de términos.

c ) En una P.A. la suma de los 50 primeros términos es 200 y la suma de los 50siguientes términos es 2.700. Encuentre el 1er. término y la diferencia.

d ) La suma de 3 números en P.A. es 27 y la suma de sus cuadrados es 293.

Hallar los números.

e ) En una P.A. la suma de 3 términos es 27 y su producto es 504. Hallar los

números.

f ) En una P.A. el 3er. término es igual a 4 veces el primero y el 6 º término es

17. Encontrar la P.A.

g ) Se ubican 200 maderos colocados 20 de ellos en una fila. Sobre ellos, 19 en

una 2 ª fila y así sucesivamente. Determine el número de filas y la cantidad de



maderos de la fila superior.

3 ) Calcule la suma de :

a ) 7 términos de la P.G.: 1 / 2 ; 1 / 3 ; 2 / 9 ; …

b ) 6 términos de la P.G.: – 2 ; 5 / 2 ; – 25 / 8 ; …

c ) 10 términos de la P.G.: 2 , – 4 , 8 , …

d ) 12 términos de la P.G.: 1 ; 3 , 3 , …

e ) 7 términos de la P.G.: 1 / 2 ; – 2 ; 8 / 2 ; …

4 ) Resolver los siguientes problemas :

a ) La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de

los 3 primeros términos. Hallar la razón.

b ) En una P.G. el 5 º término es 81 y el 2 º es 24 . Escribir la P.G.

c ) El 2 º término de una P.G. es 5 y el 5 º es 40 / 27. Encuentre el 7 º término.

d ) Determinar 3 números en P.G. cuya suma sea 26 y su producto 216.

e ) La suma de 3 números en P.G. es 70. Si los extremos se multiplican por 4 yel del medio por 5 resulta una P.A. Hallar los números.

f ) Hallar una P.A. cuyo 1er. término sea 1 y tal que los términos de los lugares

2 , 10 y 34 formen una P.G.

g ) La suma de 3 números en P.G. suman 21. Si se resta 1 al primer término; 2

al segundo término y 6 al tercer término resulta una P.A. Encuentre la P.G. y

la P.A.

h ) Dividir el número 221 en 3 partes que formen una P.G. y tal que el 3er.

número sobrepase al 1er. número en 136. Encontrar los números.



IV. INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Demuestre usando inducción matemática que:

a ) 1 + 3 + 32 + ... + 3

n – 1 =

2

1 3 −n

; ∀n ∈ I Ν

b ) 1 + 2 · 3 + 3 · 32 + ... + n · 3

n – 1 =

4

1 3)1 n2( n +− ; ∀n ∈ I Ν

c ))3n()2n(4

)1n(n

)3n()2n()1n(

n ...

5·4·3

2

4·3·2

1

++

+=

++++++ ; ∀n ∈ I Ν

d ) 13 + 3

3 + … + ( 2 n + 1 )

3 = ( n + 1)

2 ( 2 n

2+ 4n + 1 ) ; ∀ n ≥ 0

e ) ∑=

+=+

n

1 k

3353

2

)1 n(n )k 3 k ( ; ∀n ∈ I Ν

f ) ∑= +

+=

++

n

0 i 3 n2

1 n

)3 i2()1 i2(

1 ; ∀ n ≥ 0

g ) ∑=

−

−

+−+=

+++−

n

1 i

1 n

1 i

3 n2 )1(

31

)3 i2()1 i2()1 i(4 )1( ; ∀n ∈ I Ν

h ) 24 n

– 1 es divisible por 15 ; ∀n ∈ IN

i ) 34 n + 2

+ 52 n + 1

es divisible por 14 ; ∀n ∈ IN

j ) 10n + 3 4

n + 2 + 5 es divisible por 9 ; ∀n ∈ IN

k ) 22 n + 1

– 9 n2 + 3n – 2 es divisible por 54 ; ∀n ∈ IN

l ) ( 3 n + 1 ) · 7n – 1 es divisible por 9 ; ∀n ∈ IN

m ) 7 16 n + 3 es divisible por 5 ; ∀n ≥ 0

n ) 72 n

+ 16 n – 1 es divisible por 64 ; ∀n ≥ 1



V. POLINOMIOS

1. Por medio de la división sintética, determinar el cuociente y el resto en cada una

de las divisiones siguientes:

a ) 3 x2

– 2 x – 4 : x – 3 b ) 2 x + 3 x2

– 7 : x + 1c ) x

3 – 2 x

2 + 9 : x + 2 d ) x

3 + 4 x – 7 : x – 3

e ) x4 – 2 x

3 – 3 x

2 – 4 x – 8 : x – 2 ; x – 1

f ) 2 x4 – x

3 – 18 x

2 – 7 : x + 3 ; x – 3

g ) 3 x4 – 7 x – 20 : x – 2 ; x + 2

h ) 2 x4 – 3 x

3 – 20 x

2 – 6 : x – 4 ; x + 3

2. Hallar el resto de las siguientes divisiones ( Usar teorema del resto ).

a ) x3 + 3 x

2 – 2 x – 5 : x + 2 b ) x

3 + 3 x

2 – 2 x – 5 : x + 3

c ) x

3

– 2 x

2

+ 3 x – 4 : x – 3 d ) 2 x

3

+ x

2

– x + 4 : x + 1e ) x4 – 5 x

3 + x

2 – 6 : x – 1 f ) x

3 + 3 x

2 – 2 x – 5 : x + 2

3. Determinar si la primera expresión es factor de la segunda.

a ) ( x – 2 ) de x4 + 3 x

3 – 5 x

2+ 2 x – 24

b ) ( x + 3 ) de x3 – 4 x

2 – 18 x + 9

c ) ( x – 3 ) de x4 – 5 x

3 + 8 x

2 + 15 x – 2

d ) ( x – 5 de x3 + 2 x

2 – 25 x – 50

e ) ( 2x + 3 ) de 2 x4 + 5 x

2+ 3 x

2 + 8 x + 12

f ) ( 3x + 1 ) de 9 x

3

+ 6 x

2

+ 4 x + 2g ) ( x – y) de x5 – y

5 ; x

6 – y

6 ; x

7 – y

7 ; x

8 – y

8

4. Determinar por inspección los ceros de las funciones siguientes, indicando

multiplicidad de cada uno.

A ) ( x – 2 ) ( x – 3 )2 ( x + 4 )

3 b ) ( x + 1 )

4 ( x – 2 )

5

c ) ( x + 7 ) ( 2x – 3 )3 d ) ( x

2 – 4 x + 4 ) ( x

2 + 3 x – 10 )

e ) ( 3x – 5 ) ( x2 – 6 x + 9 ) f ) ( x – 2 )

3 ( 3x – 1)

4 ( x + 1)

7

5. Determinar una cota superior y una cota inferior para los ceros de cada una de las

siguientes funciones:

a ) x3 – 3 x

2 –2 x + 15 b ) x

3 + 2 x

2 – 7 x – 8

c ) x4 – 2 x

3 – 7 x

2 + 10 x + 10 d ) x

4 – x

3 – x

2 – 2 x – 6

e ) x4 – 4 x

3 + x

2 + 6 x + 2 f ) x

4 – 5 x

2 + 6 x – 9

g ) x3 – 8 x + 5 h ) x

3 + 16 x – 29



i ) x5 + 5 x

2 – 7 j ) x

5 – 3 x

3 + 24

k ) x4 + 3 x

3 – 9 x

2 + 3 x – 10 l ) 3 x

5 – 4 x

4 – 5 x

3 – 8 x + 25

6. Escribir el polinomio de menor grado de coeficientes reales que tenga dos

raíces : x1 = 2 y x = 1 – 3 i2

7. Escribir el polinomio de menor grado de coeficientes reales que tenga dos

raíces de la forma : x = – 3 y x = 2 +1 2 3

8. Hallar todas las raíces de : x4 + 2 x

2 + 1 = 0

9. Determinar las raíces racionales de las siguientes ecuaciones polinómicas

indicando:

i ) Cotas inferior y superior para ellas.

ii ) Posibles raíces positivas y negativas.iii ) Posibles raíces racionales.

a ) 6 x3 + 5 x

2 – 3 x – 2 = 0

b ) x3 + 2 x

2 – 11 x – 12 = 0

c ) x4 – x

3 – 7 x

2 – 14 x – 24 = 0

d ) 4 x5 – 16 x

4 + 17 x

3 – 19 x

2 + 13 x – 3 = 0

e ) x3 – 4 x

2 + 14 x – 20 = 0

f ) 2 x 4 + 6 x 3 – 7 x 2 + 12 = 0g ) x

4 – 3 x

3 + 2 x

2 – x + 1 = 0

h ) 4 x3 – 20 x

2 + 9 x + 28 = 0

i ) 3 x3 – x

2 – 3 x + 1 = 0

j ) 2 x4 – 3 x

3 – 14 x

2 + 2 x + 4 = 0

k ) 2 x4 – 9 x

3 + 10 x

2 + x – 2 = 0

l ) 3 x3 – 4 x

2 – 35 x + 12 = 0

10. Calcular las raíces irracionales de las siguientes ecuaciones acotándolas mediante

la sucesión de Sturm y calculándolas mediante el algoritmo de la división sintética

y el método de Horner .(usar 4 interacciones).

a ) x3 + 3 x

2 – 6 x – 3 = 0 ( raíz mayor positiva )

b ) x3 – x

2 – 2 x + 1 = 0 ( raíz menor positiva )

c ) x3 – 3 x + 1 = 0 ( las 3 raíces reales )

d ) x3 – 7 x + 7 = 0 ( las dos raíces entre 1 y 2 )

e ) x4 – 3 x

3 + 2 x

2 – 3 x – 3 = 0 ( todas las raíces reales )

f ) x4 – 4 x

3 – 4 x + 12 = 0 ( todas las raíces reales )



g ) x3 – 6 x

2 + 13 x – 13 = 0 ( raíz α : 3 < α < 4 )

h ) x3 – 3 x

2 + 13 x – 24 = 0 ( raíz α : 2 < α < 3 )

i ) x3 – 10 x

2 + 35 x + 50 = 0 ( raíz α : – 2 < α < –1 )

j ) x3 + 3 x

2 – 5 x – 47 = 0 ( raíz α : 3 < α < 4 )

k ) x3 + 10 x

2 + 34 x – 60 = 0 ( todas las raíces reales )

l ) x3

– 9 x2

+ 24 x – 19 = 0 ( todas las raíces reales )m ) x

4 + 4 x

3 + 7 x

2 – 2 x – 21 = 0 ( todas las raíces reales )

n ) x4 – 6 x

3 + 12 x

2 + 11 x – 41 = 0 ( todas las raíces reales )

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